El documento explica las razones y proporciones. Define la razón como la comparación entre dos cantidades mediante sustracción o división, y la proporción como la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase. Explica los tipos de razones y proporciones, así como sus propiedades. Finalmente, presenta ejercicios para practicar estos conceptos.

1. RAZONES Y PROPORCIONES
1. RAZÓN
Es la comparación que se establece entre dos cantidades
mediante las operaciones de sustracción o división.
En general: Sean las cantidades a y b.
RAZÓN
ARITMÉTICA
RAZÓN
GEOMÉTRICA
Es la comparación
de dos cantidades
mediante la
sustracción.
Consiste en
determinar en
cuantas unidades
una cantidad
excede a la otra.
𝑎 − 𝑏 = 𝑟
Es la comparación de
dos cantidades
mediante la división, y
consiste en
determinar cuántas
veces cada una de las
cantidades contiene a
cierta unidad de
referencia.
𝒂
𝒃
= 𝒌
Donde:
 a y b  términos de la razón
 a  Antecedente
 b  Consecuente
 r  Valor de la razón aritmética
 k  Valor de la razón geométrica
Nota:
Cuando se mencione solamente razón o relación se debe
entender que se hace referencia a la razón geométrica
2. PROPORCIÓN
Es la igualdad en valor numérico, de dos razones de la
misma
clase.
En general:
Donde: * a y d  Términos extremos
* b y c  Términos medios
2.1. TIPOS DE PROPORCIONES
Una proporción dependiendo de sus términos medios puede
ser: Discreta o Continua
A) DISCRETA: cuando los términos medios son diferentes
B) CONTINUA: cuando los términos medios son iguales.
PROPORCIÓN ARITMÉTICA
Discreta Continua
𝑎 − 𝑏 = 𝑐 −
𝑑
d: Cuarta
diferencial de
a, b y c.
𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑐
b: Media diferencial
de a y c
c: Tercera
diferencial de a y
b.
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Discreta Continua
d
c
b
a

d: Cuarta
proporcional
de a, b y c.
c
b
b
a

b: Media proporcional
de a y c.
c: Tercera
proporcional de
a y b
PROPIEDADES:
PROPIEDADES:
 1



k
d
dc
b
ba
Si: k
d
c
b
a
  
1



 k
k
dc
c
ba
a

1
1








k
k
dc
dc
ba
ba
2.2. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS
EQUIVALENTES
Una serie de razones geométricas equivalentes (SRGE) es
la igualdad de más de dos razones geométricas
equivalentes.
Ejemplo: 5,0
8
4
6
3
4
2
2
1

En general, una serie de 𝑛 razones geométricas
equivalentes es de la forma:
K
b
a
b
a
b
a
b
a
n
n
 ........
3
3
2
2
1
1
Donde:
n321 a;......;a;a;a : Antecedentes
n321 b;......;b;b;b : Consecuentes
K: Constante de proporcionalidad
PROPIEDADES
a. K
bbbb
aaaa
n
n



.....
.....
321
321
b.
n
n
n
K
bbbb
aaaa

.......
.......
321
321
Donde: “n” es el número de razones geométricas que se
multiplican.
 SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS
EQUIVALENTES CONTINÚAS.
Una SRGE es continua cuando, dada la razón inicial,
esta se fija y cada razón siguiente tiene como
antecedente el consecuente de la razón anterior. En
general:
K
z
y
y
x
d
c
c
b
b
a
 ........
Proporción
Aritmética
Proporción
Geométrica
𝒂 − 𝒃
= 𝒄 − 𝒅
Además:
𝒂 + 𝒅
= 𝒄 + 𝒃
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
Además:
𝒂𝒅 = 𝒄𝒃

2. EJERCICIOS PARA LA CLASE
1. La razón geométrica de dos números es 13/5 y su razón
aritmética es 72. Hallar el mayor.
A) 117 B) 115 C) 119
D) 118 E) 110
2. Dos números están en la relación de 2 a 5 si se añade 175 a
uno y 115 al otro se hacen iguales. ¿Cuál es la diferencia
entre estos números?
A) 24 B) 18 C) 30
D) 84 E) 60
3. La relación entre las edades de dos hermanas es,
actualmente 3/2. Se sabe que, dentro de 8 años, dicha
relación será 5/4. ¿cuál es la edad actual de la hermana
menor?
A) 4años B) 6 años C) 8años
D) 10años E) 12 años
4. Lolo recibe S/.240 de su padre, enseguida compra un
pantalón y dice: ¨lo que gaste y no gaste están en la relación
de 5 a 11. ¿Cuánto le queda luego de hacer la compra?
A) 165 B) 90 C) 75
D) 15 E) 55
5. En una proporción geométrica continua la suma de los
extremos es 34 y la diferencia de los mismos es 16. Hallar la
media proporcional.
A) 12 B) 15 C) 18
D) 21 E) 13
6. Se tienen 3 números proporcionales a 3; 9 y 15. Si la suma
de los tres es 243, calcule la diferencia de los mayores.
A) 54 B) 55 C) 56
D) 57 E) 58
7. La suma, diferencia y producto de dos números enteros
están en la misma relación que los números 7; 1 y 48. Hallar
el cociente de los números.
A) 1,2 B) 2 C) 1,5
D) 1,3 E) 1,4
8. Si
𝑎
7
=
𝑏
4
=
𝑐
12
=
𝑑
6
y 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 = 2500, halle el valor de
( 𝑎 + 𝑐)
A) 75 B) 80 C) 90
D) 95 E) 100
9. En una proporción aritmética continua la media diferencial es
8 .Calcule la suma de los cuadrados de los números que no
son media diferencial, si la tercera diferencial es 20.
A) 300 B) 400 C) 225
D) 416 E) 384
10. Si 8 es la cuarta proporcional de “a”, 6 y “b” además “a” es la
cuarta proporcional de “b”, 16 y 48, hallar el valor de (b-a).
A)8 B) 10 C) 12
D)6 E)7
11. A una fiesta concurren 400 personas entre hombres y
mujeres, asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres.
Luego de 2 horas, por cada 2 hombres hay una mujer.
¿Cuántas parejas se retiraron?
A) 40 B) 180 C) 80
D) 90 E) 60
12. La media proporcional entre a y b es 14 y la tercera
proporcional de a y b es 112. Hallar la diferencia entre a
y b.
A) 18 B) 20 C) 22
D) 21 E) 16
13. En la siguiente serie de razones
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑒
𝑓
=
𝑔
ℎ
. Si
𝑎𝑐
𝑏𝑑
+
𝑒2
𝑓2
+
𝑎ℎ
𝑏𝑔
= 33 y la suma de
los consecuentes es 15, calcule la suma de los
antecedentes.
A) 15 B) 30 C) 45
D) 60 E) 75
14. En una fábrica embotelladora, se tienen 3 máquinas (A,
B y C). Por cada 7 botellas que produce la máquina A, la
máquina B produce 5 y, por cada 3 botellas que produce
la máquina B, la máquina C produce 2. En un día, la
máquina A produjo 4400 botellas más que C. ¿Cuántas
botellas produjo la máquina B ese día?
A) 2 000 B) 4 000 C) 6 000
D) 3 000 E) 8 000
TAREA DOMICILIARIA
1. En el colegio de 684 alumnos la razón entre el número
de alumnos de primaria y secundaria es 47/10.
Encontrar el número de alumnos de secundaria.
A) 100 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150
2. El valor de la razón aritmética de dos números es 20 y el
valor de su razón geométrica es 7/3. Calcule la suma de
dichos números.
A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80
3. Actualmente las edades de dos personas son 19 y 24
años; dentro de cuántos años la relación de dichas
edades será 5/6.
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 3
4. En un colegio la relación de hombres y mujeres es como
2 es a 5, la relación entre hombres en primaria y
hombres en secundaria es como 7 es a 3. ¿Cuál es la
relación de hombres en secundaria y el total de
alumnos?
A) 3: 35 B) 6:35 C) 7:31 D) 5:31 E) 6:37
5. .Si:
32
𝑏
=
𝑏
𝑐
=
𝑐
4
=
4
𝑒
. Calcule 𝑒3
A) 27 B) 64 C) 125 D)8 E) 1
6. Dos números son entre sí como 7 es a 12. Si al menor
se le suma 70, para que el valor de la razón no se altere,
entonces el valor del otro número debe triplicarse.
Determine el menor de los dos números.
A) 48 B) 35 C) 34 D) 24 E) 36

