Este documento presenta varios temas clave de matemáticas para el segundo año de la educación secundaria obligatoria. Explica el teorema de Tales, la semejanza de figuras, la ampliación y reducción de figuras, y el teorema de Pitágoras. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos para cada tema.
El teorema del seno establece que en cualquier triángulo, las longitudes de los lados son directamente proporcionales al seno de los ángulos opuestos. Para resolver un problema, basta con conocer tres términos (dos lados y un ángulo, o dos ángulos y un lado) para determinar el triángulo. El documento muestra un ejemplo de cómo usar el teorema del seno para calcular los ángulos y el lado restante de un triángulo dado dos lados y un ángulo.
El documento clasifica los triángulos en equilátero, isósceles y escaleno según el número y longitud de sus lados. También los clasifica en agudángulo, rectángulo y obtusángulo según el tamaño de sus ángulos. Explica que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180 grados y proporciona ejemplos para calcular ángulos desconocidos y lados mediante proporcionalidad.
Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre geometría para grado noveno. Incluye información sobre ángulos entre paralelas, congruencia y semejanza de triángulos, el teorema de Tales, y áreas de figuras planas. También asigna dos actividades para que los estudiantes las completen y envíen en fechas específicas, con el fin de evaluar su comprensión de los conceptos geométricos explicados.
Este documento contiene 25 preguntas tipo PSU sobre congruencia de triángulos. Las preguntas abarcan diferentes criterios de congruencia como LLL, LAL, AAA, entre otros, y piden determinar medidas de ángulos, perímetros y cuáles triángulos son congruentes.
El documento habla sobre polígonos, sus elementos, clasificaciones y propiedades. Explica que los polígonos son figuras planas cerradas con lados rectos y que se clasifican como regulares e irregulares. Luego describe elementos como vértices, lados, ángulos y diagonales. Finalmente enumera siete propiedades de los polígonos relacionadas a sus lados, vértices, ángulos y diagonales.
El documento describe varios conceptos geométricos básicos como rectas, segmentos, paralelas, perpendiculares, ángulos y sus relaciones. Incluye instrucciones paso a paso para trazar estas figuras utilizando regla y compás, así como ejercicios de práctica. Las páginas descritas son 88, 124 y 126 del libro y contienen información sobre rectas, semirrectas y segmentos.
El teorema del seno establece que en cualquier triángulo, las longitudes de los lados son directamente proporcionales al seno de los ángulos opuestos. Para resolver un problema, basta con conocer tres términos (dos lados y un ángulo, o dos ángulos y un lado) para determinar el triángulo. El documento muestra un ejemplo de cómo usar el teorema del seno para calcular los ángulos y el lado restante de un triángulo dado dos lados y un ángulo.
El documento clasifica los triángulos en equilátero, isósceles y escaleno según el número y longitud de sus lados. También los clasifica en agudángulo, rectángulo y obtusángulo según el tamaño de sus ángulos. Explica que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180 grados y proporciona ejemplos para calcular ángulos desconocidos y lados mediante proporcionalidad.
Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre geometría para grado noveno. Incluye información sobre ángulos entre paralelas, congruencia y semejanza de triángulos, el teorema de Tales, y áreas de figuras planas. También asigna dos actividades para que los estudiantes las completen y envíen en fechas específicas, con el fin de evaluar su comprensión de los conceptos geométricos explicados.
Este documento contiene 25 preguntas tipo PSU sobre congruencia de triángulos. Las preguntas abarcan diferentes criterios de congruencia como LLL, LAL, AAA, entre otros, y piden determinar medidas de ángulos, perímetros y cuáles triángulos son congruentes.
El documento habla sobre polígonos, sus elementos, clasificaciones y propiedades. Explica que los polígonos son figuras planas cerradas con lados rectos y que se clasifican como regulares e irregulares. Luego describe elementos como vértices, lados, ángulos y diagonales. Finalmente enumera siete propiedades de los polígonos relacionadas a sus lados, vértices, ángulos y diagonales.
El documento describe varios conceptos geométricos básicos como rectas, segmentos, paralelas, perpendiculares, ángulos y sus relaciones. Incluye instrucciones paso a paso para trazar estas figuras utilizando regla y compás, así como ejercicios de práctica. Las páginas descritas son 88, 124 y 126 del libro y contienen información sobre rectas, semirrectas y segmentos.
Este documento presenta varios teoremas geométricos como el Teorema de Pitágoras, los Teoremas de Euclides y Tales, y ejercicios de aplicación. Incluye 20 ejercicios que piden calcular longitudes, alturas, lados y diagonales de triángulos, cubos, conos y otros objetos usando los teoremas presentados. Finalmente, explica por qué las personas usan referencias como el pulgar para estimar alturas.
Este documento presenta varios temas matemáticos de 2o de ESO como el Teorema de Tales, la semejanza de figuras, la ampliación y reducción de figuras y el Teorema de Pitágoras. Incluye definiciones, ejemplos y ejercicios resueltos de cada tema. El objetivo es que los estudiantes aprendan a aplicar correctamente estos conceptos geométricos.
El documento habla sobre los ángulos de elevación y depresión. Define el ángulo de elevación como el formado entre una línea visual y la horizontal debajo de ella. Define el ángulo de depresión como el formado entre una línea visual y la horizontal encima de ella. Luego propone algunos ejemplos y ejercicios para practicar el cálculo de distancias y alturas usando estos ángulos.
Este documento presenta los conceptos básicos de geometría plana y tridimensional. Explica las figuras de una, dos y tres dimensiones como puntos, rectas, polígonos y cuerpos geométricos. También describe cómo calcular el perímetro y área de figuras planas como triángulos, cuadriláteros y círculos.
25 congruencia de triángulos y elementos secundariosMarcelo Calderón
Este documento trata sobre la congruencia de triángulos y elementos secundarios. Define la congruencia de triángulos como dos triángulos que tienen lados y ángulos correspondientes de igual medida. Presenta postulados y ejemplos para demostrar la congruencia. También explica elementos secundarios como alturas, bisectrices, transversales de gravedad, simetrales y medianas. Finalmente, presenta teoremas sobre triángulos isósceles y equiláteros.
Este documento contiene un taller de matemáticas con 42 preguntas sobre ángulos y geometría plana. Las preguntas incluyen cálculos de ángulos, relaciones entre ángulos, propiedades de ángulos complementarios y suplementarios, bisectrices de ángulos y paralelismo de rectas.
El documento describe tres métodos para construir la bisectriz de un ángulo. El primer método involucra trazar arcos desde el vértice del ángulo y unir el punto de intersección para dividir el ángulo en dos partes iguales. El segundo método implica trazar perpendiculares desde los lados del ángulo. El tercer método implica trazar arcos desde los lados y unir el punto donde se cortan las líneas trazadas desde los extremos de los arcos.
1. teoremas de seno y del coseno trigonométricas ejerciciosAmigo VJ
Este documento presenta 8 ejercicios de aplicación de los teoremas del seno y coseno para resolver triángulos. Proporciona fórmulas útiles como la fórmula de Herón para hallar el área de un triángulo. Los ejercicios involucran calcular lados desconocidos, áreas y distancias en situaciones que incluyen trenes, casas, pueblos y un campo de fútbol.
