05 Sucesiones (1).pdf

Unidad 5
Ing. Magno Edwin Calizaya A.

5.1. Sucesiones
• Una sucesión matemática es un conjunto de objetos matemáticos
normalmente números una detrás de otra o Conjunto ordenado de elementos,
en un cierto orden o un a ley de formación.
• Cada uno de ellos es denominado término de la sucesión y al número de
elementos ordenados se le denomina la longitud de la sucesión.
• Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números
naturales.
• Las sucesiones pueden ser finitas o infinitas.
• Notación: 𝑎𝑛 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … … 𝑎𝑛, …
• El término general de la sucesión es 𝑎𝑛 , el subíndice indica el lugar que ocupa
el término en la sucesión.

5.1. La regla
• Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada
término.
• Ejemplo: la sucesión {7, 9, 11, 13, ...} empieza por 7 y salta 2 en 2 cada vez:
• ¡Pero la regla debería ser una fórmula!
• Decir que "empieza por 7 y salta 2 en 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula
el 10º término, 100º término, 1000º término o n-ésimo término (donde n
puede ser cualquier número positivo que queramos).
• Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que
tiene el término).
• Entonces, ¿cuál sería la regla para {7,9,11,13, ...}?
• Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar
que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:

5.1. …La regla
• Se acerca al termino ... pero la regla da todo el tiempo tiene valores 5
unidades menos de lo que debería ser, así que vamos a cambiarla un poco:
• Probamos la regla: 2n+5 ¡Funciona!
• Así que en vez de decir "empieza por 7 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como
• La regla para {7, 9, 11, 13 ...} es: 2n+5
• Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 5 = 205 o cualquier
otro término podríamos calcular.
n Término Regla
1 7 2n + 5 = 2×1 + 5= 7
2 9 2n + 5 = 2×2 + 5= 9
3 11 2n + 5 = 2×3 + 5= 11
4 13 2n + 5 = 2×4 + 5= 13
n Término Regla
1 7 2n = 2×1 = 2
2 9 2n = 2×2 = 4
3 11 2n = 2×3 = 6
4 13 2n = 2×4 = 8
Probamos la regla: 2n
Probamos la regla: 2n +5

5.2. Tipos de sucesiones y sus reglas
Sucesiones Aritméticas
• Un Progresión Aritmética es una sucesión de términos tal que cada uno se
obtiene de sumar un valor constante al anterior.
• Fórmulas para trabajar con una P.A.
Sn= suma de los n primeros términos

5.2. Tipos de sucesiones y sus reglas
Sucesiones Aritméticas
• Otro Ejemplo
• 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
• Esta sucesión tiene una diferencia de d=3 entre cada dos términos.
• La regla es an = a1+(n-1)d=1+(n-1)3=1+3n-3=3n-2
• 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...
• Esta sucesión tiene una diferencia de d=5 entre cada dos términos.
• La regla es an = a1+(n-1)d=3+(n-1)5 =
• 3+5n-5=5n-2
• x4 = (n/2)(a1 + an)=(4/2)(1+10)=2*11=22

5.2. Sucesiones aritmética
• Veamos el ejemplo anterior … con la formula
• 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ... xn = 5n-2
• Datos
• d= 8-3 = 5
• a1 = 3
• an = a1 + (n-1)d
• an = 3 + (n-1)5
• an = 3 + 5n-5
• an = 5n-2
S5 = (n/2)(a1 +an)
S5 = (5/2)(3 +23)
S5 = 65

• Se obtiene de multiplicar el antecesor por un valor constante r.
5.2. Sucesión Geométrica
Fórmulas para trabajar en una P.G.

5.2. Ejemplo de progresión geométrica
• 𝑟 =
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
• 𝑟 =
12
6
= 2
• 𝑎3 = 6 ∗ 23−1 = 6 ∗ 22 = 6 ∗ 4 = 24
• 𝑆3 =
6(1−23)
1−2
= 42
• 𝑃3 = (6 ∗ 24)3= 1728

5.2. Sucesiones especiales
Números triangulares
• 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
• Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
• Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente
número de la sucesión.
• Regla
• xn = n(n+1)/2
• Ejemplo:
• El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
• y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21

5.2. …Números cuadrados
• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
• El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.
• La regla es xn = n2

5.2. …Números cúbicos
• 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
• El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
• La regla es xn = n3

5.2. Números de Fibonacci o secuencia de
Fibonacci
• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
• El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
• El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
• El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
• La regla es xn = xn-1 + xn-2
• Esta regla es interesante porque depende de los valores de los
términos anteriores.
• Por ejemplo el 6º término se calcularía así:
• x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8

5.2. Serie
• Una serie es la suma de los elementos de una sucesión.
• Las series se clasifican en finitas e infinitas. Para trabajar con las series es
importante conocer el símbolo de sumatoria. Por ejemplo:
• Es sucesión 2, 4, 6, 8, 10
• Es serie 2 + 4 + 6 + 8 + 10.
• Con frecuencia una serie se representa de forma más compacta por
medio de la notación de sumatoria.
• Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "sumarlos
todos":

5.2. DEFINICION DE SUMATORIA
• Es la sumatoria de los n primeros términos de la
sucesión 𝑎𝑛 n ∈ N, denotada por la forma abreviada de
escribir sus términos como sumandos:
• o
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … … … + 𝑎𝑛 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + … … … + 𝑥𝑛 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖

5.2. Sumatoria
• En muchas situación se presenta la conveniencia de abreviar la
notación de una suma cuyos términos admiten cierta ley de
formación. En este sentido es útil la introducción del símbolo de la
sumatoria: σ
• Si ai es un números real que depende del índice i, para indicar
• a1 + a2 + a3 + a4 + a5 Escribimos abreviado de la siguiente manera:
• Se lee sumatoria de ai, con i variando desde 1 a 5
෍
𝑖=1
5
𝑎𝑖

5.2. Ejemplos de sumatoria
෍
𝑖=1
3
𝑖 − 1 = 1 − 1 + 2 − 1 + 3 − 1 = 0 + 1 + 2 = 3
෍
𝑛=1
4
2𝑛 + 1 ={(2∗1+1) + (2∗2+1) + (2∗3+1) +(2∗4+1)}= {3+5+7+9} = 24

5.2. Sumatoria Simple
• La sumatoria se emplea para representar la suma de muchos o infinitos
sumandos.
• La expresión se lee: "sumatoria de Xi, donde i toma los valores de 1 a n".
• La operación sumatoria se expresa con la letra griegra sigma mayúscula Σ.
• i es el valor inicial llamado límite inferior.
• n es el valor final llamado límite superior.
• Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, su expresión se puede
simplificar:
෍
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖

5
i = 1
3i
Tambien de lee como “Sumatoria
desde i igual a 1 hasta i igual a 5 de
3i.”
Indice de la sumatoria Límite inferior de la sumatoria
Límite superior de la sumatoria
Sucesión
Letra Griega
Mayúscula Sigma
5.2. Sumatoria Simple

5.2. Definición de sumatoria simple
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3+. . . +𝑥𝑛−2 + 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛

