Este documento describe las propiedades de los triángulos semejantes. Explica que dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. Para que dos polígonos sean semejantes deben tener ángulos iguales y lados homólogos proporcionales. Luego se enfoca en los triángulos semejantes, indicando que cumplen con igualdad de ángulos homólogos y proporcionalidad de lados homólogos. Presenta varios teoremas sobre cuando dos triángulos son se

1. Clase 6 triángulos semejantes
Figuras geométricassemejantes:EnGeometría,diremosque dos objetos sonsemejantes (~ es el
signode semejanza) si,ysolosi,tienenlamismaformaperononecesariamente el mismotamaño;
Aplicado a la geometría, podríamos decir que una figura corresponde a una representación a
escala diferente de la otra.
Dos polígonos son semejantes cuandotienenángulos iguales semejantemente dispuestos y sus
lados homólogos proporcionales.
Las dos condiciones deben cumplirse para que se dé la semejanza, pues pueden existir figuras
geométricas que satisfaciendo solo una de las condiciones no son semejantes, ejemplo un
cuadrado y un rectángulo, cumplirán igualdad de ángulos pero no proporcionalidad de lados
homólogos, por lo tanto no son la representación de la misma figura en dos escalas diferentes.
Semejanza de triángulos
Los lados a y a', b y b', c y c' son lados homólogos (con el mismo criterio que en los triángulos
iguales).
Los ángulos homólogos serían:

2.  De acuerdoa la definiciónde semejanza,dostriángulossonsemejantescuandotienensus
ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales es decir:
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.
La igualdadde triángulos,yaestudiadasería entonces un caso particular de semejanza, en el que
la razón de semejanza es de 1.
Importante lostriángulossonlos únicos polígonos en que se comprueba que son semejantes sin
necesidadde cumplirlasdoscondicionesespecificadas(igual que enlosteoremas para demostrar
la igualdad,que nospermitenconcluirlaigualdad de dos triángulos mediante la igualdad de 3 de
sus elementos en lugar de los 6), esto de demuestra mediante los siguientes teoremas:
TEOREMA
Si dos triángulos son mutuamente equiángulos son semejantes.
Datos o hipótesis:
- ang.A = ang.A´
- ang. B = ang.B´
- ang. C = ang. C´
Tesisa demostrar:
- AB : A´B´ = AC :A´C´= BC: B´C´
Demostraciónconstruirsobre el triánguloABCuntriánguloCPDigual al A’C’B’.
Corolario: Dostriángulossonsemejantessi dosángulosdel unosonrespectivamente igualesa
dos ángulosdel otro.
Corolario: Dostriángulos rectángulossonsemejantessi tienenigualesunánguloagudo.

3. TEOREMA
Si dos triángulos tienen un ángulo igual comprendido entre lados proporcionales, los dos
triángulos son semejantes.
Datos o hipótesis:
- ang. C = ang. C´
- CA : C´A´= CB: C´B´
Tesisa demostrar:
- TrianguloABC semejante al triánguloA´B´C´
TEOREMA
Si los tres lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a los de otro, los dos
triángulos son semejantes.
Datos o hipótesis:
- AB : A´B´ = AC :A´C´= BC: B´C´
Tesisa demostrar:
- TrianguloABC semejante al triánguloA´B´C´

4. TEOREMA
La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.
Problemapara realizar enclase
1. En dos triángulossemejantes la razón entre dos alturas homologas es igual a su razón de
semejanza.
2. Te cuentoque hace muchosaños un señorconocidocomo Thales de Mileto pudo calcular
la alturade lapirámide de Keops sin medirla directamente. ¿Cómo lo habrá logrado?. En
un viaje a Egipto midió, en forma indirecta, la altura de la pirámide de Keops. Con sólo
medir la longitud de un bastón, la sombra de éste y la sombra de la pirámide, planteó la
proporción que le permitió calcular la altura inaccesible:
3. Hipótesis:AB⊥CF;AC⊥BD Tesis:∆ FBE ∼ ∆ DEC
4. El baricentrodivide acadauna de lasmedianasendossegmentosque,talesque el uno es
el doble del otro.

5. Tarea resolver los siguientes problemas
 En dos triángulos semejantes la razón entre dos medianas (segmento de mediana
comprendidoentre el vértice yel puntomedio del lado opuesto) homologas es igual a su
razón de semejanza.
 Sabiendo que estos dos triángulos son semejantes: Halla los lados y los ángulos que les
faltan a cada uno de ellos
 Sabiendoque el triánguloABCesrectánguloenBy que y essu altura, calcula los lados y ,
z del triángulo verde
 Sabiendo que Amelia tiene una altura de 162 cm, halla la altura
de la farola.
 Para calcularla distanciadesde laplaya
a un barco se hantomadolas medidas
de la figura.Calculaladistanciaal barco

6. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste
de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m
 Dado que ∠T =∠ NGV. Demostrarque ∆NGV ˜ (semejante) ∆NTX
 Dado que LK // CB .Demostrarque:∆ LKM ˜ (semejante)
∆ BCM
 La longituddel segmentoperpendiculartrazadodesde el Baricentrode un triánguloauno
de sus lados,esigual a la terceraparte de laaltura relativaal mismolado.
 T) AH2
=AB*HD
- H) I incentrodel triánguloABC
T) CD*AI=AC*BD