Este documento explica las ecuaciones exponenciales y los métodos para resolverlas. Define las ecuaciones exponenciales como aquellas donde la incógnita aparece como exponente. Explica dos métodos para resolverlas: 1) reducción a una base común y 2) aplicación de logaritmos. También describe las propiedades de las potencias y los logaritmos necesarias para resolver este tipo de ecuaciones.

1. Ecuaciones exponenciales
Definición de ecuaciones exponenciales
Una ecuación es exponencial cuando la incógnita aparece como exponente.
Usualmente la letra x es la incógnita, pero se puede usar cualquier letra.
Por ejemplo: 2x+2 = 16,
1252x + 5 = 625x+4
El método de resoluciónconsiste en conseguir una igualdad de exponenciales con
la misma base para poder igualar los exponentes.
Para conseguir igualdades como la anterior, tendremos que factorizar, expresar los
números en forma de potencias, aplicar las propiedades de las potencias y escribir
las raíces como potencias. En ocasiones, tendremos que realizar un cambio de
variable para transformar la ecuación en una ecuación de primer o de segundo
grado e, incluso, de grado mayor.
Para resolver una ecuación exponencial se debe tener en cuenta:
 La base es positiva: a > 0
 La soluciónde la ecuación exponencial conla forma af(x)= ag(x) es la solución
(o soluciones) de la ecuación f(x) = g(x). Esto se debe a que dos potencias con
la misma base son iguales si y sólo si sus exponentes son iguales.
 Si las bases no son iguales bases, se deben igualar.
 Las propiedades de las potencias.
Solución de las Ecuaciones Exponenciales
Existen dos métodos fundamentales de resolución de las ecuaciones
exponenciales.
1. Reducción a una base común.
Si ambos miembros de una ecuación se pueden representar como potencias de base
común a donde a es un número positivo, distinto de 1. Se busca una igualdad entre
las potencias y se igualan los exponentes para obtener una ecuación.

2. 2. Aplicación de logaritmos.
Se aplican logaritmos a conveniencia en ambos lados de la ecuación y se procede
con las transformaciones algebraicas y las leyes de logaritmos conocidas.
Es importante saber que cuando se pueden escribir todos los términos de una
Ecuación Exponencial como potencia de una misma base, se usa el método de
igualación, en caso contrario debe resolverse por el método Logaritmos.
Propiedades de la Potencia.
Antes de resolver ecuaciones exponenciales es recomendable manejar las
propiedades de la potencia, ya que sin estas sería casi imposible la resolución de
expresiones logarítmicas.
Las propiedades de la potencia son las siguientes:
1. Todo número elevado a “0” es igual a 1.
Ejemplo:
1. 70 = 1, 2850 = 1, b0 = b
2. Todo número elevado a la unidad es igual a la misma base.
Ejemplo:
1. 91 = 9, 261 = 26, m1 = m
3. Producto de potencias con bases iguales.
Si se multiplican potencias con la misma base, el resultado será otra potencia cuya
base es la misma y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
Ejemplo:
1. (an ) (am ) = an + m
2. (a3 ) (a7 ) = a3 + 7 = a10
3. (34 ) (32 ) = 34 + 2 = 36
Si se da el caso de que las bases sean diferentes, entonces se multiplican las bases
y se suman los exponentes
Ejemplo:
1. (a3 ) (b4 ) = ab3 + 4 = ab7
2. (32 ) (43 ) = (3 x 4)2 + 3 = 125

3. 4. Potencia de potencia.
Si tenemos una potencia que a su vez está elevada a otra potencia, se deja la base
igual y se multiplican los exponentes.
Ejemplo:
1. (an)m = an x m
2. (52)4 = 52 x 4 = 58
5. Cociente de una potencia.
Si se dividen dos potencias con igual base, se deja la misma base y se restan los
exponentes.
Ejemplo:
1.
𝒂 𝒏
𝒂 𝒎
=
an - m
2.
𝟒 𝟓
𝟒 𝟑
= 55 – 3 = 42
Si las bases son distintas, se dividen las bases y se restan los exponentes.
Ejemplo:
1.
𝟏𝟎 𝟒
𝟐 𝟑
= 54 – 3 = 51
6. Toda potencia de un numero distintode cero,elevado a un número negativo
(-n) es el inverso del número elevado a la n.
Ejemplo:
1. a-1 =
𝟏
𝐚
(a ≠ 0)
2. a-n =
𝟏
𝒂 𝒏 (a ≠ 0)
3. 8-3 =
𝟏
𝟖 𝟑
Propiedades de los Logaritmos.
Antes de resolver ecuaciones exponenciales es recomendable manejar las propiedades de
los Logaritmos, ya que sin estas sería casi imposible la resolución de ecuaciones
Exponenciales, donde no es posible la resolución por el método de igualación.

