1) Se presenta un problema de probabilidad donde se sabe la producción diaria y porcentaje de defectuosos de 3 secciones de una empresa. Se elige una caja al azar y resulta defectuosa. Se pide calcular la probabilidad de que provenga de la tercera sección. 2) Se presentan los datos de producción y defectuosos de cada sección para aplicar la fórmula de probabilidad condicionada de Bayes. 3) Usando la fórmula, se calcula que la probabilidad de que la caja defectuosa provenga de la tercera se

1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
TRABAJO DE ESTADISTICA
PROBABILIDADES (TEOREMA DE BAYES)
En una empresa se sabe que hay 3 secciones que producen diariamente 1200,
800 y 1000 cajas de radios, transistores, además se conoce que la primera
sección produce el 10% de radios defectuosos, la segunda sección el 5% y la
tercera sección el 8% de la producción de un dia se elige al azar una caja y de
ella se extrae un radio que resulta defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que
detecte la tercera sección?
SECCIONES PRODUCCION DEFECTUOSOS
1 A 1200 10% 120
2 B 800 5% 40
3 C 1000 8% 80
3000 240
P ( C ) . P (D/C)
P(A) . P(D/A) + P (B) . P (D/B) + P (C ).
P(D/C)
1000/3000 . 80/1000
1200/3000 . 120/1200 + 800/3000 . 40/800 +
1000/3000 . 80/1000
80
240
1
3

2. La probabilidad de que haya un accidente en una fabrica que dispone de
alarma es 0,1. La probabilidad de que suene esta si se a producido algún
accidente es de 0,97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún
accidente es 0,02
¿Cuál es la probabilidad de que no haya existido ningún accidente?
P(I/A) =
0,9 - 0, 02
0,1 . 0,97 + 0,9 . 0,02
= 0 ,157
I= producirse accidente
A= sonar alarma

3. En una cajita A1 contiene 8 bolitas blancas y 2 negras; una cajita A2 contiene 3
bolitas blancas y 7 negras y la cajita A3 contiene 5 bolitas blancas y 5 negras
se saca una bolita de la cajita A1; si resulta 4 o 5 la bolita se saca de la cajita
A2 y finalmente si resulta 6, se saca de la cajita A3. Dado a que la bolita
extraída fue blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que ella provenga de la cajita
A2?
P(A2/B)= P(A2 B) / P(B)
P(A2 B)/ P(A1 B) + P(A2 ) + P(A3 B)
(2/6 * 3/10) / (3/6 *8/10) + (2/6 * 3/10) + (1/6 * 3/10)
6/60 / 36/60= 6/35

4. La urna A contiene 6 pepitas grises y 4 rojas, la urna B contiene 2 bolitas grises
y 7 rojas, se saca una bolita de la urna A y se la coloca en la B, enseguida se
saca una bolita de la urna B. Dado que la bolita extraída de B es gris. ¿Cuál es
probabilidad de que la bolita extraída de la A también haya sido gris?
P(G1) = 6/10
P(R1) = 4/10
P(A/G) = P(G1) . P(G2/G1)
= 6/16 . 3/100 = 18/1000 = 18/26

5. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro
20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un
puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras
que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20%
ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un
empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

6. EJERCICIOS DE PROBABILIDADES
Se extrae una carta de una baraja
¿Cuál es la probabilidad de sacar un AS o un REY?
S 52 cartas P(AUB) P(A) + P(B)
A 4 4/52 P(AUB) 4/52 + 4/52
B 4 4/52 P(AUB) 8/52
P(AUB) 2/13
Se lanzan dos dados cual es la probabilidad que caiga dos números iguales
con la condición de que su suma sea mayor a 9.
A 46, 55, 56, 64, 65, 66 6/36
B 11, 22, 33, 44, 55, 66 6/36
AB 55, 66 = 2/36
P(A/B) P(A B)/P(B) 2/36 6/36
=1/3
En Quito la probabilidad que llueva el 1 de Noviembre es de 0,50 y la
probabilidad de que llueve el 1 y 2 de Noviembre es de 0,40 dado que llovió el
1 de Noviembre.
¿Cuál es la Probabilidad de que llueva el día siguiente 2 de Noviembre?
P(L1) = 0,50
P(L1 L1) = 0,40
P=(L2/L1)
0,4
0,5
0.8

7. Se saca una carta de una baraja de 52 cartas.
¿Cuál es la Probabilidad de que la carta elegida sea negra o un rey?
P (N R) = 26/ 52 + 4/52 – 2/52 = 28/52
P(N R) 28/52
De 300 estudiantes de esta facultad, 100 cursan auditoria y 80 administracion,
estas cifras incluyen a 30 estudiantes que siguen ambas carreras. ¿Cuál es la
probabilidad de que un estudiante, curse auditoria o administración?
S= 300
A= 100
B=80
A B= 30
P(A B)= P(A) + P(B)- P(AB)
P(A B)= 100/300+ 80/300-30/300
P(A B)=150/300
P(A B)= 0,5

8. Se lanza un dado no cargado, dado que el resultado es un numero par.
¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor a 3?
EM= 1,2,3,4,5,6
A= 2,4,6
B= 4,5,6
A B= 4,6
P(A)= 3/6
P(A B)= 2/6
Determine la probabilidad de obtener un 6 y un 5 sucesivamente al lanzar un
dado dos veces.
P(6 5)= P(6) * P(5)
= (1/6)*(1/6)
=1/36
Determinar la probabilidad dos caras, si se lanza sucesivamente dos veces una
moneda.
P(C1 C2)= P(C1)* P(C2)
=(1/2)*(1/2)
=(1/4)

