El documento describe el cálculo de la velocidad a la que crecen el volumen y el área total de un cilindro circular recto en un instante dado. En ese instante, la altura del cilindro es de 20 m y crece a 2 m/s, mientras que el radio de la base es de 15 m y crece a 1.5 m/s. Usando derivadas parciales, se calcula que la velocidad de crecimiento del volumen es de 4241.15 m3/s y la del área total es de 596.90 m2/s.

1. La altura de un cilindro circular recto es de 𝟐𝟎 𝒎 y en ese instante crece a
razón de 𝟐 𝒎/𝒔 mientras que el radio de la base en ese mismo instante es de
𝟏𝟓 𝒎 y crece a razón de 𝟏. 𝟓 𝒎/𝒔 ¿A qué velocidad crece el volumen y el área
total en aquel instante?
𝒉 = 𝟐𝟎 𝒎
𝒓 = 𝟏𝟓 𝒎
Datos:
𝒅𝒉
𝒅𝒕
= 𝟐 𝒎/𝒔
𝒅𝒓
𝒅𝒕
= 𝟏. 𝟓 𝒎/𝒔
Volumen Cilindro Área Total Cilindro
𝐕 = 𝛑𝐫 𝟐 𝐡 𝐀 𝐓 = 𝟐𝛑 𝒓𝐡 + 𝒓 𝟐
𝑽(𝒓;𝒉) = 𝝅𝒓 𝟐 𝒉
𝒅𝑽
𝒅𝒕
=
𝝏𝑽
𝝏𝒓
∙
𝒅𝒓
𝒅𝒕
+
𝝏𝑽
𝝏𝒉
∙
𝒅𝒉
𝒅𝒕
Desarrollo: volumen
𝒅𝑽
𝒅𝒕
= 𝝅 𝟐𝒓𝒉 ∙
𝒅𝒓
𝒅𝒕
+ 𝒓 𝟐
∙
𝒅𝒉
𝒅𝒕
𝒅𝑽
𝒅𝒕
= 𝝅 𝟐(𝟏𝟓)(𝟐𝟎) ∙ 𝟏. 𝟓 + 𝟏𝟓 𝟐 ∙ (𝟐)
𝒅𝑽
𝒅𝒕
= 𝟏𝟑𝟓𝟎𝝅 𝒎 𝟑
/𝒔
Derivada de un
Producto:
= 𝟒𝟐𝟒𝟏. 𝟏𝟓 𝒎 𝟑
/𝒔

2. Desarrollo: área
La altura de un cilindro circular recto es de 𝟐𝟎 𝒎 y en ese instante crece a
razón de 𝟐 𝒎/𝒔 mientras que el radio de la base en ese mismo instante es de
𝟏𝟓 𝒎 y crece a razón de 𝟏. 𝟓 𝒎/𝒔 ¿A qué velocidad crece el volumen y el área
total en aquel instante?
𝒉 = 𝟐𝟎 𝒎
𝒓 = 𝟏𝟓 𝒎
Datos:
𝑨 𝑻(𝒓;𝒉) = 𝟐𝝅(𝒓𝒉 + 𝒓 𝟐
)
𝒅𝑨 𝑻
𝒅𝒕
=
𝝏𝑨 𝑻
𝝏𝒓
∙
𝒅𝒓
𝒅𝒕
+
𝝏𝑨 𝑻
𝝏𝒉
∙
𝒅𝒉
𝒅𝒕
𝒅𝒉
𝒅𝒕
= 𝟐 𝒎/𝒔
𝒅𝒓
𝒅𝒕
= 𝟏. 𝟓 𝒎/𝒔
𝒅𝑨 𝑻
𝒅𝒕
= 𝟐𝝅 𝒉 + 𝟐𝒓 ∙
𝒅𝒓
𝒅𝒕
+ 𝒓 ∙
𝒅𝒉
𝒅𝒕
𝒅𝑨 𝑻
𝒅𝒕
= 𝟐𝝅 𝟐𝟎 + 𝟐(𝟏𝟓) ∙ (𝟏. 𝟓) + (𝟏𝟓) ∙ (𝟐)
𝒅𝑨 𝑻
𝒅𝒕
= 𝟏𝟗𝟎𝝅 𝒎 𝟐/𝒔
Derivada de un
Producto:
Volumen Cilindro Área Total Cilindro
𝐕 = 𝛑𝐫 𝟐 𝐡 𝐀 𝐓 = 𝟐𝛑 𝒓𝐡 + 𝒓 𝟐
= 𝟓𝟗𝟔. 𝟗𝟎 𝒎 𝟐
/𝒔