Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, grado de un término y expresión, operaciones con expresiones algebraicas, y reducción de términos semejantes. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y ejercicios para que los estudiantes apliquen lo aprendido.
Presentación aborda el temad e los grados de las expresiones algebraicas: grado absoluto y grados relativos. Se explica a través de ejemplos interactivos y se proponen ejercicios.
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con teoria y 35 ejercidos matemática y geometrías desde los conocimientos mas basicos hasta avanzados
NORMA QUE REGULA EL PROCEDIMIENTO, REQUISITOS Y CONDICIONES PARA LAS CONTRATACIONES EN EL MARCO DEL CONTRATO DEL SERVICIO DOCENTE A QUE HACE REFERENCIA LA LEY Nº 30328, LEY QUE QUE ESTABLECE MEDIDAS EN MATERIA EDUCATIVA Y DICTA OTRAS DISPOSICIONES.
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Los muros paramétricos son una herramienta poderosa en el diseño arquitectónico que ofrece diversas ventajas, tanto en el proceso creativo como en la ejecución del proyecto.
La arquitectura paleocristiana y bizantina son dos estilos arquitectónicos distintivos que se desarrollaron en la historia del arte y la arquitectura.
La arquitectura paleocristiana se refiere al estilo arquitectónico que surgió en los primeros siglos del cristianismo, desde aproximadamente el siglo II hasta el siglo VI. Este estilo se caracteriza por el uso de elementos como columnas, arcos, bóvedas y cúpulas, a menudo incorporando influencias de la arquitectura romana. Las iglesias paleocristianas tempranas solían ser de planta basilical, con una disposición longitudinal y un énfasis en la simplicidad y la funcionalidad.
Por otro lado, la arquitectura bizantina se desarrolló a partir del siglo VI en el Imperio Bizantino (el antiguo Imperio Romano de Oriente) y continuó hasta la caída de Constantinopla en 1453. Este estilo se caracteriza por el uso de cúpulas, arcos de medio punto, mosaicos elaborados, columnas esbeltas y una profusión de detalles ornamentales. Las iglesias bizantinas suelen tener una planta centralizada, con una cúpula central que domina el espacio interior.
Ambos estilos arquitectónicos reflejan la evolución del arte y la cultura durante períodos históricos específicos y han dejado un legado duradero en la historia de la arquitectura occidental.
Las características principales de la arquitectura paleocristiana son:
1. Planta basilical: Las iglesias paleocristianas tempranas tenían una planta basilical, es decir, una disposición longitudinal con una nave central y dos laterales.
2. Simplicidad y funcionalidad: El énfasis en la simplicidad y la funcionalidad era una característica importante de la arquitectura paleocristiana. Las iglesias solían ser espacios sencillos y sin adornos excesivos.
3. Uso de elementos romanos: La arquitectura paleocristiana incorporaba elementos de la arquitectura romana, como columnas, arcos y bóvedas.
4. Uso de cúpulas: Aunque no tan comunes como en la arquitectura bizantina, algunas iglesias paleocristianas también incluían cúpulas.
Las características principales de la arquitectura bizantina son:
1. Cúpulas: La arquitectura bizantina se caracteriza por el uso de cúpulas, que pueden ser grandes y dominantes en el espacio interior.
2. Arco de medio punto: Los arcos de medio punto son comunes en la arquitectura bizantina, tanto en las cúpulas como en los espacios interiores.
3. Mosaicos elaborados: Los mosaicos eran una forma de decoración muy importante en la arquitectura bizantina. Estos mosaicos solían representar escenas religiosas y eran elaborados y coloridos.
4. Columnas esbeltas: Las columnas en la arquitectura bizantina suelen ser delgadas y altas, dando una sensación de ligereza y elegancia.
5. Detalles ornamentales: La arquitectura bizantina está llena de detalles ornamentales, como motivos geométricos, cruces, hojas de acanto y otros elementos decorativos.
Estas son solo algunas de las características principales de cada estilo, pero es importante tener en cuenta sus difere
Los atletas olímpicos de la antigüedad participaban en los juegos movidos por el afán de
gloria, pero sobre todo por las suculentas recompensas que obtendrían si ganaban..
Es una presentación desde el punto de vista histórico, escultórico y pictórico, gracias a la
cual podemos apreciar a través del tiempo como el arte ha contribuido a la historia de
los olímpicos.
