1. ,
PROBABILIDAD
Y APLICACIONES ESTADISTICAS
Paul L. Meyer
Departamento de Matemáticas
Washington Stute Univcrsity
Versión en espmiol por
Carlos Prado Campos
Departamento de Estadistica
Instituto de Matemáticas
Universidad Católica de Chile
Con la colaboración de
Germán Ardila Cuéllar
Departamento de Matemáticas y Estadistica
Universidad Nacional de Colombia
ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA
Argentina • Brasil • Chile • Colombia • Ecuador • Espal'8
Estados Unidos • México • Perú • Puerto Rico • Venezuela

2. Prefacio a la primera edición
htc tex.t.o está destinado pano un curso de un ', • .
lrod~ccoon ~ la teoría de la probabolidad al·,cmc~tr~ o para ~os _cursos trime:.trales de in-
un ano de calculo difen:ncoal e mtegral Ny ~unas de ~us apiJcacronc,. El pn:rrcquisito e:.
o cstadbllca. En la Washington State u'niv;r7supone conocomiemo previo de probabilidad
JJ,odo_ha >~do en-cñado durante vario, años s ly•.el ~~rso para el cual este texto fue dcsarro-
•ngemcna o en '"encía; naturales. la ma ~·. pnncrpalm~:mc. a t'S!UdJantes graduándose en
semestre al cstudil' de ~:sta matcrr'•t s· ybon,J de tales estudrantes sólo pueden dediMtr un
1 ·1 ' · 111 em argo com . ~
con e ca culo. pueden empezar drcho tud. . . o esos estud•antc;. están f:rmiliari.-ados
Muchos temas matemáticos pueden ~~r ~~"~as aJJ¡¡ del_ mvel estnctamente elemental.
esto es realmente cierto de la probabTd d &escntado, a doversus grados de dificultad
que 'uponen los conocimientos mate~á~c~s ~ ~s:e te•to se prelcnde aprovechar la vent~j~
lenguaJC matem;ítico prccr~o pero se r·, 'de ector, ~•n sobrepasarlo~. Se usa en ·'J un
en d t· U . . · ' lene cu1 ado de n u . . · 'e a es matcmatrco; innece,aroos EM . 0 egar a profundr7ar demasiado
se prcsent.ln y exponen vanos conce .lo~ ~eno es crertamente un «libro de cocina». Aun ue
rema~ son enunciados cuidadosamc~e .S una ma~era mformaJ, la;. definiciones y Jos t~o-
Uad:r de un teorema al m. d . ' no es posrblc. o deseable una dcmostra .. d
. · cnos se a un bosqu · d 1 cron cta-
car.tctemtrcas dostJnllvas de este lcMo son 1 CJOh e as !deas más imponante;,. Una de las
lo~ lcoremas Ydefiniciones; en ella;.. el ~csul~~M servacrones» que siguen a la mayoría de
mrnado_desde un punto de vista imuitho o particular o el concepto presentado es e~a-
Debrdo a la re;tncción auto•mpuesta d. . . .
matc!·ra que abarca una extensa área. hub~ ::nbrr un texto rel_;uivamente breve sobre una
clu"on o c~clusión de cierto, tema~. Par~-cc seres•dad de seleccionar en relación con la in-
problema. ( rcrtamente, yo no sosten o u que no hay manera obvia de resolver este
ha~r encontmdo sitio: ni plctendo~u~ ~· p~ra algunos de los temas excluidos. no se podría
bar¡;o. se ha hecho hmc-dprc en ~rao¡ par~~n~:·;a~ater!al P~ía haber sido omitrdo. Sin em-
det:r.llc consrderablc. Solamente el c·tpítulo J1 ~ocoon~.-.._ tundumentales. presentadas Coll
;~,,.~::;;ro de lujo»: pero. aun aquí, cr~o que~~·n: ~·e conha?ilidud. puede ser collsiderado
' ' .son de mterés para mucha, personas A ' ~es asociadas con problemas de conlia-
un medro CXI.'Cienlc para ilustrar muchas d 1. .:emas, los conceptos de confiabilidad son
d A~" SI se piensa que la c~tensión ha sid: ~i::it~~: presenl~das am~riormente en el libro.
o una _seleccrón amplia y ra?onablc de lema. U . por el trempo disponible, se ha logra·
;lera cvodentc que unas tres cuartas partes d:j t nta OJeada al lodice general muestra de mu-
da cuarta parte está dedicada a una expost~ió de~ ~ Ira~ de tema~ probabilísticos micnlra
.e Ctraordinario en t'Sia dlvrsión partícula~ d:;".•eren~~a estadostica. Aunque no hay nad;~
<:leo lJUe un conocimiento profundo de los . . . cnfa~~~ entre probabilidad Y estadística
vo para una compren,rón pro d J flllncJpro<, basrco, de la probabilidad es ,
bab,hdad debería ser scgu'odop•a e os mctodos eMadístico~. Idealmente un cur•ormpel"atr-
. . . · por otro en reo · , . . • , en pro-
c.omo llld•qué anteriormente. la mayoría de lo na e.dst.adJSIIca y mcrodofogiu: sin embargo
toempo para d s estu rantes q 1 ·
o' semc~tres de c~posicrón con estas mat ·. ue oman C>te curso no tienen
ena; y, por tanto. me sentí ()bJig¡¡do
'1
l'rtfodto •11
,, e'poner"' meno' ,tlgunns de los aspectos ma' unportaJllcs en el lirea general de la mfcrcn-
,.,,1 c'tadiIICU.
11 ~xit u potencial de una presentación panicular de la materia no debería ser juzgado
sulamcnte en funcoón de las rdea' cspecific:r~ aprendidas y de la; técnica~ espeerlicas adqui-
nd,,, , d JUICIO ftnal debe tener en cuenta tambtén si el estudiante está b1en preparado pam
..:ontinuar estudiando el tema bien por sí mismo o por medio de un curso formal adicional.
Sr 'e considera que c>le cnteno e rmponante, se hace ev1dente que debiera insistirsc en los
''l>nccptos b.'tsrco, y en ht' t.Xni.:as fundamcnwlc>. relegando al mi>mo !lempo lo> métodos
y lema:. muy especializados a un papel secundario. Esto también resultó ser un litctor impor-
t.mt~ en lo dccis1ón -obre temas a incluir
b dilidl exagcntr la importa ncra de la teoría de la probabilidad. El modelo matemat1co
apmpiado para el estudio de un gran número de fenómenos observables es probabilistico
en Wl de determoniM•co. Adem{ts, el tema completo de la rnfercnc1a estadística está basado
en consideraciones probabilísticas. Las tccnicas estadíst ica~ se cuentan entre algunas de las
h.:rr~micnt:t~ m,¡, importantes de científicos e ingenieros. Pard poder uhlizar esas técnicas
llllchgentemcnte e~ necesarm una profunda comprensión de los conceptos probabilísticos.
Se espera que, 11demá>. de fam1harin1r~c con muchos métodos espccrlicos y conceptos,
d kctor dearrollc crerto criterio pensar probabtlisticamente su,tituycndo pregunta~ tales
como: «¿Durante cuúnto trcmpo li.oncionar<i este mc"Canismo?» por «¿Cuill es la probabolrdad
d~ r.ruc c<.tc mccani,mo funcione durant<.' m!•:. de cien hom~ '?>>. En muchus ~ituacioncs, la se-
,gund<t pregunta puede no sólo :.cr la m¡h atinada ''"o. de hecho. la única perunente.
fradicionalmentc, muchos de los concepto; rmportantcs de la probabilidad han sodo
Ilustrado. con la ayuda de varios •<juegos de azar» : lanzar monedas o dados. sacar carlas de
un" baraJa, hacer ~rur una ruleta, cte. Aunque yo no he evitado por completo referirme a
t,¡Jc juegos. porque sirven para ilustrar bien nociones bá,icfl, he intentando poner al cstudran-
k con ilustraciones más pertinentes de las aplicaciones de la probabilidad: la emisión de
p.tniculas a de um1 fuente radiactrva. muc'>trco de lote, la duracrón de mstntmcmo:. elcc-
twnicos y los problemas :"ociado' de mr.:canismos y conliabilidad del sistema, etc.
1sto~ r~acio a m~ncronar una de la~ caractcristrc-.Js m¡,, importantes en cualquier tclo
.le matemáticas: Jo, problemas; y. srn embargo, puede valer la pena señalar que el tntbajar
cun problema• debe ser considerado parte integrante del curso. Sólo mediante el acto pcr-
Onal de plantear >resohcr los eJerciciO' put.'<le el estudoante dCUrrollar una compren,ión
> apreciación de las idea:.. así como familiari~ar:.e con las técnicas pertonentes. Es por eso
que mas de 330 problema~ se han incluido en el texto y las respuestas a más de la mitad de
ello~ figur.Jn al fim•l del hbro.
l:.sic libro ha sodo escrito en una manera bastante consecutiva: la comprensión de lu ma-
lHI:J de Jo, capítulos requocre fam1haridad con lo:. anteriores; sin embargo. es posible tratar
'uperlicialmente con Jos C'dpitulos 10 y 1f ~~ se está intere;;ado. en particular. en dedicar más
tiempo a la> aplicaciones estadísticas examinadas en los capítulos 13 a 15.
Como debe suc~>der a qurenqu1era que escribe un te.~to, debo estar agradecido a muchas
per>onas: a mis colegas, por muchas convcrsacrones e.~timulantes y útiles: a mis propios
prr.lfcsores. por el conocimiento del tema y su interés en él; a los revisores de las primeras
c~oones del manu-crito. por su• mucha~ sugerencias úllles y críticas: a Addison-Wesley
l'ubltshm¡; Company, por su gran ayuda y cooperación desde las primeras etapas de este
proyecto hasta su finali;wci6n: a la señorita Carol Sloan, por ser una mccanógrufa muy eli-
l.'tcnlc y activa: a O Van Nostrand. lnc.• The Free Pres.~. lnc. y Macmillan Publishing Com-
puny, por •us permisos para reproducir las tabla~ 3, 6 y l. respectivamente; a McGraw-llill
R,lUk Company. loe.. O~ford Universíty Press. lnc.. Pergamon Press. Ud. y J>rcntice-Hall.
lnc., por sus permisos para incluir ciertos ejemplos en el texto: y. finalmente. a mi e-posa.

3. tiii Prefatio
no sólo por la paciencta mantenida durante el e;,fuerzo sino también «por dejarme» y llevarse
a nuestros dos hijos a visitar a sus abuelos durante dos cruciales meses de verano. durante
los cuales pude convertir nuestro hogar en un taller desordenado pero tranquilo, del cual
emergió milagrosamente la última, final, versión de este libro.
Pullman. Washington PAUL L. MI•YER
Prefacio a la segunda edición
En vista del considerable número de comentarios favorables que he recibtdo tanto de estu-
diantes como de profesores que han utilizado la primera edición de este libro, se han hecho
en él relativamente pocos cambios. Durante mi propio repettdo uso del texto he encontrado
que su organización básica y el nivel general de presentacióp (p. ej.: la mc¿cla de argumentos
matemáticos rigurosos con presentaciones y ejemplos más informales) son los más apropia-
dos para el tipo de estudiante que toma este curso.
Sin embargo, se han hecho varios cambios y adiciones. En primer lugar se hiLo un esfuer-
zo para eliminar varias erratas de imprenta y otros errores que aparecieron en la primera
edición. El autor está muy agradecido a los muchos lectores que. no sólo descubrieron al-
gunos de ellos. smo que se interesaron lo sufic•ente como para indicármelos.
En segundo lugar se intentó hacer míts claras las relaciones entre varias distribuciones
de probabilidades. de modo que el estudiante pueda conseguir una comprensión mayor de
cómo usar varios modelos probabtlisticos para ;tproximarlos entre si.
Finalmente, algunos problemas nuevos han sido añadido> a la ya larga lista incluida en
la primet;a edición.
El a utor desea agradecer nuevamente a Addison-Wesley Publishing Company su coo-
peración en todos los aspectos que condujeron a esta nueva edición.
Pullman, Washington P. L. M.
lndicc general
e "IJílulo 1
1.1
1.2
1.3
1.4
15
1.6
1.7
1.8
Introducción a la probabilidad
Modelos matemáticos · · ·
Introducción a los conjuntos
EJemplos de experimentos no determini~ttcos
El espacio muestra!
Sucesos ... · ·
Frecuencia relntiva
Nociones básicas de probabilidad
Varias observ;tciones.
e apitulo 2
2.1
2.2
2.3
('apitulo 3
3.1
3.2
3.3
3.4
( apitulo 4
4. 1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
Problemas ... · ·
Espacio<; mue!>trales finitos
El espacio muestra! finito . · · ·
Resultados igualmente probables
Métodos de enumeración ·
Problemas .. . · · · ·
Probabilidad coodicional e inde~ndencia
Probabilidad condicional . . . . . . · · · · · · · · · · · · · · · ·
Teorema de Bayes . . . . . . · · · ·
Sucesos independientes. . . . . . . - · · · · ·. · · ·. · · · · · :
Consideraciones esquemáticas; probabilidad condietonal e mdepcndencm
Problemas · · · · · · · · · · · ·
Variables aleatorias unidimensionales .
Noción general de una variable ;tleatona
Variables aleatorias discretas .
La distribución binomial · · ·
variables aleatorias continuas·
Función de distribución acumulativa ·
Distribuciones mixtas . · · · · · · · · ·
Variables aleatorias distribuidas uniformentc
Una observación
Problemas ...
ix
1
3
1
8
10
12
13
16
18
21
22
24
31
34
40
42
48
50
55
60
63
67
71
75
76
77
78

4. ' lndlce
(apítulo 5
5.1
5.2
5.3
Funcíones de variables aleatoria~
Un ejemplo. . . . . . . .
Sucesos equivalentes . . . . .
Variables aleatorias discretas .
5.4 Variables aleatorias continuas.
Capítulo 6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Problemas . . . . . . . . .
Variables aleatoria~ bidimensionales y de mayor dimensión
Variables aleatorias bidimensionales . . . . . . . . .
