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Prof. Wenceslao Quispe Ticona

Matem´ ticas
a

´
POTENCIACION
Si se tiene un producto de factores iguales, entonces se puede expresar como una potencia.
Ejercicio 0.0.1. Observa el ejemplo y escribe en forma de potencia estos productos:
1) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25

4) 9 × 9 =

7) 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 =

2) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 =

5) 4 × 4 × 4 × 4 =

8) 2 × 2 =

3) 8 × 8 × 8 =

6) 5 × 5 × 5 =

9) 10 × 10 × 10 =

Potenciacion de numeros naturales
´
´

Ejercicio 0.0.2. Desarrolla y encuentra las potencias.

´
´
Es la operacion que consiste en multiplicar un numero
llamado base por si mismo, tantas veces como lo indica
´
otro llamado exponente; al resultado de esta operacion
se le denomina potencia.

1. 33 = 3 × 3 × 3 = 27

10. 35 =

2. 72 =

11. 1200 =

Ojo: 52 nos dice en palabras: “multiplica al n´ mero cinco
u
por s´ mismo dos veces.”
ı

3. 54 =

12. 44 =

25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

4. 82 =

13. 83 =

5. 122 =

14. 26 =

6. 32 =

15. 93 =

7. 43 =

16. 123 =

8. 113 =

17. 154 =

9. 25 =

18. 1203 =

52 = 5 × 5 = 25

Ojo: 25 nos dice en palabras: “multiplica al n´ mero dos
u
por s´ mismo cinco veces.”
ı

Definicion
´
´
´
Si a y n son numeros naturales, la potencia n-esima del
´
numero a se define del siguiente modo:
an

= a × a × a...a
n−veces

T´ rminos de la potenciacion
e
´
Exponente
Base

23 = 8

Potencia

Ejercicio 0.0.3. Indica en cada caso cu´ l es la Base y cu´ l el Exponente:
a
a
52 ⇒ 5 es la base, 2 el exponente

32 ⇒

(−3)5 ⇒

50 ⇒

− 42 ⇒

63 ⇒

(−3)4 ⇒

102 ⇒

´
¿Como se leen las potencias? Una potencia se puede leer de distintas formas:
52 = 25
23 = 8
24 = 16

Se lee:
Se lee:
Se lee:
Tambien se lee:
Tambien se lee:
Tambien se lee:

“5 al cuadrado es igual a 25”
“2 al cubo es igual a 8”
“2 elevado a la cuarta es igual a 16”
“2 a la cuarta es igual a 16”
“2 a la cuatro es igual a 16”
“La cuarta potencia de dos es igual a 16”

1

Cuando el
Cuando el
1ra forma
2da forma
3ra forma
4ta forma

exponente es dos
exponente es tres
para cualquier exponente
para cualquier exponente
para cualquier exponente
para cualquier exponente
´
Potenciacion

Matem´ ticas
a

´
´
POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS
´
Observemos las siguientes potenciaciones. En ellas, la base es un numero entero y el exponente es un
´
numero natural.
§

§

§

¤

+
(+4)3 = (+4) · (+4) · (+4) = ¦ 64 ¥

¤

§

¤

§

¤

+
(−5)2 = (−5) · (−5) = ¦ 25 ¥

¤

+
(−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = ¦ 16 ¥

−
(−3)3 = (−3) · (−3) · (−3) = ¦ 27 ¥

+
(+3)4 = (+3) · (+3) · (+3) · (+3) = ¦ 81 ¥

−
(−6)3 = (−6) · (−6) · (−6) = ¦ 216 ¥

§

¤

El resultado, es decir, la potencia, se obtiene multiplicando la base por s´ misma de tal manera que en el
ı
desarrollo la base aparece como factor tantas veces como indica el exponente.
´
El signo de la potencia se obtiene aplicando la regla de los signos de la multiplicacion de enteros:
´
iplicacion

mult
Ley de signos de la

´
´
as da mas
´
+ · + = + Mas por m
da menos
enos
´
+ · − = − Mas por m
´
por menos da mas
− · − = + Menos
´
r mas da menos
− · + = − Menos po

El signo de la m
ultiplicacion tam
´
bien se simbo
´
liza por un pu
nto (·):
2·2=4

´
´
´
La potencia n-esima de un numero entero es el resultado de una multiplicacion en la que
´
el numero aparece como factor n veces.
an = a × a × a . . . a donde a ∈ Z , n ∈ N, y n mayor que > 1
n−veces

(−5)4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625
(−7)3 = (−7) · (−7) · (−7) = −343

´
REGLA DE SIGNOS DE LA POTENCIACION
1° Regla: Toda potencia de exponente par siempre es positiva.