Matemáticas III
Secundaria
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos
Contenido: Construcción de figuras congruentes o semejantes y análisis de sus propiedades.
Diapositivas sobre el tema de congruencia y semejanza, con ejercicios aplicados. Espero les sirva ;)
Este documento explica tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes: el criterio AA (ángulo-ángulo), que requiere que dos triángulos tengan dos ángulos semejantes; el criterio LAL (lado-ángulo-lado), que requiere que dos triángulos tengan dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos sea congruente; y el criterio LLL (lado-lado-lado), que requiere que los tres lados de dos triángulos sean proporcionales
Un prisma es un poliedro limitado por paralelogramos y dos polígonos iguales llamados bases. Un prisma tiene bases, caras laterales, aristas, vértices y una altura. Los prismas se clasifican como rectos u oblicuos dependiendo de si sus caras laterales son perpendiculares a las bases. Los prismas también se clasifican por el número de lados de sus bases, como prismas triangulares, cuadrangulares, pentagonales o hexagonales. El volumen de un prisma se calcula multiplicando el área de la base por
El documento describe la historia y definición de los números racionales. Los babilónicos y egipcios utilizaban fracciones simples, mientras que los griegos y romanos usaban fracciones unitarias. En el siglo XIII, Fibonacci introdujo la barra para separar el numerador y denominador. Los números racionales pueden expresarse como fracciones o números mixtos, y pueden operarse mediante suma, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Este documento contiene 30 preguntas de opción múltiple sobre ángulos y triángulos. Las preguntas abarcan temas como la medición y relaciones entre ángulos, tipos de triángulos, bisectrices y paralelas. Cada pregunta presenta una figura geométrica con información y se pide determinar algún ángulo desconocido u otra característica geométrica. Al final se incluyen las claves de respuesta correcta para cada pregunta.
El documento trata sobre sistemas de medición angular. Explica que los ángulos se miden en grados, minutos y segundos en el sistema sexagesimal, mientras que en el sistema circular se usan radianes. También define conceptos como el radian y la equivalencia entre sistemas. Finalmente, incluye ejercicios prácticos sobre conversiones entre unidades y cálculos con ángulos.
Este documento trata sobre la congruencia y semejanza de figuras planas. Explica que dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, es decir, son idénticas. Presenta los criterios de congruencia para triángulos, como que dos triángulos son congruentes si sus lados y ángulos correspondientes son congruentes. También cubre la semejanza, donde dos figuras tienen la misma forma pero diferentes tamaños, y los criterios para determinar si dos triángulos son semejantes.
El documento explica la semejanza de figuras planas, definiendo que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y los ángulos correspondientes son congruentes. Para figuras semejantes, la razón entre las medidas de sus lados correspondientes es constante. El documento proporciona un ejemplo para calcular la medida de un lado en un triángulo semejante y ejercicios para identificar si polígonos son semejantes o no.
Pitágoras descubrió el teorema que lleva su nombre, el cual establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Este teorema puede usarse para calcular longitudes desconocidas en triángulos rectángulos. El documento también explica cómo aplicar el teorema de Pitágoras para resolver diferentes problemas geométricos.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang garis dan sudut, termasuk jenis-jenisnya, hubungan antara garis dan sudut, serta soal evaluasi berupa pilihan ganda mengenai materi tersebut.
Este documento presenta información sobre geometría en el espacio, incluyendo definiciones de planos, ángulos diedros, cuerpos geométricos de revolución y traslación, áreas y volúmenes de paralelepípedos, cubos, prismas, cilindros, pirámides y conos. También cubre puntos en el espacio y sus coordenadas, y proporciona ejemplos y respuestas para practicar estos conceptos.
Este documento trata sobre varios temas de geometría plana, incluyendo la semejanza y proporcionalidad de figuras, el teorema de Tales, el teorema de Pitágoras, perímetros y áreas. Explica que dos figuras son semejantes si tienen la misma razón de semejanza entre sus lados y ángulos iguales, y que el teorema de Tales establece que segmentos cortados por paralelas son proporcionales. También cubre aplicaciones como ampliaciones y reducciones, y fórmulas para calcular
Este documento presenta varios teoremas geométricos como el Teorema de Pitágoras, los Teoremas de Euclides y Tales, y ejercicios de aplicación. Incluye 20 ejercicios que piden calcular longitudes, alturas, lados y diagonales de triángulos, cubos, conos y otros objetos usando los teoremas presentados. Finalmente, explica por qué las personas usan referencias como el pulgar para estimar alturas.
Este documento presenta varios temas matemáticos de 2o de ESO como el Teorema de Tales, la semejanza de figuras, la ampliación y reducción de figuras y el Teorema de Pitágoras. Incluye definiciones, ejemplos y ejercicios resueltos de cada tema. El objetivo es que los estudiantes aprendan a aplicar correctamente estos conceptos geométricos.
El documento habla sobre los ángulos de elevación y depresión. Define el ángulo de elevación como el formado entre una línea visual y la horizontal debajo de ella. Define el ángulo de depresión como el formado entre una línea visual y la horizontal encima de ella. Luego propone algunos ejemplos y ejercicios para practicar el cálculo de distancias y alturas usando estos ángulos.
Este documento presenta los conceptos básicos de geometría plana y tridimensional. Explica las figuras de una, dos y tres dimensiones como puntos, rectas, polígonos y cuerpos geométricos. También describe cómo calcular el perímetro y área de figuras planas como triángulos, cuadriláteros y círculos.
25 congruencia de triángulos y elementos secundariosMarcelo Calderón
Este documento trata sobre la congruencia de triángulos y elementos secundarios. Define la congruencia de triángulos como dos triángulos que tienen lados y ángulos correspondientes de igual medida. Presenta postulados y ejemplos para demostrar la congruencia. También explica elementos secundarios como alturas, bisectrices, transversales de gravedad, simetrales y medianas. Finalmente, presenta teoremas sobre triángulos isósceles y equiláteros.
Este documento contiene un taller de matemáticas con 42 preguntas sobre ángulos y geometría plana. Las preguntas incluyen cálculos de ángulos, relaciones entre ángulos, propiedades de ángulos complementarios y suplementarios, bisectrices de ángulos y paralelismo de rectas.
El documento describe tres métodos para construir la bisectriz de un ángulo. El primer método involucra trazar arcos desde el vértice del ángulo y unir el punto de intersección para dividir el ángulo en dos partes iguales. El segundo método implica trazar perpendiculares desde los lados del ángulo. El tercer método implica trazar arcos desde los lados y unir el punto donde se cortan las líneas trazadas desde los extremos de los arcos.
1. teoremas de seno y del coseno trigonométricas ejerciciosAmigo VJ
Este documento presenta 8 ejercicios de aplicación de los teoremas del seno y coseno para resolver triángulos. Proporciona fórmulas útiles como la fórmula de Herón para hallar el área de un triángulo. Los ejercicios involucran calcular lados desconocidos, áreas y distancias en situaciones que incluyen trenes, casas, pueblos y un campo de fútbol.
Matemáticas III
Secundaria
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos
Contenido: Construcción de figuras congruentes o semejantes y análisis de sus propiedades.
