1. UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Ecuaciones Diferenciales
TEMA:
Determinar la cantidad de alumnos que ingresan anualmente en la
Universidad Técnica Particular de Loja Modalidad Presencial y Abierta
Integrantes:
Cristian Villamagua
Angel Cuenca
Docente:
Ing. Germanía Rodríguez
Loja - Ecuador

2. JUSTIFICACIÓN
En la actualidad los modelos matemáticos son utilizados en muchas ramas
como la biología, la química, la física, etc., es por ello que se ha hecho
necesario identificar la manera de construir modelos para dar solución a
los problemas que se nos presente.

3. OBJETIVOS
ESPECÍFICO
 Tratar de resolver un problema real utilizando procesos matemáticos,
es decir tratar de modelar el problema planteado.
GENERALES
 Modelar la situación problemática relacionada con el crecimiento
exponencial de los alumnos en la modalidad Presencial y Abierta que
ingresan anualmente en la Universidad Técnica Particular de Loja.
 Identificar y resolver ecuaciones diferenciales de primer orden de
variables separables y las respectivas soluciones.
 Graficar en un mismo plano de familias de soluciones una ecuación
diferencial.

4. ESTRATEGIA
Modelar la situación problemática relacionada con el crecimiento
exponencial de los alumnos en la modalidad Presencial y Abierta que
ingresan anualmente en la Universidad Técnica Particular de Loja.
Es importante mencionar que el índice de crecimiento o decrecimiento de la
población se mide anualmente y la unidad de variación del tiempo es el año.
Esa consistencia de unidades es importante en la resolución de este tipo de
problemas, caso contrario seria necesario un ajuste “no lineal” del valor de
la constante de crecimiento de la población. La no linealidad seria definida
por el tipo de solución continua que se obtiene al resolver el problema (en
el presente caso una variación exponencial).

5. LEVANTAMIENTO DE INFORMACIÓN
Luego de haber obtenido datos de las modalidades tanto de la presencial
como la abierta, desde hace unos cuatro años y analizado los datos
históricos referente al tema planteado se ha hecho un análisis de este y se
ha definido la ecuación diferencial de crecimiento poblacional la cual
utilizaremos para el cálculo de las variables. El siguiente cuadro muestra los
periodos de matriculas comprendido por ciclos y los periodos de matriculas
comprendidos por años ya que vamos a medir la población anualmente y la
unidad de variación del tiempo es el año, además la cantidad de
estudiantes matriculados por ciclo y sumados cada dos ciclos nos da la
cantidad de estudiantes matriculados por año:
CUADRO ESTADISTICO PRESENCIAL:
Periodos comprendidos
por ciclos
Periodos
comprendidos
por años
Cantidad de estudiantes
matriculados
Cantidad de estudiantes
matriculados
Periodos comprendidos
por ciclos
Periodos
comprendidos
por años
Por ciclo Por año
Abril 2008/Agosto 2008 2008 1200
2000
Octubre 2008/Febrero 2009 2008 800
2000
Abril 2009/Agosto 2009 2009 1400
2300
Octubre 2009/Febrero 2010 2009 900
2300
Abril 2010/Agosto 2010 2010 1500
2500
Octubre 2010/Febrero 2011 2010 1000
2500

6. Tabla 1: periodos de matriculas y cantidad de estudiantes matriculados.
CUADRO ESTADISTICO A DISTANCIA:
Periodos comprendidos
por ciclos
Periodos
comprendidos
por años
Cantidad de estudiantes
matriculados
Cantidad de estudiantes
matriculados
Periodos comprendidos
por ciclos
Periodos
comprendidos
por años
Por ciclo Por año
Abril 2008/Agosto 2008 2008 2400
4400
Octubre 2008/Febrero 2009 2008 2000
4400
Abril 2009/Agosto 2009 2009 2700
5200
Octubre 2009/Febrero 2010 2009 2500
5200
Abril 2010/Agosto 2010 2010 3000
5900
Octubre 2010/Febrero 2011 2010 2900
5900
Tabla 2: periodos de matriculas y cantidad de estudiantes matriculados.
PLANTEAMIENTO DEL MODELO

7. Sea P (t) la cantidad de estudiantes en un instante cualquiera, entonces la
rapidez con que la población cambia es proporcional a la cantidad de
estudiantes presentes en dicho instante. Por definición el crecimiento de la
población en un instante cualquiera se calcula mediante la siguiente
expresión:
Esta expresión define la ecuación diferencial que describe la variación de la
población con respecto al tiempo, donde la condición inicial es para:
t=0
Aplicando el método de variables separables
integrando
se obtiene
solución general implícita
aplicando exponencial
solución general explicita

8. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
Vamos a definir las variables que forman parte del problema:
P: Población de los estudiantes matriculados, que varía con el tiempo.
t: tiempo medido en años.
k: constante de proporcionalidad.
La población de los estudiantes matriculados en la UTPL en el año 2008 es
de 2000 estudiantes en la MP y 4400 estudiantes en la MD, en el año 2009
es de 2300 estudiantes en la MP y 5200 estudiantes en la MD, en el año
2010 es de 2500 estudiantes en la MP y 5400 estudiantes en la MD,
entonces la rapidez con que la población cambia es proporcional a la
cantidad de estudiantes matriculados en dicho instante.
Queremos determinar la cantidad de estudiantes que habrá en el año 2014
y la cantidad de estudiantes que había en el año 2006, tomando los datos
del año 2008 y del 2010 y mediante la ecuación:

9. Calculo de la Modalidad Presencial:
El año 2008 se hace coincidir con t=0
El año 2010 se hace coincidir con t=2
P (0)=2000
P (2)=2300
Entonces
Por lo tanto se reemplaza t por 4
Entonces 4 años después habrá
Estudiantes
Es decir en el año 2014 habrá 3124 estudiantes aproximadamente,
y 2 años antes había

10. Estudiantes
Es decir en el año 2008 había 1600 estudiantes aproximadamente.
Calculo de la Modalidad a Distancia:
El año 2008 se hace coincidir con t=0
El año 2010 se hace coincidir con t=2
P (0)=4400
P (2)=2300
Entonces
Por lo tanto se reemplaza t por 4
Entonces 4 años después habrá
Estudiantes
Es decir en el año 2014 habrá 7911 estudiantes aproximadamente,

11. y 2 años antes había
Estudiantes
Es decir en el año 2008 había 3281 estudiantes aproximadamente.
En base a los cálculos realizados mediante la ecuación en los años 2008 y 2010
se estimó un crecimiento natural de la población de estudiantes
correspondiente al 11.15% (lo cual implica k = 0.111571) en la modalidad
Presencial, y en la Modalidad a Distancia correspondiente al 14.66% (lo cual
implica k = 0.146673).
AUTOMATIZAR EL MODELO
(GRAFICAR)
Vamos a representar gráficamente mediante la herramienta visual studio
2008 la variación de la población respecto al tiempo, basándonos en la
ecuación diferencial, y mediante dicho gráfico estimar la cantidad de
estudiantes que habrá en un determinado instante.

13. PREDICCIÓN - PROSPECTIVA
Si en el año 2008 había aproximadamente 1600 estudiantes matriculados
en MP ,y en la MD es de 3281, se puede predecir que para el año 2014
habrá 3124 estudiantes matriculados en la Modalidad Presencial, y en la
Modalidad a Distancia (Abierta) habrá 7911 estudiantes matriculados, con
un crecimiento natural de la población de estudiantes correspondiente al 11.15
% en MP y en la MD correspondiente a 14.66 %.

14. CONCLUSIONES
Los problemas de crecimiento y de crecimiento exponencial aparecen en
muchas teorías que involucran crecimiento y cumplen la ecuación
diferencial:
con la condición inicial:
t=0
A partir de esta ecuación lineal se puede calcular y modelar el crecimiento o
decrecimiento de una determinada población, y predecir la variación de
dicha población con respecto al tiempo.
A pesar de que la ecuación lineal es relativamente simple, la utilización de
métodos a para analizar su comportamiento tiene un nivel de complejidad
inferior al de la obtención de la función primitiva correspondiente. Es más,
la interpretación de tablas y gráficos es mucho más sencilla que la
interpretación de la función primitiva.
Estos hechos son más notorios cuando las ecuaciones deferenciales son
más complejas, cuando las funciones primitivas son mas elaboradas o
cuando no puede obtenerse analíticamente las funciones primitivas.

15. BIBLIOGRAFÍA
 Texto guía: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado”,
8ª. Edición, Dennis G. Zill.
 Texto guía: “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado”,
9ª. Edición, Dennis G. Zill.
 http://es.wikipedia.org/wiki/Crecimiento_poblacional
 http://www.utpl.edu.ec
 http://publiespe.espe.edu.ec/librosvirtuales/ecuaciones-diferenciales/
ecuaciones-diferenciales/ecuaciones-diferenciales06.pdf