3. 7. La suma de los extremos de una proporción geométrica
continua es 104. Hallar la media proporcional, si la razón
es 2/3.
A) 42 B) 45 C) 48 D) 52 E) 56
8. En una proporción continua geométrica los términos
extremos son entre sí como 4 es a 9. si los términos de la
primera razón suman 40. Hallar la suma de los
consecuentes de dicha proporción.
A) 60 B) 45 C) 48 D) 52 E) 56
9. La diferencia del primer y último término de una
proporción continua es 30. Calcule la media
proporcional, si la suma de los cuatro términos es 150.
A) 36 B) 34 C) 32 D) 30 E) 28
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Magnitud. Es todo aquello que experimenta cambios y
puede ser medido. El resultado de una medición se llama
valor de la magnitud o simplemente cantidad.
Por ejemplo, podemos mencionar las siguientes magnitudes
con algunos de sus valores:
Magnitud Valor de la magnitud
Longitud
Masa
Volumen
Velocidad o rapidez
Edad o tiempo
Número de personas
Temperatura
20m; 75km; 7,03pulg; …
20kg; 250g; 1,5t; …
2m3; 0,83cm3; 45l; …
3m/s; 84km/h; 17pulg/min; …
9 años; 2,4 años; 8 meses; …
25 obreros; 105 asistentes; …
23 0C; 137 0F; −86K; …
RELACIONES ENTRE MAGNITUDES
Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes 𝑨 y 𝑩son directamente proporcionales
(D.P.) o simplemente proporcionales, si
𝑨
𝑩
= 𝑘 ó 𝑨 = 𝑩𝑘,
Donde 𝑘 se llama constante de proporcionalidad.
La representación gráfica de dos magnitudes D.P. es una
línea recta que pasa por el origen, tal como se observa en la
siguiente figura:
Se dice que la función 𝒇 es de proporcionalidad directa, si
𝑓( 𝑥)
𝑥
= 𝑘 ó 𝑓( 𝑥) = 𝑘𝑥 .
Ejemplo 1. Sean las magnitudes
P: precio de la carne
C: cantidad de carne.
Suponiendo que 1kg de carne cuesta S/. 8, podemos
calcular algunos valores para dichas magnitudes
respectivamente, como se observa en la tabla mostrada:
C 2 3 5 10 4 1 aumenta disminuye
P 16 24 40 80 32 8 aumenta disminuye
En este ejemplo podemos notar que los valores de ambas
magnitudes aumentan proporcionalmente o bien disminuyen
proporcionalmente. Además, vemos que
𝐶
𝑃
=
2
16
=
3
24
=
5
40
=
10
80
=
4
32
= ⋯ =
1
8
Aquí, 𝑘 = 1/8 vendría a ser la constante de
proporcionalidad de las dos magnitudes.
Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes 𝑨 y 𝑩son inversamente proporcionales
(I.P.), si
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑘 ó 𝑨 =
𝑘
𝐵
La representación gráfica de dos magnitudes I.P. es una
de las ramas de la hipérbola, tal como se muestra en la
siguiente figura:
Se dice que la función 𝒇 es de proporcionalidad inversa, si
𝑓( 𝑥) ∙ 𝑥 = 𝑘 ó 𝑓( 𝑥) =
𝑘
𝑥
.
Ejemplo 2. Un capataz contrata 15 obreros que pueden
construir una obra en 10 días, luego de algunos
razonamientos elaboramos la siguiente tabla:
Obreros
(N)
5 15 30 10 2 aumenta disminuye
Días (D) 30 10 5 15 75 disminuye aumenta
De donde podemos observar que el producto del Nº de
obreros y Nº de días es constante, es decir,
𝑁 ∙ 𝐷 = 5 ∙ 30 = 15 ∙ 10 = 30 ∙ 5 = 150
Aquí, la constante de proporcionalidad sería 𝑘 = 150.
Nota:
 De las definiciones dadas resumimos:
𝐴 D.P. 𝐵 ⇔
𝐴
𝐵
= 𝑘
𝐴 I.P. 𝐵 ⇔ 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑘
 Para dos ruedas A y B engranadas o unidas con una faja,
se cumple
𝑎1
B
A𝑎2 𝑎3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⇒
𝑎1
𝑏1
=
𝑎2
𝑏2
=
𝑎3
𝑏3
= 𝑘
𝑎1
B
A𝑎2 𝑎3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⇒ 𝑎1 ∙ 𝑏1 = 𝑎2 ∙ 𝑏2 = 𝑎3 ∙ 𝑏3
= 𝑘
𝑓( 𝑥) = 𝑘𝑥
𝑓( 𝑥) =
𝑘
𝑥