Diapositivas sobre el tema de congruencia y semejanza, con ejercicios aplicados. Espero les sirva ;)
Este documento explica tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes: el criterio AA (ángulo-ángulo), que requiere que dos triángulos tengan dos ángulos semejantes; el criterio LAL (lado-ángulo-lado), que requiere que dos triángulos tengan dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos sea congruente; y el criterio LLL (lado-lado-lado), que requiere que los tres lados de dos triángulos sean proporcionales
Un prisma es un poliedro limitado por paralelogramos y dos polígonos iguales llamados bases. Un prisma tiene bases, caras laterales, aristas, vértices y una altura. Los prismas se clasifican como rectos u oblicuos dependiendo de si sus caras laterales son perpendiculares a las bases. Los prismas también se clasifican por el número de lados de sus bases, como prismas triangulares, cuadrangulares, pentagonales o hexagonales. El volumen de un prisma se calcula multiplicando el área de la base por
El documento describe la historia y definición de los números racionales. Los babilónicos y egipcios utilizaban fracciones simples, mientras que los griegos y romanos usaban fracciones unitarias. En el siglo XIII, Fibonacci introdujo la barra para separar el numerador y denominador. Los números racionales pueden expresarse como fracciones o números mixtos, y pueden operarse mediante suma, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Este documento contiene 30 preguntas de opción múltiple sobre ángulos y triángulos. Las preguntas abarcan temas como la medición y relaciones entre ángulos, tipos de triángulos, bisectrices y paralelas. Cada pregunta presenta una figura geométrica con información y se pide determinar algún ángulo desconocido u otra característica geométrica. Al final se incluyen las claves de respuesta correcta para cada pregunta.
El documento trata sobre sistemas de medición angular. Explica que los ángulos se miden en grados, minutos y segundos en el sistema sexagesimal, mientras que en el sistema circular se usan radianes. También define conceptos como el radian y la equivalencia entre sistemas. Finalmente, incluye ejercicios prácticos sobre conversiones entre unidades y cálculos con ángulos.
Este documento trata sobre la congruencia y semejanza de figuras planas. Explica que dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, es decir, son idénticas. Presenta los criterios de congruencia para triángulos, como que dos triángulos son congruentes si sus lados y ángulos correspondientes son congruentes. También cubre la semejanza, donde dos figuras tienen la misma forma pero diferentes tamaños, y los criterios para determinar si dos triángulos son semejantes.
El documento explica la semejanza de figuras planas, definiendo que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y los ángulos correspondientes son congruentes. Para figuras semejantes, la razón entre las medidas de sus lados correspondientes es constante. El documento proporciona un ejemplo para calcular la medida de un lado en un triángulo semejante y ejercicios para identificar si polígonos son semejantes o no.
Pitágoras descubrió el teorema que lleva su nombre, el cual establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Este teorema puede usarse para calcular longitudes desconocidas en triángulos rectángulos. El documento también explica cómo aplicar el teorema de Pitágoras para resolver diferentes problemas geométricos.
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Este documento presenta información sobre geometría en el espacio, incluyendo definiciones de planos, ángulos diedros, cuerpos geométricos de revolución y traslación, áreas y volúmenes de paralelepípedos, cubos, prismas, cilindros, pirámides y conos. También cubre puntos en el espacio y sus coordenadas, y proporciona ejemplos y respuestas para practicar estos conceptos.
Este documento trata sobre varios temas de geometría plana, incluyendo la semejanza y proporcionalidad de figuras, el teorema de Tales, el teorema de Pitágoras, perímetros y áreas. Explica que dos figuras son semejantes si tienen la misma razón de semejanza entre sus lados y ángulos iguales, y que el teorema de Tales establece que segmentos cortados por paralelas son proporcionales. También cubre aplicaciones como ampliaciones y reducciones, y fórmulas para calcular
El documento explica el Teorema de Tales, el cual establece que si dos rectas son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra recta. También se aplica este teorema en triángulos, donde si se traza una recta paralela a uno de los lados, los lados del nuevo triángulo formado serán proporcionales a los del triángulo original. Finalmente, se presentan algunos ejemplos para ilustrar cómo aplicar este te
Este documento presenta información sobre semejanza y teoremas relacionados con triángulos. Introduce conceptos como figuras semejantes, criterios de semejanza de triángulos, y teoremas como el de Tales, del cateto, de la altura y Pitágoras generalizado. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos para aplicar estos conceptos.
El documento presenta conceptos sobre semejanzas y medición en geometría. Explica que dos figuras son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales. También introduce el Teorema de Tales, y cómo aplicar la semejanza para construir figuras semejantes y calcular longitudes. Por último, explica cómo calcular áreas de figuras planas como triángulos, rombos y trapecios.
Este documento presenta el plan de estudios de geometría y trigonometría para el tercer grado durante el período del 9 de mayo al 6 de junio. Cubre temas como la congruencia y semejanza de triángulos, teoremas relacionados y cómo resolver problemas utilizando estos conceptos.
Este documento resume los principales conceptos de geometría plana y tridimensional. Explica las propiedades de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares, así como teoremas como el de Pitágoras y Tales. También cubre figuras como círculos, prismas, pirámides, poliedros regulares y cuerpos de revolución.
10 GuíA No 2 Semejanza Y Proporcionalidad Periodo IJuan Galindo
Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre semejanza y triángulos rectángulos para estudiantes de décimo grado. La guía incluye información sobre el teorema de Thales, el teorema de Pitágoras, figuras semejantes y la relación entre las áreas de figuras semejantes. También presenta actividades prácticas como medir alturas con espejos y calcular áreas para reforzar los conceptos matemáticos.
Este documento introduce las funciones trigonométricas y cómo se aplican para resolver problemas geométricos en triángulos rectángulos. Explica que la trigonometría estudia las medidas de triángulos y define funciones como seno, coseno y tangente. Incluye ejemplos de cómo usar estas funciones para calcular lados desconocidos.
Este documento presenta la información sobre un curso de Matemáticas II en el Instituto de Gastronomía ISIMA. Incluye el objetivo del curso, los lineamientos de la clase, criterios de evaluación, unidades de aprendizaje, referencias y conceptos clave como ángulos y teoremas. El curso busca desarrollar habilidades matemáticas a través de participación, resolución de problemas y evaluaciones.
Este documento presenta 13 ejercicios sobre semejanza de triángulos y escalas. Los ejercicios cubren temas como calcular escalas, áreas y distancias reales basadas en planos o mapas a escala, y resolver problemas utilizando la propiedad de que triángulos semejantes tienen lados proporcionales.
Este documento presenta información sobre congruencias y semejanzas de figuras planas. Explica que dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, mientras que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero pueden tener diferentes tamaños siempre que sus lados correspondientes sean proporcionales. Luego, proporciona ejemplos y criterios para determinar si triángulos son congruentes o semejantes.
Este documento presenta 14 ejercicios sobre semejanza de triángulos y escalas. Los ejercicios involucran calcular distancias, áreas, volúmenes y dimensiones reales basados en planos y figuras a escala. Se usan propiedades como la proporcionalidad de las longitudes en figuras semejantes y los teoremas del cateto y de la altura para resolver los problemas.
