1. El documento presenta una serie de problemas de álgebra que incluyen ecuaciones polinomiales, sistemas de ecuaciones lineales, desigualdades y expresiones algebraicas. Se pide determinar valores numéricos, sumas de soluciones y otros resultados relacionados a la resolución de estos problemas. 2. Los problemas abarcan una variedad de temas como división de polinomios, raíces de ecuaciones cuadráticas, máximos y mínimos en funciones, sistemas compatibles e incompatibles, y desarrollo de binom

2. Expresiones algebraicas
1. Determine el valor de x2
de la siguiente
igualdad 2 2
2 1
1
2
1
2( )−






=
x
A) 1/2 B) 1/9 C) 4
D) 3 E) 1/4
2. Si
A B
x x
x
y y
y
=
−
=
−+ + + +
5 5
5
3 3
3
4 2 5 3
y ,
calcule el valor de S
A
B
=





36
A) S=10 B) S=100 C) S =
100
36
D) S=216 E) S=600
UNMSM 2000
3. Se sabe que x
x
+ =
1
3. Determine el
valor de E.
E x x
x x
= + + +3 2
3 2
1 1
A) 49 B) 36 C) 25
D) 18 E) 23
UNMSM 2002
4. Dado el polinomio
P(x)=(x2
+2x+1)3
, halle el valor de J
J P P P P= + + + +
−( ) −( ) −( ) −( )13 1 23 1 33 1 103 1
...
A) 381 B) 385 C) 358
D) 285 E) 582
5. Si los polinomios
P(x)=(x+n)4
+(x – n)4
Q(x)=ax4
+bx3
+cx2
+dx+e
son idénticos, determine el valor de
8 4
n
e
.
A) 8 B) 4 C) 6
D) 2 E) 1
6. Si el polinomio
P(x)=nxn+5
+(n+1)xn+6
+(n+2)xn+7
+...
es ordenado y completo, calcule el
valor de P(1) – P(– 1)
A) –15 B) –12 C) 12
D) 5 E) 15
UNMSM 2009 - II
7. Si el cociente de la división
4 3
2
2 1 2
2
x x x n
x x
n
n n
n
+
+
+− + −
+ −
∈; Z
es un polinomio cuadrático, indique
la suma de coeficientes del residuo de
dicha división.
A) 0 B) 2 C) 3
D) – 3 E) 4
8. Halle el resto de la división
( ) ( )
( )
x x
x
− + +
− −
1 6
1 4
20 2
2
dé como respuesta la suma de sus co-
eficientes.
A) 220
+69 B) 1 C) 220
+53
D) – 42 E) 220
– 69
Ecuaciones polinomiales
9. Halle la solución de la siguiente ecua-
ción
x a
a b
x b
a
c x
a b c
−
+
+
−
= +
−
+ −2
3
2
A) 2a+b B) 4a C) 5b
D) 3c E) 1
2
Álgebra

3. 10. Resuelva la siguiente ecuación si se
sabe que p > 0
p
p
p
p
x p p+





 −





 =





 +














1 1 3
2
3 3
2
2 2
A)
1
3
1
3
p
p
+






B)
1
3
1
3
p
p
−






C) 2
3
1
2
p
p
−






D)
3
2
1
2
p
p
+






E)
2
3
12
p
p
+






UNMSM 2004 - I
11. Si la ecuación cuadrática
ax2
– bx+c=0; a, b, c ∈ R
tiene raíces x1 y x2 de modo que
(x1+1)(x2+1)=1, entonces, ¿cuál es el
valor de b/c?
A) – 1
B) 1
C) 1/2
D) 2
E) – 1/2
12. En la ecuación x2
+px+q=0, las raíces
son p ≠ 0 y q ≠ 0. Halle el valor de p+q.
A) 0
B) 1
C) – 2
D) – 1
E) 2
UNMSM 2003
13. Dada la ecuación cuadrática
x2
– 5x+1=0 de conjunto solución
CS={a;b},calculeelvalorde(a – 1)2
+(b – 1)2
A) 13
B) 15
C) – 3
D) 4
E) 5
14. Halle el valor de n si se sabe que las si-
guientes ecuaciones son equivalentes.
3x2
+(a+2b)x+(n+1)=0
2x2
+(2b – a+3)x+4=0
A) 3
B) 2
C) 1
D) 4
E) 5
15. ¿Para qué valores a y b el sistema tiene
infinitas soluciones?
ax y
x by
+ =
+ =