Unidad_2_B8_Land_Art.(1).pptx land art fotografia artefusiongalaxial333
El Land Art es un movimiento artístico surgido a finales de los años 60 y principios de los 70, en el que los artistas utilizan el paisaje natural como medio y materia prima para sus obras. A menudo, estas obras son de gran escala y se integran en su entorno de manera que alteran el paisaje de forma temporal o permanente. Aquí algunos puntos clave sobre el Land Art:
Unidad_2_B8_Land_Art.(1).pptx land art fotografia arte
Termino algebraico
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Departamento de Matemática
GUIA DE MATEMATICA
Unidad: Álgebra en R
Contenidos: - Conceptos algebraicos básicos - Operaciones con expresiones algebraicas
- Valoración de expresiones algebraicas - Notación algebraicas
- Reducción de términos semejantes - Productos notables
TÉRMINO ALGEBRAICO
Consta de: a) signo
b) coeficiente numérico
c) factor literal
Ejemplo:
-3a4
GRADO DE UN TÉRMINO
Es la suma de los exponentes del factor literal
Ejemplo:
En el término 3x3
tiene grado 3 (por el exponente de x)
En el término 4x2
y3
tiene grado 2 (2 + 3, la suma de los exponentes)
GRADO DE UNA EXPRESIÓN
Es el grado mayor de sus distintos términos.
Ejemplo:
En la expresión 3x3
+ 5y5
tiene grado 5 (por el grado del segundo termino)
En el término 4x2
y3
– 4b3
y2
z7
tiene grado 12 (por el grado del segundo término)
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones aritméticas.
De acuerdo al número de términos puede ser:
MONOMIO: tiene uno término Ej. 5 x2
yz4
;
x y
a b
2 2
−
+
BINOMIO: tiene dos términos Ej. 7 5
xy y+ ; p + q
TRINOMIO: tiene tres términos Ej. x2
+ 3x - 5
POLINOMIO O MULTINOMIO: tiene varios términos Ej. Inventa uno __________________________
TERMINOS SEMEJANTES
Los términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal. Los T. S. se pueden sumar o restar, sumando o
restando sus coeficientes numéricos y conservando el factor literal.
Ejemplo:
El término 3x2
y y el término 2x2
y , son semejantes. (tiene factor literal iguales) y al sumarlo da 5x2
y
EJERCICIOS: ahora te toca a ti demostrar lo que aprendiste
1) Define con tus palabras:
a) Coeficiente numérico b) Factor literal c) Término algebraico
2) En cada término algebraico, determina el coeficiente numérico, factor literal y el grado.
a) 3x2
y b) m c) mc2
d) –vt e) 0,3ab5
f) 3 g) -8x3
y2
z4
h) a
3
2
− i)
3
2
1
x− j)
3
7 2
a
k)
4
3m−
l)
24
4
3
ba
3) Determina el grado y el número de términos de las siguientes expresiones:
a) 7x2
y + xy b) -3 + 4x – 7x2
c) -2xy d) vt +
2
2
1
at e) 7m2
n – 6mn2
Factor literal
Coeficiente numérico
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f)
2
cba ++
g) x2
+ 8x + 5 h) 2(3x + 4y) i) 2x2
(3x2
+ 6y) j)
4
432
hcb +
4) Calcula el perímetro de cada rectángulo encontrando su expresión algebraica. Luego clasifica según su número de
términos, antes de reducir términos semejantes:
5) Reduce los términos semejantes en cada una de las expresiones siguientes:
EVALUACION DE EXPRESIONES
A cada letra o FACTOR LITERAL se le asigna un determinado valor numérico.
Ahora tú: Si a = -2 ; b = 4 ; c = -1 encuentra el valor de cada expresión
1. 12a - 8a + 10a + 3a - 18a + 5a = 2. 7ª - 8c + 4b + 6c - 4b + 3a =
Veamos ahora un ejemplo con números racionales: Si a =
3
2
y b =
2
1
, evaluemos la expresión:
3a - 2b - 5a + 4b - 6a + 3b =
3•
3
2
- 2•
2
1
- 5•
3
2
+ 4•
2
1
- 6•
3
2
+ 3•
2
1
=
2 - 1 -
3
10
+ 2 - 4 +
3
2
=
6
5
2
6
17 −
−
=
Ejemplo:
Si a = 3 y b = 2, reemplazamos esos valores en la expresión:
3 a – 2b – 5a + 4b – 6a + 3b =
3 • 3 - 2 • 2 - 5 • 3 + 4 • 2 - 6 • 3 + 3 • 2 =
9 - 4 - 15 + 8 - 18 + 6 = -14
2a
3a
4m
4mn 7y – 2x
5x + 3y
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Ahora te toca a ti :
Si a =
2
1
; b =
4
1−
; c =
3
2
encuentra el valor de cada expresión
3. 2 a - 8 a + 10 a + 3 a -
2
3
a + 5 a =
4. -1
2
3
a + 5 b - 3 c + 2 a - 4
1
2
c + 7 b =
5. -5 c + 3
4
5
b - (-4 a) + 4
1
2
c + (-5 b) - 0,6 c =
EJERCICIOS: pone en práctica lo anterior
1) En las siguientes expresiones algebraicas, reduce los términos semejantes y luego reemplaza en cada caso por a = -2 y
b = 7, para valorar la expresión.
