APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA CARRERA DE TELECOMUNICACIONES

1. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ADMINISTRATIVAS
Dra. Lucía Castro Mgs.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PARCIAL II
TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIONES DE LA DERIVADA EN
LA CARRERA DE TELECOMUNICACIONES
Nombres:
1. Colimba Chanataxi Richard Ariel
2. Gordon Guayasamín Josselyn Angie
3. Haro Morales Luis Federico
NRC: 4389
Fecha: viernes 12 de febrero 2021
Período: Noviembre 2020 _Abril 2021

2. 1
Índice
Introducción……………..……………………...2
Objetivo…………………..……………………..3
Fundamentación teórica…….…………………...3
Desarrollo………………………………………..4
Conclusiones……………………………………12
Enlace a slideshare…………………….………..13
Bibliografía……………………………………..13

3. 2
TEMA: APLICACIONES DE LA DERIVADA EN
LA CARRERA DE TELECOMUNICACIONES
Introducción
El cálculo diferencial proporciona una gran idea respecto del comportamiento de las
funciones matemáticas. Todos estos problemas, se engloban dentro de la categoría de
Optimización de funciones y pueden ser resueltos aplicando el cálculo diferencial.
Los siguientes problemas resueltos son problemas de optimización mediante cálculo
diferencial. Para resolverlos, se precisa derivar y aplicar el criterio de la primera derivada.
Para resolver los siguientes problemas de optimización de cálculo diferencial, utilizaremos el
siguiente método:
1. Plantear la función f que debe optimizarse (maximizar o minimizar).
2. Calcular la derivada de la función f.
3. Buscar los puntos críticos de f igualando a 0 la derivada f′.
4. Estudiar la monotonía de la función (creciente o decreciente) en
los intervalos que generan los puntos críticos para determinar el tipo de extremos.
Solamente se utiliza el criterio de la primera derivada.

4. 3
Objetivo
Demostrar la aplicación de la deriva en la carrera de telecomunicaciones, resolviendo
ejercicios que de optimización que tiene el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de
una función.
Fundamentación teórica
Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en
el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir
en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa
el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico
"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que
contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c , entonces f (c)puede
clasificarse como sigue."
1. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c , entonces f tiene un máximo relativo en (c,
f(c)).
2. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en(c, f(c)), entonces f tiene un mínimo relativo
en (c, f(c)).
3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no
es ni un mínimo ni un máximo relativo.
(Criterio de la Primera y Segunda derivada)

5. 4
Desarrollo
Un estudiante de la carrera de Ingeniería de Electrónica y Telecomunicaciones posee
un circuito electrónico que consiste de una batería denominada “E” medida en volts
que contiene una resistencia interna r en unidades de ohm, la batería está conectada a
una resistencia externa medida en unidades de ohm; entonces la potencia de la
resistencia externa es:
( )
Siendo la batería un dispositivo que se mantiene fija en su voltaje y resistencia propia; no
siendo el caso de la resistencia externa que varía. ¿El estudiante desea saber cuál es el valor
máximo que puede obtener en potencia para la resistencia?
Iniciamos bosquejando la aplicación:
Se pondrá en ejecución la modelación matemática mediante el método de optimización
aprovechando los conceptos de la primera derivada para determinar los puntos mínimos o
máximos.
( )

6. 5
( )
( )
(( ) )
(( ) )
( ) ( )
( )
(( ) )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
| | | |
Por definición de valor absoluto obtenemos:
Se descarta la primera igualdad, porque que no existe solución definida cuando r = -R, por
lo que la potencia máxima se presentara cuando la resistencia interna de la batería (r) sea
idéntica en magnitud de la resistencia externa (R) .

7. 6
Ahora bien, se reemplaza el valor de r = R para conocer el valor máximo de la potencia
que el estudiante podrá ajustar en su circuito.
( )
( )
( )
En un circuito RLC en serie se desea encontrar la máxima y mínima frecuencia
angular que puede alcanzar la amplitud de voltaje entre los extremos del inductor.
Formulación matemática. Primero dibujamos el diagrama físico, la corriente en amperios
que fluye a través de la bobina, como se ilustra, tenemos:

8. 7
L: inductor
R: resistencia
C: condensador
( ) ( ) ( ) ( )
Por definición se sabe que el voltaje de un inductor en un circuito RCL corresponde a las
siguiente relaciones :
( )
( )
√ ( )
Para determinar el valor máximo y mínimo de la amplitud de voltaje , aplicaremos la
primera derivada:
( )
( ) √ ( )
(√ ( ) )
( )
(√ ( ) )