(+) par = +

Ejemplo −→ (+2)4 = +16

(−) par = +

Ejemplo −→ (−3)2 = +9

2° Regla: Toda potencia de exponente impar tiene el mismo signo de la base.

(+)impar = +

Ejemplo −→ (+2)3 = +8

(−)impar = −

Ejemplo −→ (−2)5 = −32

Ejercicio 0.0.4. Escribe con numeros.
´
a)
b)
c)
d)

Positivo 8 elevado al cuadrado.
Negativo 2 elevado a la cuarta potencia.
Positivo 15 elevado al cubo.
Negativo 16 elevado al cuadrado.

e) Negativo 15 elevado a la sexta potencia.
f) Positivo 7 elevado a la quinta.
g) Positivo 3 elevado a la cuarta potencia.
h) Negativo 2 elevado a la sexta potencia.
2
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Matem´ ticas
a

Ejercicio 0.0.5. Expresa como un desarrollo de factores y calcula la potencia.
f) (−55)2 =

a) (−5)3 = (−5) · (−5) · (−5) = -125
b) (−6)4 =

g) (+8)3 =

c) (−9)5 =

h) (−10)3 =

d) (+12)3 =
e) (+22)3 =

i) (+3)5 =

Ejercicio 0.0.6. Completa las tablas
´
Potenciacion

Base
(−2)

Exponente

´
Potenciacion

Potencia
16

Exponente

Potencia

4

(+32)

(−3)5

Base

64
16

3

(−8)
(+7)

3

Ejercicio 0.0.7. Sin encontrar la potencia determina su signo.
a) (−8)6 = +

d) (−17)470 =

g) (+20)17 =

j) (+200)17 =

b) (−19)5 =

e) (+30)30 =

h) (−20)17 =

k) (+15)371 =

c) (−278)23 =

f) (+12)16 =

i) (−13)20 =

l) (−23)268 =

Ejercicio 0.0.8. Completa el cuadro siguiente.
Forma potencial

Base

Exponente

(+2)

7

(−10)

(−3)

Forma desarrollada

4

Potencia

6

(−4) · (−4) · (−4) · (−4) · (−4)
125

Para tener en cuenta:
´
La expresion (− a)n no significa lo mismo que − an .

(− a)n = − an
• (−7)2 = (−7) · (−7) = +49
• −72 = − (7 · 7) = − (49) = −49
Ejercicio 0.0.9. Calcula las siguientes potencias:
a. (−8)2 = +64

e. (−16)3 =

i. (+5)3 =

b. −82 =

f. −26 =

j. (−7)2 =

c. (−9)3 =

g. (−7)3 =

k. −92 =

d. −93 =

h. −64 =

l. (−5)−2 =

3
´
Potenciacion

Matem´ ticas
a

EXPONENTE CERO, EXPONENTE UNO Y EXPONENTE NEGATIVO
Exponente cero
´
Un numero entero (distinto de cero) elevado a exponente cero, es igual a uno.

Exponente uno
´
Un numero entero (distinto de cero) elevado a exponente uno, es igual a ese mismo
´
numero.
a1 = a

a0 = 1 donde a = 0

Ejemplos:

Ejemplos:

41 = 4

0

2 =1

61 = 6

50 = 1

2501 = 250

1500 = 1

Se conviene en no escribir el exponente 1
porque se lo sobreentiende.

10000 = 1

Ejercicio 0.0.10. Calcula las potencias de exponente cero y exponente uno.
30 =
(−4)1 =
650 =
630 =
Ejercicio 0.0.11. Observa el ejemplo y resuelve.
1) 2 + 51 + 4 + 30 − 3 =

3541 =
(−7)0 =

10000 =
57431 =

2) 4 + 101 − 4 + 3 − 80 =

15240 =
(−64)0 =

3) 50 − 7 + 120 − 31 + 4 − 7 =

2+5+4+1−3=
12 − 3 =
£  

= ¢9 ¡

Exponente negativo
´
Un numero entero (distinto de cero) elevado a un
exponente negativo, es igual a 1 dividido entre el
´
numero entero elevado al mismo exponente pero
con signo positivo.
a−n =

1
an

Ejercicio 0.0.12. Resuleve las siguientes potencias.
1. 3−3 =
2. (−3)−2 =

donde a = 0, n ∈ N
3. 4−2 =

Ejemplos:
1
1
=
4
16
2
1
1
5−2 = 2 =
5
25
1
1
1
=
=−
(−4)−3 =
3
−64
64
(−4)
2−4 =

4. (−2)−3 =
5. (−1)−5 =
6. 5−2 =

Para tener en cuenta.

