Óptica - Hecht

´Optica
Eugene Hecht
Alfred Zajac
Cap´ıtulos seleccionados del libro original por
Juan Manuel Enrique Mu˜nido
26 de abril de 2002
Formateado con LATEX 2ε
en Debian GNU/Linux 3.0

Versi´on Preliminar
2 Juan Manuel Enrique Mu˜nido

Índice general
1. Movimiento Ondulatorio 5
1.1. Ondas Unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Ondas Armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Fase y Velocidad de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Representación Compleja de las Ondas Unidimensionales 12
1.4. Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Ecuación Diferencial de Onda Tridimensional . . . . . . . . . . . 17
1.6. Ondas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7. Ondas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8. Ondas Escalares y Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Teor´ıa Electromagnética, Fotones y Luz 25
2.1. Leyes Básicas de la Teor´ıa Electromagnética . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1. Ley de Inducción de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2. Ley de Gauss Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3. Ley de Gauss Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.4. Ley Circuital de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.5. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Ondas Electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Ondas Electromagnéticas en Medios No Conductores . . . . . . . 35
2.3.1. Dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2. Propagación de la Luz a través de un Medio Dieléctrico . 41
2.4. Energ´ıa de las Ondas Electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.1. Irradiancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3. Tratamiento Electromganético de la Propagación de la Luz 47
3.1. Ondas en una Interfase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.1. Deducción de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . . . . . . 50
3.1.2. Interpretación de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . . . . 53
4. Superposición de Ondas 59
4.1. Suma de Ondas de la Misma Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1. El Método Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.2. El Método Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.3. Suma de Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.4. Ondas Estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2. Suma de Ondas de Diferente Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . 68
3

ÍNDICE GENERAL
4.2.1. Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.2. Velocidad de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5. Interferencias 73
5.1. Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2. Condiciones para la Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3. Interferómetros de División de Frente de Onda . . . . . . . . . . 79
5.4. Pel´ıculas Dieléctricas. Interferencia de dos Haces . . . . . . . . . 83
5.4.1. Franjas de Igual Inclinación . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4.2. Franjas de Igual Espesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6. Difracción 89
6.1. Difracción de Fraunhofer por una Rendija . . . . . . . . . . . . . 90

CAPÍTULO 1
Movimiento Ondulatorio
Índice General
1.1. Ondas Unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Ondas Armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Fase y Velocidad de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Representación Compleja de las Ondas Unidimen-
sionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Ecuación Diferencial de Onda Tridimensional . . . 17
1.6. Ondas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7. Ondas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8. Ondas Escalares y Vectoriales . . . . . . . . . . . . . 23
5

CAPÍTULO 1. MOVIMIENTO ONDULATORIO
SECCIÓN 1.1
Ondas Unidimensionales
Sea una perturbación ψ que viaja en la dirección positiva de x con una
velocidad constante v. La naturaleza espec´ıfica de la perturbación no es por
el momento importante. Podr´ıa ser el desplazamiento vertical de una cuerda,
o de la magnitud de un campo eléctrico o magnético asociado con una onda
electromagnética, o aun la amplitud de la probabilidad cuántica de una onda de
materia.
Como la perturbación está en movimiento, debe ser una función tanto de la
posición como del tiempo y se puede, por consiguiente, escribir como:
ψ = f(x, t) (1.1)
La forma de la perturbación en cualquier instante se puede encontrar man-
teniendo el tiempo constante en un determinado valor, por ejemplo t = 0. En
este caso:
ψ(x, t)t=0 = f(x, 0) = f(x) (1.2)
la función ψ(x, t) representa la forma o perfil de la onda en un momento dado.
El proceso es análogo a tomar una “fotograf´ıa” del pulso que va viajando. Por
el momento el estudio se limitará a una onda que no cambia su forma mientras
avanza a través del espacio. Tras un tiempo t desde la producción del pulso
de la onda, éste recorre una distancia vt a lo largo del eje x de un sistema
de coordenadas S, pero en todos los aspectos permanece inalterado. Si ahora
se introduce un sistema de coordenadas S que viaja junto con el pulso a la
velocidad v, en este sistema ψ ya no es una función del tiempo, y puesto que se
mueve junto con S se ve un perfil constante estacionario con la misma forma
funcional de la ecuación (1.2). Aqu´ı, el eje coordenado es x en lugar de x, de
tal forma que:
ψ = f(x ) (1.3)
La perturbación se ve igual para cualquier valor de t en S como lo era en S
para t = 0 cuando S y S ten´ıan un origen común. Se deduce que:
x = x − vt (1.4)
de tal forma que ψ se puede escribir en términos de las variables asociadas con
el sistema S como:
ψ(x) = f(x − vt) (1.5)
Entonces esto representa la forma más general de la función de onda unidimen-
sional. De un modo espec´ıfico, sólamente se tiene que escoger la forma (1.2) y
entonces sustituir x − vt por x en f(x). La expresión resultante describe una
onda móvil que tiene el perfil deseado. Si se verifica la forma de la ecuación

1.1. ONDAS UNIDIMENSIONALES
(1.5) examinando ψ despues de un incremento ∆t de tiempo y un aumento
correspondiente en x de v∆t, se encuentra:
f[(x + v∆t) − v(t + ∆t)] = f(x − vt)
y el perfil está inalterado.
Similarmente, si la onda estuviese viajando en la dirección negativa de x, es
decir, hacia la izquierda, la ecuación (1.5) quedar´ıa:
ψ = f(x + vt), con v > 0 (1.6)
Por consiguiente, se puede concluir que, independientemente de la forma de la
perturbación, las variables x y t deben aparecer en la función como una unidad;
es decir, como una variable simple de la forma x vt. La ecuación (1.5) se
expresa a menudo equivalentemente como una función de t − x/v ya que:
f(x − vt) = F −
x − vt
v
= F(t − x/v) (1.7)
Se desea usar la información deducida hasta aqu´ı para desarrollar la forma
general de la ecuación diferencial de onda unidimensional. Con ese propósito, se
toma la derivada parcial de ψ(x, t) con respecto a x manteniendo t constante.
Usando x = x vt se tiene:
∂ψ
∂x
=
∂f
∂x
∂x
∂x
=
∂f
∂x
ya que
∂x
∂x
= 1 (1.8)
Si se mantiene x constante, la derivada parcial con respecto al tiempo es:
∂ψ
∂t
=
∂f
∂x
∂x
∂t
= v
∂f
∂x
(1.9)
Combinando las ecuaciones (1.8) y (1.9) se obtiene:
∂ψ
∂t
= v
∂ψ
∂x
(1.10)
Esto dice que la rapidez de cambio de ψ con t y con x es igual, excepto por
una constante multiplicativa. Conociendo de antemano que se necesitarán dos
constantes para especificar una onda, se puede anticipar una ecuación de onda
de segundo orden. Tomando las segundas derivadas parciales de las ecuaciones
(1.8) y (1.9), se obtiene:
∂2
ψ
∂x2
=
∂
∂x
∂f
∂x
=
∂
∂x
∂f
∂x
∂x
∂x
=
∂2
f
∂x 2
y
∂2
ψ
∂t2
=
∂
∂t
v
∂f
∂x
=
∂
∂x
v
∂f
∂x
∂x
∂t
= v2 ∂2
f
∂x 2
Combinando estas ecuaciones se obtiene:
∂2
ψ
∂x2
=
1
v2
∂2
ψ
∂t2
(1.11)
Juan Manuel Enrique Muñido 7

que es la ecuación diferencial de onda en una dimensión. Es claro de la forma de
la ecuación (1.11) que si dos funciones de ondas diferentes ψ1 y ψ2 son cada una
soluciones diferentes, entonces (ψ1 + ψ2) es también una solución. 1
De acuerdo
con esto, la ecuación de onda se satisface de manera más general por una función
de onda que tiene la forma:
ψ = C1f(x − vt) + C2g(x + vt) (1.12)
donde C1 y C2 son constantes y las funciones son diferenciables dos veces. Esto
es claramente la suma de dos ondas que viajan en direcciones opuestas a lo
largo del eje x con la misma velocidad pero no necesariamente el mismo perfil.
El principio de superposición es inherente en esta ecuación.
SECCIÓN 1.2
Ondas Armónicas
Hasta ahora no se ha dado una dependencia funcional expl´ıcita a la función
de onda ψ(x, t), es decir, no se ha especificado su forma. La forma de onda
más simple tiene como perfil una curva seno o coseno. Estas se conocen varia-
damente como ondas senoidales, ondas armónicas simples, o más sucintamente
como ondas armónicas. Cualquier forma de onda se puede sintetizar por una
superposición de ondas armónicas y por consiguiente ellas toman un significado
especial.
Se escoge para el perfil la función simple:
ψ(x, t)t=0 = f(x, 0) = f(x) = A sin kx = ψ(x) (1.13)
donde k es una constante positiva conocida como el número de propagación y
kx está expresado en radianes. El seno var´ıa de +1 a −1 de manera que el
máximo valor de ψ(x) es A. Este máximo de la perturbación se conoce como
la amplitud de la onda. A fin de transformar la ecuación (1.13) en una onda
progresiva que viaja con velocidad v en la dirección positiva de x, se necesita
simplemente reemplazar x por x − vt, en cuyo caso:
ψ(x, t) = f(x − vt) = A sin k(x − vt) (1.14)
Esto es claramente una solución de la ecuación diferencial de onda (1.11). Man-
teniendo fijas bien sea x o t resulta una perturbación senoidal de tal forma que
la onda es periódica tanto en el espacio como en el tiempo. El per´ıodo espa-
cial se conoce como la longitud de la onda y se denota por λ. Un aumento o
disminución en x en la cantidad λ debe dejar ψ inalterado, es decir:
ψ(x, t) = ψ(x ± λ, t) (1.15)
1Ya que ψ1 y ψ2 son soluciones:
∂2ψ1
∂x2
=
1
v2
∂2ψ1
∂t2
y
∂2ψ2
∂x2
=
1
v2
∂2ψ2
∂t2
Sumando éstas, se obtiene:
∂2ψ1
∂x2
+
∂2ψ2
∂x2
=
1
v2
∂2ψ1
∂t2
+
∂2ψ2
∂t2
⇒
∂
∂x2
(ψ1 + ψ2) =
1
v2
∂2
∂t2
(ψ1 + ψ2),
de manera que (ψ1 + ψ2) es también una solución de la ecuación (1.11)

1.2. ONDAS ARMÓNICAS
En el caso de una onda armónica, esto es equivalente a alterar el argumento de
la función seno en ±2π. Por consiguiente:
sin k(x − vt) = sin k[(x ± λ) − vt] = sin[k(x − vt) ± 2π]
y as´ı
|kλ| = 2π
o, ya que k y λ son números positivos
k = 2π/λ (1.16)
En forma completamente análoga, se puede examinar el per´ıodo temporal, τ. Esta
es la cantidad de tiempo que le toma a una onda completa pasar un observador
estacionario. En este caso, es el comportamiento repetitivo de la onda en el
tiempo el que es de interés, de manera que:
ψ(x, t) = ψ(x, t ± τ) (1.17)
y
sin k(x − vt) = sin k[x − v(t ± τ)] = sin[k(x − vt) ± 2π]
Por consiguiente:
|kvτ| = 2π
Pero todas estas son cantidades positivas y as´ı
kvτ = 2π (1.18)
o
2π
λ
vτ = 2π
de lo cual se sigue que
τ =
λ
v
(1.19)
El per´ıodo es el número de unidades de tiempo por onda, el inverso del cual es
la frecuencia ν o el número de ondas por unidad de tiempo. Entonces:
ν ≡
1
τ
(ciclos/s o Hertz)
y la ecuación (1.19) queda:
v = νλ (m/s) (1.20)
Hay otras dos cantidades que se usan a menudo en la literatura del movimiento
ondulatorio que son la frecuencia angular:
ω ≡
2π
τ
(radianes/s) (1.21)
y el número de onda:
κ ≡
1
λ
(m−1
) (1.22)

La longitud de onda, per´ıodo, frecuencia, frecuencia angular, número de onda
y número de propagación describen aspectos de la naturaleza repetitiva de una
onda en el espacio y en el tiempo. Estos conceptos se aplican igualmente bien a
ondas que no son armónicas siempre que cada perfil de onda esté formado por
un patrón regularmente repetitivo. Hasta ahora se han definido un número de
cantidades que caracterizan varios aspectos del movimiento ondulatorio, según
lo cual existe un número equivalente de formulaciones de una onda armónica
progresiva. Algunas de las más comunes de éstas son:
ψ = A sin k(x vt)
ψ = A sin 2π
x
λ
t
τ
(1.23)
ψ = A sin 2π(κx vt) (1.24)
ψ = A sin(kx ωt) (1.25)
ψ = A sin 2πν
x
v
t (1.26)
Debe notarse que todas estas ondas son de extensión infinita, es decir para cual-
quier valor fijo de t, x var´ıa de −∞ a +∞. Cada onda tiene sólo una frecuencia
constante y por consiguiente se dice que es monocromática.
SECCIÓN 1.3
Fase y Velocidad de Fase
Sea la función de onda armónica de la forma:
ψ(x, t) = A sin(kx − ωt)
El argumento completo de la función seno se conoce como la fase ϕ de la onda,
de manera que:
ϕ = (kx − ωt) (1.27)
Para x = 0 y t = 0 se verifica:
ψ(x, t)x=0
t=0
= ψ(0, 0) = 0
el cual es ciertamente un caso especial. Más generalmente se puede escribir.
ψ(x, t) = A sin(kx − ωt + ε) (1.28)
donde ε es la fase inicial o edad del ángulo. Un sentido f´ısico del significado
de ε se puede obtener imaginando que se desea producir una onda armónica
progresiva en una cuerda tensa. A fin de generar ondas armónicas, la mano
que sostiene la cuerda tendr´ıa que moverse de tal forma que su desplazamiento
vertical y fuese proporcional al negativo de su aceleración, es decir, el movimiento
es armónico simple. Pero en x = 0 y t = 0 la mano ciertamente no necesita estar
en el eje x cuando está a punto de moverse hacia abajo. Podr´ıa, por supuesto,
comenzar su movimiento en un balanceo hacia arriba, en cuyo caso ε = π. En
este último caso:
ψ(x, t) = y(x, t) = A sin(kx − ωt + π)

1.3. FASE Y VELOCIDAD DE FASE
el cual es equivalente a:
ψ(x, t) = A sin(ωt − kx)
o
ψ(x, t) = A cos ωt − kx −
π
2
La edad del ángulo es entonces justamente la contribución constante a la fase
que se origina en el generador y es independiente de qué tan distante en el
espacio y qué tan lejos en el tiempo ha viajado la onda.
La fase de una perturbación como ψ(x, t) dada por la ecuación (1.28) es:
ϕ(x, t) = kx − ωt + ε (1.29)
y es obviamente una función de x y t. En efecto, la derivada parcial de ϕ con
respecto a t, manteniendo x constante, es la rapidez de cambio de la fase con el
tiempo:
∂ϕ
∂t x
= ω (1.30)
Similarmente, la rapidez del cambio de la fase con la distancia, manteniendo t
constante, es:
∂ϕ
∂x t
= k (1.31)
Estas dos expresiones deben traer a la mente una ecuación de la teor´ıa de
derivadas parciales, una usada muy frecuentemente en termodinámica, o sea:
∂x
∂t ϕ
=
−(∂ϕ/∂t)x
(∂ϕ/∂x)t
(1.32)
El término de la izquierda representa la velocidad de propagación de un punto
de fase constante. Escogiendo cualquier punto del perfil de la onda, al moverse
la onda en el espacio, el desplazamiento y del punto permanece constante. Ya
que la única variable en la función de la onda armónica es la fase, ella también
debe ser constante. Esto es, la fase está fija en un valor tal que y permanece
constante correspondiendo al punto seleccionado. El punto se mueve junto con
el perfil con la velocidad v y as´ı también lo hace la condición de fase constante.
Tomando la derivada parcial de ϕ apropiada como se da por el ejemplo en
la ecuación (1.29) y sustituyéndola en la ecuación (1.32) se obtiene:
∂x
∂t ϕ
= ±
ω
k
= ±v (1.33)
Esta es la rapidez con la cual el perfil se mueve y se conoce comúnmente como
la velocidad de fase. La velocidad de fase lleva un signo positivo cuando la onda
se mueve en la dirección en que aumenta x y negativo en la dirección en que

disminuye x. Esto concuerda con el desarrollo de v como la magnitud de la
velocidad de la onda.
Considérese la idea de la propagación de fase constante y cómo se relaciona
con cualquiera de las ecuaciones de onda armónica, d´ıgase:
ψ = A sin k(x vt)
con
ϕ = k(x − vt) = constante;
cuando t aumenta, x debe aumentar. Aún si x < 0 tal que ϕ < 0, x debe
aumentar, es decir, se hace menos negativa. Aqu´ı, entonces, la condición de fase
constante se mueve en la dirección en que aumenta x. Para:
ϕ = k(x − vt) = constante
cuando t aumenta, x puede ser positiva y decreciente o negativa y haciéndose
más negativa. En cualquier caso, la condición de fase constante se mueve en la
dirección en que disminuye x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1
Representación
Compleja
de las
Ondas
Unidimen-
sionales
Al desarrollar el análisis de los fenómenos ondulatorios se hará claro que las
funciones seno y coseno que describen las ondas armónicas son poco adecuadas
para la mayor´ıa de los propósitos. Al hacerse más complicadas las expresiones
que se están formulando, las manipulaciones trigonométricas que se requieren
para enfrentarse con ellas se hacen aún menos atractivas. La representación de
ondas con números complejos ofrece una descripción alternativa que es mate-
máticamente más simple de trabajar. En efecto, la forma exponencial compleja
de la ecuación de onda se usa ampliamente en mecánica clásica y cuántica, y
también en óptica.
El número complejo z tiene la forma:
z = x + iy (1.34)
donde i =
√
−1. Las partes real e imaginaria de z son respectivamente x e y
donde ambas, x e y, son números reales. En términos de las coordenadas polares
(r, θ), se tiene:
x = r cos θ
y = r sin θ
La fórmula de Euler: 2
eiθ
= cos θ + i sin θ
permite escribir:
z = reiθ
= r cos θ + ir sin θ,
donde r es la magnitud de z, y θ es el ángulo de fase de z, en radianes. La
magnitud a menudo se denota por |z| y se conoce como el módulo o valor
absoluto del número complejo. El complejo conjugado, indicado por un aster´ısco,
se encuentra reemplazando i donde quiera que aparezca, por −i, tal que:



z∗
= (x + iy)∗
= x − iy
z∗
= r(cos θ − i sin θ)
z∗
= re−iθ
2Si se tiene cualquier duda acerca de esta identidad, se toma la diferencial de z = cos θ +
i sin θ donde r = 1. Esto da dz = izdθ, y una integración da z = eiθ.

1.3. FASE Y VELOCIDAD DE FASE
Las operaciones de adición y sustracción son inmediatas:
z1 ± z2 = (x1 + iy1) ± (x2 + iy2)
y por consiguiente:
z1 ± z2 = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2)
Obsérvese que este proceso es muy similar a la adición de vectores por compo-
nentes.
La multiplicación y la división se expresan de manera más simple en forma
polar:
z1z2 = r1r2ei(θ1+θ2)
y
z1
z2
=
r1
r2
ei(θ1θ2)
Vale la pena en este punto mencionar un número de hechos útiles, que serán de
valor en los cálculos futuros. Se deduce fácilmente de las fórmulas de adición
trigonométricas ordinarias que:
ez1+z2
= ez1
ez2
donde, por lo tanto, si z1 = x y z2 = iy,
ez
= ex+iy
= ex
eiy
.
El módulo de una cantidad compleja está dado por:
|z| ≡
√
zz∗
tal que:
|ez
| = ex
.
En vista de que cos 2π = 1 y sin 2π = 0,
ei2π
= 1;
similarmente:
eiπ
= e−iπ
= −1 y ei π
2 = i
La función ez
es periódica, es decir, se repite a s´ı misma cada i2π:
ez+i2π
= ez
ei2π
= ez
.
Cualquier número complejo se puede representar como la suma de una parte
real Re(z) y una parte imaginaria Im(z):
z = Re(z) + iIm(z)
tal que:
Re(z) =
1
2
(z + z∗
) y Im(z) =
1
2i
(z − z∗
).
De la forma polar donde:
Re(z) = r cos θ y Im(z) = r sin θ,

es claro que cualquier parte se puede escoger para describir una onda armóni-
ca. Se acostumbra, sin embargo, escoger la parte real en cuyo caso una onda
armónica se escribe como:
ψ(x, t) = Re Aei(ωt−kx+ε)
, (1.35)
la cual es, por supuesto, equivalente a:
ψ(x, t) = A cos(ωt − kx + ε).
De aqu´ı en adelante, siempre que sea conveniente se escribirá la función de onda
como:
ψ(x, t) = Aei(ωt−kx+ε)
= Aeiϕ
, (1.36)
y se utilizará esta forma compleja en los cálculos requeridos. Esto se hace a
fin de sacarle partido a la facilidad de manejo de las exponenciales complejas.
Sólo después de llegar a un resultado final, y solamente si se desea representar
la onda verdadera, se necesita tomar la parte real. De acuerdo con esto se ha
hecho muy común escribir ψ(x, t), como la ecuación (1.36), donde se entiende
que la onda real es la parte real.
SECCIÓN 1.4
Ondas Planas
La onda plana es quizá el ejemplo más simple de una onda tridimensional.
Existe en un instante dado, cuando todas las superficies sobre las cuales una
perturbación tiene fase constante forman un conjunto de planos, cada uno ge-
neralmente perpendicular a la dirección de propagación. Hay razones prácticas
para estudiar este tipo de perturbaciones, una de las cuales es que usando sis-
temas ópticos se pueden producir fácilmente luz semejante a ondas planas.
La expresión matemática para un plano perpendicular a un vector dado k
y que pasa a través de algún punto (x0, y0, z0) es bastante fácil de deducir. El
vector de posición, en términos de sus componentes en coordenadas cartesianas,
es:
r ≡ (x, y, z).
Comienza en algún origen arbitrario O y termina en el punto (x, y, z) el cual
puede, por el momento, estar en cualquier lugar en el espacio. Poniendo:
(r − r0) · k = 0 (1.37)
se fuerza al vector (r − r0) a barrer un plano perpendicular a k, cuando su punto
extremo (x, y, z) toma todos los valores permitidos. Con:
k ≡ (kx, ky, kz). (1.38)
la ecuación (1.37) se puede expresar en la forma:
kx (x − x0) + ky (y − y0) + kz (z − z0) = 0 (1.39)

1.4. ONDAS PLANAS
o como:
kxx + kyy + kzz = a (1.40)
donde:
a = kxx0 + kyy0 + kzz0 = constante. (1.41)
La forma más concisa de la ecuación de un plano perpendicular a k es entonces:
k · r = a = constante (1.42)
El plano es el lugar geométrico de todos los puntos cuya proyección en la direc-
ción k es una constante.
Se puede ahora construir un conjunto de planos sobre los cuales ψ(r) var´ıa
senoidalmente, es decir:
ψ (r) = A sin k · r (1.43)
ψ (r) = A cos k · r (1.44)
o
ψ (r) = Aeik·r
(1.45)
Para cada una de estas expresiones ψ (r) es constante sobre cada plano definido
por k · r = constante. Como se manejan funciones armónicas, se deben repetir a
s´ı mismas en el espacio de un desplazamiento de λ en la dirección de k. Si no se
ponen l´ımites a r, los planos son de extensión infinita y la perturbación ocupa
claramente todo el espacio.
La naturaleza espacialmente repetitiva de estas funciones se puede expresar
por:
ψ (r) = ψ r +
λk
k
(1.46)
donde k es la mangitud de k y k/k es un vector unitario paralelo a él. En la
forma exponencial, equivale a:
Aeik·r
= Aeik·(r+λk/k) = Aeik·r
eiλk
.
Para que sea cierto, se debe tener:
eiλk
= 1 = ei2π
;
por consiguiente:
λk = 2π

y
k =
2π
λ
.
El vector k, cuya magnitud es el número de propagación k (ya introducido), se
llama el vector propagación.
En cualquier punto fijo en el espacio donde k · r es constante, la fase es
constante y también lo es ψ (r); en resumen, los planos están inmóviles. Para
hacer que las cosas se muevan, ψ (r) debe hacerse variar en el tiempo, algo que
se puede lograr introduciendo la dependencia en el tiempo en una forma análoga
a la de una onda unidimensional. Aqu´ı entonces:
ψ (r, t) = Aei(k·r+ωt) (1.47)
con A, ω y k constantes. A medida que esta perturbación viaja a lo largo de
la dirección k se le puede asignar una fase correspondiente en cada punto en
el espacio y en el tiempo. En cualquier instante, las superficies que unen todos
los puntos de igual fase se conocen como frentes de onda o superficies de onda.
Obsérvese que la función de onda tendrá un valor constante sobre el frente de
onda solamente si la amplitud A tiene un valor fijo en el frente. En general, A
es una función de r y puede no ser constante sobre todo el espacio o ni siquiera
sobre un frente de onda. En el último caso, se dice que la onda es inhomogénea;
pero a efectos prácticos no interesa este tipo de perturbación, a menos que se
consideren haces de luz láser y reflexión total interna.
La velocidad de fase de una onda plana, dada por la ecuación (1.47) es equiva-
lente a la velocidad de propagación del frente de onda. La componente escalar de
r en la dirección de k es rk. La perturbación en un frente de onda es constante,
de manera que después de un tiempo dt, si el frente se mueve a lo largo de k
una distancia drk, se debe tener:
ψ (r, t) = ψ (rk + drk, t + dt) = ψ (rk, t) . (1.48)
En forma exponencial, o sea:
Aei(k·r ωt) = Aei(krk+kdrk ωt ωdt)
= Aei(krk ωt)
;
por consiguiente:
kdrk = ±ωdt
y la magnitud de la velocidad de la onda drk/dt es:
drk
dt
= ±
ω
k
= ±v (1.49)
Se podr´ıa haber anticipado este resultado girando el sistema coordenado de tal
forma que k fuese paralelo al eje x. Para esa orientación:
ψ (r, t) = Aei(kx ωt)
ya que k · r = krk = kx. La onda hab´ıa sido as´ı reducida efectivamente a una
perturbación unidimensional ya discutida anteriormente.

