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Análisis matemático, Ingeniería, CBC. U.B.A
Si necesitas clases puedes llamar al 4585 – 1548 (Capital Federal).
x x x
y
Primer Parcial de Análisis (Ingeniería)
Ciudad Universitaria: 1998
1) Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:
i)
( )
n
n
a
nn 2
cos4
5sen
+
= ii)
15
13
23
+






+
−
=
n
n
n
n
b
2) Dada la función




=
≠π
0si0
0si.sen
2
2
)(
x
xx
g x
x
a) Calcular g´(0) por definición. b) Si ( ) xxxf 25 2
+= y h(x) = (f o g)(x), calcular h´(o).
3) Sea f(x) = 2ax3
+ 9ax2
+ 12 ax + b. Hallar a y b de modo que la pendiente de la recta tangente al
gráfico de f en x = 1 sea igual a 18 y f tenga exactamente 2 ceros. Graficar la función hallada.
4) Sea ( ) ( )105
≤≤= xxxf . Se construyen todos los rectángulos de lados paralelos a los ejes que
tienen una diagonal con extremos en los puntos (1,0) y (xo, f(x)) 0< xo <1. Hallar el de área máxima y
decir cuanto vale dicha área.
Respuestas : 1) i.) 0 ii)
5
lim
−
∞→
= e
n
; 2) a)g´(o) = 0 ; b) f ´(g(o) ) = f ´(0) = 2; 3) Caso 1°⇒ b = 2; Caso
2° ⇒ b = 5
/2 4) A = (1 – 5
/6) (5
/6)5
~ 0,067
Paseo Colón: 1998
1) Calcular n
n
alim
∞→
suponiendo que ∀n: an verifica:
3
5
5
cos
3
24
2
4
2
2
2
91
3
5
+<+<





−
n
n
n
n
n
ae
2) Calcular los siguientes límites:
a)
( ) ( )
30
4sen4cos.4
lim
xx
xxx −
→
b) ( )
x
xlim
x
/7
sen21
0
+
→
3) Escribir la ecuación de la recta tg. al gráfico de la función f(x) = −3 + 5
/2 tg(x2
– 16) en x = 4.
4) Se desea cercar una porción rectangular de tierra de 294 2
m y dividirla en tres partes iguales
mediante dos cercas paralelas a uno de los lados. ¿Qué dimensiones del rectángulo exterior
requerirá la menor longitud total de las tres cercas?
Respuestas:
1)
9
1
lim =
∞→
n
n
a ; 2) a) 64
/3; b) e14
; 3) y = 20 x – 83; 4) 3x y = 294 → x . y = 98→ y = 98 . x – 1
Perímetro: P = 2x + 2y → P(x) = 2x + 2 (98 . x – 1
) → P(x) = 2x + 196 x – 1
Se deriva y se iguala a 0, P´(o) = 2 – 196 x – 2
= 0 (despejando)
x = 9, 8995 → longitud: 29, 67 ; y = 9,8995
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Análisis Matemático – CBC – Primer Parcial Pág. 1
Si necesitas clases para rendir tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436
Primer Parcial: Ciudad Universitaria – 1º Cuat. de 2001
1) Pruebe, usando sub sucesiones, que la sucesión:
12
5
23
13
)1(
−






−
+
−=
n
n
n
n
n
a no tiene límite.
2) Para que valores de α ≠ 0 y β ≠ 0 vale que 2
)sen( 30
=
α
β
→ x
x
lim
x
?
3) Dada
2)(
2
x
e
f
x
x = , demostrar que si x ∈ [1, 4] se cumple que
82
4
)(
2
e
f
e
x ≤≤
4) Un fabricante desea construir ventanas de 10,8 m2
. Para los marcos verticales utiliza un material
que cuesta $6/m. Y para los horizontales uno que cuesta $5/m. Hallar las dimensiones de la ventana
para que el costo sea mínimo.