a) 3ab – b + 2ab + 3b b) 3a2
b – 8 a2
b – 7a2
b + 3a2
b c) 2a2
b –
2
3
a2
b – 1
d) ab2
– b2
a + 3ab2
e) baba
10
7
4
5
5
4
2
3
−−+ f) bbbb
14
1
5
1
7
2 22
+−+−
2) Calcula el valor numérico de las siguientes E. A., considera para cada caso a = 2; b = 5; c = -3; d = -1 y f = 0
a) 5a2
– 2bc – 3d b) 7a2
c – 8d3
c) 2a2
– b3
– c3
– d5
d) d4
– d3
– d2
+ d – 1 e) 3(a – b) + 2(c – d) f)
72
badc +
+
−
g) fbca
8
7
2
1
5
2
4
3
+−− h) ( )a
cb + i) ( )( )fda
cba
)32( −
+−
3) Encuentra el valor numérico de las siguientes fórmulas, aplicando en cada caso solo los valores asignados para las
variables respectivas.
a)
2
·
2
at
tvd i += ; si vi = 8 m/seg , t = 4 seg , a = 3 m/seg2
(d : distancia q’ recorre un móvil)
b) Ep = m·g·h ; si m = 0,8 hg , h = 15 m , g = 9,8 m/seg2
(Ep: energía potencial)
c)
4
32
a
A = ; si a = 3,2 m (A : área de triángulo equilátero)
d)
21
21·
rr
rr
R
+
= ; si r1 = 4 ohm y r2 = 6 ohm (R : resistencia eléctrica total en paralelo)
e) 2
21·
·
r
qq
KF = ; si k = 9·109
2
2
c
Nm
; q1 = q2 = 4c y r = 10 m (F : fuerza atracción entre dos
cargas)
4) Evalúa la expresión x2
+ x + 41 para los valores de x = 0, 1, 2, 3, 4, …, 40. ¿Qué característica
tienen los números que resultan?
ENCONTRANDO FÓRMULAS
A Continuación debes encontrar una fórmula que represente a todos los términos de la sucesión de números, esta fórmula
debe ser válida para valores naturales, es decir si le damos valores a la fórmula, debe irnos entregando los términos de la
sucesión.
Ejemplo: la sucesión 2, 4, 6, 8, ….. tiene una fórmula que general estos números, una manera de encontrarla es
descomponer sus términos:
2 = 2 · 1
4 = 2 · 2
6 = 2 · 3
8 = 2 · 4
……..
2 · n, donde n ∈ N. Esta es la fórmula que genera a esta sucesión. ¡Prueba dándole valores a “n” !
Encuentra la fórmula para las siguientes sucesiones:
1) 22, 42, 62, 82, 102, ….. 2) 73, 93, 113, 133, …..
3) -1, 1 , -1 , 1 , -1 , …… 4) 4, 10, 18, 28, ……
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5) 0, 2, 5 ,9, ….. 6) 2, 4, 8, 16, 32 ,……..
6) Mersenne, antiguo matemático, propuso la expresión 2p
– 1. Al reemplazar p por un número entre 1
y 10, ¿cuáles resultan números primos?
7) Verifica si la fórmula 24n + 4(n + 1) + 10 entrega múltiplos de 7, para n ∈ N.
ALGEBRA Y GEOMETRÍA: CÁLCULO DE PERÍMETROS
Se dan los siguientes segmentos :
a b c
d e
1) Elige un segmento y dibujas 3 veces el segmento elegido
2) Elige dos segmentos y dibuja la suma de dichos segmentos
3) Elige otros dos segmentos y dibuja la diferencia entre ambos segmentos.
Recordemos el concepto de PERÍMETRO
1 cm
b
c
b
d P = a + b + c + d + e
e a
Ahora tú determinarás el perímetro de cada figura:
4. 5. 6.
x
P = _____________ P = ____________ P = __________
6. 7. 8.