4. 𝐷𝐴 ∙ 𝑉𝐴 = 𝐷 𝐵 ∙ 𝑉𝐵
Dónde: 𝐷 es la cantidad de dientes y 𝑉el número de vueltas.
 Para dos ruedas B y C unidas por un eje se cumple
𝑉𝐵 = 𝑉𝐶
Propiedades
Dadas las magnitudes A y B, se cumplen las siguientes
propiedades:
1. 𝐴 D.P. 𝐵 ⇔ 𝐵 D.P. 𝐴
2. 𝐴 I.P. 𝐵 ⇔ 𝐵 I.P. 𝐴
3. 𝐴 D.P. 𝐵 ⇔ 𝐴 I.P.
1
𝐵
4. 𝐴 I.P. 𝐵 ⇔ 𝐴 D.P.
1
𝐵
5. 𝐴 D.P. 𝐵 ⇔ 𝐴 𝑛
D.P. 𝐵 𝑛
, 𝑛 ∈ ℤ+
6. 𝐴 I.P. 𝐵 ⇔ 𝐴 𝑛
I.P. 𝐵 𝑛
, 𝑛 ∈ ℤ+
7. 𝐴 D.P. 𝐵 ⇔ √𝐴
𝑛
D.P. √𝐵
𝑛
;𝑛 ∈ ℤ+
; 𝑛 > 1
8. 𝐴 I.P. 𝐵 ⇔ √𝐴
𝑛
I.P. √𝐵
𝑛
; 𝑛 ∈ ℤ+
; 𝑛 > 1
9. Para las magnitudes A, B, C, D y E, se cumple:
𝐴 D. 𝐏. 𝐵 (𝐶, 𝐷 𝑦 𝐸 𝑐𝑡𝑒. )
𝐴 I. 𝐏. 𝐶 (𝐵, 𝐷 𝑦 𝐸 𝑐𝑡𝑒. )
𝐴 𝐃. 𝐏. 𝐷 (𝐵, 𝐶 𝑦 𝐸 𝑐𝑡𝑒. )
𝐴 𝐃. 𝐏. 𝐸 (𝐵, 𝐶 𝑦 𝐷 𝑐𝑡𝑒. )
} ⇒
𝐴 ∙ 𝐶
𝐵 ∙ 𝐷 ∙ 𝐸
= 𝑘
Reparto proporcional
Es una operación que consiste en repartir una cierta
cantidad 𝑁 en partes proporcionales a ciertos números
llamados índices del reparto.
Ilustraremos con el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3. Repartir 890 galletas a tres niños en forma
directamente proporcional a los número 3, 5 y 8, e
inversamente proporcional a los números 4, 6 y 9. ¿Cuánto
recibe el más beneficiado?
Solución. Si 𝐴, 𝐵 y 𝐶 es el número de galletas que recibirán
los niños, entonces el esquema sería
𝐴 = 3 ∙
1
4
∙ 36 ∙ 𝑘 = 27𝑘
𝐵 = 5 ∙
1
6
∙ 36 ∙ 𝑘 = 30𝑘
𝐶 = 8 ∙
1
9
∙ 36 ∙ 𝑘 = 𝟑𝟐𝒌
En el proceso de la construcción del esquema era preciso
multiplicar por 36 = 𝑀𝐶𝑀(4; 6; 9) para evitar finalmente
tener las partes proporcionales a fracciones. Esto es sólo por
comodidad.
Notemos que el más beneficiado es el que recibe 𝐶 = 32𝑘
galletas.
Por otro lado, al sumar las tres partes debe ser igual a la
cantidad total repartida, es decir,
27𝑘 + 30𝑘 + 32𝑘 = 890 ⇒ 𝑘 = 10
Por lo tanto, el más beneficiado recibe 𝑪 = 𝟑𝟐𝟎 galletas.
Regla de Compañía
Es un caso especial del reparto proporcional que consiste en
repartir las ganancias o pérdidas de una sociedad (formada
por varios socios) en forma proporcional al capital y al tiempo
que han permanecido los socios en el negocio.
En general:
EJERCICIOS PARA LA CLASE
1. A es DP a C2 e IP a la raíz cuadrada de B. Si A es 3
cuando B es 16 y C es 8, halle el valor de B cuando A
sea 6 y C sea 4.
A) 2 B) 1/2 C) 1
D) 4 E) 1/4
2. A es I.P. a la suma de B y C, y D.P. a C2. Si cuando A
= 12, resulta C = 2 y B = 10; halle B cuando A = 9 y
C = 3.
A) 21 B) 33 C)22
D) 13 E) 17
3. Se sabe que el gasto de una persona es D.P. a su
sueldo y el resto lo ahorra. El Señor Jaimito gana S/ 1
200 y ahorra S/.400. Si al recibir un aumento gasta S/
1 500, ¿de cuánto fue el aumento?
A) 1 000 B) 1 050 C) 1 080
D)1 100 E) 1 060
4. El sueldo de un Profesor es proporcional al cuadrado
de la edad que tiene, si actualmente tiene 15 años de
servicio. ¿Dentro de cuantos años cuadruplicara su
sueldo?
A) 20 años B) 18años C) 22 años
D) 30 años E) 15 años
5. El valor de una seda es D. P. al área e inversamente
proporcional al peso. Si una seda de 2 m2 con 50 g de
peso cuesta S/. 100. ¿Cuánto costará una seda de 3m2
con 100 g de peso?
A) S/. 78 B) S/. 77 C) S/. 76
D) S/. 65 E) S/. 75
6. El precio de una joya es DP al cuadrado de su peso.
Una pieza de esta joya se rompe en 3 pedazos cuyos
pesos están en la misma relación que 2;3 y 5. ¿Cuál
es la pérdida sufrida en el precio si esta pieza costó
$8000?
A) $4890 B) $4780 C) $4690
D) $4960 E) $4870
7. En el gráfico se muestra la relación de dos magnitudes
proporcionales. Calcule el valor de “( ba  )2
”.
𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
( 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙)(𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜)
= 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
A
B
C

