Prueba de hipotesis 2018 final

La prueba de hipótesis comienza con una suposición, llamada hipótesis que se hace respecto
a un parámetro poblacional, luego se recolecta datos y se producen estadísticos de muestra con
la finalidad de usar esta información para decidir que tan probable es que sea correcto el
parámetro poblacional acerca del cual se formulo la hipótesis, para probar la validez del
supuesto se determina la diferencia entre el valor hipotético y el valor real luego se juzga dicha
diferencia mientras mas pequeña sea la diferencia mayor será la probabilidad de que el valor
hipotético sea correcto
PRUEBA DE HIPOTESIS
ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Procedimiento de 4 Pasos para Probar una Hipótesis
Paso 1.
Establecer las Hipótesis nula y alterna El primer paso es establecer la hipótesis a ser
probada. Esta es llamada la hipótesis nula, simbolizada por Ho, el subíndice cero implica
“cero diferencia”. Usualmente el término “no” es encontrado en la hipótesis nula
significando “no cambio”.
La hipótesis Nula es una afirmación que será aceptada si los datos de la muestra no nos
proveen de evidencia convincente de que es falsa, es decir, si se acepta la hipótesis nula
decimos que la evidencia no es suficiente para rechazarla pero no podemos afirmar que es
verdadera.
La hipótesis Alterna es la afirmación que se acepta si se rechaza la hipótesis nula. Esta
hipótesis, también llamada hipótesis de investigación, se simboliza con H1. La hipótesis
alterna es aceptada si la evidencia proporcionada por la muestra es suficiente para afirmar
que la Ho es falsa.
H0: premisa de cual la partimos
sobre la población
H1: lo que deseamos demostrar
sobre la población
PRUEBA DE HIPOTESIS

Paso 2.
Determinar El Criterio de Contraste Determinar el criterio de contraste consiste en especificar
el nivel de significancia, el tipo de distribución, y los valores críticos. Existen cuatro posibilidades al
tomar una decisión respecto a una hipótesis:
Aceptar Ho Rechazar Ho
Ho Verdadera Decisión
correcta
Error Tipo I
(α)
Ho Falsa Error Tipo II
(β)
Decisión
correcta
Nivel de significancia: probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.
Error Tipo I: rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera.
Error Tipo II: aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa.
Estadístico de prueba: valor obtenido a partir de la información muestral, se utiliza para
determinar si se rechaza o no la hipótesis.
Valor crítico: el punto que divide la región de aceptación y la región de rechazo de la hipótesis nula.
PRUEBA DE HIPOTESIS

Paso 3.
Calcular el Estadístico De Prueba : El estadístico de prueba es un valor obtenido de la
información de la muestra para compararlo con el criterio de contraste y rechazar o
aceptar la hipótesis. El estadístico de prueba cambia de acuerdo a la distribución que se
utilice
El tipo de distribución se determinará dependiendo de la naturaleza de la hipótesis y del
tamaño de la muestra. Cuando la hipótesis es relativa a medias poblacionales y las
muestras son grandes (n > 30) se utiliza la distribución normal. Cuando la hipótesis es
relativa a la media y la muestra es chica ( n ≤ 30) se utiliza la distribución t de student.
Paso 4.
Tomar Decisión Y Conclusión Una regla de decisión es establecer las condiciones sobre
las cuales la hipótesis nula es rechazada o no rechazada. Si el estadístico de prueba queda
dentro de la zona crítica la hipótesis nula deberá ser rechazada. Si el estadístico de prueba
queda fuera de la zona crítica la hipótesis nula no deberá ser rechazada.
PRUEBA DE HIPOTESIS

Zona de
Rechazo
Zona de
Rechazo
Zona de
Aceptación
Zona De Rechazo: es el área bajo la curva para el estadístico que corresponda (curva
normal para valores de Z (distribución Normal) y para valores de t (Distribución t-
Studen etc.)
Zona de Aceptación: Es el área bajo la curva que es complementaria a la zona de
rechazo ambas se generan a partir del nivel de significancia de la prueba α ambas
zonas se muestran a continuación
PRUEBA DE HIPOTESIS

Colas De Pruebas: es el área bajo la curva donde se ubica la zona de rechazo puede ser de
tres forma:
PRUEBA DE HIPOTESIS
Cola Derecha
Se rechaza Ho
Ho; Parámetro = x
H1; Parámetro > x
Se Acepta Ho
Ho; Parámetro = x
H1; Parámetro < x
Cola izquierda se
Rechaza Ho
Se Acepta Ho
Dos colas el nivel de significación se debe repartir en α/2 para cada
una de las colas
Ho; Parámetro = x
H1; Parámetro ≠ x
Cola Derecha
Se rechaza Ho
Cola izquierda se
Rechaza Ho
Se Acepta Ho