5.2.1. PROPIEDADES DE LA SUMATORIA SIMPLE
෍
𝑖=1
𝑛
1 = 𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
𝑐 = 𝑛 ∗ 𝑐 𝑠𝑖 𝑛𝜖 𝑧+ 𝑦 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
෍
𝑖=1
𝑛
(𝑐𝑎𝑖) = 𝑐 ෍
𝑖=!
𝑛
𝑎𝑖 𝑠𝑖 𝑛 𝜖 𝑧+
𝑦 𝑐 𝜖 𝑅
෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 + ෍
𝑖=1
𝑛
𝑏𝑖 PROPIEDAD DE LA SUMA
෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 − 𝑏𝑖 = ෍
𝑖=!
𝑛
𝑎𝑖 − ෍
𝑖=1
𝑛
𝑏𝑖 PROPIEDAD DE LA RESTA

5.2.1. PROPIEDADES DE LA SUMATORIA SIMPLE
෍
𝑖=𝑛
𝑚
𝑐 = ෍
𝑖=𝑛
𝑚
𝑚 − 𝑛 + 1 ∗ 𝑐 𝑠𝑖 𝑛 < 𝑚 𝑦 𝑛𝜖𝑍+
෍
𝑖=1
1
𝑎𝑖 = 𝑎1
෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 = ෍
𝑖=1
𝑛−1
𝑎𝑖 + 𝑎𝑛 𝑠𝑖 𝑛 > 1
෍
𝑖=−𝑛
−1
𝑖 = − ෍
𝑖=1
𝑛
𝑖

5.2.1. Propiedades de la sumatoria Simple
෍
𝑖=−𝑛
𝑛
𝑖 = 0
෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 = ෍
𝑖=1
ℎ
𝑎𝑖 + ෍
𝑖=ℎ+1
𝑛
𝑎𝑖 PROPIEDAD DE SUMAS PARCIALES
෍
𝑖=ℎ
𝑛
𝑎𝑖 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 − ෍
𝑖=1
ℎ−1
𝑎𝑖 PROPIEDAD DE SUMAS PARCIALES

5.2.1. Propiedades de la sumatoria Simple
෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖+1 − 𝑎𝑖 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎1 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑠𝑐ó𝑝𝑖𝑐𝑎
෍
𝑖=𝑗
𝑛
𝑎𝑖 = ෍
𝑖=𝑗+𝑣
𝑛+𝑣
𝑎𝑖−𝑣 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗

5.2.1. PROPIEDADES
La sumatoria de un producto no
es igual al producto de las
sumatorias de cada término.
La sumatoria de los cuadrados de
los valores de una variable no es
igual a la sumatoria de la variable
elevado al cuadrado.

5.3. Definición de sumatorias dobles
෍
𝑖=1
𝑛
෍
𝑗=1
𝑚
𝑎𝑖𝑗 = ෍
𝑗=1
𝑚
෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖𝑗

5.3.1. Propiedades de sumatorias dobles
෍
𝑖=1
𝑛
෍
𝑗=1
𝑚
𝑘 = 𝑛𝑚𝑘, 𝑠𝑖 𝑘 𝜖 𝑅
෍
𝑖=1
𝑛
෍
𝑗=1
𝑚
𝑘𝑎𝑖𝑗 = 𝑘 ෍
𝑖=1
𝑛
෍
𝑗=1
𝑚
𝑎𝑖𝑗 = 𝑠𝑖 𝑘 𝜖 𝑅
෍
𝑖=1
𝑛
෍
𝑗=1
𝑚
𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 = 𝑚 ෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 + 𝑛 ෍
𝑗=1
𝑚
𝑏𝑗
෍
𝑖=1
𝑛
෍
𝑗=1
𝑚
𝑎𝑖𝑏𝑗 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 ෍
𝑗=1
𝑚
𝑏𝑗

5.3.1. Propiedades de sumatorias dobles
෍
𝑖=1
𝑛
෍
𝑗=1
𝑚
𝑎𝑖𝑗𝑏𝑖𝑗 ≠ ෍
𝑖=1
𝑛
෍
𝑗=1
𝑚
𝑎𝑖𝑗 ෍
𝑖=1
𝑛
෍
𝑗=1
𝑚
𝑏𝑖𝑗
෍
𝑖=1
𝑛
෍
𝑗=1
𝑚
𝑎𝑖𝑗
2
≠ ෍
𝑖=1
𝑛
෍
𝑗=1
𝑚
𝑎𝑖𝑗
2

SUMATORIAS NOTABLES…
෍
𝑖=0
𝑛
𝑖 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 𝑛 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
෍
𝑖=1
𝑛
2𝑖 = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
෍
𝑖=1
𝑛
2𝑖 − 1 = 1 +3 +5 +7 + … + ( 2n − 1 ) = n2
෍
𝑖=1
𝑛
(2𝑖 − 1)2
= 12
+ 32
+ 52
+ ⋯ (2𝑛 − 1)2
=
𝑛(2𝑛 − 1)(2𝑛 + 1)
3
Sumatoria de los n
primeros números
naturales
Sumatoria de los n
primeros números pares
Sumatoria de los n
primeros números impares
Suma de los cuadrados de
los n primeros números
impares consecutivos

෍
𝑖=1
𝑛
𝑖2
= 12
+ 22
+ 32
+ ⋯ 𝑛2
=
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
෍
𝑖=1
𝑛
𝑖3
= 13
+ 23
+ 43
+ ⋯ 𝑛3
=
𝑛 𝑛 + 1
2
2
෍
𝑖=1
𝑛
𝑖4
= 14
+ 24
+ 44
+ ⋯ 𝑛4
=
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 3𝑛2
+ 3𝑛 − 1
30
• Suma de los n
primeros números
cuadrados
• Suma de los n
primeros números
cubos
• Suma de los n
primeros números
elevado al cuatro

෍
𝑖=1
𝑛
𝑐 = (𝑐 + 𝑐 + ⋯ + 𝑐 + 𝑐) = 𝑛 ∗ 𝑐
෍
𝑖=𝑚
𝑛
𝑐 = 𝑐 + 𝑐 + ⋯ + 𝑐 + 𝑐 = (𝑛 − 𝑚 + 1) ∗ 𝑐
෍
𝑖=0
𝑛
𝑐𝑖
= 𝑐0
+ 𝑐1
+ 𝑐2
+ 𝑐3
+ ⋯ 𝑐𝑛
=
1 − 𝑐𝑛+1
1 − 𝑐
෍
𝑖=1
𝑛
𝑐𝑖 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3 + ⋯ 𝑐𝑛 =
𝑐𝑛+1
− 𝑐
𝑐 − 1
• Suma de una
constante n veces
• Suma de una
constante n-m+1
veces
• Suma de una
constante
elevado a una
variable

෍
𝑖=1
𝑛
1
𝑖(𝑖 + 1)
=
1
2
+
1
6
+
1
12
+ ⋯ +
1
𝑐 𝑐 + 1
= 1 −
1
𝑛 + 1
=
𝑛
𝑛 + 1
෍
𝑖=0
𝑛
𝑖 ∗ 𝑖! = 0 ∗ 0! + 1 ∗ 1! + 2 ∗ 2! + ⋯ + (𝑛 ∗ 𝑛!) = (𝑛 + 1)! − 1
෍
𝑖=𝑝
𝑞
𝑖 = 𝑝 + 1 + 𝑝 + 2 + 𝑝 + 3 + … + (𝑞 − 1) + 𝑞 =
(𝑞 + 𝑝)(𝑞 − 𝑝 + 1)
2
෍
𝑖=1
𝑛
(4𝑘 − 1) = 3 + 7 + 11 + … + (4𝑛 − 1 − 1) + (4𝑛 − 1) = 𝑛(2𝑛 + 1)
෍
𝑖=1
𝑛
4𝑘 = 4 + 8 + 12 + … + (4𝑛 − 1) + 4𝑛 = 2𝑛(𝑛 + 1)

Sumatorias Notables
• Sumatoria de los n primeros números naturales
• Por ejemplo
෍
𝑖=1
𝑛
𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 𝑛 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
෍
𝑛=1
4
𝑛 = 1 + 2 + 3 + 4 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
=
4(4 + 1)
2
=
4(5)
2
=
20
2
=10
෍
𝑛=1
4
𝑛 =?