8
9
Dé como respuesta la suma de los va-
lores encontrados.
A)
117
54
B)
113
56
C)
145
72
D)
126
45
E)
130
63
UNMSM 2004 - I
3
Álgebra

4. 16. Dado el sistema lineal
nx y n x
x ny y
+ = +
+ = −



3
2
Indique el valor de verdad de las si-
guientes proposiciones:
I. Es compatible determinada si
n ∈ R – {2}
II. Es inconsistente si n=– 2
III. Es compatible indeterminado si n=2
A) FFF B) VFV C) VVV
D) FVV E) FVF
Desigualdades
17. En las expresiones siguientes, n es un
número entero mayor que 1. ¿Cuál es
el menor de todos?
A)
2
1n −
B)
1
n C)
1
1n +
D)
2
n
E)
1
2
n






UNMSM 1998
18. Si
x +
−
1
2
pertenece al intervalo [– 3, – 2〉,
entonces el intervalo al cual pertenece
x
x
+
+
1
2
es
A) 2
5
6
7
;


B)
3
5
6
7
;


C)
4
5
6
7
;


D)
1
5
1
7
;



E)
4
5
6
7
;



19. Una fábrica produce lavadoras y se
ha encontrado que cuando el precio
por unidad es P dólares, el ingreso I
(en dólares) es I=– 4p2
+4000 p. ¿Cuál
debe ser el precio de cada lavadora
para maximizar el ingreso?
A) $400 B) $300 C) $500
D) $600 E) $455
UNMSM 2002
20. Luego de resolver el sistema
( )( )
( )( ) ( )
x x
x x x
− − ≤
− − ≤ −



2 1 0
8 1 1
Determine la suma de las soluciones
enteras.
A) 26 B) 55 C) 17
D) 45 E) 8
21. Halle la suma de los números natura-
les, tales que su cuadrado es menor
que su séxtuplo disminuido en cinco.
A) 7 B) 10 C) 11
D) 9 E) 8
UNMSM 2006 - I
22. Determine la suma de los cuadrados
de las soluciones reales aumentado en
el número de soluciones
x
x x
x
x
−
− +
−
+ −
=
1
2 1
1
2
2
1
0
2
A) 8 B) 9 C) 6
D) 5 E) 7
23. Si se sabe que f(x – 1)=2x+1, entonces
determine el producto de las solucio-
nes enteras de la inecuación.
f(x+1) ≤ f(x2) – 2 ≤ f(4)
A) 6 B) 4 C) – 12
D) – 6 E) 2
4
Álgebra

5. 24. Dado el siguiente conjunto
A
x
x
x=
+
−
∈ ≥{ }−1
1
0R
entonces determine su complemento.
A) R [0; 2〉
B) R 〈– ∞; 1〉
C) R 〈– 1; 1〉
D) R [0; 1〉
E) R 〈0; 1]
Tópicos de álgebra
25. Lasumadelassolucionesdelaecuación
x x− + − =2 2 2 03 ( ) es
A) 12 B) 14 C) 6
D) 0 E) – 2
26. Si x > 1, la solución de la ecuación
x x− − − = −1 1 24 se puede encontrar
resolviendo la ecuación.
A) x2
– 19x – 34=0
B) x2
+19x – 34=0
C) 19x2
+x+34=0
D) 19x2
+x – 34=0
E) x2
– 19x+34=0
27. Luego de resolver la ecuación irracio-
nal 6 1 3 5 3x x− = − + , determine la
suma y el producto de soluciones de la
ecuación.
A) 46; 205 B)
5
3
41
3
; C)
40
3
204
9
;
D)
46
3
205
9
; E)
46
3
203
3
;
28. Dada la ecuación x2
– 9|x – 1|=2x – 15
determine la suma de la máxima solu-
ción positiva con la máxima solución
negativa.
A) 2
B) 11
C) – 7
D) – 2
E) 7
29. Halle el menor valor de x que satisfaga
las siguientes inecuaciones.
a. a ≤ x ≤ a+20
b. |x – a|2
– 7|a – x| – 60 ≥ 0
A) a+5
B) a+7
C) a+12
D) a+6
E) a+8
UNMSM 2006 - II
30. Dada la ecuación
x x− − − = −1 13 1 36
2
determine el número de soluciones.
A) 1 B) 0 C) 2
D) 4 E) 6
31. Sieneldesarrollodelbinomio(x3
+y b
)n
el término de lugar 7 tiene la forma
Ax12
y – 6
entonces podemos afirmar
que en el desarrollo del binomio
(xb
+y n
)n+3
el término de lugar 7 es
A) C13
6 x7
y60
B) C13
6 x– 7
y60
C) C13
6 x– 7
y6
D) C13
7 xy
E) C13
6 x60
y– 7
5
Álgebra

