El documento proporciona una introducción al método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica los conceptos básicos como maximizar o minimizar una función objetivo sujeta a restricciones lineales, y cómo el método simplex itera entre soluciones factibles para encontrar una solución óptima moviéndose de un vértice a otro en la región factible. Presenta ejemplos numéricos para ilustrar los pasos del algoritmo simplex.

1. Programación Lineal
Método Simplex

2. Método Simplex
 Idea conceptual:
 Desde que las soluciones que
optimizan la F.O. se encuentran en la
frontera de la región Factible y en
particular en los vértices de esta. El
simplex localiza un vértice de la región
y salta para el siguiente vértice
adyacente de forma que mejore el valor
de la F.O.
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3. Método Simplex
 Ejemplo:
max z = 3x1 + 4x2
s.a. x1 + x2 < 9
x1 + 2 x2 < 16
x1, x2 > 0
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4. Método Simplex
0,9
0,8
2,7
16,0
9,0
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5. Sistema de ecuaciones lineares
 Dado Ax = b , A de dimensión m x n, x de
dimensión n y b de dimensión m
 Si la matriz A es inversible ( esto es m=n) =>
Ax = b , tiene como única solución x=Ab
 por otro lado, si el rango de la matriz
aumentada (A|b) es mayor que el rango de la
matriz A => Ax = b no tiene solución.
 Si el rango de (A|b) es igual al rango de A e
igual k < n, => Ax = b tiene infinitas soluc.
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6. Método Simplex (conceptos)
 Dado Ax = b, un sistema de ecuaciones
consistente indeterminado (n>m)
 Se puede escribir: A= (B,N) , donde
Bmxm inversible y Nmx(n-m). Las columnas
de la matriz B, son vectores de
dimensión m , que constituyen una
base del espacio R, denominase a B
m
como matriz básica.
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7. Método simplex
 Sea Equivalente
max z = Cx max z = CBxB +CN xN
s.a. s.a.
Ax = b BxB + NxN = b
x>0 xB > 0, xN > 0
 de donde:
xB = B -1b – B -1 N
Nx
z = CBB -1 -(CB B -1N -CN ) xN
b
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8. Método simplex
 En la tabla:
xN xB
xB B -1N I B -1b
-z CBB -1N-CN 0 CBB -1b
-1
 Una solución inicial es:
xN = 0, xB = B b, z= CBB b
-1 -1

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9. Método Simplex (algoritmo)
1. Determine una solución básica factible
2. Verifique si la solución es óptima: vea si los
costos reducidos en el tablero son ceros o
negativos, en ese caso pare, Sol óptima.
3. Determine una nueva solución básica
factible:
-variable que entra a la base xj = coef más
positivo
-variable que sale de la base = min{B -1 b/a.j/
a.j>0}
4. Regresar a paso 2
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10. Método Simplex
x1 x2 x3 x4
x3 1 1 1 0 9 VB={x3=9,x4=16}
x4 1 2* 0 1 16 VNB={x1=x2=0}
-z 3 4 0 0 0
x3 1/2* 0 1 -1/2 1
x2 1/2 1 0 1/2 8
-z 1 0 0 -2 -32
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11. Método Simplex
x1 x2 x3 x4
x1 1 0 2 -1 2
x2 0 1 -1 1 7
-z 0 0 -2 -1 -34
 sol óptima x1=2, x2=7, x3=4, x4=0
 z= 34
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12. Método Simplex
 Ejemplo:  En la forma normal
Max z= x1 + 2 x2 Max z= x1 + 2 x2
s.a. s.a.
-2x1 + x2 < 7 -2x1 + x2 + x3 = 7
x1 - x2 < 2 x1 - x2 + x4 = 2
x1, x2 > 0 x1, x2, x3, x4 > 0
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13. Método Simplex
x1 x2 x3 x4
x3 -2 1* 1 0 7
x4 1 -1 0 1 2
-z 1 2 0 0 0
x2 -2 1 1 0 7 B a.j<0, =>
z->oo (óptimo
x4 -1 0 1 1 9 -1
no-finito)
-z 5 0 -2 0 -14
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14. Método Simplex
 Ejemplo:
Max z = 15x1 + 30 x2
s.a.
4x1 + x2 + x3 = 36
x1 +2x2 + x4 = 30
x1, x2, x3, x4 > 0
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15. Método Simplex
x1 x2 x3 x4
x3 4 1 1 0 36
x4 1 2* 0 1 30 Obs: Los costos
reducidos asociados
-z 15 30 0 0 0 a las VB son 0,y de
las VBN son diferen
x3 7/2* 0 1 -1/2 21 de cero
x2 1/2 1 0 1/2 15
-z 0 0 0 -15 -450 Sol.óptima
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16. Método Simplex
x1 x2 x3 x4
x1 1 0 2/7 -1/7 6
x2 0 1 -1/7 4/7 12
-z 0 0 0 -15 -450 Otra Sol.
óptima
Soluciones óptimas alternativas:
x3=21, x2=15, x1=x4=0, Z=450
x1=6, x2=12, x3=x4=0, Z=450
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17. Método Simplex
 Problema de mínimo:
 Primer caso: hacer Min z = Max (-z)
y efectuar el algoritmo para resolver el
problema de mínimo.
 Segundo caso: modificar algoritmo
-variable que entra a la base xj = coef
más negativo
- condición de parada es todos los
costos reducidos son ceros o positivos.
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18. Ejercicios
 Resuelva por la tabla del simplex los
siguientes problemas:
Max 2x1 + 7x2
sujeto a:
3x1 + 4x2 <= 12
x1 + 8x2 <= 8
6x1 + x2 <= 15
x1, x2 >= 0
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19. Ejercicio
 Min 50 x1 + 100 x2
Sujeto a:
7 x1 + 2 x2 >= 28
2 x1 + 12 x2 >= 24
x1, x2 >= 0
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