razones y proporciones

1. RAZONES Y PROPORCIONES
1. Razón o relación
Se denomina razón entre dos números a y b (𝑏 ≠ 0)a la
divisiónindicada
𝑎
𝑏
, la cualse lee “a es a b”
El término que aparece en el numerador se denomina
antecedente y el que aparece en el denominador
consecuente.
𝑎
𝑏
𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
2. Proporción geométrica
Una proporción es la igualdad escrita de dos razones
equivalentes
Simbólicamente
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
⇁ 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 "𝑎" 𝑒𝑠 𝑎 "𝑏 "𝑐𝑜𝑚𝑜 "𝑐" 𝑒𝑠 𝑎 "𝑑"
Además:
 a y d se denominan términos extremos de la
proporción o simplemente extremos
 b y c se denominan términos medios de la
proporción o simplemente medios
Propiedad Fundamental de las proporciones
Consideremos lassiguientesproporciones
Luego: toda proporción geométrica se cumple que el
producto de los términos extremos es igual al producto
de los términos medios
Propiedades de la proporción Geometrica
1. La suma o resta de los dos términos de la primera razón
es a su consecuente como la suma o resta de los dos
términos de la segunda razónes a suconsecuente.
Sea la proporcióngeométrica:
Ejemplo:
si dos números son entre si como 3 es a 8 , calcular el
mayor si la suma de ellos es 33
a)23 b)27 c)24 d)20 e)N.A.
Solución:
𝑎 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑏 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
𝑎 + 𝑏 = 33
Aplicamos la propiedad
𝑎
𝑏
=
3
8
⇒
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
3 + 8
8
⇒
33
𝑏
=
11
8
⇒ 33𝑥8 = 11𝑥𝑏
⇒ 3𝑥8 = 𝑏
⇒ 𝑏 = 24
2. La suma o resta de los dos términos de la primera razón es a su
antecedente como la suma o resta de los dos términos de la
segunda razónes a suantecedente
Sea la proporcióngeométrica.
Ejemplo:
si dos números son entre si como 3 es a 8 , calcular el menorsi
la suma de ellos es 66
a)27 b)23 c)18 d)9 e)N.A.
solución:
𝑎 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑎 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑟
𝑎 + 𝑏 = 66
Aplicamos la propiedad
𝑎
𝑏
=
3
8
⇒
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
3 + 8
3
⇒
66
𝑎
=
11
3
⇒ 66𝑥3 = 11𝑥𝑎
⇒ 6𝑥3 = 𝑏
⇒ 𝑏 = 18
3. La suma o resta de los antecedentes es a la suma o resta de los
consecuentes como unantecedente es a suconsecuente.
Sea la proporción geométrica
⬚
⬚
2
4
=
7
14
⬚
⬚
9
12
=
15
20
⬚
⬚
6
9
=
8
12
6𝑥12 = 9𝑥8
72 = 72
2𝑥14 = 4𝑥7
28 = 28
9𝑥20 = 12𝑥15
180 = 180
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
⇒ 𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑑
𝑎 − 𝑏
𝑏
=
𝑐 − 𝑑
𝑑
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
𝑐 + 𝑑
𝑐
𝑎 − 𝑏
𝑎
=
𝑐 − 𝑑
𝑐
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑎
𝑏
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑎
𝑏
⇒
33𝑥8
11
= 𝑏
⇒
66𝑥3
11
= 𝑎

2. Ejemplo:
La edad de Elizabeth es a 3 como la edad de Rocio es a 5 . si la
suma de ambas edades es 40 años , calcular la edad de
Elizabeth
a)10 b)5 c)15 d)40 e)N.A.
Solución:
E=Elizabeth E+R=40
R= rocio
𝐸
3
=
𝑅
5
⇒
𝐸 + 𝑅
3 + 5
=
𝐸
3
Por dato E+R=40
⇒
40
8
=
𝐸
3
⇒
40𝑥3
8
= 𝐸
⇒ 5𝑥3 = 𝐸
⇒ 𝐸 = 15
4. En toda proporción geométrica la suma de los dos términos
dela primera razón es a su diferencia como la suma de los dos
términos de la segunda razón es a sudiferencia.