Variable Grupo Estadístico
de prueba
Formula para obtener
el Valor de Z
Hipótesis nula
Cuantitativa Un Grupo
Media 𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
Dos Grupos
Diferencia de
medias
Cualitativa
(Atributo)
Un Grupo
Proporciones 𝑝−𝑃
𝑃∗𝑞
𝑛
Dos Grupos
Diferencia de
Proporciones
Formulas Empleadas En Una Prueba De Hipótesis Para Muestras Grandes
PRUEBA DE HIPOTESIS
𝑝1 − 𝑝2 − 𝑃1 − 𝑃2
𝑃1 ∗ 𝑞1
𝑛2
−
𝑃2 ∗ 𝑞2
𝑛2
𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2
𝜎2
1
𝑛1
−
𝜎2
2
𝑛2

PRUEBA DE HIPOTESIS
Nivel de
Significancia
0,10 0,05 0,01 0,005 0,002
Z de Una Cola -1,28
1,28
-1,645
1,645
-2,33
2,33
-2,58
2,58
-2,88
2,88
Z de dos Cola -1,645
1,645
-1,96
1,96
-2,58
2,58
-2,81
2,81
-3,08
3,08
Tabla para los valores de Z con el valor de significancia dado

Variable Grupo Estadístico
de prueba
Formula para obtener
el Valor de Z
Hipótesis nula
Cuantitativa Un Grupo
Media 𝑥 − 𝜇
𝑠
𝑛
Dos Grupos
Diferencia de
medias
Cualitativa
(Atributo)
Un Grupo
Proporciones 𝑝−𝑃
𝑃∗𝑞
𝑛
Dos Grupos
Diferencia de
Proporciones
Formulas Empleadas En Una Prueba De Hipótesis Para Muestras Pequeñas
PRUEBA DE HIPOTESIS
𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2
𝑠2
1
𝑛1
−
𝑠2
2
𝑛2
𝑝1 − 𝑝2 − 𝑃1 − 𝑃2
𝑃1 ∗ 𝑞1
𝑛1
−
𝑃2 ∗ 𝑞2
𝑛2

PRUEBA DE HIPOTESIS
Tabla de t-Studen Empleada En Una Prueba De Hipótesis Para Muestras Pequeñas

Regla de decisión : es el área bajo la curva donde se ubica la zona de rechazo puede ser de
tres forma: pero antes de tenemos que definir alguno términos como: ZR= Valor calculado
por la formula y ZL = valor dado por la tabla de Distribución normal buscado con el nivel de
confianza estos son los valores a comparar para determinar si se cumple la hipótesis o no
PRUEBA DE HIPOTESIS
Cola Derecha
Se rechaza Ho
ZR ≤ ZL se aceta la Ho
ZR > ZL se rechaza la Ho
Se Acepta Ho
ZR ≥ -ZL se aceta la Ho
ZR < -ZL se rechaza la Ho
Cola izquierda se
Rechaza Ho
Se Acepta Ho
Cola Derecha
Se rechaza Ho
Cola izquierda se
Rechaza Ho Se Acepta Ho
Si –ZL ≤ ZR ≤ ZL No se rechaza
Ho Si ZR < -ZL ó si ZR > ZL Se rechaza Ho

PRUEBA DE HIPOTESIS
Región de
Rechazo Ho
Región de
Aceptación Ho
ZL= 1,645µ= 70
1.-Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado
muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8.9
años, ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel
de significancia de 0.05.
Ejemplo para prueba de hipótesis para variables cuantitativas una cola y
un grupo
Solución:
Se trata de una distribución
muestral de medias con
desviación estándar conocida.
Datos:
µ=70 años
σ = 8.9 años
𝑥 = 71.8 años
n = 100
α = 0.05 entonces ZL= 1,645
Ensayo de hipótesis
Ho; µ = 70 años.
H1; µ > 70 años.
Regla de decisión:
Si ZR ≤ 1.645 no se rechaza Ho.
Si ZR > 1.645 se rechaza Ho.
Calculamos ZR =
𝑥 −𝜇
𝜎
𝑛
Sustituyendo nos queda ZR =
71,8−70
8,9
100
= 2,02
Justificación y decisión.
Como 2.02 >1.645 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que
la vida media hoy en día es mayor que 70 años.

