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Proporcionalidad regla de 3
- 1. Proporcionalidad. Regla detresProporcionalidad. Regla de tres Razón y proporción numérica Magnitudes directamente proporcionales Regla de tres simple directa Magnitudes inversamente proporcionales Regla de tres simple inversa Problemas de porcentajes
- 2. Proporcionalidad. Regla detresProporcionalidad. Regla de tres A a y d se les llama extremos. La razón entre los números 10 y 2 es 5, su cociente: 5 2 10 = La razón entre 0,15 y 0,3 es 2 1 30 15 3,0 15,0 == Razón entre dos números a y b es el cociente b a Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, pues sus razones son iguales. 20 8 5 2 =Es decir: Los números a, b y c, d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d. Es decir: d c b a = Se lee “a es a b como c es a d” El producto de los extremos es igual al producto de los medios. d c b a = ad = bc A b y c se les llama medios. Razón y proporción numérica
- 3. Proporcionalidad. Regla detresProporcionalidad. Regla de tres Ejemplo: Recuerda: El producto de los extremos es igual al producto de los medios. Un saco de patatas pesa 20 kilogramos. ¿Cuánto pesan 2 sacos? Un cargamento de patatas pesa 520 kg. ¿Cuántos sacos se podrán hacer? Observa: 1 saco 2 sacos 3 sacos ? sacos 20 kg 40 kg 60 kg 520 kg Fíjate: Habrás advertido que: Las magnitudes número de sacos y peso en kilogramos son directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad para pasar de sacos a kilogramos es 20. Sacos: Kilos: En general, si dos magnitudes son tales que a doble, triple… cantidad de la primera corresponde doble, triple… de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales. 20 1 40 2 60 3 520 ?? 520 ? ... 60 3 40 2 20 1 ==== ? ? 26 20 520 == Magnitudes directamente proporcionales (I)
- 4. Proporcionalidad. Regla detresProporcionalidad. Regla de tres Recuerda: El producto de los extremos es igual al producto de los medios. Si un dólar vale 0,95 euros, ¿cuánto costarán 6 dólares? ¿Cuántos dólares podremos comprar con 20 euros? Las magnitudes dólares y euros son directamente proporcionales, luego: 1 2 3 0,95 2 · 0,95 = 1,9 3 · 0,95 = 2,85 En definitiva: Dólares: Euros: (dólares) · 0,95 = euros. 95,0 1 = euros doláres Ejercicio Por tanto, 6 dólares cuestan 6 · 0,95 = 5,7 euros Para pasar de dólares a euros se multiplica por 0,95. Para pasar de euros a dólares se divide por 0,95 Por lo mismo, 20 euros = 0,95 · (x dólares), luego x = 20 : 0,95 = 21,05 20 euros = 21,05 dólares Magnitudes directamente proporcionales (II)
- 5. Proporcionalidad. Regla detresProporcionalidad. Regla de tres La cantidad de agua y la cantidad de sal son directamente proporcionales. Ejemplo. En 50 litros de agua de mar hay 1300 g de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 g de sal? La proporción establecida es: 1300 50 saldegramos aguadelitros = Si representamos por x el número de litros que contendrán 5200 g de sal, se verifica la proporción: 5200 x 1300 50 = 50 · 5200 = 1300 x 200 1300 5200·50 x == En 50 litros hay 1300 g de sal En x litros habrá 5200 g de sal 200 1300 5200·50 x == Disposición práctica Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa. 50 l 1300 g x l 5200 g Regla de tres simple directa