Se la proporción geométrica
Ejemplo:
La suma de los dos números es a su diferencia como 5 es a 3 .
Si el númeromenor es 7 . ¿Cuál es el número mayor?
a) 26 b)27 c)28 d)40 e)N.A.
Solución:
a:número mayor
b:númeromenor
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
=
5
3
a=5k
b=7
𝑎+7
𝑎−7
=
5
3
por propiedad
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
→
𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑐 − 𝑑
→
𝑎 + 7
𝑎 − 7
=
5
3
→
𝑎 + 7 + 𝑎 − 7
𝑎 + 7 − ( 𝑎 − 7)
=
5 + 3
5 − 3
→
2𝑎
𝑎+7−𝑎+7
=
8
2
2𝑎
14
=
8
2
→ 2𝑎 =
8𝑥14
2
𝑎 =
8𝑥7
2
𝑎 = 28
5. En toda proporción geométrica la suma de los antecedentes es
a su diferencia como la suma de sus consecuentes es a su
diferencia
Sea la proporcióngeométrica
Ejemplo:
Dos cantidades x y n son tales que x es a 9 como nes a 7. Si la
suma de x yn es 80 . Calcular sudiferencia
a)5 b)8 c)10 d)4 e)N.A.
Solución:
𝑥
9
=
𝑛
7
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
→
𝑎+𝑐
𝑎−𝑐
=
𝑏+𝑑
𝑏−𝑑
𝑥
9
=
𝑛
7
→
𝑥 + 𝑛
𝑥 − 𝑛
=
9 + 7
9 − 7
80
𝑥−𝑛
=
16
2
→80𝑥2 = 16(𝑥 − 𝑛)
160
16
= ( 𝑥 − 𝑛) → ( 𝑥 − 𝑛) = 10
Tipos de proporción geométrica
Proporcióngeométrica continua
Cuandolos términos medios soniguales
Donde:
“b” es la media proporcional o media geométrica entre“a”y “c”
“c “ es la tercera proporcionalde “a”y “b”
Ejemplo 1:
Determinar la mediaproporcional entre 36 y 64
Solución:
36
𝑏
=
𝑏
64
→ 𝑏2
= 36.64 → 𝑏 = √36.64
𝑏 = 6.8 = 48
Ejemplo 2:
Determinar la tercera proporcional de 16 y20
Solución:
16
20
=
20
𝑥
→ 36. 𝑥 = 20.20 → 𝑥 =
400
16
→ 𝑥 = 25
Proporcióngeométrica discreta
Cuandolos términos medios son diferentes
Donde:”d” es la cuarta proporcional de “a” ;“b” y“c”
Ejemplo:
Determinar la cuarta proporcionalde 15;9 y 20
Solución:
15
9
=
20
𝑥
→ 15. 𝑥 = 9.20 → 𝑥 =
180
15
𝑥 = 12
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑐 − 𝑑
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
𝑎 + 𝑐
𝑎 − 𝑐
=
𝑏 + 𝑑
𝑏 − 𝑑
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑐 Medios
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑 Medios
⇒
40𝑥3
8
= 𝐸

3. 1. Aplica la propiedad fundamental para calcular el término que le falta
en cada una de las siguientes proporciones.
2. Dos números están en la relación de 2 a 7 . si la suma de dichos
números es 72 , determinar el menor deellos
a)16 b)25 c)35 d)45 e)N.A.
3. Determinar los valores de “x”e “y”en las siguientes proporciones
a)
𝑥
3
=
𝑦
4
;𝑥 + 𝑦 = 28 𝑏)
𝑥
𝑦
=
2
7
;𝑥 + 𝑦 = 45
𝑐)
4
𝑥
=
5
𝑦
; 𝑦 − 𝑥 = 20 𝑑)
𝑥+𝑦
𝑦
=
17
5
;𝑥 − 𝑦 = 105
4. Determinar elnúmero quees a 8 como 9es a 12.
a)4 b)5 c)7 d)6 e)8
5. La diferencia de los cuadrados de dos números es 640 y la razón de
dichos números es 7/3 ¿cuáles son esos números?
a)12 y27 b)25 y 42 c)14 y 28 d)28 y 12 e)N.A.