Distribuciones de probabilidades marginales y condicionales.
Variables aleatorias independientes . . . . . . . . . . .
Funciones de una variable aleatoria . . . . . . . . . . .
Distribuciones del producto y el cociente de variables aleatorias indepen-
dientes . . . . . . . . .
6.6 Variable' aleatoria~ n-dimensionales .
Capítulo 7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
Problema~ .....
Otras característica~ de las variables aleatorias
El valor esperado de una variable aleatoria . .
Esperanza de una función de una variable aleatoria
Variables aleatorias bidimensionales .
Propiedades del valor esperado . . . . . . . . .
La varianza de una variable aleatoria. . . . . . .
Propiedades de lu varianza de una variable aleatoria
Expresiones aproximadas para la esperanza y la varianza
Desigualdad de Chebyshcv .
El coeficiente de correlación
7.10 Esperan?a condicional .
7.1 1 Regresión del promedio
Capítulo 8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
Capítulo 9
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
Problemas ..... .
La variable aleatoria de Poio;son y otras variables aleatorias
La distnbución de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución bi-
nomial. .....
El proceso de Poisson . .
La distnbución geométraca
La distribución de Pascal .
Relación entre las distrabuciones binomial y de Pascal
La distribución hipergeométrica .
La distribu~1ón muhinomial .
Problemas ..... .
Algunas >arlobies aleatoria~ continuas importantes
Introducción . . . . . . . . . . .
La distribución normal. . . . . . .
Propiedades de la distribución normal
Tabulación de la distribución normal.
La diWibución exponencial.
83
83
86
88
93
95
101
105
108
112
114
117
120
126
131
132
138
140
143
146
148
152
154
158
164
165
170
175
178
179
180
181
183
187
187
188
191
195
IJ.I> ) l'rop1euadcs de la distribución exponencial
IJ 7 l.a d1strabuc1ón gama
'I.X Propiedades de la distribución gama · ·
IJ,') l.a ¡J1~tribución de 1.-cuadrado· · · · ·
1) 10 C'ompur.tción entre varias distribuciones
1) 11 L<l dl'tribución normal bivariada
'1. 12 n1,tnbucloncs truncadas .
( up1lulu 10
1() 1
10.1
111 '
104
1115
ltl 6
1ti.7
( 11111111111 11
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
Problema'
La runción generadora de momentos
1ntroducc1ón . . . . . · · ·
la func1ón generadora de momentos · ·
[¡cmplos de funciones generadoras de momentos.
Propiedades de la función generadora de momentos
Prop1cdades reproductivas · ·. ·
Sucesiones de variables alcatonas
Nota final ... ·
Problema'
Aplicaciones 3 h teoría de la confiabilidad
Concepto' básicos . · · · · · · · ·
La ley normal de fallas . . · · · · ·
L·l ley exponencial de fallas· · · · · · · · · · : · ·
l.~ ley exponencial de fallas y la distribución de Polsson .
La ley de f¡1llas de Weisbull · · ·
Conli<~bilidad de los sistemas
Problemas .. · ·.
Sumas de variables .aleatorias
1ntroducción . . · · · · · ·
1,1ley de los grandes númcr~s . . ·. : · . · .:
Apro,1mación normal a la d1stnbuc1on banom1.11
lndln
( npílulu 12
12.1
12.2
123
12.4
12.5
l'ltcorcma del límite centr.1l · · · · · · · · · · ·
om1, da.tribuciones aproximadas por la d1~tribución mlrm<ll: Pm"on.
12.6
( up1tulu 13
U.l
13.2
13.3
IJ4
ns
( 11111111IH 14
14 1
14 2
14.3
Pa,cal ) gama . . . . . . . · · · · · · · · · · · · · ·
La di,tribución de la suma de un n(lmero finito de araablcs aleatona-
Problema> · · · · · · ·
luctras) di.,tríbucíoncs muestrales
Introducción
Muestras aleatorias
[ ,tadigrafos
-lgunos estadígrafo> importante>
La transform<ICIÓn integral . · ·
Problemas .... · ·
E~timación de los parámetros
Introducción . . .
Criterios para estimadores
Algunos ejemplos . . . .
,¡
196
199
201
203
205
206
208
212
217
~IR
219
221
225
229
230
230
233
236
237
240
242
243
247
252
252
255
259
264
265
270
273
274
277
277
284
287
290
291
294

5. ll lndlcc
14.4 Estimadores de máxima vcros1mili1ud
14.5 El método de los mínimos cuadn~dos.
14.6 El coeficiente de correlación .
14.7 lntcnalos de confianza
14.8 la distribución rde Stude~t . .
14.9 Más sobre los intervalos de confian/a.
cu,)Íiuln 15
15.1
15.2
15.3
15.4
Referencia;
Ap('lldicc
Problemas .....
l)ocimasia de hipót~i~
Introducción .
F?rmulación gc~er~JI: dist~ibu~iÓn ~o·rn;aicon ·v~ri~n~a .co·n~cida
EJemplos ad1cionales
Dócima para la bond~d·d~ aJu~t~
Problemas . ........
Rcpuc<.ta a problemas scl~cionados.
lndice de materias . . . . . . . . .
298
307
310
311
313
315
319
324
329
333
336
343
346
348
362
368
Introducción a la probabilidad
1.1 Modelos matemáticos
Fn este capitulo se tratará el tipo de fenómeno de que nos ocuparemos en
c.'tc hbro. Además, formularemos un modelo matemático que nos servirá para
mvcstlgar, en forma bastante precisa, este fenómeno.
Al principio es muy importante distinguir entre el fenómeno observable
en si mismo y el modelo matemático para dicho fenómeno. Evidentemente, no
111nuimos en manera alguna sobre lo que observamos; sin embargo, al elegir
un modelo, si podemos aplicar nuestro juicio crítico. Esto ha sido muy bien ex-
presado por el Profesor J. Neyman, quien escribió*:
«Cada vez que utilizamos las matemáticas con el objeto de estudiar fenómenos obser-
vables es indispensable empezar por construir un modelo matemático (determinístico o
probabilístico) para estos fenómenos. Necesariamente, este modelo debe simplificar las
cosas y permitir la omisión de ciertos detalles. El éxito del modelo depende desi los detalles
que <;e omit1eron tienen o no importancia en el desarrollo de los fenómenos estudiados
la solución del problema matemático puede ser correcta y aún asi estar muy en desacuer-
do con los datos observados, debido sencillamente a que no estaba probada la validez
de las suposiciones básicas que se hicieron. Corrientemente, es bastante dificil afirmar
con certeza si un modelo matemático es adecuado o no, antes de obtener algunos datos,
mediante la observación. Para verificar la validez del modelo, debemos deducir un cierto
número de consecuencias del mismo y luego comparar con las observaciones esos re-
sultados predichos>>.
Tendremos presentes las ideas anteriores mientras estemos considerando
nlgunos fenómenos obtenidos en la observación y los modelos apropiados para
~u descripción. Examinemos primero lo que podría llamarse adecuadamente un
modelo dererminístico. Así designamos al modelo que estipula que las condiciones
bajo las cuales se verifica un experimento determinan el resultado del mismo.
flor ejemplo, si colocamos una batería en un circuito simple, el modelo matemá-
trco que posiblemente describiría el nujo observable de corriente sería 1 = E/ R,
que es la ley de Ohm. El modelo predice el valor de 1 tan pronto como se dan
• University of Califomia Publications in Stlllllto. Vol. 1, Üniversity of California
l'rcss, 1954.

6. 1.1
E Y R. l·n otras palabms, si se repitiese el experimento anterior cierto número
de ~ccc~. emplean~? cada vez el mcsmo c1rcuito (esto es, manteniendo fijos E y R)
po~1ble~cnte buble.ramos es~rado observar el mismo valor de J. Cualqu1er
?csvcac1on que pu~~~~ ocurnr sena tan pequeña que la mayor parte de los ob-
jCilvos de la d~cnpc10n anterior (que e:. el modelo) se cumplirían. La rcahdad
es q.ue la batena, el alambre y el amperímetro utilizados para generar y medir la
comente Y nuestra destreza para usar los instrumentos de medida, determinan
el. resultado de c~d.a repetición. (Hay ciertos factores que pueden muy bien ser
d1~tmtos de repetiCIÓn en repetición t¡uc. >in embargo. no afectanín el rcbultado
de una ma~era notable. Por ejemplo. la temperatura y la humedad en el Jubo-
ratono.~ h1cn la altura de !a per~ona que l~:c el ¡1mperímetro se puede considerar,
con r<l7.011. que no llenen 111fluencia en el rcsullado).
Hay muchos.e~emplos de «experimentos•> en la naturaleza para los cuales los
mod~los determmJshcos son apropiado~>. Por ejemplo, las leyes gravitacionales
d~S:Cr1ben muy exactamente lo que sucede a un cuerpo que cae bajo ciertas con·
d1c1ones Las leyes de Kepler oos ind1can el comportamiento de los planetas.
En ~ada caso, el m~delo señala que las condicione~ en las cuales se verifican ciertoi>
fenomenos determman el ~alor de ciertas variables observables: la magnitud de
la veloc1dad, el área recornda durante cierto período de tiempo, etc. Esta~ c1fras
aparecen en muchas de las fórmulas con la~ cuales estamos familiarizados. Por
ejemplo, sabemos que bajo ciertas condiciones la distancia recornda (vertical-
mente sobr.e el s~·~l~} por un objeto está dada por: s = - 16t1 = v0 t, en donde vo
es lu ~elocJd:1cl .m1cml y t es el tiempo empleado. Lo que queremos destacar 110
es la torma part1cu.lar de 1~ ecuación <Interior (que es cuadrática), sino el hecho de
que hay una relac1on defin1da entre 1 y .1, t¡ue ddermma unívocamente tu cantidad
del pr1mer m1embro de la ecuación, si se dan las del segundo miembro.
En muchos casos el modelo matemático determioístico descrito antenormente
es sufic1cntc. S!n. em~a~go, hay también muchos fenómenos que neces1tan un
modelo matemat1co d1stmto para su investigación. Esos son los que llamaremos
modelo~ 11o determi~ísticos o probabilísticO.~. (Otro término muy usado es modelo
f!l/o{'<:·'llml. Postenormente, e~ .este capítulo constderaremos en forma muy
prt:<.t.sa cómo se pueden descnb1r tales modelos probabilísticos. De momento
constderurernos unos pocos ejemplos.
, Supongamos que tenemos un pedazo de material radiactivo que emite par-
tlculas ex. Con. la ayuda .d.e un dispositivo para medir, podríamos registrar el nu-
m~ro de parhculas em1t1das durante un determinado intervalo de tiempo. Es
ev1dente que no podemos predecir exactamente el número de partículas emitidas
aunqu~ sepamos la fo~a exacta, la dimens1ón, la composición química y la mas~
del ob;eto que ~e cons1dera. Asl oo parece haber un modelo determinist1co ra7o-
nabl~. que nos indique el número de partículas emitiaas. digamos n, como una
func1on de vanas ~acterísticas prop1as de la fuente de radiactividad. En su
lugar, debemos cons1derar un modelo probabiHstico.
A manera de otro ejemplo consideremos la siguiente situación meteorológica.
Deseam~s ~ete~minar cu~nta lluvia caerá dcb1~0 a una tormenta que pasa por
una zon.1 espectfica. Los mstrumentos para reg1strar la cantidad de lluvia estan
l.l
lntrodutcfoll 11 los conjun«<>• J
h~tos. Las observaciones meteorológicas pueden darnos mucha información del
Irente de mal tiempo que se aproxima: la presión barométrica en diversos puntos,
tus cambios de presión la velocidad del viento, el origen y la dirección de la tor·
menta, y además otro; datos tomados a grao altura. Pero esta informa.ci?n ~n
valiosa como es para predecir de modo muy general la forma de la prectplla~ón
(tlébil, regular, intensa), sencillamente no pe~íte indicar con, mucha exaclltu~
11
ulnta lluvia caerá. De nuevo, estamos cons1derando un fenomeoo que .~~ SI
mismo no se presta a un tratamjeoto determinlstico. Un modelo probabl11shco
ucbCribe la situación con mayor exactitud.
En principio podríamos indicar cuánta lluvia cayó, si la teoría se ~~bi.era
desarrollado (lo que no se hizo). Por lo tanto, usamos un modelo probab1hsttco.
(•.n el ejemplo relacionado con la desintegración radiactiva, debemos usar un
modelo probabilistico aún en principio.
Aun a riesgo de adelantarnos a discutir uñ concepto que se definirá más tarde,
mdiquemos simplemente que en un modelo determinís~co se supone qu~ ~1 re-
,ultado real (sea numérico o de otra especie) está determmado por las cond1c1ones
bajo las cuales se efectúa el expe~e~to o prOCC:dimiento. En un modelo oo de-
lcrministico, sin embargo, las cond1ctones expenmentales dete.rmman.~olamente
el comportamiento probabilistic{) (más específicamente, la d1stnbuctoo proba-
bilistica) de los resultados observables. . .
En otras palabras, en un modelo determinístico utilizamos «cons1dera.c~o~es
lis1cas» para predecir el resultado, mientras que en un modelo pro.ba~thst.I~O
usamos la misma clase de consideraciones que para espectficar una d1stnbuc1on
de probabilidades.
1.2 lntrodueción a los conjuntos
Con el fin de discutir los conceptos básicos del modelo probabiüstico que
deseamos desarrollar, será muy conveniente tener presentes algunas ideas Ycon·
ceptos de la teoría matemática de conjuntos. ~ste. tema es.muy extenso Y se ha
escrito mucho acerca de él. Sin embargo, aqu1 solo necesitaremos algunas no-
ciones básicas.
Un conjunto es una colección de objetos. Co.m.únmente. los conjuntos se. de-
signan con tetras mayúsculas A, B, etc. para descnbtr qué objetos están cootemdos
en el conjunto A, se dispone de tres métodos. . . .