5. A) 6400 B) 70 C)4900
D) 8100 E) 169
8. El costo de un terreno es IP al cuadrado de su distancia
a Lima y DP a su área. Un cierto terreno cuesta $5000 y
otro terreno de doble área y situado a una distancia 3
veces mayor que la anterior costará.
A) $600 B) $700 C) $625
D) $800 E) $725
9. Repartir 1400 en tres partes directamente proporcional a
20, 30 y 50 e inversamente proporcionales a 24, 12 y 6.
Indicar la diferencia entre la mayor y menor de las
partes.
A) 600 B) 900 C) 300
D) 1 200 E) 700
10. En una empresa el sueldo es DP a la edad y al número
de años de servicio del empleado y además IP al
cuadrado de la categoría. María, empleada de segunda
categoría, con 10 años de servicio y de 56 años gana
$200. Alejandra entró 3 años después que María. Gana
$50 y es empleada de tercera categoría. ¿Quién es la
mayor y por cuantos años?
A) María, 11 B) María, 10 C) Alejandra, 10
D) Alejandra, 11 E) María, 12
11. El número 732 se divide en 3 partes que son IP a las
raíces cúbicas de los números 54; 128 y 686. ¿Cuál es
la menor parte?
A) 144 B) 142 C) 140
D) 100 E) 80
12. En el siguiente cuadro las magnitudes A y B guardan
cierta relación de proporcionalidad. entonces, el valor de
( 𝑦 − 𝑥)2
es:
A) 49. B) 64. C) 25.
D) 81. E) 36.
13. Sea f una función de proporcionalidad directa tal que:
f(3) + f(7) = 20
El valor del producto: 𝑓 (
21
5
) . 𝑓(5). 𝑓(7)
A) 147 B) 1 470 C) 1 170
D) 1 716 E) 1 176
14. En el siguiente gráfico, halle 4
2 ba 
.
A) 60 B) 40 C) 20
D) 10 E) 8
15. La rueda A de 50 dientes engrana con otro B de 45 dientes
y esta última está unida mediante un eje con la rueda C de
35 dientes. Si la rueda A gira 27 revoluciones en 12
segundos, ¿cuántas vueltas dará la rueda C en 2 minutos?
A) 120 B) 100 C) 150
D) 160 E) 350
TAREA DOMICILIARIA
1. Si M es I.P. a N y cuando M=72 entonces N=14. Hallar N
cuando M=9.
A) 108 B) 114 C) 110 D) 116 E) 112
2. Sabiendo que M es DP a √𝑁 cuando N ≤ 36, M es IP. a
N2 cuando N≥ 36 si M = 1 cuando N= 9, halle el valor de
M cuando N = 72
A)
1
4
B)
1
2
C)
3
2
D) 2 E)
9
4
3. Las ruedas A, B, C, y D tienen 80; 240; 50 y 300 dientes
respectivamente. A y B están engranadas, B y C sujetas al
mismo eje, C y D engranadas. Si A da 300 rpm, ¿en cuántos
minutos D dará 400 vueltas?
A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 27
4. A es IP a la raíz cuadrada de B. Hallar el valor de A si se
sabe que al disminuir en 30 unidades, el valor de B varía en
un 44%.
A) 120 B) 150 C) 160 D) 180 E) 200
5. Repartir 1 612 en forma proporcional a los números 1/3; 2/5
y 3/10. Calcule la parte intermedia.
A) 520 B) 805 C) 548 D) 468 E) 852
6. El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la
edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años. ¿Dentro de
cuántos años cuadruplicará su sueldo?
A) 14 B) 12 C) 15 D) 21 E) 18
7. Un tío antes de morir repartió su fortuna entre sus sobrinos
en partes DP a 7; 6 y 5. por un segundo testamento cambió
su disposición y el reparto lo hace en forma DP a 4; 3 y 2; de
tal manera que uno de los sobrinos recibe $720 más. Halle el
valor de la herencia.
A) $12960 B) $12840 C) $12780
D) $11690 E) $12690
A12 21
𝑎
21
𝑏
4
W
1212
18
42
50
B
X

6. 8. Sabiendo que A2+B2 es D.P. a A2-B2, siendo la constante de
proporcionalidad 13/5. Si A es D.P. a B. Entonces su
constante de proporcionalidad es.
A)1/2 B)3/2 C)2 D)1 E)5/2
9. A y B son dos magnitudes tales que
A D.P. B ; Si B144
A2 I.P. B ; Si B144
Si A es 5 cuando B=9. Halle el valor de A cuando B es 256.
A) 10 B) 16 C) 15 D) 12 E) 18
REGLA DE TRES
Es una aplicación de las magnitudes proporcionales, que
consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud
comparando dos o más magnitudes proporcionales.
La regla de tres puede ser: simple y compuesta.
REGLA DE TRES SIMPLE: Es cuando se consideran sólo
dos magnitudes, las cuales pueden ser directa o
inversamente proporcionales.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA: Es cuando las dos
magnitudes son directamente proporcionales.
Ejemplo: 5 cuadernos cuestan 20 soles. ¿Cuánto costarán
13 cuadernos?
Solución:
k
costo
cuadernos#
Reemplazando
x
13
20
5

5
13.20
x
x = 52 soles.
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA: Es cuando las dos
magnitudes son inversamente proporcionales.
Ejemplo: 15 obreros hacen una obra en 40 días, ¿cuántos
días tardarán 20 obreros en hacer la misma obra?
Solución:
(# Obreros)(#Días) = k
Reemplazando 15 .40 = 20. x
x = 30
REGLA DE TRES COMPUESTA: Es cuando se consideran
más de dos magnitudes.
Por lo general, un caso en regla de tres compuesta es
el siguiente:
(Obreros) I.P. (Rendimiento)
(Obreros) I.P. (Días)
(Obreros) I.P. (h/d)
(Obreros) D.P. (Obra)
(Obreros) D.P. (Dificultad)
En consecuencia:
k
icultad)(Obra)(Dif
h/d)Dias)(#)(#endimientoObreros)(r(#
Donde:
K: constante de proporcionalidad
Ejemplo: Que rendimiento deben tener 6 obreros que en 20
días trabajando 9h/d han hecho 30m3 de una obra cuya
dificultad es como 3, si para hacer 20 m3 de la misma obra
de 5 como dificultad se emplearon 8 obreros de 60% de
rendimiento durante 15 días de 8h/d.
Resolución:
k
icultad)(Obra)(Dif
h/d)Dias)(#)(#endimientoObreros)(r(#
Reemplazando
520
815608
330
9206
.
.%..
.
...

x
x = 48%
PRIMER MÉTODO (Métodos de las Rayas)
Acción: son quellos que realizan la actividad y pueden
ser las personas, animales o máquinaria.
Circunstancia: son las cualidades, obstaculos que
presentan aquellos que realizan la actividad, como
rendimiento, habilidad, días, horas, ración, entusiasmo,
eficiencia, etc.
Efecto: es aquello que se va hacer o realizar puede ser
una obra (puente, carretera,.....................etc) Puede
estar acompañado de su resistencia o dificultad que
presenta la obra.
Luego: si “x” es la incógnita, la multiplicación de los valores
de una de las rayas será igual al producto de valores de la
otra. Entonces:
a1 a2 a3 a4 a5 a6
CAUSA CIRCUNSTANCIA EFECTO
b1 b2 x b4 b5 b6
b1.b2.x.b4..a5.a6 = a1.a2.a3.a4 .b5.b6

7. PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Veinte obreros tienen provisiones para 40 días. Si se
retiran 10 obreros. ¿Para cuántos días alcanzarán las
provisiones?
A) 88 B) 82 C) 82
D) 80 E) 83
2. . Los 2/7 de una obra los realizó en 18 días. ¿En cuántos
días podré terminar los que falta?
A) 48 B) 42 C) 45
D) 40 E) 43
3. Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 días.
¿Cuántos obreros hay que añadir para que la obra se
termine en 8 días?
A) 15 B) 7 C) 8
D) 19 E) 10
4. Si 16 operarios hacen 64 pares de zapatos cada 5 días,
¿cuántos días emplearon 20 operarios en hacer 128
pares de zapatos?
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
5. Una obra puede ser realizada por 6 obreros en 20 días.
¿Cuántos obreros más se necesitarán para hacer el
mismo trabajo en las 3/10 partes de ese tiempo?
A) 10 B) 20 C) 14
D) 5 E) 1
6. Un ganadero tiene 1500 ovejas para las cuales tiene
alimentos para 30 días. Decide vender cierto número de
ellas y a las restantes proporcionarles los tres quintos de
ración para que los alimentos duren tres meses más. El
número de ovejas que se vendieron fue:
A) 108 B) 875 C) 254
D) 575 E) 110
7. Un grupo de 20 albañiles se comprometen en hacer una
obra en 18 días. Si después de 10 días de trabajo se
retiran 4 albañiles. ¿Con cuántos días de retraso
entregaran la obra?
A) 1 B)2 C)3
D)4 E)5
8. 8 agricultores, trabajando 10 h/d durante 5 días, pueden
arar un terreno cuadrado de 40 m de lado. ¿Cuántos
agricultores de doble rendimiento serán necesarios
para que en 6 días de 8 h/d aren otro terreno de 48 m de
lado si su dureza es el doble del anterior
A) 12 B) 27 C) 14
D) 10 E) 15
9. Una guarnición de 400 soldados sitiados en un fuerte
tiene víveres para 180 días y se consume 900 gr por
hombre y por día. Si se recibe en refuerzo de 100
soldados pero no recibirán víveres antes de 240 días,
¿cuál deberá ser la ración de un hombre por día para
que los víveres puedan alcanzarles?
A) 124 B) 270 C) 140
D) 150 E) 540
10. Se contrató a 25 obreros para que una obra sea
terminada en 21 días, trabajando 8h/d; luego de 6 días
de trabajo se acordó que la obra quede terminados 5
días antes del plazo establecido. ¿cuántos obreros más
se tuvieron que contratar; sabiendo que se incrementó
en 2 horas el trabajo diario?
A) 8 B) 5 C) 12
D) 30 E) 15
11. Cincuenta peones siembran un terreno de 500 m2 de
superficie en 6 días de 6 horas diarias; entonces, el
número de días que necesitan 20 peones doblemente
rápidos para sembrar un terreno de 800 m2 de superficie
trabajando 4 horas diarias es:
A) 15 días B) 18 días C) 24dias
D) 25 días E) 30 días
12. Doce obreros se comprometieron en levantar un muro en
25 días; pero, después de trabajar 7 días, surge la
renuncia de 4 obreros. ¿Cuántos días tardará el resto de
los obreros en terminar lo que falta de la obra?
A) 27 B) 20 C)21
D)18 E)9
13. Una cuadrilla de 50 obreros pueden terminar una obra en 4
semanas. Al cabo de 4 días de trabajo, se les junta cierto
número de obreros de otro grupo de modo que en 16 días
terminaran lo que falta de una obra ¿Cuántos obreros eran
del segundo grupo?
A) 25 obreros B) 20 obreros C)15obreros
D) 16 obreros E) 18 obreros
14. Si 30 obreros trabajando 10 horas diarias durante 16 días
pueden asfaltar una carretera de 6 000 metros de largo.
¿Cuántos hombres serán necesarios para asfaltar una
carretera de 9 000 metros de largo, trabajando 8 horas
diarias durante 18 días?
A) 20 B) 28 C) 37
D) 49 E) 50
TAREA DOMICILIARIA
1. Para pintar un cubo de 10 cm de arista se gastó 12 soles.
¿Cuánto se gastará para pintar otro cubo de 15 cm de
arista?
A) 12 B) 27 C) 14 D) 10 E) 5
2. Oscar es 25% más eficiente que Raúl. Si Raúl puede hacer
una obra en 18 días, ¿en cuántos días podrán hacer juntos
la obra?
A) 5 días B) 6 días C) 7 días D) 8 días E) 9
3. Quince mujeres pueden hacer una obra en 8 días;
mientras que 10 varones harían la misma obra en 10 días.
¿En cuántos días harían dicha obra 5 varones y 4
mujeres?
A)12 B) 14 C) 18 D) 10 E) 22
4. Ocho obreros pueden hacer una obra en 20 días;
después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros. ¿Con
cuántos días de atraso terminó la obra?
A) 24 B) 31 C) 50 D) 90 E) 120
5. Una cuadrilla de 35 obreros pueden terminar una obra en
27 días. Al cabo de 6 días de trabajo, se les junta cierto
número de obreros de otro grupo de modo que en 15 días
terminan lo que falta de una obra ¿Cuántos obreros eran
del segundo grupo?
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18

8. 6. Si 20 obreros se demoran 15 días de 7 horas diarias de
trabajo en sembrar 50 m2 de terreno, ¿cuántos días de 8
horas diarias de trabajo se demorarán en sembrar 80 m2,
15 obreros doblemente eficientes?
A)12 días B) 13 días C) 14 días
D) 15 días E) 16 días
7. Si una persona gasta las tres quintas partes de su sueldo
mensual, cuando han transcurrido las dos terceras partes
del mes. Considerando que mantiene el mismo patrón de
gasto, ¿con que fracción de su sueldo se quedará al final
de un mes que tiene 30 días?
A 1/20 B) 1/10 C) 1/5 D) 9/10 E) 11/12
8. Quince mujeres pueden hacer una obra en 8 días;
mientras que 10 varones harían la misma obra en 10 días.
¿En cuántos días harían dicha obra 5 varones y 4
mujeres?
A)12 B) 14 C) 18 D) 10 E) 22
9. Un capataz contrata una obra que debe terminar en 30
días. Al iniciar la obra con 10 obreros trabajando 6 horas
diarias, transcurridos 20 días han realizado el 50% de la
obra, ¿Cuántos obreros adicionales debe aumentar como
mínimo, si decide aumentar la jornada de 8 horas diarias
para terminar a tiempo?
A) 12 B) 27 C) 14 D) 10 E) 5
REGLA DEL TANTO POR CIENTO
Concepto:
Es la cantidad de partes que se consideran de las 100 partes
iguales, en que ha sido dividida la unidad.
Ilustración: Unidad dividida en
100 partes iguales
3 partes de 100
<>
100
3
= 3%
EN GENERAL:
Ejercicios
25% de 56=
10% de 2120=
50% de 184=
28% de 625=
ALGUNOS PORCENTAJES NOTABLES:
 10% =
10
1
 75% =
4
3
 25% =
4
1
 100% = 1
 50% =
2
1
 200% = 2
OPERACIONES CON PORCENTAJES
SUMAS Y RESTAS MULTIPLICACIÓN
a% N  b% N = (a 
b)% N
a%  b% = %
100
ba 
Ejercicios
23% E + 45% E =
19% L + 20% L =
43% I – 18% I =
T + 15%T =
E – 37% E =
Ejercicios:
10%  80% =
45%  60% =
28%  25% =
40%  25%  32%=
80%  15%  25%  100%
DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS:
Aumentos sucesivos
𝑨 𝑼 = (𝒂 + 𝒃 +
𝒂. 𝒃
𝟏𝟎𝟎
)%
Descuentos sucesivos
𝑨 𝑼 = (𝒂 + 𝒃 −
𝒂. 𝒃
𝟏𝟎𝟎
)%
APLICACIÓN COMERCIAL
. PV = PF – D .
. PV = PC + GB .
GB = GN + Gastos
Si hay pérdida:
. PV = PC – P .
EJERCICIOS PARA LA CLASE
1. Si el 20% del 30% de 1200 es 12% de N.
Halle el valor de N.
A) 600 B) 200 C) 300
D) 400 E) 500
2. ¿Qué porcentaje del 20% del 10% de 400 es el 8% del
0,2% de 1 000?
A) 2% B)3% C)4%
D) 5% E) 6%
3. El 40% del 50% de “M” es el 30% de “N”. ¿Qué
porcentaje de (2M+7N) es (M+N)?
100
n
= n% entonces n% de A =
100
n
 A

