El documento describe técnicas de integración, en particular la integración por sustitución trigonométrica, que permite transformar integrales complejas en más simples mediante el uso de un triángulo rectángulo. Se detalla el procedimiento para identificar raíces y convertir integrales algebraicas en trigonométricas, incluyendo pasos específicos para realizar la sustitución y resolver la integral resultante. Finalmente, se anima a practicar el método presentado y se menciona que el tema se podrá repasar en un manual.

1. Existen algunas técnicas que nos permiten Resolver
Integrales que no podrían integrarse ni con fórmula directa
ni realizando operaciones.
Estas TÉCNICAS se llaman
ARTIFICIOS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACIÓN POR PARTES
Son tres
MÉTODO DEL TRIANGULO
principalmente y sus
nombres son:
FRACCIONES PARCIALES
1

2. El Artificio que vamos a explicar en este pequeño tutorial
se llama:
INTEGRACIÓN POR EL MÉTODO DEL TRIÁNGULO
O SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Este artificio de integración consiste en cambiar una integral
compleja en una nueva integral.
La Integral Original está en términos de la variable “X” y
la Nueva Integral estará en términos de la variable “Z”
∫ dx
X2 √ 4 + X2
. Pasos del
método
Trigonométrico
.
∫ Sec(z) dz
4 Tg2 (z)
.
Integral Original Nueva Integral
2

3. Si a la INTEGRAL ORIGINAL le
aplicamos los PASOS DEL
MÉTODO DEL TRIANGULO
tendríamos como resultado…
POR EJEMPLO
supongamos que ésta
es la Integral Original. Una NUEVA INTEGRAL en
La variable que aquí se términos de la variable “Z”
puede observar es la esta integral es más fácil de
“X” resolver que la ORIGINAL
∫ dx
X2 √ 4 + X2
. Pasos del
método
Trigonométrico
.
∫ Sec(z) dz
4 Tg2 (z)
.
Integral Original Nueva Integral
3

4. Sustitución Trigonométrica o Método
del triángulo
La única condición necesaria para
cambiar una Integral algebraica y
convertirla en Integral
Trigonométrica usando este Esta raíz puede
estar en el
artificio de integración, es que en la
Denominador o
integral original se encuentre una raíz
en el Numerador
cuadrada con dos términos al
de la Integral
cuadrado, sumándose o restándose, en
Original
su interior .
a2 – b2 x2 a2 + b2 x2  b2 x2 – a2
ejemplo ejemplo ejemplo
4 – 9 x2 5 + x2  6 x2 – 9 4

5. Sustitución Trigonométrica o Método
del triángulo
Por ejemplo
Supongamos que la Integral
Original es:
Lo primero que tenemos que hacer es
∫ dx
X2 √ 4 + X2
. identificar una raíz con dos términos al
cuadrado en su interior
Aquí está la raíz
√ 4 + X2
La separamos de la Integral y
sacamos la raíz cuadrada de
2 X
cada uno de sus términos
5

6. Sustitución Trigonométrica o Método
del triángulo
Ahora tenemos tres términos
Integral Original
1. La raíz √ 4 + X2
2. La “X” X ∫ dx
X2 √ 4 + X2
.
3. La raíz de la constante 2
Para lograr la transformación de
algebraico a trigonométrico se
emplea un TRIÁNGULO √ 4 + X2
RECTÁNGULO que se forma con la X
RAÍZ de la INTEGRAL ORIGINAL
colocando sus términos en los z
lados del TRIÁNGULO de la 2
siguiente manera…
6

7. Sustitución Trigonométrica o Método
del triángulo
Vamos a ver algo de teoría con respecto a cómo se forma
el triángulo. El acomodo de los tres datos de la raíz cambia
de acuerdo a que si ésta es positiva o negativa, veamos la
teoría.
z
7

8. Sustitución Trigonométrica o Método
del triángulo
Si la raíz de la INTEGRAL
ORIGINAL es positiva, la
raíz se coloca en la Sec (z) = hip/ady a2 + x2 = a Sec (z)
hipotenusa del triángulo
rectángulo, la constante Tg (z) = op / ady x = a Tg (z)
se pone siempre en el
adyacente
Sen (z) = op/hip x = a Sen(z)
Si la raíz es negativa, el
primer término dentro Cos (z) = ady/hip a2 – x2 = a Cos(z)
de la raíz es la
hipotenusa.
Si la constante no es la
Sec (z) = hip/ady z x = a Sec (z)
hipotenusa, se
acostumbra ponerla Tg (z) = op / ady a2 – x2 = a Tg (z)
siempre en el adyacente,
y la variable en el
opuesto 8