Sumatorias Notables
• Sumatoria de los n primeros números pares naturales
෍
𝑖=1
𝑛
2𝑖 = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
Por ejemplo
෍
𝑖=1
4
2𝑖 = 2 + 4 + 6 + 8 = 4 4 + 1 = 20

Sumatorias Notables
Sumatoria de los n primeros números impares
naturales
෍
𝑖=1
𝑛
2𝑖 − 1 = 1 +3 +5 +7 + … + ( 2n − 1 ) = n2
෍
𝑖=1
3
2𝑖 − 1 = 1 +3 +5 =n2 = 32 = 9
෍
𝑖=1
55
2𝑖 − 1 = 1 +3 +5+ ⋯ =n2 = 552 = 3025

Sumatorias Notables
Suma de los cuadrados de los n primeros números impares consecutivos
෍
𝑖=1
𝑛
(2𝑖 − 1)2
= 12
+ 32
+ 52
+ ⋯ (2𝑛 − 1)2
=
𝑛(2𝑛 − 1)(2𝑛 + 1)
3
Ejemplo
෍
𝑖=1
3
(2𝑖 − 1)2
= 12
+ 32
+ 52
=
3(2 ∗ 3 − 1)(2 ∗ 3 + 1)
3
=
3(6 − 1)(6 + 1)
3
=
3(5)(7)
3
= 35

Sumatorias Notables
Suma de los cuadrados de los n primeros números impares consecutivos
෍
𝑖=1
𝑛
(2𝑖 − 1)2
= 12
+ 32
+ 52
+ ⋯ (2𝑛 − 1)2
=
𝑛(2𝑛 − 1)(2𝑛 + 1)
3
Ejemplo
෍
𝑖=1
30
(2𝑖 − 1)2
= 12
+ 32
+ 52
… . . =
100(2 ∗ 100 − 1)(2 ∗ 100 + 1)
3
=
100(200 − 1)(200 + 1)
3
=
20(39)(41)
3
=1333300

5.3.1. Ejercicios de Sumatorias
෍
𝑘=1
𝑛
(2𝑘 − 1)2
=
෍
𝑘=1
𝑛
(4𝑘2 − 4𝑘 + 1) =
෍
𝑘=1
𝑛
4𝑘2
− ෍
𝑘=1
𝑛
4𝑘 + ෍
𝑘=1
𝑛
1 =
4 ෍
𝑘=1
𝑛
𝑘2
− 4 ෍
𝑘=1
𝑛
𝑘 + ෍
𝑘=1
𝑛
1 =
4𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
−
4𝑛 𝑛 + 1
2
+ 𝑛 =
2𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
3
− 2𝑛 𝑛 + 1 + 𝑛 =
2𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1 − 3 ∗ 2𝑛 𝑛 + 1 + 3𝑛
3
=
2𝑛2
+ 2𝑛 2𝑛 + 1 − 6𝑛 𝑛 + 1 + 3𝑛
3
=
=
4𝑛3
+ 2𝑛2
+ 4𝑛2
+ 2𝑛 − 6𝑛2
− 6𝑛 + 3𝑛
3
=
4𝑛3 − 𝑛
3
=
𝑛(4𝑛2 − 1)
3
=
𝑛((2𝑛)2−12)
3
=
𝑛(2𝑛 + 1)(2𝑛 − 1)
3

Uso de Fórmulas de Sumatorias
¿Cuántas Pelotas habrá en una piramide cuadrada de diez capas
de altura?

Usa las Fórmula de Sumas
Sabemos del ejemplo anterior que el enésimo término
de la sucesión es ai = i2
, donde i = 1, 2, 3, . . . , 10.
10

i = 1
i2
= 12
+ 22
+ + 102
. . .
10(11)(21)
=
6
= 385
Habrán 385 pelotitas en la pirámide.
=
6
10(10 + 1)(2 • 10 + 1)
EJEMPLO
Solución
Introducción a las Sucesiones
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6

5.4.1. Principio de Inducción Completa
• Sea P(n) una función proposicional, donde n Є N. Si ocurre que P(1) es
verdadera, y además, de la verdad P(h) se deduce la verdad de P(h+1),
entonces P(n) es verdadera para todo n.
• Hipótesis) P(1) es V
• Ɐh: P(h) => P(h+1)
• Tesis Ɐn: P(n) es V
• DEMOSTRACION.- El subconjunto S de números naturales para los
cuales P(n) es verdadera, contiene al 1, y al siguiente de h siempre que
contenga a h. Luego, por el teorema S=N. Es decir, P(n) es V para todo n
Є N

5.4.2. Ejemplo de Principio de inducción completa
• Demostramos por inducción completa:
• a) La suma de los n primeros números naturales es
𝑛(𝑛+1)
2
• Es decir, ⱯnЄN se verifica:
𝑆𝑛 = 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 =
𝑛 𝑛 + 1
2
• i) Debemos probar que la propiedad se verifica para n=1. En
este caso, la suma se deduce al primer término, y se tiene
𝑆1 = 1 =
1 1 + 1
2

5.4.3. Ejemplo de Principio de inducción
completa
• Demostración.- teniendo en cuenta la hipótesis inductiva, el primer miembro de
la tesis se transforma en
• 𝑆ℎ+1 = 1 + 2 + ⋯ + ℎ + ℎ + 1 =
• 𝑆ℎ + (ℎ + 1) =
ℎ ℎ+1
2
+ ℎ + 1
• Reduciendo a común denominador, y por distributividad
• 𝑆ℎ+1 =
ℎ ℎ+1 +2 (ℎ+1)
2
=
ℎ+1 (ℎ+2)
2
• Resulta entonces la fórmula anterior, válida para todo número natural n. De
acuerdo con ella, la suma de los 10 primeros números naturales es
• 𝑆10 = 𝑆9+1 =
10∗11
2
= 55

5.4.3. Ejemplo de Principio de inducción
completa
• 𝑠𝑛 =
1
1∗2
+
1
2∗3
+
1
3∗4
+…+
1
𝑛(𝑛+1)
=
𝑛
𝑛+1
• i) n=1=> 𝑠1 =
1
1∗2
=
1
2
=
1
1+1
• ii) P(h) es V => P(h+1) es V

Principio de
Inducción Completa

5.4.1. Principio de Inducción Completa
• Sea P(n) una función proposicional, donde n Є N. Si ocurre que P(1) es
verdadera, y además, de la verdad P(h) se deduce la verdad de P(h+1),
entonces P(n) es verdadera para todo n.
• Hipótesis P(1) es V
• Ɐh: P(h) => P(h+1)
• Tesis Ɐn: P(n) es V
• DEMOSTRACION.- El subconjunto S de números naturales para los cuales
P(n) es verdadera, contiene al 1, y al siguiente de h siempre que contenga a
h. Luego, por el teorema S=N. Es decir, P(n) es V para todo n Є N