1.5. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ONDA TRIDIMENSIONAL
La onda armónica plana a menudo se escribe en coordenadas Cartesianas
como:
ψ(x, y, z, t) = Aei(kxx+kyy+kzz ωt)
(1.50)
o
ψ(x, y, z, t) = Aei[k(αx+βy+γz ωt)] (1.51)
donde α, β y γ son los cosenos directores de k. En términos de sus componentes,
la magnitud del vector de propagación está dado por:
k = k = k2
x + k2
y + k2
z (1.52)
y por supuesto:
α2
+ β2
+ γ2
= 1. (1.53)
Se ha examinado ondas planas dando énfasis particular a las ondas armó-
nicas. El significado especial de estas ondas es doble: primero, f´ısicamente, las
ondas senoidales se pueden generar en forma relativamente simple usando al-
guna forma de oscilador armónico; segundo, cualquier onda tridimensional se
puede expresar como una combinación de ondas planas, cada una con distinta
amplitud y dirección de propagación.
Se puede ciertamente imaginar una serie de ondas planas como aquellas
donde la perturbación var´ıa en alguna forma que no es armónica. Las ondas
armónicas planas son, en efecto, un caso especial de una solución más general
de ondas planas.
SECCIÓN 1.5
Ecuación Diferencial de Onda Tridimensional
De todas las ondas tridimensionales, solamente la onda plana (armónica o
no) se mueve a través del espacio con un perfil que no cambia. Entonces es claro
que la idea según la cual una onda es la de propagación de una perturbación
cuyo perfil no se altera, es algo defectuosa. Esta dificultad se puede vencer
definiendo una onda como cualquier solución de la ecuación diferencial de onda.
Obviamente, lo que se necesita ahora es una ecuación de onda tridimensional.
Esta deber´ıa ser bastante fácil de obtener, ya que se puede adivinar su forma
generalizando la expresión unidimensional (1.11). En coordenadas Cartesianas,
las variables de posición x, y y z deben ciertamente aparecer simétricamente 3
en la ecuación tridimensional, un hecho que se debe recordar. La función de onda
ψ(x, y, z, t) dada por la ecuación (1.51) es una solución particular de la ecuación
3No hay distinción caracter´ıstica para ninguno de los ejes en coordenadas Cartesianas. Se
debe por lo tanto se capaz de cambiar lo nombres de, digamos, x a z, y a x y z a y (manteniendo
el sistema derecho sin alterar la ecuación diferencial de onda.

diferencial que se está buscando. En analog´ıa con la deducción de la ecuación
(1.11) se calculan las siguientes derivadas parciales de la ecuación (1.51):
∂2
ψ
∂x2
= −α2
k2
ψ (1.54)
∂2
ψ
∂y2
= −β2
k2
ψ (1.55)
∂2
ψ
∂z2
= −γ2
k2
ψ (1.56)
y
∂2
ψ
∂t2
= −ω2
ψ (1.57)
Sumando las tres derivadas espaciales y utilizando el hecho de que α2
+β2
+γ2
=
1 se obtiene:
∂2
ψ
∂x2
+
∂2
ψ
∂y2
+
∂2
ψ
∂z2
= −k2
ψ (1.58)
Combinando esto con la derivada respecto del tiempo (1.57) y recordando que
v = ω/k, se llega a:
∂2
ψ
∂x2
+
∂2
ψ
∂y2
+
∂2
ψ
∂z2
=
1
v2
∂2
ψ
∂t2
(1.59)
la ecuación diferencial de onda tridimensional. Obsérvese que x, y, y z aparecen
simétricamente y la forma es precisamente la que se esperar´ıa de la generaliza-
ción de la ecuación (1.11).
La ecuación (1.59) se describe generalmente en una forma más concisa in-
troduciendo el operador Laplaciano:
2
≡
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
(1.60)
de donde queda simplemente:
2
ψ =
1
v2
∂2
ψ
∂t2
(1.61)
Ahora que se tiene esta ecuación, que es la más importante, obsérvese de nuevo
la onda plana y se vea cómo se adecúa al esquema de cosas. Una función de la
forma:
ψ(x, y, z, t) = Aeik(αx+βy+γz vt)
(1.62)
es equivalente a la ecuación (1.51) y como tal, es una solución de la ecuación
(1.61). Se puede demostrar también que:
ψ(x, y, z, t) = f(αx + βy + γz − vt) (1.63)

1.6. ONDAS ESFÉRICAS
y
ψ(x, y, z, t) = g(αx + βy + γz + vt) (1.64)
son soluciones de ondas planas de la ecuación diferencial de onda. Las funciones f
y g, que son dos veces diferenciables, son arbitrarias y ciertamente no necesitan
ser armónicas. Una combinación lineal de estas es también una solución y se
puede escribir esto de una manera ligeramente diferente como:
ψ (r, t) = C1f r · k/k − vt + C2g r · k/k + vt (1.65)
donde C1 y C2 son constantes.
Las coordenadas Cartesianas son particularmente adecuadas para describir
ondas planas. Sin embargo, cuando aparecen varias situaciones f´ısicas, se puede
frecuentemente hacer mejor uso de las simetr´ıas existentes por medio de otras
representaciones coordenadas.
SECCIÓN 1.6
Ondas Esféricas
Imag´ınese una pequeña esfera pulsátil rodeada por un fluido. Al contraerse
y expandirse la fuente, genera variaciones en la presión que se propagan hacia
afuera como ondas esféricas.
Considérese ahora una fuente puntual ideal de luz. La radiación que emana
de ella fluye radialmente hacia afuera, uniformemente en todas direcciones. Se
dice que la fuente es isotrópica y los frentes de onda resultantes son de nuevo
esferas concéntricas con diámetro creciente cuando se expanden en el espacio que
las rodea. La simetr´ıa obvia de los frentes de onda sugiere que podr´ıa ser más
conveniente describirlos matemáticamente, en términos de coordenadas polares
esféricas. En esta representación el operador Laplaciano es:
2
≡
1
r2
∂
∂r
r2 ∂
∂r
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
r2 sin2
θ
∂
∂φ
(1.66)
donde r, θ y φ se definen por:
x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ.
Recordando que se está buscando una descripción de las ondas esféricas, de
ondas que son esféricamente simétricas, es decir, aquellas caracterizadas por el
hecho de que no dependen de θ ni de φ de modo que:
ψ (r) = ψ(r, θ, φ) = ψ(r). (1.67)
Entonces el Laplaciano de ψ(r) es simplemente:
2
ψ(r) =
1
r2
∂
∂r
r2 ∂ψ
∂r
(1.68)

Este resultado se puede obtener sin estar familiarizados con la ecuación (1.66).
Comenzando con la forma cartesiana del Laplaciano (1.60), se opera sobre la
función de onda ψ(r) simétricamente esférica y se convierte cada término a
coordenadas polares. Examinando solamente la dependencia de x, se tiene:
∂ψ
∂x
=
∂ψ
∂r
∂r
∂x
y
∂2
ψ
∂x2
=
∂2
ψ
∂r2
∂r
∂x
2
+
∂ψ
∂r
∂r2
∂x2
ya que:
ψ (r) = ψ(r).
Usando:
x2
+ y2
+ z2
= r2
se tiene:
∂r
∂x
=
x
r
,
∂2
r
∂x2
=
1
r
∂
∂x
(x) + x
∂
∂x
1
r
=
1
r
1 −
x2
r2
y
∂2
ψ
∂x2
=
x2
r2
∂2
ψ
∂r2
+
1
r
1 −
x2
r2
∂ψ
∂r
Ahora, teniendo ∂2
ψ/∂x2
, se forma ∂2
ψ/∂y2
y ∂2
ψ/∂z2
, y sumando se obtiene:
2
ψ(r) =
∂2
ψ
∂r2
+
2
r
∂ψ
∂r
,
la cual es equivalente a la ecuación (1.68). Este resultado se puede expresar en
forma ligeramente diferente:
2
ψ =
1
r
∂2
∂r2
(rψ) (1.69)
La ecuación diferencial de onda (1.61) se puede escribir entonces como:
1
r
∂2
∂r2
(rψ) =
1
v2
∂2
ψ
∂t2
(1.70)
Multiplicando ambos lados por r, se obtiene:
∂2
∂r2
(rψ) =
1
v2
∂2
∂t2
(rψ) (1.71)
Obsérvese que esta expresión es precisamente la ecuación diferencial de onda
unidimensional (1.11), donde la variable espacial es r y la función de onda es el
producto (rψ). La solución de la ecuación (1.71) es entonces simplemente:
rψ(r, t) = f(r − vt)
o
ψ(r, t) =
f(r − vt)
r
(1.72)

1.6. ONDAS ESFÉRICAS
Esto representa una onda esférica que progresa radialmente hacia afuera desde el
origen, con una velocidad constante v, y que tiene una forma funcional arbitraria
f. Otra solución está dada por:
ψ(r, t) =
g(r + vt)
r
y en este caso la onda está convergiendo hacia el origen. 4
El hecho de que esta
expresión falla en r = 0 es de poca importancia práctica.
Un caso especial de la solución general:
ψ(r, t) = C1
f(r − vt)
r
+ C2
g(r + vt)
r
. (1.73)
es la onda esférica armónica
ψ(r, t) =
A
r
cos k(r vt) (1.74)
o
ψ(r, t) =
A
r
eik(r vt)
(1.75)
donde la constante A se llama la intensidad de la fuente. Para cualquier valor fijo
del tiempo, esto representa una agrupación de esferas concéntricas que llenan
todo el espacio. Cada frente de onda, o superficie de fase constante está dado
por:
kr = constante
Obsérvese que la amplitud de cualquier onda esférica es una función de r,
donde el término r−1
sirve como un factor de atenuación. Al contrario que una
onda plana, una onda esférica disminuye en amplitud, con lo cual cambia su
perfil, cuando se expande y se aleja del origen. 5
Un pulso de onda esférica tiene
la misma extensión en el espacio en cualquier punto a lo largo de cualquier radio
r, es decir, el ancho del pulso a lo largo del eje r es una constante. Se podr´ıa
haber considerado una onda armónica, en lugar de un pulso. En este caso, la
perturbación senoidal estar´ıa acotada por las curvas:
ψ =
A
r
y ψ = −
A
r
La onda esférica que viaja hacia afuera emanada de una fuente puntual,
y la onda que viaja hacia adentro convergiendo a un punto, son ciertamente
idealizaciones. En realidad la luz solamente se aproxima a ondas esféricas como
también sólo se aproxima a ondas planas.
Cuando un frente de onda esférica se propaga hacia afuera, su radio aumen-
ta. Suficientemente lejos de la fuente, una pequeña área del frente de onda se
acercará mucho a una porción de una onda plana.
4Otras soluciones más complicadas existen cuando la onda no es esféricamente simétrica.
5El factor de la atenuación es una consecuencia directa de la conservación de energ´ıa.

SECCIÓN 1.7
Ondas Cil´ındricas
Ahora se examinará brevemente otro frente de onda idealizado, el cilindro
circular infinito. Desafortunadamente un tratamiento matemático preciso es de-
masido complicado para hacerlo aqu´ı. Sin embargo se bosquejará el el procedi-
miento, de tal forma que la función de onda resultante no evoque misticismo.
El Laplaciano de ψ en coordenadas cil´ındricas es:
2
ψ =
1
r
∂
∂r
r
∂ψ
∂r
+
1
r2
∂2
ψ
∂θ2
+
∂2
ψ
∂z2
(1.76)
donde:
x = r cos θ, y = r sin θ, y z = z.
El caso sencillo de simetr´ıa cil´ındrica requiere que:
ψ (r) = ψ(r, θ, z) = ψ(r)
La independencia de θ significa que un plano perpendicular al eje z intersectará
el frente de onda en un c´ırculo, el cual puede variar en r, para diferentes valores
de z. Además, la independencia de z restringe el frente de onda a un cilindro
circular centrado en el eje z y que tiene longitud infinita. La ecuación diferencial
de onda es entonces:
1
r
∂
∂r
r
∂ψ
∂r
=
1
v2
∂2
ψ
∂t2
(1.77)
Se está buscando una expresión para ψ(r), una solución de esta ecuación. Des-
pués de un poco de manipulación en la cual la dependencia del tiempo se separa,
la ecuación (1.77) se convierte en algo que se llama la ecuación de Bessel. Las
soluciones de la ecuación de Bessel para grandes valores de r se aproximan asin-
tóticamente a formas trigonométricas simples. Finalmente, entonces cuando r
es suficientemente grande, se puede escribir:
ψ(r) ≈
A
√
r
eik(r vt)
ψ(r) ≈
A
√
r
cos k(r vt). (1.78)
Esto representa un conjunto de cilindros circulares coaxiales que llenan todo el
espacio y que viajan hacia una fuente lineal infinita o se alejan de ella. No se
pueden ahora encontrar soluciones en términos de funciones arbitrarias como
las hab´ıa tanto para las ondas esféricas (1.73) como para las planas (1.65).
Una onda plana que choca en la parte posterior de una pantalla opaca plana
y que contiene una rendija delgada y larga, producirá una emisión, por esa
rendija, de una perturbación parecida a una onda cil´ındrica. Se ha hecho un uso
extensivo de esta técnica para generar ondas luminosas. Recuérdese que la onda
real, como quiera que sea generada, solamente se aproxima a la representación
matemática idealizada.

1.8. ONDAS ESCALARES Y VECTORIALES
SECCIÓN 1.8
Ondas Escalares y Vectoriales
Hay dos clasificaciones generales de ondas, longitudinales y transversales. La
distinción entre las dos proviene de una diferencia entre la dirección a lo largo
de la cual ocurre la perturbación y la dirección k/k, en la cual se propaga la
perturbación. Esto es más fácil de visualizar cuando se trata de un medio ma-
terial deformable elástico. Una onda longitudinal ocurre cuando las part´ıculas
del medio se desplazan de sus posiciones de equilibrio, en una dirección paralela
a k/k. Se origina una onda transversal cuando la perturbación, en este caso el
desplazamiento del medio, es perpendicular a la dirección de propagación. En
el caso de las ondas transversales, el movimiento ondulatorio está confinado a
un plano fijo en el espacio llamado plano de vibración y por lo tanto se dice
que la onda es linealmente polarizada o polarizada plana. A fin de determinar
por completo la onda, se debe ahora especificar la orientación del plano de vi-
bración, y también la dirección de propagación. Esto es equivalente a resolver
la perturbación en componentes a lo largo de dos ejes mutuamente perpendicu-
lares ambos normales a la dirección de propagación. El ángulo en el cual está
inclinado el plano de vibración es constante, de modo que en cualquier tiempo
las componentes difieren de ψ por una constante multiplicativa y ambas son por
lo tanto soluciones de la ecuación diferencial de onda. Se presenta un hecho muy
significativo: la función de onda, de una onda transversal, se comporta en forma
parecida a una cantidad vectorial. Con la onda moviéndose a lo largo del eje z
se puede escribir:
ψ(z, t) = ψx(z, t)i + ψy(z, t)j, (1.79)
donde, por supuesto, i, j y k son vectores base unitarios en coordenadas carte-
sianas.
Una onda, plana armónica escalar está dada por la expresión:
ψ (r, t) = Aei(k·r ωt)
.
Una onda plana armónica polarizada linealmente está dada por el vector de
onda:
ψ (r, t) = Aei(k·r ωt)
. (1.80)
o en coordenadas cartesianas por:
ψ(x, y, z, t) = Axi + Ayj + Azk ei(kxx+kyy+kzz ωt)
(1.81)
Para este caso donde el plano de vibración está fijo en el espacio, también lo es
la orientación de A. Recuérdese que ψ y A difieren solamente por un escalar y,
como tal, son paralelos el uno al otro y perpendiculares a k/k.
La luz es una onda transversal y es una apreciación de su naturaleza vecto-
rial de gran importancia. Los fenómenos de polarización óptica se pueden tratar
fácilmente en términos de este tipo de visualización ondulatoria vectorial. Para
luz no polarizada, donde el vector de onda cambia de dirección al azar y rápi-
damente, las aproximaciones escalares se hacen útiles, como en las teor´ıas de la
interferencia y la difracción.

CAPÍTULO 2
Teor´ıa Electromagnética,
Fotones y Luz
Índice General
2.1. Leyes Básicas de la Teor´ıa Electromagnética . . . . 26
2.1.1. Ley de Inducción de Faraday . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2. Ley de Gauss Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3. Ley de Gauss Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.4. Ley Circuital de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.5. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Ondas Electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Ondas Electromagnéticas en Medios No Conduc-
tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1. Dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2. Propagación de la Luz a través de un Medio Dieléctrico 41
2.4. Energ´ıa de las Ondas Electromagnéticas . . . . . . . 43
2.4.1. Irradiancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
25

CAPÍTULO 2. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA, FOTONES Y LUZ
SECCIÓN 2.1
Leyes Básicas de la Teor´ıa Electromagnética
El objetivo de esta sección es el de revisar y desarrollar, aunque sea bre-
vemente, algunas de las ideas necesarias para apreciar el concepto de ondas
electromagnéticas.
Se sabe por experimentos que las cargas, aunque estén separadas en el espa-
cio, experimenta una interacción mutua. Como una posible explicación se podr´ıa
especular que cada carga emite (y absorbe) un flujo de part´ıculas indetectables
(fotones virtuales). El flujo de estas part´ıculas entre las cargas se puede conside-
rar como una forma de interacción. Alternativamente, se puede tomar el punto
de vista clásico e imaginar que cada carga está rodeada de algo llamado un cam-
po eléctrico. Entonces se necesita suponer solamente que cada carga interacciona
directamente con el campo eléctrico en el que está sumergido. Entonces, si una
carga q experimenta una fuerza FE, el campo eléctrico E en la posición de la
carga está definido por FE = qE. Además se observa que una carga móvil puede
experimentar otra fuerza FM la cual es proporcional a su velocidad v. Entonces
se tiene que definir aún otro campo, a saber la inducción magnética B, tal que
FM = qv × B. Si ambas fuerzas FE y FM ocurren simultáneamente se dice que
la carga se mueve a través de una región ocupada tanto por campos eléctricos
como magnéticos donde F = qE + qv × B.
Hay otras varias observaciones que se pueden interpretar en términos de estos
campos y al hacerlo as´ı se puede obtener una mejor idea de las propiedades
f´ısicas que se deben atribuir a E y a B. Como se verá, los campos eléctricos
son generados tanto por cargas eléctricas como por campos magnéticos variables
con el tiempo. Similarmente, los campos magnéticos son generados por corrientes
eléctricas y por campos eléctricos variables en el tiempo. Esta interdependencia
de E y de B es el punto clave en la descripción de la luz y su elaboración es la
motivación para mucho de lo que sigue.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Ley
de
Inducción
de Faraday
Michael Faraday hizo numerosas e importantes contribuciones a la teor´ıa
electromagnética. Una de las más significativas fue su descubrimiento de que un
flujo magnético variable en el tiempo, pasando a través de un circuito conduc-
tor cerrado, da como resultado la generación de una corriente alrededor de ese
circuito. El flujo de la inducción magnética (o densidad de flujo magnético B)
a través de un área abierta A, limitada por el circuito conductor está dado por:
ΦB =
A
B · dS. (2.1)
La fuerza electromotriz inducida o f.e.m. producida alrededor del circuito es
entonces:
f.e.m. = −
dΦB
dt
. (2.2)

2.1. LEYES BÁSICAS DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA
Sin embargo, no debe comprometerse demasiado con la imagen de alambres,
corriente y f.e.m. El interés presente son los campos eléctricos y magnéticos
mismos. En efecto, la f.e.m. existe solamente como un resultado de la presencia
de un campo eléctrico dado por:
f.e.m. =
C
E · dL, (2.3)
tomada alrededor de la curva cerrada C, que corresponde al circuito. Igualando
las ecuaciones (2.2) y (2.3) y haciendo uso de la ecuación (2.1) se obtiene:
C
E · dI = −
d
dt
A
B · dS. (2.4)
Se comenzó esta discusión examinando un circuito conductor y se ha llegado a la
ecuación (2.4); esta expresión, excepto por la trayectoria C, no tiene referencia
al circuito f´ısico. En efecto, la trayectoria se puede escoger muy arbitrariamente
y no necesita estar dentro, o cerca de ningún conductor. El campo eléctrico en
la ecuación (2.4) no aparece directamente por la presencia de cargas eléctricas
sino del campo magnético variable con el tiempo. Sin cargas que actúen como
fuentes o sumideros, las l´ıneas de campo se cierran, formando circuitos. Para el
caso en el cual la trayectoria está fija en el espacio y sin cambiar de forma, la
ley de inducción (2.4) se puede reescribir como:
C
E · dI = −
A
∂B
∂t
· dS. (2.5)
Esta, es en s´ı misma una expresión bastante fascinante ya que indica que el
campo magnético variable en el tiempo tendrá un campo eléctrico asociado con
él.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Ley
de Gauss
Eléctrica
Otra de las leyes fundamentales del electromagnetismo recibe su nombre del
matemático alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Ella relaciona el flujo de
la intensidad de campo eléctrico a través de una superficie cerrada A:
ΦE =
A
E · dS (2.6)
con la carga total encerrada. La integral doble lleva un c´ırculo como recordatorio
de que la superficie está cerrada. El vector dS está en la dirección de una normal
hacia afuera. Si el volumen encerrado por A es V , y si dentro de ella hay una
distribución continua de carga ρ, la ley de Gauss es entonces:
A
E · dS =
1
V
ρdV (2.7)

La integral a la izquierda es la diferencia entre la cantidad de flujo hacia adentro
y hacia afuera de cualquier superficie cerrada A. Si hay una diferencia, será
debida a la presencia de fuentes o sumideros del campo eléctrico dentro de A.
Claramente entonces, la integral debe ser proporcional a la carga total encerrada.
La constante se conoce como la permitividad eléctrica del medio. Para el caso
especial del vac´ıo, la permitividad del espacio libre está dada por 0 = 8,8542 ×
10−12
C2
N−1
m−2
. La permitividad de un material se puede expresar en términos
de 0 como:
= Ke 0, (2.8)
donde Ke, la constante dieléctrica (o permitividad relativa), es una cantidad sin
dimensiones, y es la misma para todos los sistemas de unidades. El interés en
Ke anticipa el hecho de que la permitividad está relacionada con la velocidad
de la luz en materiales dieléctricos, como vidrio, cuarzo, etc.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Ley
de Gauss
Magnética
No se conoce una contraparte magnética de la carga eléctrica, es decir, nun-
ca se han encontrado de manera aislada polos magnéticos, aunque se hayan
observado ampliamente incluso en muestras del suelo lunar. A diferencia del
campo eléctrico, la inducción magnética B no diverge o converge hacia algu-
na clase de carga magnética (una fuerza monopolar o una ca´ıda). Los campos
de inducción magnética se pueden describir en función de distribución de co-
rrientes. Realmente, se puede considerar un magneto elemental como si fuera
una pequeña corriente circular donde las l´ıneas de B son continuas y cerradas.
Cualquier superficie cerrada en una región de campo magnético podr´ıa tener
entonces un número igual de l´ıneas de B entrando y saliendo de ésta. Esta si-
tuación se produce por la ausencia de monopolos en el volumen cerrado. el flujo
de inducción magnética ΦB a través de dicha superficie es cero; se tiene entonces
el equivalente magnético de la ley de Gauss:
ΦB =
A
B · dS = 0 (2.9)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Ley
Circuital de
Ampere
Otra ecuación que será de gran interés se debe a André Marie Ampère (1775-
1836). Se conoce como la ley circuital y relaciona una l´ınea integral de B tan-
gente a una curva cerrada C, con la corriente total i que pasa dentro de los
confines de C:
C
B · dI = µ
A
J · dS = µi (2.10)
La superficie abierta A está limitada por C, y J es la corriente por unidad
de área. La cantidad µ se llama la permeabilidad del medio particular. Para
el vac´ıo µ = µ0 (la permeabilidad del espacio libre), que se define como 4π ×
10−7
N s2
C−2
.
Como en la ecuación (2.8):
µ = Kmµ0 (2.11)

2.1. LEYES BÁSICAS DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA
donde Km es la permeabilidad relativa sin dimensiones.
La ecuación (2.10), aunque a menudo es adecuada, no es la verdad com-
pleta. Las cargas móviles no son la única fuente del campo magnético. Esto se
evidencia por el hecho de que mientras se está cargando o descargando un con-
densador, se puede medir un campo B en la región entre sus placas. Este campo
es indistinguible del que rodea los alambres aun cuando ninguna corriente en
realidad atraviesa el condensador. Obsérvese, sin embargo, que si A es el área
de cada placa y Q la carga en ella:
E =
Q
A
Cuando la carga var´ıa, el campo eléctrico cambia y:
∂E
∂t
=
i
A
es efectivamente una densidad de corriente. James C. Maxwell supuso la exis-
tencia de tal mecanismo, al que llamó densidad de corriente de desplazamiento,
definida por:
JD =
∂E
∂t
. (2.12)
La reformulación de la ley de Ampere, como:
C
B · dI = µ
A
J +
∂E
∂t
· dS (2.13)
fue una de las contribuciones más grandes de Maxwell. Aclara que aun cuando
J = 0, un campo E variable en el tiempo estará acompañado por un campo B.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5
Ecuaciones
de Maxwell
El conjunto de expresiones integrales dadas por las ecuaciones (2.5), (2.7),
(2.9) y (2.13) han llegado a conocerse como las ecuaciones de Maxwell. Recuér-
dese que estas son generalizaciones de resultados experimentales. Esta formula-
ción muy simple de las ecuaciones de Maxwell gobierna el comportamiento de
los campos eléctricos y magnéticos en el espacio libre donde = 0, µ = µ0 y
ambas ρ y J son cero. En este caso:
C
E · dI = −
A
∂B
∂t
· dS, (2.14)
C
B · dI = µ0 0
A
∂E
∂t
· dS, (2.15)
A
B · dS = 0, (2.16)
A
E · dS = 0. (2.17)
Obsérvese que excepto por un escalar multiplicativo, los campos eléctricos y
magnéticos aparecen en las ecuaciones con una simetr´ıa notable. Sin embargo

si E afecta a B, B a su vez afectará a E. La simetr´ıa matemática supone una
gran simetr´ıa f´ısica.
Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en forma diferencial la que será
bastante más útil para deducir los aspectos ondulatorios del campo electromag-
nético. Esta transición se puede lograr fácilmente haciendo uso de dos teoremas
del cálculo vectorial, a saber, el teorema de la divergencia de Gauss:
A
F · dS =
V
· FdV
y el teorema de Stokes:
C
F · dI =
A
× F · dS
Aqu´ı la cantidad F no es un vector fijo, sino una función que depende de las
variables de posición. Es una regla que asocia a un vector único, por ejemplo en
coordenadas cartesianas, F(x, y, z) con cada punto (x, y, z) en el espacio. Las
funciones vectoriales valuadas de este tipo, tales como E y B se conocen como
campos vectoriales.
Aplicando el teorema de Stokes a la intensidad de campo eléctrico se tiene:
E · dI = × E · dS
Al comparar esto con la ecuación (2.5) se deduce que:
× E · dS = −
∂E
∂t
· dS
Este resultado debe ser cierto para todas las superficies limitadas por la trayec-
toria C. Esto puede ser el caso solamente si los integrandos son iguales, es decir,
si:
× E = −
∂B
∂t
Una aplicación similar a B del teorema de Stokes, usando la ecuación (2.13) da
como resultado:
× E = µ J +
∂E
∂t
.
El teorema de la divergencia de Gauss aplicado a la intensidad del campo eléc-
trico da:
E · dS = · EdV.
Si se hace uso de la ecuación (2.7) esto queda:
V
· EdV =
1
V
ρdV,
y como esto es cierto para cualquier volumen (es decir, para un dominio cerrado
arbitrario) los dos integrandos deben ser iguales. Por consiguiente, en cualquier
punto (x, y, z, t) en el espacio-tiempo.
· E = ρ/