6. La suma de dos números es 90 y su diferencia 18.determinar la razón
geométrica entre dichos números
a)2/3 b)3/2 c)54/36 d)36/54 e) N.A
7. En la figura, determinarla relación entre el área de la región sombreada
y la no sombreada.
a)1/3
b)3/2
c)4/5
d)2/3
e)N.A.
8. Dos números se diferencian en 5 . si su razón es 3/2 , determinar el
numero menor
a)9 b)10 c)12 d)14 e)15
9. Si
𝑥
3
=
𝑦
2
= 𝑧 ; 𝑥. 𝑦. 𝑧 = 64
Determinar 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
a)36 b)35 c)34 d)33 e)32
10. Si
𝑎
2
=
𝑏
5
=
𝑐
3
y 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
= 152
Determinar 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
a)20 b)22 c)23 d)21 e)24
11. si
1
𝑎
=
2
𝑏
=
3
𝑐
y 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 48
Determinar : 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
a)892 b)894 c)900 d) 896 e) 898
12. en un auditorio hay 400 personas, 240 de las cuales son mujeres. ¿en
que relación se encuentran el número de hombres y número de
mujeres?
a)1/2 b)2/3 c)4/3 d)5/9 e)1/3
13. El lado del cuadrado menor es al lado del cuadrado mayor como 3 es a
4. Entonces la razón entre el área sombreada y el área del cuadrado
mayor es:
14. Sabiendoque
𝑎
2
=
𝑏
3
y además 𝑎 + 𝑏 = 35; determinar 𝑏 − 𝑎
a)5 b)7 c)6 d)9 e)8
15. Divide el número 720 en dos partes tales que la razón entre ambas sea
0,6. Determinaruna de las partes
a)540 b)270 c)207 d)504 e)206
16. La partesombreada representa deltotal (ABCD es un rectángulo)
a) 5/8
b) 3/8
c) ½
d) ¾
e) 5/9
17. El producto de los cuatro términos de una proporción continua es 1296
y el primer antecedentees 4 .¿cuál es la proporción?
a)
1
4
=
4
16
b)
1
6
=
6
36
c)
4
8
=
8
16
d)
4
6
=
6
9
e)N.A.
18. si
𝑎
5
=
𝑏
3
=
𝑐
6
además 𝑎 + 𝑐 = 66 , determinar elvalorde “b”
a)30 b)36 c)18 d)16 e)26
19. si
𝑎+1
2
=
𝑏+2
3
; además 𝑎 + 𝑏 + 3 = 20, determinar elvalorde “a”
a)5 b)7 c)9 d)10 e)N.A.
20. la partesombreada representa deltotal (ABCD es uncuadrado)
a)1/4
b)1/2
c)4/9
d)1/3
e)2/3
21. si
𝑥
3
=
𝑦
4
=
𝑧
2
; 𝑥. 𝑦. 𝑧 = 192; calcular los valores dex+y+z.
a)16 b)15 c)14 d)17 e)N.A.
22. Sabiendoque:
𝑎
2
= 𝑏 =
𝑐
5
;y 𝑎3
+ 𝑏3
+ 𝑐3
= 27𝑥134
Determinar los valores de a+b+c
a)25 b)23 c)24 d)44 e)N.A.
