Este documento introduce los conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que la probabilidad estudia fenómenos aleatorios y cómo medir la probabilidad de que ocurran eventos específicos. También define conceptos clave como espacio muestral, eventos elementales y compuestos, y operaciones entre eventos como unión, intersección y diferencia. El objetivo es entender claramente el contexto de la probabilidad y cómo utilizarla para hacer inferencias.

1. PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
1712
PROBABILI
DAD

2. PROBABILIDAD
El concepto de
probabilidad es
manejado por mucha
gente.
Frecuentemente se
escuchan preguntas
como las que se
mencionan a
continuación:

3. Cu l es la probabilidad¿ á
de que me saque la
Loter a o el Melate ?í
Qu posibilidad hay de¿ é
que me pase un accidente
automovil stico ?í
Qu posibilidad hay de que¿ é
hoy llueva ? para llevar mi
paraguas o no.
Existe alguna probabilidad¿
de que repruebe el primer
parcial ?
PROBABILIDAD

4. PROBABILIDAD
Estas preguntas en el lenguaje
coloquial esperan como respuesta
una medida de confianza
representativa o práctica de
que ocurra un evento futuro, o
bien de una forma sencilla
interpretar la probabilidad.
En este curso lo que se quiere es
entender con claridad su
contexto, cómo se mide y cómo se
utiliza al hacer inferencias.

5. PROBABILIDAD
El conocimiento de la probabilidad es de suma
importancia en todo estudio estadístico.
El cálculo de probabilidades proporciona las
reglas para el estudio de los experimentos
aleatorios o de azar, que constituyen la base
para la estadística inferencial.

6. PROBABILIDAD
Fenómenos Aleatorios y
Fenómenos Determinísticos.
Fenómeno Aleatorio.-
Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que
va a ocurrir, están relacionados con el azar o
probabilidad.
Fenómeno Determinista.-
Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe
cual será el resultado.

7. PROBABILIDAD
La probabilidad estudia el tipo de fenómenos aleatorios.
Experimento aleatorio.-
Una acción que se realiza con el propósito de
analizarla. Tiene como fin último determinar la
probabilidad de uno o de varios resultados.
Se considera como aleatorio y estocástico, si sus
resultados no son constantes.
Puede ser efectuado cualquier número de veces
esencialmente en las mismas condiciones.

8. PROBABILIDAD
Un experimento es aleatorio si se verifican
las siguientes condiciones:
1. Se puede repetir indefinidamente,
siempre en las mismas condiciones;
2. Antes de realizarlo, no se puede predecir
el resultado que se va a obtener;
3. El resultado que se obtenga pertenece a
un conjunto conocido previamente de
resultados posibles.

9. PROBABILIDAD
Ejemplos:
Tirar dardos en un blanco determinado
Lanzar un par de dados
Obtener una carta de una baraja
Lanzar una moneda

10. PROBABILIDAD
Otros ejemplos de eventos:
A: que al nacer un bebe, éste sea niña
B: que una persona de 20 años,
sobreviva 15 años más
C: que la presión arterial de un adulto
se incremente ante un disgusto

11. PROBABILIDAD
Probabilidad e Inferencia.
Se presentan dos candidatos al cargo de la
presidencia del México, el PUM y el PIM
(Partido Integral Moderno)y se desea determinar si
el candidato del PUM (Partido Único Mexicano)
puede ganar.
Población de interés: Conjunto de
respuestas de las personas mayores de
edad y con credencial que votarán el día
de las elecciones.
Criterio de gane: Si obtiene el más del 50%

12. PROBABILIDAD
Supóngase que todos los ciudadanos
mexicanos van a las urnas y se elige de
manera aleatoria, una muestra de 20
votantes.
Si los 20 votantes apoyan al candidato del
PUM
¿ Qué se concluye respecto a la posibilidad
que tiene el candidato de PUM de ganar
las elecciones ?

