Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. Explica que una ecuación trigonométrica involucra una variable angular afectada por una función trigonométrica, mientras que una inecuación incluye desigualdades con funciones trigonométricas. También resume métodos para resolver este tipo de ecuaciones y da ejemplos numéricos de problemas.

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-III
TRIGONOMETRÍA
‘‘ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS’’
Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son igualdades condicionales donde la
variable (x) o arcos de la forma (ax + b)
se encuentran afectados de algún
operador trigonométrico como el seno,
coseno, etc. Es de la forma:
F. T. (ax + b) = N … … (∗)
Donde el valor principal (Vp) es el valor
del ángulo o arco (ax + b) definido en el
"rango" de la función trigonométrica
inversa.
De (*): Vp = arc F. T. (N)
F.T. V.P.
sen [−
π
2
;
π
2
]
cos [0: π]
tan 〈−
π
2
;
π
2
〉
N debe pertenecer al dominio de la
función trigonométrica; a y b cte. a ≠ b .
Ejemplo:
sen3x =
√3
2
⇒ Vp = arcsen (
√3
2
) =
π
3
cos (2x +
π
4
) = −
1
2
⇒ Vp = arccos (−
1
2
) =
2π
3
tan (
3x
5
−
π
8
) = −1 ⇒ Vp = arctan(−1) = −
π
4
EXPRESIONES GENERALES DE TODOS
LOS ARCOS QUE TIENEN LA MISMA
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
ECUACION SOLUCION
Si: senx = N ⇒ x = kπ + (−1)k
Vp;
∀k ∈ 𝑍
Vp = arc sen(N)
ECUACION SOLUCION
Si: cosx = N ⇒ x = 2kπ ± Vp;
∀k ∈ 𝑍
Vp = arc cos(N)
ECUACION SOLUCION
Si: tanx = N ⇒ x = kπ + Vp;
∀k ∈ 𝑍
Vp = arc tan(N)
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Es una desigualdad condicional que
involucra funciones trigonométricas por
lo menos una.
Ejemplos:
 sen2x > 𝑐𝑜𝑠𝑥
 tan2x + cot2x > 𝑐𝑠𝑐𝑥
 sen2x <
1
3
INECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
ELEMENTAL:
Una inecuación trigonométrica se llamará
elemental, cuando es de la forma:
F. T. (kx + θ) ≶ a ; x: incognita
Ejemplos:
 senx >
1
2
 tan3x ≤ 1
Resolución de una Inecuación
Trigonométrica Elemental:
Se estila seguir dos métodos:
Resuelve: 𝐒𝐞𝐧𝐱 >
𝟏
𝟐
Semana Nº 12

2. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
2
Método I:
En la circunferencia trigonométrica,
ubicamos todos los arcos "x" cuyos senos
sean mayores que
1
2
, así:
Método II:
Graficamos en un mismo sistema
coordenado las funciones:
f(x) = Senx y g(x) =
1
2
Los puntos de intersección en un periodo
del Senx: osea en [0; 2𝜋], se obtienen con:
f(x) = g(x) ⟶ Senx =
1
2
∴ x =
π
6
∨
5π
6
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Sume las dos primeras soluciones
positivas de: Sen2x =
1
2
a)180° b) 360° c) 90°
d)270° e) 135°
2. Sume las dos primeras soluciones
positivas de: Tan(2x − 30°) = √3
a)170° b) 180° c) 200°
d)210° e) 150°
3. Si: 𝑥1 𝑦 𝑥2 son los dos primeros
valores positivos de “x” que verifica:
2Sen2
x + Cosx = 1
Calcule: Sen(x2 − x1) si: x1 < x2
a)
√3
2
b)
1
2
c) 1 d) −
1
2
e) −
√3
2
4. Resolver:
(Sen4x + Cos4x)(Senx + Cosx) = 1 + Sen5x
Indique la suma de los tres primeros
valores positivos de “x”.
a) 2π b) 3π c) π d)
7𝜋
3
e) 4π
5. Dada la ecuación:
Cosx + Cos2x + Cos3x = 0,
Hallar la suma de todas las soluciones
de dicha ecuación, si estas soluciones
están comprendidas entre 0 y 2π.
a) π b) 2π c) 4π d) 3π e) 6π
EXAMEN SUMATIVO
6. Calcule la mayor solución negativa de
la ecuación:
𝑆𝑒𝑛5
𝑥𝐶𝑜𝑠𝑥 − 𝑆𝑒𝑛𝑥𝐶𝑜𝑠5
𝑥 =
1
4
A)−
𝜋
2
B)−
𝜋
4
C)−
3𝜋
8
D)−
𝜋
8
E)−
3𝜋
4
EXAMEN SUMATIVO
7. Resuelva la ecuación:
2. 𝑆𝑒𝑛2𝑥. 𝑆𝑒𝑛6𝑥 = 1; 𝑥 ∈ ]0;
𝜋
8
]
A) {
𝜋
16
,
𝜋
8
} B) {
𝜋
8
,
𝜋
12
} C) {
𝜋
12
}
D) {
𝜋
16
} E) {
𝜋
8
}
EXAMEN SUMATIVO
8. Calcula la suma de la mayor solución
negativa y la menor solución positiva de
la ecuación: 𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥 = 1 + 𝑆𝑒𝑛2𝑥
A) −
𝜋
2
B)
𝜋
4
C) −
𝜋
4
D)
𝜋
2
E) −
𝜋
8
2
1
y
5
6