§

¤

´
• El 1 elevado a cualquier numero entero es igual a 1: ¦ n = 1 ¥
1

§

¤

´
• El 0 elevado a cualquier numero entero positivo es igual a 1: ¦ n = 1; n > 0 ¥
0
§

¤

´
• Un numero entero (distinto de 0) elevado a 0 es igual a 1: ¦ 0 = 1; n = 0 ¥
n
§

¤

´
´
• Cualquier numero entero elevado a 1 es igual al mismo numero: ¦ 1 = n ¥
n
4
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Matem´ ticas
a

´
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION
´
FORMULACION

´
Multiplicacion
de potencias
de la misma
base

EJEMPLOS

Es igual a la base elevada a
la suma de los exponentes.

PROPIEDAD

• 32 · 33 = 32+3 = 35

§

• (−4)−2 · (−4)7 = (−4)−2+7 = (−4)5

¤

m+n
am n
¦ ·a =a
¥

• 22 · 2−3 · 24 · 2−5 = 22+(−3)+4+(−5) = 26−8 = 2−2

Es igual a la base elevada a
la diferencia de los
exponentes.

´
Division de
potencias de la
misma base

§

• 57 ÷ 55 = 57−5 = 52
• 7−5 ÷ 7−4 = 7−5−(−4) = 7−5+4 = 7−1

¤

• (−2)3 ÷ (−2)−2 = (−2)3−(−2) = (−2)3+2 = (−2)5

n
m−n
am
¦ ÷a =a
¥

Es igual a la primera base
elevada al producto de los
exponentes.

Potencia de
una potencia

§

¥

( am )n = am·n

§
¦

¥

§
¦

4 2

= (−5)3×2 = (−5)6

= 72×4×2 = 716

• (−2)3 · (−3)3 = [(−2) · (−3)]3 = 63

• (8 ÷ 4)2 = 82 ÷ 42
• [6 ÷ (−4)]3 = 63 ÷ (−4)3

¤
¥

( a ÷ b)n = an ÷ bn

2

• ( 3 · 4 ) 2 = 32 · 42

La potencia de un cociente
es igual al cociente entre la
potencia del dividendo y la
potencia del divisor.

Potencia de
´
una division

= 24×3 = 212

• ( 2 · 3 ) 5 = 25 · 35

¤

( a · b)n = an · bn

72

•

La potencia de un producto
es igual al producto de las
potencias de los factores.

Potencia de
una
´
multiplicacion

3

• (−5)3

¤

¦

• 24

• 104 ÷ 44 = (10 ÷ 2)4 = 54

Ejercicio 0.0.13. Expresa el resultado en forma de potencia aplicando las propiedades de la potenciaci´ n.
o
1) 52 · 55 · 54 = 5 2+5+4 = 511

2

3) (−9) ÷ (−9) =

5)
6)

(−2)3
32

· 22

2

5

10) (−2) · (−2) · (−2)
11) (+8)5 ÷ (+8)3 =

=
4

=

=

7) (−5)3 · (+2)3 =

(−2)−3

2

=

2

9) (+6) ÷ (−3) =

5

3

15)

2

2) 86 ÷ 84 =

4) 52

8) 83 ÷ 43 =

−4

16) (−6)3 · (+5)3 =

=
17) (−8)−2 ÷ (+4)−2 =

12) 45 ÷ 48 =

18) (−2)3 · (−2)4 · (−2)5 =

13) (−3)6 ÷ (−3)6 =

19) ( a · b · c)m =

14)

(−5)2

3

20) am · an · a p =

=
5
´
Potenciacion

Matem´ ticas
a

ANALISIS
2

es igual a 23·2 ?