5.4.3. a) DEMOSTRAR, para todo número natural n≥1
i) Paso básico p[1] = 1 1 + 1 =
1(1+1)(1+2)
3
hipotesis
2 = 2 por tanto V(p[1]) = V
ii) Paso inductivo
𝑝 𝑘 ⇒ ෍
𝑖=1
𝑘
𝑖 𝑖 + 1 =
𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
3
𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠
𝑝 𝑘 + 1 ⇒ ෍
𝑖=1
𝑘+1
𝑖 𝑖 + 1 =
𝑘 + 1 (𝑘 + 1) + 1 (𝑘 + 1) + 2
3
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠
෍
𝑖=1
𝑘
𝑖 𝑖 + 1 + 𝑘 + 1 [ 𝑘 + 1 + 1] =
𝑘 + 1 (𝑘 + 1) + 1 (𝑘 + 1) + 2
3
𝑘(𝑘+1)(𝑘+2)
3
+ (𝑘 + 1) 𝑘 + 2 =
𝑘+1 [(𝑘+1)+1][(𝑘+1)+2]
3
𝑘 𝑘+1 𝑘+2 +3(𝑘+1) 𝑘+2
3
=
𝑘+1 [(𝑘+1)+1][(𝑘+1)+2]
3
(𝑘+1)(𝑘+2)(𝑘+3)
3
=
𝑘+1 [(𝑘+1)+1][(𝑘+1)+2]
3
𝑘+1 [(𝑘+1)+1][(𝑘+1)+2]
3
=
𝑘+1 [(𝑘+1)+1][(𝑘+1)+2]
3
෍
𝑖=1
𝑛
𝑖 𝑖 + 1 =
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
3
De Izquierda a Derecha

5.4.3. a) DEMOSTRAR, para todo número natural n≥1
𝑝 𝑘 ⇒ ෍
𝑖=1
𝑘
𝑖 𝑖 + 1 =
𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
3
𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠
𝑝 𝑘 + 1 ⇒ ෍
𝑖=1
𝑘+1
𝑖 𝑖 + 1 =
𝑘 + 1 (𝑘 + 1) + 1 (𝑘 + 1) + 2
3
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠
෍
𝑖=1
𝑘+1
𝑖 𝑖 + 1 =
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)
3
෍
𝑖=1
𝑘+1
𝑖 𝑖 + 1 =
𝑘 𝑘 + 1 𝑘 + 2 + 3(𝑘 + 1) 𝑘 + 2
3
෍
𝑖=1
𝑘+1
𝑖 𝑖 + 1 =
𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
3
+ (𝑘 + 1) 𝑘 + 2
෍
𝑖=1
𝑘+1
𝑖 𝑖 + 1 = ෍
𝑖=1
𝑘
𝑖 𝑖 + 1 + 𝑘 + 1 [ 𝑘 + 1 + 1]
෍
𝑖=1
𝑘+1
𝑖 𝑖 + 1 = ෍
𝑖=1
𝑘+1
𝑖 𝑖 + 1
෍
𝑖=1
𝑛
𝑖 𝑖 + 1 =
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
3
❖ V(P[1]) = V y V( P[k+1] ) = V ⟹ V(P[k]) = V
De Derecha a Izquierda

5.4.3. b) DEMOSTRAR, para todo número natural n≥1
i) Paso básico
p[1] = 1 1 + 1 =
1(1+1)(1+2)
3
2 = 2 por tanto V(p[1]) = V (Hipótesis)
ii) Paso inductivo (de izquierda a derecha)
p[k] = 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + ⋯ + 𝑘(𝑘 + 1) =
𝑘(𝑘+1)(𝑘+2)
3
(tesis)
p[k+1] =2 + 6 + 12 + ⋯ + 𝑘 𝑘 + 1 + (𝑘 + 1) (𝑘 + 1) + 1 =
(𝑘+1) (𝑘+1)+1)((𝑘+1)+2
3
(Hipótesis)
𝑘(𝑘+1)(𝑘+2)
3
+ (𝑘 + 1) 𝑘 + 2 =
(𝑘+1) (𝑘+1)+1)((𝑘+1)+2
3
𝑘 𝑘+1 𝑘+2 +3(𝑘+1) 𝑘+2
3
=
(𝑘+1) (𝑘+1)+1)((𝑘+1)+2
3
(𝑘+1)(𝑘+2)(𝑘+3)
3
=
(𝑘+1) (𝑘+1)+1)((𝑘+1)+2
3
(𝑘+1) (𝑘+1)+1)((𝑘+1)+2
3
=
(𝑘+1) (𝑘+1)+1)((𝑘+1)+2
3
Por tanto si V(P[1]) = V y V( P[k+1] ) = V ⟹ V(P[k]) = V
2 + 6 + 12 + 20 + 30 + ⋯ + 𝑛(𝑛 + 1) =
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
3

5.4.3. b) DEMOSTRAR, para todo número natural n≥1
ii) Paso inductivo (de derecha a izquierda)
p[k] = 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + ⋯ + 𝑘(𝑘 + 1) =
𝑘(𝑘+1)(𝑘+2)
3
(tesis)
p[k+1] =2 + 6 + 12 + ⋯ + 𝑘 𝑘 + 1 + (𝑘 + 1) (𝑘 + 1) + 1 =
(𝑘+1) (𝑘+1)+1)((𝑘+1)+2
3
(Hipótesis)
2 + 6 + 12 + ⋯ + 𝑘 𝑘 + 1 + (𝑘 + 1) (𝑘 + 1) + 1 =
(𝑘+1)(𝑘+2)(𝑘+3)
3
2 + 6 + 12 + ⋯ + 𝑘 𝑘 + 1 + (𝑘 + 1) (𝑘 + 1) + 1 =
𝑘 𝑘+1 𝑘+2 +3(𝑘+1) 𝑘+2
3
2 + 6 + 12 + ⋯ + 𝑘 𝑘 + 1 + (𝑘 + 1) (𝑘 + 1) + 1 =
𝑘(𝑘+1)(𝑘+2)
3
+ (𝑘 + 1) 𝑘 + 2
2 + 6 + 12 + ⋯ + 𝑘 𝑘 + 1 + (𝑘 + 1) (𝑘 + 1) + 1 =2 + 6 + 12 + ⋯ + 𝑘 𝑘 + 1 + (𝑘 + 1) + (𝑘 + 1) 𝑘 + 2
❖Por tanto si V(P[1]) = V y V( P[k+1] ) = V ⟹ V(P[k]) = V
2 + 6 + 12 + 20 + 30 + ⋯ + 𝑛(𝑛 + 1) =
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
3

5.4.3. …
iii )Conclusión de I y II, se sigue que es posible aplicar el PIC, para
obtener la proposición universal verdadera:
• ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛 ≥ 1), ෍
𝑖=1
𝑛
𝑖 𝑖 + 1 =
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
3

5.5.1. Definición Factorial
f: N0 → N definida por
f(0)=1
f(1)=1
f(h+1)=(h+1)*f(h) si h>1
El Símbolo característico de la función factorial es !, en lugar
de f, se escribe h! para indicar f(h). De este modo lo anterior
se traduce en
0!=1
1!=1
(h+1)!=(h+1)*h!

