Las ecuaciones diferenciales modelan procesos de la vida real y tienen aplicaciones importantes en ciencia e ingeniería. Un uso común es en la simulación de yacimientos petrolíferos, usando la ecuación de Darcy para describir el flujo de petróleo, agua y gas. Otro ejemplo es definir propiedades físicas como la compresibilidad del petróleo mediante derivadas parciales. El documento describe tres métodos para modelar el flujo de fluidos en medios porosos usando ecuaciones de conservación de masa y

1. INTRODUCCION
Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis
matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación
diferencial es una relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus
derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los
sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos
correspondientes a diversas disciplinas. Las ecuaciones diferenciales tienen
numerosas aplicaciones a la ciencia y a la ingeniería, de modo que los esfuerzos
de los científicos se dirigieron en un principio, a la búsqueda de métodos de
resolución y de expresión de las soluciones en forma adecuada. De este modo, los
primeros métodos de resolución fueron los algebraicos y los numéricos. Los
primeros permiten expresar la solución en forma exacta, como y = f (x), una
función de la variable independiente, y los segundos tienen como objetivo calcular
valores que toma la solución en una serie de puntos.
Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales más utilizadas es en
simulación de yacimientos. Básicamente, lo que se hace es trabajar con la
ecuación de Darcy para flujo multifásico (petróleo, agua y gas) en las 3 direcciones
(x, y,z), se divide un yacimiento en una malla o retícula y se aplica de tal manera la
ecuación de Darcy de la manera dada para cada bloque, claro, esto lo hace un
simulador, trabajando en diferencias finitas, lo cual es un método numérico para
resolver las ecuaciones diferenciales planteadas. Lamentablemente, en este
entorno es muy complicado escribir algo acerca de esto, pues no es bastante
complicado escribir aquí las ecuaciones, éstas son ecuaciones diferenciales
parciales.
Otro ejemplo es para definir algunas propiedades físicas o termodinámicas de los
fluidos. Por ejemplo, la compresibilidad del petróleo se define como el cambio de
volumen del fluido por cambio de presión, a temperatura constante, por lo tanto, si
se tiene una correlación (ecuación matemática empíricamente demostrada) para el
volumen (suele trabajarse con un factor conocido como factor volumétrico, que en
realidad es una relación que existe entre el volumen que ocupa un fluido, como el
petróleo, a determinadas condiciones de presión y temperatura con respecto al
volumen que ocupa el fluido a condiciones estándares) para el volumen, se puede
hallar la compresibilidad como la derivada parcial del volumen con respecto a la
presión.
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2. Ecuaciones de flujo
Primer método
La descripción del flujo de fluidos en un medio poroso matemáticamente se
modela a través de ecuaciones que dominan los principios de conservación de
masa, de cantidad de movimiento (aproximada por la ley de Darcy) y de una
ecuación de estado, obteniéndose así 3 ecuaciones de flujo (una para cada fase).
De acuerdo al modelo propuesto, el flujo de fluidos entre los tres medios es en
serie; esto es, el medio tres intercambia fluidos con el medio dos, el cual a su vez
intercambia fluidos con el medio uno; por lo tanto, no existe transferencia directa
entre los medios tres y uno. De acuerdo a lo anterior, las ecuaciones que
describen el flujo de fluidos en el medio uno, el cual es considerado continuó,
están definidas por las siguientes expresiones:
Ecuaciones Auxiliares
Se tienen dos ecuaciones de presión capilar:
Para sistemas gas-aceite, la expresión para determinar la presión capilar está
dada por:
Pcgo, 1(Sg1) =Pg,1-Po,1
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3. Para sistemas agua-aceite, la expresión para determinar la presión capilar está
dada por:
Pcwo, 1(Sw1) =Po,1-Pw,1
Restricción:
Se tiene una ecuación de restricción para las saturaciones de las fases:
S01+Sg1+Sw1=1
Ecuaciones de Transferencia
Segundo método
Las ecuaciones de transferencia no presentan términos de flujo debido a que es
un medio discontinuo.
Una para cada fase (agua, aceite y gas):
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4. Ecuaciones Auxiliares.
Expresiones de presión capilar para describir la relación entre las presiones de las
fases;
Ecuación de Restricción.
Una ecuación de restricción para las saturaciones de las fases:
S02+Sg2+Sw2=1
Ecuaciones de Transferencia
Tercer método
Las ecuaciones de transferencia no presentan términos de flujo debido a que es
un medio discontinuo
Una para cada fase
(agua, aceite y gas):
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5. Ecuaciones de Presiones Capilares.
Expresiones de presión capilar para describir la relación entre las presiones de las
fases:
Pcgo,3(Sg3) =Pg,3-Po,3;
Pcwo, 3(Sw3) =Po,3-Pw,3
Ecuación de Restricción.
Una ecuación de restricción para las saturaciones de las fases:
S03+Sg3+Sw3=1
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6. Conclusión
En este Producto Integrador de Aprendizaje se observa las formulas determinadas
para el aceite, gas y liquido en diversos métodos ya sea el adecuado para el
yacimiento, y nos da una introducción de las ecuaciones diferenciales en que
bases están asentadas y la descripción de los fluidos.
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