- 6. Proporcionalidad. Regla detresProporcionalidad. Regla de tres Ejemplo: Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? Observa: 3 6 9 18 24 12 8 Fíjate: Pero aún no hemos contestado la pregunta inicial: ¿cuántos días emplearán 18 hombres? Hombres: Días: Si dos magnitudes son tales que a doble, triple… cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte… de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. ? 3 · 24 = 72 6 · 12 = 72 9 · 8 = 72 18 · 24 = 72? Doble de 3 Triple de 3 Mitad de 24 Un tercio de 24 Si 18 · = 72, entonces = 72 : 18 = 4 días? ? Magnitudes inversamente proporcionales
- 7. Proporcionalidad. Regla detresProporcionalidad. Regla de tres Fíjate en que, con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; y si las vacas se triplican, para un tercio de los días, etc. Ejemplo. Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas? Por tanto, las magnitudes número de vacas y número de días son inversamente proporcionales. 220 vacas tienen para 45 días 450 vacas tendrán para x días 22 450 45·220 x == Disposición práctica Esta forma de plantear y resolver problemas sobre magnitudes inversamente proporcionales se conoce con el nombre de regla de tres simple directa. 220 vacas 45 días 450 vacas x días 220 45 Vacas: Días: 450 x 220 · 45 = 450 · x x = 22 Regla de tres simple inversa
- 8. Proporcionalidad. Regla detresProporcionalidad. Regla de tres Un descuento del 20% quiere decir que de cada 100 euros pagamos 80. Ejemplo1. En las rebajas de enero el descuento de una tienda es del 20% sobre el precio indicado. Un señor compra un juego de toallas etiquetado con 90 euros. ¿Cuánto tiene que pagar? Aplicando la regla de tres, se tiene: Si de 100 euros pagamos 80 De 90 euros pagaremos x 72 100 90·80 x == Tendrá que pagar 72 euros por el juego de toallas. 100 80 90 x En la práctica Un descuento del 20% equivale a multiplicar por 0,20. La cantidad resultante es lo rebajado. Rebaja: 90 · 0,20 = 18. Se paga: 90 – 18 = 72 euros Directamente. Si descuentan el 20%, se pagará el 80%. Se pagarán 90 · 0,80 = 72 euros Problemas de porcentajes (I)
- 9. Proporcionalidad. Regla detresProporcionalidad. Regla de tres Si el impuesto es del 16%, quiere decir que por cada 100 euros debemos pagar 116. Ejemplo 2. Una señorita compra un coche cuyo precio de fábrica es de 8200 euros. A este precio hay que añadirle un16% de IVA (impuesto sobre el valor añadido). ¿Cuál será el precio final del coche? Aplicando la regla de tres simple se tiene: Si por 100 euros pagamos 116 Por 8200 euros pagaremos x 9512 100 8200·116 x == Por tanto, tendrá que pagar 9512 euros por el coche. 100 116 8200 x En la práctica Un incremento del 16% equivale a multiplicar por 0,16. La cantidad resultante es el incremento total. Incremento: 8200 · 0,16 = 1312. Se paga: 8200 + 1312 = 9512 euros Directamente. Si se incrementa el 16%, se pagará el 116%. Se pagarán 8200 · 1,16 = 9512 euros Problemas de porcentajes (II)
- 10. Proporcionalidad. Regla detresProporcionalidad. Regla de tres Si el impuesto es del 16%, quiere decir que por cada 100 euros debemos pagar 116. Ejemplo 2. Una señorita compra un coche cuyo precio de fábrica es de 8200 euros. A este precio hay que añadirle un16% de IVA (impuesto sobre el valor añadido). ¿Cuál será el precio final del coche? Aplicando la regla de tres simple se tiene: Si por 100 euros pagamos 116 Por 8200 euros pagaremos x 9512 100 8200·116 x == Por tanto, tendrá que pagar 9512 euros por el coche. 100 116 8200 x En la práctica Un incremento del 16% equivale a multiplicar por 0,16. La cantidad resultante es el incremento total. Incremento: 8200 · 0,16 = 1312. Se paga: 8200 + 1312 = 9512 euros Directamente. Si se incrementa el 16%, se pagará el 116%. Se pagarán 8200 · 1,16 = 9512 euros Problemas de porcentajes (II)