Solución:
1)
2
12
2
2 límlím eayea n
x
n
x
−== +
∞→∞→
2) α = ½ y β = 3
3)
3)(
2
.2'
x
x
ef x
x
−
= (habiendo factoriado y simplificado las x)
x 1 (1;2) 2 (2;4) 4
f´(x) <0 <0 0 >0 >0
f(x) 2e e²/2 e4
/8
4) Base = 3,6 m y altura = 3 m
30
54
6
54
6'
54
6
22)()( =→=−→−=⇒+= x
xx
C
x
xC xx
x . y = 10,8 → y = 3,6
(Lujan)
Análisis Matemático – CBC – Primer Parcial Pág. 1
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Primer Parcial: Exactas – Ciudad – 1er
Cuat. 2002 Tema 1
1. Calcular
( )
( )3n
2
2
2
2
1
lím
−
−
∞→
+
n
n
n
n
n
n
2. Sea g una función tres veces derivable con g(0) = g’(0) = 0 y g”(0) = 3.
Sea





=
≠
−
−−
20
2
)2(5
1)42(
)(
x
x
x
e
f
xg
x . Calcule, usando la definición, f ’(2).
3. Para f(x) = 3x2/3
– 4x, determine el dominio de f y f ‘. Encuentre intervalos de crecimiento, de
decrecimiento, extremos locales, punto de inflexión e intervalos de concavidad y convexidad. A
partir de la información obtenida, haga un gráfico aproximado de f.
4. Halle las coordenadas del punto de la curva f(x) = 3x ln(x) – 1/8 x3
, con x ∈ (0, + ∞), donde la
pendiente de la recta tangente sea máxima.
Solución:
1)
3
4
1 e
e
+
2)
10
3
5.
1
lím
2
)2(
0
=
−
→ h
e hg
h
3) Domf = R; Dom f ’ = R – {0}
x (− ∞;0) 0 (0;1/8) 1/8 (1/8, + ∞)
f´(x) < 0 –– > 0 0 < 0
f(x) 0 ¼
No hay punto de inflexión. Concavidad negativa, excepto en cero.
4) Aclaremos que donde la pendiente de la recta tangente tiene su máximo valor es el punto de
inflexión. Necesitamos la segunda derivada.
f ”(x) = – ¾ x2
+ 3 = 0 (al despejar x queda que: x = 2)
El punto (2, f(2))
Análisis matemático Primer Parcial TEMA 2 1er. cuat. 04
APELLIDO:…………………………NOMBRES:………………………….D.N.I.:……….................
CORRECTOR
1. Sea ( )na la sucesión de números reales definida por
43
2
12
42 n
kn
n
n
an
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
= . Halle todos los valores de
ℵ∈k para que exista el nx
aLim ∞⎯→⎯
y sea finito.
2. Sea :
( )
0si
4
3
0si
1
3xsen
4
=
≠
−
x
x
e x
Decida, mediante el estudio del cociente incremental, si f es derivable en x = 0
3. Demuestre que
( )
2
2
82ln
ex
x
≤ para todo
2
1
≥x
4. Sea ( ) 2
162 xxf −= . Considere los puntos P=(0,0) , Q=(x, f(x)) y R=(x,0), con 40 ≤≤ x . Halle las
coordenadas de Q y R de modo tal que el área del triángulo PQR sea máxima.
INSCRIPTO EN: Sede: ………………………..Días………………..
Horario……………………………………………Aula…………....….
En cada ejercicio escriba todos los razonamientos que justifican la respuesta
F(x)
Si necesitas clases particulares para rendir parciales, finales, libre puedes llamar a 011–15–67625436
(Ahora en Lujan...)
Exactas – Análisis I – Primer Parcial Pág. 1
Primer Parcial
Análisis I
Análisis I (Exáctas) – Primer Parcial: 1er
Cuat. 2007 Tema 3
1. Sea
57
2
2
2
3
5
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
n
n
n
n
a y f la función tal que 4 < f(x) < 9 para todo x ∈ R, analizar si
existe:
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+∞→
4
.
7
lim
nann fa
2. La recta tangente al gráfico de f en x = 5 es y = 5x – 10. Hallar la ecuación de la recta
tangente de
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−=
9
2
)( 2
.)6(
x
x fxg
3. Hallar todos los valores de k ∈ R para que la ecuación
( ) k
x
x
=
4ln2
tenga una única
solución.