6
1
1
2
x
2
1)x(g 
f(x)=Senx
2
1
y
5
6

6
2 2x + y =1

3. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
3
EXAMEN SUMATIVO
9. Calcula la suma de soluciones de la
ecuación:
𝑆𝑒𝑛𝜃 − √3. 𝐶𝑜𝑠𝜃 = −2; 𝜃𝜖〈0; 6𝜋〉
A)
17𝜋
2
B)
25𝜋
2
C)
15𝜋
2
D)
23𝜋
2
E)
𝜋
8
EXAMEN SUMATIVO
10. Calcula la suma de soluciones de la
ecuación:
5𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥 − 𝐶𝑜𝑠3𝑥 + 𝑆𝑒𝑛3𝑥 = 0; 𝑥𝜖〈0; 4𝜋〉
A) 8𝜋 B)
5𝜋
2
C) 7𝜋 D)
7𝜋
2
E) 6𝜋
EXAMEN SUMATIVO
11. La solución general de la ecuación:
𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥 = 1, es:
a) 𝑘𝜋 + (−1) 𝑘 𝜋
4
−
𝜋
4
, 𝑘 ∈ 𝑍
b) 𝑘
𝜋
2
+ (−1) 𝑘 𝜋
3
, 𝑘 ∈ 𝑍
c) 𝑘𝜋 + (−1) 𝑘 𝜋
4
+
𝜋
4
, 𝑘 ∈ 𝑍
d) 𝑘
𝜋
6
+ (−1) 𝑘 𝜋
4
, 𝑘 ∈ 𝑍
e) 𝑘
𝜋
2
+ (−1) 𝑘 𝜋
2
, 𝑘 ∈ 𝑍
EXAMEN SUMATIVO
12. Resolver para x:
)4(2123 Senxsenx 
a) Zkk k
 ,
4
)1(

 b) Zkk k
 ,
3
)1(


c) Zkk k
 ,
6
)1(

 d) Zkk k
 ,
4
)1(2


e) No tiene solucion en R
EXAMEN SUMATIVO
13. Una solución de la ecuación
𝑇𝑔𝑥 + 3𝐶𝑡𝑔𝑥 = 4 es:
a) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3 b) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
1
3
c) 37°
d) 53° e) 60°
EXAMEN SUMATIVO
14. Si 𝑆𝑒𝑛𝜃 = 𝐶𝑜𝑠1340° 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
0° < 𝜃 < 360°, entonces el valor de 𝜃
en el cuarto cuadrante, es:
a) 330° b) 350° c) 320°
d) 310° e) 280°
EXAMEN SUMATIVO
15. Los valores de x, comprendidos entre
0 y
2
3 , que resuelve la ecuación
trigonométrica:
2Sen2x – sen x – 1 = 0 , son:
a)
3
2
2

y
b)
6
7
2

y
c)
6
5
3
2 
y
d)
4
3
3

y
e)
2
3
 y
EXAMEN SUMATIVO
16. Si: 0cos14
 xsenx , entonces la
suma de las soluciones, x , tal que
 2;0x , es:
a)
2
 b)
2
3 c) 2 d)  e) 0
EXAMEN SUMATIVO
17. Si   2
1 SenxCosxCosx  ,
entonces un valor de x, es:
a) 10° b) 20° c) 30° d) 45° e) 60°
EXAMEN SUMATIVO
18. Resolver la ecuación:
Tg 2a + Ctg a = 8.Cos2a
a)
24
5
24

y
b)
224

y
c)


y
12
d)
212

y
e)
12
5
12

y
EXAMEN SUMATIVO
19. Al resolver la ecuación
𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 =
1
8
𝐶𝑠𝑐𝑥 se obtiene:
a)
𝜋
6
b)
𝜋
3
c)
𝜋
12
d)
𝜋
24
e)
𝜋
18
EXAMEN SUMATIVO
20. Resolver, si : 𝐶𝑜𝑠 (2𝑥 +
𝜋
3
) = −
√2
2
a) 𝑘𝜋 ±
3𝜋
7
−
𝜋
6
, 𝑘 ∈ 𝑍 b) 𝑘
𝜋
2
±
3𝜋
8
−
𝜋
6
, 𝑘 ∈ 𝑍

4. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
4
c) 𝑘𝜋 ±
3𝜋
8
+
𝜋
3
, 𝑘 ∈ 𝑍 d) 𝑘𝜋 ±
3𝜋
8
−
𝜋
6
, 𝑘 ∈ 𝑍
EXAMEN SUMATIVO
21. Calcular x , si : 6𝐶𝑜𝑡2
𝑥 − 4𝐶𝑜𝑠2
𝑥 = 1
a) 𝑘𝜋 ±
𝜋
2
, 𝑘 ∈ 𝑍 b) ) 𝑘𝜋 ±
𝜋
3
, 𝑘 ∈ 𝑍
c) 𝑘𝜋 ±
𝜋
4
, 𝑘 ∈ 𝑍 d) 𝑘𝜋 ±
𝜋
5
, 𝑘 ∈ 𝑍
e) 𝑘𝜋 ±
𝜋
6
, 𝑘 ∈ 𝑍
EXAMEN SUMATIVO
22. Resolver: 2(1 − 𝐶𝑜𝑠𝑥) = 𝑆𝑒𝑛𝑥𝑇𝑔𝑥
a)
2𝑘𝜋
3
, 𝑘 ∈ 𝑍 b) ) 2𝑘𝜋 ±
𝜋
6
, 𝑘 ∈ 𝑍
c) 2𝑘𝜋 ±
𝜋
2
, 𝑘 ∈ 𝑍 d) 2𝑘𝜋 ±
𝜋
7
, 𝑘 ∈ 𝑍
23. Resolver la siguiente ecuación
trigonométrica:
1 − Tanx
1 + Cotx
= Sec3π ; ∀k ∈ Z
a) 𝑘𝜋 +
𝜋
4
b)
𝑘𝜋
2
+
5𝜋
8
c)
𝑘𝜋
2
+
𝜋
8
d)
𝑘𝜋
2
+
3𝜋
4
e)
𝑘𝜋
2
−
𝜋
4
24. Determine el número de raíces que se
obtiene al resolver la ecuación
trigonométrica.
Cos2x = 2Sen2
(
π
4
− x); si 𝑥 ∈ [0; 𝜋]
a) 1 b) 0 c) 3 d) 4 e) 5
25. Resolver el sistema de ecuaciones :
x + y =
π
2
… … … (1)
Senx = Seny … … (2)
a)
π
2
− kπ b)
π
2
+ kπ c)
π
4
− kπ
d)
π
5
− kπ e)
π
6
− kπ
26. Resolver la inecuación, Para x en [0; 2𝜋]
Cosx < Sen
π
6
a) [−
𝜋
3
;
𝜋
3
] b) 〈
𝜋
3
;
5𝜋
3
〉 c) ∅
d) [
𝜋
2
;
3𝜋
2
] e) FD
27. Resolver el intervalo de 〈0; 2𝜋〉 la
inecuación: −
1
2
< Cosx <
1
2
a) x ∈ 〈
π
3
;
π
4
〉 ∪ 〈
3π
4
; π〉
b) x ∈ [
π
3
;
2π
3
〉 ∪ 〈
4π
3
;
5π
3
]
c) x ∈ 〈
π
3
;
π
4
〉 d) x ∈ [0;
π
4
〉 e) x ∈ 〈
π
4
;
3π
4
〉
28. Hallar el valor de: ‘‘a’’ para los cuales
la ecuación : Sen4
x − 2Cos2
x + a2
= 0
Tiene soluciones reales.
a) |a| > 2 b)|a| ≤ √2
c) |a| > 1/2 d) |a| < 0
e) |a| = 2
29. Sea la ecuacion f(x) = g(x) Hallar la
suma de soluciones si 0 < 𝑥 < 2π
f
g(x)=|4senx|
x
y
a) π b) 2π c) 3π d) 4π e) 5π
EXAMEN SUMATIVO
30. Si 𝑥 ∈ 〈0,2𝜋〉 entonces la suma de las
soluciones de la ecuación
trigonométrica: Csc4x =2Csc2x es:
A) 𝜋 B)
𝜋
2
C) 4𝜋 D)
5𝜋
2
E) 2𝜋
EXAMEN SUMATIVO
31. La menor solución positiva de la
ecuación:
2(𝑆𝑒𝑛𝑥+𝐶𝑜𝑠𝑥)
𝑆𝑒𝑛2𝑥
+ 𝐶𝑡𝑔𝑥 = 𝑇𝑔𝑥 ,
es igual a:
A)
𝜋
4
B)
5𝜋
4
C)
7𝜋
4
D)
𝜋
6
E)
3𝜋
4