9. Una urna contiene 6 bolitas blancas y 4 negras. Se extrae 2 bolitas
sucesivamente y sin restitución.
1.- Cual es la probabilidad de que ambas sean blancas
2.- Cual es la probabilidad de que la primera sea blanca y la otra negra
3.- Cual es la probabilidad de que la primera sea negra y la otra blanca
4.- Cual es la probabilidad de que ambas sean negras
a) P(B1 B2) = P(B1) * P(B2/B1)
6/10 * 5/9 = 30/90
b) P(B1 N2) = P(B1)* P(N2/B1)
6/10 * 4/9 = 24/90
c) P(N1 B2)= P(N1)*P(B2/N1)
4/10*6/9 = 24/90
d) P(N1 N2)= P(N1)*P(N2/N1)
4/10*3/9= 12/90

10. Se sacan dos cartas sin sustitución
¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean ases?
Sea A1 el suceso de la primera carta es AS y A2 el suceso de la segunda carta
es AS, luego según la probabilidad del suceso A1 A2 es igual a la probabilidad
de que la primera carta sea un AS multiplicada por la probabilidad que la
segunda carta sea AS, dado a que la primera carta fue AS, en símbolos:
P(A1 2) = P(A1)* P(A2/A1)
La Probabilidad de que la primera carta sea un AS es decir P(A1) es 4/52 ya
que hay 4 ases y la probabilidad de que la segunda carta sea AS dado que la
primera fue AS, o sea, P(A2/A1) es 2/51 ya que de las 51 cartas restantes, 3
son AS.
P(A1 A2 ) = P(A1) * P(A2/A1)
4/52*3/51= 12/2652
La urna A contiene 6 esferas verdes y 4 rojas. La urna B contiene 3 esferas
verdes y 7 rojas se extrae una esfera de cada urna.
¿Cuál es la probabilidad de que sea el mismo color?
P( mismo color) = P(ambas verdes) +P(ambas rojas)
P (V1 V2) + P(R1 R2)
= 6/10* 3/10 + 4/10*7/10 = 46/100

11. Un dispositivo contiene 3 componentes independientes A, B y C. el dispositivo
se considera defectuoso si uno o mas de los componentes lo son. La
probabilidad de que A sea defectuoso es 1%, de que B sea defectuoso 2% y
que C sea defectuoso es el 10%.
A= Probabilidad de que sean defectuosos
A`= Probabilidad de que no sean defectuosos
P(A`)= 1- P(A)= 1-0,01= 0,99
P(B`)= 1-P(B)= 1-0,02= 0,98
P(C`)= 1-P(C)= 1- 0,10= 0,90

12. Se extrae de una urna una bola que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas, 6
negras.
¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca?
R= extraer bola roja
B= extraer bola blanca
R B= extraer bola roja o blanca
P(R B)= P( R) + P (B)
4/15 + 5/15= 9/15 = 3/5
En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10
morenos. Un dia asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un
alumno sea hombre o mujer.
H: un amlumno hombre P(H) = 15/ 45 = 1/3
M: un alumno mujer P(M) = 30/45 = 2/3
P(H M)= 1/3 + 2/3
=1

13. En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene
ojos castaños y el 15% tienen cabellos y ojos castaños, se escoge una persona
al azar.
a) Si tienen los cabellos castaños. ¿Cuál es la probabilidad de que tengan
también ojos castaños’
b) Si tienen ojos castaños. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga
cabellos castaños?
c) Cual es la probabilidad de que no tengan cabellos ni ojos castaños?
a)
P(ojos castaños/pelo castaño)= 15/40 = 3/8
b)
P(pelo no castaño/ ojos castaños) = 10/25 = 2/5
c)
P(pelo no castaño y ojos no castaños) = 50/100 = ½

14. En una aula hay 100 alumnos, de los cuales 40 son hombres, 30 usan gafas y
15 son mujeres y usan gafas si seleccionamos al azar un alumno de dicho
curso.
a)¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?
b)Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿Qué probabilidad
hay que sea hombre?
a) P (mujer y sin gafas) = 45/100 = 9/20
b) P(hombre y sin gafas) = 25/70

15. Un cartón tiene 8 balas rojas, 5 amarillas y 7 verdes si se extrae una bala al
azar
¿Calcular la probabilidad de que:
a) Sea roja
b) No sea verde
a)
EM (20 elementos)
P(A) = 8/20 = 2/5
b)
Extraer una bala al azar que no sea verde
P(B`) = 1- P(B)= 1- 7/20= 13/20
Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. ¿Cuál
es la probabilidad de que salga el 7?
EM=36 resultados
(1,6) ; (2,5) ; (3,4) ; (4,3) ; (5,2) ; (6,1)
6/36 = 1/6

16. Los estudiantes A y B tienen probabilidades respectivamente de ½ y 1/5 de
suspender un examen. La probabilidad de que se suspendan el examen
simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno
de los estudiantes suspendan el examen.
P(A B) = ½ + 1/5 – 1710 = 6/1
Ante un examen un alumno solo a estudiado 15 de los 25 temas
correspondientes a la materia, esto se realiza extrayendo al azar dos temas y
dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo.
¿Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir e el examen unos de los
temas estudiados?
P(al menos un tema) = 1
-P( ningún tema) = 1
1- (10/25) (9/24) = 17/20