13. PROBABILIDAD
1.- EL CANDIDATO DEL PUM GANARA
2.- EL CANDIDATO DEL PIM GANARA
3.- NO SE PUEDE CONCLUIR NADA

14. PROBABILIDAD
1.- EL CANDIDATO DEL PUM GANARÁ
GANAR IMPLICA OBTENER MAS DEL
50%
Y COMO LA FRACCIÓN QUE LO
FAVORECE EN LA MUESTRA ES 100%,
ENTONCES LA FRACCIÓN QUE LO
FAVORECERÁ EN LA POBLACIÓN
SERA IGUAL.
¿ ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.

15. PROBABILIDAD
1.- EL CANDIDATO DEL PUM GANARÁ
SERÍA IMPOSIBLE QUE 20 DE LOS 20
VOTANTES DE LA MUESTRA LO
APOYARAN, SI EN REALIDAD, MENOS
DEL 50% DE LOS VOTANTES
PENSARÍA VOTAR POR ÉL.
¿ ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.

16. PROBABILIDAD
NO.
SI BIEN NO ES IMPOSIBLE
OBTENER 20 VOTANTES A
FAVOR DEL PUM EN UNA
MUESTRA DE 20, SI ES
PROBABLE QUE MENOS DEL
50% DE LOS VOTANTES ESTE
A FAVOR DE ÉL, AUN
CUANDO SEA MUY POCO
PROBABLE.

17. PROBABILIDAD
Espacio Muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de
interés de un experimento dado, y se le denota
normalmente mediante la letra S.
Ejemplos:
1.- Experimento: Se lanza una moneda.
Espacio muestral = total de formas en como
puede caer la moneda, o sea dos formas de
interés, que caiga sol o que caiga águila. (Si
cae de canto no es de interés y se repite el
lanzamiento).
S = { s, a }

18. PROBABILIDAD
TOME UNA MONEDA HONRADA Y
LÁNCELA 20 VECES ANOTANDO LOS
RESULTADOS.
LLAME X = CAE AGUILA
Y = CAE SOL.
¿ CUÁL ES LA FRACCION DE ÁGUILAS Y
CUÁL ES LA FRACCIÓN DE SOLES ?.

19. PROBABILIDAD
2.- Experimento: Se lanza un dado.
Espacio muestral = total de caras en que puede
caer el dado, o sea seis formas de interés:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

20. PROBABILIDAD
Los eventos aleatorios se denotan normalmente
con las letras mayúsculas A, B, C, ...
Son subconjuntos de S, esto es, A, B, C,… ⊂ S
Los eventos aleatorios son conjuntos que pueden
contener un solo elemento, una infinidad de
elementos, y también no contener ningún
elemento.
Al número de puntos muestrales de S se le
representa por N(S)

21. PROBABILIDAD
Eventos aleatorios que aparecen con gran
frecuencia en el cálculo de probabilidades:
Evento seguro.- Siempre se verifica después del
experimento aleatorio, son los mismos del
espacio muestral.
E = S y N(E) = N(S)
Evento Imposible.- Es aquel que nunca se
verifica como resultado del experimento aleatorio.
No tiene elementos de interés para su fenómeno.
Es un subconjunto de S, y la única posibilidad es
que el evento imposible sea el conjunto vacío.
Φ ⊂ S, y N(Φ) = 0

22. PROBABILIDAD
Evento Elemental.- Es el evento E que
contiene exactamente un punto muestral
de S, esto es, N(E) = 1.
Cada elemento del espacio muestral, es un
evento elemental. También se le
denomina como punto muestral.
Si s1, s2 ∈ S entonces s1, s2 son
eventos elementales.

23. PROBABILIDAD
Ejemplos (1) y (2):
En el experimento 1,
S = { s, a }, s y a son sucesos elementales
N(S) = 2
A = Que caiga sol = { s }, N(A) = 1
B = Que caiga águila = { a }, N(B) = 1

24. PROBABILIDAD
En el experimento 2,
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son
sucesos elementales, y
N(S) =6
A = Que caiga un uno = { 1 }
B = Que caiga un dos = { 2 }
: : :
F = Que caiga un seis = { 6 }