¿Por qu´ 23 · 24 es igual a 23+4 ?
e

¿Por qu´ 23
e

Recordemos que 23 nos indica que debemos
´
multiplicar el numero 2 por si mismo 3 veces. De
´
manera semejante, la expresion 24 nos indica que
´
debemos multiplicar el numero 2 por s´ mismo 4
ı
veces. Entonces, al multiplicar de tiene:

´
Es claro que el numero 2 nos indica que debemos
´
´
multiplicar el numero que aparece entre parentesis
por s´ mismo 2 veces. Pero por la primera propiedad,
ı
´
que nos dice que cuando se estan multiplicando
potencias con la misma base los exponentes se
suman, el exponente resultante debe ser el producto
de 3 por 2 Esto es:

23 · 24 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 27
3 veces

23

4 veces

2

= 23 · 23 = 23+3 = 26
2 veces

Vemos que en total terminamos multiplicando 7
´
veces el numero 2, por eso debemos sumar los
exponentes:

Para simplificar este proceso largo multiplicamos los
exponentes 3 por 2
23

23 · 24 = 23+4 = 27

2

= 23·2 = 26

Observa el ejemplo:
84 · 162 = 23

4

· 24

2

= 212 · 28 = 220

Ejercicio 0.0.14. Expresa como una sola potencia aplicando las propiedades de la potenciaci´ n
o
1) 34 · 92 =

6) 81−1 · 3−3 =

2) 84 · 162 =

7) 92 · 27 =

3) 54 · 253 =

8) 362 · 6 =

4) 47 · 32 =

9) 100 · 22 =

5) 16−1 · 23 =

10) 81 · 42 =

Observa el ejemplo y analiza.
25 · 16 = 52 · 42

Expresamos el 25 como potencia de 52 y 16 como potencia de 42

= (5 · 4)2

Aplicamos la propiedad distributiva reciprocamente ( a · b)n = an · bn

= 202
= 400

Multiplicamos dentro del parentesis
Encontramos la potencia

Ejercicio 0.0.15. Aplica las propiedades de la potenciaci´ n igual que en el ejemplo anterior.
o
1) 16 · 9 =

3) 16 · 64 =

5) 25 · 4 =

2) 27 · 8 =

4) 4 · 81 =

6) 36 · 49 =

6
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Matem´ ticas
a

25
¿Por qu´ 3 es igual a 25−3 ?
e
2
´
En el numerador, 25 nos indica que debemos multiplicar el numero 2 por si mismo 5 veces.
´
En el denominador, 23 nos indica que debemos multiplicar el numero 2 por si mismo 3
veces. Entonces se tiene:
2·2·2·2·2
25
=
3
2·2·2
2
Cancelando factores en el numerador y el denominador.
2·2·2·2·2
25
¡ ¡ ¡
=
= 2 · 2 = 22
2·2·2
23
¡ ¡ ¡
De los cinco factores que hab´a en el numerador, se cancelaron 3 con los factores que
ı
estaban en el denominador. Por eso restamos los exponentes.
25
= 25−3 = 22
23
Ejercicio 0.0.16. Indica la propiedad aplicada en cada numeral
1. 1200 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. 01 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. (2 × 3)3 = 23 × 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. 2001 = 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

= 4 2×3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. (20 ÷ 5)3 = 203 ÷ 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. 150 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. (30 ÷ 5)2 = 302 ÷ 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. 42

Ejercicio 0.0.17. Miscelanea
1) 23 + 32 − 52 =

9) 122

1

17) 42 · (−2)1 · 20 =

=

18) 52 · (−2)2 · 22 =

2) 22 + 33 − 4‘2 =

10) 74 ÷ 7−3 =

3) 52 · 22 + 32 − 34 =

11) 63 ÷ (−3)3 =

4) (−2)3 + 52 (−7)1 + (−9)0 =

12) 62 ÷ (2)2 =

5)

24

6)

6−2

4

3

· (−4) =

13) (−5) ÷ (−5)
3

·6=
2

19) (−3)−2 · (−3)6 · (−3)−4 =
20) (−2)3 · 24 · 2−3 · (−2)2 =
−2

=

3

14) (−12) ÷ (−6) =
5

10

13

7) (−2) · (−2) =

15) (−15)

8) 23 · (−2)4 =

16) (−6)2 ÷ (2)2 =

÷ (−15) =

7

21) (−3)2
22)