Este documento trata sobre las congruencias y semejanzas de figuras planas. Explica que dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, mientras que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero pueden tener diferentes tamaños. Luego, describe los criterios de congruencia y semejanza para triángulos, incluyendo ejemplos, y provee aplicaciones prácticas de estos conceptos para resolver problemas geométricos.
Este documento presenta información sobre congruencias y semejanzas de figuras planas. Explica que dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, mientras que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero pueden tener diferentes tamaños. Describe los criterios de congruencia y semejanza para triángulos, incluyendo los postulados de congruencia y semejanza. También presenta ejemplos de cómo aplicar estos conceptos para resolver problemas geométricos.
Este documento trata sobre las congruencias y semejanzas de figuras planas. Explica que dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, mientras que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero pueden tener diferentes tamaños. Luego, detalla los criterios de congruencia y semejanza para triángulos, incluyendo ejemplos, y provee aplicaciones prácticas de estos conceptos geométricos.
Este documento presenta información sobre congruencias y semejanzas de figuras planas. Explica que dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, mientras que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero pueden tener diferentes tamaños. Luego, describe los criterios de congruencia y semejanza para triángulos, incluyendo ejemplos, y explica cómo aplicar conceptos de proporcionalidad y semejanza para estimar alturas y distancias.
Este documento introduce conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, planos, ángulos, segmentos, circunferencias y polígonos. Explica que la geometría estudia las propiedades de figuras geométricas ideales en lugar del espacio físico real. También cubre temas como paralelas, perpendiculares, proporcionalidad geométrica y el teorema de Tales para resolver problemas.
Este documento introduce conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, planos, ángulos, segmentos, circunferencias y polígonos. Explica que la geometría estudia las propiedades de figuras geométricas ideales en lugar del espacio físico real. También cubre temas como paralelas, perpendiculares, proporcionalidad geométrica y el teorema de Tales para resolver problemas relacionados con triángulos y segmentos.
Este documento describe figuras geométricas planas y cuerpos geométricos. En la sección de figuras planas, discute triángulos, paralelogramos, trapecios, trapezoides y polígonos regulares. Proporciona fórmulas para calcular el perímetro y área de estas figuras. También cubre cuerpos geométricos como prismas, pirámides, cilindros y conos, y cómo calcular sus áreas y volúmenes. Incluye ejemplos resueltos.
El documento proporciona una introducción a las bases de datos y SQL Server, explicando conceptos clave como tablas, modelos de datos, normalización y relaciones. Describe las funciones principales de una base de datos, incluido el almacenamiento y procesamiento de datos. También explica conceptos como claves primarias, claves ajenas y reglas de integridad de datos.
This document outlines the requirements to become a Guía Mayor (Senior Guide) in the youth ministry program of the Asociación Venezolana Sur Occidental. It details the insignia and honors a Guía Mayor is authorized to wear on their uniform. It also includes forms to collect personal information and outlines five sections of requirements covering counseling fundamentals, spiritual development, training for service, leadership development, and developing skills and abilities. Completing all the requirements, which include reading books, attending seminars, teaching classes, and participating in various programs, can take up to two years.
Este documento presenta una lección bíblica para niños sobre la historia de Sansón matando un león con sus manos según el libro de Jueces 14:1-9. Incluye instrucciones para los maestros, un resumen de la historia bíblica, y un ejercicio para que los niños completen oraciones y coloreen un dibujo relacionado a la lección. El objetivo es enseñar a los niños sobre el poder que Dios le dio a Sansón y cómo esto formaba parte del plan de Dios.
Este documento confidencial describe las consecuencias personales y sociales del uso indebido de drogas. La adicción hace que la droga sea la principal motivación de la vida del consumidor, lo que altera su relación con la sociedad al dejar de cumplir con roles como estudiante, trabajador o padre. Esto incluye el aislamiento social, la estigmatización como "drogadicto", el deterioro de las relaciones personales y la familia, problemas de rendimiento escolar y laboral, mayor riesgo de accidentes, conductas delictivas y altos
Este documento proporciona una guía para la investidura de Guía Mayor. Incluye secciones para datos personales, requisitos previos como tener 16 años y ser miembro bautizado, y requisitos como tener el certificado de Consejeros para Conquistadores y dos especialidades en Artes y Habilidades Manuales. El propósito es ayudar a los jóvenes a crecer como líderes.
Este documento proporciona instrucciones para completar una carta de poder para que otra persona pueda cobrar cheques de nómina en nombre de alguien. Se debe especificar las quincenas a cobrar, aceptar el poder otorgante y los testigos, y adjuntar una identificación oficial.
Este documento es una constancia de experiencia profesional que detalla el nombre del egresado, la empresa o persona para quien trabajó, el proyecto o tarea realizada, la duración del proyecto y las fechas de inicio y fin. También indica si el egresado recibió remuneración por sus servicios y proporciona un contacto para verificar la información.
El documento presenta los principios y votos de los Jóvenes Adventistas, incluyendo observar la devoción matutina, cumplir con sus deberes, cuidar el cuerpo y ser obediente y cortés. También incluye el lema de los Adventistas que es "El Amor de Cristo nos motiva" y su objetivo de llevar el mensaje del Adviento a todo el mundo. Finalmente, presenta el voto y los principios de la Legión de Honor de los Jóvenes Adventistas para honrar a Cristo en todo lo que elijan ver, oír
El documento describe los pasos para crear una base de datos de una biblioteca en MySQL, incluyendo la creación de tablas para Libros, Autores, Estudiantes, la relación entre Libros y Autores, y préstamos, así como la inserción de datos en las tablas y la creación de vistas e índices.
Este documento proporciona información sobre insectos. Explica cómo montar una colección de insectos que represente al menos 6 órdenes diferentes e incluya detalles de cada especimen. También describe las características distintivas de los insectos como su cabeza, tórax, abdomen, antenas y otros detalles. Luego menciona ejemplos de insectos útiles como las abejas y mariposas, e insectos dañinos como las cucarachas y pulgas. Finalmente relata dos historias bíblicas donde los insectos jugaron un pap
Este documento presenta un manual para el uso del programa AutoCAD 2012. Explica los objetivos del manual que son apoyar a estudiantes de ingeniería en el aprendizaje de herramientas CAD y mostrar las herramientas de diseño 2D y 3D de AutoCAD 2012. Incluye capítulos sobre tendencias de CAD, la interfaz de usuario de AutoCAD, y herramientas como creación de entidades, capas, sombreado y texto. El manual provee una guía para que los usuarios aprendan a utilizar AutoCAD 2012 para diseño.
Este capítulo presenta los conceptos básicos de cálculo diferencial e integral. La primera parte introduce el concepto de derivada como la tasa de cambio de una función y su significado geométrico como la pendiente de la recta tangente. La segunda parte trata el concepto de integral. Además, se explica la relación entre derivadas e integrales a través de un importante teorema. El capítulo concluye explicando reglas para derivar funciones básicas y propiedades de derivadas.
El documento describe las ecuaciones de primer grado con una incógnita, incluyendo los conceptos básicos como incógnita, coeficientes, términos independientes, primer y segundo miembro. Explica cómo resolver ecuaciones sin paréntesis ni denominadores, con paréntesis y con denominadores, a través de pasos como transponer términos y despejar la incógnita. También incluye ejemplos resueltos.