5.5.1.1. Propiedad de Factorial
• El factorial del número natural n≥2 es igual al producto de los n primeros
números naturales
• N!=1*2*3*…….*n=n(n-1)(n-2)…….3*2*1
• Lo demostramos por inducción completa
• i) si n=2, entonces por definición se tiene
• 2!=2*1!=2*1
• ii) Hipótesis) h!= 1*2*3*……*(h-1)h
• Tesis (h+1)!=1*2*3*………h*(h+1)
• Demostración
• Aplicando al primer miembro de la tesis la definición de factorial, y la
hipótesis inductiva, se tiene
• (h+1)!= (h+1)*h!=(h+1)*h*(h-1)*………3*2*1

5.5.1.1. Ejemplos de Factorial
• Factorial de
2 ! = 2 * 1 = 2
3! = 3 * 2 * 1 = 6
7! = 7 * 6! = 7 * 6 * 5! = 7*6*5*4*3*2*1

5.5.2. Principios básicos de conteo.
• El principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para
determinar los posibles resultados cuando hay dos o más
características que pueden variar. En los metodos de conteo se
encuentran implícitas dos operaciones aritméticas fundamentales, la
multiplicación y la suma, y esto da origen a lo que se conoce como el
principio fundamental del producto y el principio fundamental de la
adición, En base a estos principios, es posible desarrollar los metodos
de conteo para establecer el numero de permutaciones o
combinaciones que se pueden obtener entre los elementos de un
conjunto de datos. Existen dos principios:
5.5.2.1. Principio de adición.
5.5.2.2. Principio de multiplicación.

5.5.2.1. Principio de adición.
• Este principio establece que si un evento se puede llevar a cabo en n
o m lugares distintos, además de no ser posible que se lleve a cabo el
mismo evento en dos lugares distintos al mismo tiempo, entonces el
evento se puede realizar de m + n maneras diferentes
• “Si dos operaciones son mutuamente excluyentes (es decir, si sólo
una de ellas puede ocurrir) y si la primera se puede hacer de n
maneras diferentes y la segunda operación se puede hacer de m
maneras diferentes, entonces hay n + m maneras de realizar la
primera o la segunda operación.”

5.5.2.2. Principio de multiplicación.
• “Si una operación se puede hacer de n maneras diferentes y si en
cada caso, una segunda operación se puede hacer de m maneras
diferentes, entonces hay m*n (m por n) maneras de realizar las dos
operaciones”
• Este principio establece que si una operación se puede hacer de n
formas y cada una de estas pueden llevarse a cabo m maneras
distintas en una segunda operación, se dice que juntas las
operaciones pueden realizar se de n x m formas distintas
• El principio de conteo puede extenderse a situaciones donde tenga
más de 2 opciones.

5.5.3. Definición de permutación.
• Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o
posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho
arreglo.
• Se llama permutación de n elementos a cada una de las diferentes
ordenaciones que se pueden hacer con esos elementos

5.5.3.1. Permutaciones distinguible
• El número de formas diferentes en que se pueden ordenar K1, k2, … , Kn
objetos iguales entre sí, cuando se toman uno por uno, es el factorial de
(K1, k2, … , Kn)! Entre los productos de los factoriales K1!, k2!, …, Kn!,
• Formas = ( K1, k2, … , Kn )! / ( K1!, k2!, …, Kn! )
• Ejemplo en una caja de dos canicas rojas y cinco verdes, si se extrae una
por una de la caja ¿De cuántas formas se puede esperar el resultado?
• Formas = ( 2 + 5 ) ! /(2! 5!) = 7! / 2! 5! = 5! *6 *7 / 2! 5! = 6*7/2 = 21

5.5.3. PERMUTACIONES(ord)
1. PERMUTACION SIN REPETICION o PERMUTACION SIMPLE
2. PERMUTACION CON REPETICION

5.5.3. 1. Permutación(ord) sin repetición o Permutación Simple
• Las permutaciones también llamadas ordenaciones sin repetición
consisten en agrupar n elementos cuando se toma todos los elementos,
que sea importante el orden, y estos elementos no se pueden repetir
en la permutación.
• Se representa por 𝑃𝑛 = 𝑛!
• ¿Cómo se forman?. Para construir las permutaciones sin repetición de
un conjunto de n elementos, tenemos que construir grupos de n
elementos sin que se puedan repetir. Por ejemplo
• De un elemento. A = {1}. Únicamente existe una permutación: 1.
• De dos elementos. A = {1,2}. P2=2! = 2. Las dos permutaciones son: 12 y
21.
• De tres elementos. A = {1,2,3}. P3 =3! = 6. Las seis permutaciones son:
123 , 132 , 213 , 231 , 312 y 321.

5.5.3. 1. Permutación(ord) sin repetición o Permutación
Simple
¿Cuántos números de 3 dígitos diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3?
• Datos: n = 3
• Sí entran todos los elementos, porque se pide números de 3 dígitos y los dígitos en
total son 3.
• Sí importa el orden, porque no es lo mismo el numero 123 que 321 .
• No se repiten los elementos, porque pide 3 dígitos diferentes ej. 123 y no 111.
• 𝑃𝑛 = 𝑛!
• 𝑃3 = 3! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 3 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑜𝑠
Permutaciones
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

5.5.3. 2. Permutación(ord) con Repetición
• Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer
elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...
(n = a + b + c + ... = n) son los distintos grupos que pueden formarse
con esos n elementos de forma que :
• Sí entran todos los elementos.
• Sí importa el orden.
• Sí se repiten los elementos.

5.5.3. 2. Permutación con Repetición
• Con las cifras 1, 1, 2, 2; ¿cuántos números de 4 cifras se pueden formar?
• Datos: n = 4 a = 2 b = 2
• Sí entran todos los elementos, porque pide 4 cifras y el total de dígitos son 4.
• Sí importa el orden, porque número 1122 no es igual 2211.
• Sí se repiten los elementos(1122).
• 𝑃𝑅𝑛
𝑎,𝑏,𝑐
=
𝑛!
𝑎!𝑏!𝑐!
• 𝑃𝑅4
2,2
=
4!
2!2!
=
4∗3∗2∗1
2∗1∗2∗1
=
4∗3∗2∗1
4
= 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6
Permutaciones…
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 2 1
2 2 1 1
2 1 1 2
2 1 2 1

5.5.4. COMBINACIONES
1. CONBINACION SIN REPETICION O COMBINACIÓN SIMPLE
2. COMBINACION CON REPETICION

5.5.4. Numero Combinatorios
• Sean los enteros no negativos n y k, tales que n ≥ k. Llamamos
números combinatorios “n sobre k”, al símbolo
𝑛
𝑘
definido por:
•
𝑛
𝑘
=
𝑛!
𝑘! 𝑛−𝑘 !

5.5.4. Ejemplo de Número Combinatorio
• Los elementos de un numero combinatorio se llaman numerador y
denominador
• Así
7
3
=
7!
3! ∗(7−3)!
=
7!
3! ∗ 4!
=
7∗6∗5∗4!
3!∗4!
=
7∗6∗5
3∗2∗1
= 35
𝑛
𝑘
=
𝑛!
𝑘! 𝑛−𝑘 !

