La transformada de Fourier mapea funciones entre un espacio de funciones y otro espacio de funciones. Se define mediante una integral llamada integral de contorno. Existen transformadas inversas que permiten recuperar la función original a partir de su transformada. El teorema de inversión de Fourier justifica el nombre de transformada de Fourier inversa. Se presentan ejemplos del cálculo de transformadas de Fourier de funciones simples como impulsos y funciones exponenciales.

1. Republica Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Popular Para La Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Extensión San Cristóbal
Paola Ruiz
25809343

2. La Transformada de Fourier es una aplicación lineal esta definida y goza de una
serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a
espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.
de una función se define mediante una integral,a esta integral se le
llama integral de contorno. El hecho es que las transformadas integrales aparecen
en pares de transformadas. si se transforma en mediante una
transformada integral , entonces se puede recuperar la
función mediante otra transformada integral, , llamada
transformada inversa. A las funciones y se les llama núcleos de sus
transformadas respectivas. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo
justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada.
El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de
complementos yuxtapuestos.
se F(x) una función definida en -∞ a ∞ entonces su transformada de Fourier no es
mas que el coeficiente cw de la integral de Fourier en forma compeleja para F(x)

3. Definición formal
Sea f una función Lebesgue integrable:
La transformada de Fourier de f es la función
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una
estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F (f)es una función
acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede
demostrarse que F (f)es continua.
La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:
Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada
de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema
de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de
Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del
integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos
complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la Varianza para
cada función.
Transformada de Fourier

4. Transformada Inversa de Fourier
Transformada de Fourier de funciones simples
TEOREMAS
Teorema1
Teorema2
Teorema3
Teorema 4
Teorema 5
Teorema 6
Teorema 7

5. Teorema 8
Teorema 9
Teorema 10
Teorema 11
Teorema 12

9. Ejemplo
Encontrar la trasformada de Fourier de la función impulso
Definición de impulso:
y
Ejemplo 1
Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función:
SOLUCIÓN:
Por propiedades del valor absoluto se sabe que:
Entonces:

10. entonces al evaluar estos resultados por sus determinados parámetros se sabe
que al evaluarlo por los límites infinito(00) y menos infinito (-00) el resultado es
cero por lo tanto:
Ejemplo 2
Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función: ¿F[f(t)](w)?
SOLUCIÓN:
Ejemplo 3

11. Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función: ¿F[f(t)](w)?
, donde k y a son constantes
SOLUCIÓN:
Por propiedad de la forma exponencial compleja del Seno se sabe que:
por lo tanto al aplicar la identidad anterior al resultado se obtiene:
}
Ejemplo4
a.) Demostrar que la transformada de fourier del escalón unitario esF[ ] =
Solución:

12. b.) Demostrar que la transformad de Fourier deF[ ] =
Ejemplo 5
Encuentre la Transformada de Fourier de definida por :
Donde
Solución :
De Acuerdo con :
Se tiene que

13. Ejemplo6
Esto lo Podemos re-escribir como
entonces
Ejemplo7
Encuentre su transformada de Fourier
Observamos que hay un corrimiento
entonces la transformada nos queda
Ejemplo8
Encuentre la transformada

14. Ejemplo9
encuentre la transformada de Fourier.
Ejemplo10
Encontrar la transformada inversa
Ejemplo11

16. Ejemplo12
Demostrar que :
Partiendo de la definicion
Por lo tanto demostramos que:

17. Ejemplo13