23

−3

−2 3

=

=

42 · 4 − 3 · 45
23) −1 3 2 =
4 ·4 ·4
24)

(−2)3 · (−2)−4 · (−2)
=
[(−2)2 ]3 · (−2)−2

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Potenciación

  • 1. Prof. Wenceslao Quispe Ticona Matem´ ticas a ´ POTENCIACION Si se tiene un producto de factores iguales, entonces se puede expresar como una potencia. Ejercicio 0.0.1. Observa el ejemplo y escribe en forma de potencia estos productos: 1) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 4) 9 × 9 = 7) 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 2) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 5) 4 × 4 × 4 × 4 = 8) 2 × 2 = 3) 8 × 8 × 8 = 6) 5 × 5 × 5 = 9) 10 × 10 × 10 = Potenciacion de numeros naturales ´ ´ Ejercicio 0.0.2. Desarrolla y encuentra las potencias. ´ ´ Es la operacion que consiste en multiplicar un numero llamado base por si mismo, tantas veces como lo indica ´ otro llamado exponente; al resultado de esta operacion se le denomina potencia. 1. 33 = 3 × 3 × 3 = 27 10. 35 = 2. 72 = 11. 1200 = Ojo: 52 nos dice en palabras: “multiplica al n´ mero cinco u por s´ mismo dos veces.” ı 3. 54 = 12. 44 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 4. 82 = 13. 83 = 5. 122 = 14. 26 = 6. 32 = 15. 93 = 7. 43 = 16. 123 = 8. 113 = 17. 154 = 9. 25 = 18. 1203 = 52 = 5 × 5 = 25 Ojo: 25 nos dice en palabras: “multiplica al n´ mero dos u por s´ mismo cinco veces.” ı Definicion ´ ´ ´ Si a y n son numeros naturales, la potencia n-esima del ´ numero a se define del siguiente modo: an = a × a × a...a n−veces T´ rminos de la potenciacion e ´ Exponente Base 23 = 8 Potencia Ejercicio 0.0.3. Indica en cada caso cu´ l es la Base y cu´ l el Exponente: a a 52 ⇒ 5 es la base, 2 el exponente 32 ⇒ (−3)5 ⇒ 50 ⇒ − 42 ⇒ 63 ⇒ (−3)4 ⇒ 102 ⇒ ´ ¿Como se leen las potencias? Una potencia se puede leer de distintas formas: 52 = 25 23 = 8 24 = 16 Se lee: Se lee: Se lee: Tambien se lee: Tambien se lee: Tambien se lee: “5 al cuadrado es igual a 25” “2 al cubo es igual a 8” “2 elevado a la cuarta es igual a 16” “2 a la cuarta es igual a 16” “2 a la cuatro es igual a 16” “La cuarta potencia de dos es igual a 16” 1 Cuando el Cuando el 1ra forma 2da forma 3ra forma 4ta forma exponente es dos exponente es tres para cualquier exponente para cualquier exponente para cualquier exponente para cualquier exponente
  • 2. ´ Potenciacion Matem´ ticas a ´ ´ POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS ´ Observemos las siguientes potenciaciones. En ellas, la base es un numero entero y el exponente es un ´ numero natural. § § § ¤ + (+4)3 = (+4) · (+4) · (+4) = ¦ 64 ¥ ¤ § ¤ § ¤ + (−5)2 = (−5) · (−5) = ¦ 25 ¥ ¤ + (−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = ¦ 16 ¥ − (−3)3 = (−3) · (−3) · (−3) = ¦ 27 ¥ + (+3)4 = (+3) · (+3) · (+3) · (+3) = ¦ 81 ¥ − (−6)3 = (−6) · (−6) · (−6) = ¦ 216 ¥ § ¤ El resultado, es decir, la potencia, se obtiene multiplicando la base por s´ misma de tal manera que en el ı desarrollo la base aparece como factor tantas veces como indica el exponente. ´ El signo de la potencia se obtiene aplicando