5.5.4. Casos especiales de numero
combinatorio
•
0
0
=
0!
0!∗0!
= 1
•
𝑛
0
=
𝑛!
0!∗𝑛!
= 1
•
𝑛 + 1
𝑛
=
(𝑛+1)!
𝑛!∗1!
=
𝑛+1 𝑛!
𝑛!
= 𝑛 + 1
•
𝑛
1
=
𝑛!
1!(𝑛−1)!
=
𝑛 𝑛+1 !
(𝑛−1)!
= 𝑛
•
𝑛
𝑛
=
𝑛!
𝑛! 0!
= 1

5.5.4. 1. Combinación sin repetición o combinación
simple
• Se llama combinaciones sin repetición de n elementos tomados de m en m
(n ≥ m) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los n
elementos de forma que:
• No entran todos los elementos.
• No importa el orden.
• No se repiten los elementos.

simple
• Un alumno decide rendir tres de cinco exámenes(1,2,3,4,5).
• ¿De cuántas maneras distintas puede elegir esos tres exámenes?
• Datos: n=5 r=3
• No entran todos los elementos, en este caso solo 3 de 5 ex.
• No importa el orden, porq es lo mismo que decida 123 o 321.
• No se repiten los elementos, no puede elegir 111 .
• 𝐶𝑛
𝑟 =
𝑛!
𝑛−𝑟 !𝑟!
=
5!
5−3 !3!
=
5!
2!3!
=
5∗4∗3!
2!∗3!
=
5∗4
2!
= 10
Combinaciones
1 2 3
1 2 4
1 2 5
1 3 4
1 3 5
1 4 5
2 3 4
2 3 5
2 4 5
3 4 5

simple
• En una aula existen 5 alumnos(a,b,c,d,e) y se saludan entre ellos.
¿Cuántos saludos se han intercambiado en total?
• Datos: n=5 r=2
• No entran todos los elementos, solo se saludan de dos en dos.
• No importa el orden porque es lo mismo si B saluda C o C saluda a B.
• No se repiten los elementos, porque no se saluda A con A.
• 𝐶𝑛
𝑟
=
𝑛!
𝑛−𝑟 !𝑟!
=
5!
5−2 !2!
=
5∗4∗3!
3!2!
=
5∗4
2!
=
5∗4
2!
= 10
Combinac
A B
A C
A D
A E
B C
B D
B E
C D
C E
E D

5.5.4. 2. Combinación con repetición
• Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de m en m (n ≥
m), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
• No importa el orden.
• Sí se repiten los elementos.

5.5.4. 2. Combinación con repetición
• Si tenemos tres sabores de helado: chocolate, vainilla y limón. Puedes probar 2
cucharillas. ¿Cuántas variaciones hay?
• Datos: n = 3 r =2
• No entran todos los elementos, solo puede probar dos cucharillas.
• No importa el orden, es lo mismo probar “vainilla y limón” o “limón y vainilla”
• Sí se repiten los elementos, se puede probar dos veces el sabor limón, L L.
• 𝐶𝑅𝑛
𝑟
=
𝑛+𝑟−1 !
𝑟!(𝑛−1)!
=
3+2−1 !
2!(3−1)!
=
4!
2!2!
=
4∗3∗2∗1
2∗1∗2∗1
=
24
4
= 6
Combinac.
C C
C V
C L
V V
V L
L L

5.5.5. VARIACIONES
1. VARIACION SIN REPETICION o VARIACION SIMPLE
2. VARIACION CON REPETICION

5.5.5. 1. Variación sin Repetición o Variación Simple
• Se llama variaciones sin repetición o variación simple de n elementos tomados
de m en m (n ≥ m) a los distintos grupos formados por m elementos de forma que:
• Sí importa el orden.
• No se repiten los elementos.
• EJEMPLO
• De un elemento. Si tenemos un conjunto de cuatro elementos y queremos hacer
grupos de uno, únicamente podremos hacer cuatro grupos: 1 , 2 , 3 , 4.
• Y si queremos formar grupos de dos elementos. Se pueden obtener a partir de las
de orden uno añadiendo el segundo elemento. Como no se pueden repetir, el
segundo elemento puede ser cualquiera de los tres restantes. Así se obtienen:
• 12 , 13 , 14 , 21 , 23, 24 , 31 , 32 , 34 , 41 , 42 , 43.

5.5.5. 1. Variación sin Repetición o Variación Simple
• ¿Cuántos números de 2 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3 ?
• Datos: n = 3 m = 2 n ≥ m
• No entran todos los elementos, porque de los 3 dígitos entran sólo 2.
• Sí importa el orden, porque son números distintos el número 12 con 21.
• No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
• 𝑉
𝑛
𝑚
=
𝑛
𝑛−𝑚 !
=
3!
3−2 !
=
6
1!
= 6 números con dos cifras diferentes
Variac.
1 2
2 1
1 3
3 1
2 3
3 2

5.5.5. 2. Variación con repetición
• Variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m (de orden m) son
los distintos grupos de m elementos iguales o distintos que se pueden hacer con
los n elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún
elemento o en el orden de colocación.
• Se representa por 𝑉𝑅𝑛
𝑟
= 𝑛𝑟
• Para construir las variaciones con repetición, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y
vamos a construir todas las variaciones con repetición posibles.
• De un elemento. Si tenemos un conjunto de cuatro elementos y queremos hacer
grupos de uno, únicamente podremos hacer cuatro grupos sin ninguna posibilidad
de repetición: 1 , 2 , 3 , 4.
• De dos elementos. Se pueden obtener a partir de las de orden uno añadiendo el
segundo elemento. Como ahora se pueden repetir, el segundo elemento puede ser
cualquiera de los cuatro que tenemos. Así se obtienen: 11, 12 , 13 , 14 , 21 , 22 ,
23, 24 , 31 , 32 , 33 , 34 , 41 , 42 , 43 , 44.

5.5.5. 2. Variación con repetición
• ¿Cuántos números de dos cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3?
• Datos: n = 3 r = 2
• No entran todos los elementos. De 3 dígitos entran sólo 2.
• Sí importa el orden porque son números distintos el 12 con el 21.
• Sí se repiten los elementos, porque existe el numero 11
• 𝑉𝑅𝑛
𝑟 = 𝑛𝑟
• 𝑉𝑅𝑛
𝑟 = 32 = 9
Variación
1 1
1 2
1 3
2 1
2 2
2 3
3 1
3 2
3 3

5.6. Binomio de Newton
• 𝑎 ± 𝑏 𝑛 =
𝑛
0
𝑎𝑛𝑏0 ±
𝑛
1
𝑎𝑛−1𝑏1 +
𝑛
2
𝑎𝑛−2𝑏2 ± ⋯ ±
𝑛
𝑛
𝑎0𝑏𝑛
• Utilizando el símbolo de sumatoria, se reduce a:
𝑎 + 𝑏 𝑛 = ෍
𝑘=0
𝑛
𝑛
𝑘
𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘
En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los
signos positivos y negativos.
En el desarrollo del binomio los exponentes de “a” van disminuyendo, de uno
en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de
cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de “a” y de “b” en cada
término es igual a n.
El número de termino es n+1

5.6.2. Ejemplo de Binomio de Newton
• Desarrollar : (a +b) 5
𝑎 + 𝑏 5
=
5
0
(𝑎)5
(𝑏)0
+
5
1
(𝑎)4
(𝑏)1
+
5
2
(𝑎)3
(𝑏)2
+
5
3
(𝑎)2
(𝑏)3
+
5
4
(𝑎)1
(𝑏)4
+
5
5
(𝑎)0
(𝑏)5
• (a+b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5
• (a+b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
𝑎 + 𝑏 𝑛 = ෍
𝑘=0
𝑛
𝑛
𝑘
𝑎 + 𝑏 5
= ෍
𝑘=0
5
5
𝑘
𝑎5−𝑘
𝑏𝑘

5.6.2. Ejemplo de Binomio de Newton
• Desarrollar : (-x + 2y) 5
= −𝑥 + 2𝑦 5=
5
0
(−𝑥)5(2𝑦)0+
5
1
(−𝑥)4(2𝑦)1+
5
2
(−𝑥)3(2𝑦)2+
5
3
(−𝑥)2(2𝑦)3+
5
4
(−𝑥)1(2𝑦)4+
5
5
(−𝑥)0(2𝑦)5
• = −𝑥5 + 10𝑥4𝑦 − 40𝑥3𝑦2 + 80𝑥2𝑦3 − 80𝑥𝑦4 + 32𝑦5
𝑎 + 𝑏 𝑛 = ෍
𝑘=0
𝑛
𝑛
𝑘

5.6. Binomio de Newton – Triangulo de pascal
• Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la
fila enésima del triángulo de Pascal.