6. 32. Dadas las proposiciones
I.
n n n n
n
n
1 2 3
2





 +





 +





 +





 =...
II. 20
3
20
17





 =






III. 7
0
2
7
1
2
7
2
2
7
7
1287 6 5




 −





 +





 − −





 =...
Indique verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
A) FFV B) VFV C) FVF
D) FFV E) FFF
Funciones
33. Sea f(x)=2x2 – 6x+13
una función definida
de [4; 6] en R tal que el intervalo [a; b]
es su rango. Indique la alternativa in-
correcta.
A) ab=218
B)
b
a
= 256
C)
b
8
1024=
D) a+b=218
E)
a
32
1=
34. Dado f y g dos funciones de R en R se
define la función H(x) tal que
I. H(x)=f(g(x))
II. Dom(H)={x/x ∈ Dom g∧ g(x) ∈ Dom f}
Sea f xx( ) = −3 ; g(x)=x2
– 1, Dom(g)=R+
H(x)=f(g(x))
halle Dom(H)
A) [0; 2] B) 〈0; 2〉 C) 〈0; 2]
D) [– 2; 2] E) 〈– 2; 0〉
35. Dado el polinomio
P(x)=ax3
+bx2
+cx+d cuya gráfica es
X
Y
3 5–1
Resuelva la ecuación
a|x|3
+b|x|2
+c|x|+d=0
A) CS={3; – 3; 5; – 5; 1; – 1}
B) CS=φ
C) CS={3; – 3; 5; – 5}
D) CS={1; 3; 5}
E) CS={1; – 1}
36. Halle el área de la región limitada por
las gráficas de las funciones
f(x)=2x+2; g(x)=ax+12; h(x)=n
tal que las gráficas de f(x) y g(x) se
cortan perpendicularmente, además,
n ∈ N ∧ 0 < n < 10
A)
n n( )+1
2
B)
( )( )50 5 10
2
− −n n
C)
( )( )50 10
4
− −n n
D)
n n2
1
6
+ +
E)
50 5
2
10
2
−





−





n n
6
Álgebra

7. 37. Halle el valor de a de modo que las
gráficas de las funciones
f(x)=x2
+5 ∧ g(x)=ax+2
tengan la forma
X
Y
A) − 12
B) 12 12∨ −
C) 12
D) 12
E) – 12
38. Las soluciones de la ecuación
a bx x2 2+
= con a > 1, b > 1 son
A) − ±1
ln( )
ln
ab
a
B) 1±
ln( )
ln( )
ab
a
C) ±
ln( )
ln( )
ab
a
D) − ±1 ln b
E) 2 ±
ln( )
ln( )
ab
a
39. Resuelva la ecuación
log
log
log
log
5
3
3
4 2
2
5
x
x
x x
( ) + = +
e indique el producto de soluciones.
A) 125
B) 34
C) 225
D) 625
E) 2025
40. Resuelva la ecuación
| log2|x||= x+2 e indique el número de
soluciones reales.
A) 1
B) 0
C) 2
D) 4
E) 3
Álgebra
01 - E
02 - B
03 - C
04 - B
05 - B
06 - B
07 - D
08 - C
09 - A
10 - B
11 - A
12 - D
13 - B
14 - E
15 - C
16 - A
17 - E
18 - C
19 - C
20 - D
21 - D
22 - E
23 - B
24 - D
25 - C
26 - E
27 - D
28 - E
29 - C
30 - D
31 - B
32 - C
33 - D
34 - C
35 - C
36 - E
37 - C
38 - A
39 - C
40 - E
7
Álgebra