9. 8
( )
√ ( ) ( ( ) )
( ( ) )
( )
(√ ( ) )
( )
√ ( )
√ ( )
( )
( ( ) )
( )
√ ( )
√ ( )
( ) ( )
( ( ) )
( )
(√ ( ) ) ( ) ( )
√ ( )
( ( ) )
( )
( ( ) ) ( )
√ ( )
( ( ) )
( )
√ ( ) (( ( ) ))

10. 9
( )
√ ( )
(( ( ) ))
√ ( )
(( ( ) ))
√ ( )
(√ ( ) ) ( )
√
El inductor encontrara la frecuencia angular máxima cuando √ y la frecuencia
minima cuando √ ; dependera ademas de las magnitudes de los elementos
resistencia y capacitor que se encuentran conectados en serie para este caso .

11. 10
Un generador con una Fem en volts “e” se conecta en serie con un inductor “L” en
unidades de henrios. Si el interruptor K se cierra en tiempo t = 0, establezca la mínima
caída de voltaje instantáneo.
Formulación matemática. Primero dibujamos el diagrama físico, la corriente en amperios que
fluye a través de la bobina, como se ilustra, tenemos:
La tensión se origina al variar la corriente que circula por la bobina y se auto induce una
tensión en la misma:
( )
Donde es la variación de corriente en el tiempo.
De forma general la bobina tiene el siguiente comportamiento:
( )
i: corriente instantánea
Imáx : corriente máxima admitida

12. 11
Para calcular la mínima tensión de autoinducción, derivaremos y usaremos la relación de
corriente.
( )
De acuerdo al comportamiento y a la gráfica se sabe que Imáx es un valor fijo, por lo tanto:
( )
( )
( )
Por definición se conoce que la reactancia inductiva es
( )
( )

13. 12
Con la expresión hallar el valor máximo para la tensión , :
el valor mínimo lo obtenemos cuando ( )
La caída de voltaje mínima a través del inductor se produce cuando la reactancia indica un
retraso de la tensión con respecto a la intensidad.
Conclusiones
 En conclusión resolver un problema de optimización consiste en encontrar el
valor que deben tomar las variables para hacer óptima la función objetivo
satisfaciendo el conjunto de restricciones. No hay un método único y directo para
encontrar la mejor solución a todos los problemas, el método a ser usado depende de
la naturaleza de las funciones a optimizar.
 La experiencia y la creatividad ayuda mucho en la tarea de escoger el método
de optimización a emplear en cada caso, en muchas ocasiones se utilizarán dos o más
de ellos simultáneamente.
 La optimización hace referencia a la acción y efecto de optimizar. En términos
generales, se refiere a la capacidad de hacer o resolver alguna cosa de la manera más
eficiente posible y, en el mejor de los casos, utilizando la menor cantidad de recursos.

14. 13
Enlace a slideshare
Bibliografía
Criterio de la Primera y Segunda derivada - PFM Matemática- Grupo 1. (s. f.). PFM
Matemática- Grupo 1. Recuperado 11 de febrero de 2021, de
https://sites.google.com/site/usilmatematicatello/criterio-de-la-primera-y-segunda-derivada
Optimización. (2020, 7 julio). Wikipedia.
https://es.wikipedia.org/wiki/Optimización_(matemática)
Problemas de Optimizar (cálculo diferencial). (2017, 21 noviembre). Didactalia: material
educativo. https://didactalia.net/comunidad/materialeducativo/recurso/problemas-de-
optimizar-calculo-diferencial/b2ab1866-9c8b-4917-9606-0457c24525ed
Problemas de optimización (cálculo diferencial). (s. f.). Problemas de optimización
(cálculo diferencial). Recuperado 11 de febrero de 2021, de
https://www.problemasyecuaciones.com/funciones/optimizar/problemas-resueltos-optimizar-
maximizar-minimizar-funciones-extremos-derivada.html
Problemas de Optimización. (s. f.). Problemas de Optimización.
http://www.objetos.unam.mx/matematicas/matema/Daplica/da_aplicacion09_d.html#:%7E:te
xt=Problemas%20de%20Optimizaci%C3%B3n&text=Se%20llama%20as%C3%AD%20a%2
0un,nuestro%20caso%2C%20de%20una%20variable.

15. 14
Problemas de optimización | La Guía de Matemática. (s. f.). Problemas de optimización |
La Guía de Matemática. https://matematica.laguia2000.com/general/problemas-de-
optimizacion