El documento describe la evolución histórica de las unidades de medida y los sistemas de unidades, desde las primeras unidades utilizadas por el hombre primitivo hasta el establecimiento del Sistema Internacional de Unidades (SI) en 1960. Explica que inicialmente cada país y cultura tenían sus propias unidades, lo que dificultaba el comercio. Más tarde, el Imperio Romano estandarizó algunas unidades, pero la anarquía regresó durante la Edad Media. En 1795 se estableció el Sistema Métrico Decimal y posteriormente surgieron
Este documento presenta un curso completo sobre MySQL. Incluye información sobre la instalación de MySQL, definiciones básicas de bases de datos, diseño de bases de datos usando modelos entidad-relación y relacionales, normalización, tipos de datos, creación y manipulación de bases de datos, consultas, usuarios y permisos. El objetivo es proporcionar los conocimientos necesarios para diseñar y administrar bases de datos usando MySQL.
Este documento proporciona instrucciones para utilizar Microsoft Publisher 2007. Explica cómo crear publicaciones impresas y para sitios web usando objetos como texto, imágenes y tablas. Detalla las barras de herramientas y opciones de formato para personalizar las publicaciones, como estilos de fuente, color, líneas y sombras. El objetivo es aprender a usar Publisher de manera rápida y eficiente para crear una variedad de publicaciones como calendarios, tarjetas y pancartas.
Este documento provee una introducción al lenguaje de programación Haskell. Explica brevemente los orígenes del paradigma funcional y el desarrollo de lenguajes como Lisp, ML y Haskell. Luego, describe las características principales de Haskell como un lenguaje funcional puro con tipos polimórficos, evaluación perezosa y funciones de alto orden. Finalmente, discute las ventajas de Haskell para la productividad, claridad del código y mantenimiento de software.
El documento proporciona una introducción a Microsoft Publisher 2007, incluyendo una descripción de sus características principales y tipos de plantillas. Explica que Publisher ofrece plantillas para una variedad de publicaciones como catálogos, boletines, calendarios, tarjetas y más. También describe los pasos básicos para crear una publicación, como seleccionar una plantilla, personalizarla y guardarla.
El documento proporciona instrucciones para crear varios tipos de publicaciones en Microsoft Publisher 2007, incluyendo tarjetas de presentación, calendarios, diplomas, tarjetas de invitación, correos electrónicos, folletos, volantes, páginas web y posters científicos. Explica cómo importar documentos de Word, seleccionar diseños y colores, agregar logotipos, imágenes y texto, y guardar los documentos en formatos como PDF.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
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Teorema de pitagoras
1. MATEMÁTICAS 2º ESO 115
Antes de empezar
1.Teorema de Tales..…………………………pág. 118
Enunciado y posición de Tales
Aplicaciones
2.Semejanza de figuras....................pág.120
Figuras semejantes
Semejanza de triángulos
Relación entre longitudes
Relación entre áreas
3.Ampliación y reducción de figuras..pág. 124
Ampliación, reducción y escala
4.Teorema de Pitágoras……………………pág. 126
Enunciado
Aplicaciones
Ejercicios para practicar
Para saber más
Resumen
Autoevaluación
Actividades para enviar al tutor
Objetivos
En esta quincena aprenderás a:
• Aplicar correctamente el
Teorema de Tales.
• Reconocer y dibujar figuras
semejantes.
• Aplicar los criterios de
semejanza de triángulos.
• Calcular la razón de semejanza.
• Utilizar la relación entre las
áreas de figuras semejantes.
• Calcular distancias en mapas y
planos.
• Construir figuras a partir de una
escala.
• Resolver problemas geométricos
aplicando el Teorema de
Pitágoras.
Semejanza. Teorema de Pitágoras.7
3. Antes de empezar
Aplicando la semejanza aprenderás, entre otras cosas, a medir alturas de edificios con un
espejo sin necesidad de subirte a ellos. También puedes hacerlo utilizando sus sombras...
Investiga
En una pizzería, la pizza pequeña tiene 23
cm de diámetro y es para una persona.
Sin embargo, la pizza familiar tiene 46 cm
de diámetro, justo el doble que la
pequeña, pero dicen que es para 4
personas. ¿Nos están engañando?
Semejanza. Teorema de Pitágoras.
MATEMÁTICAS 2º ESO 117
4. 118 MATEMÁTICAS 2º ESO
1. Teorema de Tales
Enunciado y posición de Tales
Los triángulos ABC y AB'C' comparten el ángulo A,
están encajados. Los lados opuestos al ángulo A son
paralelos. En estos casos decimos que los dos
triángulos están en posición de Tales:
Cuando dos
triángulos se
pueden colocar en
posición de Tales,
sus lados son
proporcionales:
Aplicaciones
El Teorema de Tales nos permite dividir un
segmento en partes iguales (cinco en este caso):
Trazamos una semirrecta a partir de A. Sobre ella marcamos, con el
compás, 5 segmentos iguales, de la longitud que queramos. Unimos la
última marca con B y trazamos paralelas, una por cada marca de la
semirrecta.
Tales de Mileto fue un filósofo y
matemático griego que vivió en el siglo VI
a. C. Calculó las alturas de las pirámides
de Egipto comparando sus sombras con
las de un bastón
Dos pares de segmentos son
proporcionales si la razón entre los dos
primeros (cociente entre sus longitudes)
coincide con la razón entre los dos
últimos.
Un segmento, de longitud x, es cuarto
proporcional a otros tres de longitudes
a, b y c si se verifica que:
x
c
b
a
=
Semejanza. Teorema de Pitágoras.
Si varias rectas paralelas son cortadas por dos
secantes r y s, los segmentos que determinan
dichas paralelas en la recta r son
proporcionales a los segmentos que determinan
en s.
5. Semejanza. Teorema de Pitágoras.
MATEMÁTICAS 2º ESO 119
EJERCICIOS resueltos
1. Usa el teorema de Tales para calcular x.
Los dos triángulos están en posición de Tales, por lo que sus
lados son proporcionales:
;
5
9,34,3
;9,34,35;
9,3
4,3
5 ⋅
=⋅=⋅= xx
x
x = 2,6
2. Calcula el valor de x.
Los dos triángulos también están en posición
de Tales. Sus lados son proporcionales:
;
5,4
9,67,4
;)4,25,4(7,45,4;
5,4
4,25,4
7,4
⋅
=+⋅=⋅
+
= xx
x
x = 7,2
3. Divide el segmento en 7 partes iguales.
Se traza una semirrecta a partir de uno
de los extremos del segmento. Se marcan
en ella, con el compás, 7 segmentos iguales,
de la longitud que se quiera. Se unen la última
marca y el otro extremo del segmento.
Trazamos paralelas, una por cada marca,
y el segmento queda dividido en 7 partes
iguales.
6. 120 MATEMÁTICAS 2º ESO
2. Semejanza de figuras
Figuras semejantes
Dos figuras son semejantes si sus segmentos
correspondientes (homólogos) son proporcionales y
sus ángulos iguales. Es decir; o son iguales, o tienen
la misma forma y sólo se diferencian en su
tamaño.
Cada longitud en una de las figuras se obtiene
multiplicando la longitud correspondiente en la otra
por un número fijo que se llama razón de
semejanza.
