Este documento presenta un problema de programación lineal para una compañía de vidrios que produce varios productos en diferentes plantas. Incluye restricciones de horas disponibles por planta y restricciones funcionales relacionando producción y horas. Explica que al hacer algunas restricciones o la función objetivo no lineales, la solución óptima cambia y puede estar dentro o fuera de la región factible. También discute los desafíos de los máximos locales vs globales en problemas no lineales.

1. Programación Lineal
Método simplex “revisado”
Presentado por:
Eduardo González Luna
Yhosman Millán
Al Profesor:
Carlos A. Gil
Ingeniería de sistemas
V semestre
UCEVA
Tuluá-valle
2010

2. Introducción
Programación no lineal PNL es el proceso de
resolución de un sistema de igualdades y
desigualdades sujetas a un conjunto de
restricciones sobre un conjunto de variables
reales desconocidas, con una función objetivo
a (maximizar o minimizar), cuando alguna de
las
restricciones o la función objetivo no son
lineales.

3. Problema de Aplicación
La Compañía Vidrios del valle tiene tres líneas de productos:
espejos, mesas, puertas. Que se producen en las plantas 1,2,3
respectivamente.
Actualmente la CIA pretende introducir dos nuevos productos al
mercado:
a) Artilugios decorativos
b) Vidrieras de colores
Según un estudio del departamento de comercio toda la
producción
de estos puede ponerse en el mercado. Además se sabe que se
fabrican 20 lotes de productos por semana. La tasa de producción
será el numero de lotes producido por semana

4. Restriccion1 Horas disponibles
en la planta 1
X1 ≤ 4
Restricción2: Horas disponibles
en la planta 2
2x2 ≤ 12
Restricción2: Horas disponibles
en la planta 3
3X1 + 2x2 ≤ 18
Restricciones Funcionales:
[horas/articulo]* [articulo/semana]= [horas/semana]

5. La figura 1 muestra lo que ocurre con este problema si los únicos
cambios que se hacen al modelo son la segunda y tercera restricciones
funcionales se sustituyen por la restricción no lineal
9𝑥1
2+5𝑥2
2 ≤216
Figura 1. Ejemplo de la CIA Vidrios del valle. Con la restricción no lineal
9𝑥1
2+5𝑥2
2 ≤216 en lugar de la segunda restricción original

6. Ahora suponga que las restricciones del problema se conservan sin
cambio, pero que la función objetivo se hace no lineal. Por ejemplo si,
𝑧=126𝑥1−9𝑥1
2−182𝑥2−13𝑥2 entonces la representación grafica en la
figura en la figura 2 indica que la solución optima es 𝑥1=8/3, 𝑥2=5,
que de nuevo se encuentra en la frontera de la región factible.
Figura 2. Ejemplo de la CIA. Vidrios del Valle. con la región factible
original pero con la función objetivo no lineal
𝑧=126𝑥1−9𝑥1
2−182𝑥2−13𝑥2 en lugar de la función objetivo original.

7. (El valor optimo de 𝑍 es 𝑍=857; así la figura 2 muestra el hecho de que
el lugar geométrico de los puntos con 𝑍 mas grande no toca la región
factible en ningún punto.) Por otro lado, si
𝑧=54𝑥−19𝑥1
2+78𝑥2−13𝑥2
2
entonces la figura 3 ilustra que la solución optima es
𝑥1,𝑥2= (3,3), que se encuentra dentro de la frontera factible
Figura 3. El ejemplo de la CIA Vidrios del valle. Con la región factible
original pero con otra función objetivo no lineal :
𝑧=54𝑥−19𝑥1
2+78𝑥2−13𝑥2
en lugar de la original.

8. (Se puede comprobar que esta solución es optima si se usa el calculo
para derivarla como un máximo global no restringido; como también
satisface las restricciones, debe ser optimo para el problema
restringido.) Por tanto, es necesario que un algoritmo general para
resolver problemas de este tipo tome en cuenta todas las soluciones en
la región factible, y no solo aquellas que están sobre la frontera. Otra
complicación que surge en la programación no lineal es que un máximo
local no necesariamente es un máximo global(la solución optima
global). Por ejemplo, considere la función de una sola variable
graficada en la figura 4.
Figura 4. Función con varios máximos locales (𝑥=0,2,4), pero solo 𝑥=4
es un máximo global. 1 2 3 4 5

9. En el intervalo 0 ≤ 𝑥≤ 5, esta función tiene 3 máximos locales
−𝑥=0,𝑥=2,𝑥=4− pero solo uno de estos − 𝑥=4− es un máximo global. (De
igual manera, existen mínimos locales en 𝑥=1,3 𝑦 5, pero solo 𝑥=5 es un
mínimo global.) En general, los algoritmos de programación no lineal no
pueden distinguir entre un máximo local y un máximo global (excepto si
encuentran otro máximo global mejor), por lo que es determinante
conocer las condiciones bajo las que se garantiza que un máximo local es
un máximo global en la región factible. Hay que recordar que en el
calculo, cuando se maximiza una función ordinaria (doblemente
diferenciable) de una sola variable 𝑓(𝑥) sin restricciones, esta garantía
esta dada cuando:
𝑑2 𝑦/𝑑𝑥2≤ 0
para toda 𝑥. Una función de este tipo cuya curvatura siempre es «hacia
abajo» (o que no tiene curvatura) se llama función cóncava. De igual
manera, si se sustituye ≤ por ≥, de manera que la función tiene siempre
una curvatura «hacia arriba» (o no tiene curvatura), se llama función
convexa. (Así, una función lineal es tanto cóncava como convexa).

10. En la figura 5 se pueden ver ejemplos de esto. Hay que notar que la
figura 4 ilustra una figura que no es cóncava, ni convexa pues alterna sus
curvaturas hacia arriba y hacia abajo.
Figura 5. Ejemplos de a) una función cóncava y b) una función convexa.