Este documento introduce conceptos básicos de programación lineal, incluyendo la definición de un problema de programación lineal, soluciones factibles y óptimas, y diferentes tipos de soluciones como solución única, múltiple o no acotada. También explica cómo transformar un problema a la forma estándar de minimización sujeto a restricciones de igualdad con variables no negativas.

1. Diego Carrión Galarza Optimización y Planificación de Sistemas Eléctricos
Introducción a la Programación Lineal
Problema de Programación Lineal (PPL): La forma mas general de un problema de programación lineal
consiste en minimizar o maximizar:
Sujeto a:
donde p ,q y m son enteros positivos tales que .
Solución Factible: Un punto
que satisface todas las restricciones se denomina solución factible. El conjunto de todas esas soluciones es
la región de factibilidad.

=
=
=
n
j
j
j x
c
X
f
Z
1
)
(



=
=
=
=

=

=
=
n
j
i
j
ij
n
j
i
j
ij
n
j
i
j
ij
b
x
a
b
x
a
b
x
a
1
1
1
1
-
1,2,...p
i
,
1
-
1,2,...p
i
,
1
-
1,2,...p
i
,
)
,...,
,
( 2
1 n
x
x
x
X =
m
q
p 


1

2. Diego Carrión Galarza Optimización y Planificación de Sistemas Eléctricos
 Solución Óptima: Un punto factible tal que para cualquier otro punto factible X se
denomina una solución óptima del problema.
Típicamente n es mucho mayor que m. Lo que distingue a un PPL de otros problemas de optimización es
que todas las funciones que aparecen son lineales.
En un PPL la región factible es un Politopo o un Poliedro.
El objetivo de los problemas de optimización es encontrar un óptimo global. Sin embargo, las condiciones
de optimalidad garantizan por lo general óptimos locales. Sin embargo, los PPL presentan propiedades
que hacen posible garantizar el óptimo global:
o Si la región factible esta acotada, el problema siempre tiene una solución (condición suficiente pero no
necesaria).
o El óptimo de un PPL es siempre un óptimo global.
o Si x e y son óptimos de un PPL, entonces cualquier combinación lineal de ellos es también un óptimo.
Nótese que una combinación lineal convexa de óptimos no cambia el valor de la función objetivo.
o La solución óptima se alcanza siempre, al menos, en un punto extremo de la región factible.
X
~
)
~
(
)
( X
f
X
f 

3. Diego Carrión Galarza Optimización y Planificación de Sistemas Eléctricos
❑ Ejemplo – Solución Única:
Maximizar
Sometido a
tiene por solución única Z=12, que se alcanza en el punto P=(3,3)
Figura 5. Ejemplo Solución Única.
2
1
3 x
x
Z +
=
0
1
0
4
2
3
6
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1

−
−

−
−

−

−


+

+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

4. Diego Carrión Galarza Optimización y Planificación de Sistemas Eléctricos
❑ Ejemplo – Solución Múltiple:
Si la función objetivo del problema anterior se reemplaza por:
el problema tiene múltiples soluciones
Figura 6. Ejemplo Solución Múltiple.
En efecto, cualquier punto del segmento con extremos en los puntos (2; 4)T y (3; 3)T da la solución óptima
del problema (Z = 6).
2
1
3 x
x
Z +
=

5. Diego Carrión Galarza Optimización y Planificación de Sistemas Eléctricos
❑ Ejemplo – Solución No Acotada:
Maximizar
Sometido a
tiene solución no acotada
Figura 7. Ejemplo No Acotada.
2
1
3 x
x
Z +
=
0
1
0
2
1
2
1
2
2
1

−
−

−
−

−

+
−
x
x
x
x
x
x

6. Diego Carrión Galarza Optimización y Planificación de Sistemas Eléctricos
❑ Ejemplo – Solución No Factible:
Maximizar
Sometido a
No tiene solución factible porque la nueva restricción
no es compatible con las anteriores.
2
1
3 x
x
Z +
=
0
2
1 
+ x
x
0
0
1
0
4
2
3
6
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1

+

−
−

−
−

−

−


+

+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

7. Diego Carrión Galarza Optimización y Planificación de Sistemas Eléctricos
Problema en la Forma Estándar
Un PPL definido en la forma:
Minimizar
Sometido a
Se dice que está en forma estándar. Ello implica:
1. La función objetivo debe minimizarse.
2. las restricciones deben ser de igualdad.
3. El vector debe ser no negativo.
4. Las variables x deben ser no-negativas.
Cualquier problema puede ponerse en forma estándar.
X
C
Z T
=
o
x
b
Ax

=
m
b 


8. Diego Carrión Galarza Optimización y Planificación de Sistemas Eléctricos
 Paso a un Problema de Minimización:
Un problema de maximización puede convertirse en uno de minimización cambiando el signo de la
función objetivo. El problema:
Maximizar
es equivalente al problema
Minimizar
sometidos ambos a las mismas restricciones.
 Paso a Variables No Negativas:
El conjunto de r variables no restringidas puede escribirse en función de otro conjunto
de r + 1 variables no negativas:
De esta forma se añade una variable en vez del método usual de añadir r nuevas variables.
 Paso a Restricciones de Igualdad:
Se puede conseguir usando variables de holgura:
X
C
Z T
=
max
X
C
Z T
−
=
max
 
r
x
x ,...,
1
 
*
*
*
,
,...,
1
x
x
x r
1,2,...r
i
;
*
*
=
−
= x
x
x i
i

9. Diego Carrión Galarza Optimización y Planificación de Sistemas Eléctricos
o La desigualdad:
con , equivale a la igualdad
o La Desigualdad:
con , equivale a la igualdad
i
n
in
i
i b
x
a
x
a
x
a 
+
+
+ ...
2
2
1
1
0
1 
+
n
x
i
n
n
in
i
i b
x
x
a
x
a
x
a =
+
+
+
+ +1
2
2
1
1 ...
i
n
in
i
i b
x
a
x
a
x
a 
+
+
+ ...
2
2
1
1
0
1 
+
n
x
i
n
n
in
i
i b
x
x
a
x
a
x
a =
−
+
+
+ +1
2
2
1
1 ...

10. Diego Carrión Galarza Optimización y Planificación de Sistemas Eléctricos
❑ Ejemplos – Transformación a la Forma Estándar:
o Maximizar
sometido a
Este problema en la forma estándar es
Minimizar
sometido a
o Maximizar
sometido a
3
2
1 5
3
2 x
x
x
Z +
−
=
0
,
3
3
2
2
1
3
2
1
2
1


−
+

+
x
x
x
x
x
x
x
)
(
5
3
2 7
6
2
1 x
x
x
x
Z −
−
+
−
=
0
,
,
,
,
,
3
)
(
3
2
7
6
5
4
2
1
5
7
6
2
1
4
2
1

=
−
−
−
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
1
3 x
x
Z −
=
0
1
1
1
1
3
1
3
2
1
3
2
1

−

+

−
−
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x

11. Diego Carrión Galarza Optimización y Planificación de Sistemas Eléctricos
Este problema en la forma estándar es
Minimizar
sometido a
3
3
1
3 z
y
x
Z −
+
−
=
0
,
,
,
,
,
,
,
1
1
1
2
1
3
3
2
2
1
2
3
3
1
1
3
3
2
2
1
3
3
2
2
1

−
=
−
−
+
=
+
+
−
+
−
=
−
+
−
+
u
u
z
y
z
y
x
u
z
y
x
u
z
y
z
y
x
z
y
z
y
x