Este documento describe los conceptos básicos de la programación lineal, incluyendo la función objetivo, las restricciones, la región factible, y cómo encontrar una solución óptima evaluando la función en los vértices de la región factible. También presenta ejemplos de problemas con regiones factibles vacías, acotadas y no acotadas, y cómo determinar si existe una solución óptima en cada caso.

1. PROGRAMACION LINEAL

2. Algunas veces se desea maximizar o minimizar una función sujeta a algunas limitaciones.Ahora se considera como resolver tales problemas cuando la función será maximizada o minimizada es lineal. Una función lineal en x y y tiene la formaZ=ax +bydonde a y b son constantes.

3. En un problema de programación lineal, la función que se debe maximizar o minimizar se llama función objetivo. Aunque por lo regular existe un numero infinito de soluciones para el sistema de restricciones, llamadas soluciones factibles o puntos factibles, la meta es encontrar una que sea una solución optima.

4. Por lo tanto, se tiene un problema de programación lineal. Las restricciones se llaman condiciones de no negatividad. La recta llamada línea de insoutilidad, proporciona todas las combinaciones posibles de x y y con las que se obtiene la misma utilidad.

5. Si una región factible puede estar contenida dentro de un circulo se denomina región factible acotada. De otra manera es no acotada. Cuando una región factible contiene al menos un punto, se dice que es no vacía; en caso contrario es vacia.

6. Este enunciado proporciona una forma de encontrar una solución optima sin dibujar las rectas de insoutilidad. Basta con evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible, y después seleccionar un vértice en el que la función sea optima. Una función lineal definida sobre una región factible acotada no vacía, tiene un valor máximo (mínimo) que puede encontrarse en un vértice.

7. Resolución de un problema de programación lineal.Maximice la función objetivo Z= 3x+y sujeta a las restricciones 2x+y ≤82x+3y ≤12x≥0y≥0

8. SOLUCION: La región factible es no vacía y acotada. Así que Z es máxima en uno de los cuatro vértices. Las coordenadas de A,B y C son evidentes por inspección. Para determinar C se resuelve de manera simultanea las ecuaciones 2x+y=8y2x+3y=12, que dan x=3, y=2. Así, A=(0,0) B=(4,0) C=(3,2) D=(0,4)

9. Después de evaluar Z en estos puntos, se obtieneZ(A)=3(0)+0=0 Z(B)=3(4)+0=12 Z(C)=3(3)+2=11 Z(D)=3(0)+4=4De aquí el valor máximo de Z , sujeto a las restricciones, sea 12 y ocurra cuando x=4 y y=0

10. Resolución de un problema de región factible vacía.Minimice la función objetivo Z=8x-3y, sujeta a las restricciones.-x+3y=21x+y≤5x≥0y≥0

11. SOLUCION: Observe que la primera restricción –x+3y=21 es una igualdad. Se muestra las partes de las rectas –x+3y=21 y x+y=5para las cuales x≥0 y y≥0. Un punto factible (x,y) debe tener x≥0, y≥0 y estar sobre la recta superior y sobre o por debajo de la recta inferior. Sin embargo, no existe tales puntos . De aquí que la región factible este bacía y por lo tanto este problema no tenga solución optima.

12. Resolución de un problema de región factible no acotada.Suponga que la región factible está definida pory=2 x≥0y≥0

13. Esta región es parte de la recta horizontal y=2. Como la región no puede estar contenida dentro de un circulo, es no acotada. Considere maximizarZ=x+ysujeta a las restricciones anteriores. Como y=2, entonces Z=x+2. Es claro que cuando x aumenta indefinidamente, también aumenta Z. Por lo tanto, ningún punto factible maximiza Z, de modo que no existe solución óptima. En este caso se dice que la solución es “no acotada”. Por otra parte, suponga que se quiera minimizar Z=x+y sobre la misma región. Como Z=x+2, Z será mínima cuando x sea lo mas pequeña posible, esto es, cuando x=0. El valor mínimo de Z =x+y=0+2=2, y la solución optima es el vértice (0,2).