FISICA

1. Problemas de oscilaciones (M.A.S.)
Problema 1
Una partícula oscila con un movimiento armónico
simple de tal forma que su desplazamiento varía de
acuerdo con la expresión x=5 cos(2t+π /6) .
Donde x está en cm y t en s. En t=0 encuentre
 el desplazamiento,
 su velocidad,
 su aceleración.
 Determinar el periodo y la amplitud del movimiento.
Solución
x=5cos(2t+π6)v=dxdt=−10sin(2t+π6)a=dvdt=−20cos(2t+π6)t=
0⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x=5cosπ6=53√2 cmv=−10sinπ6=−5 cm/sa=−
20cosπ6=−103√ cm/s2
Frecuencia angular ω=2 rad/s, Periodo P=2π/ω=π s
Amplitud, A= 5 cm.
Problema 2
Una partícula de 300 g de masa está unida a un muelle
elástico de constante k=43.2 N/m y describe un
movimiento armónico simple de 20 cm de amplitud.
Sabiendo que en el instante t=0 se encuentra a 10 cm
del origen moviéndose hacia la izquierda, determinar:
 Las ecuaciones de la posición, velocidad y
aceleración en función del tiempo.
 Las energías potencial, cinética y total en el instante
inicial y en cualquier instante.
 Valores de t en los que la partícula pasa por el origen.
Solución
Frecuencia angular
ω=km−−−√=43.20.3−−−−√=12 rad/s
Ecuación del M.A.S.
x=0.2sin(12t+ϕ)v=dxdt=2.4cos(12t+ϕ)

2. En el instante t=0, x=0.1 y v<0
t=0{0.1=0.2sin(ϕ)v=2.4cos(ϕ)sinϕ=0.5{ϕ=π6 cosϕ>0
v>0ϕ=5π6 cosϕ<0 v<0
La segunda solución es la que pide el enunciado del
problema
x=0.2sin(12t+5π6)v=dxdt=2.4cos(12t+5π6)a=dvdt=−28.8sin(1
2t+5π6)
Energías
Ek=12mv2=120.3⋅2.42cos2(12t+5π6)=0.864⋅cos2(12t+5π6)Ep=
12kx2=1243.2⋅0.22sin2(12t+5π6)=0.864⋅sin2(12t+5π6)E=Ek+E
p=0.864 J
Instantes en los que pasa por el origen
x=0.2sin(12t+5π6)=012t+5π6=nπ t=nπ−5π/612 n=1,2,3...
Problema 3
Un cuerpo está unido a un muelle horizontal de
constante k=5 N/m. El muelle se alarga 10 cm y se
suelta en el instante inicial t=0. Hallar:
 la frecuencia, el período y la amplitud del
movimiento. Escribir la ecuación del M.A.S.
 ¿En qué instante pasa el cuerpo por primera vez por
la posición de equilibrio?
Solución
ω=km−−√=52√=1.58 rad/s
P=2πω=3.97 sx=Asin(ωt+ϕ)v=dxdt=Aωcos(ωt+ϕ)
Condiciones iniciales: t=0, x=0.1, v=0
t=0{0.1=Asinϕ0=Aωcosϕϕ=π2
A=0.1x=0.1sin(1.58t+π2)v=dxdt=0.158cos(1.58t+π2)
Pasa por primera vez por el origen x=0, v<0
1.58t+π2=π t=0.993 s
Problema 4
Un muelle elástico de constante k=0.4 N/m está unido
a una masa de m=25 g. En el instante inicial su
posición es x = 5 cm y su velocidad v=−203√ cm/s .
Calcular
 El periodo de la oscilación.