9. Sustitución Trigonométrica o Método
del triángulo
Sec (z) = hip/ady a2 + x2 = a Sec (z)
Estas Tg (z) = op / ady x = a Tg (z)
funciones nos
van a ayudar
a transformar
Sen (z) = op/hip x = a Sen(z)
la integral
original por Cos (z) = ady/hip a2 – x2 = a Cos(z)
una nueva
integral en
términos de Z
Sec (z) = hip/ady x = a Sec (z)
Tg (z) = op / ady a2 – x2 = a Tg (z)
9

10. Sustitución Trigonométrica o Método
del triángulo
Pasos para usar el Método del Triángulo
1. Identificar una raíz cuadrada con dos términos al cuadrado en su
interior.
2. Seleccionar el triángulo adecuado para la raíz cuadrada identificada.
3. Sacar de cada triángulo DOS funciones trigonométricas; de una función
trigonométrica despejar raíz, de otra despejar la X y derivar la X para
obtener dx
4. Remplazar cada elemento de la integral original por su equivalente en
términos trigonométricos
5. Resolver la nueva integral empleando fórmulas directas o bien
identidades y principios trigonométricos
6. Remplazar el resultado final por términos de X empleando el triangulo
seleccionado anteriormente.
Paso 1 Paso 2 Paso 3
∫ dx
X2 √ 4 + X2
.
X
√ 4 + X2 Sec (z) = hip/ady
Tg (z) = op / ady
4 + x2 = 2 Sec (z)
x = 2 Tg (z)
dx = 2 Sec2(z) dz
2 10

11. Sustitución Trigonométrica o Método
del triangulo
Pasos para usar el Método del Triángulo
4. Remplazar cada elemento de la integral original
por su equivalente en términos trigonométricos
Esta es la dx
Pasos del Método del
Triángulo
∫ dx
X2 √ 4 + X2
.
4 + x2 = 2 Sec (z)
x = 2 Tg (z)
∫ 2Sec2(z) dz .
(2Tg(z))2 2Sec(z)
dx = 2 Sec2(z) dz
Integral Original
Esta es Esta es la
En los pasos anteriores 1,2 y 3 se obtuvieron la X2 RAIZ
estas igualaciones. Con ellas vamos a
remplazar cada término de la integral
original (x, raíz y dx) por funciones Nueva Integral
trigonométricas 11

12. Sustitución Trigonométrica o Método
del triangulo
Pasos para usar el Método del Triángulo
Sólo haremos ejercicios con este método hasta el
paso 4 que consiste en transformar una integral
algebraica en trigonométrica empleando un
triángulo rectángulo. Los pasos 5 y 6 son para
resolver la integral pero esos se verán en otra
ocasión
12

13. Ejemplo 1 Primer Paso:
Identificar una raíz cuadrada con dos
términos al cuadrado en su interior.
∫ Paso 1
x = 2 Tg Z 4 + x2 = 2 Sec Z
dx = 2 Sec2Z dz
Paso 2
La “x” siempre se deriva Paso 3
Tercer Paso:
Segundo Paso: Sacar de cada triángulo DOS
Seleccionar el triángulo adecuado funciones trigonométricas; de una
para la raíz cuadrada identificada. función trigonométrica despejar
En este caso la raíz es positiva por lo raíz, de otra despejar la X y
que debe de colocarse en la derivar la X para obtener dx
hipotenusa del triángulo
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14. Ejemplo 1
Cuarto Paso:
Ahora con estos tres elementos ( x, dx y  ) se hace la
∫ transformación de la integral cambiando todas las “x”
por su equivalente trigonométrico. La raíz también se
cambia e igualmente la “dx” se quita y se coloca lo que
vale según la derivada
Paso 4
Pasos del Método del
Triángulo
∫ dx
X2 √ 4 + X2
.
4 + x2 = 2 Sec (z)
x = 2 Tg (z)
∫ 2Sec2(z) dz .
(2Tg(z))2 2Sec(z)
dx = 2 Sec2(z) dz
Integral Original Nueva Integral
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15. Por hoy ha sido todo.
Ahora a practicar, este tema lo podrás
repasar en tu manual, se llama:
“ARTIFICIO DE INTEGRACIÓN POR EL
MÉTODO DEL TRIÁNGULO O
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA”
GRACIAS