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1. DEDUCCIÓN DE
FÓRMULAS
TEOREMAS DEL
COSENO
Y DEL SENO

2.  RECUERDA…

3. LEY DEL SENO
La Ley del Seno relaciona 3
igualdades que siempre se
cumplen entre los lados y
ángulos de un triángulo
cualquiera.
1.- Se escoge el triángulo
formado por los puntos: A, M y
C obteniendo:
sen α= y/b
y = b·sen α
2.- Se escoge el triángulo
formado por los puntos: M, B y
C obteniendo:
sen β= y/a
y = a·sen β
A
b a
C
α β
φ
y
x c-x
M
c
B
3.- Igualando las 2 ecuaciones
se tiene:
b·sen α = a·sen β
b = a
sen β senα

4. Obteniendo entonces las siguientes ecuaciones:
b = a = c
sen β senα senφ

5. LEY DEL COSENO

6. Dado el siguiente triángulo suponga que conoce el
valor de los lados a, b y c.
C
a c
B
α β
φ
y
x b-x
M
b
A
1.- Escoger el triángulo
rectángulo formado por los
puntos: B, M y A. Usamos el
teorema de Pitágoras:
c² = y² + (b-x)²
c² = y² + b² - 2bx + x²
c² = y² + x² + b² - 2bx … (1)
2.- Escoger el triángulo formado por
los puntos: B, M y C. Usamos el
teorema de Pitágoras:
a² = y² + x² … (2)
cos α= x/a, entonces x = a cosα … (3)
3.- Reemplazando (2) y (3)
en (1) se tiene :
c² = a² + b² - 2bx
c² = a² + b² - 2a·b·cosα

7. La Ley del Coseno sirve para analizar y resolver triángulos
que NO necesariamente son triángulos rectángulos.
Es decir que la Ley del Coseno permite encontrar el
valor de uno de los lados de un triángulo conociendo de
antemano el ángulo opuesto a dicho lado y los valores
de los otros dos lados.
Obteniendo entonces las siguientes ecuaciones:
c² = a² + b² - 2a·b·cos α
a² = b² + c² - 2b·c·cos β
b² = a² + c² - 2a·c·cos φ
LEY DEL COSENO

8. a = b
Sen A Sen B
LEY DE TANGENTES
En todo triángulo la suma de dos lados es a su
diferencia como la tangente de la semisuma de los
ángulos opuestos a dichos lados es proporcional a la
tangente de la semidiferencia de los mismo ángulos.
c
a
b
A
B
C

9. a = b.CosC + c.CosB
b = a.CosC + c.CosA
c = a.CosB + b.CosA
LEY DE las proyecciones
A
B
C
c
a
b
En todo triángulo cada lado es igual a la suma
de las proyecciones de los otros dos lados
sobre él.

10. EJERCICIOS
De la figura, calcular : «X»
LEY DEL COSENO
A
B
C
30° 37°
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7

11.  https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/TRIGONOMETRIA-PLANA/Ley-de-senos-
ejemplo-3-dos-lados-y-un-angulo
 http://www.catedu.es/matematicas_blecua/bacmat/images/flash/teoremasencos.swf
 http://historiaybiografias.com/archivos_varios2/resolucion_triangulos_rectangulos_obtus
angulos.swf
 http://www.tareasya.com.mx/micrositios/bachillerato_matematicas/links_matematicas2.p
df
 http://tutormatematicas.com/GEO/Trigonometria_ley_de_senos_y_cosenos.html
 http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/law-of-sines.html
BIBLIOGRAFÍA