Este documento resume diferentes tipos de ecuaciones como cuadráticas, bicuadradas, con radicales, valor absoluto y polinómicas. Explica los métodos para resolver cada tipo de ecuación, incluyendo factorización, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. También define conceptos como intervalos y operaciones con ellos.

1. Universidad Central del Ecuador
Facultad de Filosofía, letras y ciencias de la educación
Pedagogía de las Ciencias Experimentales, Química y Biología
MATEMÁTICA
Grupo 4
TEMA: Ecuaciones cuadráticas, bicuadradas, con radicales, con valor absoluto y polinómicas.
• Vallejo María

3. Una ecuación es una igualdad matemática entre dos
expresiones, que pueden tener una o más variables.
4 + 5x = 14
8 - 3= 5
Denominada ecuación de segundo grado.
Ya que la ecuación es de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
ECUACIONES CUADRÁTICAS

4. Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las
ecuaciones cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática (Fórmula General)
x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8

5. Factorización Simple:
(x ) (x ) = 0
( x + ) (x - ) = 0
(x + 4 ) (x – 2) = 0
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x = 0 – 4 x = 0 + 2
x = -4 x = 2

6. Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene
que ser igual a 1.
x2 + 2x – 8 = 0
x2 + 2x = 8
x2 + 2x + ___ = 8 + ___
x2 + 2x + 1 = 8 + 1
x2 + 2x + 1 = 9
( ) ( ) = 9

7. Fórmula General:
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
En este método, solo debemos reemplazar datos.
X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8
x = -2 ± 6
2
x = -2 + 6 x = -2 - 6
2 2
x = 4 x = -8
2 2
x = 2 x = - 4

9. Las ecuaciones bicuadradas, se diferencian de las anteriores en que los exponentes están multiplicados por 2,
de ahí que su nombre sean ecuaciones bi-cuadradas (el doble de una ecuación cuadrática). Ésta es su forma
general:
Cambio de variable
Ejercicio a resolver
Nota:
El mismo procedimiento
general se puede usar para
resolver ecuaciones que tengan
esta forma, con el cambio de
variable correspondiente:
ECUACIONES BICUADRÁTICAS

11. ECUACIONES CON RADICALES
Ecuación en la que aparecen raíces que contienen a la incógnita en su radicando, es decir, la incógnita se
encuentra bajo signos radicales.
Método de resolución:
Por ejemplo:
Empezamos dejando la raíz sola en una de los miembros:
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
En el primer miembro, la raíz se anula con el cuadrado y en el segundo miembro queda un producto
notable que hay que desarrollar:

12. Nos queda una ecuación de segundo grado. Para resolverla, pasamos todos los términos al primer miembro,
quedando cero en el segundo miembro:
Resolvemos la ecuación con la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado:
Obtenemos dos soluciones, que son:
Las dos soluciones no son válidas, ya que una de ellas la hemos creado nosotros al elevar al cuadrado ambos
miembros, cuadrado que no existía en la ecuación original.

13. • Para x=4:
Se cumple la igualdad
• Para x=1
No se cumple la igualdad
La solución de la ecuación es x=4.

14. ECUACIONES CON 2 RADICALES
Para resolver las ecuaciones con dos radicales, debemos repetir el proceso 2 veces, para poder eliminar los dos
radicales.
Al final, debemos comprobar qué solución es válida, igual que para ecuaciones con un radical.
Ejemplo:
Cuando tenemos dos radicales en una ecuación, debemos empezar dejando uno de los raciales sólo en uno de los
miembros.
En esta ecuación ya tenemos un radical sólo, por lo que elevamos ambos miembros al cuadrado:
En el primer miembro se anula la raíz con el cuadrado y en el segundo, desarrollamos el producto notable,
donde uno de los términos es la otra raíz:

15. Operamos en cada término. Cuando la raíz se eleva al cuadrado en el producto notable desaparece:
Nos ha quedado una ecuación donde sólo tenemos un radical, por lo que tenemos que volver a repetir el
proceso una vez más.
Dejamos al raíz sola en el segundo miembro:
Simplificamos términos:
Elevamos al cuadrado ambos términos:
En el primer término desarrollamos el producto notable. En el segundo término elevamos al cuadrado ambos
factores del paréntesis:
Eliminamos el paréntesis del segundo miembro multiplicando ambos términos por 16:

16. Tenemos una ecuación de segundo grado. Para resolverla, pasamos todos los términos a un miembro e
igualamos a cero:
Aplicamos la fórmula general de resolución de ecuaciones de segundo grado:
Y obtenemos dos soluciones:

17. Comprobación:
• Para x=61, sustituimos en la ecuación original y operamos:
No se cumple la igualdad
• Para x=5:
Se cumple la igualdad

19. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Valor absoluto de un número es si valor numérico son tener en cuenta su signo, sea este
positivo (+) o negativo (-)
| 4 x + 2 | = 18
Ejemplos
4 x + 2 = 18 ˅ 4 x + 2 = -18
4x= 18-2
4x = 16
x= 4
4x = -18-2
4x= -20
x = -5
R/. x = {-5; 4}
Ejercicio 1 Ejercicio 2
|7x -4| +2 = 0
|7x -4| = -2
R/. x = { }
En este caso, la ecuación no tiene solución debido a
que un valor absoluto nunca estará igualado a una
cantidad negativa.

20. Ejercicio 3 |6-3x| = |2x+1|
6−3𝑥
2𝑥+1
= 1
2x+1 ≠0 → 2x ≠ -1 → x≠ -1/2
6−3𝑥
2𝑥+1
= -1 ˅
6−3𝑥
2𝑥+1
= 1
6-3x = -1 (2x+1)
6-3x = -2x -1
-3x+2x = -1-6
*(-1) -x= -7
x= 7
6-3x= 2x+1
-3x-2x = 1-6
-5x = -5
x=
−5
−5
x = 1
R/. x= (1; 7)

22. ECUACIONES POLINÓMICAS
Ecuación de primer grado
ax + b = 0
Ejercicios
Una solución
Se suprimen denominadores encontrando el mínimo común múltiplo
Se eliminan paréntesis, agrupan y suman términos semejantes
Se despeja la incógnita

23. Ecuaciones de segundo grado
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Dos soluciones
Ejercicios

27. (a, b) = {x / a < x <
b}
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
Intervalo semiabierto
por la izquierda
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto
por la derecha
[a, b) = {x / a ≤ x < b}

29. REUNIÓN DE INTERVALOS INTERSECCIÓN DE INTERVALOS
DIFERENCIA DE INTERVALOS COMPLEMENTO DE INTERVALOS