la regla de los signos de la multiplicacion de enteros: ´ iplicacion mult Ley de signos de la ´ ´ as da mas ´ + · + = + Mas por m da menos enos ´ + · − = − Mas por m ´ por menos da mas − · − = + Menos ´ r mas da menos − · + = − Menos po El signo de la m ultiplicacion tam ´ bien se simbo ´ liza por un pu nto (·): 2·2=4 ´ ´ ´ La potencia n-esima de un numero entero es el resultado de una multiplicacion en la que ´ el numero aparece como factor n veces. an = a × a × a . . . a donde a ∈ Z , n ∈ N, y n mayor que > 1 n−veces (−5)4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625 (−7)3 = (−7) · (−7) · (−7) = −343 ´ REGLA DE SIGNOS DE LA POTENCIACION 1° Regla: Toda potencia de exponente par siempre es positiva. (+) par = + Ejemplo −→ (+2)4 = +16 (−) par = + Ejemplo −→ (−3)2 = +9 2° Regla: Toda potencia de exponente impar tiene el mismo signo de la base. (+)impar = + Ejemplo −→ (+2)3 = +8 (−)impar = − Ejemplo −→ (−2)5 = −32 Ejercicio 0.0.4. Escribe con numeros. ´ a) b) c) d) Positivo 8 elevado al cuadrado. Negativo 2 elevado a la cuarta potencia. Positivo 15 elevado al cubo. Negativo 16 elevado al cuadrado. e) Negativo 15 elevado a la sexta potencia. f) Positivo 7 elevado a la quinta. g) Positivo 3 elevado a la cuarta potencia. h) Negativo 2 elevado a la sexta potencia. 2
  • 3. Prof. Wenceslao Quispe Ticona Matem´ ticas a Ejercicio 0.0.5. Expresa como un desarrollo de factores y calcula la potencia. f) (−55)2 = a) (−5)3 = (−5) · (−5) · (−5) = -125 b) (−6)4 = g) (+8)3 = c) (−9)5 = h) (−10)3 = d) (+12)3 = e) (+22)3 = i) (+3)5 = Ejercicio 0.0.6. Completa las tablas ´ Potenciacion Base (−2) Exponente ´ Potenciacion Potencia 16 Exponente Potencia 4 (+32) (−3)5 Base 64 16 3 (−8) (+7) 3 Ejercicio 0.0.7. Sin encontrar la potencia determina su signo. a) (−8)6 = + d) (−17)470 = g) (+20)17 = j) (+200)17 = b) (−19)5 = e) (+30)30 = h) (−20)17 = k) (+15)371 = c) (−278)23 = f) (+12)16 = i) (−13)20 = l) (−23)268 = Ejercicio 0.0.8. Completa el cuadro siguiente. Forma potencial Base Exponente (+2) 7 (−10) (−3) Forma desarrollada 4 Potencia 6 (−4) · (−4) · (−4) · (−4) · (−4) 125 Para tener en cuenta: ´ La expresion (− a)n no significa lo mismo que − an . (− a)n = − an • (−7)2 = (−7) · (−7) = +49 • −72 = − (7 · 7) = − (49) = −49 Ejercicio 0.0.9. Calcula las siguientes potencias: a. (−8)2 = +64 e. (−16)3 = i. (+5)3 = b. −82 = f. −26 = j. (−7)2 = c. (−9)3 = g. (−7)3 = k. −92 = d. −93 = h. −64 = l. (−5)−2 = 3
  • 4. ´ Potenciacion Matem´ ticas a EXPONENTE CERO, EXPONENTE UNO Y EXPONENTE NEGATIVO Exponente cero ´ Un numero entero (distinto de cero) elevado a exponente cero, es igual a uno. Exponente uno ´ Un numero entero (distinto de cero) elevado a exponente uno, es igual a ese mismo ´ numero. a1 = a a0 = 1 donde a = 0 Ejemplos: Ejemplos: 41 = 4 0 2 =1 61 = 6 50 = 1 2501 = 250 1500 = 1 Se conviene en no escribir el exponente 1 porque se lo sobreentiende. 10000 = 1 Ejercicio 0.0.10. Calcula las potencias de exponente cero y exponente uno. 30 = (−4)1 = 650 = 630 = Ejercicio 0.0.11. Observa el ejemplo y resuelve. 