( a + b )5 = ?
•(a+b)5 = 1 5 10 10 5 1
•(a+b)5 = 1ab 5ab 10ab 10ab 5ab 1ab
•(a+b)5 = 1a5b0 + 5a4b1 + 10a3b2 + 10a2b3 + 5a1b4 + 1a0b5
•(a+b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Termino 1 2 3 4 5 6

5.6.1. Sumatoria de todos los
coeficientes
•2n es la sumatoria de todos los coeficientes
•Si n = 3 entonces 23 = 8

Termino de Lugar
del
Binomio de Newton

5.6.2. Termino de lugar del binomio de
Newton
𝑇𝑘+1 =
𝑛
𝑘
𝑎𝑛−𝑘
𝑏𝑘
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑛
𝑇𝑘+1 = −1 𝑘 𝑛
𝑘
𝑎𝑛−𝑘
𝑏𝑘
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 − 𝑏 𝑛

𝑇𝑘+1 =
𝑛
𝑘
𝑎𝑛−𝑘
𝑏𝑘
Si (a+b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Sea (a+b)5 hallar 4to termino utilizando la formula de termino
Datos n=5
𝑇𝑘+1 =
𝑛
𝑘
𝑇4 = 𝑇3+1 =
𝑛
𝑘
𝑎𝑛−𝑘
𝑏𝑘
por tanto k = 3
𝑇4 =
5
3
𝑎5−3
𝑏3
𝑇4=
5!
3!∗ 5−3 !
𝑎2𝑏3
𝑇4=
3!∗4∗5
2!∗3!
𝑎2
𝑏3
𝑇4 = 10 𝑎2
𝑏3

5.6.2. Ejemplos de hallar el h termino
• Sea 2𝑎 − 𝑎2 8
Hallar 4to termino ?
𝑇3+1 =
8
3
(2𝑎)8−3
(−𝑎2
)3
𝑇4 =
8
3
(2𝑎)5
(−𝑎2
)3
𝑇4 =
8!
5! 8 − 5 !
25
𝑎5
−𝑎6
= −
8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5!
5! 3 !
25
𝑎5
𝑎6
= −
8 ∗ 7 ∗ 6
6
25
𝑎5
𝑎6
𝑇4 − 56 ∗ 32𝑎11
= −1792 𝑎11
Hallar el 6to termino
𝑇5+1 =
8
5
(2𝑎)3
(−𝑎2
)5
𝑇6 = −
8
5
8𝑎13
𝑇𝑘+1 =
𝑛
𝑘
𝑎𝑛−𝑘
𝑏𝑘

5.6.2. Determinar el TERMINO 31 del siguiente binomio:
• 3𝑥3
−
2
𝑥
37
• Datos n=37, a= 3𝑥3 , b =
2
𝑥
• 𝑇31 = −1 𝑘 𝑛
𝑘
• 𝑇30+1 = −1 30 37
30
∗ (3𝑥3)37−30∗
2
𝑥
30
• 𝑇30+1 =
37!
30! 37−30 !
∗ (3𝑥3
)7
∗
2
𝑥
30
• 𝑇30+1 =
37!
30!7!
∗ 37
𝑥21
∗
230
𝑥30
• 𝑇30+1 =
37!
30!7!
∗ 37230 ∗
𝑥21
𝑥30
• 𝑇30+1 =
37!
30!7!
∗ 37
230
∗
1
𝑥9
• 𝑇30+1 =
37!∗37∗ 230
30! 7! 𝑥9
𝑇𝑘+1 = −1 𝑘 𝑛
𝑘
𝑎𝑛−𝑘
𝑏𝑘

5.6.2. Determinar el TERMINO DE GRADO 31 en el desarrollo:
• 3𝑥3
−
2
𝑥
37
• Datos n=37, a= 3𝑥3
, b =
2
𝑥
, k = ?
• 𝑇𝑘+1 = −1 𝑘 𝑛
𝑘
𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 − 𝑏
𝑛
• 𝑇𝑘+1 = −1 𝑘 37
𝑘
(3𝑥3
)37−𝑘 2
𝑥
𝑘
• 𝑇𝑘+1 =
37
𝑘
337−𝑘
𝑥3(37−𝑘) 2𝑘
𝑥𝑘
• 𝑇𝑘+1 =
37
𝑘
337−𝑘
𝑥111−3𝑘 2𝑘
𝑥𝑘
• 𝑇𝑘+1 =
37
𝑘
337−𝑘
𝑥111−3𝑘
2𝑘
𝑥−𝑘
• 𝑇𝑘+1 =
37
𝑘
337−𝑘
2𝑘
𝑥(111−3𝑘)−𝑘
• 𝑇𝑘+1 =
37
𝑘
337−𝑘
2𝑘
𝑥111−4𝑘
• 𝑇𝑘+1 =
37
𝑘
337−𝑘
2𝑘
𝑥111−4𝑘
• Por condición del problema
• 111-4k = 31
• 111-31=4k
• 80=4k
• 80/4 = k
• K=20 respuesta.
𝑎 ± 𝑏 𝑛
=
𝑛
0
𝑎𝑛
𝑏0
±
𝑛
1
𝑎𝑛−1
𝑏1
+
𝑛
2
𝑎𝑛−2
𝑏2
± ⋯ ±
𝑛
𝑛
𝑎0
𝑏𝑛
3𝑥3
−
2
𝑥
37
=
37
0
337
𝑥111
−
37
1
336
2𝑥107
± ⋯
37
𝑘
337−𝑘
2𝑘
𝑥31
… ±
𝑛
𝑛
𝑎0
𝑏𝑛

5.6.2. Por tanto el término general o termino de lugar k+1 de grado 31 es:
• 3𝑥3
−
2
𝑥
37
• Datos n=37, a= 3𝑥3 , b =
2
𝑥
, k=20
• 𝑇𝑘+1 = −1 𝑘 𝑛
𝑘
• 𝑇20+1 = −1 20 37
20
(3𝑥3)37−20 2
𝑥
20
• 𝑇20+1 =
37
20
(3𝑥3)17220𝑥−20
• 𝑇20+1 =
37
20
317
𝑥3∗17
220
𝑥−20
• 𝑇20+1 =
37
20
317220𝑥51−20
• 𝑇20+1 =
37
20
317220𝑥31
𝑇𝑘+1 = −1 𝑘 𝑛
𝑘
𝑎𝑛−𝑘
𝑏𝑘