2.2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
En la misma forma, el teorema de la divergencia de Gauss aplicado al campo B
y combinado con la ecuación (2.9) da:
· B = 0
Las ecuaciones correspondientes para el espacio libre, en coordenadas carte-
sianas, son como sigue:
∂Ez
∂y
−
∂Ey
∂z
= −
∂Bx
∂t
,
∂Ex
∂z
−
∂Ez
∂x
= −
∂By
∂t
,
∂Ey
∂x
−
∂Ex
∂y
= −
∂Bz
∂t
,
(2.18)
∂Ez
∂y
−
∂Ey
∂z
= µ0 0
∂Bx
∂t
,
∂Ex
∂z
−
∂Ez
∂x
= µ0 0
∂By
∂t
,
∂Ey
∂x
−
∂Ex
∂y
= µ0 0
∂Bz
∂t
,
(2.19)
∂Bx
∂x
+
∂By
∂y
+
∂Bz
∂z
= 0, (2.20)
∂Ex
∂x
+
∂Ey
∂y
+
∂Ez
∂z
= 0. (2.21)
La transición se ha hecho entonces de la formulación de las ecuaciones de Max-
well en términos de integrales sobre regiones finitas, a una reformulación en
términos de las derivadas en puntos en el espacio.
Ahora se tiene todo lo que se necesita para comprender el proceso magn´ıfico
por el cual los campos eléctricos y magnéticos acoplados de modo no separado,
y sosteniéndose mutuamente, se propagan hacia el espacio como una entidad
simple, libre de cargas y corrientes, sin materia, sin éter.
SECCIÓN 2.2
Ondas Electromagnéticas
Tres observaciones, a partir de las cuales se puede construir un modelo cuali-
tativo, son fácilmente aprovechables y estas son la perpendicularidad general de
los campos, la simetr´ıa de las ecuaciones de Maxwell, y de la interdependencia
de E y B en esas ecuaciones.
Al estudiar la electricidad y el magnetismo uno pronto se entera del hecho de
que hay un número de relaciones que se describen por productos vectoriales, o si
lo desea, por reglas de la mano derecha. En otras palabras, un suceso de un tipo
produce una respuesta af´ın perpendicularmente dirigida. De interés inmediato
es el hecho de que un campo E, variable en el tiempo, genera un campo B
que es en todas partes perpendicular a la dirección en la que E cambia. En la

misma forma, un campo B variable con el tiempo genera un campo E que es
perpendicular en todas partes a la dirección en la que B cambia. Se podr´ıa, por
lo tanto, anticipar la naturaleza transversal general de los campos E y B en una
perturbación electromagnética.
Ahora, se considerará una carga que de alguna manera se acelera desde el
reposo. Cuando la carga está sin movimiento, tiene asociada a ella un campo
eléctrico uniforme radial que se extiende hasta el infinito. En el instante en que
la carga comienza a moverse, el campo E se acelera en la vecindad de la carga
y esta alteración se propaga hacia el espacio con velocidad finita. El campo
eléctrico variable con el tiempo induce un campo magnético por medio de la
ecuación (2.15) o (2.19). Pero la carga está acelerándose, ∂E/∂t en s´ı misma no
es constante y as´ı el campo B variable con el tiempo genera un campo E, (2.14)
o (2.18), y el proceso continúa con E y B acoplados uno a otro en la forma
de un pulso. A medida que un campo cambia, genera un nuevo campo que se
extiende un poco más allá, y as´ı el punto se mueve de un punto al siguiente a
través del espacio.
Se puede trazar una analog´ıa muy mecanicista, pero muy descriptiva, si se
imaginan las l´ıneas del campo eléctrico como una densa distribución radial de
cuerdas. cuando de alguna manera se sacude, cada cuerda individual se distorsio-
na para formar un pliegue que viaja alejándose de la fuente. Todos se combinan
en cualquier instante para producir un pulso tridimensional, expandiéndose.
Los campos E y B pueden, más apropiadamente, considerarse como dos
aspectos de un sólo fenómeno f´ısico, el campo electromagnético, cuya fuente es
una carga en movimiento. La perturbación, una vez que ha sido generada en el
campo electromagnético, es una onda sin atadura que se mueve más allá de su
fuente e independientemente de ella. Ligados uno a otro como una sola unidad,
los campos magnéticos y eléctricos variables en el tiempo se regeneran uno a
otro en un ciclo sin fin. Las ondas electromagnéticas que llegan a la tierra del
relativamente cercano centro de la galaxia han estado volando durante treinta
mil años.
No se ha considerado aún la dirección de propagación de la onda con respecto
a los campos que la constituyen. Obsérvese, sin embargo, que el alto grado
de simetr´ıa en las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre sugiere que la
perturbación se propagará en una dirección que es simétrica tanto a E como
a B. Eso implicar´ıa que una onda electromagnética no podr´ıa ser puramente
longitudinal (ya que E y B no son paralelos).
Las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre se pueden transformar en
dos expresiones vectoriales extremadamente concisas:
2
E = 0µ0
∂2
E
∂t2
y
2
B = 0µ0
∂2
B
∂t2
El Laplaciano 2
, opera sobre cada componente de E y B de manera que las
dos ecuaciones vectoriales en realidad representa un total de seis ecuaciones
escalares. Dos de estas expresiones, en coordenadas cartesianas son:
∂2
Ex
∂x2
+
∂2
Ex
∂y2
+
∂2
Ex
∂z2
= 0µ0
∂2
Ex
∂t2
(2.22)

2.2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
y
∂2
Ey
∂x2
+
∂2
Ey
∂y2
+
∂2
Ey
∂z2
= 0µ0
∂2
Ex
∂t2
(2.23)
precisamente con la misma forma para Ez, Bx, By y Bz. Ecuaciones de este tipo,
que relacionan las variaciones de espacio y tiempo de alguna cantidad f´ısica, se
estudiaron hace ya mucho por Maxwell y sirvieron para describir el fenómeno
de onda. Cada componente del campo electromagnético (Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz)
obedece, por lo tanto, a la ecuación diferencial escalar de onda:
∂2
ψ
∂x2
+
∂2
ψ
∂y2
+
∂2
ψ
∂z2
=
1
v2
∂2
ψ
∂t2
a condición que:
v =
1
√
0µ0
. (2.24)
A fin de evaluar v Maxwell hizo uso de los resultados de los experimentos eléc-
tricos efectuados en 1856 en Leipzig por Wilhelm Weber (1804-1891) y Rudolph
Kohlrausch (1809-1858). De modo eqivalente, ya que a µ0 se le asigno un valor
de 4π × 10−17
m kg/C2
(en MKS) uno puede determinar 0 directamente de
medidas simples de capacidad. En cualquier caso:
0µ0 ≈ (8,85 × 10−12
s2
C2
/m3
kg)(4π × 10−17
m kg/C2
)
o
0µ0 ≈ 11,12 × 10−18
s2
/m2
.
Y ahora, el momento de la verdad: en el espacio libre, la velocidad predicha de
todas las ondas eléctromagnéticas ser´ıa:
v =
1
√
0µ0
≈ 3 × 108
m/s.
Este valor teórico estaba en notable acuerdo con la velocidad previamente me-
dida de la luz (315300 km/s) determinada por Fizeau. Los resultados de los
experimentos de Fizeau, desarrollados en 1849 usando una rueda dentada rota-
toria, estaban en manos de Maxwell y le hicieron comentar que:
Esta velocidad [es decir, su predicción teórica] está tan cerca de la luz que parece
que tenemos una fuerte razón para concluir que la luz en s´ı misma (incluyendo
calor radiante, y otras radiaciones si las hay) es una perturbación electromag-
nética en la forma de ondas propagadas a través del campo electromagnético de
acuerdo con las leyes electromagnéticas.
Este brillante análisis fue uno de los grandes triunfos intelectuales de todos los
tiempos.
Se ha hecho costumbre designar la velocidad de la luz en el vac´ıo por el
s´ımobolo c, cuyo valor por ahora aceptado es:
c = 2,997924562 × 108
m/s ± 1,1m/s
El carácter transversal de la luz, verificado experimentalmente, se debe ahora
explicar dentro del contexto de la teor´ıa electromagnética. Con ese fin, se consi-
derará el caso bastante simple de una onda plana propagándose en la dirección

positiva de x. La intensidad de campo eléctrico es una solución de la ecuación
diferencial
2
E = 0µ0
∂2
E
∂t2
donde E es constante sobre cada uno de un conjunto infinito de planos perpen-
diculares al eje x. Es, por consiguiente, una función solamente de x y t, es decir
E = E(x, t). Volviéndo a las ecuaciones de Maxwell y en particular a la ecuación
(2.21) (la cual generalmente se lee como la divergencia de E es igual a cero).
Ya que E no es una función ni de y ni de z, la ecuación se reduce a:
∂Ex
∂x
= 0 (2.25)
La componente del campo eléctrico en la dirección de x, es decir, en la direc-
ción de propagación, es constante. Esto no es de importancia, ya que interesa
solamente la onda electromagnética, y no ningún campo no variable que puede
residir en la misma región del espacio. El campo E, asociado con la onda plana
es entonces exlusivamente transversal. Sin pérdida de generalidad, se trabajará
con ondas linealmente polarizadas u ondas planas, donde la dirección de vibra-
ción del vector E es fija. Se puede entonces orientar los ejes coordenados de tal
forma que el campo eléctrico sea paralelo al eje y, donde:
E = Ey(x, t)j (2.26)
Volviéndo a la ecuación (2.18), se deduce que:
∂Ey
∂x
=
∂Bz
∂t
(2.27)
y que Bx y By son constantes, y por consiguiente sin interés por el momento. El
campo B dependiente del tiempo solamente puede tener una componente en la
dirección de z. Es claro entonces que en el espacio libre, la onda electromagnética
plana es, en efecto, transversal.
No se ha especificado la forma de la perturbación y solamente se ha dicho
que era una onda plana. Las conclusiones son por consiguiente muy generales,
aplicándose igualmente bien a pulso como a ondas continuas. Ya se ha dicho
que las funciones armónicas son de particular interés porque cualquier forma
de onda se puede expresar en términos de ondas senoidales usando las técnicas
de Fourier. Por consiguiente, se limitará la discusión a ondas armónicas y se
escribirá Ey(x, t) como:
Ey(x, t) = E0y cos[ω(t − x/c) + ε], (2.28)
siendo c la rapidez de propagación. La densidad de flujo magnético asociado se
puede encontrar por integración directa de la ecuación (2.27), o sea:
Bz = −
∂Ey
∂x
dt.

2.3. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS NO CONDUCTORES
Usando la ecuación (2.28) se obtiene:
Bz = −
E0yω
c
sin[ω(t − x/c) + ε]dt
o
Bz =
1
c
E0y cos[ω(t − x/c) + ε] (2.29)
Se ha omitido la constante de integración, que representa un campo indepen-
diente del tiempo. Comparando este resultado con la ecuación (2.28), es evidente
que:
Ey = cBz. (2.30)
Ya que Ey y Bz difieren solamente por un escalar, tienen as´ı la misma dependen-
cia del tiempo, E y B están en fase en todos los puntos en el espacio. Además,
E = Ey(x, t)j y BBz(x, t)k son mutuamente perpendiculares y su producto
vectorial E × B, apunta en la dirección de propagación i.
Las ondas planas, aunque tienen mucha importancia, no son las únicas so-
luciones de las ecuaciones de Maxwell. La ecuación diferencial de onda permite
muchas soluciones, entre las cuales están las ondas esféricas y cil´ındricas.
SECCIÓN 2.3
Ondas Electromagnéticas en Medios No
Conductores
La respuesta de los materiales dieléctricos o no conductores a los campos
electromagnéticos es de especial interés en la óptica. Se manejarán dieléctricos
transparentes en la forma de lentes, prismas, láminas, pel´ıculas, etc. Sin men-
cionar el océano de aire que las rodea.
El efecto neto de introducir un dieléctrico isotrópico homogéneo en una re-
gión del espacio libre es cambiar 0 a y µ0 a µ en las ecuaciones de Maxwell.
La velocidad de fase en el medio se hace ahora:
v =
1
√
µ
. (2.31)
La razón entre las velocidades de una onda electromagnética en el vac´ıo y en la
materia se conoce como ´ındice de refracción absoluto n y está dado por:
n =
c
v
=
µ
0µ0
. (2.32)
En términos de la permitividad relativa y la permeabilidad relativa del medio,
n queda:
n = KeKm. (2.33)

La gran mayor´ıa de las substancias, con la excepción de los materiales ferromag-
néticos, son sólo muy débilmente magnéticas; ninguna es realmente no magnéti-
ca. Aún as´ı, Km generalmente no se desv´ıa de uno en más de unas pocas partes
en 104
(por ejemplo para el diamante Km = 1−2,2×10−5
). Poniendo Km = 1 en
la fórmula para n resulta una expresión conocida como la relación de Maxwell,
o sea:
n = Ke, (2.34)
aqu´ı se supone que Ke es la constante dieléctrica estática. Como se indica
Gases a 0o C y 1 atm
Substancia
√
Ke n
Aire 1.000294 1.000293
Helio 1.000034 1.000036
Hidrógeno 1.000131 1.000132
Dióxido de carbono 1.00049 1.00045
L´ıquidos a 20o C
Substancia
√
Ke n
Benceno 1.51 1.501
Agua 8.96 1.333
Alcohol et´ılico (etanol 5.08 1.361
Tetracloruro de carbono 4.63 1.461
Bisulfuro de carbono 5.04 1.628
Sólidos a temperatura ambiente
Substancia
√
Ke n
Diamante 4.06 2.419
Ambar 1.6 1.55
S´ılice fundida 1.94 1.458
Cloruro de sodio 2.37 1.50
Cuadro 2.1: Relación de Maxwell.
Los valores de Ke corresponden a las frecuencias más bajas posibles, en algunos casos tan
bajas como 60 Hz, mientras que n está medida a alrededor de 0,5 × 1015Hz. Se usó luz D del
sodio (λ = 589,29 nm).
en la tabla 2.1, esta relación parece ser efectiva solamente para algunos gases
simples. La dificultad aparece porque Ke, y por consiguiente n, son en realidad
dependientes de la frecuencia. La dependencia de n con la longitud de onda (o
color) de la luz es un efecto muy conocido llamado dispersión. En efecto, Sir Isaac
Newton usó prismas para dispersar la luz blanca en sus colores constitutivos
hace más de 300 años y el fenómeno era bien conocido aunque no se entendiera
entonces.
Hay dos preguntas interrelacionadas que vienen a la mente en este punto:
(1) ¿Cuál es la base f´ısica para la dependencia de n con la frecuencia? y (2)
¿Cuál es el mecanismo por el cual la velocidad de fase en un medio se hace
efectivamente diferente de c? Las respuestas para ambas preguntas se pueden
encontrar examinando la interacción de una onda electromagnética incidente
con el arreglo de átomos que constituyen un material dieléctrico.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1
Dispersión
Cuando un dieléctrico se somete a un campo eléctrico aplicado, la distribu-
ción interna de carga se distorsiona bajo su influencia. Esto corrresponde a la
generación de momentos eléctricos dipolares, los cuales, a su vez, contribuyen
al campo interno total. De una manera más clara, el campo eléctrico separa las

cargas positivas y negativas en el medio (cada par de los cuales es un dipolo)
y éstas entonces contribuyen una componente de campo adicional. El momento
dipolar resultante por unidad de volumen se denomina la polarización eléctrica
P. Para la mayor parte de los materiales P y E son proporcionales y se pueden
relacionar satisfactoriamente por:
( − 0)E = P. (2.35)
La redistribución de carga y la consecuente polarización pueden ocurrir por
medio de los siguientes mecanismos. Hay moléculas que tienen un momento di-
polar permanente como resultado de compartir en forma desigual sus electrones
de valencia. Estas se conocen como moléculas polares, de las cuales la molécula
no lineal de agua es un ejemplo bastante t´ıpico. Cada enlace hidrógeno-ox´ıgeno
es covalente polar, con el extremo H positivo con respecto al extremo O. La
agitación térmica mantiene los dipolos moleculares orientados al azar. Con la
introducción de un campo eléctrico, los dipolos se alinean a s´ı mismos y el die-
léctrico toma una polarización orientacional. En el caso de moléculas y átomos
no polares, el campo aplicado distorsiona la nube de electrones, desplazándo-
la relativamente al núcleo y produciendo por consiguiente un momento dipolar.
Además de esta polarización electrónica, hay otro proceso que es espec´ıficamente
aplicable a moléculas, como por ejemplo el cristal iónico NaCL. En la presencia
de un campo eléctrico, los iones positivos y negativos sufren un desplazamiento
uno respecto al otro. Por consiguiente se inducen momentos dipolares, resultan-
do en lo que se llama polarización iónica o atómica.
Si el dieléctrico se somete a una onda electromagnética armónica incidente,
la estructura de las cargas eléctricas internas experimentará fuerzas y/o tor-
ques variables con el tiempo. Estas serán proporcionales a la componente del
campo eléctrico de la onda. 1
Para dieléctricos polares las moléculas en rea-
lidad sufren rotaciones rápidas, alineándose ellas mismas con el campo E(t).
Pero estas moléculas son relativamente grandes y tienen momentos de inercia
apreciables. A altas frecuencias impulsoras ω, las moléculas polares serán inca-
paces de seguir las alteraciones del campo. Sus contribuciones a P disminuirán
y Ke caerá marcadamente. la permitividad relativa del agua es muy constante
desde aproximadamente 80, hasta cerca de 1010
Hz, después de lo cual cae muy
rápidamente.
En contraste, los electrones tienen poca inercia y pueden continuar siguiendo
el campo que contribuye a Ke(ω) aún a frecuencias ópticas (de alrededor de
5 × 1014
Hz). Entonces la dependencia de n en ω está gobernada por el juego
interno de los varios mecanismos de polarización que contribuyen a la frecuencia
particular.
Es posible deducir una expresión anal´ıtica para n(ω) en función de lo que
pasa dentro del medio a nivel atómico. Aun cuando esto es en realidad el dominio
de la mecánica cuántica, el tratamiento clásico lleva a resultados muy similares
y al hacerlo as´ı se provee de un modelo conceptual sumamente útil. En efecto ese
modelo será usado una y otra vez mientras se examine la reflexión, refracción,
difracción y muchos otros fenómenos. Imag´ınese que los electrones exteriores o
de valencia están ligados a sus átomos o moléculas respectivas por una fuerza
1Las fuerzas que surgen de la componente magnética del campo tienen la forma FM =
qv ×B en comparación con FE = qE para la componente eléctrica; pero v c y as´ı se deduce
de la ecuación (2.30) que FM es generalmente despreciable.

elástica restauradora (−meω2
0x) que es proporcional al desplazamiento x de los
electrones del punto de equilibrio. El átomo entonces se parece a un oscilador
forzado clásico que está siendo impulsado por el campo alterno E(t) el cual se
supone que se aplica a lo largo de la dirección x. La fuerza (FE) ejercida sobre
un electrón de carga qe por el campo E(t) de una onda armónica de frecuencia
ω es de la forma:
FE = qeE(t) = qeE0 cos ωt.
Consecuentemente, la segunda ley de Newton da la ecuación del movimiento, es
decir, la suma de las fuerzas es igual a la masa multiplicada por la aceleración:
qeE0 cos ωt − meω2
0x = me
d2
x
dt2
La constante ω0 es la frecuencia natural del oscilador y es igual a la ra´ız cuadrada
de la razón entre la constante elástica y la masa. Es la frecuencia oscilatoria
del sistema no impulsado. Para satisfacer esta expresión x tendrá que ser una
función cuya segunda derivada no sea muy diferente de x misma. Además se
puede anticipar que el electrón oscilará con la misma frecuencia que E(t) y as´ı
se pude “conjeturar” la solución:
x(t) = x0 cos ωt
y sustituirla en la ecuación para evaluar la amplitud de x0. En esta forma se
encuentra que:
x(t) =
qe/me
(ω2
0 − ω2)
E0 cos ωt
o
x(t) =
qe/me
(ω2
0 − ω2)
E(t).
Sin una fuerza impulsora (sin onda incidente) el electrón oscilante vibrará con
su frecuencia de resonancia o natural ω0, E(t) y x(t) tienen el mismo signo, lo
que significa que la carga puede seguir la fuerza aplicada, es decir, que está en
fase con ella. Sin embargo, cuando ω > ω0, el desplazamiento x(t) está en la
dirección opuesta a la de la fuerza instantánea qeE(t) y por consiguiente 180o
fuera de fase con ella. Hay que recordar que se está hablando acerca de dipolos
oscilantes donde para ω0 > ω el movimiento relativo de la carga positiva es
una vibración en la dirección del campo. Por encima de la resonancia la carga
positiva está a 180o
fuera de fase con el campo y se dice que el dipolo está
retrasado π rad.
El momento dipolar es igual a la carga qe multiplicada por su desplazamiento
y si hay N electrones contribuyendo por unidad de volumen, la polarización
eléctrica, o densidad de momentos dipolares, es:
P = qexN
Por consiguiente:
P =
q2
e NE/me
(ω2
0 − ω2)
y de la ecuación (2.35)
= 0 +
P(t)
E(t)
= 0 +
q2
e NE/me
(ω2
0 − ω2)
.

Usando el hecho de que n2
= Ke = / 0 se puede llegar a una expresión para n
como función de ω que se conoce como ecuación de dispersión:
n2
(ω) = 1 +
Nq2
e
0me
1
ω2
0 − ω2
.
Hasta ahora se ha supuesto la existencia de sólo una frecuencia natural ω0. Para
explicar la observación de un comportamiento más complicado, se generalizarán
las cosas suponiendo que hay N moléculas por unidad de volumen cada una con
fj osciladores que tienen frecuencias naturales ω0j donde j = 1, 2, 3... En este
caso:
n2
(ω) = 1 +
Nq2
e
0me j
fj
ω2
0j − ω2
(2.36)
Este es esencialmente el mismo resultado que aparece en el tratamiento cuántico,
con la excepción de que algunos de los términos deber ser reinterpretados. En
efecto, las cantidades ω0j ser´ıan entonces las frecuencias caracter´ısticas a las
cuales un átomo puede abosorber o emitir energ´ıa radiante. Los términos fj
que satisfacen el requisito de que j fj = 1, son los factores de peso conocidos
como la intensidad de los osciladores. Ellos reflejan el énfasis que se debe dar a
cada uno de los modos. Siendo una medida de la probabilidad de ocurrencia de
una transición atómica dada, las fj se conocen también como probabilidades de
transición.
Una reinterpretación similar de los términos fj se requiere aún clásicamente
ya que de acuerdo con los datos experimentales se exige que sean menores que la
unidad. Esto es obviamente contrario a la definición de fj que llevó a la ecuación
(2.36). Se supone entonces que una molécula tiene muchos modos de oscilación
pero que cada uno de ellos tiene una frecuencia e intensidad bien definidas.
Obsérvese que cuando ω es igual a cualquiera de las frecuencias caracter´ısti-
cas, n es discontinua, contrariamente a la observación real. Esto es simplemente
el resultado de haber despreciado el término de amortiguamiento que deber´ıa
de haber aparecido en el denominador de la suma. Incidentalmente, el amorti-
guamiento, en parte, es atribuible a la pérdida de energ´ıa cuando los oscilado-
res forzados (los cuales son, por supuesto, cargas aceleradas) reirradian energ´ıa
electromagnética. En sólidos, l´ıquidos y gases a alta presión (≈ 103
atm), las
distancias interatómicas son aproximadamente 10 veces menores que las de un
gas a TPN. 2 Átomos y moléculas en esta proximidad relativamente cercana
experimentan fuertes interacciones mutuas y resulta una fuerza “friccional”. El
efecto es un amortiguamiento de los osciladores y una disipación de su ener-
g´ıa dentro de la substancia en la forma de calor (movimiento molecular). Este
último proceso se llama absorción.
Si se hubiese incluido un fuerza de amortiguamiento proporcional a la veloci-
dad (de la forma γdx/dt) en la ecuación de movimiento, la ecuación de dispersión
(2.36) hubiese quedado:
n2
(ω) = 1 +
Nq2
e
0me j
fj
ω2
0j − ω2 + iγjω
. (2.37)
2TPN: Temperatura y presión normal = STP Standard Temperature and Pressure.