1) 2 + 51 + 4 + 30 − 3 = 3541 = (−7)0 = 10000 = 57431 = 2) 4 + 101 − 4 + 3 − 80 = 15240 = (−64)0 = 3) 50 − 7 + 120 − 31 + 4 − 7 = 2+5+4+1−3= 12 − 3 = £   = ¢9 ¡ Exponente negativo ´ Un numero entero (distinto de cero) elevado a un exponente negativo, es igual a 1 dividido entre el ´ numero entero elevado al mismo exponente pero con signo positivo. a−n = 1 an Ejercicio 0.0.12. Resuleve las siguientes potencias. 1. 3−3 = 2. (−3)−2 = donde a = 0, n ∈ N 3. 4−2 = Ejemplos: 1 1 = 4 16 2 1 1 5−2 = 2 = 5 25 1 1 1 = =− (−4)−3 = 3 −64 64 (−4) 2−4 = 4. (−2)−3 = 5. (−1)−5 = 6. 5−2 = Para tener en cuenta. § ¤ ´ • El 1 elevado a cualquier numero entero es igual a 1: ¦ n = 1 ¥ 1 § ¤ ´ • El 0 elevado a cualquier numero entero positivo es igual a 1: ¦ n = 1; n > 0 ¥ 0 § ¤ ´ • Un numero entero (distinto de 0) elevado a 0 es igual a 1: ¦ 0 = 1; n = 0 ¥ n § ¤ ´ ´ • Cualquier numero entero elevado a 1 es igual al mismo numero: ¦ 1 = n ¥ n 4
  • 5. Prof. Wenceslao Quispe Ticona Matem´ ticas a ´ PROPIEDADES DE LA POTENCIACION ´ FORMULACION ´ Multiplicacion de potencias de la misma base EJEMPLOS Es igual a la base elevada a la suma de los exponentes. PROPIEDAD • 32 · 33 = 32+3 = 35 § • (−4)−2 · (−4)7 = (−4)−2+7 = (−4)5 ¤ m+n am n ¦ ·a =a ¥ • 22 · 2−3 · 24 · 2−5 = 22+(−3)+4+(−5) = 26−8 = 2−2 Es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes. ´ Division de potencias de la misma base § • 57 ÷ 55 = 57−5 = 52 • 7−5 ÷ 7−4 = 7−5−(−4) = 7−5+4 = 7−1 ¤ • (−2)3 ÷ (−2)−2 = (−2)3−(−2) = (−2)3+2 = (−2)5 n m−n am ¦ ÷a =a ¥ Es igual a la primera base elevada al producto de los exponentes. Potencia de una potencia § ¥ ( am )n = am·n § ¦ ¥ § ¦ 4 2 = (−5)3×2 = (−5)6 = 72×4×2 = 716 • (−2)3 · (−3)3 = [(−2) · (−3)]3 = 63 • (8 ÷ 4)2 = 82 ÷ 42 • [6 ÷ (−4)]3 = 63 ÷ (−4)3 ¤ ¥ ( a ÷ b)n = an ÷ bn 2 • ( 3 · 4 ) 2 = 32 · 42 La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la potencia del divisor. Potencia de ´ una division = 24×3 = 212 • ( 2 · 3 ) 5 = 25 · 35 ¤ ( a · b)n = an · bn 72 • La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. Potencia de una ´ multiplicacion 3 • (−5)3 ¤ ¦ • 24 • 104 ÷ 44 = (10 ÷ 2)4 = 54 Ejercicio 0.0.13. Expresa el resultado en forma de potencia aplicando las propiedades de la potenciaci´ n. o 1) 52 · 55 · 54 = 5 2+5+4 = 511 2 3) (−9) ÷ (−9) = 5) 6) (−2)3 32 · 22 2 5 10) (−2) · (−2) · (−2) 11) (+8)5 ÷ (+8)3 = = 4 = = 7) (−5)3 · (+2)3 = (−2)−3 2 = 2 9) (+6) ÷ (−3) = 5 3 15) 2 2) 86 ÷ 84 = 4) 52 8) 83 ÷ 43 = −4 16) (−6)3 · (+5)3 = = 17) (−8)−2 ÷ (+4)−2 = 12) 45 ÷ 48 = 18) (−2)3 · (−2)4 · (−2)5 = 13) (−3)6 ÷ (−3)6 = 19) ( a · b · c)m = 14) (−5)2 3 20) am · an · a p = = 5