9. A) 25% B) 12,5% C) 20%
D) 10% E) 22,5%
4. En una reunión se encuentran 20 varones adultos, 30
mujeres adultas y 75 menores de edad. ¿Qué tanto por
ciento de los reunidos no son menores de edad?
A) 20% B) 30% C) 40%
D) 50% E) 60%
5. Si el largo de un rectángulo aumenta en un 20% y su
ancho disminuye en un 10%. ¿En qué porcentaje
aumenta su área?
A)5% B)6% C)7%
D)8% E)9%
6. Tres descuentos sucesivos del 20%, 50% y 10%
equivale a un único descuento de:
A) 80% B) 50% C) 62%
D) 64% E) 72%
7. El precio de un objeto recargado en 20%, resulta igual al
precio de otro objeto descontado en 30%. Si el primero
cuesta 175 soles. ¿Cuál es el precio del segundo?
A) 150 soles B) 200 C) 300
D) 350 E) 250
8. El precio de un automóvil sufre una devaluación del 5%
cada año. Si en el año 2015 se compró un automóvil
nuevo en S/. 40 000, ¿cuál fue su precio en el año 2017?
A) 36 000 B) 36 100 C) 36 150
D) 36 105 E) 36 200
9. El 20% de lo que tengo excede al 30% de lo que tienes
en S/ 200, si entre ambos tenemos S/ 3 000, ¿cuánto
tengo más que tú?
A) S/ 2200 B) S/ 800 C) S/ 1400
D) S/ 1000 E) S/ 900
10. Se vendió un vestido en S/ 420, ganando el 14% del
precio de compra más el 5% del precio de venta.
¿Cuánto costó el vestido?
A) S/ 370 B) 410 C) 350
D) 250 E) 380
11. Jaimito compró un equipo de sonido en S/ 1 800. ¿A
cuánto debe ofrecerlo, si al momento de la venta efectúa
una rebaja del 10% y aun así gana el 40% del costo?
A) S/ 1 800 B) 1 850 C) 2 000
D) 2 800 E) 2 850
12. En una reunión el 70% son varones. Si el 40% de los
varones y el 60% de las mujeres usan anteojos,
¿cuántas personas hay en dicha reunión? Considere que
108 personas no usan anteojos?
A) 100 B) 150 C) 180
D) 220 E) 200
13. En una reunión se observó que el 80% de los asistentes
eran varones y el resto, mujeres. Si el número de
varones excede al número de mujeres en 6 000,
¿cuántas personas asistieron a dicho evento?
A) 8 000 B) 8 500 C) 9 000
D) 10 000 E) 10 500
14. En una reunión, el 70% del número de mujeres es igual
al 50% del número de varones. ¿Qué porcentaje del total
son mujeres?
A) 61,5% B) 70% C) 46%
D) 41,6% E) 14,6%
15. El precio de lista de un artículo es S/ 9 000 .Si al
momento de venderlo se le hace una rebaja del 20%. ¿A
qué precio se vendió?
A) S/. 10 900 B) S/. 9 100 C) S/. 8 700
D) S/. 7 200 E) S/. 6 720
TAREA DOMICILIARIA
1. Si gastara el 60% del dinero que tengo y ganara el 56%
de lo que me quedaría, perdería S/. 752. ¿Cuánto
tengo?
A) 1500 B) 1600 C) 1800
D) 2010 E) 2000
2. Se puede comprar cierta cantidad de libros con una
determinada suma de dinero, pero si el precio de cada
libro variase en 40% se podría comprar 8 libros más.
¿Cuál es dicha cantidad de libros?
A) 10 B) 11 C) 12
D) 15 E) 20
3. Una persona pregunta en una tienda que descuento le
pueden hacer sobre el precio de un repuesto y le
responden que el 20%, va a otra tienda y compra dicho
repuesto con un descuento del 25% ahorrando así S/.
35. ¿Cuánto costaba el repuesto?
A) 640 B) 180 C) 500
D) 700 E) 900
4. Si al 80% del 25% de 5N le agregamos el 125% del 64%
de 2N tenemos como resultado 5200. Calcule N.
A) 3000 B) 4000 C) 500
D) 200 E) 2000
5. Un artículo se ha vendido en S/. 2 600 ganando el 30%
del precio de costo más el 20% del precio de venta.
Hallar el precio de costo de dicho artículo.
A)S/. 1 500 B)S/. 1 800 C)S/. 1 600
D)S/. 2 000 E)S/. 2 500
6. A un artículo cuyo precio de lista es el doble del costo,
se le hace una rebaja del 35%. ¿Cuál es el porcentaje
de utilidad con respecto al costo?
A) 30% B) 40% C) 50%
D) 60% E) 70%
7. Carmen lleva 300 huevos al mercado y encuentra que el
20% estaban malogrados y sólo pudo vender el 70% de
los buenos. ¿Cuántos quedaron sin vender?
A) 142 B) 130 C) 140
D) 131 E) 132
8. El largo de un rectángulo aumenta en 30%. ¿En que
porcentaje debe disminuir el ancho para que el área
disminuya en 9%?
A) 30% B) 32% C) 34%
D) 36% E) 38%

10. 9. Jaimito compró un equipo de sonido en S/ 1 800. ¿A
cuánto debe ofrecerlo, si al momento de la venta
efectúa una rebaja del 10% y aun así gana el 40%
del costo?
A) S/ 1 800 B) 1 850 C) 2 000 D) 2 800 E) 2 850
10. Tres descuentos sucesivos del 20%, 50% y 10%
equivale a un único descuento de:
A) 80% B) 50% C) 62% D) 64% E) 72%
PROMEDIOS
Definición.- Es un valor, el cuál es un indicativo del conjunto
de datos, tiende a situarse en la parte central del conjunto de
datos.
CLASES DE PROMEDIOS
1. MEDIA ARITMÉTICA (M.A).- También llamado
promedio aritmético. Esta dado por la suma de las
cantidades dividida entre el número de cantidades.
Ejemplos:
3
),,(
2
),(
cba
cbaMA
ba
baMA