Mientras que esta expresión está bien para medios enrarecidos tales como gases,
hay aún otra complicación con la que se debe encontrar si se ha de aplicar a
substancias densas. Cada átomo interacciona con el campo eléctrico local en el
que está sumergido. A diferencia de los átomos aislados considerados antes, los
que están en un material denso experimentan también el campo inducido por
sus compañeros. Consecuentemente un átomo “ve” además del campo aplicado
E(t) otro campo, a saber P(t)/3 0. Sin entrar en detalles aqu´ı se puede demostar
que:
n2
− 1
n2 + 2
=
Nq2
e
3 0me j
fj
ω2
0j − ω2 + iγjω
. (2.38)
Hasta ahora se ha estado considerando osciladores electrónicos exclusivamente,
pero los mismos resultados hubiesen sido aplicables para iones ligados a sitios
atómicos fijos. En ese caso me ser´ıa reemplazado por las masas iónicas considera-
blemente mayores. Entonces, mientras la polarización electrónica es importante
sobre el espectro óptico completo, las contribuciones de la polarización iónica
afectan n significativamente sólo en regiones de resonancia (ω0j = ω).
Por el momento se limita la discusión, en su mayor parte, a situaciones donde
la absorción es despreciable (es decir, ω2
0j − ω2
γjω) y n es real, tal que:
n2
− 1
n2 + 2
=
Nq2
e
3 0me j
fj
ω2
0j − ω2
. (2.39)
Los gases transparentes, l´ıquidos y sólidos sin color tienen sus frecuencias
caracter´ısticas fuera de la región visible del espectro (lo cual es la razón por la
que ellos, en efecto, sean incoloros y transparentes). En particular, los vidrios
tiene frecuencias naturales efectivas mayores a las del visible, en el ultravioleta,
donde se hacen opacos. En los casos en los cuales ω2
0j ω2
por comparación ω2
puede ser despreciada en la ecuación (2.39) dando un ´ındice de refracción esen-
cialmente constante sobre esa región. Por ejemplo, las frecuencias caracter´ısticas
importantes para los vidrios ocurren en longitudes de onda de alrededor de 100
nm. El centro del rango visible es aproximadamente cinco veces aquello y, de
ah´ı, ω2
0j ω2
. Obsérvese que cuando ω aumenta hacia ω0j, (ω2
0j −ω2
) disminuye
y n aumenta gradualmente con la frecuencia. Esto se llama dispersión normal.
En la región ultravioleta, cuando ω se aproxima a una frecuencia natural, los
osciladores comenzarán a resonar. Sus amplitudes aumentarán marcadamente
y esto será acompañado por amortiguamiento y una fuerte absorción de ener-
g´ıa de la onda incidente. Cuando ω0j = ω en la ecuación (2.38) el término de
amortiguamiento obviamente se hace dominante. Las regiones cercanas a ω0j
son llamadas bandas de absorción. Ah´ı dn/dω es negativa y se dice que el proce-
so es dispersión anómala (es decir, anormal). Si pasa luz blanca a través de un
prisma de vidrio, el azúl que la constituye dendr´ıa un ´ındice mayor que el rojo
y por consiguiente será desviado en un ángulo mayor. En contraste, si se usa un
prisma celda que contiene una solución colorante con una banda de absorción en
el visible, el espectro será marcadamente alterado. Todas las substancias poseen
bandas de absorción en alguna región del espectro electromagnético de frecuen-
cia de manera que el término dispersión anómala, habiendo sido acarreado desde
finales del siglo XIX, es ciertamente un nombre mal puesto.

Como se ha visto, los átomos dentro de una molécula también pueden vibrar
alrededor de sus posiciones de equilibrio. Pero los núcleos son masivos y as´ı las
frecuencias oscilatorias naturales serán bajas, en el infrarrojo. Moléculas como
H2O y CO2 tendrán resonancia tanto en el infrarrojo como en el ultravioleta.
Si el agua fuese atrapada dentro de una pieza de vidrio durante su fabricación,
estos osciladores moleculares estar´ıan a disposición y existir´ıa una banda de ab-
sorción infrarroja. La presencia de óxidos también resultará en una absorcion
infrarroja. A las frecuencias aún más bajas de las ondas de radio, el vidrio será
de nuevo transparente. En comparación, una pieza de vidrio coloreado eviden-
temente tiene una resonancia en el visible donde absorbe un rango particular de
frecuencia transmitiendo el color complementario.
Como punto final, obsérvese que se la frecuencia impulsora es mayor que
cualquiera de los términos ω0j, entonces n2
< 1 y n < 1. Tal situación puede
ocurrir por ejemplo si se dirigen rayos X a una placa de vidrio. Este es un resul-
tado intrigante ya que lleva a v > c en aparente contradicción con la relatividad
especial.
Haciendo un resumen parcial entonces, en la región visible del espectro, la
polarización electrónica es el mecanismo operativo que determina n(ω). Clási-
camente se imagina a los osciladores electrónicos vibrando a la frecuencia de la
onda incidente. Cuando la frecuencia de la onda es apreciablemente diferente de
una frecuencia caracter´ıstica o natural, las oscilaciones son pequeñas y hay poca
absorción. En resonancia, sin embargo, las amplitudes del oscilador aumentan
y el campo hace una cantidad mayor de trabajo sobre la carga. La energ´ıa elec-
tromagnética removida de la onda y convertida en energ´ıa mecánica se disipa
entonces térmicamente dentro de la substancia y se habla de un pico o banda de
absorción. El material, aunque es esencialmente transparente a otras frecuencias,
es muy opaco a la radiación incidente en sus frecuencias caracter´ısticas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2
Propagación
de la Luz a
través de
un Medio
Dieléctrico
El proceso mediante el cual la luz se propaga a través de un medio con una
velocidad diferente de c es bastante complicado y esta sección está dedicada
a hacerlo al menos f´ısicamente razonable, dentro del contexto del modelo de
osciladores simples.
Considérese una onda electromagnética incidente o primaria (en el vac´ıo) in-
cidiendo sobre un dielectrico. Como se ha visto, ella polarizará el medio y llevará
a los osciladores electrónicos a vibración forzada. Ellas a su vez, reirradiarán o
esparcirán energ´ıa en la forma de pequeñas ondas electromagnéticas de la misma
frecuencia de la onda incidente. En una substancia cuyos átomos o moléculas
están dispuestos con algún grado de regularidad, estas ondas tenderán a inter-
ferirse mutuamente. Esto es, se superpondrán en ciertas regiones donde ellas se
reforzarán o reducirán unas a otras en grados variables. Como ejemplo exam´ı-
nese la configuración muy simplificada de una onda refractada en un arreglo
ordenado de átomos. Ah´ı una onda plana incidente en dicho arreglo se esparce
en un patrón complicado de pequeñas ondas. Estas a su vez se superponen pa-
ra formar frentes de ondas planas a los que se denomina onda secundaria. Por
razones emp´ıricas, solamente, se puede anticipar que la onda primaria residual
y la onda secundaria se combinarán para dar la única perturbación observada
dentro del medio, es decir la onda refractada.
Tanto la onda electromagnética primaria como la secundaria se propagan
a través de los espacios interatómicos con la velocidad c. Y aún as´ı el medio
ciertamente puede poseer un´ındice de refracción diferente de uno. Puede suceder

que la onda refractada tenga una velocidad de fase menor, igual, o aún mayor
que c. La clave de esta aparente contradicción reside en la relación de fase entre
las ondas secundaria y primaria.
El modelo clásico predice que los osciladores electrónicos serán capaces de vi-
brar casi completamente en fase con la fuerza impulsora, es decir la perturbación
primaria, solamente a frecuencias relativamente bajas. Cuando la frecuencia del
campo electromagnético aumenta, los osciladores se retrasarán, su fase estará
retrasada por una cantidad proporcionalmente grande. Un análisis detallado lle-
va al hecho de que en resonancia el retraso de la fase llegará a 90o
, aumentando
después a casi 180o
, o media longitud de onda, a frecuencias muy superiores al
valor caracter´ıstico particular.
Además de estos retrasos hay otro efecto que debe ser considerado. Cuando
las ondas esparcidas se recombinan, la onda secundaria resultante está retrasada
ella misma con respecto a los osciladores en 90o
.
El efecto combinado de ambos de estos mecanismos es que a frecuencias
inferiores a la de la resonancia, la onda secundaria está retrasada con respecto a
la primaria en una cantidad entre 90o
y 180o
aproximadamente, mientras que a
frecuencias superiores a la de la resonancia el retraso está entre 180o
y 270o
. Pero
un retraso de fase de δ 180o
es equivalente a un retraso de 360o
−δ [ejemplo,
cos(θ − 270o
) = cos(θ + 90o
)].
Para recapitular, debajo de la resonancia la onda secundaria va atrás de la
primaria; arriba de la resonancia va delante de la primaria. La onda resultante
o refractada acordemente estará adelante o detrás de la onda incidente (espacio
libre) en una cierta cantidad ε. El proceso es progresivo y a medida que la luz
atraviesa el medio la fase es continuamente retardada o avanzada.
Ahora se desea mostrar que esto es precisamente equivalente a un cambio
en la velocidad de fase. En el espacio libre la perturbación en algún punto P se
puede escribir como:
Ep(t) = E0 cos ωt
Si P está rodeada por un dieléctrico, habrá un desplazamiento acumulativo de
la fase εP el cual fue formado mientras la onda se mov´ıa a través del medio hacia
P. El número de crestas de onda que llegan al dieléctrico por segundo debe ser
el mismo que el número por segundo que se propaga en él. Esto es, la frecuencia
debe ser la misma en el vac´ıo que en el dieléctrico, aun cuando la longitud de
onda y la rapidez pueden ser diferentes. Una vez más, pero esta vez en el medio,
la perturbación en P es:
EP (t) = E0 cos(ωt − εP )
Un observador en P tendr´ıa que esperar un tiempo mayor para que una cresta
dada llegue cuando él está en el medio que lo hubiera tenido que esperar en
el vac´ıo. En otras palabras, si se imaginan dos ondas paralelas de la misma
frecuencia, una en el vac´ıo y una en un medio material, la onda en el vac´ıo
pasará P un tiempo εP /ω antes que la otra onda. Entonces es claro que un
retraso de fase de εP corresponde a una reducción en la rapidez, v < c y n > 1.
Similarmente, un adelanto de fase produce un aumento en la rapidez, v > c
y n < 1. El proceso de esparcimiento es continuo y as´ı los desplazamientos
acumulativos de fase se van sumando conforme la luz penetra en el medio. Es
decir, ε es una función de la longitud del dieléctrico atravesado; como debe ser
si v es constante.

2.4. ENERGÍA DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
Una solución rigurosa del problema de la propagación se conoce como el
teorema de extinción de Ewald-Ossen. Aunque el formulismo matemático, que
involucra ecuaciones integrodiferenciales, es demasiado complicado para tratarlo
aqu´ı, los resultados son ciertamente de interés. Se encuentra que los osciladores
electrónicos generan una onda electromagnética que tiene esencialmente dos
términos. Uno de estos anula exactamente la onda primaria dentro del medio.
El otro, que es la única perturbación que permanece, se propaga a través del
dieléctrico con una velocidad v = c/n como la onda refractada.
SECCIÓN 2.4
Energ´ıa de las Ondas Electromagnéticas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1
Irradiancia
Una de las propiedades más significativas de la onda electromagnética es
que transporta energ´ıa. La luz de la estrella más cercana viaja a 25 millones de
millones de millas para llegar a la Tierra y aún as´ı lleva suficiente energ´ıa para
hacer trabajo en los electrones dentro del ojo. Cualquier campo electromagnético
existe dentro de alguna región del espacio y es por consiguiente muy natural
considerar la energ´ıa radiante por unidad de volumen, es decir la densidad de
energ´ıa u. Para un campo eléctrico solo, se puede calcular la densidad de energ´ıa
(por ejemplo entre las placas de un condensador) y obtener:
uE =
0
2
E2
. (2.40)
Similarmente, la densidad de energ´ıa del campo B solo (como se podr´ıa calcular
dentro de un toroide) es:
uB =
1
2µ0
B2
. (2.41)
Recuérdese que se dedujo la relación E = cB espec´ıficamente para una onda
plana (2.30), no obstante será muy general en su simplicidad. Se deduce entonces
que:
uE = uB (2.42)
El flujo de energ´ıa a través del espacio en la forma de una onda electromagnética
es compartido por los campos constitutivos, eléctricos y magnéticos. Ya que:
u = uE + uB,
claramente:
u = 0E2
(2.43)
o equivalentemente:
u =
1
µ0
B2
. (2.44)

Para representar el flujo de energ´ıa electromagnética, se simbolizará con S el
transporte de energ´ıa por unidad de tiempo (la potencia) a través de un área
unitaria. En el sistema MKS tendr´ıa entonces las unidades de W/m2
. Sea una
onda electromagnética que viaja con una velocidad c a través de un área A.
Durante un intervalo de tiempo ∆t muy pequeño, solamente la energ´ıa contenida
en el volumen cil´ındrico, u(c∆tA), cruzará A. Entonces:
S =
uc∆tA
∆tA
= uc (2.45)
o, usando la ecuación (2.43):
S =
1
µ0
EB. (2.46)
Ahora se hace la suposición razonable (para medios isotrópicos) de que la energ´ıa
fluye en la dirección de la propagación de la onda. El vector S correspondiente
es entonces:
S =
1
µ0
E × B (2.47)
o
S = c2
0E × B. (2.48)
La magnitud de S es la potencia por unidad de área que cruza una superficie
cuya normal es paralela a S. Se le conoce como el vector de Poynting, en honor
de John Henry Poynting (1852-1914). Aplicando ahora estas consideraciones al
caso de una onda plana armónica, polarizada linealmente, viajando a través del
espacio libre en la dirección de k:
E = E0 cos k · r − ωt (2.49)
B = B0 cos k · r − ωt . (2.50)
Usando la ecuación (2.4)
S = c2
0E0 × B0 cos2
k · r − ωt .
Debe ser evidente aqu´ı que E × B oscila entre máximos y m´ınimos. A frecuen-
cias ópticas, S es una función variable del tiempo extremadamente rápida y
as´ı su valor instantáneo es una cantidad impráctica de medir. Esto más bien
sugiere que se empleen promedios. Es decir, que se absorba la energ´ıa radian-
te durante un intervalo finito de tiempo usando, por ejemplo, una fotocelda,
una pel´ıcula fotográfica o la retina del ojo humano. El valor promediado en el
tiempo del vector de Poynting, simbolizado por S , es una medida de la can-
tidad muy significativa conocida como la irradiancia, I. En este caso ya que
cos2
k · r − ωt = 1
2 ,
S =
c2
0
2
E0 × B (2.51)

2.4. ENERGÍA DE LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
o
I ≡ S =
c 0
2
E2
0 . (2.52)
La irradiancia es por consiguiente proporcional al cuadrado de la amplitud del
campo eléctrico. Dor formas alternativas adicionales de decir la misma cosa son
simplemente:
I =
c
µ0
B2
(2.53)
y
I = 0c E2
. (2.54)
Dentro de un dieléctrico isotrópico, homogéneo y lineal, la expresión para la
irradiancia queda:
I = v E2
. (2.55)
Ya que, como se ha visto, E es considerablemente más afectiva al ejercer fuer-
zas sobre las cargas B, E será referido como el campo óptico y se usará casi
exclusivamente la ecuación (2.54).
La rapidez de flujo de la energ´ıa radiante es la potencia o flujo radiante,
generalmente expresado en vatios. Si se divide el flujo radiante que incide o
sale de una superficie, por el área de la superficie, se tiene la densidad de flujo
radiante (W/m2
). En el primer caso, se habla de la irradiancia, y en el último
de la existencia; y en cualquier caso de la densidad de flujo.
Hay detectores, como el fotomultiplicador, que sirven como contadores de
fotones. Cada cuanto del campo electromagnético, que tiene una frecuencia ν,
representa una energ´ıa hν (constante de Planck, h = 6,625 × 10−34
J s). Si se
tiene un haz monocromático de frecuencia ν, la cantidad I/hν es el número
promedio de fotones que cruzan un área unitaria (normal al haz) por unidad
de tiempo, es decir la densidad de flujo de fotón. Si tal haz incidiera sobre un
contador con área A, entonces AI/hν ser´ıa el flujo de fotones incidentes, es
decir, el número promedio de fotones que llegan por unidad de tiempo.
Se vio antes que la solución de onda esférica de la ecuación diferencial de
onda tiene una amplitud que var´ıa inversamente con r. Se examinará ahora lo
mismo dentro del contexto de la conversación de energ´ıa. Considerando una
fuente puntual isotrópica en el espacio libre, emitiendo energ´ıa igualmente en
todas direcciones, es decir emitiendo ondas esféricas. Se rodea la fuente con
dos superficies esféricas imaginarias de radios r1 y r2. Sean E0(r1) y E0(r2) las
amplitudes de las ondas sobre la primera y segunda superficies, respectivamente.
Si se ha de conservar la energ´ıa, la cantidad total de energ´ıa que pasa a través
de cada superficie por segundo debe ser la misma ya que no hay otras fuentes o
sumideros presentes. Multiplicando I por el área de la superficie y tomando la
ra´ız cuadrada, se obtiene:
r1E0(r1) = r2E0(r2).
Puesto que r1 y r2 son arbitrarias, se deduce que:
rE0(r) = constante

y la amplitud debe caer inversamente con r. La irradiancia de una fuente puntual
es proporcional a 1/r2
. Esta es la bien conocida ley del inverso del cuadrado,
la cual se verifica fácilmente usando una fuente puntual y un expos´ımetro fo-
tográfico. Obsérvese que si se visualiza un haz de fotones viajando radialmente
alejándose de la fuente, se obtiene claramente el mismo resultado.

CAPÍTULO 3
Tratamiento
Electromganético de la
Propagación de la Luz
Índice General
3.1. Ondas en una Interfase . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.1. Deducción de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . . . 50
3.1.2. Interpretación de las Ecuaciones de Fresnel . . . . . 53
47

CAPÍTULO 3. TRATAMIENTO ELECTROMGANÉTICO DE LA PROPAGACIÓN DE
LA LUZ
Hasta ahora se ha podido deducir las leyes de reflexión y refracción usando
tres puntos de vista diferentes: el principio de Huygens, el teorema de Malus y
Dupin y el principio de Fermat. Cada uno de ellos a su vez da un punto de vista
valioso y distinto en s´ı mismo. Otro punto de vista aún más poderoso se obtiene
de la teor´ıa electromagnética de la luz. Al contrario de las técnicas anteriores
que no dicen nada sobre las densidades de flujo radiante, incidente, reflejado y
transmitido (es decir Ii, Ir, It respectivamente), la teor´ıa electromagnética trata
éstas dentro del marco de una descripción bastante más completa.
El cuerpo de información que forma el tema de la óptica se ha acumulado a
lo largo de muchos siglos y al mismo tiempo que el conocimiento del universo
f´ısico se hace más extenso, las descripciones teóricas concominantes deben ser
aún más completas. Ello en general, trae consigo una complejidad aumentada. Y
as´ı, en lugar de usar la formidable maquinaria matemática de la teor´ıa cuántica
de la luz, muy frecuentemente se aprovechará los puntos de vista más simples
de tiempos más simples (por ejemplo, los principios de Huygens, Fermat, etc.).
Entonces, aunque se vaya a desarrollar otra descripción más extensa de la refle-
xión y la refracción, ciertamente no se pondrá de lado esos métodos anteriores.
En efecto, a través de este estudio se usará la técnica más simple que se pueda
dar resultados suficientemente precisos para los propósitos particulares.
SECCIÓN 3.1
Ondas en una Interfase
Supóngase que la onda de luz monocromática incidente es plana y que por
tanto tiene la forma:
Ei = E0iei(ki·r−ωit) (3.1)
o más simplemente:
Ei = E0i cos ki · r − ωit (3.2)
Suponiendo que E0i es constante en el tiempo, es decir que la onda es linealmente
polarizada o polarizada en un plano. Se verá que cualquier forma de luz se puede
representar por dos ondas ortogonales polarizadas linealmente de tal forma que
esto realmente no representa una restricción. Es preciso notar que as´ı como
el origen del tiempo, t = 0, es arbitrario, as´ı también lo es el origen O en el
espacio, donde r = 0. Entonces, sin hacer suposiciones acerca de sus direcciones,
frecuencias, longitudes de onda, fases o amplitudes, se puede escribir las ondas
reflejadas y transmitida como:
Er = E0r cos kr · ωrtεr (3.3)
y
Et = E0t cos kt · ωttεt (3.4)

3.1. ONDAS EN UNA INTERFASE
Aqu´ı εr y εt son constantes de fase relativas a Ei, que se introducen debido a
que la posición del origen no es única.
Las leyes de la teor´ıa electromagnética llevan a ciertos requisitos que deben
satisfacer los campos y se referirá a ellos como las condiciones de frontera. Es-
pec´ıficamente, uno de estos requisitos es que la componente de la intensidad del
campo eléctrico E, que es tangente a la interfase, debe ser cont´ınua a través de
ella (lo mismo es cierto para H). En otras palabras, la componente tangencial
total de E en un lado de la superficie debe ser igual a la del otro lado. Entonces
ya que un es el vector unitario normal a la interfase:
un × Ei + un × Er = un × Et (3.5)
o
un × E0i cos ki · r − ωit + un × E0r cos kr · r − ωrt + εr
= un × E0t cos kt · r − ωtt + εt
(3.6)
Esta relación se debe mantener en cualquier instante de tiempo y en todo punto
de la interfase (y = b). Consecuentemente, Ei, Er y Et deben tener precisamente
la misma dependencia funcional de las variables t y r, lo cual quiere decir que:
ki · r − ωit
y=b
= kr · r − ωrt + εr
y=b
= kt · r − ωtt + εt
y=b
.
(3.7)
Con esto, los cosenos en la ecuación (3.6) se anular´ıan dejando una expresión
independiente de t y r, como en efecto debe ser. Como esto debe ser cierto para
todos los valores del tiempo, los coeficientes de t deben ser iguales, obteniéndose:
ωi = ωr = ωt. (3.8)
Hay que recordar que los electrones dentro del medio están sujetos a vibraciones
forzadas (lineales) a la frecuencia de la onda incidente. Claramente, cualquier
luz que sea esparcida tiene la misma frecuencia. Además.
ki · r
y=b
= kr · r + εr
y=b
= kt · r + εt
y=b
,
(3.9)
donde r termina en la interfase. Los valores de εr t εt corresponden a una
posición dada de O y entonces ellos permiten que la relación sea válida indepen-
dientemente de esa ubicación. Por ejemplo, el origen se podr´ıa escoger de modo
que r fuese perpendicular a ki pero no a kr o kt. De los primeros dos términos
se obtiene:
ki − kr · r
y=b
= εr. (3.10)

LA LUZ
Recordando la ecuación (1.42), esta expresión simplemente dice que el punto
extremo de r barre un plano (que es por supuesto la interfase) perpendicular
al vector ki − kr . Diciéndolo de manera ligeramente diferente, ki − kr es
paralelo a un. Obsérvese, sin embargo, que ya que las ondas reflejada e inci-
dente están en el mismo medio ki = kr. Del hecho de que ki − kr no tiene
componente en el plano de la interfase, es decir un × ki − kr = 0, se concluye
que:
ki sin θi = kr sin θr
y por consiguiente se tiene la ley de la reflexión, es decir:
θi = θr
Además, ya que ki − kr es paralelo a un, los tres vectores ki, kr y un están
en el mismo plano, que es el plano de incidencia. De nuevo, de la ecuación (3.9)
se obtiene:
ki − kt · r
y=b
= εt (3.11)
y por consiguiente ki − kt es también normal a la interfase. Entonces, ki, kr,
kt y un son todos coplanares. Como antes, las componentes tangenciales de ki
y kt deben ser iguales y consecuentemente:
ki sin θi = kt sin θt. (3.12)
pero como ωi = ωt, se puede multiplicar ambos lados por c/ωi para obener:
ni sin θi = nt sin θt
lo que, por supuesto, es la ley de Snell. Finalmente, se observa que si se hubiese
escogido el origen O en la interfase es evidente por las ecuaciones (3.10) y (3.11)
que εr y εt hubieran sido ambas nulas. Tal disposición, aunque no tan instructiva,
es ciertamente más simple y consecuentemente se usará de aqu´ı en adelante.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1
Deducción
de las
Ecuaciones
de Fresnel
Se acaba de encontrar la relación que existe entre las fases de Ei(r, t), Er(r, t)
y Et(r, t) en la frontera. Hay aún una interdependencia compartida por las
amplitudes E0i, E0r y E0t que ahora se pueden evaluar. Con ese fin se supone
que una onda monocromática plana incide en una superficie plana que separa dos
medios isotrópicos. Cualquiera que sea la polarización de la onda, se resolverán
sus campos E y B en componentes paralelas y perpendiculares al plano de
incidencia y se tratarán estas componentes separadamente.
Caso 1. E perpendicular al plano de incidencia. Supóngase ahora que E es
perpendicular al plano de incidencia y que B es paralelo a él. Como E = vB se
tiene que:
k × E = vB (3.13)
ypor supuesto
k · E = 0. (3.14)

es decir E, B y el vector de propagación k forman un sistema derecho. Haciendo
uso de nuevo de la continuidad de las componentes tangenciales del campo
eléctrico E, se tiene que en la frontera en cualquier tiempo y en cualquier punto:
E0i + E0r = E0t (3.15)
donde los cosenos se anulan. Se debe mencionar entre paréntesis que los vectores
de campo mostrados realmente deber´ıan ser visualizados en y = 0 (es decir, en
la superficie) de donde han sido desplazados a fin de hacer las cosas más claras.
Obsérvese que mientras que Er y Et deben ser normales al plano de incidencia
por simetr´ıa, se está adivinando que ellos deben apuntar fuera de la interfase
cuando Ei lo hace. Las direcciónes de los campos B se derivan entonces de la
ecuación (3.13).
Se necesita invocar otra de las condiciones en la frontera a fin de obtener
una ecuación más. La presencia de substancias materiales que son polarizadas
eléctricamente por la onda tiene un efecto definido en la configuración del cam-
po. Entonces, mientras que la componente tangencial de E es continua, al pasar
la frontera, su componente normal no lo es. En su lugar la componente normal
del producto εE es la misma en cualquier lado de la interfase. Similarmente, la
componente normal de B es continua como lo es la componente tangencial de
µ−1
B. Aparece aqu´ı el efecto de los dos medios a través de sus permeabilidades
µi y µt. Esta última condición en la frontera será la más fácil de usar, particu-
larmente aplicada a la reflexión en la superficie de un conductor. Entonces la
continuidad de la componente tangencial de B
µ requiere que:
−
Bi
µi
cos θi +
Br
µr
cos θr = −
Bt
µt
cos θt, (3.16)
donde los lados izquierdo y derecho son las magnitudes totales de B
µ paralelas a
la interfase en los medios incidente y transmitido, respectivamente. La dirección
positiva es aquella en la que aumenta x de tal forma que las componentes de Bi
y Bt aparecen con signos menos. De la ecuación (3.13) se tiene:
Bi =
Ei
vi
(3.17)
Br =
Er
vr
(3.18)
Bt =
Et
vt
(3.19)
Entonces, ya que vi = vr y θi = θr, la ecuación (3.16) se puede escribir como:
1
µivi
(Ei − Er) cos θi =
1
µivi
Et cos θt. (3.20)
Haciendo uso de las ecuaciones (3.2), (3.3) y (3.4) y recordando que los cosenos
que aparecen ah´ı son iguales a uno en y = 0, se obtiene:
ni
µi
(E0i − E0r) cos θi =
nt
µt
Et cos θt. (3.21)