(a) Podemos anotar los elementos de A. Por ejemplo, A = {1,2, 3, 4} mdtca
el conjunto que contiene los enteros positivos 1, 2, 3 y 4. . ,
(b) Podemos describir al conjunto A con palabras. Por ejempl~, pod~1amos
decir que A está formado por todos los números reales entre Oy 1, mclus1ve.. .
(e) Para describir el conjunto anterior, simplemente podemos escnbtr
A = {x 1Os x s 1}; es decir, A es el conjunto de todas las x, en donde x es un
número real comprendido entre O y 1, inclusive.
Los objetos que forman la colección del conjunto A se llaman miembro.~ o
elementos de A. Cuando «él)>es un elemento de A escribimos a E A Y cuando «a»
no es un elemento de A escribimos af: A.

7. 4 lnlroduccii>n • 1• pmb•bllldod
1.2
Hay dos conjuntos especiales que a menudo son de interés. En la mayor parte
de los problemas, estamos interesados en el estudio de un conjunto definido de
objetos, y no de otros, por ejemplo, en todos los números reales, en todos los ar-
tículos que salen de una linea de producción durante un período de 24 horas, etc.
Definimos el conjunto rmiversal como el conjunto de todos los objetos que se con-
sideran. Corrientemente este conjunto se designa U.
Otro conjunto que se debe destacar especialmente, puede aparecer como
sigue. Supongamos que se describe el conjunto A como el conjunto de todos los
números reales x que satisfacen la ecuación x2
+ 1 = O. Evidentemente sabemos
que no pueden existir tales números. ¡El conjunto A no contiene ningún elemento!
Esta situación ocurre tan a menudo que justifica la introducción de un nombre
especial para tal conjunto. Por lo tanto, definimos el conjunto nulo o vacío como
el conjunto que no contiene elementos. Generalmente este conjunto se desgina ~·
Puede suceder que dados dos conjuntos A y B un elemento de A es también
un elemento de B. En tal caso se dice que A es un subconjunto de B y se escribe
A e B. Se da una interpretación semejante a B e A. Decirnos que dos conjuntos
son el mismo A = B, si y sólo si A e By B e A. Esto es, dos conjuntos son iguales
si y sólo si contienen los mismos elementos.
Las dos propiedades siguientes del conjunto nulo y del conjunto universal
son inmediatas.
(a) Para cualquier conjunto A, se tiene ~ e A.
(b) Una vez que el conjunto universal se ha acordado, entonces para cual-
quier conjunto A considerado que está en U, tenemos A e U.
EJEMPLO 1.1. Suponga que U = todos los números reales, A = {x 1x2 +
2x - 3 = 0}, B ={x j(x - 2)(x2
+2x-3)=0}. y e={xjx= -3, 1,2}. En-
tonces A e B y B = C.
Ahora consideremos la idea importante de combinar conjuntos dados con el fin
de formar un nuevo conjunto. Se consideran dos operaciones básicas. Estas son
paralelas, en ciertos aspectos, a las operaciones de suma y multiplicación de
números. Supongamos que A y B son dos conjuntos. Definamos e corno la unión
de A y B (algunas veces llamada la suma de A y de B) de la manera siguiente:
e = {xjxe A o xe B (o ambos)}.
Escribimos e = A v B. Así e está formado por elementos que están en A, o en B,
o en ambos.
Definimos D como la Intersección de A y B (algunas veces designado como
el producto de A y B) como sigue:
D ={xjxeA y xeB}.
Escribamos esto como D =A n B. Es así como D posee todos los elementos que
están en A y en B.
Finalmente presentamos la idea del complemento de un conjunto A como
sigue: el conjunto designado por A, formado por todos Jos elementos que no
1 2 lntrudun lhu " lu" -.·unJunlo" ~
"~·~tltn en A (sino en el conjunto univer~al U) se llama el complemento de A.
l ·sloc~. A = {xlx~ Al . · ífl
Se puede usar con mucha ventaja un recurso gráfico.co~octdo co~o gra 1cn
,¡,. lt•mt cuando se combinan conjuntos de la manera mdtcada antenormente.
1 n cada uno de Jos gráficos de la figura 1.1, la región sombreada representa el
~·"nJunto considerado.
Au B A nB
FIGURA 1.1
oA
FJIIMPLO 1.2. Supóngase que U = {1, 2, 3, 4. 5. 6, 7. 1:1, 9. JO); A -= {1, 2, 3. 4}.
¡¡ {3, 4,5,6}. Hallamos que fl = {5.6.7,8.~, 10), A u 8 ={1.2.3•.4,5, 6} ~
1 n 8 ={3,4}. Nótese que al describir un conJunto (tal como A v B) anotamos
¡·utkt demento exactamente una vez.
La~ operaciones anteriores de unión e intersección .definida~ JUSta~ncnt~ p:~~a
1¡11~ conJuntos pueden extenderse de una manera obv1a para cualqu1er numc1 ~
linltO de conJLH110S. Así definirnos A V 8 u e ~omo A u .(8 u C) o (~ u,8) ':-' e:
IJIII! es el m1~mo. como f¡kilmente se puede venficar. De tgual manera: defínnnos
1,-, 8 n e como A n (8 n C) o (A n 8) n eque. también. pued~ vcnlícarsc que
"'11 iguale~. y es evidente que podemos continuar esas construcciones de conjun-
t11, nuevo~ con nwlqtliPr número finito de conJuntos dados.
Afirm~1bamos que ciertos conJuntos eran lo mismo. por CJempl_o A "(8 " e¡
) ( 1 n 8) n C. Resulta que hay un número de tale~ conJuntO!. ¡•qwralt-1111'. algu-
nm. de los cuales ~e indtca n más adelante. Si recordamos q~c .dos conJuntos son
1~ualcs s1cmpre que contengan los mismos elementos. es fac1l venfícar qu~ los
cnuncmdo~ c:.tablecidos son verdaderos. l:l lector debe convencerse por ~~ m1smo
t:oln ;L)Uda de los diagramas de Venn.
(a)Av B = B v A. lb)AnB=BnA. (1.1)
(e) A V (B V C) =(A V B) u c. (ti) A n (8 n C} = (A n B)n e
Nus referimos a (a) y (b) como las propiedades conmutativas. y (e) Y (d) como las
rropredadcs asociativas. . .
1JIay otros conjtmtos idemidades que contienen unión, .inter~eccton Ycomp e-
mcntación. Lo~ más importantes de estos se indican a contmuac16n. En cada caso,
,n validez puede verificarse con ayuda de un diagrama de Vcnn.

8. 6 lntrodocción a la probabllldlld
(e) A v (8 f"l C) = (A v 8) 0 (A v CJ.
(1) A f" (8 V C) =lA f" 8) V (A f" C).
(g) A f"l f) = f'.
(h) A v f} =A
Ú) (A f"l 8) = ~ v 8,
(i) (A V 8) = A f"l B.
(k) A =A.
1.2
(1.2)
Observamos que (g) y (h) indican u ~ . ,
re~pccto a las opcracione~ ve f"l) q e te~omporta entre los conjuntos (con
(con respecto a las operaciones de s:~oy ~ lat~c¡·e~ n_t:~m)ero cero entre números
Para 1 • u tp ccacron .
d•tdos doso(oquc, s)rgue se necesita una construcción adicional de un conJunto
' mas COnJUntOS. ·
Definición. Sean A y 8 dos con·unto· 1 d ' ..
siano de A y 8 escrito como AJ x 8 s.l ~ learemos como el producto curte·
el conjunto de todos los , a conjunto {(a, b). a E A,IJ E Bl. esto cs.
se toma de A 1 pares ordenados en donde el primer elemento
Ye segundo de B.
EJEMPLO 1.3. Sea A - ,' 1. 2_3¡.· 8- = :1.2. 3.4:.
Entonces A X 8 -{ (1.1). (1.2)..... (1.4). (2.1)..... (2.4), (3.1)..... (3.4)1.
Ob~ervación: en gcncnll A x 8 i' B x A.
La noción anterior puede extenderse com .. ' . •
entonces A
1
x Al x ... x A _ {a 0
sigue. A •· ···.A. son con¡untos.
todos los n-tuplos ordenados~ - ( "al ····a.). a¡ e A;}, esto es el conJUnto de
Un caso especialmente Importante . . . . d
carteSiano de un conJunto cons¡·go m·, ,¡p,trcce cuan o tomamo-. el producto
1
. 1snw. CIO c-. 4 x A o A • 1 E
P os asr aparecen cuand . 1 · · • · x '
1
x 1 Jem-
donde R es el conju~to ~en~~drocsalco•son~mo~ con el plano euclidiano. R x R. en
d
. . numeros reales y el espacio e l'd ' .
1mens10nal se representa R x R x R. uc 1 rano In-
El número de e/emell(o~ en ·
un número finito de clcm~ntosu;n c~nJ~n~o nos .,erá de mucha utilidad. Si hay
finito. Si hay un número infinito de e.l •gamos U¡. "2· •..• a•. decrmo~ que A es
d
ementos en A que pueden pone
correspon encia uno-a-uno con los ent .. . rsc en una
o infinito numerable (Se puedede t eros positivo~. dectmos que 4 es nmtahle
números racionales. es infinito n;os rar por eJe~plo. que el conJunto de todos los
~so de un conjunto inlinito no':u:~~:~~blc): ~~n~lmente debe~os considerar c1
lllfinito de elementos que no d e. T.Jics conJuntos contienen un número
1
• pue en .;er enumerados Se p d d
CJemp o. que para dos números reales cualesquier· b . ue_e emostrar. por
x S b} tiene un número no numerable d 1 a > a. el conjunto A {x 1a S
con cada número real un punto sobre lae ;e~r~entos. Pu~sto que debemos asociar
expresa que cualquier llltervalo (no d ~~:e los n~meros _reale~. lo anterior
contable de puntos. egenera o) contrene mas de un número
1 1
1'" conceptos presentados anteriormente, aunque representan sólo un breve
ht1HfUCJO de la teoría de conJuntos. son suficientes para nuestro propósito: describir
, tlll ngur y precisión considerables. las ideas básicas de la teoría de la probabilidad.
l. E,jcmplos de experimentos no dcterminístieos
1 tamos ahora listos para discutir lo que entendemos por un experimento
ult .ttorío» o <<no dctcrministico». (Más precisamente. daremos eJemplos de
k uumenos para los cuales los modelos no dcterministicos son apropmdos. Esta
una distinción que el lector deberá mantener presente. Así nos referiremos
hnucntemente a expenmentos no determinísticos o aleatorios. cuando en realidad
• .t.unos hablando de un modelo no detcrminístico para un experimento). No
111,·tt•nderemos dar una derin ición precisa de diccionario para este concepto. En su
lu¡tnr, daremos numerosos ejemplos que la ilustran.
1
1 Se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior.
1 Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras
obtenidas.
1 1
Se lanza una moneda cuatro veces y se observa la sucesión de cara:. y sellos
obtenidos.
1 1 Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de
~1rtículos defectuosos producidos en un período de 24 horas.
1,. El ala de un aeroplano se arma con un gran número de remaches. Se cuenta
el número de remaches defectuosos.
1, Se fabrica una bombilla. Luego se prueba su duración poniéndola en un porta·
lámparas y se anota el tiempo transcurrido (en horas) hasta que se quema.
En un lote de 10 artículos hay 3 defectuosos. Se elige un articulo después
de otro (sin sustituir el artículo elegido) hasta que se obtiene el úlumo articulo
defectuoso. Se cuenta el número total de artículos sacados del lote.
1 " Se fabrican artículos hasta producir 1O no defectuosos. Se cuenta el número
total de artículos manufacturados.
1Q Se lanza un proyectil. Después de un tiempo determinado 1, se anotan las
tres componentes de la velocidad v,. ''r y v,.
/ 10· Se observa un proyectil recién lanzado en tiempos. l~oll.. . • . t•. En cada
oportunidad se anota la altura del proyectil sobre el suelo.
1 11 Medir la resistencia a la tensión de una barra de acero.
1
1
,: De una urna que contiene sólo esfc.:nt negras. se escoge una e~fera y se
anota su color.
1111
: Un termógrafo anota la temperatura. continuamente. en un periodo de 24
horas. En un sitio y en una fecha señalados. «leen> dicho tcrmógrafo.
1'14: En la situación descrita en E 13. se anotan x e y, las temperaturas mínima y
máxima del periodo de 24 horas considerado.
~Qué tienen en común los experimentos anteriores? Los siguientes aspectos
llO importantes para nuestra descripción de un experimento aleatorio.

9. 1! lnlruducción a lu Jorobobllídad
1...1
(n) F posible repet1r cada experimento cndefm1damente sen cambiar esencial-
mente las condiciones.
(bJ Aunque en general no podemos indicar cuúl sed un resultado ¡mrtícular.
podemos describir el conjunto de todos los resultados po.ibles del experimento.
(e) A medida que el experimento se repite. lo-; resultado individuales parecen
ocurrir en forma capnchosa. Sin embargo. como el experimento se repite un gran
numero de veces, aparece un modelo definido de regularidad. Esta regularidad
hace posible la construcción de un modelo matemático preciso con el cual analiza-
rnos el experimento. Tendremos m;ís que decir acerca de !a naturale7.a e importancia
de esta regularidad m;b adelante. Por el momento. el lector nccc~ita pensar sola-
mente en lanzamientos repetidos de una moneda regular. Aunque las caras y sellos
apa recen'tn, sucesivamente. de una manera casi arbitraria, es bien conocido el
hecho empírico de que. después de un gran número de lanzamientos. la proporción
de caras y sellos ser:'t aproximadamente igual.
Debe notarsc que todos los experimento~ dcscntos anteriormente sau~faccn
esta~ características generales. (Naturalmente. la última camctenstica mencconada
solamente ~e puede verificar por experimentación: deJaremos a la intuición del
lector creer que si el experimento se repitiese un gran número de veces la regularidad
mencionada Sl!ría evidente. Por eJemplo. si se probase un número de bombillas del
mismo fabricante. po~cblemente el número de bomb1llas quemadas en má~ de 100
bor~. dcgamos, podría ser predicha con bastante exactitud). Nótese que el expe-
rimento E1
¿ tiene la peculiaridad de que sólo es posible un resultado. En general
tales experimentos no serán de intcn!s, por el hecho de que no sabemos qué resul-
tado particular ocurrin't cuando se realice un experrmcn.o y qué lo hace interesante
para nosotros.
