Este documento presenta conceptos sobre proporcionalidad directa e inversa. Explica cómo reconocer y construir tablas de valores para magnitudes proporcionales, y resolver problemas aplicando proporciones o reducción a la unidad. También cubre porcentajes como casos particulares de proporción y la evaluación de este tema.
3. Conocer y manejar los conceptos de razón y proporción
Reconocer las magnitudes directa o inversamente
proporcionales
Construir sus correspondientes tablas de valores y
formar con ellas distintas proporciones.
Resolver problemas de proporcionalidad directa o inversa,
por reducción a la unidad y por la regla de tres.
Adquirir los algoritmos necesarios para resolver las
situaciones de proporcionalidad simple de una forma
rápida y efectiva
4. Razón es el cociente de dividir dos números
La razón de 3 a 4 es 3/4, cuyo valor es
0,75
Proporción la forman dos fracciones que
tienen la misma razón
La razón de 6 a 8 también es 0,75, por lo
que 3/4 y 6/8 forman una proporción
Busca, y escribe en tu cuaderno, 5 parejas de
fracciones que formen proporción y otras 5 que no.
=
5. También decimos que dos fracciones son
equivalentes cuando es igual su producto cruzado.
6 x 4 = 24
8 x 3 = 24
De siempre se ha llamado a esta particularidad
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES
Y se define como el producto de
medios es igual al producto de extremos
EXTREMOS
MEDIOS
=
6. Las magnitudes son directamente proporcionales cuando una aumenta
y la otra también y en caso de que una disminuya la otra también.
Veamos la siguiente tabla de valores.
Nº de bolsas 1 2 3 4 5 6 7 8 k
Peso
0,2
5
0,5
0,7
5
1
1,2
5
1,5
1,7
5
2 0,25k
En las magnitudes directamente proporcionales si multiplicamos o
dividimos un par de valores correspondientes por un número,
obtenemos otro par de valores también proporcionales.
Para descubrir si la magnitud es directamente proporcional decimos
lo siguiente:
¿Si aumentamos las bolsas aumentará el peso? ( a más, más)
¿Si disminuimos las bolsas, dirminuirá el peso? (a menos, menos)
Si la respuesta es si, las magnitudes son directamente proporcionales
En las magnitudes directamente proporcionales, el cociente de dos valores
correspondientes es constante. (Constante de proporcionalidad)
7. Un grifo arroja 6 litros de agua cada minuto, ¿Cuántos litros
arrojará en cinco minutos?
Si observas el problema, tenemos dos magnitudes, el
tiempo (expresamos en minutos) y la cantidad de agua
arrojada (en litros).
Cantidad
deagua
tiempo
Podremos construir la siguiente tabla en los primeros minutos.
1 6
2
3
4
5
6
12
18
24
30
36
Se trata de una relación de proporcionalidad directa.
Para construir las proporciones, procedemos de la siguiente
manera:
=
Como sabes ya, el producto cruzado ha de ser igual.
3 . 24 = 4 . 18
magnitudes
8. Por ahorro de espacio, solemos presentar las tablas de valores en posición
horizontal.
Cantidad
de agua
tiempo 1
6
2 3 4 5 6
12 18 24 30 36
Es conveniente formar las proporciones siguiendo la línea de las
magnitudes. En este caso en horizontal.
=
magnitudes
A veces la tabla de valores está incompleta, por ejemplo:
Cantidad
de agua
tiempo x
6
2 3 4 5 6
12 18 y 30 z
= 3 . y = 4 . 18 ; 3 . y = 72 ; y = 72/3 ; y = 24
9. En muchas ocasiones se nos presentan situaciones con magnitudes
proporcionales en las que conocemos tres datos y tenemos que
calcular el cuarto.
Seis bolígrafos cuestan 3,6 euros, ¿cuánto costarán 10 bolígrafos?
bolígrafos cuestan euros
6 3,6
10 x
bolígrafos
euros
magnitudes
6 3,6
10 x
Se trata de una regla de tres directa porque
a más bolígrafos más euros y a menos,
menos euros pagaremos.
Proporciones
= 6 x =3,6 .10; 6 x =36; x =36/6; x =6 euros
10. Imaginemos la tabla de la página anterior, en la que nos falten
algunos datos.Nº de bolsas 1 2 3 4 5 6 c 8 k
Peso
0,2
5
a
0,7
5
1 b 1,5
1,7
5
2 0,25k
Haremos proporciones con cualquiera de los pares. Como
necesito dos pares, escojo uno con ambas cantidades
conocidas y uno de los que he de hallar su valor. Me sirve
cualquier par
=
4
a2
1
;2.1 = 4.a; 2 = 4.a; 2/4 = a; 0,5 = a;
Seis kg de naranjas cuestan 4,2 €, calcula lo que costarán 16
Kg6 es a 4,2 como 16 será a x. En proporciones…
=
16
4,26
x
;6x = 4,2 . 16; 6x = 67,2; x = 67,2/6;
x = 11,2 €;
11. Las magnitudes son inversamente proporcionales cuando una aumenta y la otra disminuye
y en caso de que una disminuya la otra aumenta.