25. PROBABILIDAD
Evento Compuesto.- Es el evento E que contiene
más de un punto muestral de S, por tanto
N(E) > 1
Evento contrario a un evento A: También se
denomina evento complemento de A y es el
evento que se verifica si, como resultado del
experimento aleatorio, no se verifica A.
Ya que los eventos son conjuntos, este evento se
denota con el símbolo Ac
o bien Ā, y se define
como:
{ }s tal quec
A s A= ∈Ω ∉

26. PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanza una moneda tres veces.
Espacio Muestral:
Ω = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S), (A,A,S), (A,S,A),
(S,A,A), (A,A,A) },
N(Ω) = 8, S es el evento seguro.
Evento simple:
B:Que salgan tres soles; B ={ (S,S,S) } , N(B) = 1
Evento compuesto:
E: Que salgan al menos dos soles;
E = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S) }, N(E) = 4
Evento imposible: φ (conjunto vacio). N(φ) = 0

27. PROBABILIDAD
Si un espacio muestral contiene n puntos
muestrales, hay un total de 2n
subconjuntos o
eventos ( se le conoce como conjunto potencia ).
Por tanto para el ejemplo anterior existen:
28
= 256, eventos posibles.
Para el caso del experimento: se tira una
moneda,
el espacio muestral es de 2 puntos muestrales
S = {A, S}, por lo que se tienen 22
= 4
subconjuntos y el conjunto potencia es: (A,S),
(A), (S), φ (conjunto vacio).

28. PROBABILIDAD
Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios
Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del
conjunto Ω, espacio muestral, se pueden
aplicar las conocidas operaciones con
conjuntos, a los eventos, como son la unión, la
intersección y la diferencia de eventos.

29. PROBABILIDAD
OPERACIÓN EXPRESION DESCRIPCION
UNION A ∪ B Unión de eventos originales: es el
evento que sucede si y solo si A
sucede o B sucede o ambos
suceden
INTERSECCION A ∩ B Intersección de los eventos
originales, es el evento que sucede
si y sólo si A y B suceden
simultáneamente.
DIFERENCIA A - B La diferencia de los eventos
originales A y B, es el evento que
sucede solo en A pero no en B.

30. PROBABILIDAD
Gráficamente estas operaciones se pueden
representar a través de los diagramas de Venn.
Sea Ω el espacio muestral y A y B eventos tal que
A, B ⊂ Ω gráficamente se puede expresar como:
S
A B
Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común.

31. PROBABILIDAD
S
A B
Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en común.

32. PROBABILIDAD
De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, la
unión de dos eventos se presenta de dos formas
diferentes: cuando los eventos son mutuamente
exclusivos (que no tienen elementos en común) y
cuando entre los eventos hay elementos
comunes.
Definición.- Se dice que dos eventos A y B son
mutuamente exclusivos, cuando no pueden
ocurrir simultáneamente, es decir, A ∩ B = ∅, lo
que ocurre en la fig. 1.

33. PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanza un dado.
Espacio muestral = total de caras en que puede
caer el dado, o sea seis formas de interés:
S = { 1,2,3,4,5,6 }, N(S) = 6
Sean A, B, C los eventos:
A: Que caiga un número impar = { 1, 3, 5 } ,
N(A) = 3
B: Que caiga un número mayor de 2 y menor que 5
= { 3, 4 }, N(B) = 2
C: Que caiga un número par = { 2, 4, 6 } ,
N(C) = 3

34. PROBABILIDAD
A ∪B = { 1, 3, 5 }∪ { 3, 4 } = {1,3,4,5}, N(A ∪B) = 4
A ∪ C = { 1, 3, 5 }∪ { 2,4,6 } = {1,2,3,4,5,6}=S, N(A ∪C) = N(S) = 6
B ∪ C = { 3, 4 } ∪ { 2, 4, 6 } = {2,3,4,6}, N(B ∪ C) = 4
A ∪B ∪ C = { 1, 3, 5 }∪ { 3, 4 }∪ { 2,4,6 }= {1,2,3,4,5,6}=S,
N(A ∪B ∪ C) = 6
S
A
B
C
1
5
3
4
2
6