Ob,ermfión: al descnbtr tos dívcr,os expenmentos. hemos especificado no sólo el pro-
cedimiento quu se realiz:r smo que también lo que eswmos interesados en ob~ervar (ver, por
ejemplo, lu diferencia CniJc E2 y E, mencionados previamente). Este es un punto muy unpor-
lanre al cual no~ refenremos más adclanre cuando discutamos las variable> aleatoria' Por
el momento. obsenemos 'Implemente que, como una con...:cuencia de un solo procedimien-
to expenmcntal o ta ocurrencia de un solo fenómeno. se pudieron c-.Jk'Uiar l'ario> valor~-s
numéricos diferentes. Por CJcmplo. si se escoge una per;ona cn1re un gran grupo de personas
(y la elección propiamente dicha se hace según el procedimiento experimental indicado pre-
viamente). podríamos cst:rr rnteresados en la altura. peso, ingreso anual, número de niño,, cte..
de la per~ona. Naturalmente. en la mayoría de los caso' sabemos. antes de ~-omenzar nuc,lro
cxpcnmcnco. Ja, caraclcri~ltca, numénca' qu.: nos interesan.
1.4 El CSJlllcio muestra!
Definición. Con cada cxperimt.!nto 1; del tipo que consideramos. definimos el
e.pucio mue.,tra/ como el conJunto de todo~ los resultado~ posible~ de r..
Usualmente designamos este conJunto como S. (En nuestro contexto. S
representa el conJunto univcr~al descrilo previamente).
Consideremos cada uno de los experimentos anteriores y describamos el espacio
muestra! de cada uno. El espacio muestra! S; se refenr:í al experimento E,.
1 1...., ..... '"""'''"'
s, p,.2,J,4.5.6}.
S1
: (O. l. 2, 3, 4}. . . a en donde cada
'Todas las sucesiones posibles de la forma a.,.uz,aJ. 4. }
.'i ' :
1
0 S se ún si aparece cara 0 sello en el i-éscmo lanzamcento ·
-'• ~~O, 1~2.....~}.en donde N es el número máximo que pudo ser productdo
en 24 horas. 1 d
'i; , {0, 1, 2, ...• M}, en donde M es el número de remaches insta a os.
,.,, . j tjt ~ 0}.
' •· {3,4,5.6. 7,8,9, 10}.
~. {10. 11, 12}.
{v v v lv v v, números reales }.
,·:.,; {IJ~·..
1
:.: ,;.·,{~O, i = 1,2-;.....•n}.
, 11 {SIS ~O).
'• • {esfera negra}. 1 1 ás importante de los que aquí consideramos.
s,, Este espac1o muestra es e m · 1 cardad
Debemos suponer prácticamente que la tc~~ratura en ccelrta od. .' , s
b. b r con relac1on a ccertos va ores, 1gamoespecifica nunca puede su cr o aja . . 1 "bTd d de que
M m Fuera de esta restricción, debemos admitir a pose • 1 a.
apa~e~a cualquier ~ráfico con determinadas características..PosJble~ent~
el ráfico no tenga saltos (esto es, representará una f~nclon contmua .
Ad!más el gráfico tendrá ciertas características de suavcdad que ruc~~n
resumirse matemáticamente al decir que el gráfico represen!~ una ~~:
1
•oc~
diferenciable. Así podemos enunciar finalmente que el espacco mues
lflf una función difcrenciable, que satisface m .::;; /(t) ::;; M. para todo t}. .
,,,,.. {(x,y)jm .::;; x::;; Y.::;; M}. Es decir. S,4 consta ~e todos los puntos que cstan
sobre y en un triángulo en el plano bi-dlmensconal x, y.
ti n este libro no nos preocuparemos por los espacios mues,•rales de la copemprolejpac·d~:
. b 1 1 espac1os muestra es aparecen.
~:c~~~~i~a;nn;~~·it~~n;~e~Kt~~a::ás avanzadas que las que presuponemos.)
A fin de describir un espacio muestra! asociado con un experimento, ~~~m~~
tener una idea muy clara d e lo que mcdi.mos u observamos;i:~:tt~n~~· ~=z ~~a~el»
h,¡blar de «un» espacio muestra! asociado con. un expe S S
. 1 A ' te repecto obsérvese la dcferencca entre 2 Y J·
··~p~~te~u:~:ién q~:el resultado de un experimento no necesi:~ ser:n;úm~o.
Por eJ·emplo en E3 cada resultado es una sucesión de caras Y ~e os. n f9 Y .ó'o
• · t , que en E conSiste en una unc1 n.l'Hda resultado consiste en un vector, meen ras J J
Será importante discutir de nuevo el mímero de resultadosfid~ un .e~ga~~:~::
'bTd d 1espacio muestra! puede ser 111cto, m 1111
Iral. Surgen. tres pose ' J a, cb~: eR fi;iéndonos a los ejemplos anteriores notemos
ruble o mfmrto no numera e. e bl S S S
, S S S S S y S son finitos, Ss es infinito numera e, y 6• 9• • O·4!UCSs, 2• J, 4· s, 7• 12
•. S S son infinitos no numerables.lJ h 13, 14

10. 10 lntroduccióa • la probabilidad
I.S
A e~t~ altura po~ría ~er útil comentar la diferencia entre un espacio muestra!
matemaucamente «Idealizado» y uno realizable experimentalmente. Para este
pr?pósito, consideremos el experimento E6 y su espacio muestra! asociado S6
. Es
ev1dente que cuando anotamos el tiempo total t durante el cual funciona una
bombllla, somos «víctimas» de la precisión de nuestros instrumentos de medida.
Supo~gamos q_ue tenemos un instrumento que es capaz de anotar el tiempo con
dos cifras dectmales, por eJemplo, 16,43 horas. Con esta restricción impuesta
nuestr~ espac1o mu~stral llega a se~ infinito nu~1erable: {0,0; 0,01; 0,02, .. .•}.
Aun mas, es muy realista suponer que nmguna bomb11la puede durar posiblemente
más d~ H horas, donde H_podría ser un número muy grande. Así, parece que si
som~s completamente realistas en la descripción de este espacio muestral. estamos
considerando un espacio muestra! finito: {0,0; 0,01; 0,02, ... , H}. El número total
del resultado sería (H/0,01) + 1, que sería un número muy grande aun si H es
moderadamente grande, por ejemplo. H = 100. Resultaría matemáticamente
má~ simple y conveniente, suponer que todos los valores de 1 ~ Oson resultados
pOSibles Ypor tanto considerare! espacio muestra! S6 como se definió originalmente.
1.5 Sucesos
. Otra noción b~sica es el concepto de un suceso. Un suceso A (respecto a un espa-
CIO muestra! part1cular S asociado con un experimento e) es simplemente un
COnJUnto ~e resultados posibles. En la terminología de conjuntos, un suceso es
u_n ~bconJunto del espacio muestra! S. En vista de nuestra discusión previa, esto
s1gmfica q~e ~ m1smo es un suceso y también lo es el conjunto vacío~- Cualquier
resultado md1v1dual puede también ser considerado como un suceso.
Los siguientes son ejemplos de sucesos. Otra vez, nos referimos a los experi-
~entos anotados antenormente: A1 se referirá a un suceso asociado con el expc-
nmento E1•
A,: Un númer~ par ocurre; esto es, A 1 = {2,4, 6}.
A2: {2}; es dec1r, ocurren dos caras.
A3: {CCCC, CCCS, CCSe, CSCC, SeCC}: es decir, salen más caras que sellos.
A4: {O}; es decir, todos los artículos fueron no defectuosos.
A,: {3,4, ... , M}; es decir, más de dos remaches fueron defectuosos.
A6: {tlt < 3}; es decir, la bombilla se quema en menos de tres horas.
A t4: {(x, Y)IY = x + 20}; es decir, el máx1mo es 20~ mayor que el mínimo.
Cuando el.espacio muestra! S es finito o infinito numerable, rodo subconjunto
se puede considerar como un suceso. [Es un eJercicio fácil de verificar. y que hare-
mos en breve, ~i S ti~ne n elementos, hay exactamente 2" subconJuntos (sucesos).]
Sm embarg?, SI S es mfimto no numerable. aparece una dificultad teórica. Resulta
que cualqu1er subconJunto concebible no se puede considerar como un suceso.
Por .r~zones que escapan al nivel de esta presentación, ciertos subconjuntos «no
adm1s1bles>l deben ser excluidos. Afortunadamente tales conjuntos no admisibles
1~ Sllét~ 11
110 upun•ccn realmente en las aplicaciones y. por tanto. no nos interesarán aquí.
l ·n In que s1gue ~e supondrá tácitamente que cada vez que mencionemos un suceso
l'l 1 lh: la clase que nos está permitido considerar.
Podemos usar ahora los dijversos métodos para combinar conJuntos (es decir,
"'~'lh) y obtener los nuevos conjuntos (es decir. sucesos) que presentamos al
~lllll iCIILO.
(a) Si A y 8 son sucesos. A u Besel suceso que ocurresi ysólo si A o B (o ambos)
u~ utren
tb) Si A y Bson sucesos, A r. Bes el suceso que ocurre si y sólo si A y B ocurren.
(e) Si A es un suceso, A es el suceso que ocurre si y sólo si A no ocurre.
Id) S1 A1, •••• A. es cualqUJer colecc1ón finita de sucesos. entonces vi 1 A,
,.~ el suceso que ocurre si y sólo si al menos unq de los sucesos A1 ocurre.
(e) Si A" ...• A. es cualquier colección finita de sucesos, entonces f"'l7. , A¡
~' el suceso que ocurre si y sólo si todos los sucesos A¡ ocurren.
(f) Si A1, ••• , A. es cualquier colección infinita (numerable) de sucesos,
,·ntonccs vf. 1 A1 es el suceso que ocurre si y sólo si a lo menos uno de los sucesos
t,ocurre.
(g) Si A" ...• A., ... es cualquier colección infinita (numerable) de sucesos.
.:ntonccs f"'l'{' 1 A1 es el suceso que ocurre si y sólo si wdos los sucesos A, ocurren.
(h} Supóngase que S representa el espacio muestra! asociado con un experi-
mento e y realiza t dos veces. Entonces S x S se puede utilizar para representar
todos los resultados de esas dos repeticiones. Es decir (s,, s2) e S x S significa
11ue ,, resultó cuando se realizó t la primera vez y Sz cuando r. se realizó la se-
¡tunda vez.
(i) Evidentemente. ol ejemplo h se puede generalizar. Consideremos 11 repeti-
cJOncsdeuncxperimentoecuyoespaciomuestralesS.EntoncesS x S x · · · x S=
:ts1•. 2..... s.}.s1 e S, i = l. ... , n} representa el conjunto de todos los resultados
posibles cuando e se realiza 11 veces. En cierto sentido, S x S x · · · x S es un
espacio muestra! en sí mismo, o sea el espacio muestra! asociado con n repeticiones
de e.
Defmición. Se dice que dos sucesos, A y B, son mut11amen1e excluyentes si no
pueden ocurrir JUntos. Expresamos esto escribiendo A f"'l 8 = ~; es decir.
la intersección de A y B es el conJunto vacío.
E.IF.MPLO 1.4. Se prueba un artefacto electrónico y se anota el tiempo total de
uso. d1gamos t. Supongamos {tlt 2: 0}.
Sean A, B. y e tres sucesos definidos como sigue:
A ={tjt < 100}; B = (t!SO S t ~ 200}; C = {tjt > ISO}.
Entonces
Av 8 = ltlt S200}; A f"'l B ={¡jSOit ~ lOO};
BvC ={tlt~SO}; Br.e=(ti JSO <t$200}; A f"'IC= ~;
A u e= {rlr < 100 o r > ISO}: A = {rj1 2: 100}; C ={tlt ~ ISO}.

11. 12 lntnJducrlón u la probabilidad 1.1>
Como se discutió en la sección anterior. una de las característica~ bás1cas del
concepto de «experimentO>> es que no sabemos qué resultado particular se obtendrá
a_l realizarel experime~to: En otras palabra, si A es un suceso asociado con un expe-
nmento, no podemos md1car con certeza que A ocurrirá o no. Por lo tanto. llega a ser
muy 1mportan~e _t~atar de asociar un número con el suceso A que med1rá. de alguna
manera. la pos1b1lldad de que el suceso A ocurra. Esta tarea nos conduce a la teoría
de probabilidades.
1.6 Frecuencia relativa
~ara motivar el enfoque adoptado como solución del problema anll:rior.
cons1~eremos el procedimiento siguiente. Supóngase que repetimos 11 veces el
cxpenmento r. y sean A y B dos sucesos a~ociados con e. Sean 11,. y 11
8
el numero
respectivo de veces que el suceso A y el ~ucc~o 8 ocurrieron en las 11 repeticiones.
Definición. J,. = nA}11 se llama la .frt'cUellcia relatir>a del suceso A en las 11
repeticiones de e. La frecuencia relativa¡,. tiene las siguientes propiedades
unportantes. que son verificable~ f;ícllmente.
(1) oS.j,. S. l.
(2) f,. = 1 si y sólo si A ocurre coda Pez en las n repeticiones.
(3) .f,. = Osi y sólo si A mmca ocurre en las n repeticiones.
(4) Si A Y ~son dos suces_os que se excluyen mutuamente y si .f~uu es la
frecuencia relallva asociada al suceso A u 8 entonces j u8 1 • 1. ~ ; l - ' ' . "
(5) ,r;.. ~~sada en las 11 n:pt:ticiones del experimento y considerada p;1r;1 U11.1
func1on de n. «converge>> en cierto sentido probabilístico a P( 1)
cuando 11 - 'X..