Veamos la siguiente tabla de valores en la que se refiere el número de días que durarán
las manzanas dependiendo de las personas que las comen.
Nº de
personas
1 2 3 4 5 6 7 8 k
Nº de días ? 30 ? 15 ? ? ? ? ?
Para descubrir si la magnitud es inversamente proporcional decimos lo siguiente:
¿Si aumentamos las personas disminuirán los días? ( a más, menos)
¿Si disminuimos las personas, aumentarán los días? (a menos, más)
Si la respuesta es si, las magnitudes son inversamente proporcionales
En las magnitudes inversamente proporcionales, el producto de dos valores
correspondientes es constante.
Veamos cómo se resuelve en
este caso:
i
3
302
x
Como son inversamente
proporcionales, actuamos como
en la división de fracciones
(hacemos la inversa de una de
ellas y luego se resuelve)
i
3
302
x
= 2.30 = 3 x;
x = 60/3; x = 20
12. Veamos el siguiente problema:
5 helados de chocolate cuestan 15 euros, calcula lo que nos costarán 7, 12
y 18 helados.
Resolver este problema por regla de tres o a través de una tabla de
valores supondría plantear la regla de tres o las proporciones derivadas
tres veces.
Podremos resolver el problema de una forma más rápida si calculamos
el precio unitario y luego multiplicamos por el número de helados.
helados cuestan euros
5 15
1 x
5 x = 15; x = 15/5; x = 3 euros
Y por tanto, el nº de helados que nos piden:
7 helados, 7 . 3 = 21 euros 12 helados, 12 . 3 = 36 euros
18 helados, 18 . 3 = 54 euros
magnitudes
13. Socio de 9.000
1.500 . 3 = 4.500 €
Cuando hablamos de “reducir a la unidad”, no tiene por qué ser uno
exactamente, podemos tomar como “unidad” una cantidad que esté
contenida en todas las que queremos hallar.
Veamos el siguiente ejemplo:
Tres socios han aportado a su sociedad 6.000, 9.000 y 15.000, que en
este año 2009 ha tenido unos beneficios de 15.000 euros. Calcula lo que
corresponde a cada uno.
Al total del dinero aportado por los socios le corresponde el total de los
beneficios de la sociedad.
Podríamos ir viendo, individualmente, lo que corresponde a cada socio,
pero será más rápido calcular los beneficios que corresponden a 3000
euros (por ejemplo). Una vez calculado, a 6000, euros corresponderá el
doble, a 9000 el triple y a 15000 cinco veces.
Aportación producen Beneficio
30.000 15.000
3.000 x
magnitudes
Proporciones
=
30.000 x = 15.000 . 3.000
X = 1.500
Socio de 6.000
1.500 . 2 = 3.000 euros
Socio de 15.000
1.500 . 5 = 7.500 €
14. La relación de tanto por ciento es un caso particular de proporción.
Veamos un ejemplo:
En una zapatería se anuncian las siguientes ofertas:80 €
60 €
120 €
72 €
40 €
44 €56 €
96 €
Vamos a calcular el descuento de los zapatos de 80€
Total
descuentan
Dto.
100 25
80 x
magnitudes Proporciones:
= 80 . 25 = 100 x;
2000 = 100 x; 20 = x
Calcula, en tu cuaderno, el descuento del resto de
artículos de la zapatería
¿Qué relación existe entre cada uno de los precios
originales y el descuento?
¿Podríamos calcular el 25% de cualquier cantidad de manera rápida y sencilla?
15. El 25% quiere decir que nos descuentan 25 euros de cada 100
O lo que es lo mismo, 25/100, que reducido es 1/4
Calcular el 25% se puede realizar dividiendo la cantidad por cuatro.
Del mismo modo podremos calcular otros porcentajes, veamos:
Porcentaje
Fracción
resultante
Fracción
reducida
Dividir por
10% 10/100 1/10 10
20% 20/100 1/5 5
25% 25/100 1/4 4
33% 33/100 ~1/3 3
50% 50/100 1/2 2
100% 100/100 1 1
Es importante conocer estos casos particulares porque ahorrarás
tiempo al realizar los cálculos
17. Se evaluarán los siguientes aspectos:
La actitud y trabajo en el aula: Atiendes, participas, intervienes
individualmente o en equipo, … 10%
El trabajo personal en casa: realizas los deberes, haces tus trabajos, …
10%
Las anotaciones de aula a lo largo del tema: por hacer bien los
ejercicios en la pizarra o el ordenador, contestar bien a la teoría, ayudar
a un compañero, ... 10%
El cuaderno de trabajo: contiene los ejercicios propuestos tanto en
clase como en casa, está bien presentado,… 10%
Los ejercicios enviados al profesor en formato informático por correo
electrónico o si están en tu carpeta de trabajo. 10%
La prueba de evaluación específica de la unidad (puede ser en formato
informático y/o papel) 50%