3.  Las ecuaciones de la posición, velocidad y
aceleración de este MAS.
 El (los) instante (s) en el que el móvil pasa por el
origen, x=0, y su velocidad
Solución
ω=km−−√=0.40.025−−−−√=4 rad/s
P=2πω=π2 sx=Asin(4t+ϕ)v=dxdt=Aωcos(4t+ϕ)
Condiciones iniciales
t=0{0.05=Asinϕ−0.23√=4Acosϕϕ=5π6
A=0.1x=0.1sin(4t+5π6)v=dxdt=0.4cos(4t+5π6)a=dxdt=−1.6sin(
4t+5π6)
Pasa por el origen x=0,
x=0{sin(4t+5π6)=0cos(4t+5π6)=±1v=±0.4 m/s(4t+5π6)=nπ
n=1,2,3... t=0.13, 0.91, 1.70...
Problema 5
Una partícula de m=200 g de masa unida a un muelle
horizontal, realiza un movimiento armónico simple
siendo la frecuencia angular ω=100 rad/s. Sabemos
que en el instante t=0, la posición inicial −0.53√ cm y la
velocidad inicial de la partícula es 50 cm/s.
 Escribir la ecuación del MAS
 Calcular la constante elástica del muelle y la energía
total de movimiento.
Solución
x=Asin(100t+ϕ)v=dxdt=100Acos(100t+ϕ)
Condiciones iniciales:
t=0{−0.0053√=Asinϕ0.5=100Acosϕϕ=−π3=5π3
A=0.01x=0.01sin(100t+5π3)v=dxdt=cos(100t+5π3)a=dxdt=−10
0sin(100t+5π3)
Constante del muelle
ω=km−−−√ 100=k0.2−−−√ k=2000 N/m
Energía del movimiento
E=12kA2=122000⋅0.012=0.1 J
Problema 6

4. Una partícula de masa de m=500 g está unida a un
muelle de constante k=200 N/m. Se desplaza la masa 2
cm de la posición de equilibrio, y se le proporciona en
el instante inicial t=0, una velocidad de 100 cm/s hacia
la izquierda tal como se muestra en la figura.
 Calcula el periodo de las oscilaciones
 La ecuación del MAS
 Calcula la velocidad, energía cinética, potencial y el
(los) instante(s) en el que la partícula pasa por la
posición x=-3 cm dirigiéndose hacia la derecha.
Solución
ω=km−−√=2000.5−−−√=20 rad/s
P=2πω=π10 sx=Asin(20t+ϕ)v=dxdt=20Acos(20t+ϕ)
Condiciones iniciales
t=0{0.02=Asinϕ−1=20Acosϕϕ=2.76 rad
A=5.38 cmx=5.38sin(20t+2.76) cmv=dxdt=107.7cos(20t+2.
76) cm/s
Pasa por x=-3 cm, con v>0
x=−3{sin(20t+2.76)=−0.557cos(20t+2.76)=+0.83020t+2.7
6=5.69+2nπ n=0,1,2,3... t=0.14,0.46,.... s
Energías
v=20⋅0.0538⋅cos5.69=0.894 m/sEk=12mv2=0.2 JEp=12kx2=1
2200⋅0.032=0.09 JE=12kA2=Ek+Ep=0.29 J
Problema 7
Un muelle horizontal tiene una constante recuperadora
de k=48 N/m. En el extremo del muelle se coloca una
masa dem=0.75 kg y se estira el muelle 0.2 m a partir
de la posición de equilibrio, soltándose a continuación,
momento en el que se empieza a contar el tiempo.
Hallar:
 El periodo de la oscilación.

5.  La ecuación del M.A.S.
 El (los) instante(s) en el(los) que el móvil pasa por la
posición x=-0.1 m, después de haber pasado por el
origen.
 Los valores de la velocidad, aceleración, energía
cinética, potencial y total del móvil en dicho(s)
instante(s).
Solución
ω=km−−√=480.75−−−√=8 rad/s
P=2πω=π4 sx=Asin(8t+ϕ)v=dxdt=8Acos(8t+ϕ)
Condiciones iniciales
t=0{0.2=Asinϕ0=8Acosϕϕ=π2 rad
A=0.2 mx=0.2sin(8t+π2) mv=dxdt=1.6cos(8t+π2) m/s
Pasa por x=-0.1 m, con v<0
sin(8t+π2)=−0.5{8t+π2=7π6+2nπ v<08t+π2=11π6+2nπ
v>0
Energías
v=1.6cos(7π6+2nπ)=−0.83√ m/sEk=12mv2=0.72 JEp=12kx2=1
248⋅0.12=0.24 JE=12kA2=Ek+Ep=0.96 J
Problema 8
Un péndulo de torsión consiste en una varilla de masa
100 g y 30 cm de longitud, la varilla pasa por el centro
de dos esferas iguales de 150 g y 5 cm de radio,
situadas simétricamente de modo que el centro de las
esferas dista 10 cm del eje de giro.
 Sabiendo que el periodo de la oscilación vale 2.4 s,
calcular la constante K de torsión del muelle.
 Si en el instante inicial t=0 el péndulo se
desplaza θπ/6 de la posición de equilibrio y se suelta
(velocidad inicial nula).