PRUEBA DE HIPOTESIS
2.-Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maíz pesan, en promedio 5.23 onzas
con una desviación estándar de 0.24 onzas. Pruebe la hipótesis de que µ = 5.5 onzas contra
al hipótesis alternativa, µ< 5.5 onzas en el nivel de significancia de 0.05
Solución:
Se trata de una distribución muestral de
medias con desviación estándar
desconocida, pero como el tamaño de
muestra es mayor a 30 se puede tomar la
desviación muestral como un estimador
puntual para la poblacional
Datos:
µ = 5.5 onzas
σ = 0.24 onzas
𝑥= 5.23 onzas
n = 64
α = 0.05 entonces ZL= -1,645
Ho; µ = 5.5 onzas
H1; µ < 5.5 onzas
Regla de decisión:
Si ZR ≥ -1.645 No se rechaza Ho
Si ZR < -1.645 Se rechaza Ho
Región de
Rechazo Ho
Región de
Aceptación
-1.645
ZL=-1,645 µ= 5,5
Cálculos: ZR =
𝑥 −𝜇
𝜎
𝑛
=
5,23−5,5
0,24
64
= −9
Justificación y decisión:
Como –9 < -1.645 por lo tanto se rechaza Ho
y se concluye con un nivel de significancia
del 0.05 que las bolsas de palomitas pesan
en promedio menos de 5.5 onzas.
Ejemplo para prueba de hipótesis para variables cuantitativas una cola y
un grupo

La vida útil de un foco es de 5000 horas. Un nuevo diseño se piensa incremente esta vida. Se prueban n=25 focos
con fusión a media =5117, S= 1886. Concluir para un nivel alfa del 5%.
Ejemplo para prueba de hipótesis para variables cuantitativa una cola y
un grupo muestra pequeña n ≤30
Solución:
Se trata de una distribución muestral de
medias con desviación estándar
conocida.
Datos:
µ=5000 horas
s = 1,886
𝑥 = 5,117
n = 25
gl= (n-1) = 25-1=24
α = 0.05 entonces tl= 1,7109
Ho; µ ≤ 5000 Horas
H1; µ > 5000 Horas
Cuando se trabaja con muestras pequeñas como en este caso ya no se trabaja con la tabla de distribución normal en este caso
trabajaremos con la tabla t-studen en donde se muestra un nivel de significancia y el valor de V que son los grados de libertad (
numero donde se pueden mover los valores con el nivel de significancia dado) los demás procedimientos son semejante a trabajar
con una muestra grande
Regla de decisión:
Si tR ≤ 1,7109 no se rechaza Ho.
Si tR > 1.7109 se rechaza Ho.
Calculamos tR =
𝑥 −𝜇
𝑠
𝑛
=
5117−5000
1886
25
=0,3110
Región de
Rechazo Ho
Región de
Aceptación Ho
tL= 1,7109µ= 5000
Como 0,311 ≤ 1,7109 no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la vida
útil de los focos es menos e igual que 5000 horas .

3.-Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma
aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40
horas. Si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas,
¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media ha cambiado?
Utilice un nivel de significancia del 0.04.
PRUEBA DE HIPOTESIS
Ejemplo para prueba de hipótesis para variables cuantitativas dos cola y
un grupo
Solución:
Se trata de una
distribución muestral de
medias con desviación
estándar conocida.
Datos:
µ=800 horas
σ = 40 horas
𝑥= 788 horas
n = 30
α = 0.04
Ho; µ = 800 horas
H1; µ ≠ 800 horas
Regla de Decisión:
Si –2.052 ≤ ZR ≤ 2.052 No se rechaza
Ho Si ZR < -2.052 ó si ZR > 2.052 Se rechaza Ho
Calculamos ZR =
𝑥 −𝜇
𝜎
𝑛
Sustituyendo nos
queda ZR =
788−800
40
30
= −1.64
Como –2.052 ≤ -1.643 ≤ 2.052 por lo tanto, no se rechaza Ho
y se concluye con un nivel de significancia del 0.04 que la
duración media de los focos no ha cambiado
ZL= -2.052
Región de
Rechazo Ho
Región de
Aceptación
-1.64
ZL= 2.052µ= 800
Región de
Rechazo Ho

