El documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad, incluyendo definiciones de probabilidad, experimentos aleatorios, espacio muestral, eventos, cálculo de probabilidades, álgebra de sucesos y probabilidad condicional. Explica cómo calcular la probabilidad de ocurrencia de diferentes eventos a través de ejemplos como el lanzamiento de un dado o la extracción de una carta.

1. PROBABILIDADES UNIVERSIDAD CATÓLICA “SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO” LIC. ALVARADO CASTILLO, WILDER ÁNGEL.

2. INTRODUCCION : Las decisiones de consecuencia se basan en probabilidades , es decir, posibilidades de que ocurran sucesos, haciendo para esto uso de la lógica. Las probabilidades nacen como una herramienta de la estadística que permite medir incertidumbres.

3. Así por ejemplo, en la colección de infinitos resultados: Interpretamos PROBABLE : Una probabilidad del orden de 0.5 o mayor. Aquí se espera que tales sucesos ocurran varias veces. POCO PROBABLE : Una probabilidad de del orden de 0.1 o menos. Es decir, no se espera que tales sucesos ocurran, pero podrían ocurrir. IMPROBABLE : Una probabilidad del orden de 0.0000 Dichos sucesos No ocurrirán.

4. Notación para las probabilidades: P denota una probabilidad. A, B y C denotan sucesos específicos. P(A) denota la probabilidad de que ocurra el suceso específico A A medida que un experimento se repite una y otra vez, la probabilidad por frecuencia de un suceso tiende a acercarse a la probabilidad real.

5. Aproximación de la probabilidad por frecuencia relativa Al realizar un experimento un gran número de veces, se cuenta el numero de veces que ocurre el suceso A. Entonces, P (A) se estima de la siguiente forma: P (A) = Numero de veces que ocurrió A Numero de veces que se repitió el experimento

6. ENFOQUE DE LA PROBABILIDAD Suponiendo que un experimento dado tiene n sucesos simples distintos, cada uno de los cuales tiene la misma posibilidad de ocurrir. Si el suceso A puede ocurrir en s de ésas n formas, entonces: P (A) = Número de formas en que A puede ocurrir = s n Número de sucesos simples distintos

7. PROBABILIDADES EXPERIMENTO ALEATORIO ( ε ): Es un proceso de observación, donde el resultado no se puede predecir y solo es posible conocerlo una vez que sucede o se da. Ejemplo : ε = Lanzamiento de un dado y su puntaje obtenido

8. ESPACIO MUESTRAL (S): Es el conjunto de todos los posibles resultados que pueden darse a partir de un experimento aleatorio. Ejemplo: En el experimento: ε =Lanzamiento de un dado y su puntaje obtenido S= {1.2,3,4,5.6}

9. EVENTO O SUCESO: A, B,C,… Es un subconjunto o parte de los posibles resultados ó espacio muestral. Ejemplo: ε = Lanzamiento de un dado y su puntaje obtenido S = {1,2,3,4,5,6} Suceso A: El puntaje obtenido es un número par : A = {2, 4, 6} Suceso B: Pontaje es menor ó igual que 5: B = {1,2,3,4,5} Suceso C: Pontaje es mayor que 8 C= Ø

10. PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE UN SUCESO A: “P[A]” "P[A]" se lee: Probabilidad de que ocurra el suceso A. P [A] = n° de casos favorables de A n° total de casos posibles. P [A] = n(A) n(S)

11. EJEMPLO 1: Calcule la probabilidad de ocurrencia de los sucesos A, B, C definidos anteriormente : P [A] = n(A) / n(S) =3/6= 0.5 ó 50% P [B] = n(B) / n(S)=5/6=0.8333 ó 83% P [C] = n(C) / n(S) =0/6= 0 ó 0%

12. Ejemplo 2: ε : Extracción de una carta de 52 naipes 13 C 26 rojas 13D 52 cartas 13T 26 negras 13E

13. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE? A. Sea espada B. Sea menor de 9 C. Sea 13 SOLUCIÓN : A. Sea espada: P [A]= n(A) / n(S) = 13/52 = 0.25 ó 25% B. Sea menor de 9: 8 cartas son menores que 9, por lo tanto el total de cartas es igual a 32 (8*4) P [B] = n(B) / n(S)=32/52 = 0.6153 ó 61.53% C. Sea 13: La probabilidad de que sea 13 es de 4 (el 13 C, el 13D, el 13T, y el 13E) P [C]= n(C)/n(S) = 4/52 = 0.0769 ó 7.69%

14. ÁLGEBRA DE SUCESOS UNIÓN DE SUCESOS: υ se lee "ó“ P [A  B] = P[A] + P[B] - P [A  B ] INTERSECCIÓN DE SUCESOS :  se lee "y" P [A  B]= n [A  B] n(S)

15. EJEMLO 1: Experimento Aleatorio: Extracción de una carta de un juego de 52 naipes. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta seleccionada…? : Sea roja ó mayor de 9 Sea roja y mayor de 9 Sea espada ó igual que 5 Sea menor de 5 ó mayor de 10