6.  Escribir la ecuación del M.A.S.
 Calcular la velocidad angular de rotación cuando
pasa por la posición de equilibrio.
Solución
Momento de inercia respecto del eje
I=1120.1⋅0.32+2(250.15⋅0.052+0.15⋅0.12)=4.05⋅10−3 kg⋅m2P
=2πIK−−√ K=4π2IP2=0.0278 N⋅m
Ecuación del MAS
ω=2πP=2.62 rad/sθ=θ0sin(ωt+ϕ)dθdt=θ0ωcos(ωt+ϕ)
Condiciones iniciales, t=0, θ=π/6, dθ/dt=0
t=0{π6=θ0sinϕ0=ωθ0cosϕϕ=π2 rad
θ0=π6 radθ=π6sin(2.62t+π2) raddθdt=2.62π6cos(2.62t+π2) rad/
s
Cuando pasa por θ=0,
θ=0{sin(2.62t+π2)=0cos(2.62t+π2)=±1dθdt=±1.37 rad/s
Problema 9
Un péndulo está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y
dos esferas macizas: la superior de 500 g y 5cm de radio y la inferior de 400 g y 4
cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se
encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de
la esfera superior.
 Hállese el periodo.
 Si ahora se separa el péndulo 10º de la posición de equilibrio y se suelta,
empezándose en ese momento a contar el tiempo. Escríbase la ecuación del
M.A.S.
Solución
Momento de inercia respecto del eje que pasa por el
punto de suspensión
I=(1120.2⋅0.42+0.2⋅0.122)+250.5⋅0.052+(250.4⋅0.042+0.4⋅
0.242)=0.0293 kg⋅m2
Posición del centro de masas y periodo
b=0.2⋅0.12+0.4⋅0.240.2+0.5+0.4=0.11 mP=2πImgb−−−√=0.992 s
Ecuación del MAS

7. ω=2πP=6.33 rad/sθ=θ0sin(ωt+ϕ)dθdt=θ0ωcos(ωt+ϕ)
Condiciones iniciales, t=0, θ=10º=π/18, dθ/dt=0
t=0{π18=θ0sinϕ0=ωθ0cosϕϕ=π2 rad
θ0=π18 radθ=π18sin(6.33t+π2) rad
Problema 10
Hallar el periodo de la oscilación de un bloque de
masa m=250 g unido a los dos muelles elásticos de la
figura. Se supone que no hay rozamiento
Solución
ma=-k1x-k2x
0.25a=-30x-20x
a=-200x
x=Asin(ωt+ϕ)v=dxdt=Aωcos(ωt+ϕ)a=dvdt=−Aω2sin(ωt+ϕ)=
−ω2x
ω2=200,
P=2πω=2π200−−−√=π52√ s
Problema 11
Hallar el MAS resultante de la composición de de los
dos MAS de la misma dirección y frecuencia
x1=2sin(ωt+5π/4)
x2=5sin(ωt+5π/3)
Solución

8. A1=−2sin45iˆ−2cos45jˆA2=5sin30iˆ−5cos30jˆ}A=(52−2√)iˆ−(2√+523√)jˆA=5.85
ϕ=280.7º=4.9 rad
El MAS resultante es
x=5.85sin(ωt+4.9)
Problema 12
Hallar el MAS resultante de la composición de de los
dos MAS de la misma dirección y frecuencia
x1=2sin(ωt-π/6)
x2=4sin(ωt+π/4)
Solución
A1=4cos45iˆ+4sin45jˆA2=2cos30iˆ−2sin30jˆ}A=(22√+3√)iˆ−(22√−1)jˆA=
ϕ=0.38 rad
El MAS resultante es
x=4.91sin(ωt+0.38)
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Problema 12
Hallar el MAS resultante de la composición de de los dos MAS de la
misma dirección y frecuencia
x1=2sin(ωt-π/6)
x2=4sin(ωt+π/4)
Solución

9. A1=4cos45iˆ+4sin45jˆA2=2cos30iˆ−2sin30jˆ}A=(22√+3√)iˆ−(22√−1)jˆA=4.91
ϕ=0.38 rad
El MASresultantees
x=4.91sin(ωt+0.38)