Ejemplo para prueba de hipótesis para variables cuantitativa dos cola y
un grupo para muestras pequeñas
5,-La directora del departamento de personal de una corporación busca empleados para un puesto en el extranjero. Durante
el proceso de selección, la administración le pregunta cómo va la incorporación de empelados, y ella contesta que la
puntuación promedio en la prueba de actitudes será de 90 puntos . Cuando la administración revisa 19 de los resultados de la
prueba, encuentra que la puntuación media es de 83,25 puntos con una desviación estándar de 11. bajo el supuesto de
normalidad , ¿lleva la razón la directora con un nivel de confianza de un 95%
Solución:
muestral de medias con
desviación estándar conocida.
y n ≤30
Datos:
µ=90 puntos
s = 11 puntos
𝑥= 83,25 puntos
n = 19
α = 0.10 y como son dos colas
entonces este valor será
dividido entre dos 0,05
gl=19-1=18 y tl=1,734
Ho; µ = 90 puntos
H1; µ ≠ 90 puntos
Regla de Decisión:
Si –1,734 ≤ tR ≤ 1,734 No se rechaza
Ho Si tR < 1,734 ó si tR > 1,734 Se rechaza Ho
Región de
Rechazo Ho
Región de
Rechazo Ho
Región de
Aceptación
-1.64
tL= 1,734µ= 90tL= -1,734
Calculamos tR =
𝑥 −𝜇
𝜎
𝑛
Sustituyendo nos
queda ZR =
90−83,25
11
19
= 2,674
Como 2,674 > 1,734 por lo tanto, se rechaza Ho y se concluye con un
nivel de significancia del 0.10 por lo tanto se rechaza la suposición de
la directora que la media es igual a 90 Ptos

PRUEBA DE HIPOTESIS
4.-Un constructor afirma que se instalan bombas de agua en 70% de todas las casas que se
construyen hoy en día en la ciudad de Barquisimeto. ¿Estaría de acuerdo con esta afirmación si
una investigación de casas nuevas en esta ciudad muestra que 8 de 15 tienen instaladas bombas?
Utilice un nivel de significancia de 0.10.
Solución:
1. Se trata de una distribución
muestral de proporciones.
Datos:
P= 0.70
𝑝 = 8/15 = 0.5333
n = 15
α = 0.10
Ho; P = 0.70
H1; P ≠ 0.70
Regla de Decisión:
Si –1.645 ≤ ZR ≤ 1.645 No se rechaza Ho
Si ZR < -1.645 ó si ZR > 1.645 Se rechaza Ho
Región de
Rechazo Ho
Región de
Aceptación
ZL= 1,645
P= 0,70
Región de
Rechazo Ho
ZL= -1,645
Cálculos: ZR =
𝒑−𝑷
𝑷∗𝒒
𝒏
=
0,533−0,70
𝟎,𝟕𝟎∗𝟎,𝟑𝟎
𝟏𝟓
= −1,41
Como –1.645 ≤ -1.41 ≤ 1.645 No se rechaza Ho y
se concluye con un nivel de significancia de 0.10
que la afirmación del constructor es cierta.
Ejemplo para prueba de hipótesis para variables cualitativas dos cola y
un grupo

5.-Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en aplicaciones de
motores automovilísticos. El cliente requiere que la fracción de controladores defectuosos en uno
de los pasos de manufactura críticos no sea mayor que 0.05, y que el fabricante demuestre esta
característica del proceso de fabricación con este nivel de calidad, utilizando α = 0.05. El
fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de 200 dispositivos y encuentra que
cuatro de ellos son defectuosos. ¿El fabricante puede demostrar al cliente la calidad del proceso?
PRUEBA DE HIPOTESIS
Solución:
1. Se trata de una distribución
muestral de proporciones.
2. Datos:
P= 0.05
𝑝= 4/200 = 0.02
n = 200
α = 0.05
3. Ensayo de hipótesis
Ho; P = 0.05
H1; P < 0.05
Región de
Rechazo Ho
Región de
Aceptación
ZL= -1,645 P=0,05
Regla de decisión:
Si ZR ≥-1.645 No se rechaza Ho
Si ZR < -1.645 Se rechaza Ho
Cálculos: ZR =
𝒑−𝑷
𝑷∗𝒒
𝒏
=
0,02−0,05
𝟎,05∗𝟎,95
200
= −1,946
Puesto que –1.946<-1.645, se rechaza Ho y se
concluye con un nivel de significancia del 0.05
que la fracción de artículos defectuosos es
menor que 0.05.
Ejemplo para prueba de hipótesis para variables cualitativas dos cola y
un grupo