Obs.-rcación: la propiedad (5) anterior obvoameme está indicada de una manera va¡:a
en e>te momento. Sólo posteriormente (Sce<:1ón t2.2) podremos prec1sar m;h esta 1dca. Por
ahora mdiquemos simplemente que la Prop1edud (5) encierra la notación bastante mtu111va
de que la frecuencia relativa basada en un número crec1ente de observaciones tiende a «c~­
tabilizarsc» en la proximidad de un valor delinit1vo. Esto 110 es lo mismo que el conccp;o
~or~1entc d_c convergencia que se encuentra en otra parte en matemáticas. De hecho. como se
md1~6. aqu1, esta no es del lodo una conclusión matcmútica. sino simplemente una realidad
emp1nc;1.
la mayor parte de nosotros intuitivamente estamos concientes de este fenómeno de es-
labil!zación a~nquc puede. ser que nunca lo hayamos verificado. Hacerlo requiere una
~nlldad cons1dera_ble de ll~mpo y pac1cncia. ya que requiere un gran número de rcpcll-
cloncs de un cxpenmento. Sm embargo. alguna' VL'CCS podemos ser observadores mocelllc>
de este fenómeno como Jo Ilustra el sigu1ente CJCmplo.
EJEMPLO 1.5. Supóngase que estamos parados en una acera y nos fiJamos
en dos losas de cemento adyacentes. Imaginemos que empieza a llover de tal
manera que en realidad podemos distinguir unas gotas de otras y les seguimos
¡,1 p1su para a'cnguur s1 caen en una losa o e~1 otra Co~tmu~mos observ_a~d~
11 gnt.ts llllliv1duales y anotamos su punto de 1mpacto S1mboh~ando la 1-es1ma
11.,,,1 por ,.en donde X, - 1 si la gota cae en una losa y O SI cae en la ot~~-;
l"'tlnanl{ls observar una succs1ón tal como J. J. O. l. O. O. O. 1: O. O. l. Ahora ~t.
d,1rn que no podemos predecir en donde: .:uera la gotu. pamcular. (Nuestro ~x-
1,..nmcnto con~1ste en una especie de situación metcorolo~1~a que causa la ~a1~a
d,• ¡,1, gotas de lluvia.) Si calculamos '-~ frecuenc1a rclat~va del suces~ A -:- 1_1a
¡•••t 1, 3 c en la losa 11, entonces la suces1on anterior de resultados da ongen a las
1,,.:11,•11ck1s relativa~
1
siguientcs (con ba>o.: en la ob~crvación de l. 2.3: · · · gotas):
1 1
• 1 .1 -~ ' * 4 4 (~ Esos valo1.:~ muestran un grado cons1derable de
t4•'i•b•'·3•<J•t0• t•·· · . .
, ,11 111~:16n. especialmente al comienzo. lntuitivame~te es claro que_s1 se co~tm~a.-
11 111cklm1dam.:ntc el expcnmcnto antcnnr. c~a~ lrccucnc1:ts rclat1vas se establl_l-
1rmn próximas al valor ~- Porque tencmo~ toda la nt/Ót~ pa~a creer que despues
de 1¡uc haya trascurndo cierto tiempo las dos losa'> cstanan 1gual~ente moJa~~s.
hta prop1cdad de estabilidad de la frecuenc1a relauva es aun. una noc1on
h.1stantc intuitiva y sólo podremos precisarla matemaucamcnte mas tar~e. Lo
unrortante de esta prop1cdad es que si se realiza un cxpcnmcnto un gran numero
.te veces. la frecuencia relativa con que ocurre un suce~o 1 uende a vana_r menos
1 111cnos cuando el número de repeticiones aumenta. A e~ta caractensuca se le
•k ,1gna como regularidad estadística. . . .
También hemos s1do algo imprecisos en nue~tra dcf1111C10n de experimento.
1 ,.,1ctamentc. ¡,cuándo un procedimiento o mecant~mo e~ un cxpenmento en
1111~stra opinión. succptiblc de ser estudiado matemútic;uncntc mcd1antc un mo·
.tdu no determinístico'! Previamente indicamos que debe ser pos1ble efc~tuar
11n experimento repetidamente sin cambiar las mism;1s_cond1c1onl:s ~cnctalc~.
p1,demos agregar ahora otro requisito. Cuando el cxpcnmento se _realiza rer_cu-
.t.1mente debe presentar la regularidad c~tadi>tica a que nos rdenmos antenor·
mente. Mils adelante d1scuuremos un teorema U1•1mado la ley de los grandes
numerosl que muestra que la regularidad e~tadísuca es de hecho una consecuen-
''" de la pruncra condic16n : la repetición.
1.7 Nociones básicas de probabilidad
Volvamos ahora al problema propuesto anteriormente: asignar un número
,1cada suceso A que medirá la posibilidad de que A ocum1 cua~do el expe_mncn-
1<1 se realiza. Un enfoque posible podría ser el siguiente: repet1r el expen.mcnto
un gran número de veces. calcular la frecm:nci<t n:lativa _/A. y usar cst~ num~~o.
( liando recordamos las propiedades¡;.. es claro que este numero dnuna mdtcac1on
muy dcfin1da de qué posibilidad existe de 4ue A ocurra. A~n m;is: como sabe~os
,
1
uc el experimento ,e repite más y mils Yece~. la frecuenc1a rclalla se ~stab1hza
<<:rCa de algun número. digamos p. Sin embargo hay dos ob¡ec1ones senas a e-.te
·nfoque. (al No cst;i claro cómo de grande debe ser 11 ante; de que conozcamos
d numero. ¿,1000'! r.2000? ¿10.000'1 (b) Una vet que se ha descnto completamente
el experimento y se ha especificado el suceso A. el número que buscamos no debe

12. 14 lntroducdón a la probabilidad 1.7
depender del experimentador o de una racha de suerte en particular con la que él
experimenta. (Por ejemplo, es posible que con una moneda perfectamente balan-
ceada que se lanzó 10 veces, resulten 9 caras y 1 sello. La frecuencia relativa del
suceso A ={salen caras} es así igual a -fu. Aunque es posible que en los 10 lanza-
mientos siguientes el modelo de caras y sellos pueda estar invertido.) Lo que
queremos es un medio de obtener tal número sin recurrir a la experimentación.
Naturalmente, para que el número estipulado sea significativo, cualquier experi-
mento debería dar una frecuencia relativa "cercana" al valor estipulado, en especial
si el número de repeticiones en las cuales se calculó la frecuencia relativa es muy
grande. Procederemos formalmente como sigue.
Defmición. Sea e un experimento. Sea S un espacio muestra! asociado con
e. Con cada suceso A asociamos un número real, designado por P(A)
y llamado la probabilidad de que A satisfaga las siguientes propiedades.
(1) O~ P(A) ~ l.
(2) P(S) = l. (1.3)
(3) Si A y B son sucesos que se excluyen mutuamente, P(A u B) = P(A)
+ P(B). - -
(4) Si A~. A2 , ••• , A., ... son sucesos que se excluyen mutuamente de
par en par, entonces
P(ur;. 1A1) =P(A 1) + P(A2) + ··· + P(A.) + ···
Observemos que de la Propiedad 3 se dedttce de inmediato que para cualquier
11 finito,
La Propiedad 4 no sigue; sin embargo, cuando consideremos el espacio muestra!
idealizado, esta condición será necesaria y por tanto se incluye aquí.
La elección de la lista de propiedades de las probabi)jdades está obviamente
motivada por las características correspondientes de las frecuencias relativas.
La propiedad anteriormente mencionada como regularidad estadística se ligará
con esta definición de probabilidad mús tarde. Por el momento indicamos sólo
que demostraremos que los valores de P(A) y f,. están próximos uno al otro
(en cierto sentido), si f,. se basa en un gran número de repeticiones. Este hecho
es el que justifica el empleo de P(A) para medir la probabilidad de que A ocurra.
Por el momento no sabemos como calcular P(A). Solamente hemos anotado
algunas propiedades generales que posee P(A). El lector tendrá que tener pa-
ciencia un poco más (basta el próximo capítulo) antes de que aprenda como
calcular P(A). Antes de volver a este tema indiquemos y probemos varías conse-
cuencias relativas a P(A) que se deducen de las condiciones, y que no dependen
de como calculamos P(A) en realidad.
t .7
Noci~ b'.-k"' de probabilidad t5
Teorema 1.1. Si ~ es el conjunto vacío. entonces P(~) = O.
Dl'mostración: podemos escribir, para cualquier suceso A~ A,= A u~- Pu~s~
,
111
c A y 0 son mutuamente excluyentes. se deduce d~. la Propteddd 3 que P(A _~
1•
1 1u~~~ = P(A) + P(:1). A partir de esto la conclus10n del teorema es mmed1ata.
· · d 1 ·clproco del teorema anteriorOIISI•rvació11 : tendremos ocas16n de ver mas tar e que e re . n
1111
e verdadero. Esto es. si ptA) =O, en general no podemos concluir que A = ": porque
l~o~y ltuaciones en que astgnamos probabilidad cero a un suceso que puedl' ocurnr.
Teorema 1.2. Si A es el suceso complementario de A, entonces
P(A) = 1 - P{A) (1.4)
D
·· podemos escribir S = A v A y usando las Propiedades 2emosrracron: '
~ '· obtenemos 1 = P(A) + P(A).
d "t"l rquc indica que cada vez que deseamos
Obwrvació11: este es un resulta o muy u 1
• po . d r sus-
1 1 ptA) podemos calcular P(A) en su lugar y obtener el resultado desea o po
~;;,~~it~. Veremos después que en muchos problemas es más rácil calcular P(A) que P(A).
Teorema 1.3. Si A y B son do~ sucesos cualesquiera, entonces
P(A u B) = P(A) + P(8) - P(A) n 8).
fiOIJKA 1.2
(1.5)
Demostración: la idea de esta demostración es descomponer A u 8 Y B ~n
sucesos que se excluyen mutuamente y luego aplicar la Proptcdad 3. (Ver el dta-
grama de Venn en la figura 1.2.)
Así escribimos
A u 8 = A u (B n A),
8 = (A n B) u (8 n A).

13. lit lotnNiuttión 1 la prubobilidod
Por lo tanto
P(A u 8) = P(A) + P(B f"l A).
P(B) = P(A f"l 8) + P(B f"l A).
Sustrayendo la segunda ecuación de la primera
P(A u 8) - P(B) = P(A) - P(A f"l B)
Y por tanto se obtiene el resultado.
1.11
. Observación: este teorema representa una exrensi6n obvia de )a Propiedad 3 r
81
A n 8 - l, obtenemos de lo anlerior el enunciado de la Propiedad 3. ' po que
Teorema 1.4. Si A. B. Y e son tres sucesos cualesquiera entonces
P(A u Bu C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A f"l B) _ P(A f"l C)
. - P(B f"l C) + P(A f"l B f"l e). (1.6)
Demost~ación : la demostración consiste en escribir A u 8 u e como A u
8
u e Y aplicar el resultado del teorema anterior. Dejamos Jos detalles al( lecto/
A Observackitln: una cxlensión. obvta del teorema antertor se sugiere por si misma. Sean
,, ..., A, sucesos cualesqutera. Entonces
•P(A, u A, u· .. u At) - :[ P(A1) ¿ P(A,n A,)
1 1 I<J 2
•
~ ..E P(A,nA1 n A,} +"·+(- I)' 'P(A,nA,n···nA.).
r<J<r•) "
Esre resultado se puede C$lableccr fácilmente por inducción matemárica.
(l.7)
Teorema 1.5. Si A e B, entonces P(A) ~ P(B).
tua~::~~stracíón: .pod~mos descompon~r 8 eo dos sucesos que se excluyen ~u­
~ P(A) como s•gue. B =~u (8 f"l A). Por lo tanto P(B) = P(A) + P(B f"l A)
, puesto que P(B f"l A) ~ O según la Propiedad 1.
cado:servación: este resultado es intuirivamentc atractivo. Porque dice que si 8 dtbt ocurrir
a ez que A ocurre, enlonces 8 es al menos lan probable como A.
1.8 Varias observaciones
(a) Cabe aquí una advertencia. De la discusión previa se pod · · • · ('
correctamente) d 1 • na mtenr m-
. . q~e cuan o e eg•mos un modelo probabilístico ara la descri •
CJÓn de algun fcnomeno observable descartamos todas las relacio~es determinís~-
IIC
c. L~. NuJu puede estar mús lejos de la verdad. Mantenemos todavía el hecho de
IJIIc por eJemplo, la ley de Ohm 1 =1::/R es vitlida en ciertas circunstancias. La
,tLJcrenciu ~crá de mterpretación. En vez de decir que la relación anterior deter-
IIILIIU 1 para E y R dados, reconoceremos que E (y/o) R pueden variar de una
manen1 aleatoria e imprecisa y que por lo tanto 1 variará también de una ma-
11 r:1 aleatoria. Para E y R dados. todavía 1se determina por la relación anterior.
1o Importante es que cuando adoptamos un modelo probabilístico para la des-
''I))CJÓn de un circuito, consideraremos la posibilidad que E y R pueden variar
dt• una manera imprecisa que sólo se puede describir probabilísticamentc. Así.
ruu:qo que será de importancia considerar sólo la probabi/idQd de que E y R
tomen ciertos valores. llega a ser significativo hablar sólo de la probabilidad
1k que 1 tome ciertos valores.
(b) La elección entre adoptar un modelo detcrministico o probabilístico puede
r dLiicil de hacer algunas veces. Puede depender de lo intrincado de nuestra
ll'l.;nica de medida y la precisión asociada. Por ejemplo. si las medidas precisas
on tan diliciles de obtener que las lecturas repetidas de la misma cantidad pro-
•hllcan resultados variables, un modelo probabilístico es indudablemente más
11kcuado para describir la situación.