  • 6. ´ Potenciacion Matem´ ticas a ANALISIS 2 es igual a 23·2 ? ¿Por qu´ 23 · 24 es igual a 23+4 ? e ¿Por qu´ 23 e Recordemos que 23 nos indica que debemos ´ multiplicar el numero 2 por si mismo 3 veces. De ´ manera semejante, la expresion 24 nos indica que ´ debemos multiplicar el numero 2 por s´ mismo 4 ı veces. Entonces, al multiplicar de tiene: ´ Es claro que el numero 2 nos indica que debemos ´ ´ multiplicar el numero que aparece entre parentesis por s´ mismo 2 veces. Pero por la primera propiedad, ı ´ que nos dice que cuando se estan multiplicando potencias con la misma base los exponentes se suman, el exponente resultante debe ser el producto de 3 por 2 Esto es: 23 · 24 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 27 3 veces 23 4 veces 2 = 23 · 23 = 23+3 = 26 2 veces Vemos que en total terminamos multiplicando 7 ´ veces el numero 2, por eso debemos sumar los exponentes: Para simplificar este proceso largo multiplicamos los exponentes 3 por 2 23 23 · 24 = 23+4 = 27 2 = 23·2 = 26 Observa el ejemplo: 84 · 162 = 23 4 · 24 2 = 212 · 28 = 220 Ejercicio 0.0.14. Expresa como una sola potencia aplicando las propiedades de la potenciaci´ n o 1) 34 · 92 = 6) 81−1 · 3−3 = 2) 84 · 162 = 7) 92 · 27 = 3) 54 · 253 = 8) 362 · 6 = 4) 47 · 32 = 9) 100 · 22 = 5) 16−1 · 23 = 10) 81 · 42 = Observa el ejemplo y analiza. 25 · 16 = 52 · 42 Expresamos el 25 como potencia de 52 y 16 como potencia de 42 = (5 · 4)2 Aplicamos la propiedad distributiva reciprocamente ( a · b)n = an · bn = 202 = 400 Multiplicamos dentro del parentesis Encontramos la potencia Ejercicio 0.0.15. Aplica las propiedades de la potenciaci´ n igual que en el ejemplo anterior. o 1) 16 · 9 = 3) 16 · 64 = 5) 25 · 4 = 2) 27 · 8 = 4) 4 · 81 = 6) 36 · 49 = 6
  • 7. Prof. Wenceslao Quispe Ticona Matem´ ticas a 25 ¿Por qu´ 3 es igual a 25−3 ? e 2 ´ En el numerador, 25 nos indica que debemos multiplicar el numero 2 por si mismo 5 veces. ´ En el denominador, 23 nos indica que debemos multiplicar el numero 2 por si mismo 3 veces. Entonces se tiene: 2·2·2·2·2 25 = 3 2·2·2 2 Cancelando factores en el numerador y el denominador. 2·2·2·2·2 25 ¡ ¡ ¡ = = 2 · 2 = 22 2·2·2 23 ¡ ¡ ¡ De los cinco factores que hab´a en el numerador, se cancelaron 3 con los factores que ı estaban en el denominador. Por eso restamos los exponentes. 25 = 25−3 = 22 23 Ejercicio 0.0.16. Indica la propiedad aplicada en cada numeral 1. 1200 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 01 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. (2 × 3)3 = 23 × 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. 2001 = 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 = 4 2×3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. (20 ÷ 5)3 = 203 ÷ 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 150 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. (30 ÷ 5)2 = 302 ÷ 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 42 Ejercicio 0.0.17. Miscelanea 1) 23 + 32 − 52 = 9) 122 1 17) 42 · (−2)1 · 20 = = 18) 52 · (−2)2 · 22 = 2) 22 + 33 − 4‘2 = 10) 74 ÷ 7−3 = 3) 52 · 22 + 32 − 34 = 11) 63 ÷ (−3)3 = 4) (−2)3 + 52 (−7)1 + (−9)0 = 12) 62 ÷ (2)2 = 5) 24 6) 6−2 4 3 · (−4) = 13) (−5) ÷ (−5) 3 ·6= 2 19) (−3)−2 · (−3)6 · (−3)−4 = 20) (−2)3 · 24 · 2−3 · (−2)2 = −2 = 3 14) (−12) ÷ (−6) = 5 10 13 7) (−2) · (−2) = 15) (−15) 8) 23 · (−2)4 = 16) (−6)2 ÷ (2)2 = ÷ (−15) = 7 21) (−3)2 22) 23 −3 −2 3 = = 42 · 4 − 3 · 45 23) −1 3 2 = 4 ·4 ·4 24) (−2)3 · (−2)−4 · (−2) = [(−2)2 ]3 · (−2)−2