LA LUZ
Combinado esto con la ecuación (3.15) se obtiene:
E0r
E0i ⊥
= −
ni
µi
cos θi − nt
µt
cos θt
ni
µi
cos θi + nt
µt
cos θt
(3.22)
y
E0t
E0i ⊥
= −
2ni
µi
cos θi
ni
µi
cos θi + nt
µt
cos θt
(3.23)
El sub´ındice ⊥ sirve como un recordatorio de que se está tratando el caso en el
que E es perpendicular al plano de incidencia. Estas dos expresiones, que son
afirmaciones completamente generales que se aplican a cualquier medio homo-
géneo, isotrópico y lineal, son dos de las llamadas ecuaciones de Fresnel. Muy a
menudo se trata con dieléctricos para los cuales µi ≈ µt ≈ µ0; en consecuencia
la forma más común de estas ecuaciones es simplemente:
r⊥ ≡
E0r
E0i ⊥
≡
ni cos θi − nt cos θt
ni cos θi + nt cos θt
(3.24)
y
t⊥ ≡
E0t
E0i ⊥
≡
2ni cos θi
ni cos θi + nt cos θt
(3.25)
Aqu´ı r⊥ denota la amplitud del coeficiente de reflexión mientras que t⊥ es la
amplitud del coeficiente de transmisión.
Caso 2. E paralelo al plano de incidencia. Se puede deducir un par similar
de ecuaciones cuando el campo incidente E, está en el plano de incidencia. La
continuidad de las componentes tangenciales de E en ambos lados de la frontera
lleva a:
E0i cos θi − E0r cos θr = E0t cos θt. (3.26)
En forma muy parecida a la anterior, la continuidad de las componentes tan-
genciales B
µ da:
1
µivi
E0i +
1
µrvr
E0r =
1
µtvt
E0t (3.27)
Usando el hecho de que µi = µr = y θi = θr estas fórmulas su pueden combinar
para dar dos más de las ecuaciones de Fresnel:
t ≡
E0r
E0i
=
nt
µt
cos θi − ni
µi
cos θt
ni
µi
cos θt + nt
µt
cos θi
(3.28)
y
t ≡
E0t
E0i
=
2ni
µi
cos θi
ni
µi
cos θt + nt
µt
cos θi
. (3.29)

Cuando los dos medios que forman la interfase son dieléctricos, los coeficientes
de amplitud vienen a ser:
r =
nt cos θi − ni cos θt
ni cos θt + nt cos θi
(3.30)
y
t =
2ni cos θi
ni cos θt + nt cos θi
(3.31)
Usando la ley de Snell se puede hacer una simplificación adicional de la notación,
por medio de la cual las ecuaciones de Fresnel para medios dieléctricos devienen
en:
r⊥ = −
sin(θi − θt)
sin(θi + θt)
(3.32)
r =
tan(θi − θt)
tan(θi + θt)
(3.33)
t⊥ =
2 sin θt cos θi
sin(θi + θt)
(3.34)
t =
2 sin θt cos θi
sin(θi + θt) cos(θi − θt)
(3.35)
Se debe introducir una nota de advertencia antes de que se proceda a exami-
nar el considerable significado de los cálculos anteriores. Téngase en mente que
las direcciones (o más precisamente las fases) de los campos fueron selecciona-
das muy arbitrariamente. Por ejemplo, ciertamente se podr´ıa haber supuesto
que Er apuntaba hacia adentro, por lo que Br hubiese tenido que ser inverti-
do también. Si se hubiese hecho eso, el signo de r⊥ habr´ıa resultado positivo,
mientras que los otros coeficientes de amplitud no habr´ıan cambiado. Los sig-
nos que aparecen en las ecuaciones (3.32) hasta (3.35), en este caso +, excepto
el primero, corresponden al conjunto particular de direcciones de campo selec-
cionadas. El signo menos, como se verá, solamente significa que no se adivina
correctamente la dirección de Er. No obstante hay que tener presente que la
literatura no es uniforme y que se puede encontrar cualquier posible signo bajo
el t´ıtulo de ecuaciones de Fresnel. Para evitar confusión, tales ecuaciones deben
estar relacionadas con las direcciones espec´ıficas de los campos de las que fueron
deducidas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2
Interpretación
de las
Ecuaciones
de Fresnel
Esta sección está dedicada a un examen de las implicaciones f´ısicas de las
ecuaciones de Fresnel. En particular se está interesado en determinar las am-
plitudes fraccionarias y densidades de flujo que se reflejan y refractan. Además
interesa cualquier posible corrimiento de fase que pueda aparecer en el proceso.
1. Coeficientes de amplitud. Se examinará ahora brevemente la forma de
los coeficientes de amplitud sobre el rango completo de valores de θi. A
incidencia casi normal (θi ≈ 0) las tangentes en la ecuación (3.33) son
esencialmente iguales a los senos, en cuyo caso:
r θi=0
= [−r⊥]θi=0 =
sin(θi − θt)
sin(θi + θt) θi=0

LA LUZ
Se volverá después al significado del signo menos. Después de desarrollar
los senos y usar la ley de Snell esta expresión queda:
r θi=0
= [−r⊥]θi=0 =
nt cos θi + ni cos θt θi=0
(3.36)
la cual se deriva también de las ecuaciones (3.24) y (3.30). En el l´ımite,
cuando θi va a 0, cos θi y cos θt se acercan ambos a la unidad y, conse-
cuentemente,
r θi=0
= [−r⊥]θi=0 =
nt − ni
nt + ni θi=0
(3.37)
Entonces, por ejemplo, en una interfase aire (ni = 1) vidrio (nt = 1,5)
cerca de una incidencia normal, los coeficientes de reflexión son iguales a
±0,2. Cuando nt > ni se deduce de la ley de Snell que θi > θt y as´ı r⊥ es
negativo para todos los valores de θi. Por el contrario, r comienza siendo
positivo en θi = 0 y decrece gradualmente hasta que se anula cuando
θi + θt = 90o
ya que tan π/2 es infinita. El valor particular del ángulo de
incidencia para el cual esto ocurre se denota por θp y se conoce como el
ángulo de polarización. 1
Cuando θi aumenta más allá de θp, r se hace
aún más negativa hasta llegar a -1.0 a los 90o
.
A incidencia normal las ecuaciones (3.25) y (3.31) llevan directamente, a:
t θi=0
= [t⊥]θi=0 =
2ni
ni + nt
. (3.38)
Asumiendo que:
t⊥ + (−r⊥) = 1 (3.39)
es válida para todo valor de θi mientras que:
t + r = 1 (3.40)
es válida solamente a incidencia normal.
La discusión anterior, en su mayor parte, estaba restringida al caso de
reflexión externa es decir nt > ni. La situación opuesta de reflexión interna
en la cual el medio incidente es más denso (ni > nt), es ciertamente
también de interés. En ese caso θt > θi y r⊥, como se describe en la
ecuación (3.11), será simplemente positiva. r⊥ aumenta desde su valor
inicial (3.37) en θi = 0 llegando a más de uno en lo que se llama ángulo
cr´ıtico, θc. Espec´ıficamente θc es el valor especial del ángulo de incidencia
para el cual θt = π/2. En la misma forma, r comienza negativamente
(3.37) en θi = 0 y después aumenta hasta llegar a más de uno en θi = θc,
como es evidente según la ecuación de Fresnel (3.30). Como antes r pasa
por cero en el ángulo de polarización θp. Los ángulos de polarización θp
y θp para la reflexión interna y externa en la interfase entre los mismos
dos medios son simplemente complemento el uno del otro. Posteriormente
se regresará a la reflexión interna, donde se demostrará que r⊥ y r son
cantidades complejas para θi > θc.
1Este ángulo se conoce también como ángulo de Brewster

2. Corrimientos de fase.
Debe ser evidente según la ecuación (3.32) que r⊥ es negativo indepen-
dientemente de θi cuando nt > ni. Además se vio anteriormente que si
se hubiese escogido Er
⊥
en la dirección opuesta, la primera ecuación de
Fresnel (3.32), hubiese cambiado de signo haciendo que r⊥ se tornara po-
sitivo. Entonces el signo de r⊥ está asociado con las direcciones relativas
de E0i
⊥
y E0r
⊥
. Recuérdese que una inversión de E0r
⊥
es equiva-
lente a introducir un corrimiento de fase, ∆ϕ⊥, de π radianes en Er
⊥
.
Por consiguiente en la frontera Ei
⊥
y Er
⊥
serán antiparalelos y por
lo tanto fuera de fase en π uno respecto del otro, como lo indica el valor
negativo de r⊥. Cuando se consideran las componentes normales al plano
de incidencia no hay confusión sobre si los dos campos están en fase o
π radianes fuera de fase; si son paralelos están en fase; si son antiparale-
los están π fuera de fase. Resumiendo entonces, la componente del campo
eléctrico normal al plano de incidencia sufre un corrimiento de fase de
π radianes bajo reflexión cuando el medio incidentte tiene un ´ındice más
bajo que el medio transmisor. Similarmente t⊥ y t son siempre positivas
y ∆ϕ = 0. Además, cuando ni > nt no resulta corrimiento de fase en la
componente normal al reflejarse, es decir ∆ϕ⊥ = 0 siempre que θi < θc.
Las cosas son menos obvias cuando se consideran Ei , Er y Et .
Es necesario ahora definir más expl´ıcitamente lo que se quiere decir por en
fase ya que los vectores de fase son coplanares pero generalmente no coli-
neales. Las direcciones del campo se escogieron de tal forma que mirando
cualquiera de los vectores de propagación en la dirección en que viene la
luz E, B y k se ven con la misma orientación relativa sea cual sea el rayo
incidente, reflejado o transmitido. Se puede usar esto como la condición
requerida a fin de que los dos campos E estén en fase. Equivalentemente
pero más simplemente, dos campos en el plano incidente están en fase si
sus componentes son paralelas y fuera de fase si son antiparalelas. Hay
que notar que cuando un par de campos E están fuera de fase, también lo
estan sus campos asociados B y viceversa. Con esta definición se necesita
solamente ver los vectores normales al plano de incidencia, sean ellos E
o B, para determinar la fase relativa de los campos acompañantes en el
plano incidente. Entonces, Ei y Et están en fase como lo están Bi y Bt
mientras que Ei y Er están fuera de fase junto con Bi y Br. Similarmente
Ei, Er y Et están en fase como lo están Bi, Br y Bt.
Ahora, el coeficiente de amplitud de reflexión para la componente paralela
está dado por:
r =
nt cos θi + ni cos θt
el cual es positivo (∆ϕ = 0) siempre que:
nt cos θi − ni cos θt > 0
es decir, si:
sin θi cos θi − cos θt sin θt > 0.

LA LUZ
o equivalentemente:
sin(θi − θt) cos(θi + θt) > 0. (3.41)
Este será el caso para el que ni < nt si
(θi + θt) <
π
2
(3.42)
y para ni > nt cuando
(θi + θt) >
π
2
(3.43)
Y as´ı, cuando ni < nt, E0r y E0i estarán en fase (∆ϕ = 0) hasta
que θi = θp y fuera de fase en π radianes de ah´ı en adelante. La transición
no es en realidad discontinua ya que E0r va a cero en θp. Por el con-
trario, para reflexión interna r es negativa hasta θp lo cual quiere decir
que ∆ϕ = π. Desde θp a θc, r es positiva y ∆ϕ = 0. Más allá de θc, r
se hace compleja. y ∆ϕ aumenta gradualmente hasta π para θi = 90o
.
La forma funcional real de ∆ϕ y ∆ϕ⊥ para reflexión interna en la región
donde θi > θc se puede encontrar en la literatura.
3. Reflectancia y transmitancia.
Hay que recordar que la potencia por unidad de área que cruza una super-
ficie en el vac´ıo cuya normal es paralela a S, el vector de Poynting, está
dado por:
S = c2
0E × B.
Además, la densidad de flujo radiante (W/m2
) o irradiancia es entonces:
I = S =
c 0
2
E2
0 .
Esta es la energ´ıa promedio por unidad de tiempo que cruza un área
unitaria normal a S (en medios isotrópicos S es paralela a k). En el caso
que se considera sean Ii, Ir y It las densidades de flujo incidente, reflejado
y transmitido respectivamente. Luego, la porción de energ´ıa incidiendo
normalmente en un área unitaria de la frontera por segundo es Ii cos θi.
Similarmente, Ir cos θr y It cos θt son las energ´ıas por segundo que salen de
un área unitaria de la frontera normalmente en cada lado. La reflectancia
R es la razón del flujo (o potencia) reflejado al incidente, es decir:
R ≡
Ir cos θr
Ii cos θi
=
Ir
Ii
, (3.44)
mientras que la transmitancia T es la razón del flujo transmitido al inci-
dente y está dada por:
T ≡
It cos θt
Ii cos θi
. (3.45)

El cociente Ir/Ii es igual a (vr rE2
0r/2)(vi iE0i/2) y ya que las ondas
reflejadas e incidente están en el mismo medio vr = vi, r = i, y
R =
E0r
E0i
2
= r2
. (3.46)
En la misma forma (suponiendo µi = µt = µ0):
T =
nt cos θt
ni cos θi
E0t
E0i
2
=
nt cos θt
ni cos θi
t2
, (3.47)
donde se usó el hecho de que µ0 t = 1/v2
t y µ0vt t = nt/c. La energ´ıa total
que llega al área A por unidad de tiempo debe igualar a la energ´ıa que
fluye fuera de ella por unidad de tiempo;
IiA cos θi = IrA cos θr + ItA cos θt, (3.48)
Es evidente aqu´ı que el área transversal del haz transmitido, A cos θt es
más grande que la de los haces incidente o reflejado (que son iguales).
Multiplicando ambos lados por c esta expresión queda:
niE2
0i cos θi = niE2
0r cos θi + ntE2
0t cos θt
o
1 =
E0r
E0i
2
+
nt cos θt
ni cos θi
E0t
E0i
2
. (3.49)
Pero esto es simplemente
R + T = 1 (3.50)
donde no hay absorción. Es conveniente usar las formas componentes, es
decir:
R⊥ = r2
⊥ (3.51)
R = r2
(3.52)
T⊥ =
nt cos θt
ni cos θi
t2
(3.53)
y
T =
nt cos θt
ni cos θi
t2
(3.54)
Se puede demostrar que:
R + T = 1 (3.55)
y
R⊥ + T⊥ = 1 (3.56)

LA LUZ
Una caracter´ıstica interesante de estas curvas se verfica fácilmente, al me-
nos cualitativamente, y ella es que ambas R y R⊥ se acercan a uno cuando
θi → 90o
. Esto significa que casi cualquier interfase dieléctrica muy lisa se
comportará como un espejo para la incidencia rasante. Inténtese observar
una fuente luminosa usando esta página como una superficie de fronte-
ra donde θi ≈ 90o
. Se podrá ver una imagen bastante clara de la fuente
reflejada en el papel.
Cuando θi = 0 el plano incidente queda indefinido y cualquier distinción
entre las componentes paralela y perpendicualr de R y T desaparece. En
este caso las ecuaciones (3.51) hasta (3.54) junto con (3.37) y (3.38) llevan
a:
R = R = R⊥ =
nt − ni
nt + ni
2
(3.57)
y
T = T = T⊥ =
4ntni
(nt + ni)2
. (3.58)
Entonces el 4 % de la luz incidente normalmente en una interfase aire-
vidrio será reflejada tanto internamente, ni > nt, como externamente,
ni < nt. Esto obviamente será de gran interés para cualquiera que esté
trabajando con un sistema complicado de lentes con diez o veinte de tales
fronteras aire-vidrio. En efecto, si se mira perpendicularmente una pila de
alrededor de 50 portaobjetos de microscopio (los cubreobjetos son mucho
más delgados y más fáciles de manejar en grandes cantidades) la mayor
parte de la luz se reflejará. La pila se comportará como si fuese un espejo.

CAPÍTULO 4
Superposición de Ondas
Índice General
4.1. Suma de Ondas de la Misma Frecuencia . . . . . . . 61
4.1.1. El Método Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.2. El Método Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.3. Suma de Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.4. Ondas Estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2. Suma de Ondas de Diferente Frecuencia . . . . . . 68
4.2.1. Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.2. Velocidad de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
59

CAPÍTULO 4. SUPERPOSICIÓN DE ONDAS
En los cap´ıtulos siguientes se estudiarán los fenómenos de polarización, in-
terferencia y difracción. Todos ellos comparten una base conceptual común ya
que en su mayor parte tienen relación con varios aspectos del mismo proceso.
Afirmando esto en los términos más simples, se dirá que interesa saber qué suce-
de cuando dos o más ondas de luz se superponen en la misma región del espacio.
Las circunstancias precisas que gobiernan esta superposición, por supuesto, de-
terminan la perturbación óptica final. Entre otras cosas, se está interesado en
comprender cómo las propiedades espec´ıficas de cada onda constitutiva (es decir,
amplitud, fase, frecuencia, etc.) influencian la forma última de la perturbación
compuesta.
Es preciso recordar que cada componente del campo de una onda electro-
magnética (Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz) satisface la ecuación de onda diferencial tri-
dimensional escalar.
∂2
ψ
∂x2
+
∂2
ψ
∂y2
+
∂2
ψ
∂z2
=
1
v2
∂2
ψ
∂t2
Una caracter´ıstica muy significativa de esta expresión es que es lineal, es de-
cir, ψ (r, t) y sus derivadas aparecen solamente con la primera potencia. Por lo
tanto, si ψ1 (r, t) , ψ2 (r, t) , . . . , ψn (r, t), son soluciones individuales de la ecua-
ción (1.59), cualquier combinación lineal de éstas a su vez, será una socución.
Entonces
ψ (r, t) =
n
i=1
Ciψi (r, t) (4.1)
satisface la ecuación de onda, donde los coeficientes Ci son simplemente cons-
tantes arbitrarias. Esta propiedad, conocida como principio de superposición,
sugiere que la perturbación resultante en cualquier punto de un medio es la
suma algebraica de sus ondas constitutivas separadas. Ahora sólo se está inte-
resado en sistemas lineales donde el principio de superposición es en realidad
aplicable. Téngase en mente, sin embargo, que ondas de amplitud grande, bien
sean ondas de sonido u ondas de una cuerda, pueden generar una respuesta no
lineal. El haz de un láser de alta intensidad enfocado (donde el campo eléctrico
podr´ıa ser tan alto como 1010
V/cm) puede evocar efectos no lineales. Por com-
paración, el campo eléctrico asociado con la luz del sol aqu´ı en la Tierra tiene
una amplitud de alrededor de 10 V/cm.
Hay muchos casos en los que no se necesita preocuparse con la naturaleza
vectorial de la luz y por el momento el estudio se restringirá a tales casos. Por
ejemplo, si todas las ondas de luz se propagan a lo largo de la misma l´ınea y
comparten un plano común constante de vibración, cada una de ellas podr´ıa
ser descrita en términos de una componente del campo eléctrico. Todas éstas
podr´ıan ser paralelas o antiparalelas en cualquier instante y podr´ıan entonces
ser tratadas como escalares. Mucho más se dirá acerca de este punto conforme
se progrese; por ahora se representará la perturbación óptica por una función
escalar E (r, t) que es una solución de la ecuación (1.59). Este procedimiento lleva
a una teor´ıa escalar simple que es altamente útil siempre que se sea cuidadoso
al aplicarla.

4.1. SUMA DE ONDAS DE LA MISMA FRECUENCIA
SECCIÓN 4.1
Suma de Ondas de la Misma Frecuencia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 El
Método
Algebraico
Recuérdese que se puede escribir una solución de la ecuación diferencial de
onda en la forma:
E(x, t) = E0 sin[ωt − (kx + ε)] (4.2)
en la cual E0 es la amplitud de la perturbación armónica que se propaga a lo
largo de la dirección positiva del eje x. Alternativamente, hágase:
α(x, ε) = −(kx + ε) (4.3)
tal que
E(x, t) = E0 sin[ωt + α(x, ε)]. (4.4)
Supóngase entonces que se tienen dos de tales ondas
E1 = E01 sin(ωt + α1) (4.5)
y
E2 = E02 sin(ωt + α2) (4.6)
las dos con la misma frecuencia y velocidad, superponiéndose en el espacio. La
perturbación resultante es la superposición lineal de estas ondas. Entonces
E = E1 + E2
o, al desarrollar las ecuaciones (4.5) y (4.6)
E =E01(sin ωt cos α1 + cos ωt sin α1)
+ E02(sin ωt cos α2 + cos ωt sin α2).
Por lo tanto
E =(E01 cos α1 + E02 cos α2) sin ωt
+ (E01 sin α1 + E02 sin α2) cos ωt.
Ya que los términos entre paréntesis son constantes en el tiempo, se hace
E0 cos α = E01 cos α1 + E02 cos α2 (4.7)
y
E0 sin α = E01 sin α1 + E02 sin α2. (4.8)
Esta no es una sustitución obvia pero será leg´ıtima siempre que se pueda despejar
E0 y α. Con ese fin, se eleva al cuadrado y se suman las ecuaciones (4.7) y (4.8)
para obtener
E2
0 = E2
01 + E2
02 + 2E01E02 cos(α2 − α1) (4.9)

y dividiendo la ecuación (4.8) por la (4.7) se obtiene
tan α =
E01 sin α1 + E02 sin α2
E01 cos α1 + E02 cos α2
(4.10)
la perturbación total queda entonces:
E = E0 cos α sin ωt + E0 sin α cos ωt
o
E = E0 sin(ωt + α). (4.11)
La onda compuesta (4.11) es armónica y de la misma frecuencia que las cons-
titutivas aunque su amplitud y fase son diferentes. La densidad de flujo de una
onda de luz es proporcional a su amplitud al caudrado en virtud de la ecuación
(2.52). Entonces de deduce de la ecuación (4.9) que la densidad de flujo resul-
tante no es simplemente la suma de las densidades de flujo componentes —hay
una contribución adicional 2E01E02 cos(α1 − α2) conocida como el término de
interferencia. El factor crucial es la diferencia en fase entre las dos ondas que
interfieren E1 y E2 δ ≡ (α1 − α2). Cuando δ = 0, ±2π, ±4π, . . . la amplitud
resultante es un máximo mientras que δ = ±π, ±3π, . . . da un m´ınimo. En el
primer caso, se dice que las ondas están en fase, cresta sobre cresta. En el último
caso las ondas están 180o
fuera de fase y los valles están sobre las crestas. Ob-
sérvese que la diferencia de fase puede aparecer por una diferncia en la longitud
del camino atravesado por las dos ondas o también por una diferencia en la fase
incial, es decir,
δ = (kx1 + ε1) − (kx2 + ε2) (4.12)
o
δ =
2π
λ
(x1 − x2) + (ε1 − ε2) (4.13)
Aqu´ı x1 y x2 son las distancias desde las fuentes de las dos ondas hasta el punto
de observación y λ es la longitud de onda en el medio en que viajan. Si las ondas
están inicialmente en fase en sus emisores respectivos, entonces ε1 = ε2, y
δ =
2π
λ
(x1 − x2) (4.14)
Esto también se aplicar´ıa al caso donde dos perturbaciones de la misma fuente
viajen diferentes rutas antes de llegar al punto de observación. Ya que n = c/v =
λ0/λ
δ =
2π
λ0
n(x1 − x2). (4.15)