4. Las propiedades de los Logaritmos son las siguientes:
1-Logaritmo de la unidad.
El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0.
logb (1) = 0
Ejemplo:
log5 (1) = 0 porque 50 =1
log7 (1) = 0 porque 70 = 1
log20 (1) = 0 ⇔ 200 = 1
2. Logaritmos de la base
El logaritmo de la base es igual a 1.
Logb (b) = 1
Ejemplo:
log5 (5) = 1 ⇔ 51 = 5
log6 (6) = 1 ⇔ 61 = 6
log12 (12) = 1 ⇔ 121 = 12
3- Logaritmo de una potencia con igual base:
El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente
de la potencia y el logaritmo del número.
logb bn = n
Ejemplo:
log6 63 = 3
4 - Logaritmo de un producto.
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
Logb (a • c) = logb a + logb c
Ejemplo:
Logb (5 • 2) = logb 5 + logb 2

5. 5 - Logaritmos de un cociente.
El logaritmo de un cocientees igual al logaritmo del dividendo, menos el logaritmo
del divisor.
logb(
𝒑
𝒒
) = logb p - logb q
Ejemplo:
1. log2(
𝟑
𝟒
) = log2 3 – log2 4
6 - Logaritmo de una potencia.
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo
de la base.
loga cn = n loga c
Ejemplo:
log3 102
= 2 log3 10
7 -El logaritmo de una raíz.
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad su radical dividido
entre el índice de la raíz.
Ejemplo:
1. log4 √ 𝟏𝟔
𝟔
=
𝟏
𝟔
. log4 42
=
𝟏
𝟔
. 2
2. log4 √ 𝟏𝟔
𝟔
=
𝟏
𝟑
8 – Cambio de base.
El logaritmo de cualquier número, en cualquier base, es igual al logaritmo del
numero dividido entre el logaritmo de la base, ambos logaritmos en la nueva base.
logb N =
𝐥𝐨𝐠𝐱 𝑵
𝐥𝐨𝐠𝐱 𝒃

6. Ejemplo:
1. log2 3 =
𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟑
𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟐
Luego de conocer los métodos de resolución de Ecuaciones Exponenciales, las
propiedades de la Potencia y de los logaritmos, podemos resolver ecuaciones
exponenciales, donde se apliquen los métodos y algunas de las
propiedades conocidas.
Resolución de Ecuaciones Exponenciales por Reducción a una base común.
Ejercicio 1
4x
= 16
Paso 1 - Igualamos la base
(22
)x
= 24
Paso 2 - Aplicamos en el primermiembro laigualdad de lapropiedad potencia
de una potencia.
Si (an
)m
= anxm
22*x
= 24
22x
= 24
Paso 3 - Ya igualamos las bases de la ecuación, igualemos ahora los
exponentes.
2x = 4
x =
𝟒
𝟐
x = 2
Comprobación
4x
= 16
x = 2
42
= 16
16 = 16

7. Ejercicio 2
42x – 5
= 64
Paso 1 - Igualamos la base
42x – 5
= 43
Si an
= am
entonces n = m
Paso 2 - Igualemos ahora los exponentes.
2x – 5 = 3
2x = 3 + 5
2x = 8
x = 8/2
x = 4
Comprobación
42x – 5 = 64
x = 4
42(4) – 5 = 64
48 – 5 = 64
43 = 64
64 = 64
Ejercicio 3
(4 x-1
) (8x + 1
) = 16x + 3
Paso1 - Igualamos la base
(22
)x-1
(23
)x+1
= (24
)x + 3
Paso 2 - Resolvemos las potencias de potencias en los 3 términos de la
ecuación.
22 (x-1)
* 23 (x+1)
= 24(x + 3)
22x-2
* 23x+3
= 24x + 12
Paso 3 - Resolvemos el producto de potencia en el primer miembro de la
igualdad.
22x-2 + 3x+3
= 24x + 12
25x+1
= 24x + 12

8. Paso 4 - Igualamos los exponentes y resolvemos la ecuación resultante.
5x + 1 = 4x + 12
5x – 4x = 12 - 1
x = 11
Comprobación
Usaremos para la comprobación una ecuacion equivalente.
25x+1
= 24x + 12
x = 11
25(11) + 1
= 24(11) + 12
255 + 1
= 244 + 12
256
= 256
Resolución de Ecuaciones Exponenciales por Logaritmos.
Ejercicio 1
6x
= 5x
Aplicamos a ambos lados logaritmos en base 10
log 6x
= log 5x
Aplicamos la propiedad de potencia de dos logaritmos
x log 6 = x log 5
Como ambos miembros tiene incógnita, pasamos el término del 2do miembro
al 1er con la operación contraria.
x log 6 - x log 5 = 0
Sacamos factor común de los términos
x (log 6 - log 5) = 0
Por la propiedad del factor nulo, concluimos que
x = 0

9. Comprobación
Ecuación original
6x
= 5x
x = 0
60
= 50
Todo número elevado a la cero (0) es igual a 1.
1 = 1
Ejercicio 2
3x + 1
= 9x
Aplicamos logaritmos en base 3:
3x + 1
= 9x
log3(3x + 1
) = log3 (9x
)
Escribimos los exponentes fuera de los logaritmos:
log3(3x + 1
) = log3 (9x
)
(x+1) . log3(3) = x . log3(9)
Calculamos los logaritmos
log3(3) = 1
log3(9) = log3(32
)
= 2 . log3(3) = 2
Por tanto, la ecuación queda como
x + 1 = 2x
x – 2x = 1
x = 1
Comprobación
Ecuación original
3x + 1
= 9x
x = 1
31 + 1
= 91
32
= 91
9 = 9