Criterios de semejanza de triángulos
Un criterio de semejanza de dos triángulos es un
conjunto de condiciones tales que, si se cumplen,
podemos asegurar que los dos triángulos son
semejantes.
No es necesario comprobar que sus ángulos son
iguales y que sus lados son proporcionales para saber
si dos triángulos son semejantes. Es suficiente que se
cumpla alguno de los siguientes criterios:
Se elige la razón de semejanza, por
ejemplo 1´5, y se trazan semirrectas que
unen un vértice con los demás:
En la semirrecta AB se elige un punto B’,
de forma que AB’ sea 1,5 veces más
largo que AB:
Desde B’ se trazan paralelas al polígono
inicial, obteniendo un polígono
semejante. La razón de semejanza será
1,5:
Semejanza. Teorema de Pitágoras.
Construcción de
polígonos
Semejantes.
7. MATEMÁTICAS 2º ESO 121
Se coloca un espejo pequeño en el suelo:
El observador se sitúa de forma que,
erguido, pueda ver reflejada en el espejo
la parte más alta del edificio:
Se miden la altura del observador (desde
sus ojos al suelo), la distancia de éste al
espejo y la distancia del espejo al
edificio:
De forma análoga, midiendo las sombras
del objeto y de una vara, y la altura de la
vara, se puede determinar la altura de un
objeto a partir de su sombra.
Aplicaciones
La semejanza de figuras, y en particular la semejanza
de triángulos, tiene muchas aplicaciones prácticas.
Entre otras:
• 1.- Cálculo de la altura de un objeto vertical a
partir de su sombra.
• 2.- Cálculo de la altura de un objeto vertical
con un espejo.
Relación entre las áreas.
Observa las dos imágenes. Los segmentos en las
figuras mediana y grande son el doble y el triple de
grandes que los de la figura pequeña.
Sin embargo, las áreas son cuatro y nueve veces más
grandes. En general, para figuras semejantes:
Razón entre áreas =
(Razón de semejanza)2
Semejanza. Teorema de Pitágoras.
Medición de alturas con
espejos y sombras.
8. 122 MATEMÁTICAS 2º ESO
EJERCICIOS resueltos
4. ¿Son semejantes los triángulos? En caso afirmativo calcula la razón de semejanza.
7,1
2,2
74,3
;7,1
1,1
87,1
;7,1
08,1
06,3
===
Los triángulos son semejantes, ya que
tienen sus lados proporcionales (segundo
criterio). La razón de semejanza es r=1,7
5,1
1,2
15,3
;5,1
3,2
45,3
==
Los triángulos son semejantes, ya que tienen
un ángulo igual y los lados que
lo forman son proporcionales (tercer
criterio).
La razón de semejanza es r=1,5
5. Razona si son semejantes las figuras. En caso afirmativo, calcula la razón de
semejanza.
8,1
2,1
16,2
;8,1
9,0
62,1
;8,1
7,1
06,3
===
Los lados son proporcionales y los ángulos
Son iguales, por tanto son semejantes. La
razón de semejanza es r= 1,8
9,1
9,1
61,3
;9,1
2,1
28,2
==
Los lados son proporcionales, pero los ángulos
no son iguales. No son semejantes.
Semejanza. Teorema de Pitágoras.
9. MATEMÁTICAS 2º ESO 123
Semejanza. Teorema de Pitágoras.
EJERCICIOS resueltos
6. Un observador, cuya altura desde sus ojos al suelo es 1,65 m, ve reflejada en un
espejo la parte más alta de un edificio. El espejo se encuentra a 2,06 m de sus pies
y a 5m del edificio. Halla la altura del edificio.
Los dos triángulos son semejantes,
sus lados son proporcionales:
mx
x
x
4
06,2
65,15
;65,1506,2;
06,2
5
65,1
=
⋅
=
⋅=⋅=
7. Un muro proyecta una sombra de 2,51 m al mismo tiempo que una vara de 1,10 m
proyecta una sombra de 0,92 m. Calcula la altura del muro.
Los dos triángulos son semejantes,
sus lados son proporcionales:
mx
x
x
3
92,0
51,210,1
;51,210,192,0;
92,0
51,2
10,1
=
⋅
=
⋅=⋅=
8. Un rectángulo de 1 cm x 1,5 cm tiene una superficie de 1x1,5=1,5 cm2
. ¿Qué
superficie tendrá un rectángulo el triple de ancho y el triple de largo?
Los dos rectángulos son semejantes
y la razón de semejanza es r=3.
La razón entre las áreas es r2
=9,
por lo que el rectángulo grande tiene
9 veces más superficie que el pequeño:
A’= 9· A= 9·1,5=13,5 cm2
10. 124 MATEMÁTICAS 2º ESO
3. Ampliación y reducción de figuras
Ampliación, reducción y escala
La semejanza de figuras nos permite hacer
representaciones de objetos reales a un tamaño más
grande (ampliaciones) o más pequeño
(reducciones)
En las representaciones de objetos la razón de
semejanza recibe el nombre de factor de escala.
El factor de escala es 200, el
salón en la realidad es 200 veces
más grande que en el plano.
La escala se expresa en
forma de cociente:
1:200
En este caso, 200 es la razón de semejanza o factor
de escala. La figura representada será 200 veces
más grande que la real. En un plano a escala 1:200
cada centímetro equivale a 200 centímetros en
la realidad.
En este mapa la
escala utilizada es
1:14.000.000, lo que
significa que cada
cm equivale a
14.000.000 cm. en
la realidad; es
decir, 140 Km.
El pantógrafo permite reproducir
dibujos, o hacer grabaciones, en
tamaños mayores o menores que el
original.
Conociendo la escala es muy fácil
calcular las distancias reales. En este
caso hay 4,7 cm en el mapa entre
los dos puntos marcados, que
equivalen a 4,7 cm · 16.000.000 =
= 75.200.000 cm = 752 Km. reales.
Aunque no conozcamos la escala,
podríamos calcular la distancia real
aproximada que hay entre A y B.
Bastaría con medir en el plano algún
objeto cuyas dimensiones reales se
conozcan. El campo de futbol grande
podría tener unos 100 m de largo en
la realidad…
Semejanza. Teorema de Pitágoras.
11. MATEMÁTICAS 2º ESO 125
Semejanza. Teorema de Pitágoras.
EJERCICIOS resueltos
9. Calcula la distancia real entre A y B.
La distancia entre real entre A y B será:
6,1 cm · 14.000.000 = 85.400.000 cm =
= 854 Km.
10. Calcula la escala del mapa sabiendo que el campo de fútbol mide 101 m de largo
en la realidad ¿Qué distancia aproximada hay entre A y B en la realidad, si en el
plano es de 5,2 cm?
La longitud en el plano del campo es 1,1 cm,
que equivalen a 101 m = 10100 cm reales.
000.10
1,1
110100
;1101001,1
1
10100
1,1
=
⋅
=⋅=⋅
=
xx
realescmx
planoelencm
realescm
planoelencm
La escala es 1:10.000. La distancia de A a B:
5,2·10.000 = 52.000 cm = 520 m aprox.
11. En un plano cuya escala es 1:40, ¿qué medidas tendrá una mesa rectangular de
0,96 m x 0,72 m?