23. la razón entre 3
1
4
y5
1
4
es equivalentea la razón entre:
a)3 y 5 b)13 y 21 c)5 y 7 d)7 y 5 e)5 y 3
24. en una reunión, el número de mujeres es el doble del número de
hombres. luego , el número de mujeres es al número de hombres
como:
a)1 es a 2 b)3 es a 1 c)2 es a 3 d)2 es a 1 e)1 es a 3
25. en una caja de caramelos hay de los sabores fresa y limón. Si por cada
caramelo de fresa hay 3 de caramelos de limón, ¿cuántos caramelos de
fresa hay,sien totalhay 80 caramelos?
a)18 b)20 c)25 d)30 e)40
26. en una canasta el número de plátanos es al número de manzanas como
2 es a 1. Si hay dos docenas de plátanos, ¿Cuántas manzanas hay?
a) 10 b)12 c)14 d)16 e)18
27. En un estante la razón del número de libros de matemática al de física
es 3/4 y la razón del número de libros de biología al de física es 3/2. Si
hay 18 libros de matemática.¿Cuántos libros debiología hay?
a)24 b)28 c)30 d)36 e)40
2
3
=
10
𝑥
4
𝑥
=
6
15
0,2
𝑥
=
0,8
5
𝑥
7
=
18
42
13
𝑥
=
0,26
2
3
0,6
=
𝑥
0,8
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
𝑀
𝑁
6cm
A
B
CD
4cm
a)
3
4
b)
7
8
c)
7
16
d)
4
7
e)
5
16

4. 28. Las edades de Arturo y Jorge son entre si como 8 es a 9 . Arturo tiene
32 años.¿cuántos años tiene Jorge?
a)33 b)34 c)35 d)36 e)38
29. Se tienen dos recipientes de agua: Ay B. en el primero hay 20 litros de
agua y en el segundo el doble. Si del primer recipiente se pasan 5 litros
de agua al segundo, entonces el número de litros que queda en el
recipienteAes alnúmero delitros que ahora hayen B como:
a)1 es a 3 b)2 es a 3c)1 es a 2 d)2 es a 1 e)2 es a 5
30. Si
1
𝑎
=
4
𝑏
=
7
𝑐
; 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 60
Determinar elvalor de “C”
a)5 b)40 c)35 d)20 e)54
31. Si
1,2
3,6
=
𝑎
𝑏
=
4
𝑐
; además 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 20 ; determinar elvalorde a+b
a)6 b)12 c)8 d)4 e)5
32. La suma de tres números que guardan entre sí la relación de los
números 3;5y 7 es iguala 120. ¿Cuáles es elnúmero menor?
a)24 b)45 c)57 d)40 e)58
33. en un salón de clase, por cada 2 niños hay 5 niñas. Luego se retiran 6
niños y 10 niñas, entonces por cada 3 niños hay 8 niñas. Hallar el
número de niños y niñas quehabían alinicio
a)36 y 90 b)90 y 36 c)97 y 35 d)98 y 30 e)N.A.
34. la suma de tres números es 1880; el primeroes alsegundo como 4 es a
5 ; el segundoes altercerocomo 3 es a 4 . Hallar eltercero.
a)360 b)600 c)800 d)1500 e)970
35. en un salón de clase por cada 10 damas hay 9 caballeros, Después que
se retiran 8 damas y 3 caballeros , por cada 4 damas hay 5 caballeros
:determinar elnúmero dedamas quehabía alinicio
a)17 b)18 c)20 d)22 e)24
36. el duplo de un número es a dicho numero aumentado de dos unidades
como 4 es a 7:¿cuáles elnúmerobuscado?
a)4 b)5 c)6 d)7 e)8
37. calcular el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro es de 70
cm y la razón entresus dimensiones (largoy ancho) es 5/2
a)205𝑐𝑚2
b) 250𝑐𝑚2
c) 520𝑐𝑚2
d) 260𝑐𝑚2
e) 280𝑐𝑚2
si
𝑎2
4
=
𝑏2
25
; además a+b=28, determinar elvalorde “a”
a)6 b)18 c)8 d)20 e)10
38. si ABCD es un cuadrado , determinar la relación entre el área de la
región sombreada y elárea dela regiónno sombreada
a)1/3
b)1/4
c)1/5
d)1/8
e)3/5
Determinar los valores de
𝐴 𝐶
𝐵
𝐸 𝐺
𝐻 𝐹
𝐷