La cantidad n(x1 − x2) se conoce como la diferencia de camino óptico y se
expresará por la abreviatura D.C.O. o por el s´ımbolo Λ. Hay que recordar que
es posible, en situaciones más complicadas, que cada onda viaje a través de un
número de medios diferentes con espesores diferentes. Obsérvese también que
Λ/λ0 = (x1 − x2)/λ es el número de ondas en el medio que corresponde a la
diferencia de camino. Ya que cada longitud de onda está asociada con un cambio
de fase de 2π radianes, δ = 2π(x1 − x2)/λ, o más brevemente
δ = k0Λ, (4.16)
donde k0 es el número de propagación en el vac´ıo, es decir, 2π/λ0.
Las ondas para las que ε1 −ε2 es constante, independientemente de su valor,
son coherentes; una situación que se supondrá que se consigue en casi toda esta
discusión.
Hay un caso especial que es de algún interés y es la superposición de las
ondas
E1 = E01 sin[ωt − k(x + ∆x)]
y
E2 = E02 sin(ωt − kx),
donde en particular E01 = E02 y α1 − α2 = k∆x. Se deja demostrar que en este
caso las ecuaciones (4.9), (4.10) y (4.11) llevan una onda resultante de
E = 2E01 cos
k∆x
2
sin ωt − k x +
∆x
2
. (4.17)
Esto pone de manifiesto claramente el papel dominante que juega la diferencia de
caminos, ∆x, especialmente cuando las ondas emitidas están en fase (ε1 − ε2).
Hay muchos casos prácticos donde uno arregla justamente estas condiciones
como se verá más tarde. Si ∆x λ la resultante tiene una amplitud muy cercana
al valor 2E02; mientras que es cero si ∆x = λ/2. En la primera situación se dice
que hay interferencia constructiva mientras que en la última hay interferencia
destructiva.
Para aplicaciones repetidas del procedimiento usado para llegar a la ecua-
ción (4.11) se puede demostrar que la superposición de cualquier número de
ondas armónicas coherentes que tienen una frecuencia dada y viajan en la mis-
ma dirección lleva a una onda armónica de la misma frecuencia. Por simple
casualidad se ha escogido representar las dos ondas en términos de funciones
seno pero el mismo resultado hubiese aparecido si se hubiese usado funciones
coseno. Entonces en general la suma de N de tales ondas,
E =
N
i=1
E0i cos(αi ± ωt)
está dada por
E = E0 cos(α ± ωt) (4.18)
donde
E2
0 =
N
i=1
E2
0i + 2
N
j>i
N
i=1
E0iE0j cos(αi − αj) (4.19)

y
tan α =
N
i=1
E0i sin αi
N
i=1
E0i cos αi
(4.20)
Hágase una pausa por un momento y conténtese con que estas relaciones son
en efecto verdaderas. Imag´ınese que se tiene un número muy grande de fuentes
independientes (N) donde los ángulos de fase, αi, están ahora completamente al
azar. En otras palabras, la fase inicial para cada fuente puede tener cualquier
valor entre 0 y 2π en una forma que no tiene ninguna relación con alguna
otra fuente, o los emisores pueden estar localizados al azar, o ambas cosas.
Aunque es aplicable a fuentes de luz, este arreglo se puede también visualizar
con generadores de microondas o aun con violines. Los resultados que se obtienen
se aplican bien sea que las amplitudes sean todas iguales o no, pero el primer
caso es más simple de apreciar. Por lo tanto, hágase que cada amplitud en la
ecuación (4.19) sea E01. Si N es suficientemente grande, cos(αi − αj) tomará
valores tanto positivos como negativos con la misma probabilidad y el segundo
término en la ecuación (4.19) se aproximará a cero. Por lo tanto:
E2
0 = NE2
01 (4.21)
La densidad de flujo resultante debida a N fuentes que tienen fases al azar está
dada por N veces la densidad de flujo de cualquier fuente. En otras palabras, está
determinada por la suma de las densidades de flujo individuales. Por ejemplo,
la luz que emana de una fuente térmica (en contraposición con lo que sucede en
un láser) está compuesta de radiación de un gran número de emisores atómicos.
Las ondas generadas por estas fuentes microscópicas tienen fases al azar y en-
tonces sus densidades de flujo individuales se combinan en la manera que se ha
considerado para formar la densidad de flujo total.
Además, los emisores atómicos var´ıan en fase rápidamente y al azar y por
consiguiente también lo hace as´ı la onda total que resulta de la fuente. Dos o más
fuentes térmicas separadas (lámparas de descarga, iluminadores fotográficos,
focos, etc.) serán incoherentes en virtud de estas rápidas variaciones en δ. Ya
que la densidad de flujo es proporcional al promedio en el tiempo de E2
0 , tomada
generalmente sobre un intervalo de tiempo grande, y ya que las α son funciones
del tiempo a través de fases iniciales, cos [αi(t) − αj(t)] promediará de nuevo a
cero.
En el otro extremo, si las fuentes son coherentes y están en fase en el punto
de observación, es decir, αi = αj, la ecuación (4.19) quedará
E2
0 =
N
i=1
E2
0i + 2
N
j>i
N
i=1
E0iE0j
o equivalentemente
E2
0 =
N
i=1
E0i
2
. (4.22)

De nuevo suponiendo que cada amplitud es E01, se obtiene
E2
0 = (NE01)2
= N2
E2
01. (4.23)
En este caso de fuentes coherentes en fase se tiene una situación en que las
amplitudes se suman primero y entonces se elevan al cuadrado para determinar
la densidad de flujo resultante. La superposición de ondas coherentes general-
mente tiene el efecto de alterar la distribución espacial de la energ´ıa pero no
la cantidad total presente. Si hay regiones donde la densidad de flujo es mayor
que la suma de las densidades de flujo individuales, habrá regiones donde será
menor que esa suma.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 El
Método
Complejo
A menudo es matemáticamente conveniente hacer uso de la representación
compleja de las funciones trigonométricas cuando se está manejando la super-
posición de perturbaciones armónicas. La onda
E1 = E01 cos(kx ± ωt + ε1)
o
E1 = E01 cos(α1 ωt)
se puede entonces escribir como:
E1 = E01ei(α1 ωt)
, (4.24)
si se recuerda que se está solamente interesado en la parte real. Supóngase que
hay N de tales ondas que se superponen con la misma frecuencia y viajando en
la dirección positiva de x. La onda resultante está dada por:
E = E0ei(α+ωt)
la cual es equivalente a la ecuación (4.18) o después de sumar las ondas compo-
nentes
E =


N
j=1
E0jeiαj

 eiωt
. (4.25)
La cantidad
E0eiα
=
N
j=1
E0jeiαj
(4.26)
se conoce como la amplitud compleja de la onda compuesta y es simplemente la
suma de las amplitudes complejas de las constitutivas. Ya que
E2
0 = (E0eiα
)(E0eiα
)∗
, (4.27)
siempre se puede calcular la irradiancia resultante de las ecuaciones (4.26) y
(4.27). Por ejemplo, si N = 2,
E2
0 = (E01eiα1
+ E02eiα2
)(E01e−iα1
+ E02e−iα2
),
de donde
E2
0 = E2
01 + E2
02 + E01E02 ei(α1−α2)
+ e−i(α1−α2)
o
E2
0 = E2
01 + E2
02 + 2E01E02 cos(α1 − α2),
la cual es idéntica a la ecuación (4.9).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3
Suma de
Fasores
La suma descrita en la ecuación (4.26) se puede representar gráficamente
como la suma de vectores en el plano complejo. En la jerga de la ingenier´ıa
electrónica la amplitud compleja se conoce como fasor y se especifica por su
magnitud y fase; a menudo se escribe simplemente en la forma E0∠α. El mé-
todo de la suma de fasores que se va a desarrollar ahora se puede emplear sin
apreciar su relación con el formalismo de los números complejos. En bien de la
simplicidad, en su mayor parte se evitará el uso de esa interpretación en lo que
sigue. Imag´ınese entonces que se tiene una perturbación descrita por:
E1 = E01 sin(ωt + α1).
Se representa la onda por un vector de longitud E01 girando en sentido contrario
a los puntos de un reloj con una rapidez ω tal que su proyección en el eje
vertical es E01 sin(ωt + α1). Si se hubiese trabajado con las ondas coseno, se
habr´ıa tomado la proyección sobre el eje horizontal. Incidentalemente, el vector
rotatorio es por supuesto el fasor E01∠α1 y las notaciones R e I denotan los
ejes real e imaginario. Similarmente, una segunda onda es
E2 = E02 sin(ωt + α2)
La suma algebraica, E = E1 +E2, es la proyección en el eje I del fasor resultante
determinado por la suma de vectores de los fasores componentes. La ley de los
cosenos aplicada al triángulo de lados E01, E02 y E0 da
E2
0 = E2
01 + E2
02 + 2E01E02 cos(α2 − α1),
donde se hizo uso del hecho de que cos[π − (α2 − α1)] = − cos(α2 − α1). Esta
es idéntica a la ecuación (4.9), como debe ser. Usando el mismo diagrama,
obsérvese que tan α está dada también por la ecuación (4.10). Generalmente
interesa encontrar E0 en lugar de E(t) y ya que E0 no está afectada por el
constante girar de todos los fasores, a menudo será conveniente poner t = 0 y
as´ı eliminar esa rotación.
Algunos esquemas muy elegantes como la curva de vibración y la espiral de
Cornu serán explicados con la técnica de la suma de fasores. Además, es un
punto de vista gráfico que a menudo permite entender mejor el problema. Como
ejemplo final se examinará brevemente la onda resultante de la suma de:
E1 = 5 sin ωt
E2 = 10 sin(ωt + 45o
)
E3 = sin(ωt − 15o
)
E4 = 10 sin(ωt + 120o
)
y
E5 = 8 sin(ωt + 180o
).
donde ω está en grados por segundo. En los fasores 5∠0o
, 10∠45o
, 1∠120o
y
8∠180o
cada ángulo de fase, bien sea positivo o negativo, tiene como referencia
la horizontal. Sólo se necesita leer E0∠α con una escala y un transportador para
obtener E = E0 sin(ωt + α). Es evidente que esta técnica ofrece una ventaja
tremenda en velocidad y simplicidad si no en precisión.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4
Ondas Es-
tacionarias
Se vio que la solución general de la ecuación diferencial de onda consist´ıa en
una suma de ondas viajantes,
ψ(x, t) = C1f(x − vt) + C2g(x + vt).
En particular se va a examinar dos ondas armónicas de la misma frecuencia
propagándose en direcciones opuestas. Una situación de interés práctico aparece
cuando la onda incidente se refleja hacia atrás por algún tipo de espejo; una
pared r´ıgida funcionar´ıa para ondas de sonido o una lámina conductora para
ondas electromagnéticas. Imag´ınese entonces que una onda incidente que viaja
a la izquierda,
EI = E0I sin(kx + ωt + εI) (4.28)
llega a un espejo en x = 0 y se refleja hacia la derecha en la forma:
ER = E0R sin(kx − ωt + εR). (4.29)
La onda compuesta en la región a la derecha del espejo es E = EI + ER. Se
podr´ıa efectuar la suma indicada y llegar a una solución general en forma muy
parecida a la de la sección 4.1. Hay, sin embargo, algunos conocimientos f´ısicos
que se pueden obtener tomando un camino ligeramente más restringido.
La fase inicial εI se puede poner en cero simplemente poniendo en marcha
el reloj cuando EI = E0I sin kx. Hay algunas cualidades determinadas por el
arreglo f´ısico que deben ser satisfechas por la solución matemática y se cono-
cen formalmente como condiciones de contorno. Por ejemplo, si se estuviese
hablando de una cuerda con un extremo atado a una pared en x = 0, ese punto
debe tener siempre desplazamiento cero. Las dos ondas que se superponen, una
incidente y la otra reflejada, deben sumarse de tal manera que den una onda re-
sultante cero en x = 0. Similarmente, en la frontera de una lámina perfectamente
conductora la onda electromagnética resultante debe tener una componente del
campo eléctrico nula paralela a la superficie. Suponiendo que E0I = E0, las
condiciones de contorno requieren que en x = 0, E = 0 y ya que εI = 0 se
deduce de las ecuaciones (4.28) y (4.29) que εR = 0. La perturbación compuesta
es entonces:
E = E0I[sin(kx + ωt) + sin(kx − ωt)].
Aplicando ahora la identidad
sin α + sin β = 2 sin
1
2
(α + β) cos
1
2
(α − β)
se obtiene
E(x, t) = 2E0I sin kx cos ωt. (4.30)
Esta es la ecuación de una onda estacionaria, en contraste con una onda viaje-
ra. Su perfil no se mueve en el espacio; claramente no es de la forma f(x ± vt).
En cualquier punto x = x la amplitud es una constante igual a 2E0I sin kx
y E(x , t) var´ıa armónicamente con cos ωt. En ciertos puntos, que son x =
0, λ/2, λ, 3λ/2, . . ., la perturbación será cero en todo instante. Estos secono-
cen como nodos o puntos nodales. A medio camino entrecada par adyacente
de nodos, es decir, en x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4, . . ., la amplitud tiene un valor de

±2E0I y esos puntos se conocen como antinodos. La perturbación E(x, t) será
cero para todos los valores de x donde quiera que cos ωt = 0, es decir, cuando
t = (2m + 1)τ/4 donde m = 0, 2, 3, . . . y τ es el per´ıodo de las ondas componen-
tes.
Si la reflexión en el espejo no es perfecta, como es a menudo el caso, la onda
compuesta tendrá una componente viajera junto con la onda estacionaria. Bajo
tales condiciones habrá una transferencia neta de energ´ıa en contraste con la
onda estacionaria pura donde no hay ninguna.
Fue mediante la medición de las distancias entre los nodos de ondas esta-
cionarias como Hertz pudo determinar la longitud de onda de la radiación en
sus históricos experimentos. Unos pocos años más tarde, en 1890, Otto Wie-
ner demostró por primera vez la existencia de ondas estacionarias en las ondas
luminosas. El arreglo que utilizó consiste en un haz paralelo de luz cuasimono-
cromática normalmente incidente reflejándose en un espejo plateado en la cara
frontal al haz. Una pel´ıcula fotográfica, transparente y delgada de menos de
λ/20 de espesor se ha depositado en una placa de vidrio, inclinada con respecto
al espejo con un ángulo de 10−3
radianes. En esa forma la placa de pel´ıcula
intersecta el patrón de ondas planas estacionarias. Después de revelar la emul-
sión se encontraron una serie de bandas ennegrecidas paralelas, equidistantes.
Estas correspond´ıan a las regiones donde la pel´ıcula fotográfica hab´ıa intersec-
tado los planos antinodales. Muy significativamente, no hubo ennegrecimiento
de la emulsión en la superficie del espejo. Se puede demostrar que los nodos y
antinodos de la componente del campo magnético de una onda electromagné-
tica estacionaria se alternan con los del campo eléctrico. Esto se podr´ıa haber
sospechado del hecho de que t = (2m + 1)τ/4, E = 0 para todos los valores de
x y as´ı para conservar energ´ıa se deduce que B = 0. De acuerdo con la teor´ıa,
Hertz (1888) previamente hab´ıa determinado la existencia de un punto nodal del
campo eléctrico en la superficie de su reflector. Por consiguiente, Wiener pudo
concluir que las regiones ennegrecidas estaban asociadas con los antinodos del
campo E. Entonces es el campo eléctrico el que dispara el proceso fotoqu´ımico.
En una forma muy parecida Drude y Nernst demostraron que el campo E es el
responsable de la fluorescencia. Estas observaciones son tdas muy entendibles
ya que la fuerza ejercida en un electrón por la componente B del campo de
una onda electromagnética es generalmente despreciable en comparación con la
del campo E. Es por estas razones que se refiere al campo eléctrico como la
perturbación óptica o campo de luz.
SECCIÓN 4.2
Suma de Ondas de Diferente Frecuencia
Hasta ahora el análisis se ha restringido a la superposición de ondas con
la misma frecuencia. Sin embargo, en realidad nunca se tiene perturbaciones de
ningún tipo que sean estrictamente monocromáticas. Será bastante más realista,
como se verá, hablar de luz cuasimonocromática que está compuesta de un
estrecho rango de frecuencias. El estudio de tal luz llevará a los importantes
conceptos de ancho de banda y tiempo de coherencia.
La habilidad para modular efectivamente la luz hace posible acoplar siste-
mas electrónicos y ópticos en una forma que ciertamente tendrán efectos de

4.2. SUMA DE ONDAS DE DIFERENTE FRECUENCIA
gran alcance sobre toda la tecnolog´ıa en las décadas por venir. Además, con
el advenimiento de las técnicas electro-ópticas, la luz está comenzando a jugar
un nuevo y significativo papel como transportador de información. Esta sección
está dedicada a desarrollar algunas de las ideas matemáticas que se necesitan
para apreciar este nuevo énfasis.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1
Pulsos
Considérese ahora la perturbación compuesta que aparece de la combinación
de las ondas:
E1 = E01 cos(k1x − ω1t)
E2 = E01 cos(k2x − ω2t)
las cuales tienen amplitudes iguales y fase inicial cero. La onda neta:
E = E01[cos(k1x − ω1t) + cos(k2x − ω2t)]
puede formularse de nuevo como
E = 2E01 cos
1
2
[(k1 + k2)x − (ω1 + ω2)t]
× cos
1
2
[(k1 − k2)x − (ω1 − ω2)t]
usando la identidad
cos α + cos β = 2 cos
1
2
(α + β) cos
1
2
(α − β).
Ahora se definen las cantidades ω y k, que son la frecuencia angular promedio
y el número de propagación promedio, respectivamente. Similarmente las canti-
dades ωm y km se designan como la frecuencia de modulación y el número de
propagación de modulación. Por lo tanto, se hace
ω ≡
1
2
(ω1 + ω2) ωm ≡
1
2
(ω1 − ω2) (4.31)
y
k ≡
1
2
(k1 + k2) km ≡
1
2
(k1 − k2); (4.32)
entonces
E = 2E01 cos(kmx − ωmt) cos(kx − ωt). (4.33)
La perturbación total se puede considerar como una onda viajera de frecuencia
ω que tiene una amplitud modulada o variable en el tiempo E0(x, t) tal que
E(x, t) = E0(x, t) cos(kx − ωt), (4.34)
donde
E0(x, t) = 2E01(x, t) cos(kmx − ωmt). (4.35)
En las aplicaciones de interés aqu´ı ω1 y ω2 siempre serán muy grandes. Además,
si ellas son comparables entre s´ı, ω1 ≈ ω2, entonces ω ωm y E0(x, t) cambiar´ıa

lentamente mientras que E(x, t) variar´ıa muy rápidamente. La irradiancia es
proporcional a:
E2
0 (x, t) = 4E2
01 cos2
(kmx − ωmt)
o
E2
0 (x, t) = 2E2
01[1 + cos 2(kmx − ωmt)].
Obsérvese que E2
0 (x, t) oscila alrededor de un valor de 2E2
01 con una frecuencia
2ωm o simplemente (ω1 − ω2) que se conoce como la frecuencia de palpitación.
En otras palabras, la frecuencia de modulación, que corresponde a la envolvente
de la curva, es la mitad de la frecuencia de palpitación. Podr´ıa parecer que,
como la forma de la onda entre dos nodos consecutivos se repite a s´ı misma,
esa distancia debe ser la longitud de onda de la envolvente, pero este no es
generalmente el caso.
Las palpitaciones fueron observadas por primera vez usando luz en 1955 por
Forrester, Gudmundsen y Johnson. A fin de obtener dos ondas de frecuencia
ligeramente diferente usaron el efecto Zeeman. Cuando los átomos de una lám-
para de descarga, en este caso mercurio, se sujetan a un campo magnético, sus
niveles de energ´ıa se dividen. Como resultado de ello la luz emitida contiene dos
frecuencias componentes ν1 y ν2 que difieren en proporción a la magnitud del
campo aplicado. Cuando estas componentes se recombinan en la superficie de
un tubo mezclador fotoeléctrico la frecuencia de palpitación, ν1 − ν2 se genera.
Espec´ıficamente, el campo estaba ajustado de tal manera que ν1 − ν2 = 1010
Hz que corresponde convenientemente a una señal de microondas de 3 cm. La
corriente fotoeléctrica registrada ten´ıa la misma forma que la curva E2
0 (x).
El advenimiento del láser ha hecho desde entonces considerablemente más
fácil la observación de las palpitaciones usando luz. Aun una palpitación de unos
pocos Hz en 1014
Hz se puede observar como una variación en la corriente del
fototubo. La observación de las palpitaciones representa ahora un medio parti-
cularmente simple y sensible de detectar pequeñas diferencias en la fecuencia.
El efecto Doppler, que explica el desplazamiento de frecuencia cuando la luz se
refleja en una superficie móvil, provee otra serie de aplicaciones de las palpita-
ciones. Esparciendo luz con un objeto, bien sea sólido, l´ıquido o incluso gaseoso,
y mezclando entonces las ondas original y reflejada, se obtiene una medida pre-
cisa de la velocidad del cuerpo. En forma muy parecida en escala atómica, la luz
de láser cambiará su fase al interaccionar con ondas de sonido que se mueven
en un material (este fenómeno se llama esparcimiento Brillouin). Entonces 2ωm
queda como una medida de la velocidad del sonido en el medio.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2
Velocidad
de Grupo
La perturbación examinada en la sección anterior,
E(x, t) = E0(x, t) cos(kx − ωt),
consiste en una onda portadora de alta frecuencia (ω), modulada en amplitud
por una función coseno. Suponiendo, por un momento, que la onda no estuviera
modulada, es decir, E0 = constante. Cada pequeña cresta en la portadoras
viajar´ıa a la derecha con la velocidad de fase usual. En otras palabras:
v = −
∂ϕ
∂t
x=cte
∂ϕ
∂x
t=cte
.

4.2. SUMA DE ONDAS DE DIFERENTE FRECUENCIA
De la ecuación (4.34) la fase está dada por ϕ = (k − ωt) y por lo tanto
v =
ω
k
. (4.36)
Claramente, ésta es la velocidad de fase bien sea que la portadora esté modulada
o no. en el caso anterior las crestas simplemente cambian periódicamente de
amplitud conforme van viajando.
Evidentemente, hay otro movimiento en el que se está interesado y es la pro-
pagación de la envolvente moduladora. Supóngase que las ondas constitutivas,
E1(x, t) y E2(x, t), avanzan con la misma velocidad, v1 = v2. Imag´ınese, si se
quiere, las dos ondas armónicas con diferentes longitudes de onda y frecuencias
dibujadas en hojas separadas de plástico transparente. Cuando éstas se super-
ponen de cierta manera la resultante es un patrón estacionario de palpitaciones.
Si ambas hojas se mueven hacia la derecha con la misma velocidad para simular
ondas viajeras, las palpitaciones obviamente se moverán con la misma veloci-
dad. La rapidez con la cual la envolvente de modulación avanza se conoce como
velocidad de grupo o simbólicamente como vg. en este caso la velocidad de grupo
es igual a la velocidad de fase de la portadora (la velocidad promedio, ω/k). En
otras palabras, vg = v = v1 = v2. Esto se aplica espec´ıficamente a medios no
dispersores en los cuales la velocidad de fase es independiente de la longitud
de onda de tal forma que las dos ondas tengan la misma velocidad. Para una
solución de aplicación más general se examinará la expresión para la envolvente
de modulación:
E0(x, t) = 2E01(x, t) cos(kmx − ωmt).
La velocidad con la que se mueve la onda está de nuevo dada por la ecuación
(1.32) donde ahora se donde ahora se puede olvidar de la onda portadora. La
modulación por consiguiente avanza con una rapidez dependiente de las fases
de la envolvente (kmx − ωmt) y as´ı:
vg =
ωm
km
o
vg =
ω1 − ω2
k1 − k2
=
∆ω
∆k
.
Obsérvese, sin embargo, que ω puede ser dependiente de λ o, equivalentemente,
de k. La función particular ω = ω(k) se llama relación de dispersión. Cuando
el rango de frecuencia ∆ω, centrado alrededor de ω, es pequeño ∆ω/∆k es
aproximadamente igual a la derivada de la relación de dispersión, es decir
vg =
dω
dk
. (4.37)
La modulación o señal se propaga con una velocidad vg que puede ser mayor,
igual o menor que la velocidad de fase v, de la portadora. La ecuación (4.37)
es muy general y será cierta, también, para cualquier grupo de ondas que se
superponen siempre que su rango de frecuencia sea angosto.
Ya que ω = kv, la ecuación (4.37) da
vg = v + k
dv
dk
. (4.38)

como una consecuencia, en medios no dispersores donde v es independiente de
λ, dv/dk = 0 y vg = v. Espec´ıficamente en el vac´ıo ω = kc, v = c y vg = c.
En medios dispersores v1 = v2, donde n(k) no se conoce, ω = kc/n y es útil
reformular vg como:
vg =
c
n
−
kc
n2
dn
dk
o
vg = v 1 −
k
n
dn
dk
(4.39)
Para medios ópticos en regiones de dispersión normal, el ´ındice de refracción
aumenta con la frecuencia (dn/dk > 0) y como resultado vg < v. Claramente,
se deber´ıa definir un ´ındice de refracción de grupo
ng ≡
c
vg
(4.40)
que se debe distinguir cuidadosamente de n. A. A. Michelson en 1885 midió ng en
bisulfuro de carbono usando pulsos de luz blanca y obtuvo 1.758 en comparación
con 1.635.
La teor´ıa de la relatividad especial hace muy claro que bajo ninguna cir-
cunstancia una señal se puede propagar con una velocidad mayor que c. Sin
embargo, ya se ha visto que bajo ciertas circunstancias la velocidad de fase pue-
de exceder a c. La contradicción es solamente aparente y es debida al hecho de
que mientras que una onda monocromática puede en efecto tener una rapidez
mayor que c, ella no puede llevar información. En contraste, una señal en la
forma de cualquier onda modulada se propagará con la velocidad de grupo que
es siempre menor que c en medios normalmente dispersores. 1
1En regiones de dispersión anómala donde dn/dk < 0, vg puede ser mayor que c. Aqu´ı, sin
embargo, la señal se propaga con otra velocidad más, muy diferente, concida como la velocidad
de señal vs. Entonces vs = vg excepto en una banda de absorción de resonancia. En todos los
casos vg corresponde a la velocidad de transferencia de energ´ıa y nunca excede a c.

CAPÍTULO 5
Interferencias
Índice General
5.1. Consideraciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2. Condiciones para la Interferencia . . . . . . . . . . . 78
5.3. Interferómetros de División de Frente de Onda . . 79
5.4. Pel´ıculas Dieléctricas. Interferencia de dos Haces . 83
5.4.1. Franjas de Igual Inclinación . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4.2. Franjas de Igual Espesor . . . . . . . . . . . . . . . . 86
73

CAPÍTULO 5. INTERFERENCIAS
SECCIÓN 5.1
Consideraciones Generales
La luz es, por supuesto, un fenómeno vectorial; los campos eléctricos y mag-
néticos son campos vectoriales. Una apreciación de este hecho es fundamental
para cualquier tipo de entendimiento intuitivo de la óptica. No es necesario decir
que hay muchas situaciones en las que el sistema óptico en particular está de tal
manera configurado que la naturaleza vectorial de la luz es de poco significado
práctico. Se deducirá por lo tanto las ecuaciones de interferencia básicas dentro
del contexto del modelo vectorial, delineando después las condiciones bajo las
cuales el tratamiento escalar es aplicable.
De acuerdo con el principio de superposición, la intensidad del campo eléc-
trico E, en un punto en el espacio que proviene de los campos separados E1, E,
. . ., de varias fuentes que contribuyen, está dada por:
E = E1 + E2 + . . . .
Una vez más se hace notar que la perturbación óptica, o campo luminoso E,
var´ıa en un tiempo sumamente rápido, aproximadamente:
4,3 × 1014
Hz a 7,5 × 1014
Hz,
haciendo que el campo real sea una cantidad prácticamente indetectable. Por
otro lado, la irradiancia I puede ser medida directamente usando una gran va-
riedad de sensores (por ejemplo, fotoceldas, bolómetros, emulsiones fotográficas
u ojos). Realmente, si se va a estudiar la interferencia, entonces es mejor que se
ataque el problema por medio de la irradiancia.
Gran parte del análisis que sigue se puede efectuar sin especificar la forma
particular de los frentes de onda y los resultados son por consiguiente muy
generales en su aplicabilidad. Sin embargo, con el propósito de simplificar, se
considerarán dos fuentes puntuales S1 y S2 emitiendo ondas monocromáticas
de la misma frecuencia en un medio homogéneo. Además, perm´ıtase que su
separación a sea mucho más grande que λ. Colóquese el punto de observación
P lo suficientemente lejos de las fuentes de tal forma que los frentes de onda
en P sean planos. Por el momento se considerarán solamente ondas linealmente
polarizadas de la forma:
E1 (r, t) = E01 cos k1 · r − ωt + ε1
y
E2 (r, t) = E02 cos k2 · r − ωt + ε2
Anteriormente se vió que la irradiancia en P está dada por:
I = v E2
Puesto que solamente son concernientes las irradiancias relativas dentro del
mismo medio, se despreciarán, al menos por el momento, las constantes y se
pondrá:
I = E2
.