35. PROBABILIDAD
A ∩ B={ 1, 3, 5 } ∩ { 3, 4 } = {3}, N(A∩B) = 1
A ∩ C={ 1, 3, 5 } ∩ { 2,4,6 } = {Φ}, N(A ∩ C) = N{Φ) = 0
B ∩ C={ 3, 4 } ∩ { 2, 4, 6 } = {4}, N(B ∩ C) = 1
(A ∩ B) ∩ C = ({ 1, 3, 5 } ∩ { 3, 4 }) ∩ { 2,4,6 }= {3}∩ { 2,4,6 }={Φ},
N((A ∩ B) ∩ C) = N{Φ) = 0
A ∩ (B ∩ C) = { 1, 3, 5 } ∩ ({ 3, 4 } ∩ { 2,4,6 })= { 1, 3, 5 } ∩ { 4 }={Φ},
N(A ∩ (B ∩ C)) = N{Φ) = 0
S
A
B
C
3
4

36. PROBABILIDAD
A – B = ={ 1, 3, 5 } - { 3, 4 } = { 1, 5 }, N(A – B) = 2
A – C = { 1, 3, 5 } - { 2,4,6 } = { 1,3,5 } = A, N( A – C) = N(A) = 3
B – C = { 3, 4 } - { 2,4,6 } = { 3 }, N(B-C) = 1
S
A
B
C
1
5
3

37. PROBABILIDAD
Ac
= { 2, 4, 6} = C N(Ac
) = N( C )= 3
Bc
= {1, 2, 5, 6 } N(Bc
) = 4
Cc
= {1, 3, 5 } = A N(Cc
) = N(A) = 3
S
A
B
C
1
5
3
4
2
6

38. PROBABILIDAD
Probabilidad Clásica y Frecuencial.
Probabilidad frecuencial y regularidad
estadística
Las frecuencias relativas de un evento tienden a
estabilizarse cuando el número de
observaciones se hace cada vez mayor.
Ejemplo: La regularidad estadística en el
experimento del lanzamiento de monedas,
indica que las frecuencias relativas del
evento: que salga sol {s }, se tiende a
estabilizar aproximadamente en .5= 1/2.

39. PROBABILIDAD
Probabilidad frecuencial y regularidad
estadística
La probabilidad de un evento A, denotada
por P(A), es el valor en el que se
estabilizan las frecuencias relativas
del evento A, cuando el número de
observaciones del experimento se
hace cada vez mayor.

40. PROBABILIDAD
Esto es:
donde
N(A) = número de elementos del evento A
N(Ω) = número de elementos del espacio
muestral Ω.
( )
( ) (2)
( )
N A
P A
N
=
Ω

41. PROBABILIDAD
Probabilidad clásica.-
Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento de
ese espacio. Se define la probabilidad P del evento
A, como:
donde
NCF - número de casos favorables
NCT - número de casos totales
(1))(
NCT
NCF
AP =

42. PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento.- Se lanza una moneda
Evento A.- que al lanzar una moneda caiga
águila.
Calcular la probabilidad de A:
S = { A, S}, N(Ω) = 2
A = { A }, N(A) = 1
( ) 1
( ) .5
( ) 2
N A
P A
N
= = =
Ω

43. PROBABILIDAD
Leyes De La Probabilidad
Las relaciones que se dan entre los
eventos al ser aplicadas las
operaciones que se presentaron, se
facilitan y comprenden mejor haciendo
uso de los axiomas y teoremas de
probabilidad (Leyes de Probabilidad).
Axioma.- es una verdad evidente que no
requiere demostración.
Teorema.- Es una verdad que requiere
ser demostrada.

