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“En mi opinión, todas las
cosas en la naturaleza
ocurren matemáticamente”
René Descartes
René Descartes
MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN
Unidad 2
FACTORIZACIÓN Y EXPONENTES
Tema 2
EXPONENTES
Objetivo
Comprender exponentes, leyes de la
potenciación y radicales, con sus
aplicaciones mediante las resoluciones de
ejercicios sobre potenciación y radicación.
Introducción
Los exponentes son utilizados para simplificar
la escritura de números que se multiplican por
sí mismos varias veces, de esta manera es
posible simplificar la escritura de fórmulas que
de otra manera serían muy complejas
» Subtemas:
1 Leyes de potenciación y radicación.
2 Problemas sobre potenciación y
radicación.
Subtemas
Actividad Inicial
Leyes de potenciación y radicación
Leyes de potenciación
• Las leyes de los exponentes son las reglas a seguir para realizar operaciones con
potencias.
• La potencia de un número es el resultado de multiplicar ese número por sí mismo
más de una vez.
• Al número se le llama base, y las veces que se multiplica es el exponente.
La potenciación con las siguientes propiedades:
1.- Potencia de un producto
𝒂 ⋅ 𝒃 𝒏
= 𝒂𝒏
⋅ 𝒃𝒏
Ejemplo:
−𝟓 ⋅ 𝟑
𝟑
= −𝟓 𝟑
⋅ 𝟑𝟑
= −𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟕 = − 𝟑𝟑𝟕𝟓
2.- Potencia de un cociente
𝒂
𝒃
𝒏
=
𝒂𝒏
𝒃𝒏
Ejemplo:
𝟕
𝟏𝟎
𝟑
=
𝟕 𝟑
𝟏𝟎 𝟑
=
𝟑𝟒𝟑
𝟏𝟎𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟑𝟒𝟑
3.- Potencia de una potencia
𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎⋅𝒏
Ejemplo:
−𝟎, 𝟐 𝟑
𝟐
= −𝟎, 𝟐 𝟑⋅𝟐 = −𝟎, 𝟐 𝟔
= 0,000064
4.- Producto de potencias de igual base
𝒂𝒏
⋅ 𝒂𝒎
= 𝒂𝒏+𝒎
Ejemplo:
−𝟖𝟐
. −𝟖𝟑
= −𝟖 𝟓
= -32768
5.- Cociente de potencias de igual base
𝒂𝒏
𝒂𝒎
= 𝒂𝒏−𝒎
Ejemplo:
𝟒𝟖
𝟒𝟓
= (𝟒)𝟖−𝟓
= 𝟒 𝟑
= 𝟔𝟒
6.- Potencia de exponente negativo
𝒂−𝒏
=
𝟏
𝒂𝒏 ; 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂 ≠ 𝟎
Ejemplo:
−𝟑 −𝟐
=
𝟏
−𝟑𝟐 =
𝟏
𝟗
LEYES DE RADICACIÓN
Las leyes de los radicales son muy relevantes para resolver ejercicios, y combinarlas con
reglas de potencias puede ayudar a resolver ejercicios fácilmente.
Los exponentes fraccionarios, son no otra cosa que los radicales.