5.6.3. TÉRMINO CENTRAL
• Para n par
• k = n / 2
• Ejemplo: Determine el término central en el desarrollo de ( p + q )8 .
Datos
n=8
K = 8/2 = 4
𝑇4+1 =
8
4
𝑝8−4𝑞4 =
8!
4! ∗ 8 − 4 !
𝑝4𝑞4 =
8!
4! ∗ 4 !
𝑝4𝑞4 = 70𝑝4𝑞4
• Por lo tanto el término central es 70 p 4 q 4 .
𝑇𝑘+1 =
𝑛
𝑘
𝑎𝑛−𝑘
𝑏𝑘

• Para n impar existen dos términos centrales
• K1=(n-1)/2 y k2 = (n+1)/2
• Si ( a + b )5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
• Ejemplo: Determine los términos centrales en el desarrollo de ( a + b ) 5 .
• Sol. K1=(5-1)/2 = 2 y k2 = (5+1)/2 k = 3
• 𝑇2+1 = −1 2 5
2
𝑎5−2𝑏2 = +1 ∗
5!
2!∗ 5−2 !
𝑎3(𝑏)2=
5∗4∗3!
2!∗3!
𝑎3𝑏2 = 10𝑎3𝑏2
• 𝑇3+1 = −1 3 5
3
𝑎5−3𝑏3 =
5!
3!∗ 5−3 !
𝑎2𝑏3 =
5∗4∗3!
3!∗2!
𝑎2𝑏3 = 10𝑎2𝑏3
𝑇𝑘+1 = −1 𝑘 𝑛
𝑘
𝑎𝑛−𝑘
𝑏𝑘

• Para n impar existen dos términos centrales
• K1=(n-1)/2 y k2 = (n+1)/2
• Ejemplo: Determine los términos centrales en el desarrollo de ( a – b ) 7 .
• Sol. K1=(7-1)/2 = 3 y k2 = (7+1)/2 k = 4
• 𝑇3+1 = −1 3 7
3
𝑎7−3𝑏3 = −1
7!
3!∗ 7−3 !
𝑎4(𝑏)3= −
7∗6∗5∗4!
3!∗4!
𝑎4𝑏3 = −35𝑎4𝑏3
• 𝑇4+1 = −1 4 7
4
𝑎7−4𝑏4 =
7!
4!∗ 7−4 !
𝑎3𝑏4 =
7∗6∗5∗4!
4!∗3!
𝑎3𝑏4 = 35𝑎3𝑏4
𝑇𝑘+1 = −1 𝑘 𝑛
𝑘
𝑎𝑛−𝑘
𝑏𝑘

5.6.3.
2.- Determinar el entero positivo n para el que
෍
𝑗=1
2𝑛
𝑗 = ෍
𝑗=1
𝑛
𝑗2
2𝑛(2𝑛 + 1)
2
=
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
6n(2n+1)= n(n+1)(2n+1)
12n2+6n = (n2+n)(2n+1)
12n2+6n =2n3+n2+2n2+n
0= 2n3+n2+2n2+n - 12n2 -6n
0= 2n3+9n2 -6n
0=n(2n2+9n -6)
0= n(n-5)(2n+1)
0= n(n-5)(2n+1)
n1=0 no entero positivo
n2=5 entero positivo
n3=-1/2 negativo …no es entero
Prueba
2𝑛(2𝑛 + 1)
2
=
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
2 ∗ 5(2 ∗ 5 + 1)
2
=
5(5 + 1)(2 ∗ 5 + 1)
6
55=55

5.6.3.
3.- En el desarrollo de 𝑥 3 + 𝑥−
1
3
𝑛
, la suma de todos los coeficientes es igual a
128.Determinar el coeficiente del término que presenta como parte literal a 𝑥5
Suma de todos los coeficientes es
igual a:
2n = 128
2n = 27
n=7
• Datos n=7, a= 𝑥 3
, b =𝑥−
1
3 , k=?
• 𝑇𝑘+1 =
𝑛
𝑘
𝑇𝑘+1 =
7
𝑘
( 𝑥
3
)7−𝑘
(𝑥−
1
3)𝑘
𝑇𝑘+1 =
7
𝑘
( 𝑥
3
)7−𝑘(𝑥−
1
3)𝑘
𝑇𝑘+1 =
7
𝑘
( 𝑥
3
)7−𝑘(𝑥−
1
3)𝑘
𝑇𝑘+1 =
7
𝑘
(𝑋
3
2)7−𝑘(𝑥−
1
3)𝑘
𝑇𝑘+1 =
7
𝑘
𝑋
21
2 −
3𝐾
2 𝑋−
𝐾
3
𝑇𝑘+1 =
7
𝑘
𝑋
21
2
−
3𝐾
2
−
𝐾
3
𝑇𝑘+1 =
7
𝑘
𝑋
21
2 −
11𝐾
6

5.6.3. EJEMPLOS
𝑇𝑘+1 =
7
𝑘
𝑋
21
2 −
11𝐾
6
21
2
− 11𝐾
6
=5 (6)
3*21-11K=30
63-11K=30
63-30=11K
33=11K
33/11= K
K=3
Calculando
coeficiente
7
3
=
7!
7−3 !3!
=
4!5∗6∗7
4!6
=5 ∗ 7 = 35
El coeficiente del
termino x5 es igual a
35

EJERCICIOS DE LOS SUBTEMAS DESCRITOS
ANTERIORMENTE

Ejercicio.- En una liga de futbol participan 20 equipos de y se juegan 2 rondas (ida y
vuelta) todos contra todos. Si para definir al campeón se juega adicionalmente una liguilla
todos contra todos con los 8 mejores equipos de la ruedas ya jugadas. Cuántos partidos
se juegan en total para determinar al campeón? SOLUCION
• 1 RONDA con 20 equipos se juega de dos en dos
• No entran todos los elementos, solo se juegan de dos en dos.
• No importa el orden porque es lo mismo si 1er equipo juega con el 2do o si el 2do juega con el 1er
• No se repiten los elementos, porque no se puede jugar el 1er equipo contra el 1er equipo.
• Datos n= 20 y r = 2
• 𝐶𝑛
𝑟
=
𝑛!
𝑛−𝑟 !𝑟!
=
20!
20−2 !2!
=
20∗19∗18!
18!2!
=
20∗19
2
=
10∗19
1
= 190
• Liguilla con los 8 mejores equipos
• Datos n= 8 y r =2
• 𝐶𝑛
𝑟
=
𝑛!
𝑛−𝑟 !𝑟!
=
8!
8−2 !2!
=
8∗7∗6!
6!2!
=
8∗7
2!
=
4∗7
1
=28
• En la primera ronda se jugaron 190 partidos en una ronda y en dos rondas otros 190 partidos
• Y en la liguilla se jugaron 28 partidos
• En total se jugaron 190 partidos + 190 partidos + 28 partidos = 408 partidos
• Se jugaron 408 partidos para determinar al campeón

Ejemplo EXAMEN 3 2016
• 1.- Un estudiante universitario ha adquirido 4 libros de física diferentes y 3
libros de química diferentes. Se debe ubica en un estante con espacio para
7 libros de Cuantas maneras diferentes podrán ubicarlos, si los libros de
Química deben ir juntos?
Solo los libros de química
Si/ Si / No …. n! = 3! = 6
Los Libros de Física
Si/Si/No … n! = 5! =120
3! X 5! =720 maneras diferentes se podrán ubicarlos si los libros de Química
deben ir juntos.
Q1 Q2 Q3
F1 F2 Q1 Q2 Q3 F3 F4

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