Ejemplo de solución de problema por medio de tri{angulos semejantes

1. Triángulos semejantes
Ambrosio va a pintar un muro del que
conoce la dimensión de su base pero le falta
la altura porque no cuenta, por el momento,
con una escalera para medirla.

2. ¿Cómo podría Ambrosio conocer la altura del muro y con ello
poder calcular el área que va a pintar?
Ambrosio puede más o menos calcular la altura del muro
parándose junto a él y marcar su altura con un gis, luego
alejarse y calcular cuántas veces cabe su altura en el
muro. Pero este procedimiento no es muy preciso, pues
está suponiendo cuántas veces cabe su altura en el muro
para luego multiplicarla.

3. Una forma de calcular la altura del muro, con mucha mayor
precisión, es utilizando la geometría, por medio de las razones
semejantes. Observe usted lo que hace Ambrosio:
La sombra que da el Sol cuando pasa por el muro a las11
a.m. mide 16 m.

4. La sombra de Ambrosio,
también a las 11 a.m., es
de 3.0 m y él sabe que
mide 1.75 m. Con esta
información él podrá
calcular la altura del muro,
ya que si usted observa los
dos dibujos, en cada uno
de ellos hay un triángulo
rectángulo semejante.

5. Lo anterior se aprecia mejor si se dibuja de la siguiente manera:

6. De la misma manera se puede analizar a Ambrosio y su sombra.

7. Observe que los triángulos ABC y DEF son semejantes porque sus
tres lados son proporcionales. Esto quiere decir que la relación que
existe entre el alto del muro y su sombra ( ) es la misma que existe
entre la altura de Ambrosio y la longitud de su sombra ( ). Esto es
porque los dos triángulos (ABC y DEF) tienen el mismo ángulo(se lee
alfa).
La sombra del muro La sombra de
Ambrosio

8. Utilizando el álgebra se puede decir que:
Por lo anterior se tiene que:

9. También se podría haber dicho que:
La altura del muro AB es proporcional a la altura de Ambrosio DE.
Y que la sombra del muro BC es proporcional a la sombra de Ambrosio EF, desde
luego, ambas medidas a las 11 a.m.

10. Ahora Ambrosio tiene una ecuación en la que conoce tres variables y
tiene una incógnita.

11. Con lo anterior puede plantear una ecuación como la siguiente:
(x= altura desconocida del muro)
Despeja la incógnita "x", por lo que multiplica a los dos miembros de la ecuación por
BC:

12. Sustituyendo se tiene:
Con esto Ambrosio sabe que el muro tiene una altura de 9.33 m, lo que multiplicado
por los 25 m que tiene de base obtendrá su área.
9.33 m x 25 m = 233.25 m2
Recuerde usted que cuando tiene figuras que son semejantes,
conociendo la relación que existe en ellas, se puede estimar cualquier
dimensión que falte.

13. En el caso del muro de Ambrosio, la semejanza se puede
comprobar de la siguiente manera.
Forma algebraica:
Cuando se obtiene la misma cantidad en los dos
triángulos al dividir a uno de los lados entre otro de sus
lados.

14. Forma gráfica:
1. Cuando un triángulo cabe exactamente en una
parte del otro.

15. 2. Cuando, al continuar las líneas de un ángulo
formado, se puede colocar el otro triángulo pero de
manera simétrica:
Observe que en ambos casos el ángulo es el mismo.