Ejemplo: Queremos calcular
𝑎
1
𝑛 = 𝑛
𝑎 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎
𝑚
𝑛 =
𝑛
𝑎𝑚 = 𝑛
𝑎 𝑚
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎
𝑚
𝑛 =
𝑛
𝑎𝑚
La radicación en los números reales cumple las
siguientes propiedades
1.- Raíz de un producto
𝒏
𝒂 ⋅ 𝒃 = 𝒏
𝒂 ⋅
𝒏
𝒃
Ejemplo :
𝟑
−𝟐𝟕 𝟏𝟐𝟓 =
𝟑
−𝟐𝟕 ⋅
𝟑
𝟏𝟐𝟓 =
𝟑
−𝟑𝟑 ⋅
𝟑
𝟓𝟑 = −𝟑 𝟓 = −𝟏𝟓
2.- Raíz de un cociente
𝒏 𝒂
𝒃
=
𝒏
𝒂
𝒏
𝒃
Ejemplo:
𝟏𝟔
𝟎,𝟎𝟒
=
𝟏𝟔
𝟎,𝟎𝟒
=
𝟒𝟐
𝟎,𝟐 𝟐
=
𝟒
𝟎,𝟐
= 𝟐𝟎
3.- Raíz de una potencia
𝒏
𝒂𝒎 = 𝒂
𝒎
𝒏
Ejemplo:
𝟒
𝟓𝟏𝟐
= 𝟓
𝟏𝟐
𝟒
= 𝟓𝟑
= 𝟏𝟐𝟓
4.- Raíz de una raíz
𝒏 𝒑
𝒂 =
𝒏⋅𝒑
𝒂
Ejemplo:
2 3
64
=
6
64
= 2
Problemas sobre potenciación y radicación.
Ejercicio 1
−𝟑 𝟒
(-3)(-3)(-3)(-3) =81
Ejercicio 2
−
𝟐
𝟓
−𝟑
−
5
2
3
−
125
8
Al tratarse de una potencia par, el
resultado se convierte en positivo
Para convertir el exponente negativo en
positivo, invertimos la fracción aplicamos
la propiedad
Al ser un número negativo elevado
a una potencia impar, el resultado
sigue siendo negativo
Problemas sobre potenciación y radicación.
Ejercicio 3
Realizar la simplificación de :
23
. 5−2
2−2
. 54
23−2
. 5−2+4
2 (52)
(2).(25)
=50
Dado que es una multiplicación,
se puede sumar los exponentes
que tienen la misma base,
aplicando la propiedad
Problemas sobre potenciación y radicación.
(2)5(3)−4
(2)3(3)−3
(2)5(3)−4(2)−3(3)3
(2)5−3
(3)−4+3
(2)2(3)−1
4 .
1
3
=
4
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denominadores como numeradores
cambiando el signo de su exponente,
aplicando la propiedad
Finalmente se realiza la suma
algebraica de los exponentes de
bases iguales.
Ejercicio 4
Realizar la simplificación de:
Problemas sobre potenciación y radicación.
Ejercicio 5
1
2
3
2
3
2
−2 Para eliminar el exponente negativo (-2)
escribimos el reciproco de la fracción mixta
elevado al exponente positivo (2)
16
81
64
1
=
1024
81
2
3
2(2)
1
2
3(2)
=
2
3
4
1
2
6 =
16
81
1
64
2
3
2
1
2
3
2
Aplica propiedad
Problemas sobre potenciación y radicación.
Ejercicio 6
Obtener el resultado de:
3
216 aplicando las propiedades de los
exponentes.
3
216 =
3
(8)(27)
3
2 3(3)3 =
3
23.
3
33
23∕3. 33∕3
= (2)(3) = 6
Problemas sobre potenciación y radicación.
Ejercicio 7
Para simplificar los radicales, expresaremos estos
en forma fraccionaria:
53∕2.5
1
2
52
−1
5−151∕2
51∕4
1
2
=
5−3∕2.5
−1
2
5−2
5
−1
251∕4
51∕8
= (5−3∕2. 5
−1
2 . 52 )(5
−1
2. 51∕4. 5−1∕8)
Al tratarse de bases iguales, el problema se reduce a realizar la
suma algebraica de los exponentes y colocar la misma base
(5).
−
3
2
−
1
2
+ 2 −
1
2
+
1
4
−
1
8
= −
3
8
R. = 5−
3
8
𝟓𝟑. 𝟓
𝟓𝟐
−𝟏
.
𝟓−𝟏 𝟓
𝟒
𝟓
Problemas sobre potenciación y radicación.
Ejercicio 8: Simplificar la siguiente expresión algebraica:
4𝑛 27𝑛∕3 125𝑛 62𝑛
8𝑛∕3 93𝑛∕2 103𝑛
Notamos que es posible expresar las bases: 4, 27,125,6 ,8,9,10 como potencias de 2,3 y 5 .