(e) Señalaremos brevemente que bajo ciertas circunstancias, estamos en po-
•c•ón de hacer hipótesis adicionales acerca de la conducta probabilística de
nucslros resultados experimentales que nos conducirán a un método para eva-
lnnr las probabilidades básicas. La elección de esas hipótesis adicionales puede
,.,tur basada en consideraciones fisicas del experimento (ciertas propiedades de
,ametría por eJemplo). evidencia empírica. o en algunos casos, simplemente un
ru•cio personal basado en una experiencia previa con una situación similar. La
lrecuencia relativa puede JUgar un papel importante en nuestra decisión acerca
de una asignación numérica de P(A). Sin embargo. es importante darse cuenta
de que cualquier suposición que hagamos acerca de P(A) debe ser tal que se sa-
tL~fagan los axiomas del ( 1) al (4) de la Definición (1.3).
(d) En el transcurso del desarrollo de las ideas básicas de la teoría de pro-
habilidades. haremos algunas referencias a ciertas aoalogias de la mecánica. La
rrimera de ellas puede ser apropiada aquí. En mecánica. asignamos la masa a
l'ada cuerpo 8, digamos m(B). Luego hacemos varios cálculos y llegamos <1 di-
versas conclusiones acerca de la conducta de 8 y su relación con otros cuerpos.
muchos de los cuales implican su masa m(B). El hecho de que en realidad ten-
gamos que recurrir a alguna aproximación para obtener m(B) para un cuerpo
específico no disminuye la utilidad del concepto de masa. De igual manera, es-
tablecemos para cada suceso A. asociado con el espacio muestra) de un experi-
mento. un número P(A) llamado la probabilidad de A y que satisface los axiomas
básicos. En realidad al calcular P(A) para un suceso específico, tenemos que
hacer hipótesis adicionales o bien obtener una aproximación basada en la evi-
dencia empírica.
(e) E~ muy importante darnos cuenta de que hemos postulado la existencia
del número P(A) y que hemos postulado ciertas propiedades que este número
posee. La validez de las diversas consecuencias (teoremas) derivadas de esos pos-

14. t8 tntrtlduttlón a t• probabilidad
tulados de ninguna manera depende de cómo obtenemos un valor numenco
para P(A). Es vital que este punto esté claro. Por ejemplo, hemos supuesto que
P(A v 8) = P(A) + P(B). A fin de usar esta relación para la et•alllución actual
de P(A v 8). debemos conocer el valor de P(A) y de P(B). Discutiremos brevemen-
te como, bajo ciertas circunstancias, debemos hacer suposiciones adicionales que
conduzcan a un método para evaluar esas probabilidades. Si estas (u otras) su-
posiciones no están garantizadas, debemos recurrir a la experimentación para
aproximar el valor de P(A) de los datos reales. La frecuencia relativa fA desem-
peñará un papel importante en esto, y de hecho, se usará como una aproxima-
ción de P(A).
Sin embargo, es importante tener presente que fA y P(A ) no son lo mismo.
que simplemente usamos fA como aproximación de P(A), y que cada vez que
nos referimos a P(A) nos estamos refiriendo al valor postulado. Si identificamos
fA con P(A) debemos verificar que simplemente sustituimos un valor postulado
por uno aproximado obtenido experimentalmente. Qué tan buena o mala pueda
ser esta aproximación, de ninguna manera influye en la estructura lógica de
nuestro modelo. Aunque el fenómeno que pretende representar el modelo se
consideró al construirlo, nos hemos separado del fenómeno mismo (temporal-
mente al menos), cuando entramos en el dominio del modelo.
PROBLEMAS
1.1. Supóngase que el COnjunto un iver~ l consta de los enteros positivos de 1 a 10.
Sean A - {2. 3. 4}, B = {3. 4, 5}. ye - {5, 6, 7}. Anote los elementos de los s•gu•entel> con-
JUntos.
(a) A r-. 8 (b) A u 8 (e) Ar-. 8 (d) A n (8 r-. C) (e) A r-. (8 u C)
1.2. Supóngase que el conjunto universal U está dado por U lxiO~ x s, 2}. Sean
los conjuntos A y B definidos como s1gue: A = lx H < l ~ 11 y 8 - l~ 1! ~ x < i}. !~­
criba los cOnjuntos siguiente~:
(a) A u 8 (b) A u 8 (e) A n 8 (d) A n 8
1.3. ¿Cuáles de las siguientes relaciones son verdaderas'/
(a) (A u B) r-. (A u C) ~ A u (8 r-. e) (b) (A u 8) -(A n 8) u R
(e) A r-. 8 = A u 8 (d) (A u 8) n e =An 8 r-. e
(e) (A r-. 8),.., (B,.., C) - 11
1.4. Supóngase que el cor '·mto universal consta de todos los puntos (x,y) cuyas coor-
denadas son enteros y quedan dentro o sobre el contorno del cuadrado acotado por las
rectas x = O, y = O, x - 6, y = 6. Indique los elementos de los COnjuntos siguientes.
(a) A ,. {(x, y) 1x 2
+ y2
S, 6} (b) 8 = {(x, y) 1y S, x1
}
(e) e • {(x, y) 1x S y2
} (d) 8 n e (e) (8 u A) n C
1.5. Use los diagramas de Venn para establecer las Siguientes relac10ncs.
(a) A e: 8 y 8 e e implican que A e C (b) A e 8 implica que A = A n 8
(e) A e: B implica que 'B e: A (d) A e 8 implica que A u e e: 8 u e
(e) A n 8 =) y e e: A implica que 8 n e = 11
1.1>. Los articulos provemcntc<> de una lmca de producción ...: c~as1f1can dclcctuoso~ ~~~
.1 r (N) Se obscrv-1n los artículos y...: anota su cond•c•on. Este proceso seco
11 110 uCteCtUOSOS · ' ' · h er't'icadO
1 11 hasta que se produzcan dos artículos defectuosos con~ecut•vos o se ayan v 1 .
,:','.:,',
0
~rticulos, cualesquiera que ocurra primero. Describir un cspac•o mucstral para este
v~l ·r •mento.
U
N bomb111as tiene t1r < N) umdades con lilamentos rotos. E.truo
17 ¡a) na caja con 'b' t 1
,. ptllcban una por una, hasta que se encuentra una defectuosa. Dcscn 1r un espacto mues ra
lMiil este experimento. .
(b) Supóngase que las bombillas anteriores se prueban una p<>r una: hasta que se prueban
""1.1
, las defectuosas. Descnb•r el espacio mucstral para este cxpenmento.
18 Considérense cuatro objetos. a. b. 1 • y J Supóngase que el ordttt en el cual se anotan
, "'' ~b¡etos representa el resultado de un cxpcrimento.. Sean A y 8 los suce;,os defi01dos
· A 1 ,, está en el nrimcr lugar'· B {b esta en el segundo lugar}.
•UIIlO Sigue: ¡ •· ,. ' ' '
(a) Anote todos los elemento> del espacio muestral.
(b) Anote todos los elementos de los sucews A ,.., B YA u 8
· " 5 10 15 50 libra~. Supo'ngase que al
19 Un lote conuene aruculos que pc~n • • . · · · .
111~11~5• dos artículos de cada peso se encuentran allí. Se ehgen dos an•culo~ del l~te. lden:
llll•tuese por X el peso del primer artículo elegido y por Yel peso.del segun~.o damculloia~~
d
· (X Y) representa un solo resultado del cxpcnmcnto. Us.1n o e Pel par e numcros . . .
) mdiquese el espacio muestra! y los sucesos s1gu•entes
(a) {X = Y} (b) {Y > X} .
(e) El segundo articulo pesa el doble del pnmero.
(d) El primer artículo pesa 1Ohbras menos que el segundo.
(e) El promedio de peso de los dos articulo' es menos de 30 hbras.
1 lO. En un penodo de 24 horas. en un momento X. un •nterruptor ~ pone en ia ::0~;
tón "encend•do" Postenormcnte, en un momento y (todav.a en el m"mo per od .d
' 1 6 "·pagado" Supóngase que X y Y se m• en
'4 horas) el mterruptor se pone en a pos•c• n 3 • • . •
1
•d d •1 _
en horas en el eJe de tiempo con el comienzo del penodo como ongcn. El resu ta o e ex
p:nmcnto consta del par de números (X. Y).
(a) Describa el espacio muestra!.
(b) Descnba y d1buje los "gu•entes sucesos en el plano X Y
(i) El circuito funciona durante una hora o menos. .
(ii) El circUitO funciona en el tiempo z en donde z es algún intervalo durante el peno-
do dado de 24 horas. f · d é del
(iii) El circuito empieza a funcionar antes del tiem!>C? r, Yde;a de .unc•onar espu ~
tiempo 12
(en donde otra vez 11 < r1 son dos mtervi!IOs de uempo durante e pe-
ríodo cspecilicado) . .
(ív) El ctrcuito funciona el doble de lo que sera mterrump•do.
l.ll. Sean A. B. y e tres sucesos asociados con un cxpenmento. Exprese las siguientes
proposiciones verbales en notación de conjunto>.
(a) Al menos uno de los sucesos ocurre.
(b) Exactamente uno de los sucesos ocurre.
(e) Exactamente dos de tos sucesos ocurren.
(d) No ocurren más de dos sucesos simultúncamente.
1.12. Demuestre el teorema 1.4.

15. 241 louwdncdlm " lo probohllldod
1.13. (a¡ Demostrar que para dos sucesos cualesquiera, A 1 y A2, tenemos P(A 1u A 2)
S P(A 1) + P(A2).
(b) Demuestre que para n sucesos cualesquiera A1, ... . A•. tenemos
P(A 1 u··· u A.) S P(A t) + ··· + P(A.).
[Consejo: Use una inducción matemática. El resultado que se indica en (b) se llama desi-
gualdad de Boolc.)
1.14. El teorema 1.3 trata de la probab1hdad de que al menos uno de los sucesos A o
B ocurra. La propos1c1ón S1gu1ente trata de la probabilidad de que exactamente uno de los
suce<;os A o B ocurra.
Demo>trar que (P(A n 8) u (8 n A) ~ P(A) + 1'(8) - 2P(A ,.., B}
1.15. Cierto tipo de motor eléctnco falla por obstrucción de los COJinetes. por com-
bustión del embobmado o por desgaste de las escobillas. Supóngase que la probabilidad de
la obstrucc1ón e> el doble de la de combustión, la cual es cuatro veces más probable que la
inut1li1.ación de la' eseoh1lla~ ¡,C'uúl e.~ la probabilidad de que el fallo sea por cada uno de
eso;. tres mecani;.mos'!
1.16. Supóngase que A y 8 >Onsucesos para los cuales P(A) = x, P(8) = y. y P(A ,.., 8) = z.
Expresar cada una de las probabilidades siguientes en términos de x, y, y z.
(a) P(A u B) (b) P(A n 8) (e) P(A u B) (d) P(A n 8)
1.17. Supóngase que A, 8 , y e son sucesos tales que P(A) = P(B) = P(e) = i. P(A ,.., 8)
= P(C,.., 8) O, y P(A ,.., C) - A. Calcular la probabilidad de que al menos uno de los su·
ccsos A, 8, o e ocurra.
1.18. Una instalación consta de dos calderas y un motor. Sea A el suceso de que el motor
estú en buenas condiciones, 1mentras que los sucesos 8.(k = 1.2) son los sucesos de que la
k-esima c:tldera esté en buenas condiciones. El suceso Ces que la in,talac1ón pueda luncionar.
Si la instalac1ón funciona cada ve¿ que el motor y al menos una caldera 1unc1one. exprese
C y C en func1ón de A y de los sucesos JJ,.
1.19. Un mecanismo tiene dos tipos de repuestos, digamos 1 y 11. Suponga que hay
dos del upo 1 y tres dclt1po JI. Defintr los sucesos At. k = 1,2, y 81, j = 1, 2, 3 como sigue:
A.: la k-ésima unidad del t1po 1 esta funcionando correctamente; 81: la j-ésima unidad del
tipo JI está funcionando correctamente. Finalmente e representa el suceso: el mecanismo
funciona. Dado que el mecanismo funciona si al menos una unidad del tipo 1 y dos unida-
des del tipo JI func1onan, exprese el suceso e en función de los A. y los 81.
2
Fspacios muestrales fmitos
l. 1 El espacio muestra! finito
1 n este capítulo nos ocuparemos sólo de los experimentos para los cuales el
1 ,pacio muestra! S consta de un número finito de elementos. Es decir, suponemos
,1uc S se puede escribir como S = {a,. a2, ·· ·,a.}. Si nos referimos a los eJemplos
~~~ c~pacios muestrales de la sección 1.4, observamos que S,. Sz, S3, S4, S$. S,
y S 11 son todos finitos.
/1 fin de caracterizar P(A) en este modelo consideraremos primero el suceso
que está constituido por un solo resultado, 11amado algunas veces un suceso ele-
,,.,tal, digamos A ={a1}. Pr<>cedemos como sigue.
/1 cada uno de los sucesos elementales {ar} asignamos un número p,, llamado
lu prob:tbilidad de {a1}, que satisface las condiciones siguientes:
(a) Pr 2:. O. i = l. 2, · · ·• k,
(b) P1 + Pz + ··· + P• = l.
Puesto que {a1
} es un suceso, estas condiciones deben cs1ar de acuer~o con
1." postuladas para las probabilidades de sucesos en general, como se h1zo en
¡,, ecuación (1.3). Es muy seoci11o verificar que es así.
A continuación, supongamos que un suceso A está constituido por r resultados,
1 r ~ k, digamos
1'11 donde j 1
.h. ·· ·,j, representa cualquier índice r de l. 2, ···,k. Por lo tanto,
deduce de la ecuación (1.3), Propiedad 4. que
P(A) = PJ. + p), + ··· + Pi,· (2.1)
1'.1ra resumir: la asignación de probabilidades p1 a cada uno de los sucesos ele-
mentales {a1
}. sujeto a las condiciones anteriores (a) y (b), determina de un modo
unu:o P(A) para cada uno de los sucesos A e S, en donde P(A) está dado por
1.1 ecuación (2.1).
A fin de evaluar las Pi• se deben hacer algunas suposiciones respecto a los
resultados individuales.
1JI MPtO 2.1. Supongamos que sólo son posibles tres resultados en un experi-
mento. digamos a ., a2 y a3 . Además, supongamos que la ocuncncia de a. es dos
veces más probable que la de a2 , la cual, a su vez, es dos veces más probable que a3.