4. Entre todos los números reales positivos x e y que satisfacen a x + y = 12 hallarlos
que hacen mínimo x3
+ 3 y2
.
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  • 1. Análisis matemático, Ingeniería, CBC. U.B.A Si necesitas clases puedes llamar al 4585 – 1548 (Capital Federal). x x x y Primer Parcial de Análisis (Ingeniería) Ciudad Universitaria: 1998 1) Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones: i) ( ) n n a nn 2 cos4 5sen + = ii) 15 13 23 +       + − = n n n n b 2) Dada la función     = ≠π 0si0 0si.sen 2 2 )( x xx g x x a) Calcular g´(0) por definición. b) Si ( ) xxxf 25 2 += y h(x) = (f o g)(x), calcular h´(o). 3) Sea f(x) = 2ax3 + 9ax2 + 12 ax + b. Hallar a y b de modo que la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en x = 1 sea igual a 18 y f tenga exactamente 2 ceros. Graficar la función hallada. 4) Sea ( ) ( )105 ≤≤= xxxf . Se construyen todos los rectángulos de lados paralelos a los ejes que tienen una diagonal con extremos en los puntos (1,0) y (xo, f(x)) 0< xo <1. Hallar el de área máxima y decir cuanto vale dicha área. Respuestas : 1) i.) 0 ii) 5 lim − ∞→ = e n ; 2) a)g´(o) = 0 ; b) f ´(g(o) ) = f ´(0) = 2; 3) Caso 1°⇒ b = 2; Caso 2° ⇒ b = 5 /2 4) A = (1 – 5 /6) (5 /6)5 ~ 0,067 Paseo Colón: 1998 1) Calcular n n alim ∞→ suponiendo que ∀n: an verifica: 3 5 5 cos 3 24 2 4 2 2 2 91 3 5 +<+<      − n n n n n ae 2) Calcular los siguientes límites: a) ( ) ( ) 30 4sen4cos.4 lim xx xxx − → b) ( ) x xlim x /7 sen21 0 + → 3) Escribir la ecuación de la recta tg. al gráfico de la función f(x) = −3 + 5 /2 tg(x2 – 16) en x = 4. 4) Se desea cercar una porción rectangular de tierra de 294 2 m y dividirla en tres partes iguales mediante dos cercas paralelas a uno de los lados. ¿Qué dimensiones del rectángulo exterior requerirá la menor longitud total de las tres cercas? Respuestas: 1) 9 1 lim = ∞→ n n a ; 2) a) 64 /3; b) e14 ; 3) y = 20 x – 83; 4) 3x y = 294 → x . y = 98→ y = 98 . x – 1 Perímetro: P = 2x + 2y → P(x) = 2x + 2 (98 . x – 1 ) → P(x) = 2x + 196 x – 1 Se deriva y se iguala a 0, P´(o) = 2 – 196 x – 2 = 0 (despejando) x = 9, 8995 → longitud: 29, 67 ; y = 9,8995 011-1567625436 (Lujan)
  • 2. Análisis Matemático – CBC – Primer Parcial Pág. 1 Si necesitas clases para rendir tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436 Primer Parcial: Ciudad Universitaria – 1º Cuat. de 2001 1) Pruebe, usando sub sucesiones, que la sucesión: 12 5 23 13 )1( −       − + −= n n n n n a no tiene límite. 2) Para que valores de α ≠ 0 y β ≠ 0 vale que 2 )sen( 30 = α β → x x lim x ? 3) Dada 2)( 2 x e f x x = , demostrar que si x ∈ [1, 4] se cumple que 82 4 )( 2 e f e x ≤≤ 4) Un fabricante desea construir ventanas de 10,8 m2 . Para los marcos verticales utiliza un material que cuesta $6/m. Y para los horizontales uno que cuesta $5/m. Hallar las dimensiones de la ventana para que el costo sea mínimo. Solución: 1) 2 12 2 2 límlím eayea n x n x −== + ∞→∞→ 2) α = ½ y β = 3 3) 3)( 2 .2' x x ef x x − = (habiendo factoriado y simplificado las x) x 1 (1;2) 2 (2;4) 4 f´(x) <0 <0 0 >0 >0 f(x) 2e e²/2 e4 /8 4) Base = 3,6 m y altura = 3 m 30 54 6 54 6' 54 6 22)()( =→=−→−=⇒+= x xx C x xC xx x . y = 10,8 → y = 3,6 (Lujan)