Las longitudes en el plano serán 40 veces más pequeñas que en la realidad. Las medidas de la mesa son
96 cm x 72 cm, que en el plano serán:
=
40
96
2,4 cm =
40
72
1,8 cm
12. Una maqueta de un coche, a escala 1:50, tiene 8 cm de longitud, 3,5 cm de
anchura y 2,8 cm de altura. Calcula las dimensiones reales del coche.
Longitud: 8 cm · 50 = 400 cm = 4 m
Anchura: 3,5 cm · 50 = 175 cm = 1,75 m
Anchura: 2,8 cm · 50 = 140 cm = 1,40 m
12. 126 MATEMÁTICAS 2º ESO
4. Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras da una relación entre la
hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo:
a2
= b2
+ c2
Aplicaciones
El Teorema de Pitágoras tiene muchas aplicaciones;
entre otras, se verán en los ejercicios resueltos:
• Representación gráfica de números
irracionales.
• Cálculo de la diagonal de un rectángulo.
• Cálculo de la altura de un triángulo isósceles.
• Cálculo de la apotema de un hexágono regular.
Los dos cuadrados son iguales:
ambos tienen de lado b+c.
La superficie de color rojo es la
misma en ambos cuadrados: cuatro
triángulos iguales. Por tanto la
superficie restante, la naranja, debe
ser la misma en ambos cuadrados.
La superficie naranja en el primero
es:
a2
La superficie naranja en el segundo
es:
b2
+ c2
Conclusión:
a2
= b2
+ c2
Semejanza. Teorema de Pitágoras.
En todo triángulo rectángulo se verifica que el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos.
Demostración.
13. MATEMÁTICAS 2º ESO 127
Semejanza. Teorema de Pitágoras.
EJERCICIOS resueltos
13. 2 =1,414213562373095048801… ¿Se puede dibujar un segmento que mida
exactamente 2 ?
Sí, se puede. Sólo tenemos que representar dos
segmentos perpendiculares, de longitud 1, y
formar con ellos un triángulo rectángulo. La
hipotenusa mide exactamente 2 :
211x;11x 2222
=+=+=
x = 2
14. Calcula la diagonal del rectángulo.
04,2741,8d;2,59,2d 2222
+=+=
45,35d;45,35d2
==
d = 5,95
15. Calcula la altura de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 4,8 y el otro
3,6.
80,19h
80,1924,304,23h
8,18,4h;8,48,1h
2
222222
=
=−=
−==+
h = 4,44
16. Halla la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide 2,8.
88,5h
88,596,184,7h
4,18,2h;8,24,1h
2
222222
=
=−=
−==+
h = 2,42
14. 128 MATEMÁTICAS 2º ESO
Semejanza. Teorema de Pitágoras.
EJERCICIOS resueltos
17. El interior de la señal de tráfico es un triángulo equilátero de 74 cm de lado. La
línea que separa la zona blanca de la negra es una altura. ¿Cuánto mide esa
altura?
4107h
410713695476h
3774h;7437h
2
222222
=
=−=
−==+
h = 64,09 cm
18. En una urbanización se han protegido 310 ventanas cuadradas de 126 cm de lado
con una cinta adhesiva especial, como se ve en la figura. ¿Cuántos metros de cinta
se han empleado?
La diagonal de la ventana mide:
cm19,17831752d
31752d;126126d 2222
==
=+=
Cinta total: 178,19 · 310 = 55238,9 cm =552,39 m
19. Una escalera de 3,7 m de longitud se encuentra apoyada en una pared, quedando
el pie a 1,5 m de la misma. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
44,11H
44,1125,269,13H
5,17,3H;7,35,1H
2
222222
=
=−=
−==+
H = 3,38 m
15. MATEMÁTICAS 2º ESO 129
1. Dibuja un segmento de 8 cm de longitud y
divídelo en 7 partes iguales.
2. ¿Cuánto medirá un segmento que sea
cuarto proporcional a tres segmentos de
longitudes 3, 4 y 5 cm?
3. Calcula el valor de x:
4. Los lados de un rectángulo miden 4 cm y
6 cm. ¿Cuánto medirán los lados de un
rectángulo semejante al anterior si la
razón de semejanza, del segundo al
primero, es r=1,3?
5. El lado de un triángulo equilátero mide 4
cm y el de otro triángulo equilátero 6 cm.
¿Son semejantes ambos triángulos? ¿Por
qué? En caso afirmativo, calcula la razón
de semejanza.
6. Los lados de un triángulo miden 3 cm, 7
cm y 8 cm. ¿Cuánto medirán los lados de
un triángulo semejante al anterior si la
razón, del primero al segundo, es r=2?
7. En una fotocopiadora hacemos una
ampliación de una hoja al 135%. En dicha
hoja aparecía un círculo de 4,8 cm de
diámetro. Calcula el diámetro del círculo
en la ampliación. Halla la razón de
semejanza del círculo grande con respecto
al pequeño.
8. Un cuadrilátero tiene de lados 3, 4, 7 y 8
cm. El lado menor de otro cuadrilátero
semejante a él mide 32 cm. Calcula la
razón de semejanza del cuadrilátero
grande respecto al pequeño y la medida
de los otros lados.
9. Construye un polígono semejante al de la
figura, tomando como razón de semejanza
r=1,5.
10. Los lados de un triángulo miden 2, 5 y 7
cm y los de otro 4, 10 y 13 cm. ¿Son
semejantes? En caso afirmativo, calcula la
razón de semejanza.
11. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de
30° y un lado de 56 cm. Otro triángulo
rectángulo tiene un ángulo 60° y un lado
de 34 cm. ¿Son semejantes ambos
triángulos?
12. Di si son semejantes dos triángulos ABC y
A’B’C’ con los siguientes datos:
a) Â = 30°, AB=4 cm, AC=5cm,
Â’ =30°, A’B’=12 cm, A’C’ = 15 cm.
b) AB=7cm, BC=4cm, AC=9cm,
A’B’=14 cm, B’C’=8 cm, A’C’=18 cm.
13. Un muro proyecta una sombra de 32 m al
mismo tiempo que un bastón de 1,2 m
proyecta una sombra de 97 cm. Calcula la
altura del muro.
14. Un observador, cuya altura hasta los ojos
es de 1,67 m, observa, erguido, en un
espejo la parte más alta de un objeto
vertical. Calcula la altura de éste,
sabiendo que el espejo se encuentra
situado a 10 m de la base del edificio y a
3 m del observador.
15. Un círculo tiene una superficie de 34 m2
,
¿Qué superficie tendrá un círculo el triple
de ancho que el anterior?
Semejanza. Teorema de Pitágoras.
16. Semejanza. Teorema de Pitágoras.
16. Si con pizza de 23 cm de diámetro puede
comer una persona, ¿cuántas podrían comer
con una pizza de 32,5 cm?
26. Calcula la distancia real que habrá entre dos
ciudades que están a 4,5 cm de distancia en
un mapa en el que otras dos ciudades, que
distan 39 km en la realidad, aparecen a 7,8
cm.
17. ¿Dos triángulos equiláteros son siempre
semejantes? ¿Y dos triángulos isósceles?