4=22
27=33
125=53
6 = (2)(3) 8= 23
9= 32 10 =(2)(5)
A continuación, reemplazando tenemos:
22𝑛 33𝑛∕3 53𝑛 (2∗3)2𝑛
23𝑛∕3 32.3𝑛∕2 (2∗5)3𝑛 =
22𝑛 3𝑛 53𝑛 22𝑛 (3)2𝑛
2𝑛 33𝑛 (2)3𝑛(5)3𝑛 =
24𝑛 33𝑛 53𝑛
24𝑛 33𝑛 (5)3𝑛 = 1
Problemas sobre potenciación y radicación.
Ejercicio 9.
Simplificar la siguiente expresión algebraica:
𝟐𝒙𝒏+𝟏 𝟐
𝒙𝟑−𝒏
𝒙𝟐 𝒏+𝟏 𝒙𝒏 𝟐
Solución:
𝟒𝒙𝟐𝒏+𝟐
𝒙𝟑−𝒏
𝒙𝟐𝒏+𝟐𝒙𝟐𝒏
𝟒𝒙𝟑−𝒏−𝟐𝒏
𝟒𝒙−𝟑𝒏+𝟑
𝟒𝒙−𝟑 𝒏+𝟏
Problemas sobre potenciación y radicación.
Ejercicio 10
Reducir la siguiente expresión:
𝟔𝒙𝟒 −𝟐
𝒙−𝟐 𝟐
𝒙𝟑 𝟏𝟔
𝟐
Solución:
𝟏
𝟔𝒙𝟒
𝟐
𝟐
𝟒𝒙𝟓
𝟐 =
𝟏
𝟑𝟔𝒙𝟖
𝟐
𝟏𝟔𝒙𝟏𝟎
=
𝟐
𝟗
𝒙𝟐
Problemas sobre potenciación y radicación.
Ejercicio 11.
Simplificar la siguiente expresión algebraica:
𝟑 𝟓
𝟖𝒂𝟑
𝟓
+
𝒏−𝟏 𝒂
𝒏
𝒂
Solución:
El primer paso en este caso es expresar las raíces en términos de exponentes fraccionarios:
𝟐𝟑𝒂𝟑 𝟏∕𝟓
𝟏∕𝟑
𝟓
+
𝒂
𝟏
𝒏⋅𝟏
𝒂
𝟏
𝒏
𝟏
𝒏−𝟏
= 𝟐𝒂 +
𝒂
𝟏
𝒏−𝟏
𝒂𝒏 𝒏−𝟏 = 𝟐𝒂 + 𝒂
𝟏
𝒏−𝟏
−
𝟏
𝒎 𝒏−𝟏 = 𝟐𝒂 + 𝒂
𝒏−𝟏
𝒏 𝒏−𝟏
𝟐𝒂 + 𝒂
𝟏
𝒏 = 𝟐𝒂 + 𝒏
𝒂
Propiedades de la Potenciación Propiedades de la Radicación
Actividad de refuerzo y consolidación
Resuelva aplicando propiedades
a)
2333
3422
2
b) 52 ∙ 33
c)
2
4
3 −3
2
2
d)
6
75 3
22
5
23 4
73
3 2
Actividades Lúdicas
https://www.liveworksheets.com/w/es/matematicas/933313
https://es.educaplay.com/recursos-educativos/2074277-
potenciacion_y_radicacion.html
https://es.educaplay.com/recursos-educativos/1944000-
las_propiedades.html
https://www.educaplay.com/learning-resources/7749937-
potenciacion_y_radicacion.html
Bibliografía
» López Bonilla, M. (2016). Potenciación y radicación. Fondo Editorial Luis Amigó.
» Dorante, P., Angel, D., Morantes, D., & Derwis, E. POTENCIACIÓN DE LOS NÚMEROS
REALES Y SUS PROPIEDADES.