44. PROBABILIDAD
Axioma 1.- Sea S un espacio muestral cualquiera
y A un evento, tal que A ⊂ S, entonces se
cumple que
0 ≤ P(A) ≤ 1 (3)
esto significa que la probabilidad de cualquier
evento no puede ser más grande que uno, ni ser
menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento
seguro, y cuando es cero se llama evento
imposible.
P(A)
___________________________________
• -2 -1 0 1 2

45. PROBABILIDAD
Axioma 2.- La probabilidad del espacio muestral Ω es
un evento seguro, es uno
P(Ω) = 1
Ejemplo.-
Experimento.- Se lanza un dado
Si A =Ω, es decir si el evento A coincide o es igual al
espacio muestral, entonces.
( ) ( )
( ) 1
( ) ( )
N A N S
P A
N N
= = =
Ω Ω

46. PROBABILIDAD
Teorema 1.- Si Φ es el conjunto vacío,
entonces la probabilidad de Φ es igual a 0
Ejemplos:
Una persona que quiere ganar la lotería nacional,
pero no compra boleto.
Que aparezca un siete al lanzar un dado
Que una persona viva 250 años
En estos casos los eventos son vacíos
( )
( ) 0
( )
N
P
N
∅
∅ = =
Ω

47. PROBABILIDAD
Axioma 3.- Sea Ω un espacio muestral
cualquiera y sean A y B dos eventos tales que
A ⊂ Ω, B ⊂ Ω y A ∩ B = ∅, es decir, dos
eventos mutuamente exclusivos, entonces
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
A ∪ B
A B

48. PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanzan dos monedas
Ω = { ss, aa, sa, as}
N(Ω) = 4
Sean:
A: el evento de que al lanzar un par de monedas caigan
dos soles exactamente
B: el evento de que al lanzar un par de monedas caiga un
sol exactamente.
Los elementos de A y B son
A = { ss }
B = {sa, as}
Se puede ver que A ∩ B = ∅, no hay elementos en común,
por lo que los eventos son mutuamente exclusivos o
disjuntos, por tanto
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

49. PROBABILIDAD
( ) 1
( )
( ) 4
( ) 2
( )
( ) 4
1 2 3
( ) ( ) ( )
4 4 4
N A
P A
N
N B
P B
N
P A B P A P B
= =
Ω
= =
Ω
∪ = + = + =

50. PROBABILIDAD
Axioma 4.-
Sean A1, A2, A3, A4, ..., An eventos mutuamente
exclusivos:
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4, ... ∪ An) =
P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An)
Este axioma dice que la probabilidad de varios
eventos mutuamente exclusivos (que no tienen
elementos en común), es igual a la suma de sus
probabilidades.

51. Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n eventos seria:
1 2 1 2
1 2
( ... ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ... ( ... )
n n
n n
i j i j k k
i j i j k
P A A A P A P A P A
P A A P A A A P A A A
≠ ≠ =
= + + + −
+ − +∑ ∑
U U U
I I I I I I

52. PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanza un dado
Sean
Evento A: que al lanzar un dado salga el 2 o el 4
Evento B: que al lanzar un dado salga un número
mayor a 4
Evento C: que salga el 1 o 3
Los elementos de A, B y C son
A = {2, 4}, N(A) = 2
B = {5, 6}, N(B) = 2
C = {1, 3} , N(C) = 2

53. PROBABILIDAD
Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya
que A ∩ B = {Φ}, A ∩ C = {Φ},
B ∩ C = {Φ},
Por axioma 4
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)
( ) 2
( )
( ) 6
( ) 2
( )
( ) 6
( ) 2
( )
( ) 6
2 2 2 6
( ) ( ) ( ) ( ) 1
6 6 6 6
N A
P A
N
N B
P B
N
N C
P C
N
P A B C P A P B P C
= =
Ω
= =
Ω
= =
Ω
∪ ∪ = + + = + + = =

54. PROBABILIDAD
Teorema 2.-(Ley Aditiva de la Probabilildad).
Sean A y B dos eventos no excluyentes, A ∩ B ≠
∅, entonces
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
A ∪ B

55. PROBABILIDAD
Diferencia
Sean A y B dos eventos:
A-B = { x | x ∈ A y x ∉ B }
A
B
A - B

56. PROBABILIDAD
Ejemplo.-
Experimento.- Se lanza un dado y una moneda
Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
N(Ω) = 12
A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el
número 2 o 3 con sol.
B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan
números pares con sol.
A = { 2s, 3s }, N(A) = 2
B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3
A ∩ B = { 2s } N(A ∩ B ) = 1
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 2/12 + 3/12 – 1/12 = 4/12 = 1/3