Razona la respuesta. 27. Calcula la altura que alcanzarían 8 señales de
tráfico apiladas como en la figura, si cada una
de ellas es un octógono regular de 31 cm de
lado y 40,5 cm de radio.18. Dos hexágonos regulares, ¿son semejantes? ¿Y
dos polígonos regulares con el mismo número
de lados?
19. En un mapa a escala 1:150.000, la distancia
entre dos puntos es de 3,5 cm. ¿Cuál es
distancia real entre ellos?
20. Dos pueblos, que en la realidad están a 36 km
de distancia, se sitúan en un mapa a 7,2 cm.
¿Cuál es la escala del mapa?
21. En un plano a escala 1:75, ¿qué dimensiones
tendrá una mesa de 2,25 m x 1,5 m?
28. Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo
cuya hipotenusa mide 50 cm, y uno de sus
catetos 40 cm.
22. En un plano se ha representado con 3,5 cm
una distancia real de 1,75 m. ¿Cuál es la
escala del plano?
29. Determina, sin dibujarlo, si un triángulo cuyos
lados miden 7, 8 y 9 cm es rectángulo.23. En la figura se indican las dimensiones reales
de una clase. Haz un plano de la misma a
escala 1:120. 30. Halla la apotema de un hexágono de 5 cm de
lado.
31. Calcula la altura de un triángulo isósceles
cuyos lados iguales miden 16 cm y el lado
desigual 10 cm.
32. Halla la medida de la diagonal de un rectángulo
de lados 6 y 8 cm.
33. Un futbolista entrena corriendo la diagonal del
terreno de juego de un campo de fútbol, ida y
vuelta, 30 veces todos los días. ¿Qué distancia
total recorre? El terreno de juego tiene unas
medidas de 105 x 67 m.
24. Una maqueta de una casa, a escala 1:200,
tiene una longitud de 3,5 cm, una anchura de
2,7 cm y una altura de 2 cm. ¿Cuáles son las
medidas reales de dicha casa?
25. En un plano, a escala 1:500, una parcela tiene
una superficie de 12 cm2
. ¿Qué superficie
tendrá en la realidad dicha parcela?
130 MATEMÁTICAS 2º ESO
17. MATEMÁTICAS 2º ESO 131
La torre Eiffel
fue construida
con 18000 piezas
de hierro forjado
y originalmente
medía 300 m y
pesaba 7300
toneladas. Es una
estructura muy
ligera, una
maqueta exacta
de la torre,
también de
hierro, de 2 m
de altura
pesaría sólo:
(2/300)3
·7300=
0,00216 TN=
2,16 Kg.
La sandía superior cuesta 2,50 €. La
sandía inferior es justamente el
doble de ancha que la superior.
¿Cuánto cuesta? ¿Costará 5 €, o será
más cara?
Una sandía el doble de ancha tiene
23
= 8 veces más volumen. No
costaría 5 €, sino 8·2,50= 20 €
Relación entre los volúmenes de
cuerpos semejantes
Los dos cuerpos de la imagen son semejantes. La
razón de semejanza es r=2. Cualquier segmento
en el cubo grande será el doble de grande que su
correspondiente en el pequeño. ¿Qué relación hay
entre sus volúmenes? Como puedes observar, el
volumen del cubo grande no es el doble que el del
pequeño sino 8 veces mayor que el de éste.
r=2
R vol =r3
=23
=8
Razón entre volúmenes
=
(Razón de semejanza)3
Semejanza. Teorema de Pitágoras.
18. 132 MATEMÁTICAS 2º ESO
Teorema de Tales
Figuras semejantes
Dos figuras son semejantes si sus segmentos
correspondientes, o asociados, son proporcionales y
sus ángulos iguales. Es decir; o son iguales, o tienen
"la misma forma" y sólo se diferencian en su
tamaño.
Cada longitud en una de las figuras se obtiene
multiplicando la longitud correspondiente en la otra
por un número fijo que se llama razón de
semejanza.
En las representaciones de objetos esta razón se
llama factor de escala
Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras da una relación entre la
hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo:
a2
= b2
+ c2
Criterios de semejanza de
triángulos
Semejanza. Teorema de Pitágoras.
Si varias rectas paralelas son cortadas por dos
secantes r y s, los segmentos que determinan
dichas paralelas en la recta r son
proporcionales a los segmentos que
En todo triángulo rectángulo se verifica que el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos.
19. Semejanza. Teorema de Pitágoras.
MATEMÁTICAS 2º ESO 133
1. Calcula el valor de x para que los dos segmentos sean
proporcionales.
2. Calcula, de forma razonada, el valor de x.
3. Los dos polígonos de la imagen son semejantes. Calcula la
razón de semejanza.
4. Un observador, erguido, ve reflejada en un espejo, que está
situado en el suelo, la parte más alta de un edificio. Calcula la
altura del edificio sabiendo que la altura del observador,
desde sus ojos al suelo, es 1,58 m, el espejo está situado a
2,96 m del observador y a 10,66 m del edificio.
5. Determina la altura del edificio sabiendo que proyecta una
sombra de 11,14 m al mismo tiempo que un bastón de 1,61
m proyecta una sombra de 2,56 m.
6. En un mapa, a escala 1:10000, la distancia entre dos pueblos
es 10,6 cm. ¿A qué distancia, en Km., están en la realidad?
7. La distancia en un mapa entre dos pueblos, que en la
realidad están a 22,4 Km., es de 11,2 cm. ¿Cuál es la escala
del mapa?
8. Las dos figuras de la imagen son semejantes. ¿Cuál es la
razón entre sus áreas?
9. Usando el teorema de Pitágoras, calcula la longitud de la
hipotenusa del triángulo que aparece en la imagen.
10. El triángulo de la imagen es rectángulo. Calcula x.
20. Semejanza. Teorema de Pitágoras.
Soluciones de los ejercicios para practicar
1.
2. 6,67cm
3. 4,87
4. 5,2 x 7,8 cm
5. Sí. Tienen sus
ángulos iguales.
r=1,5
6. 1’5, 3’5 y 4 cm
7. 6,48 cm,r=1,35
8. r=10,67. 42’67,
74’69 y 85’36 cm
9.
10. No. Sus lados
no son propor-
cionales.
11. Sí. Tienen sus
ángulos iguales.
12. a) Sí, crit. 3
b) Sí, crit. 2.
13. 39,59 m.
14. 5,57 m
15. 306 m2
16. 2 personas
17. Sí, tienen sus
ángulos iguales.
No, no tienen por
qué cumplir los
criterios.
18. Sí, porque
tienen los lados
prop. y los ángulos
iguales.
19. 5,25 Km
20. 1:500.000
21. 3x2 cm
22. 1:50
23.
24. 7 x 5,4 x 4 m
25. 300 m2
26. 22,5 Km
27. 5,98 m
28. 120 cm
29. No, porque
sus lados no
verifican el
teorema de
Pitágoras.
30. 4,33 cm
31. 15,2 cm
32. 10 cm
33. 7.47 Km
No olvides enviar las actividades al tutor
Soluciones
AUTOEVALUACIÓN
1. 1’09 cm
2. 1’69
3. 1’26
4. 5’69 m
5. 7’01 m
6. 1’06 Km
7. 1:20.000
8. 2’25
9. 7’21 cm
10. 7’42 cm
MATEMÁTICAS B 134