» Ministerio de Educación (2016). Matemática. Editorial SM. Recuperado de:
file:///C:/Users/diani/Downloads/Matematica9v2.pdf
» Toykin Mucha, A. (2017). Potenciación de números reales.

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PRESENTACIÓN - UNIDAD 2-SEMANA 5 MATEMATICAS.pptx

  • 1. “En mi opinión, todas las cosas en la naturaleza ocurren matemáticamente” René Descartes René Descartes
  • 2. MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN Unidad 2 FACTORIZACIÓN Y EXPONENTES Tema 2 EXPONENTES
  • 3. Objetivo Comprender exponentes, leyes de la potenciación y radicales, con sus aplicaciones mediante las resoluciones de ejercicios sobre potenciación y radicación. Introducción Los exponentes son utilizados para simplificar la escritura de números que se multiplican por sí mismos varias veces, de esta manera es posible simplificar la escritura de fórmulas que de otra manera serían muy complejas
  • 4. » Subtemas: 1 Leyes de potenciación y radicación. 2 Problemas sobre potenciación y radicación. Subtemas
  • 6. Leyes de potenciación y radicación Leyes de potenciación • Las leyes de los exponentes son las reglas a seguir para realizar operaciones con potencias. • La potencia de un número es el resultado de multiplicar ese número por sí mismo más de una vez. • Al número se le llama base, y las veces que se multiplica es el exponente.
  • 7. La potenciación con las siguientes propiedades: 1.- Potencia de un producto 𝒂 ⋅ 𝒃 𝒏 = 𝒂𝒏 ⋅ 𝒃𝒏 Ejemplo: −𝟓 ⋅ 𝟑 𝟑 = −𝟓 𝟑 ⋅ 𝟑𝟑 = −𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟕 = − 𝟑𝟑𝟕𝟓 2.- Potencia de un cociente 𝒂 𝒃 𝒏 = 𝒂𝒏 𝒃𝒏 Ejemplo: 𝟕 𝟏𝟎 𝟑 = 𝟕 𝟑 𝟏𝟎 𝟑 = 𝟑𝟒𝟑 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟑𝟒𝟑
  • 8. 3.- Potencia de una potencia 𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎⋅𝒏 Ejemplo: −𝟎, 𝟐 𝟑 𝟐 = −𝟎, 𝟐 𝟑⋅𝟐 = −𝟎, 𝟐 𝟔 = 0,000064 4.- Producto de potencias de igual base 𝒂𝒏 ⋅ 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏+𝒎 Ejemplo: −𝟖𝟐 . −𝟖𝟑 = −𝟖 𝟓 = -32768 5.- Cociente de potencias de igual base 𝒂𝒏 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏−𝒎 Ejemplo: 𝟒𝟖 𝟒𝟓 = (𝟒)𝟖−𝟓 = 𝟒 𝟑 = 𝟔𝟒 6.- Potencia de exponente negativo 𝒂−𝒏 = 𝟏 𝒂𝒏 ; 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂 ≠ 𝟎 Ejemplo: −𝟑 −𝟐 = 𝟏 −𝟑𝟐 = 𝟏 𝟗