57. PROBABILIDAD
Teorema 3.- Sea A un evento cualquiera y Ω un
espacio muestral, tal que A⊂S, si Ac
es el
complemento del evento A, entonces la
probabilidad de Ac
es igual a 1 menos la
probabilidad de A, es decir
P(Ac
) = 1 – P(A)

58. PROBABILIDAD
Experimento.- Se lanza un dado y una moneda
Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
N(Ω) = 12
A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el
número 2 o 3 con sol.
B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan
números pares con sol.
A = { 2s, 3s }, N(A) = 2
B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3
Ac
= { 1s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
P(Ac
) = 1 – P(A) = 1 – 2/12 = 10/12
Bc
= { 1s, 3s, 5s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
P(Bc
) = 1 – P(B) = 1 – 3/12 = 9/12

59. PROBABILIDAD
Probabilidad Condicional.
Sea A un evento arbitrario de un espacio
muestral Ω, con P(E) > 0. La probabilidad
de que un evento A suceda una vez que E
ha sucedido o en otras palabras, la
probabilidad condicional de A dado E, se
define como:
)(
)(
)/(
EP
EAP
EAP
∩
=

60. PROBABILIDAD
Eventos Independientes:
Se dice que los eventos A y E son independientes si
se cumplen:
Si no se cumplen, se dice que los eventos son
dependientes.
)()()(
)()/(
)()/(
BPAPBAP
EPAEP
APEAP
=∩
=
=

61. PROBABILIDAD
Probabilidad Condicional.
Ley Multiplicativa de la Probabilidad.
Ya que (A∩E) = (E∩A) y despejamos a P(A∩E), se tiene
que la probabilidad de la intersección es:
)AP()E/AP(
)()/()(
)(
)(
)/(
)(
)(
)/(
=
=∩
∩
=
∩
=
EPEAPEAP
AP
AEP
AEP
EP
EAP
EAP

62. PROBABILIDAD
Probabilidad Condicional.
Si A y B son independientes:
P(E)P(A))AP()E/AP(
)()()()/()(
==
==∩ EPAPEPEAPEAP
)(
)(
)()(
)(
)(
)/(
)(
)(
)()(
)(
)(
)/(
EP
AP
APEP
AP
AEP
AEP
AP
EP
EPAP
EP
EAP
EAP
==
∩
=
==
∩
=

63. PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Lanzar un dado.
A: que al lanzar el dado caiga 3
E: que al lanzar un dado salga un impar
Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado
se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar.
Ω = {1,2,3,4,5,6}
A = {3}, E = { 1,3,5}, (A∩E) = {3},
P(A) = 1/6
P(A/E) = P(A∩E)/ P(E)
= 1/6 / 3/6 = (1)(6)/(6)(3)
= 6/18 = 1/3

64. PROBABILIDAD
Otra forma de calcular las probabilidades de la
intersección y las probabilidades condicionales,
de dos eventos A y B, tal que
A ∪ AC
= Ω
B ∪ BC
= Ω
es elaborando primero la tabla de número de
elementos de los eventos y después la tabla de
sus probabilidades.

65. B Bc
Total
A A∩B A∩Bc
A
Ac
Ac
∩B Ac
∩Bc
Ac
Total B Bc
Ω
Se tienen los eventos A y B y sus complementos
Ac
, Bc

66. B Bc
Total
A N(A∩B) N(A∩Bc
) N(A)
Ac
N(Ac
∩B) N(Ac
∩Bc
) N(Ac
)
Total N(B) N(Bc
) N(Ω)
Tabla de número de elementos de A, B y sus
complementos Ac
, Bc

67. B Bc
Total
A P(A∩B) P(A∩Bc
) P(A)
Ac
P(Ac
∩B) P(Ac
∩Bc
) P(Ac
)
Total P(B) P(Bc
) P( Ω)
Tabla de probabilidades de A, B, Ac
, Bc
y sus
intersecciones

68. PROBABILIDAD
Probabilidades condicionales:
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
P(A/Bc
) = P(A ∩ Bc
)/P(Bc
)
P(B/Ac
) = P(Ac
∩ B)/P(Ac
)
P(Ac
/B) = P(Ac
∩ B)/P(B)
P(Bc
/A) = P(A ∩ Bc
)/P(A)