2
1
m
2 cm 3 cm
4 cm
a a
b
m
a
p
m
a
x
xx
x
a a
b b
a a
m r
P = 2 + 4 + 3 + 1 = 10 cm es decir ,
perímetro es la suma de todos sus lados
P = a + b + a + b, es decir, P = 2a + 2b
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2c 2c 2m
2m r m
m
c 2s
P = _________ P = __________ P = _____________
9. 10. 2y
3t 5t m
y
4t
P = _________________ P = ____________________
Encuentra el polinomio que representa el perímetro de cada figura (todos sus ángulos son rectos):
11. y 12.
y
x x
P = ________________ P = ____________________
ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS
15) 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) =
16) 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) =
y
y
x x
x x
x x
x x
y
x x
y
0,5y 0,5y
1,5x 1,5x
1,5x 1,5x
x+y
Para resolver paréntesis se debe seguir por las siguientes reglas:
a) si el paréntesis está precedido por signo positivo, se consideran los términos por sus respectivos
signos,
b) si el paréntesis está precedido por signo negativo, debes Sumar su opuesto, es decir, cambiar el
signo de los términos que están dentro del paréntesis que vas a eliminar.
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17) -( x - 2y ) - [ { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) }] =
18) 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) =
19) 9x + 13 y - 9z - [7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z }] =
20) 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =
21) 8x - ( 1
1
2
y + 6z - 2
3
4
x ) - ( -3
3
5
x + 20y ) - ( x +
3
4
y + z ) =
22) 9x + 3
1
2
y - 9z - 7
1
2
2 5
1
3
9 5 3x y z x y z z− − + − − +
−
=
COMPLEMENTARIOS
1) Si la arista de un cubo mide 6a cm. Calcula:
a) La superficie del cubo
b) El volumen del cubo
c) La superficie y el volumen para a = 1, 2, 4, … , 16
¿en qué relación aumentan la superficie y el volumen cuando a aumenta en estos valores?
2) En una caja negra hay “b” bolitas blancas y “a” bolitas azules, Se realizan en orden los siguientes
cambios:
1º Sacar 3 bolitas azules y 5 blancas
2º Duplicar las bolitas azules y cuadruplicar las bolitas blancas
3º Agregar una bolita blanca y sacar 1 bolita azul.
A partir de esta información completa la tabla de sucesos para determinar cuántas bolitas quedan al
final.
Nº bolitas blancas Nº bolitas azules Total bolitas
Inicio b a a + b
1º
2º
3º
Repite los mismos pasos pero tomando 5 bolitas blancas y 8 bolitas azules, en lugar de b y a,
respectivamente.
3) Valorar xyzyx 2
27
1
5 62
−− , para x = 2 , y = 3 ; z = 0
4) Valorar
( ) 11
2
1321
1
)1(
)( −−
−
−−−−
+−
−
++−
cb
a
cbacba ; para a =
2
1
, b = – 1 ; c = 2
5) Valorar
mn
nmn
1
·2
4
1
25 3
+
− ; para m =
4
1
, n = 2
6) Valorar 23
12
4
3
2
1
bca
ab
bca
−
−−
; para a =
3
1
; b = – 6 ; c = 2
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17) -( x - 2y ) - [ { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) }] =
18) 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) =
19) 9x + 13 y - 9z - [7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z }] =
20) 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =
21) 8x - ( 1
1
2
y + 6z - 2
3
4
x ) - ( -3
3
5
x + 20y ) - ( x +
3
4
y + z ) =
22) 9x + 3
1
2
y - 9z - 7
1
2
2 5
1
3
9 5 3x y z x y z z− − + − − +
−
=
COMPLEMENTARIOS
1) Si la arista de un cubo mide 6a cm. Calcula:
a) La superficie del cubo
b) El volumen del cubo
c) La superficie y el volumen para a = 1, 2, 4, … , 16
¿en qué relación aumentan la superficie y el volumen cuando a aumenta en estos valores?
2) En una caja negra hay “b” bolitas blancas y “a” bolitas azules, Se realizan en orden los siguientes
cambios:
1º Sacar 3 bolitas azules y 5 blancas
2º Duplicar las bolitas azules y cuadruplicar las bolitas blancas
3º Agregar una bolita blanca y sacar 1 bolita azul.
A partir de esta información completa la tabla de sucesos para determinar cuántas bolitas quedan al
final.
Nº bolitas blancas Nº bolitas azules Total bolitas
Inicio b a a + b
1º
2º
3º
Repite los mismos pasos pero tomando 5 bolitas blancas y 8 bolitas azules, en lugar de b y a,
respectivamente.
3) Valorar xyzyx 2
27
1
5 62
−− , para x = 2 , y = 3 ; z = 0
4) Valorar
( ) 11
2
1321
1
)1(
)( −−
−
−−−−
+−
−
++−
cb
a
cbacba ; para a =
2
1
, b = – 1 ; c = 2
5) Valorar
mn
nmn
1
·2
4
1
25 3
+
− ; para m =
4
1
, n = 2
6) Valorar 23
12
4
3
2
1
bca
ab
bca
−
−−
; para a =
3
1
; b = – 6 ; c = 2