  • 3. Análisis Matemático – CBC – Primer Parcial Pág. 1 Si necesitas clases para rendir tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436 Primer Parcial: Exactas – Ciudad – 1er Cuat. 2002 Tema 1 1. Calcular ( ) ( )3n 2 2 2 2 1 lím − − ∞→ + n n n n n n 2. Sea g una función tres veces derivable con g(0) = g’(0) = 0 y g”(0) = 3. Sea      = ≠ − −− 20 2 )2(5 1)42( )( x x x e f xg x . Calcule, usando la definición, f ’(2). 3. Para f(x) = 3x2/3 – 4x, determine el dominio de f y f ‘. Encuentre intervalos de crecimiento, de decrecimiento, extremos locales, punto de inflexión e intervalos de concavidad y convexidad. A partir de la información obtenida, haga un gráfico aproximado de f. 4. Halle las coordenadas del punto de la curva f(x) = 3x ln(x) – 1/8 x3 , con x ∈ (0, + ∞), donde la pendiente de la recta tangente sea máxima. Solución: 1) 3 4 1 e e + 2) 10 3 5. 1 lím 2 )2( 0 = − → h e hg h 3) Domf = R; Dom f ’ = R – {0} x (− ∞;0) 0 (0;1/8) 1/8 (1/8, + ∞) f´(x) < 0 –– > 0 0 < 0 f(x) 0 ¼ No hay punto de inflexión. Concavidad negativa, excepto en cero. 4) Aclaremos que donde la pendiente de la recta tangente tiene su máximo valor es el punto de inflexión. Necesitamos la segunda derivada. f ”(x) = – ¾ x2 + 3 = 0 (al despejar x queda que: x = 2) El punto (2, f(2))
  • 4. Análisis matemático Primer Parcial TEMA 2 1er. cuat. 04 APELLIDO:…………………………NOMBRES:………………………….D.N.I.:………................. CORRECTOR 1. Sea ( )na la sucesión de números reales definida por 43 2 12 42 n kn n n an + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = . Halle todos los valores de ℵ∈k para que exista el nx aLim ∞⎯→⎯ y sea finito. 2. Sea : ( ) 0si 4 3 0si 1 3xsen 4 = ≠ − x x e x Decida, mediante el estudio del cociente incremental, si f es derivable en x = 0 3. Demuestre que ( ) 2 2 82ln ex x ≤ para todo 2 1 ≥x 4. Sea ( ) 2 162 xxf −= . Considere los puntos P=(0,0) , Q=(x, f(x)) y R=(x,0), con 40 ≤≤ x . Halle las coordenadas de Q y R de modo tal que el área del triángulo PQR sea máxima. INSCRIPTO EN: Sede: ………………………..Días……………….. Horario……………………………………………Aula…………....…. En cada ejercicio escriba todos los razonamientos que justifican la respuesta F(x) Si necesitas clases particulares para rendir parciales, finales, libre puedes llamar a 011–15–67625436 (Ahora en Lujan...)
  • 5. Exactas – Análisis I – Primer Parcial Pág. 1 Primer Parcial Análisis I Análisis I (Exáctas) – Primer Parcial: 1er Cuat. 2007 Tema 3 1. Sea 57 2 2 2 3 5 + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = n n n n a y f la función tal que 4 < f(x) < 9 para todo x ∈ R, analizar si existe: ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +∞→ 4 . 7 lim nann fa 2. La recta tangente al gráfico de f en x = 5 es y = 5x – 10. Hallar la ecuación de la recta tangente de ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + −= 9 2 )( 2 .)6( x x fxg 3. Hallar todos los valores de k ∈ R para que la ecuación ( ) k x x = 4ln2 tenga una única solución. 4. Entre todos los números reales positivos x e y que satisfacen a x + y = 12 hallarlos que hacen mínimo x3 + 3 y2 . Si necesitas clases particulares para rendir parciales, finales, libre puedes llamar a 011–15–67625436 (Lujan)