69. PROBABILIDAD
Ejemplo.-
En cierta ciudad, las mujeres representan el 50%
de la población y los hombres el otro 50%. Se
sabe que el 20% de las mujeres y el 5% de
hombres están sin trabajo. Un economista
estudia la situación de empleo, elige al azar una
persona desempleada. Si la población total es
de 8000 personas,
¿ Cuál es la probabilidad de que la persona
escogida sea ?:

70. PROBABILIDAD
a).- Mujer
b).- Hombre
c).- Mujer dado que está empleado
d).- Desempleado dado que es hombre
e).- Empleado dado que es mujer
Sean los eventos:
M: Que sea Mujer
H: Que sea Hombre
D: Que sea Desempleado
E: Que sea Empleado

71. Desempleados
D
Empleados
E
Total
Mujeres
M
800 3200 4000
Hombres
H
200 3800 4000
Total 1000 7000 8000
Tabla Número de elementos de los Eventos M, H, D, E y S

72. D E Total
M 800/8000 = .1 3200/8000= .4 4000/8000= .5
H 200/8000= .025 3800/8000= .475 4000/8000= .5
Total 1000/8000= .125 7000/8000= .875 8000/8000= 1
Tabla de Probabilidades

73. PROBABILIDAD
P(M) = .50
P(H) = .50
P(E) = .875
P(D) = .125
P(M/E) = P(M∩E)/P(E) = .40/.875 = .4571
P(D/H) = P(D∩H)/P(H) = .025/.5 = .05
P(E/M) = P(M∩E)/P(M) = .40/.5 = .8
P(M/D) = P(M∩D)/P(D) = .10/.125 = .8
P(H/D) = P(H∩D)/P(D) = .025/.125 = .2

74. PROBABILIDAD
Eventos dependientes e independientes
En el ejemplo anterior se tiene que
P(M) = .50
P(H) = .50
P(E) = .875
P(D) = .125
P(M∩E) = .40 P(M) P(E) = .4375
P(D∩H) = .025 P(D) P(H) = .0625
P(M∩D) = .10 P(M) P(D) = .0625
P(E∩H) = .475 P(E) P(H) = .4375

75. PROBABILIDAD
Por tanto los eventos M y E ,
D y H,
M y D,
E y H
son dependientes.

76. Ley general Multiplicativa para n
eventos
1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1( ... ) ( ) ( ) ( )... ( ... )k k kP A A A A P A P A A P A A A P A A A A −=I I I I I I I I
INDEPENDENCIA DE n EVENTOS
1 2 3 1 2 3( ... ) ( ) ( ) ( )... ( )k kP A A A A P A P A P A P A=I I I I

77. PROBABILIDAD
Probabilidad total.-
Sean A1, A2, A3..., An eventos disjuntos
(mutuamente excluyentes), que forman una
partición de Ω. Esto es Ai ∩ Aj = ∅ para
toda i y toda j, y además
Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪…∪ An
A1
A2
A3
A4
A5
A6
An

78. PROBABILIDAD
Y sea E otro evento tal que E ⊂ Ω y E ∩ Ai ≠ ∅
A1
A2
A3
A4
A5
A6
An
E
E

79. PROBABILIDAD
Entonces
E = Ω ∩ E = (A1 ∪ A22∪ A3∪…∪ An) ∩ E
= (A1 ∩ E) ∪(A2 ∩ E) ∪(A3∩ E)
∪…∪ (An∩ E)
Al aplicar la función de probabilidad a ambos eventos,
se tiene que:
P(E) = P(A1∩E) + P(A2∩E) +P(A3∩E) +…+P(An ∩E)
Ya que (Ai ∩ E) es ajeno a (Aj ∩ E) para i ≠ j

80. PROBABILIDAD
Como (Ai ∩ E) = (E ∩ Ai) entonces
P(Ai ∩ E) = P(E ∩ Ai) = P(E/Ai) P(Ai)
Entonces la probabilidad completa de E es:
P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) +
P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)

81. PROBABILIDAD
Ejemplo.-
En una pequeña empresa de tejidos se obtiene
su producción con tres máquinas hiladoras M1,
M2 y M3 que producen respectivamente 50%,
30% y el 20% del número total de artículos
producidos.
Los porcentajes de productos defectuosos
producidos por estas máquinas son 3%, 4% y
5%. Si se selecciona un artículo al azar,
¿ Cuál es la probabilidad de que el artículo sea
defectuoso ?