  • 9. LEYES DE RADICACIÓN Las leyes de los radicales son muy relevantes para resolver ejercicios, y combinarlas con reglas de potencias puede ayudar a resolver ejercicios fácilmente. Los exponentes fraccionarios, son no otra cosa que los radicales. Ejemplo: Queremos calcular 𝑎 1 𝑛 = 𝑛 𝑎 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 𝑚 𝑛 = 𝑛 𝑎𝑚 = 𝑛 𝑎 𝑚 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑚 𝑛 = 𝑛 𝑎𝑚
  • 10. La radicación en los números reales cumple las siguientes propiedades 1.- Raíz de un producto 𝒏 𝒂 ⋅ 𝒃 = 𝒏 𝒂 ⋅ 𝒏 𝒃 Ejemplo : 𝟑 −𝟐𝟕 𝟏𝟐𝟓 = 𝟑 −𝟐𝟕 ⋅ 𝟑 𝟏𝟐𝟓 = 𝟑 −𝟑𝟑 ⋅ 𝟑 𝟓𝟑 = −𝟑 𝟓 = −𝟏𝟓 2.- Raíz de un cociente 𝒏 𝒂 𝒃 = 𝒏 𝒂 𝒏 𝒃 Ejemplo: 𝟏𝟔 𝟎,𝟎𝟒 = 𝟏𝟔 𝟎,𝟎𝟒 = 𝟒𝟐 𝟎,𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟎,𝟐 = 𝟐𝟎
  • 11. 3.- Raíz de una potencia 𝒏 𝒂𝒎 = 𝒂 𝒎 𝒏 Ejemplo: 𝟒 𝟓𝟏𝟐 = 𝟓 𝟏𝟐 𝟒 = 𝟓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓 4.- Raíz de una raíz 𝒏 𝒑 𝒂 = 𝒏⋅𝒑 𝒂 Ejemplo: 2 3 64 = 6 64 = 2
  • 12. Problemas sobre potenciación y radicación. Ejercicio 1 −𝟑 𝟒 (-3)(-3)(-3)(-3) =81 Ejercicio 2 − 𝟐 𝟓 −𝟑 − 5 2 3 − 125 8 Al tratarse de una potencia par, el resultado se convierte en positivo Para convertir el exponente negativo en positivo, invertimos la fracción aplicamos la propiedad Al ser un número negativo elevado a una potencia impar, el resultado sigue siendo negativo
  • 13. Problemas sobre potenciación y radicación. Ejercicio 3 Realizar la simplificación de : 23 . 5−2 2−2 . 54 23−2 . 5−2+4 2 (52) (2).(25) =50 Dado que es una multiplicación, se puede sumar los exponentes que tienen la misma base, aplicando la propiedad
  • 14. Problemas sobre potenciación y radicación. (2)5(3)−4 (2)3(3)−3 (2)5(3)−4(2)−3(3)3 (2)5−3 (3)−4+3 (2)2(3)−1 4 . 1 3 = 4 3 Un primer paso consiste en pasar los denominadores como numeradores cambiando el signo de su exponente, aplicando la propiedad Finalmente se realiza la suma algebraica de los exponentes de bases iguales. Ejercicio 4 Realizar la simplificación de:
  • 15. Problemas sobre potenciación y radicación. Ejercicio 5 1 2 3 2 3 2 −2 Para eliminar el exponente negativo (-2) escribimos el reciproco de la fracción mixta elevado al exponente positivo (2) 16 81 64 1 = 1024 81 2 3 2(2) 1 2 3(2) = 2 3 4 1 2 6 = 16 81 1 64 2 3 2 1 2 3 2 Aplica propiedad
  • 16. Problemas sobre potenciación y radicación. Ejercicio 6 Obtener el resultado de: 3 216 aplicando las propiedades de los exponentes. 3 216 = 3 (8)(27) 3 2 3(3)3 = 3 23. 3 33 23∕3. 33∕3 = (2)(3) = 6