16. SOLUCIÓN: A. SEA ROJA Ó MAYOR DE 9 A= cartas rojas B= mayor de 9 P [A  B] = P[A] + P[B] - P[A  B] = n(A)/n(S) + n(B)/n(S) - n(A  B)/n(S) = 26/52 + 16/52 - 8/52 = 34/52 = 0.6538 ó 65.38%

17. B . SEA ROJA Y MAYOR DE 9: A= roja B= mayor a 9 P [A  B] = n(A  B ) / n (S) = 8/52= 0.1538 ó 15.38% C. SEA ESPADA Ó IGUAL QUE 5: A= espada B= 5 P [A  B] = P [A] + P [B] - P [A  B] = 13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52 = 0.3076 ó 30.76%

18. D. SEA MENOR DE 5 Ó MAYOR DE 10: A < 5 B >10 P [A  B]= P [A] + P [B] - P [A  B] = 16/52 + 12/52 - 0/52 = 7/13 = 0.5384 ó 53.84%

19. EJEMPLO 2: Una empresa cuenta con 30 trabajadores, de los cuales 20 son hombres, si la cuarta parte de los varones y la mitad de las mujeres son provincianos y se selecciona aleatoriamente un trabajador cualquiera, cuál es la probabilidad de que: Sea hombre Sea de la capital Sea de provincia ó sea mujer Sea hombre capitalino

20. TRABAJADORES CAPITAL PROVINCIANO TOTAL HOMBRES 15 5 20 MUJERES 5 5 10 TOTAL 20 10 n = 30

21. SOLUCIÓN: A. SEA HOMBRE: P [H] = n(H) / n(S) = 20/30 = 0.6667 ó 66.67% B. SEA DE LA CAPITAL: P [C] = n(C)/n(S) = 20/30 = 0.6667 ó 66.67%

22. C. SEA DE PROVINCIA Ó SEA MUJER: P [P  M] = P [P] + P [M] - P[P  M] = 10/30 + 10/30 - 5/30 = 15/30 = 0.5 ó 50% D. SEA HOMBRE CAPITALINO : P [H  C] = 15/30 = 0.5 ó 50%

23. ÁRBOL DE PROBÁBILIDADES EJEMPLO: Se tiene 6 esferas de colores en un a ánfora, de las cuales 3 son rojas, 2 son blancas y 1 es negra. Se extrae aleatoriamente ó a la suerte de 1 en 1 sin reposición Construya un árbol de probabilidades hasta la tercera extracción Cuál es la probabilidad de obtener 2 rojas hasta la tercera extracción Cuál es la probabilidad de obtener una esfera blanca y una esfera negra hasta la segunda extracción

24. B. Probabilidad de obtener dos rojas hasta la tercera extracción: P [A] = 3/6 * 2/5 * 2/4 + 3/6 * 2/5 * 1/4 3/6 * 2/5 * 2/4 3/6 * 1/5 * 2/4 2/6 * 3/5 * 2/4 1/6 * 3/5 * 2/4 P [A]= 9/20 = 0.45 ó 45% C. Probabilidad de obtener una esfera blanca y una esfera negra hasta la segunda extracción: P [x] = 2/6 * 1/5 + 1/6 * 2/5 = 2/15 = 0.1333 ó 13.33%

25. Probabilidad Condicional Es aquella en la que el total de casos posibles ya no es igual a n(S), sino que se refiere a un número menor o subconjunto de S. P[A/ 13] “ Probabilidad de que ocurra el suceso A, sabiendo que ha ocurrido el suceso B.”

26. FÓRMULAS: Teorema de Bayes Nºl Es un caso especial de la probabilidad condicional. P[A] / R = n [A  B ] , donde B es la condición n(B)

27. EJERCICIOS RESUELTOS: Se extrae una carta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta seleccionada sea menor que 7, si se conoce que es roja? A = Menor que 7 B = Color rojo P [A/B] = 12/26 = 6/13 = 46.15 % Hay 45.15%e de probabilidades de que la carta seleccionada sea menor que 7, sabiendo que es roja.

28. Teorema de Bayes N°2 P [A/B] = P[A]* P[B/Al P(B)

29. EJEMPLO DE APLICACIÓN: En una línea de producción hay dos procesos, A y B. En el proceso A hay un 20% de defectuosos y en B hay 25%. En una muestra de 300 productos hay 200 del proceso A y 100 del B. Si se extrae un producto al azar, hallar la probabilidad que sea defectuoso. Si al extraer el producto resultó defectuoso, halle la probabilidad de que sea del proceso A.

30. SOLUCIÓN : Sean los siguientes eventos: A = &quot;el producto es del proceso A&quot; B = &quot;el producto es del proceso B&quot; D = &quot;el producto es defectuoso&quot; D = &quot;el producto es no defectuoso&quot;

31. Si se extrae un producto al azar hallar la probabilidad de que sea defectuoso. &quot;Debemos calcular P [D]. Este evento se escribe: D =AD υ BD y por el Teorema de Bayes, tenemos:

32. Luego la probabilidad de que sea defectuoso es: P[D] = P[AD] + P[BD] = P[A]P[D/A] + P[B]P[D/B] = 2 (0.20) + 1 (0.25) 3 3 = 65 300 Si al extraer el producto resultó defectuoso, halle la probabilidad de que sea del proceso A. P[A/D] = P[A]P[D/A] = (2/3) (0,20) P[D] 65/300