82. PROBABILIDAD
Sea
D el evento: Que sea un artículo defectuoso.
P(M1) = .50 P(D/M1) = .03
P(M2) = .30 P(D/M2) = .04
P(M3) = .20 P(D/M3) = .05
P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) +
P(D/M3) P(M3)
= .03(.50) + .04(.30) + .05(.20) = 0.037

83. M1
M2
M3
D
ND
D
ND
D
ND
P(M1)=.50
P(M2)=.30
P(M3)=.20
P(D/M1)=.03
P(ND/M1)=.97
P(D/M2)=.04
P(D/M3)=.05
P(ND/M2)=.96
P(ND/M3)=.95
P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015
P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012
P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01
P(D) = .015+.012+.01=.037

84. PROBABILIDAD
Teorema de Bayes.- Supóngase que A1, A2, A3,...,An
es una partición de un espacio muestral Ω. En cada
caso P(Ai) ≠ 0. La partición es tal que A1, A2, A3,...,An,
son eventos mutuamente exclusivos. Sea E
cualquier evento, entonces para cualquier Ai,
)/()()/()()/()(
)/()(
)/(
2211 nn
Ii
i
AEPAPAEPAPAEPAP
AEPAP
EAP
+++
=


85. PROBABILIDAD
P(E)
)/()(
)/(
entonces
:esEdecompletaadprobabilidlaComo
2211
Ii
i
nn
AEPAP
EAP
))P(E/AP(A))P(E/AP(A))P(E/AP(AP(E)
=
+++= 

86. PROBABILIDAD
Ejemplo.-
En una pequeña empresa de tejidos se obtiene
su producción con tres máquinas hiladoras M1,
M2 y M3 que producen respectivamente 50%,
30% y el 20% del número total de artículos
producidos.
Los porcentajes de productos defectuosos
producidos por estas máquinas son 3%, 4% y
5%. Supóngase que se selecciona un artículo
al azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál sería
la probabilidad de que el artículo haya sido
producido por la máquina M1?

87. PROBABILIDAD
Ejemplo.-
En una pequeña empresa de tejidos se obtiene
su producción con tres máquinas hiladoras M1,
M2 y M3 que producen respectivamente 50%,
30% y el 20% del número total de artículos
producidos.
Los porcentajes de productos defectuosos
producidos por estas máquinas son 3%, 4% y
5%. Supóngase que se selecciona un artículo
al azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál sería
la probabilidad de que el artículo haya sido
producido por la máquina M1?

88. PROBABILIDAD
Sea
D: Que el artículo sea defectuoso
ND: Que el artículo no sea defectuoso
M1: Que haya sido producido por la máquina 1
M2: Que haya sido producido por la máquina 2
M3: Que haya sido producido por la máquina 3
P(M1) = .50 P(D/M1) = .03
P(M2) = .30 P(D/M2) = .04
P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

89. M1
M2
M3
D
ND
D
ND
D
ND
P(M1)=.50
P(M2)=.30
P(M3)=.20
P(D/M1)=.03
P(ND/M1)=.97
P(D/M2)=.04
P(D/M3)=.05
P(ND/M2)=.96
P(ND/M3)=.95
P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015
P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012
P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01
P(D) = .015+.012+.01=.037

90. PROBABILIDAD
Por teorema de Bayes se tiene:
La probabilidad de que el artículo defectuoso se
haya producido en la M1 es del 40.54%
4054.
037.
)03)(.50(.
)(
)/()(
)/()()/()()/()(
)/()(
)/(
11
332211
11
1
===
++
=
DP
MDPMP
MDPMPMDPMPMDPMP
MDPMP
DMP