21

16. z.z
Por tanto. p. =2p2 y Pz =2P3· Puesto que p1 + p2 + p3 = l. tenemos que
4p3 + 2pJ + P3 = l. lo que finalmente da
P3 = ~. P2 = '· Y Pt = ~.
2.2 Resultados igualmente probables
La suposición que más comúnmente se hace para espacios muestrales finitos
es que todos los resultados son igualmente probables. De ninguna manera esta
suposición pu~dc darse como un hecho; debe justifícarse cuidadosamente. Hay
muchos expenmentos para los cuales se garantiza tal suposición, pero también
hay muchas situaciones experimentales en las cuales sería un error hacer tal su-
posición. Por ejemplo, sería muy poco realista suponer que es tan probable no
recibir llamadas telefónjcas en una central entre la 1a.m. y 2 a.m. como entre las
5 p.m. y las 6 p.m.
Si los k resultados son igualmente probables, se deduce que cada p1 = 1/k.
Porque la condición p1 + ···+ Pt = 1 llega a ser kp¡ = 1 para todo i. De esto
se deduce que para cualquier suceso A que conste de r resultados, tenemos
P(A) = r/k.
Este método de evaluar P(A) a menu<Jo se indica como sigue:
P(A) = núme~o de maneras en que e puede ocurrir favorable a A .
numero total de maneras en que t puede ocurrir
Es Importante comprender que la expresión anterior de P(A) es sólo una con-
sec~encla de la suposición de que todo:. los resultados son igualmente probable!>
Ysolo es aplicable cuando se satisface esta suposición. Indudablemente no sirve
como una definición general de probabilidad.
EJeMPLO 2.2. Se lanza un dado y se supone que todos los resultados son
igualmente probables. El suceso A ocurre si y sólo si aparece un número mayor
que 4. Esto es, A ={5,6}. Por lo tanto P(A) = /¡ +! = i.
EJt:MPLO 2.3. Se lanza una moneda normal. Sea A el suceso: {aparece una
cara}. Para evaluar P(A) un análisis del problema podría ser de la manera siguiente.
El es~acio muestra! es S = {0, l. 2}. en donde cada uno de Jos resultados representa
un numero de caras que ocurren. Por lo tanto P(A) = j! Este análisis es obvia-
mente incorrecto, puesto que en el espacio muestra! considerado anteriormente.
todos los resultados no son igualmente probables. A fin de aplicar el método
anterior deberíamos considerar en su lugar, el espacio muestra! S' = {CC, CS.
SC, SS}. En este espacio muestra! todos lo~ resultados son igualmente probables y.
por lo tanto. obtenemos para la solución correcta a nuestro problema P(A) =i = !.
p1tdnamo~ emplear corrcclllmcntc el espacio mueMral Scomo sigue: los resultados
(1 > 2 ~on 1gualmcntc posibles, mientras que el resultado 1 es probablemente el
lll•hlc de cada uno de los otros. Por lo tanto. P(A) = ~. lo cual concuerda con
l,t repucsta anterior.
1 stc ejemplo ilustra dos puntos. Primero. debemos estar .completamente
,cguros de que todos los resultados que se pueden suponer son Igualmente pro·
h.thle~ antes de utilizar el procedimiento anterior. Segundo, ~~ menudo pod7mos
H·ducir el problema a uno. en el cual todos los resultados son 1gualmente post~lcs.
,11cdiante una elección apropiada del espacio muestra!. Cada vez que sea pos1ble
,,. debe hacer esto, puesto que generalmente simplifica los c.11culos. Se tratará
1 te punto nuevamente en ejemplos subsecuentes. . . .
Muy a menudo la manera como se realiza un cxpenmcnto detcrmma SI los
tt'Uitados son o no igualmente probables. Por ejemplo, supo.ngamos q.ue v~mos
1escoger un perno de una CaJa que contiene tres de tamaño dtferente. S1 ekg1mos
1 perno acercándonos a la caja y sacando el pnmero que tocamos. es obv1o que
d perno más grande tendrá una probabilidad.de ser cscog1do. mayor que la de
lo' otro~ do:.. Sm embargo. si rotulamos cutdado~amente cada perno con un
uumero. lo escnbimos en una etiqueta. y escogemos una de.~llas, podemos tr~tar
d¡: a>egurar que cada perno, de hecho, tiene la misma probabtlldad de ser escog1do.
Así quizás tengamos que afrontar considerables dificultades a fin de asegurarnos
que la suposición matemática de resultados igualmente probables es de hecho
upropiada. . ..
En ejemplos anteriores y muchos otros subsecuentes, nos tnteresa la.elecc1on
.11 azar de uno o más objetos de una colección dada. Definamos más precisamente
esta noción. Supongamos que tenemos N objeto~. digamos a•• az, · · ·. aN.
(a) Escoger al azar un objero de Jos N, significa que cada uno de los objeto>
ttcne la misma probabilidad de ser escogido. Esto cs.
Prob(clcgira;) = l /N. i = 1.2. ···,N.
(b) E~coger al a::ar dos objeros entre N. objetos ~ignífica que .c~da 11110 de los
¡•ures de objetos {sin con~idcrar el orden) ttcnc la m•~ma pr~babtltdad de ser es-
l!og1do que cualquier otro par. Por ejemplo, si debemos eleg1r dos ObJetos al azar
de (a1, a2
• a 3, a4), y luego obtener a 1y a2es tan probabt7 como obt.ener az Ya3. :te.
Esta afirmación nos lleva inmediatamente a la cuestión de cuan/os p~res dtfe-
r.:ntes hay. Supongamos que hay K de tales pares. Entonces la probabtltdad de
cada par seria 1/K. Muy pronto aprenderemos a calcular K. . .
(e) Escoger al a:ar 11 objews (n ~ N) entre N ObJetos S1g~11ica que cada
n-tuplo,a.,, a,,• ..., a1•• tiene tantas probabilidades de ser cscogtdo como cual-
lJUier otro n-tuplo.
Obs~rvacion · antenormentc ya sugerimos que se debe tener mucho cuidado en la parle
cxpenmcnlat para a..cgurar que la suposíctón ma1emá11ca de «escoger al azar» ;e cumpla.

17. 24 t:spacíos mue.rrall'S fiultos 2.3
2.3 Métodos de enumeración
Tenemos que hacer un allo a fin de aprender cómo enumerar. Nuevamente
consideraremos la forma anterior de P(A) llamada P(A) = r/k. en donde k es
el núme,ro total de maneras en que e puede ocurrir mientras que res igual al nú-
mero de maneras en que A puede ocurrir. En los ejemplos presentados hasta ahora.
se encontró poca dificultad para calcular r y k. Pero es necesario considerar si-
tuaciones sólo ligeramente más complicadas para apreciar la necesidad de contar
sistemáticamente o de procedimientos de enumeración.
EJEMPLO 2.4. Un lote de cien artículos contiene 20 defectuosos y 80 no
defectuosos. Se eligen diez artículos a l azar, sin sustituir un articulo antes que sea
elegido el próximo. i.Cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad de los
artículos escogidos sean defectuosos?
Para analizar este problema, consideremos el siguiente espacio muestra! S.
Cada uno de los elementos de S consta de d1ez artículos posibles del lote. digamos
U1. i2•. . .. i1ol· ¡,Cuántos hay de tales resultados? Y entre estos resuliados,;,cuántos
tienen la caractcríst ica de que exactamente la mitad sean defectuosos? Evidente-
meo~ necesitamos saber contestar tales interrogantes para resolver el problema
propuesto. Muchos problemas similares dan origen a preguntas análogas. En las
próximas secciones presentaremos a lgunos procedimientos sistemáticos de enu-
meración.
A. Principio de multiplicación. Supongamos que un procedimiento. desig-
nado como 1 puede hacerse de n1 maneras. Supongamos que un segundo proce-
dimiento designado como 2, se puede hacer de n2 maneras. Tamb1~ supongamos
que cada una de las maneras de efectuar 1 puede ser seguida por cualqllicra de
las maneras de efectuar 2. Entonces el procedimiento que consta de 1 seguido
por 2 se puede hacer de n1n2 maneras.
Para indicar la validez de este principio es más sencillo considerar el siguiente
enfoque esquemático. Consideraremos un punto P y dos rectas L 1
y L2
. El pro-
cedimiento 1 consiste en ir de P a L 1 mientras que el procedimiento 2 consiste
en ir deL, a Lz. La flgura 2.1 indica cómo se obtiene el resultado final.
FIGURA 2.1 L,
Observación: obviamente este principio puede extenderse a cualquier número de proce-
dimientos. Si hay k procedimientos y el i-ésirno procedimiento se puede hacer de,, maneras.
i = l. 2..... k. entoncos el procedimiento que consiste en l. seguido por 2, .... seguido por
el procedimiento k puede hacerse en n1112 · · • n, maneras.
l..l Métodos de enumt•ruclón 25
fJI:MPLO 2.5. Un artículo manufacturado debe pasar por tres controles. En
~:atia uno de los controles, se inspecciona una característica particular del artí~ulo
y se la anota de conformidad. En el primer control, hay tres mediciones P?~•bles
mientras que en cada uno de los dos últimos controles hay cuatro med1ctones
posibles. Por lo tanto hay 3 .'4 · 4 = 48 maneras de anotar el artículo.
B. Principio de adición. Supongamos que un procedimiento, designado como
1. se puede hacer de n 1 maneras. Supongamos que un segundo procedimiento,
tlcsignado como 2, se puede hacer de n2 maneras. Supongamos además que no es
posible que ambos. 1 y 2, se hagan juntos. Entonces el número de maneras como
se puede hacer 1 o 2 es 111 + 112-
Usemos otra vez el enfoque esquemático para convencernos de la validez
del principio de adición, como se indica eu la figura 2.2.
p
FIGURA 2.2
Observacióti.' también este principio puede generalizarse como sigue: si hay k procedi-
mientos y el i-ésimo procedimiento se puede hacer en 111 maneras. i = 1, 2.... •k. entonces el
número de man~ras como podemos hacer el procedimiento 1, el procedimiento 2 o· · ·o el
procedimiento k está dado por 111 + n2 + ··· + n,, suponiendo que los procedimientos no
se pueden realizar conjuntamente.
EJEMPLO 2.6. Supongamos que proyectamos un viaje y debemos decidir
entre el transporte por bus o tren. Si hay tres rutas para el bus y dos para el tren,
entonces hay 3 + 2 = 5 rutas disponibles para el viaje.
C. P ermutaciones
(a) Supongamos que tenemos n objetos difer~ntes. ¿De cuántas .maneras,
digamos .P., se pueden agrupar (permutar) estos.ob~etos? Por eJemplo, SI tenemos
los objetos a, b, y e, podemos considerar las stgu1entes agrupaciOnes: abe,acb,
bac, bca,cab y rba. Asi la :respuesta es 6. En general, considerem~s el esquema
siguiente. Agrupar Jos n objetos es equivalente a ponerlos en una caJa con n com-
partimentos, en algún orden especifico.
La primera casilla se puede llenar en una cualquiera de las n maneras, la se-
gunda de cualquiera de las (11 - l) maneras, ···,y la última casilla de sólo una
manera. P or tanto, aplicando el principio de multiplicación anterior, vemos que

18. 2.1
la caja se puede llenar de n(n - l)(n - 2) ·· · 1 maneras. Este número ocurre tan
a menudo en matemáticas que presentamos un nombre y un símbolo especiales
para él.
Definición. Si n es un entero positivo, definimos 11! = (n)(n - 1)(n - 2) · · · 1
y lo llamamos n-factorial. También definimos O! = J.
Así el número de permutaciones de n objetos diferentes está dado por
• P. =n! ·
(b) Nuevamente consideremos n ObJetos diferemes. Esta vez deseamos e~coger
r de esos objetos, O ~ r ~ n. y permutamos el r elegido. Indiquemos el número
de maneras de hacerlo, por .P,. Recurrimos nuevamente al esquema anterior de
llenar una caJa que tiene 11 compartimientos: ahora nos detenemos después que
se ha llenado el compartimiento r-ésimo. Así, el primer cornpar!imiento puede lle-
narse den maneras, el segundo de (n - 1) maneras, ... , y el r-ésimo compartimiento
de n - (r- 1) maneras. Así se puede realizar el procedimiento completo; de
nuevo usando el principio de multiplicación, de
11(11 - l)(n - 2) · · · (n - r + L)
maneras. Usando la notación factorial introducida anteriormente, podernos
escribir
p - n!
" ' - (11 - r)!'
*
O. Combinaciones. Consideremos nuevamente n objetos diferentes. Esta vez
estamos interesados en contar el número de maneras corno podernos escoger r
de esos 11 objetos sin considerar el orden. Por ejemplo, tenemos los objetos a, b, c.
y d, y r = 2; desearnos contar ab. ac, ad, bc,lul, y cd. En otras palabras. no contarnos
ab y ba puesto que los mismos ObJetos cstan relacionados y sólo difiere el orden.
Para obtener el resultado general recordemos la fórmula derivada anterior-
mente: el número de maneras de elegir r objetos entre 11 y permutar los r elegidos
es igual a 11!/(n - r)! Sea C el número de maneras de elegir r entre 11, sin considerar
el orden. (Esto es, el número buscado es C). Observe que una vez que se han esco-
gido los r artículos. hay r! maneras de permutarlos. Por tanto, aplicando nueva-
mente el principio de multiplicación junto con el resultado anterior, obtenemos
Cr! = n!
{11 - r)!
Así el número de maneras de elegir r entre n objetos diferentes. sin :::onsiderar
el orden, está dado por
e= n!
rl(n - r)!
• N. tlel T. Esta expresión se conoce también como arreglo o variación.
l.' MNo~ln• olo•l'"""'''""'tl"' rl
1,¡¡,• uúmcro aparece en muchos contextos en matemáticas y. por lo tanto. se emplea
un 111lbolo especial para designarlo. Escribiremos
r!(n
11
~ r)! = G}
1'.11;t nuestros propósitos. (:) se define sólo si n es un entero positivo y si r e~ un
rmero O ~ r ~ n. Sin embargo. podemos definir (:) muy ampliamente para cual-
•lllocr número real n y para cualquier entero no negativo r como sigue:
(
") = 11(11 - 1){n - 2) .. · (n - r + 1).
r r!