Ejemplo para prueba de hipótesis para variables cuantitativas dos cola y
dos grupo
6.-Un diseñador de productos está interesado en reducir el tiempo de secado de una pintura tapaporos. Se prueban
dos fórmulas de pintura; la fórmula 1 tiene el contenido químico estándar, y la fórmula 2 tiene un nuevo ingrediente
secante que debe reducir el tiempo de secado. De la experiencia se sabe que la desviación estándar del tiempo de
secado es ocho minutos, y esta variabilidad inherente no debe verse afectada por la adición del nuevo ingrediente.
Se pintan diez especímenes con la fórmula 1, y otros diez con la fórmula 2. Los dos tiempos promedio de secado
muéstrales son 121 min y112 min respectivamente. ¿A qué conclusiones puede llegar el diseñador del producto
sobre la eficacia del nuevo ingrediente, utilizando α = 0.05?
Solución:
muestral de diferencia de medias
con desviación estándar conocida.
Datos:
𝑠1=𝑠2= 8
𝑥1=121min
𝑥2 =112min
n1=n2= 10
α = 0.05 GL=(n1+n2)-1=19
Ho; 𝜇1= 𝜇2 entonces 𝜇1 − 𝜇2=0
H1; 𝜇1 > 𝜇2 entoneces 𝜇1 - 𝜇2 >0 Se desea
rechazar Ho si el nuevo ingrediente
disminuye el tiempo promedio de secado,
por eso se pone la diferencia mayor a cero
o sea positiva para poder probar que 𝜇2es
menor que 𝜇1
Región de
Rechazo Ho
Región de
Aceptación Ho
tL= 1.7291
𝜇1 − 𝜇2=0
Regla de decisión:
Si tR ≤ 1.7291 no se rechaza Ho.
Si tR >1.7291 se rechaza Ho.
Cálculos:𝑡𝑅 =
𝑥1 − 𝑥2 − 𝜇1 − 𝜇2
𝑠2
1
𝑛1
−
𝑠2
2
𝑛2
Sustituyendo tR=
121−112 − 0
82
10
−
82
10
=2,52
Puesto que 2.52 >1.8331, se rechaza Ho, y se
concluye con un nivel de significancia de 0.05 que la
adición del nuevo ingrediente a la pintura si
disminuye de manera significativa el tiempo
promedio de secado

Ejemplo para prueba de hipótesis para variables cualitativos dos cola y
dos grupo
7.-Se evalúan dos tipos diferentes de soluciones para pulir, para su posible uso en una operación de pulido en la
fabricación de lentes intraoculares utilizados en el ojo humano después de una cirugía de cataratas. Se pulen 300
lentes con la primera solución y, de éstos, 253 no presentaron defectos inducidos por el pulido. Después se pulen
otros 300 lentes con la segunda solución, de los cuales 196 resultan satisfactorios. ¿Existe alguna razón para
creer que las dos soluciones para pulir son diferentes? Utilice α = 0.01
Solución:
Se trata de una distribución muestral
de diferencia de proporciones.
Datos:
𝑝1= 253/300= 0.8433
𝑝2 = 196/300= 0.6533
n1=n2 = 300
Ensayo de hipótesis:
Ho; P1 = P2 entonces P1-P2=0
H1; P1 ≠ P2 entonces P1-P2 ≠ 0
Regla de Decisión:
Si –2.575≤ ZR ≤ 2.575 No se rechaza Ho
Si ZR < -2.575 ó si ZR > 2.575 Se rechaza Ho
Región de
Rechazo Ho
Región de
Aceptación
ZL= 2,58P1-P2=0
Región de
Rechazo Ho
ZL= -2,58
Cálculo 𝑍𝑅 =
𝑝1− 𝑝2 − 𝑃1−𝑃2
𝑃1∗𝑞1
𝑛2
−
𝑃2∗𝑞2
𝑛2
Quedando la formula de la siguiente forma
𝑍𝑅 =
𝑝1− 𝑝2 − 𝑃1−𝑃2
𝑃∗𝑞∗
1
𝑛1
+
1
𝑛2
sustiyuyendo
𝑍𝑅 =
𝑝1− 𝑝2 − 𝑃1−𝑃2
𝑃∗𝑞∗
1
𝑛1
+
1
𝑛2
=
0,843−0,653 − 0
0,748∗0,251∗
1
300
+
1
300
= 5,37
Nota: en este caso no tenemos ni 𝑃1 𝑛𝑖 𝑃2 por lo tanto
Debemos calcular un solo P usando la siguiente formula
𝑃 =
𝑛1+ 𝑛2
𝑛1+𝑛2
donde 𝑛1 𝑦 𝑛2 son las cantidades tomadas en
cada muestra aplicando la formula P=
253+196
300+300
=0,748 y
q= 0,251
Puesto que 5.36>2.575, se rechaza la hipótesis nula y se concluye con un
nivel de significancia de 0.01 que los dos fluidos para pulir son diferentes

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