  • 17. Problemas sobre potenciación y radicación. Ejercicio 7 Para simplificar los radicales, expresaremos estos en forma fraccionaria: 53∕2.5 1 2 52 −1 5−151∕2 51∕4 1 2 = 5−3∕2.5 −1 2 5−2 5 −1 251∕4 51∕8 = (5−3∕2. 5 −1 2 . 52 )(5 −1 2. 51∕4. 5−1∕8) Al tratarse de bases iguales, el problema se reduce a realizar la suma algebraica de los exponentes y colocar la misma base (5). − 3 2 − 1 2 + 2 − 1 2 + 1 4 − 1 8 = − 3 8 R. = 5− 3 8 𝟓𝟑. 𝟓 𝟓𝟐 −𝟏 . 𝟓−𝟏 𝟓 𝟒 𝟓
  • 18. Problemas sobre potenciación y radicación. Ejercicio 8: Simplificar la siguiente expresión algebraica: 4𝑛 27𝑛∕3 125𝑛 62𝑛 8𝑛∕3 93𝑛∕2 103𝑛 Notamos que es posible expresar las bases: 4, 27,125,6 ,8,9,10 como potencias de 2,3 y 5 . 4=22 27=33 125=53 6 = (2)(3) 8= 23 9= 32 10 =(2)(5) A continuación, reemplazando tenemos: 22𝑛 33𝑛∕3 53𝑛 (2∗3)2𝑛 23𝑛∕3 32.3𝑛∕2 (2∗5)3𝑛 = 22𝑛 3𝑛 53𝑛 22𝑛 (3)2𝑛 2𝑛 33𝑛 (2)3𝑛(5)3𝑛 = 24𝑛 33𝑛 53𝑛 24𝑛 33𝑛 (5)3𝑛 = 1
  • 19. Problemas sobre potenciación y radicación. Ejercicio 9. Simplificar la siguiente expresión algebraica: 𝟐𝒙𝒏+𝟏 𝟐 𝒙𝟑−𝒏 𝒙𝟐 𝒏+𝟏 𝒙𝒏 𝟐 Solución: 𝟒𝒙𝟐𝒏+𝟐 𝒙𝟑−𝒏 𝒙𝟐𝒏+𝟐𝒙𝟐𝒏 𝟒𝒙𝟑−𝒏−𝟐𝒏 𝟒𝒙−𝟑𝒏+𝟑 𝟒𝒙−𝟑 𝒏+𝟏
  • 20. Problemas sobre potenciación y radicación. Ejercicio 10 Reducir la siguiente expresión: 𝟔𝒙𝟒 −𝟐 𝒙−𝟐 𝟐 𝒙𝟑 𝟏𝟔 𝟐 Solución: 𝟏 𝟔𝒙𝟒 𝟐 𝟐 𝟒𝒙𝟓 𝟐 = 𝟏 𝟑𝟔𝒙𝟖 𝟐 𝟏𝟔𝒙𝟏𝟎 = 𝟐 𝟗 𝒙𝟐
  • 21. Problemas sobre potenciación y radicación. Ejercicio 11. Simplificar la siguiente expresión algebraica: 𝟑 𝟓 𝟖𝒂𝟑 𝟓 + 𝒏−𝟏 𝒂 𝒏 𝒂 Solución: El primer paso en este caso es expresar las raíces en términos de exponentes fraccionarios: 𝟐𝟑𝒂𝟑 𝟏∕𝟓 𝟏∕𝟑 𝟓 + 𝒂 𝟏 𝒏⋅𝟏 𝒂 𝟏 𝒏 𝟏 𝒏−𝟏 = 𝟐𝒂 + 𝒂 𝟏 𝒏−𝟏 𝒂𝒏 𝒏−𝟏 = 𝟐𝒂 + 𝒂 𝟏 𝒏−𝟏 − 𝟏 𝒎 𝒏−𝟏 = 𝟐𝒂 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝒏 𝒏−𝟏 𝟐𝒂 + 𝒂 𝟏 𝒏 = 𝟐𝒂 + 𝒏 𝒂
  • 22. Propiedades de la Potenciación Propiedades de la Radicación
  • 23. Actividad de refuerzo y consolidación Resuelva aplicando propiedades a) 2333 3422 2 b) 52 ∙ 33 c) 2 4 3 −3 2 2 d) 6 75 3 22 5 23 4 73 3 2
  • 25. Bibliografía » López Bonilla, M. (2016). Potenciación y radicación. Fondo Editorial Luis Amigó. » Dorante, P., Angel, D., Morantes, D., & Derwis, E. POTENCIACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES. » Ministerio de Educación (2016). Matemática. Editorial SM. Recuperado de: file:///C:/Users/diani/Downloads/Matematica9v2.pdf » Toykin Mucha, A. (2017). Potenciación de números reales.