1'"número~ ma menudo se llaman coeficit'ntes binomiales. porque aparecen como
wcfoc1entes en el desarrollo de la expresión binomial (a + br. S1 11 e~ un entero
pu~1t1vO. (ll + b)" = (a + b)(a + b) ···(a + b). Cuando se efectúa h1 multiplicación.
, .od.a uno de los términos consta de el producto de k acs y (11 k l bees. k O. l.
1 • n. ¡,Cuúntos términos serán de la forma tNI' •·! Contemos simplemente el
numero de maneras como podemos elegir k entre 11 aes. sin cons1derar el orden.
!'ero esto cstú precisamente dado por (:). Así. tenemos lo que se conoce como
/o'(lfl'lllll del bi110111i0
(a + b)" = L: a•b" •.• (11)
k o k
(2.2)
l.us números (:) tienen muchas propiedades interesantes de las cuales sólo dos
mencionaremos aquí. (A no ser que se indique otra cosa. suponemos que ''es un
,·ntero positivo y r un entero. O ~ r ~ 11.)
(a) G) = (n~,)·
(b) C)= G=:) + (11 ~ ').
1~ muy fácil verificar algebraicamente las dos identidades anteriores. Simple-
mente escribimos. en cada uno de los casos. el lado izquierdo y derecho de las
1dent1dades anteriores y notamos que son iguales.
Sm embargo, hay otro método de verificar esas idcnttdades que hace uso de
la mtcrprctación que hemos dado a (:). llamada el número de maneras de esco-
ger r entre 11 objetos.
(a) Cuando escogemos r entre 11 objetos simultáneamente "deJamos atrás~
(11 r) objetos y. por tanto. escoger r de n es equivalente a escoger (11 - r) de 11.
l:sta es precisamente la primera proposición que se debe verificar.
(b) EsCOJamos cualquiera de los " objetos. sea este el primero. a,. Al elegir
r Objetos. a 1 está incluido o excluido pero no las dos cosas. Por tanto al contar
el número de maneras como podemos escoger r objetos. podemos aplicar el prin-
cipio de adición tratado al comienzo.

19. Si a, está excluido, debemos escoger los r objetos que se desean de los (n- 1)
objetos restantes y hay (•, 1
) maneras de hacer esto.
Si a, va a incluirse. sólo (r - 1) objetos más deben escogerse de los restan-
tes (n - 1) obJetos y esto se puede hacer de (~= l) maneras. Asi el número pedido
es la s11ma de esos dos. lo que verifica la segunda identidad.
. Ob~erva~ión : en lo expuesto anteriormente los coeficientes binomiales (:) son sign•fica-
uvos solo SI 11 y k son enteros no negativos con O ~ k $ n. Sin embargo. si escribimos
11!
k!(n k)!
n(n- 1)· · · (n -k + 1)
k!
observamos que la úll1ma expresión es significativa si n es cualquier número real y k es cual-
quier entero no negativo. Así.
(
- 3)"' (-3)(-4)···(-7)
5 5! '
y así sucesivamente.
Utilizando esta versión extendida de los coeficientes binomiales. podemos indicar la for-
ma generalizada c/elteort•mtl t/el binomio:
( 1 + x)• = ~ (") x•
• ~ o k
Esta serie es significativa para cualquier 11 real y para todas las x tales como lxl < 1. Obser-
vemos que si 11 es un entero positivo, las series infinitas se reducen a un número finito de tér-
minos puesto que en ese caso(¡) Osi k > 11.
EmMI'I n 2.7. (a) ¿Cuimtos comités de tres miembros se pueden elegir con
oc.ho personas? Pues~o que dos comités son el mismo si están formados por los
m1smos m1cmbros (SIJ) considerar en el orden en el cual fueron elegidos), tene-
mos m= 56 comités posibles.
(b) i.Cuántas señales con tres banderas pueden obtenerse con ocbo banderas
diferentes? Este problema se parece mucho al anterior. Sin embargo, aquí el orden
constituye una diferencia, y. por lo tanto. obtenemos 8!j5! = 336 señales.
(e) ~~grupo de ocho personas consta de cinco hombres y tres mujeres. ¿Cuán-
tos comlles que consten de dos hombres exactamente se pueden formar? Aquí
debemos hacer dos cosas~escoger dos hombres (entre cinco) y escoger una muJer
(entre tres). Así obtenemos el número pedido (H ·U) = 30 comités.
(d) Ahora podemos verificar una proposición formulada anteriormente de-
cíamos que el número de subconJuntos de un conjunto que tiene 11 elemdntos
es 2" (contando el conJunto vacío y el conJunto mismo). Simplemente clasifica-
mo~ cada elem~nto con un uno o con un cero, sea que el elemento vaya a ser in-
cluidO, o exclUido en el subconjunto. Hay dos maneras de clasificar cada uno
de los elementos, y hay n elementos. Luego el principio de multiplicación nos
dtce que hay 2 · 2 · 2 · · · 2 =2" clasificaciones posibles. Pero cada una de las
clasificaciones en particular representa una elección de un subconjunto. Por ejem-
plo. (1, 1, O, O, O, ···,O) con~istiria en el subconjunto formado por a, y a2 pre-
J. 1
~·~·•ntcnte. Nuevamente. (1, J. · · ·, 1) representaría S y (0, O, · · ·, 0) representaría
11 CUI1JUntO VaCÍO.
(~) Podemos obtener el resultado anterior usando el principio de adición
u•nto sigue. Para obtener subconjuntos debemos escoger el conjunto vacío. los
uh,·onJuntos que constan de sólo un elemento. los que constan de sólo 2 elemen-
to .. y el conJunto mismo que consta de todos los 11 elementos. Esto se puede
h.II:Cf de
(~) + (~) + G) + ... + (:)
n111ncras. Sin embargo. la suma de esos coeficientes binomiales es simplemente
.1 desarrollo de (1 + 1r = 2".
Ahora volvamos al ejemplo 2.4. De un lote que consta de 80 artículos buenos
~ 10 artículos defectuosos. e~cogemos 10 al azar (sin sustitución). El nümero de
m.1neras de hacer esto es (1
1°0°). Por tanto la probabilidad de encontrar 5 artículos
.r,•tcctuosos y 5 no defectuosos entre los lO elegidos está dada por
(2s0
Ws0
)
(11~0) .
Mediante logaritmos de factoriales (que están tabulados) se puede evaluar lo
untcrior y es igual a 0,021.
EJtlMI'LO 2.8. Generalicemos el problema anterior. Supóngase que tenemos
N <artículos. Si elegimos n de esos al azar, sm sustitución. hay (~)muestras posi-
hlcs diferentes. todas las cuales tienen la misma probabilidad de ser escogidas.
Si los N artículos están rormadosde r~> A y r 2 B (con r1 + ''2 = N). entonces la
prl1babilidad de que los n artículos elegidos contengan exactamente s1 A y (11 - s,)
11 está dada por
(::) (,~.)
(~)
(La anterior se llama probabilidad lriperc¡eométricct y se encontr<ará de nuevo.)
Observación: es muy importante especificar. cuando hablamos de escoger articulo~ ;~lazar.
,, l'SCOgemos con o sin sustiwción. En una descripción más reahst;~ propondremos esta úl-
tima. Por eJemplo. cuando ins~ionamos un número de artículos m;mufactumdo;, con el
obJeto de descubrir cuantos defectuosos podría haber, generalmente no pretendemos ms-
pcccionar el mismo artículo dos veces. Previamente hemos observado que el número de ma-
neras de escoger r objetos entre n. sin considerar el orden. está dado por (~) Fl número de
maneras de escoger r articulos entre n, con sustitución. está dado por n'. Aquí estt1mos inte-
resados en el orden en que se escogieron los artículos.

20. EJEMPLO 2 9. Supóngase que escogemos dos objetos al azar entre cuatro
objetos clasilicados a, b, e, y d.
(a) Si escogemos sin sustitución, el espacio muestra) S se puede representar
como sigue:
S ={(a, b); (a, e); (b, e); (b, d): (c. d); (a, d)}.
Hay (i) = 6 resultados posibles. Cada uno de los resultados individuales indica
sólo cuáles fueron IM dos Objetos escogidos y no el orden en que se escogieron.
(b) Si escogemos con sustitución. el espacio muestra! S', se puede represen-
tar como stguc:
S' _ {(tl. a); (a. b): (a, e): (a. d): (b. a); (b. b): (b, e): (b, d);}.
(c. a): (c. b): (c. e): (c. d): (d. a); (d. b); (d, e): (d, d)
Hay 42
= 16 resultados postbles. Aquí cada uno de los resultados individuales
indica cuáles objetos se escogieron y el orden de selección. Escoger al azar implica
que si escogemos sin sustitución. todos los resultados en S son igualmente pro-
bables. mientras que si escogemos con sustitución, entonces todos los resultados
en S' son tgualmente probables. Así. si A es el suceso {el objeto e es elegido}, en-
tonces tenemos de S. P(A) · · ~ ! si escogemos sin sustitución, y de S', P(A) =
-[~¡¡ si escogemos con sustitución.
E. PNmutacioncs cm1ntlu no todos los objetos son diferentes. En todos los mé-
todos de enumeración presentados. hemos supuesto que todos los objetos con-
siderados eran diferentes (esto es, distinguibles). Sin embargo, no siempre es este
el caso.
Supongamos, entonces. que tenemos 11 objetos tales que hay n, de una clase,
112 de una segunda clase. · · ·• ltk de una k-ésima clase, en donde 111 + n2 + ··· +
"t = n. Entonces el número de permutaciones de esos objetos está dada por
n!
La deducción de esta fórmula se deja al lector. Nótese que si todos los objetos
~Oit diferentes. tenemos 11, l. i = l. 2....• k. y. por tanto. la fórmula antenor
se reduce a 11 !, el resultado obtenido previamente.
Obs~rl'tldón · mMsttmos una ,ez ma> en que la asignación real de probabilidades a los
resultados mdovtdu<tles de un cspacto muestra! (o a una colección de resultados. es decir,
un suceso) es algo que.l!..O puede obtenerse matemáticamente: debe obtenerse de otras consi·
deraciones. Por CJemplo. podemos utilizar ciertas características de simetría del expenmcnto
para observar que todo> lo; resultados son igualmente probables. Nuevamente podemos
hacer un método de muestreo (es dectr. escoger uno o varios individuos de una población
especificada) de tal mancr:~ que sea razonable suponer que todas las elecciones son igualmente
probables. En muchos otros casos. cuando ninguna suposición b-ásica es aproptada, debemos
recurrir al enfoque de la frecuencia relativa. Repetimos 11 veces el experimento y anotamos
la proporción de veces que ha ocurrido el resultado (o suceso) que se considera. Al usar ésta
como una aproximación. sabemos que es altamente improbable que esta frecuencia relativa
l'rubloouos lt
.e ddcrcncoc de la probabolidad «verdadera» (cuya existencia ha sodo especificada por nuestro
IIH>dclo tcónco) en una cantidad apareciabk si 11 .:s suficien temente grande. Cuando es im-
¡>osohlc hacer suposiciones razonables acerca de la probabilidad de un resultado y es también
olllP<lstble repetir el experimento un gran número de veces (debido a l costo o a constderacio-
"''' de uempo. por CJCmplo) es realmente muy poco significativo proscguor con un estudio
po obab1hstico del experimento excepto sobre una base completamente teórica (Para una
nuta <tdtcoonal sobre el mismo tema, ver sección 3.5.)
l'ROBLEMAS
2.1 En una habitación se encuentra el siguiente grupo de persona;: 5 hombres mayores
liL 21.4 hombre> menores de 21.6 muJeres mayores de 2t y 3 muJeres menores de 21. Se chge
1111.1 persona al azar. Se definen los sucesos siguientes: A = (la persona es mayor de 2fl:
11 [la persona es menor de 21}: C ={la persona es hombre}: D (la persona es muJCr}.
1v;lluar las siguientes:
(¡¡) I'(B u D)
(b) I'(AV C)
2.2. En una habitación 10 personas tienen insignias numeradas del l a l JO. Se eligen
1res personas al azar y se les pide que dejen la habitación inmediatamente y se anotan los
números de las insignias.
(u) i.('uúl es la probabilidad d e que el número menor de las insignias sea 5'1
(b) i.Cuál es la probabilidad d e que el número mayor de las insignias sea 5'1
2.3. (a) Supóngase que se escriben tres dígitos t. 2 y 3 en un orden aleatorio. ¡,Cuál es
1,1 probabilodad de que al menos un dígito ocupe su lugar propio?
(b) Lo mismo que (a) con los dígitos 1, 2, 3, y 4.
(e) Lo mismo que (a) con los dígitos 1, 2. 3, · · ·, 11. [Indicación: usar (1.7).]
(d) Doscutir tu respuesta de (e) sin es grande.
2.4. Un cargamento de 1500 lavadoras contiene 400 defectuosas y 1100 no defectuosas.
Se eligen al azar doscientas lavadoras (sin sustitución) y se clasifican.
(a) ¡.('uál es la probabilidad de que se encuentren exactamente 90 anículos defectuosos?
(b) ~cuál es la probabilidad de que se encuentren al menos 2 artículo; defectuosos?
2.5. DteL fichas numeradas del 1 al 10 se mezclan en una palangana. Se sacan de la pa-
langana do> fichas numeradas (X, Y) una y otra vez sin susutución. iC'uál e; la probabilidad
de que X+ Y 10'1
2.6. Un lote consta de 10 artículos buenos, 4 con pequeños defectos, y 2 con defectos
gr:tves. Se elige un artículo al azar. Encontrar la probabilidad de que:
(a) no tenga defectos.
(b) tcngu un defecto grave.
(c) que sea bueno o que tenga un defecto grave.