5.1. CONSIDERACIONES GENERALES
Lo que se quiere decir por E2
es, por supuesto, el promedio en el tiempo de
la magnitud de la intensidad del campo eléctrico al cuadrado o E · E . Por
consiguiente,
E2
= E · E,
donde ahora
E2
= E1 + E2 · E1 + E2
y por lo tanto:
E2
= E2
1 + E2
2 + 2E1 · E2
Tomando el promedio en el tiempo de ambos lados, la irradiancia queda:
I = I1 + I2 + I12 (5.1)
siempre que:
I1 = E2
1 ,
I2 = E2
2
y
I12 = 2 E1 · E2 .
La última expresión se conoce como término de interferencia. Para evaluarlo en
este caso espec´ıfico, se forma:
E1 · E2 = E01 · E02 cos k1 · r − ωt + ε1
× cos k2 · r − ωt + ε2
o equivalentemente:
E1 · E2 = E01 · E02[cos(k1r + ε1) × cos ωt
+ sin(k1 · r + ε1) sin ωt] × [cos(k2 · r + ε2) cos ωt
+ sin(k2 · r + ε2) sin ωt].
(5.2)
Recordando que el promedio en el tiempo de alguna función f(t), tomado sobre
un intervalo T, es:
f(t) =
1
T
t+T
t
f(t )dt . (5.3)
El per´ıodo τ de las funciones armónicas es 2π/ω y para la mayor´ıa de los pro-
pósitos presentes T τ. En ese caso el coeficiente 1/T frente a la integral tiene
un efecto dominante. Después de multiplicar y sacar el promedio, la ecuación
(5.2) queda:
E1 · E2 =
1
2
E01 · E02 cos k1 · r + ε1 − k2 · r − ε2 ,

donde se utilizó el hecho de que cos2
ωt = 1
2 , sin2
ωt = 1
2 y cos ωt sin ωt =
0. El término de interferencia es:
I12 = E01 · E02 cos δ (5.4)
y δ, igual a k1 · r − k2 · r + ε1 − ε2 , es la diferencia de fase que proviene de
combinar una diferencia de longitud de trayectoria y una diferencia de fase incial.
Obsérvese que si E01 y E02 (y por consiguiente E1 y E2) son perpendiculares,
I12 = 0 y I = I1 + I2. Dos estados ortogonales P tales se combinan para
dar un estado R, L, P o E, pero la distribución de densidad de flujo quedará
inalterada.
La situación que casi siempre ocurre en el trabajo que sigue corresponde a
E01 paralelo a E02. en ese caso, la irradiancia se reduce al valor encontrado en
el tratamiento escalar. Bajo esas condiciones:
I12 = E01E02 cos δ.
Esto se puede escribir en una forma más conveniente notando que:
I1 = E2
1 =
E2
01
2
y
I2 = E2
2 =
E2
02
2
El término de interferencia queda:
I12 = 2 I1I2 cos δ,
en donde la irradiancia total es:
I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos δ. (5.5)
En varios puntos en el espacio, la irradiancia resultante puede ser mayor, menor
o igual a I1 + I2 dependiendo del valor I12, es decir, dependiendo de δ. Un
máximo en la irradiancia se obtiene cuando cos δ = 1, tal que:
Imax = I1 + I2 + 2 I1I2.
cuando
δ = 0, ±2π, ±4π, . . . .
En este caso la diferencia de fase entre las dos ondas es un múltiplo entero
de 2π, y las perturbaciones están en fase. Se habla de esto como interferencia
constructiva total. Cuando 0 < cos δ < 1 las ondas están fuera de fase, I1 +
I2 < I < Imax y el resultado se conoce como interferencia constructiva. En
δ = π/2, cos δ = 0, las perturbaciones ópticas están 90o
fuera de fase y I =
I1 + I2. Para 0 > cos δ > −1 se tiene la condición de interferencia destructiva,
I1 + I2 > I > Imin. El m´ınimo en la irradiancia resulta cuando las ondas están
180o
fuera de fase, valles sobre crestas, cos δ = −1, y
Imin = I1 + I2 − 2 I1I2.

5.1. CONSIDERACIONES GENERALES
Esto, por supuesto, ocurre cuando δ = ±π, ±3π ± 5π, . . ., y recibe el nombre de
interferencia destructiva total.
Otro caso algo especial, aunque no muy importante aparece cuando las am-
plitudes de ambas ondas que llegan a P son iguales, es decir, E01 = E02. Ya
que las contribuciones a la irradiancia de ambas fuentes son entonces iguales,
haciendo I1 = I2 = I0. La ecuación (5.5) se puede ahora escribir como:
I = 2I0(1 + cos δ) = 4I0 cos2 δ
2
(5.6)
de lo cual se deduce que Imin = 0 y Imax = 4I0.
La ecuación (5.5) es igualmente válida para las ondas esféricas emitidas por
S1 y S2. Tales ondas se pueden expresar como:
E1(r1, t) = E01(r1)ei(kr1−ωt+ε1)
y
E2(r2, t) = E02(r2)ei(kr2−ωt+ε2)
Los términos r1 y r2 son los radios de los frentes de onda esféricos que se su-
perponen en P, es decir, ellos especifican las distancias de las fuentes J. En este
caso:
δ = k(r1 − r2) + (ε1 − ε2).
La densidad de flujo en la región que rodea a S1 y S2 ciertamente variará de
punto a punto al variar (r1 − r2). No obstante, del principio de conservación de
la energ´ıa, se espera que el promedio espacial de I permanezca constante e igual
al promedio de I1 + I2. El promedio espacial de I12 debe ser por lo tanto cero,
una propiedad verificada por la ecuación (5.4) ya que el promedio del término
del coseno es, en efecto, cero.
La ecuación (5.6) será aplicable cuando la separación entre S1 y S2 sea
pequeña en comparación con r1 y r2 y cuando, además, la región de interferencia
también sea pequeña en el mismo sentido. Bajo estas circunstancias E01 y E02
pueden considerarse independientes de la posición, es decir, constantes en la
pequeña región examinada. Si las fuentes emisoras son de igual intensidad E01 =
E02, I1 = I2 = I0 y se tiene:
I = 4I0 cos2 1
2
[k(r1 − r2) + (ε1 − ε2)]
Los máximos de irradiancia ocurren cuando:
δ = 2πm
siempre que m = 0, ±1, ±2, . . .. Similarmente, los términos para los cuales I = 0,
aparecen cuando:
δ = π(2m + 1).
Estas expresiones se pueden reescribir de tal forma que la máxima irradiancia
ocurre cuando:
(r1 − r2) =
2πm + (ε2 − ε2)
k
(5.7)
y la m´ınima cuando
(r1 − r2) =
π(2m + 1) + (ε2 − ε2)
k

Cualquiera de estas ecuaciones define una familia de superficies, cada una de las
cuales es un hiperboloide de revolución. Los vértices de los hiperboloides están
separados por distancias iguales a los lados derechos de las ecuaciones (5.7). Los
focos están localizados en S1 y S2. Si las ondas están en fase al salir del emisor
ε1 − ε2 = 0, y las ecuaciones (5.7) se simplifican a:
(r1 − r2) =
2πm
k
= mλ
(r1 − r2) =
π(2m + 1)
k
= m +
1
2
λ
para irradiancia máxima y m´ınima, respectivamente. Las zonas claras y oscuras
que se ver´ıan en una pantalla colocada en la región de interferencia se conocen
como franjas de interferencia.
SECCIÓN 5.2
Condiciones para la Interferencia
Si el patrón de interferencia que corresponde a las ecuaciones (5.7) es ob-
servable, la diferencia de fase (ε1 − ε2) entre las dos fuentes debe permanecer
bastante constante en el tiempo. Tales fuentes son coherentes. Dos haces que
se superponen y que vienen de emisores separados interferirán, pero el patrón
resultante no se sostendrá el tiempo suficiente para ser fácilmente observable.
Una fuente t´ıpica contiene un gran número de átomos excitados, cada uno capaz
de radiar un tren de onda aproximadamente por 10−8
s. Dos fuentes distintas
por consiguiente podr´ıan mantener sus fases relativas, en el mejor de los casos,
10−8
s. El patrón de interferencia resultante ser´ıa constante en espacio solamen-
te durante ese lapso, antes de que var´ıe al cambiar la fase, y de ah´ı en adelante
permanecer´ıa estable por otro momento, solamente para cambiar de nuevo y as´ı
sucesivamente. Por consiguiente, ser´ıa inútil intentar ver o fotografiar el patrón
de interferencia resultante de dos lámparas. Se han usado dos láseres separados
para generar patrones de interferencia. La forma más común de resolver el pro-
blema, como se verá, es hacer que una fuente se utilice para producir dos fuentes
secundarias coherentes.
Si dos haces deben interferir para producir un patrón estable, deben tener
casi la misma frecuencia. Una diferencia de frecuencia significante resultar´ıa en
una diferencia de fase dependiente del tiempo, variando rápidamente el cual a
su vez har´ıa que I12 se promediase a cero durante el intervalo de detección.
Los patrones más claros existirán cuando las ondas que interfirieron tengan
amplitudes iguales o casi iguales. Las regiones centrales de las franjas oscuras y
claras corresponden entonces a interferencia completamente destructiva o cons-
tructiva, respectivamente, dando máximo contraste.
En la sección previa se supuso que dos vectores de perturbaciones ópticas su-
perpuestos estaban linealmente polarizados y paralelos. No obstante, las fórmu-
las de la sección anterior se aplican también a situaciones más complicadas;
realmente el tratamiento es aplicable sin importar el estado de polarización de
las ondas. Para apreciar esto, es preciso recordar que cualquier estado de po-
larización se puede sintetizar en estados P ortogonales. Para luz natural (no

5.3. INTERFERÓMETROS DE DIVISIÓN DE FRENTE DE ONDA
polarizada) estos estados P son mutuamente incoherentes, pero ello no repre-
senta ninguna dificultad particular.
Supóngase que cada onda tiene su vector de propagación en el mismo plano
de tal forma se pueden marcar los estados P ortogonales constitutivos con res-
pecto a ese plano, es decir, E y E⊥, los cuales son paralelos y perpendiculares al
plano respectivamente. Entonces, cualquier onda plana polarizada o no, se pue-
de escribir en la forma (E +E⊥). Imag´ınese entonces que la sondas (E 1 +E⊥1)
y (E 2 + E⊥2) emitidas desde dos fuentes coherentes idénticas se superponen
en la misma región del espacio. La distribución de densidad de flujo resultante
consistir´ıa de dos patrones de interferencia independientes, precisamente super-
puestas, (E 1 + E⊥1)2
y (E 2 + E⊥2)2
. Por consiguiente, puesto que se
dedujeron las ecuaciones en la sección anterior, espec´ıficamente para luz lineal,
ellas son aplicables también, para cualquier estado de polarización incluyendo
luz natural.
Obsérvese que aunque E⊥1 y E⊥2 son siempre paralelas una a otra E 1
y E 2, las cuales están en el plano de referencia, no necesariamente lo son.
Serán paralelas solamente cuando los dos haces son paralelos entre s´ı (es decir,
k1 = k2). La naturaleza vectorial inherente del proceso de interferencia, como
se manifiesta en la representación del producto escalar (5.4) de I12, no puede
por consiguiente ignorarse. Como se verá, hay muchas situaciones prácticas en
las que los dos haces son casi paralelos y para éstos la teor´ıa escalar funciona
perfectamente.
Fresnel y Arago hicieron un estudio extensivo de las condiciones bajo las cua-
les la interferencia de luz polarizada ocurre y sus conclusiones resumen algunas
de las consideraciones anteriores. Las leyes de Fresnel-Arago son las siguientes:
1. Dos estados P coherentes ortogonales no pueden interfereir en el sentido
de que I12 = 0 y no resulten franjas.
2. Dos estados P coherentes y paralelos interfieren en la misma forma que la
luz natural.
3. dos estados P ortogonales constitutivos de la luz natural no pueden in-
terferir para formar un patrón fácilmente observable aunque se giran para
alinearlos. Este último punto es comprensible ya que estos estados P son
incoherentes.
SECCIÓN 5.3
Interferómetros de División de Frente de Onda
La ecuación
(r1 − r2) = mλ
determinaba las superficies de irradiancia máxima. Ya que la longitud de onda
λ para la luz es muy pequeña, un gran número de superficies que corresponden
a los valores más bajos de m existirán cerca y ambos lados del plano m = 0.
Un número de franjas paralelas y bastante rectas por consiguiente aparecerán
en una pantalla colocada perpendicularmente al plano (m = 0) y en la vecindad
de él, y para este caso la aproximación r1 ≈ r2 será válida. Si S1 y S2 son

entonces desplazados normalmente a la l´ınea S1S2, las franjas solamente serán
desplazadas paralelamente a s´ı mismas. Prácticamente, dos rendijas angostas
por consiguiente aumentarán la irradiancia dejando esencialmente inalterada,
por otro lado, la región central del patrón de las dos fuentes puntuales.
Considérese una onda plana monocromática hipotética iluminando una ren-
dija larga y angosta. De esa rendija primaria emergerá una onda cil´ındrica; y
supóngase que esta onda, a su vez, cae en dos rendijas S1 y S2 muy juntas,
angostas y paralelas. Cuando existe simetr´ıa, los segmentos del frente de onda
primario que llegan a las dos rendijas estarán exactamente en fase, y las rendi-
jas constituirán dos fuentes secundarias coherentes. Se espera que donde quiera
que las dos ondas que vienen de S1 y S2 se superpongan, ocurrirá interferen-
cia (siempre que la diferencia de camino óptico sea menor que la longitud de
coherencia, c∆t).
En una situación f´ısica realista la distancia entre cada una de las pantallas
ser´ıa larga en comparación con la distancia a entre las dos rendijas, y todas
las franjas estar´ıan bastante cerca del centro O de la pantalla. La diferencia de
camino entre los rayos a lo largo de S1P y S2P se puede obtener, con buena
aproximación, bajando una perpendicular desde S2 hasta S1P. Esta diferencia
de camino está dada por:
S1B = S1P − S2P (5.8)
o
S1B = r1 − r2.
Continuando con esta aproximación la diferencia de camino se puede expresar
como:
r1 − r2 = aθ (5.9)
ya que θ ≈ sin θ.
Obsérvese que
θ =
y
s
(5.10)
y as´ı
r1 − r2 =
a
s
y.
De acuerdo con la sección (5.11), la interferencia constructiva ocurrirá cuan-
do:
r1 − r2 = mλ. (5.11)
Entonces, de las últimas dos relaciones se obtiene:
ym =
s
a
mλ. (5.12)

5.3. INTERFERÓMETROS DE DIVISIÓN DE FRENTE DE ONDA
Esto da la posición de la m-ésima franja brillante sobre la pantalla si se cuenta
el máximo 0 como la franja cero. La posicón angular de la franja se obtiene
sustituyendo la última expresión en la ecuación (5.10)
θm =
mλ
a
(5.13)
Esta relación se puede obtener directamente mediante métodos geométricos.
Para el orden m-ésimo de interferencia, m longitudes de onda enteras deben
caber dentro de la distancia r1 − r2. Por consiguiente, del triángulo S1S2B se
obtiene:
θm =
mλ
a
.
El espacio entre franjas en la pantalla se puede obtener fácilmente de la
ecuación (5.12). La diferencia en las posiciones de dos máximos consecutivos es:
ym+1 − ym =
s
a
(m + 1)λ −
s
a
mλ
o
∆y =
s
a
λ. (5.14)
Ya que este patrón es equivalente al obtenido para dos ondas esféricas su-
perpuestas (al menos en la región r1 ≈ r2), se puede aplicar la ecuación (5.6).
Usando la diferencia de fase
δ = k(r1 − r2).
La ecuación (5.6) se puede reescribir como:
I = 4I0 cos2 k(r1 − r2)
2
siempre que, por supuesto, los dos haces sean coherentes y tengan irradian-
cias iguales a I0. Con
r1 − r2 = y
a
s
la irradiancia resultante queda:
I = 4I0 cos2 yaπ
sλ
.
Los máximos consecutivos están separados por la ∆y dada en la ecuación (5.14).
Una observación visual directa del patrón de las franjas se puede hacer per-
forando dos pequeños agujeros en una tarjeta delgada. Los agujeros deben ser
aproximadamente del tamaño del tipo de imprenta usado para el punto en esta
página y con sus centros separados alrededor de 3 radios. Una lámpara en la
calle, las luces de un automóvil o un semáforo en la noche, localizados a pocos
metros de distancia servirá como fuente de ondas planas. Esta tarjeta debe ser
colocada directamente frente y muy cerca del ojo. El patrón es mucho más fácil
de observar usando rendijas, pero vale la pena ensayar los agujeritos.
Las microondas, debido a su gran longitud de onda, tmabién ofrecen una
forma fácil de observar la interferencia de doble rendija. Dos rendijas (por ejem-
plo, λ/2 de ancho por λ de largo, separados por 2λ) cortadas en un pedazo de
lámina u hoja metálica servirán muy bien como fuente de onda secundaria.

La configuración interferométrica discutida antes, con fuentes puntuales o de
rendija, se conoce como experimento de Young. El principio f´ısico y las conside-
raciones matemáticas se aplican directamente a otros interferómetros de división
de frente de onda. Entre los más comunes de ellos están el espejo doble de Fres-
nel, el prisma doble de Fresnel y el espejo de Lloyd.
El espejo doble de Fresnel consiste en dos espejos planos metalizados al frente
e inclinados uno respecto al otro con un ángulo muy pequeño. Una porción del
frente de onda cil´ındrico proveniente de la rendija S se refleja en el primer espejo,
mientras que otra porción del frente de onda se refleja en el segundo espejo. Un
campo de interferencia existe en el espacio en la región deonde las dos ondas
reflejadas se superponen una sobre la otra. Las imágenes (S1 y S2) de la rendija S
en los dos se pueden considerar como fuentes coherentes separadas, colocadas con
una separación a. De la ley de la reflexión se deduce que SA = S1A, SB = S2B,
de tal forma que SA+AP = r1 y SB+BP = r2. La diferencia de camino óptico
entre los dos rayos es simplemente r1 −r2. Los máximos ocurren en r1 −r2 = mλ
como era el caso para el interferómetro de Young. De nuevo, la separación de
las franjas está dada por:
∆y =
s
a
λ
donde s es la distancia entre el plano de las dos fuentes virtuales (S1, S2) y la
pantalla. Nótese que el ángulo θ entre los espejos debe ser muy pequeño si los
vectores de campo eléctrico para cada uno de los dos haces son paralelos o casi
paralelos. Represéntese por E1 y E2 las ondas de luz emitidas por las fuentes
coherentes virtuales S1 y S2. En cualquier instante de tiempo en el punto P en el
espacio, cada uno de estos vectores se puede resolver en componentes, paralelas
y perpendiculares al plano de la página. Con k1 y k2 paralelas a AP y BP
respectivamente, debe ser evidente que las componentes E1 y E2 en el plano de
la pagina se acercan al paralelismo solamente para θ pequeña.
El prisma doble de Fresnel o biprisma consiste en dos prismas unidos en las
bases. Un frente de onda cil´ındrico simple llega a ambos prismas. La porción
superior del frente de onda se refracta hacia abajo, mientras que el segmento
inferior se refracta hacia arriba. En la región de superposición ocurre la interfe-
rencia. Aqu´ı de nuevo, existen dos fuentes virtuales, S1 y S2, separadas por una
distancia A la cual puede ser expresada en términos del ángulo α del prisma
donde s a. La expresión para la separación de las franjas es la misma que
antes.
El último interferómetro de división de frente de onda que se considerará es
el espejo de Lloyd. Consiste en una pieza plana de dieléctrico o metal que sirve
como espejo, del cual se refleja una porción del frente de onda cil´ındrico que
sale de la rendija S. Otra porción del frente de onda procede directamente de
la rendija a la pantalla. Para la separación a, entre las dos ondas coherentes, se
toma la distancia entre la rendija real y su imagen S1 en el espejo. El espacio
entre las franjas está de nuevo dado por s
a λ. La caracter´ıstica que distingue a
este dispositivo es que a incidencia rasante (θi ≈ π/2) el haz reflejado sufre un
cambio de fase de 180o
(hay que recordar que el coeficiente de reflexión para las
amplitudes es entonces igual a -1). Con un cambio de fase adicional de ±π.
δ = k(r1 − r2) ± π

5.4. PELÍCULAS DIELÉCTRICAS. INTERFERENCIA DE DOS HACES
y la irradiancia queda:
I = 4I0 sin2 πay
sλ
.
El patrón de franjas para el espejo de Lloyd es complementario del de inter-
ferómetro de Young; el máximo de de un patrón existe para valores de y que
corresponden a los m´ınimos en el otro patrón. La orilla superior del espejo es
equivalente a y = 0 y será el centro de una franja oscura en lugar del de una
franja brillante como en el sistema de Young. La mitad inferior del patrón será
obsturida por la presencia del espejo mismo. Considérese, entonces, qué pasar´ıa
si una hoja delgada de material transparente se colocara en la trayectoria de
los rayos que viajan directamente a la pantalla. La hoja transparente tendr´ıa el
efecto de aumentar el número de longitudes de onda en cada rayo directo. El
patrón entero se mover´ıa hacia arriba hasta donde los rayos reflejados viajar´ıan
un poco más antes de interferir. Debido a la simplicidad obvia inherente de este
sistema se ha encontrado útil en una región muy ancha del espectro electromag-
nético. Las superficies reflectoras reales han variado de cristal por rayos X, de
vidrio común para luz, de pantallas de alambre para microondas, a un lago o
incluso la ionosfera de la tierra para ondas de radio.
Todos los interferómetros anteriores se pueden demostrar muy fácilmente.
La fuente de luz debe ser fuerte; si no se dispone de un láser, una lámpara de
descarga o un arco de carbón seguida por una celda de agua, para enfriar las
cosas un poco, trabajar´ıa satisfactoriamente. La luz no es monocromática, pero
las franjas, que serán coloreadas, aún se pueden observar. Una aproximación
satisfactoria a la luz monocromática se puede obtener con un filtro colocado
frente al arco. Un láser He-Ne de baja potencia es quizá la fuente más fácil para
trabajar y con ella no se necesitará una celda de agua o filtro.
SECCIÓN 5.4
Pel´ıculas Dieléctricas. Interferencia de dos Haces
Los efectos de la interferencia se observan en materiales transparentes, el
espesor de los cuales var´ıa en un amplio rango. El rango de valores va desde
pel´ıculas con espesores menores que la longitud de onda de la luz (por ejemplo,
para luz verde λ0 es aproximadamente igual a 1/150 el espesor de esta hoja de
papel) hasta placas con varios centr´ımetros de espesor. Se dice que una capa de
algún material es una pel´ıcula delgada para cierta longitud de onda de radia-
ción electromagnética cuando su espesor es del orden de la longitud de onda.
A cominezos de la década de los cuarenta, el fenómeno asociado con pel´ıculas
delgadas dieléctricas, aunque era bien conocido, hab´ıa tenido aplicaciones limi-
tadas. El despliegue espectacular de colores que aparece en las capas de aceite y
en las pompas de jabón, aunque estética y teóricamente son agradables, fueron
prácticamente sólo bellas curiosidades.
El advenimiento de técnicas adecuadas de deposición al vac´ıo en la década
de 1930 trajo consigo la capacidad de producir recubrimientos precisamente
controlados a escala comercial y con eso, a su vez un renacimiento del interés.
Durante la Segunda Gerra Mundial, ambos lados encontraban al enemigo con
una variedad de dispositivos ópticos recubiertos y alrededor de 1960 se usaban
profusamente recubrimientos de multicapas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1
Franjas de
Igual
Inclinación
Inicialmente, se considerará el caso sencillo de una placa transparente y
paralela de material dieléctrico con un espesor d. Supóngase que la pel´ıcula
es no absorbente y que los coeficientes de reflexión de amplitud en las caras
son tan bajos, que únicamente se necesitan considerarse los dos primeros haces
reflejados E1r y E2r (ambos han sufrido sólo una reflexión). En la práctica los
haces reflejados varias veces (E3r, etc.) por lo general decrecen muy rápidamente,
como puede ser demostrado para las interfases entre aire-agua y aire-vidrio. Por
el momento, se considerará a S como una fuente puntual monocromática. La
pel´ıcula sirve como un dispositivo de división de amplitud, tal que E1r y E2r
pueden ser considerados como provenientes de dos fuentes coherentes virtuales
colocadas atrás de la pel´ıcula. Los rayos reflejados son paralelos cuando dejan la
pel´ıcula y se pueden unir en un punto P sobre el plano focal de un objetivo de
telescopio o sobre la retina del ojo cuando está enfocado al infinito. La diferencia
de camino óptico para los dos primeros rayos reflejados está dada por:
Λ = nf AB + BC − n1 AD
y puesto que AB = BC = d/ cos θt,
Λ =
2nf d
cos θt
− n1 AD .
Ahora, para encontrar una expresión para AD , se escribe:
AD = AC sin θi;
si se hace uso de la ley de Snell, esto se transforma en:
AD = AC
nf
n1
sin θi,
donde
AC = 2d tan θt. (5.15)
La expresión para Λ ahora es:
Λ =
2nf d
cos θt
(1 − sin2
θt)
o finalmente
Λ = 2nf d cos θt. (5.16)
La diferencia de fase correspondiente y asociada con la diferencia de camino
óptico es entonces justamente el producto del número de propagación del vac´ıo
y Λ, es decir, k0Λ. Si la pel´ıcula está sumergida en un solo medio, el ´ındice de
refracción se puede escribir simplemente como n1 = n2 = n. Hay que darse
cuenta, por supuesto, que n puede ser menor que nf , como en el caso de la
pompa de jabón en aire; o mayor que nf , como con una capa de aire entre
dos placas delgadas de vidrio. En cualquier caso habrá un corrimiento adicional
en la fase como resultado de las reflexiones mismas. Hay que recordar que,
independientemente de la polarización de la luz incidente, los dos haces, uno
reflejado interna y el otro externamente, sufrirán un cambio relativo de fase de
π radianes. De acuerdo a ello:
δ = k0Λ ± π

y más explicitamente
δ =
4πnf
λ0
d cos θt ± π (5.17)
o
δ =
4πnf
λ0
n2
f − n2 sin θi ± π (5.18)
El signo de corrimiento de fase no es relevante, de tal modo que se escogerá el
signo negativo para hacer las ecuaciones un poco más simples. En luz reflejada
un máximo de interferencia, un punto brillante, aparecerá en P cuando δ = 2mπ,
o sea, un múltiplo par de π. En ese caso la ecuación (5.17) puede ser arreglada
para obtener
d cos θt = (2m + 1)
λf
4
m = 0, 1, 2, . . . , máximos (5.19)
donde se ha usado el hecho de que λf = λ0/nf . Esto también corresponde a
m´ınimos en la luz transmitida. Los m´ınimos de interferencia en luz reflejada
(máximos en transmitida) resultan cuando δ = (2m ± 1)π, es decir, múltiplos
impares de π. Para tales casos la ecuación (5.17) da:
d cos θt = 2m
λf
4
. (5.20)
El hecho de que aparezcan múltiplos pares e impares de λf /4 en las ecuaciones
(5.19) y (5.20) es bastante significativo, como se verá posteriormente. Se puede,
por supuesto, tener una situación donde n1 > nf > n2 o donde n1 < nf < n2
como en el caso de una pel´ıcula de fluorita depositada sobre un elemento óptico
sumergido en aire. El corrimiento de fase en π no se presentar´ıa y las ecuaciones
anteriores tendr´ıan que ser modificadas apropiadamente.
Si la lente empleada para enfocar los rayos tiene una abertura pequeña, las
franjas de interferencia aparecerán sobre una porción pequeña de la pel´ıcula.
Solamente los rayos que salen de la fuente puntual, los cuales son reflejados
directamente hacia la lente, podrán ser observados. Para una fuente extensa, la
luz llegará a la lente desde varias direcciónes y el patrón de franjas se extenderá
para cubrir una área mayor de la pel´ıcula.
El ángulo θi o equivalentemente θt, determinado por la posición de P, a su
vez controlará δ. Las franjas que aparezcan en los puntos P1 y P2 son, corres-
pondientemente, conocidas como franjas de igual inclinación. Hay que recordar
que cada fuente puntual sobre la fuente extendida es incoherente con respecto
a las otras.
Obsérvese que conforme la pel´ıcula se hace más gruesa, la separación AC
entre E1r y E2r también aumenta ya que:
AC = 2d tan θt.
Cuando sólo uno de los rayos puede entrar a la pupila del ojo, el patrón de
interferencia desaparecerá. La lente más grande de un telescopio puede ser usada
entonces para atrapar ambos rayos, haciendo una vez más posible la observación

del patrón. La separación también puede disminuirse reduciendo θt y por lo tanto
θi, o sea, observando la pel´ıcula casi a incidencia normal. Las franjas de igual
inclinación observadas en esta forma para placas gruesas se conocen como franjas
de Haidinger. Con una fuente extendida ellas consisten de una serie de bandas
circulares concéntricas centradas sobre la perpendicular del ojo a la pel´ıcula.
Conforme el observador se mueve, el patrón también lo hace.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2
Franjas de
Igual
Espesor
Existe toda una clase de franjas de interferencia para las cuales el espesor
óptico, nf d, es el parámetro dominante más que θi. Estas se llaman franjas
de igual espesor. Bajo iluminación con luz blanca la iridiscencia de pompas de
jabón, capas de aceite (con unas cuantas longitudes de onda gruesa), e inclu-
so superficies de metal oxidado, todas ellas son resultados de variaciones en el
espesor de la pel´ıcula. Las bandas de interferencia de este tipo son análogas al
contorno de l´ıneas de altura constante de un mapa topográfico. Cada franja es
el lugar geométrico de todos los puntos en la pel´ıcula para el cual el espesor
óptico es constante. En general, nf no var´ıa, de tal modo que las franjas en
realidad corresponden a regiones de igual espesor en la pel´ıcula. Como tal, ellas
pueden ser bastante útiles para determinar aspectos diferentes de la superficie
de elementos ópticos: lentes, prismas, etc. Por ejemplo, una superficie que va a
ser examinada se puede poner en contacto con un plano óptico. 1
El aire entre
el espacio de las dos superficies genera un patrón de interferencia de pel´ıculas
delgadas. Si la superficie bajo prueba es plana, una serie de bandas rectas e
igualmente espaciadas indicará una pel´ıcula de aire en forma de cuña, resultan-
do proveniente, generalmente, del polvo entre los planos. Dos piezas de placas
de vidrio separadas en un extremo por una tira de papel formarán una cuña
satisfactoria con la cual se observarán estas bandas.
Cuando se ve casi a incidencia normal, los contornos provenientes de una
pel´ıcula no uniforme se llaman franjas de Fizeau. Para una cuña delgada de
ángulo pequeño α, la diferencia de camino óptico entre los dos rayos reflejados
puede ser aproximada por la ecuación (5.16), donde d es el espesor para un
punto particular, es decir:
d = xα
Para ángulos pequeños de θi la condición para interferencia máxima es:
m +
1
2
λ0 = 2nf dm
o
m +
1
2
λ0 = 2αxmnf .
Puesto que nf = λ0/λf , xm puede escribirse como:
xm =
m + 1
2
2α
λf .
1Una superficie se dice que está ópticamente plana cuando se desv´ıa no más de λ/4 res-
pecto a un plano perfecto. En el pasado, los mejores planos fueron hechos de cuarzo fundido
transparente. Ahora hay disponibles materiales de vidrio-cerámica (por ejemplo, CER-VIT)
que tiene coeficientes de expansión térmica muy pequeños (alrededor de un sexto de los de
cuarzo). Se pueden hacer planos individuales de λ/200 o un poco mejores.

Los máximos ocurren a distancias del vértice dadas por λf /4α, 3λf /4α, etc., y
las franjas consecutivas están separadas por una distancia ∆x, dada por:
∆x =
λf
2α
Obsérvese que la diferencia de espesor de la pel´ıcula entre máximos adyacentes
es simplemente λf /2. Puesto que el haz reflejado en la superficie inferior cruza
la pel´ıcula dos veces (θi ≈ θt ≈ 0), los máximos adyacentes difieren en longitud
de camino óptico por λf . También se observa que el espesor de la pel´ıcula para
varios máximos está dado por:
dm = (m +
1
2
)
λf
2
el cual es un múltiplo impar de un cuarto de longitud de onda. Cruzando la
pel´ıcula dos veces se obtiene un cambio de fase de π el cual, cuando se suma al
corrimiento de π resultante de la reflexión, pone a los dos rayos en fase. Cuando
una pel´ıcula de jabón se ilumina con luz blanca las bandas son de varios colores.
La región negra en la parte superior es una porción donde el espesor de la
pel´ıcula es menor que λf /4. Dos veces esto, más corrimiento adicional de λf /2
debido a la reflexión, es menor que una longitud de onda completa. Los rayos
reflejados, por lo tanto, están fuera de fase. Como el espesor decrece aún más,
la diferencia de fase total se aproxima a π. La irradiancia para el observador
alcanza un m´ınimo (5.5) y la pel´ıcula aparece negra en luz reflejada. 2
Si se presionan juntos dos portaobjetos de microscopio bien limpios. La pel´ı-
cula de aire encerrada entre ambos generalmente no será uniforme. con la ilumi-
nación ordinaria de una habitación, una serie de bandas irregulares y coloreadas
(franjas de igual espesor) serán claramente visibles sobre la superficie. Los por-
taobjetos (láminas delgadas de vidrio) se distorsionarán si se someten a presión
y por lo tanto las franjas se moverán y cambiarán. Es más, si las dos piezas de
vidrio son presionadas juntas en un punto, por ejemplo, empleando la punta de
un lápiz, se formará alrededor de ese punto una serie de franjas concéntricas,
casi circulares. Conocido como anillos de Newton. 3
Colocando una lente sobre
un plano óptico e iluminando a incidencia normal con luz cuasimonocromática,
la cantidad de uniformidad en el patrón de c´ırculos concéntricos es una medida
del grado de perfección en la forma de la lente. Siendo R el radio de curvatura
de una lente convexa, la relación entre la distancia x y el espesor d de la pel´ıcula
está dada por:
x2
= R2
− (R − d)2
,
o más simplemente por:
x2
= 2Rd − d2
2El corrimiento relativo π de fase entre las reflexiones interna y externa es indispensable
si la densidad de flujo reflejada tiende a cero suavemente, conforme la pel´ıcula se hace más
delgada y finalmente desaparece.
3Robert Hooke (1635-1703) e Isaac Newton, ambos en forma independiente, estudiaron
una gama de fenómenos en pel´ıculas delgadas como pompas de jabón hasta pel´ıculas de aire
entre lentes. Citando el libro Opticks de Newton:
Tomé dos objetos de vidrio, el uno una lente plano-convexa para un telescopio de catorce
pies, y el otro una lente doble-convexa para uno de quince pies; después de esto, la otra con su
lado plano hacia abajo, las presioné lentamente hasta hacer aparecer colores en forma sucesiva
que sal´ıan de en medio de los c´ırculos.

Puesto que R d esto se convierte en:
x2
= 2Rd.
Nuevamente se aproximará suponiendo que se necesita únicamente examinar los
primeros dos haces reflejados E1r y E2r. El m-ésimo orden de interferencia para
un máximo ocurrirá en la pel´ıcula delgada cuando su grueso esté de acuerdo con
la relación:
2nf dm = m +
1
2
λ0.
El radio del m−ésimo anillo brillante se encuentra por lo tanto combinando las
dos últimas expresiones para obtener:
xm = m +
1
2
λf R. (5.21)
Igualmente, el radio del m-ésimo anillo negro es:
xm = mλf R. (5.22)
Si las dos piezas de vidrio están en buen contacto (sin polvo), la franja central
en ese punto (x0 = 0) claramente será el m´ınimo de orden cero, un resultado
comprensible puesto que d se hace cero en ese punto. En luz transmitida, el
patrón observador será el complementario del de luz reflejada discutido antes,
de tal modo que el centro aparecerá ahora brillante.
Los anillos de Newton, que son franjas de Fizeau, pueden distinguirse del
patrón circular de franjas de Haidinger por la manera como los diámetros de los
anillos var´ıan con el orden m. La región central en el patrón de Haidinger co-
rresponde al valor máximo de m mientras que justamente lo opuesto se aplicará
a los anillos de Newton.
Un taller de óptica en el negocio de producción de lentes tendrá un conjunto
de precisas placas esféricas de referencia o medidores. Un diseñador puede en-
tonces especificar la precisión de la superficie de una lente nueva en términos del
número y regularidad de los anillos de Newton, los cuales serán observados con
un instrumento de prueba particular. Se debe mencionar que el uso de placas de
prueba en la manufactura de lentes de alta calidad da lugar a técnicas mucho
más complicadas incluyendo interferómetros de láser.

CAPÍTULO 6
Difracción
Índice General
6.1. Difracción de Fraunhofer por una Rendija . . . . . 90
89

CAPÍTULO 6. DIFRACCIÓN
SECCIÓN 6.1
Difracción de Fraunhofer por una Rendija
Considérese que se ilumina una pantalla con un foco puntual y coherente S,
de longitud de onda λ y se interpone entre dicho foco y la pantalla un diafragma
formado por una rendija de anchura a, de manera que la distancia L entre el
diafragma con la rendija y la pantalla sea mucho mayor que la anchura de la
rendija a.
Hechas estas consideraciones y teniendo en cuenta que la luz presenta dos
comportamientos muy distintos la pregunta es ¿se observará en la pantalla lo
mismo si es uno u otro el modo de interacción de la luz? Pues bien, dependiendo
de la naturaleza que supongamos para la luz dos son los posibles resultados de
este experimento, que se describirán a continuación.
Atendiendo exclusivamente a la naturaleza corpuscular de la luz esto es lo
que se deber´ıa ocurrir: Los fotones se propagan en todas direcciones desde el
foco puntual S, extendiéndose por todo el espacio; algunos de ellos viajarán en
dirección a la pantalla, pero al estar interpuesto el diafragma entre el foco y la
pantalla parte de estos últimos se pegarán contra la placa del diafragma y ah´ı
finalizará su viaje, de manera que sobre la pantalla se proyectará la sombra del
diafragma; sin embargo, otros (los que salen del foco S formando un pequeño
ángulo) conseguirán pasar a través de la rendija y llegarán a la pantalla ilumi-
nándola. Según esta descripción el resultado final que cabe esperar es que se
observe una zona iluminada semejante a la abertura, con contornos n´ıtidos y
bien delimitados entre la luz y la sombra.
Sin embargo si se atiende a la naturaleza ondulatoria de la luz, el estudio
del fenómeno es más complicado, pues deber´ıa ocurrir lo siguiente: Un frente de
ondas esférico se propaga desde el foco puntual a través del espacio, si además
el foco puntual está alejado del diafragma y la rendija de éste es relativamente
pequeña, se puede considerar que el frente de ondas incidente sobre la rendija
es plano. De acuerdo con el principio de Huygens, cada punto sobre el frente
de ondas realiza el mismo papel que un foco puntual, emitiendo a su vez, fren-
tes de onda esféricos. Estos nuevos frentes de ondas producidos en la rendija
están destinados a interaccionar unos con otros. Se producirán fenómenos de
interferencia en los cuales unos frentes de ondas al interferir con otros se re-
forzarán (interferencia constructiva) mientras que en otros casos se debilitarán
(interferencia destructiva).
La interferencia constructiva máxima entre dos frentes se producirá cuando
ambos frentes estén en fase, o lo que es lo mismo, cuando en las ondas de cada
frente coinciden espacialmente crestas y nodos; en este caso las amplitudes de
las ondas se sumarán y la amplitud resultante será máxima. La condición de
interferencia constructiva entre dos frentes de ondas es que el ángulo de desfase
entre ambos sea 0 o 2πm, siendo m un número entero. Toda interferencia que
se produzca entre dos frentes de ondas diferente de la descrita dará lugar a on-
das con amplitud menor que la máxima, pudiendo incluso darse extinciones en
el caso particular de que los frentes que interfieran estén desfasados en media
longitud de onda, (cuando las crestas de las ondas de un frente coinciden espa-
cialmente con los valles de las ondas de otro frente) en este caso la suma de las
ondas de dichos frentes dan lugar a amplitudes de radiación m´ınimas, que se
conoce como interferencia destructiva. La condición de interferencia destructiva

6.1. DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER POR UNA RENDIJA
entre dos frentes de ondas es que el ángulo de desfase entre ambos sea π o πm,
siendo m un número entero.
Para analizar la distribución de la intensidad luminosa en la pantalla tras
las interferencias de los frentes de onda procedentes de la rendija, considérese
un punto genérico de la pantalla P situado en ella, de manera que el tren de
ondas procedente de uno de los focos se propaga hasta P formando un ángulo
θ con respecto a la normal a la rendija. Puesto que la rendija es pequeña y la
pantalla se encuentra muy alejada del diafragma, se puede considerar que los
rayos (o mejor dicho, las l´ıneas directrices a lo largo de las cuales se propagan
las ondas luminosas) que llegan al punto P de la pantalla salen paralelos entre
s´ı de los focos puntuales situados en la rendija. Considérese también que la
rendija de anchura a se divide en N subintervalos iguales tales que en el medio
de cada subintervalo haya un foco puntual emisor de ondas luminosas. Si se
denota por d a la distancia entre dos focos puntuales adyacentes y puesto que
la anchura de la rendija es a, resulta que la distancia de separación d entre dos
focos adyacentes es d = a/N. Esta distancia de separación entre los focos hace
que exista una diferencia de trayectos entre las ondas que de ellos salen hacia
el punto P, siendo, a su vez, esta diferencia de trayectos la causa de que entre
estas ondas haya una diferencia de fase dada por:
δ =
2π
λ
d sin θ (6.1)
Se puede calcular la amplitud de la radiación en el punto P, para el cual las
ondas procedentes de dos fuentes adyacentes difieran en una fase igual a δ.
La siguiente figura muestra el diagrama de fasores para la suma de N ondas
procedentes de los N focos puntuales que difieren de fase de la primera onda en
δ, 2δ, . . . , (N − 1)δ. Cuando N es muy grande y δ muy pequeña, el diagrama de
fasores es aproximadamente un arco de circunferencia, pero en cualquier caso
se puede escribir φ = (N − 1)δ, siendo φ la diferencia de fase existente entre
la onda del primer foco y la onda del último foco. La amplitud de la radiación
resultante en el punto genérico P es Eθ, que resulta ser la longitud de la cuerda
de este arco, y se calcula en función de la diferencia de fases entre la onda del
primer foco y la onda del último foco.
Del anterior diagrama de fasores se tiene:
Eθ = 2r sin
1
2
φ (6.2)
Donde r es el radio del arco, que puede calcularse en función de la longitud del
arco y el ángulo de desfase φ entre la primera y última ondas.
r =
NE0
φ
(6.3)
Donde E0 es la amplitud de la radiación de cada foco independiente de los
demás. Sustituyendo esta expresión en la precedente se obtiene:
Eθ = 2
NE0
φ
sin
1
2
φ ⇒ Eθ =
NE0
1
2 φ
sin
1
2
φ (6.4)

La amplitud máxima de la radiación (y por tanto su intensidad) se dará en aquel
punto en el que todas las ondas interfieran constructivamente, de manera que
se satisfaga que el desfase de todas las ondas es 0, situación que se da cuando
θ = 0 y en este caso la amplitud máxima es NE0, y puesto que la intensidad
de la radiación en cualquier punto de la pantalla es proporcional al cuadrado
de la amplitud de la radiación incidente en dicho punto, se obtiene la siguiente
expresión para la intensidad de la radiación en el punto genérico P:
Imax ∝ (NE0)2
Iθ ∝ E2
θ
⇒
Iθ
Imax
=
E2
θ
(NE0)2
⇒ Iθ = Imax
E2
θ
(NE0)2
⇒
⇒ Iθ = Imax
1
(NE0)2
NE0
1
2 φ
sin
1
2
φ
2
es decir:
Iθ = Imax
sin 1
2 φ
1
2 φ
2
(6.5)
El segundo factor del segundo miembro no hace más que modular la intensidad
máxima Imax, ya que toma valores entre 0 y 1 dependiendo del desfase φ entre
la primera y última onda. El desfase φ depende del desfase existente entre dos
ondas de dos focos adyacentes, que a su vez, depende del ángulo θ formado
por la l´ınea de propagación de las ondas hasta un punto P en la pantalla y la
normal a la rendija. Esta dependencia de la intensidad con el ángulo θ da lugar a
máximos y m´ınimos de difracción sobre la pantalla. A continuación se hará una
discusión acerca de las distintas situaciones que se pueden dar según la anterior
expresión:
1. Intensidad m´ınima. El valor m´ınimo posible de la intensidad en un punto
P de la pantalla es Iθ = 0. La situación de intensidad m´ınima se produce
cuando el segundo factor de la expresión general de la intensidad vale
0, que se produce cuando φ = 2πm, como bien puede comprobarse tras
sustituir dicho valor. Como el desfase entre dos ondas adyacentes y el
desfase entre las ondas del primer y último foco está relacionadas por
φ = (N − 1)δ, se llega a la conclusión de que φ = 2πm se cumple cuando
δ = 2πm/(N − 1) ≈ 2πm/N (cuando N es grande). Esto significa que
todos los fasores se hallan formando un pol´ıgono regular cerrado. Por otro
lado, como el desfase entre dos ondas adyacentes está relacionado con el
ángulo θ por δ = 2π/λ · d sin θ, ocurre que la situación δ = 2πm/N se da
cuando a sin θ = mλ:
δ =
2π
λ
d sin θ ⇒
2πm
N
=
2π
λ
d sin θ ⇒ mλ = Nd sin θ
Puesto que d = a/N se obtiene finalmente:
a sin θ = mλ m = 1, 2, 3, . . . (6.6)
Todo punto P de la pantalla situado de manera que forme un ángulo θ
con respecto a la normal a la rendija, y verifique la expresión anterior se
halla en oscuridad, es decir:
Iθ = 0 (6.7)

6.1. DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER POR UNA RENDIJA
2. Máximos relativos de intensidad. En los puntos P de la pantalla en los que
no se cumpla la anterior condición es evidente que no habrá oscuridad. En
dichos puntos incidirá siempre algo de radiación, aunque sea muy poca, y
el valor de su intensidad oscilará entre 0 < Iθ ≤ Imax. Esta situación se
produce cuando el segundo factor de la expresión general de la intensidad
vale entre 0 y 1, que se produce cuando φ = 2πm. De todos los valores
posibles que puede tomar φ, existen algunos para los que la intensidad en
la pantalla presenta máximos relativos. Estos máximos relativos aparecen
cuando φ = 2π(m + 1
2 ). Como el desfase entre dos ondas adyacentes y
el desfase entre las ondas del primer y último foco está relacionadas por
φ = (N − 1)δ, se llega a la conclusión de que φ = 2π(m + 1
2 ) se cumple
cuando δ = 2π(m+ 1
2 )/(N −1) ≈ 2π(m+ 1
2 )/N (cuando N es grande). Esto
significa que todos los fasores se hallan completando m circunferencias y
media, aproximadamente. Por otro lado, como el desfase entre dos ondas
adyacentes está relacionado con el ángulo θ por δ = 2π/λ · d sin θ, ocurre
que la situación δ = 2π(m + 1
2 )/N se da cuando a sin θ = (m + 1
2 )λ:
δ =
2π
λ
d sin θ ⇒
2π m + 1
2
N
=
2π
λ
d sin θ ⇒ m +
1
2
λ = Nd sin θ
Puesto que d = a/N se obtiene finalmente:
a sin θ = m +
1
2
λ m = 1, 2, 3, . . . (6.8)
con respecto a la normal a la rendija, y verifique la expresión anterior se
halla iluminado con la siguiente intensidad:
Iθ = Imax
1
m + 1
2 π
2
m = 1, 2, 3, . . . (6.9)
Estos máximos relativos reciben el nombre de máximos secundarios de di-
fracción, lo hace suponer que debe existir un máximo principal. Pues bien,
es a este máximo principal al que corresponde la situación de iluminación
con intensidad máxima en la pantalla.
3. Intensidad máxima. El valor máximo posible de la intensidad en un punto
P de la pantalla es Iθ = Imax. La situación de intensidad máxima se
produce cuando el segundo factor de la expresión general de la intensidad
vale 1, que se produce cuando φ = 0, como bien puede comprobarse tras
sustituir dicho valor y eliminar previamente la indeterminación tipo 0
0
mediante la regla de L‘Hôpital. Como el desfase entre dos ondas adyacentes
y el desfase entre las ondas del primer y último foco está relacionadas por
φ = (N − 1)δ, se llega a la conclusión de que φ = 0 se cumple cuando
δ = 0. Esto significa que todos los fasores están en l´ınea, o lo que es lo
mismo, que las ondas procedentes de todos los focos están en fase. Por otro
lado, como el desfase entre dos ondas adyacentes está relacionado con el
ángulo θ por δ = 2π/λ·d sin θ, ocurre que la situación δ = 0 se da cuando:
δ =
2π
λ
d sin θ ⇒ 0 =
2π
λ
d sin θ

Que ocurre cuando:
θ = 0o
(6.10)
Y como se dec´ıa, la intensidad en este caso es:
Iθ = Imax (6.11)
igual a 0 con respecto a la normal a la rendija, se halla iluminado por
radiación de intensidad máxima igual a Imax (y amplitud máxima NE0).
La distancia existente ∆y entre el máximo principal y el primer m´ınimo de
difracción está relacionada con el ángulo θ y la distancia L que separa la rendija
de la pantalla por:
tan θ =
∆y
L
Puesto que la pantalla está bastante alejada del diafragma, el ángulo θ es muy
pequeño y puede hacerse la aproximación tan θ ≈ sin θ, de manera que la anterior
expresión se convierte en:
sin θ =
∆y
L
Sustituyendo el valor de sin θ de la anterior ecuación en la expresión que carac-
teriza los m´ınimos de difracción, se obtiene finalmente:
∆y =
Lλ
a
(6.12)
Finalmente, la descripción del fenómeno que se observar´ıa es la siguiente: la
mayor parte de la intensidad luminosa se concentra en un máximo central de
difracción ancho, aunque, existen bandas de máximos secundarios más pequeños
a cada lado del máximo central. Para una longitud de onda determinada λ, la
anchura del máximo central var´ıa en razón inversa con la anchura de la rendija.
Es decir, si se aumenta la anchura de la rendija a, disminuye el ángulo θ en que la
intensidad es por primera vez nula, originándose un máximo de difracción central
más estrecho. Inversamente, si disminuye la anchura de la rendija, aumenta
el ángulo correspondiente al primer m´ınimo, dando as´ı un máximo central de
difracción más ancho. Cuando la rendija es muy pequeña, no existen puntos
de intensidad nula en el diagrama, pues en este caso la rendija actúa como
una fuente lineal, radiando energ´ıa luminosa esencialmente por igual en todas
direcciones. Si, por el contrario, la rendija es muy ancha (mucho mayor que la
longitud de onda de la radiación), simplemente no se observarán los fenómenos
de interferencia y difracción.
Como puede verse, el tamaño de los objetos que interaccionan con la luz
influye en el comportamiento de ésta, mostrándose fundamentalmente como
corpúsculos (fotones) con objetos macroscópicos, y como ondas con objetos que
tienen un tamaño similar a la longitud de onda de la luz.

Bibliograf´ıa
[Justiniano Casas] Óptica. Ed. Librer´ıa Pons, 1994.
[Coulson, C.A.] Ondas. Exposición Matemática de los tipos más comunes
de movimiento ondulatorio. Ed. Dossat.
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