En general:
n
aaa
aaaMA n
n


....
),...,( 21
21
2. MEDIA GEOMÉTRICA (M.G).- También llamado
promedio geométrico. Está dado `por el producto de las
cantidades extrayendo la raíz del número de cantidades
a dicho producto.
Ejemplo:
3
..),,(
.),(
cbacbaMG
babaMG


En general:
n
nn aaaaaaMG ,......),....,,( 2121 
3. MEDIA ARMONICA (M.H).- También llamado promedio
armónico. Está dado por el número de cantidades
dividido entre la suma de las inversas de cada una de
las cantidades.
Ejemplos:
abacbc
abc
cba
MH
ba
ab
ba
MH
cba
ba








3
111
3
2
11
2
);;(
);(
En general:
n
n
aaa
n
aaaMH
1
...
11
);....;;(
21
21


PROPIEDADES
1. Para un conjunto de números
HMGMAM .... 
2. Para dos números
).).(.().( 2
HAAMGM 
3. La diferencia entre la media aritmética y la media
geométrica de dos números (a y b) está dada por:
)(4
)( 2
MGMA
ba
MGMA



EJERCICIOS PARA LA CLASE
1. El promedio de las edades de 3 personas es igual a “X” si se
agrega una cuarta edad al promedio, disminuye en 2 se puede
afirmar.
I) La edad del cuarto es mayor que el promedio.
II) La edad del cuarto es menor que el promedio.
III) Por lo menos una persona es mayor que el cuarto.
A) Sólo I B) I y II C) Sólo III
D) II y III E) Sólo II
2. Si la media aritmética de dos números es 10 y su media
geométrica es 4 6 ; entonces, su media armónica, es:
A) 4,8 B) 6,9 C) 9,6
D) 8,4 E) 10,1
3. El mayor promedio de 2 números es 10, mientras que el menor
promedio es 5,1 Calcular la diferencia de dichos números.
A) 14 B) 21 C) 8
D)4 E) 6
4. El promedio de 5 números es 85 se considera un sexto
número y el promedio aumenta en 15. Hallar el sexto
número
. A) 176 B) 175 C) 274
D) 120 E) 129
5. Las edades de 4 hermanos son proporcionales a 2, 3, 4 y 5.
Hallar la edad del menor si el promedio de todas las edades
es 21.
A) 12 B) 30 C) 14
D) 10 E) 24
6. El producto de la media armónica y la media aritmética de 2
números enteros es igual al triple de la media geométrica de
ellos. Hallar el producto de los números.
A) 3 B) 6 C) 9
D) 12 E) 15
7. La media aritmética de 20 números es 40. Cuando se
considera un número más, la media aritmética disminuye en
una unidad. ¿el número considerado es?
A) 19 B) 50 C) 18
D) 12 E) 24
8. El promedio de las 6 calificaciones de matemáticas de Juanito
es 75, afortunadamente para Juanito su profesor eliminó su
peor nota y el promedio de Juanito subió a 85, ¿cuál era la
peor nota de Juanito?
A) 20 B) 25 C) 30
D) 40 E) 50

11. 9. El promedio geométrico de los números:
3; 9; 27;……………;
n
3 es 729. E l valor de “n”, es:
A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14
10. El promedio geométrico de 30 números es 4 y el promedio
geométrico de otros 30 números es 36, ¿cuál es el
promedio geométrico de los 60 números?
A) 14 B) 12 C) 15
D) 13 E) 16
11. Un automovilista recorre un circuito de forma cuadrada con
las siguientes velocidades en m/s: 20; 30; 40 y V. Si la
velocidad promedio es 32 m/s, halle ”V”.
A) 251 B) 35 C) 45
D) 50 E) 60
12. La edad promedio de 3 personas es 56 años. Si
ninguno tiene más de 59 años. ¿Cuál es la edad mínima
que podría tener una de ellos?
A) 51 B) 50 C) 53
D) 52 E) 54
13. De 500 estudiantes de una Institución Educativa. la
estatura promedio es de 1,67 m; por cada 3 mujeres hay 7
hombres. Si la estatura promedio de todas las mujeres es
de 1,60 m, ¿cuál es el promedio de las estaturas de los
varones de la I.E.?
A) 1,68 m B) 1,70 m C) 1,72 m
D) 1,71 m E) 1,60 m
14. La media aritmética y media armónica de dos números
naturales están en una relación de 25 a 9. Si la suma de
dichas medias excede a la media geométrica en 57, halle
la suma dichos números.
A) 225 B) 306 C) 220
D) 450 E) 150
TAREA DOMICILIARIA
1. El mayor promedio de dos números es 21. Si la diferencia
entre ambos números es 12. ¿Cuál es el número menor?
A) 10 B) 12 C) 15 D) 17 E) 21
2. Calcule 2 números, sabiendo que su media aritmética es 5
y su media armónica 24/5.
A) 7 y 3 B) 8 y 2 C) 6,5 y 3,5
D) 6 y 4 E) 5 y 4, 5
3. El promedio geométrico de los números: 3; 9; 27;… de “n”
términos es 729. El valor de “n” es
A) 10. B) 11. C) 12. D) 13. E) 14.
4. La edad promedio de 6 personas es 48 años. Si ninguno
de ellos tienen menor de 46 años. ¿Cuál es la edad
máxima que podría tener uno de ellos?
A) 51 B) 50 C) 58 D) 52 E) 54
5. La media aritmética es a la media geométrica de dos
números como 25 es a 24. Halle la relación geométrica de
los números.
A) 1/9 B) 16/9 C) 11/58 D) 11/32 E) 24
6. La media aritmética de tres números supera al menor de
estos números en 14 unidades, y es 10 unidades menor
que el mayor de ellos. Si la mediana de los tres números
es 25, entonces la suma de estos números es igual a
A) 60. B) 64. C) 66. D) 61. E) 63.
7. La MG de los números 2;22
;23
;… … ; 2 𝑛
; es 4√2 ,
determine el mayor promedio de dichos números.
A) 15,5 B) 12,6 C) 10,5
D) 8,5 E) 7,5
8. Si el promedio de 20 números es 50, si agregamos 10
números cuyo promedio es 20. ¿Cuál es el promedio
final?
A) 42 B) 45 C) 40
D) 40,5 E) 42,5
9. El promedio aritmético de 50 números es 38 siendo 45 y 55
dos de los números, eliminando estos 2 números el
promedio de los restantes es:
A) 33,6 B) 37 C) 38,1
D) 37,5 E) N.A.
TEORIA DE CONJUNTOS (PARTE I)
I. NOCIONES BÁSICAS
1.1.Notación de conjunto:
Ejemplo:
 u,o,i,e,aA 
1.2.Relación de pertenencia:
Ejemplo:
Dado     6;5;2,1;2;1C 
* 2  C * 8  C
* {1; 2}  C * 5  C
* 6  C
1.3.Determinación de un conjunto:
A. Por extensión
Ejemplo.
 8,6,4,2D
B. Por Comprensión
Ejemplos.
A = {n/n es un número par}
C = {𝑛2
- 1 / n es entero  1  n  7}
1.4.Diagrama de Venn – Euler: Son regiones planas
limitadas por figuras geométricas cerradas que se
utilizan para representar gráficamente a los conjuntos.
Ejemplo:
Observación:
Otro diagrama para representar gráficamente a los
conjuntos es el DIAGRAMA DE LEWIS CARROL
Se observa que:

12. 1.5.Número cardinal: El número cardinal de un conjunto (A)
nos indica la cantidad de elementos diferentes que
posee y se denota por: n(A).
Ejemplos:
* A = {5, 6, 6, 5}  n(A) = 2
* B = {x/x  N  3 < x < 9}  n(B) = 5, etc.
II. CLASES DE CONJUNTOS:
2.1.Finito:
Ejemplo:
* K = {3n + 2 / n  Z  1  n  4}
K es finito pues n(K) = 4
* L = {x/x es un día de la semana}
L es finito pues n(L) = 7
2.2.Infinito:
Ejemplo:
𝑍+
= {1, 2, 3, 4, 5, . . .}
III. RELACIONES ENTRE
CONJUNTOS:
3.1.Inclusión (): Se dice que A está incluido en otro
conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen a B.
Se denota: A  B
Se lee: “A está incluido en B”
“A está contenido en B”
“A es subconjunto de B”
Representación:
Gráficamente:
Ejemplo:
A = {p, q} B = {p, q, r, s}
Observaciones:
 Todo conjunto está incluido en si mismo
 El conjunto vacío está incluido en todo conjunto.
3.2.Igualdad: Se dice que dos conjuntos son iguales cuando
ambos poseen los mismos elementos.
Ejemplo:
A = {3n+2 / n  Z  1  n  4}
B = {5, 14, 8, 11}
Se observa que A = B
Se define:
3.3.Conjuntos comparables: Dos conjuntos A y B son
comparables cuando sólo uno de ellos está incluido en el
otro, es decir:
Ejemplo:
A = {3, 5, 7} ; B = {1, 3, 5, 7, 9}
 A y B son comparables, porque A  B.
3.4.Conjuntos disjuntos: Se dice que dos conjuntos son
disjuntos cuando no poseen elementos comunes.
Ejemplo:
A = {2, 3, 4} B = {5, 6, 7}
 A y B son disjuntos
Gráficamente:
3.5.Conjuntos equipotentes o coordinables:
Dos conjuntos serán coordinables cuando el número de
sus elementos son iguales.
Ejemplo:
A = {10, 11, 12} B = {m, n, p}
 A y B son equipotentes
Simbólicamente:
IV. CONJUNTOS ESPECIALES
4.1.Conjunto nulo o vacío: Es aquel conjunto que carece
de elementos.
Ejemplo:
A = {x/x es el actual INCA del Perú}
B = {x/x  N  7 < x < 8}
Notación: “” o { }
Nota: El conjunto vacío “” es subconjunto de todo
conjunto.
4.2.Conjunto unitario o singletón: Es aquel conjunto que
tiene un solo elemento.
Ejemplo:
A = {x/x  Z  10 < x < 12} = {11}
B = {2, 2, 2, 2,. . .} = {2}
4.3.Conjunto universal (U): Es un conjunto referencial para
el estudio de una situación particular, que contiene a
todos los conjuntos considerados.
4.4.Conjunto potencia o conjunto de partes: Dado un
conjunto A, el conjunto potencia está formado por todo
los subconjuntos de A.
Notación:
P (A), se lee “conjunto potencia de A”
Ejemplo: A = {a, b, c}
 n [ P (A) ] = 23
= 8
En general:
 El numero de subconjuntos de A es
n[ 𝐏(𝐀)] = 𝟐 𝐧(𝐀)
 El numero de subconjuntos propios de A es igual a
𝟐 𝐧(𝐀)
− 𝟏
 Para determinar la cantidad de subconjuntos k-
arios de un conjunto A se utiliza la siguiente formula:

13. PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Sea el conjunto: A = {2;3;{{2}}; {2,3};5}
Determinar cuántas proposiciones son verdaderas y
falsos.
I. 2A
II. {2}A
III. 4A
IV. {3}A
V.  A
VI. {2}  A
VII. {{2}}  A
VIII. {{{2}}}  A
IX. {2;3}  A
X.   A
XI. A  A
XII. 2  A
XIII. 3  A
XIV. 2;3A
XV. 5  A
XVI. 3  A
XVII.3  A
XVIII. 7, 14  A
XIX. 5;6 A
XX. B A
A)5; 15 B)11; 9 C)7; 7
D)8; 12 E)9; 11
2. Cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
A = 5; 3; 3; 7; 9,11; 14
I. 5  A
II. 3  A
III. 7, 14  A
IV. 3  A
V. 9, 11  A
VI.   A
VII 
A) 2 B) 3 C) 4
D) 16 E) 5
2. Determinar la cantidad de elementos:
3}x3Z1/x2{xB 
A) 3 B) 5 C) 2
D)4 E) 1
3. Si los conjuntos
A = {a + b; a + 2b-3; 12} y B = {xy; yx; 16};
Son unitarios, ¿cuál es el valor de (x+y +a²+b)?
A) 81 B) 92 C) 96
D) 87 E) 90
4. Determine por extensión el siguiente conjunto
Y dé como respuesta el producto de los elementos de A.
A) 9 B) 10 C) 15
D) 24 E) 12
5. Si los conjuntos
A={3𝑎 + 𝑏 − 9;4𝑎} y B={5𝑎 + 2𝑏; 4} son
unitarios, ¿cuál es el conjunto
C={6𝑎 + 𝑏; 2𝑏 + 8𝑎 − 3} ?
A) {2; 5} B) {2} C) {−2; 5}
D) {7} E) {−5}
6. Dado el conjunto M = {2x  Z  3x < 22}
N={(
x
3
)  Z  12  2x − 1  40},
Calcule el valor n(M) +n(N)
A) 12 B) 20 C) 19
D) 10 E) 16
7. Sean los conjuntos
A= {3n/n∈ Z, 0≤n ≤6} B= {2n+1/n∈Z, 0≤n≤6}.
Determine (n(A) + n(B))2.
A) 132 B) 196 C) 165
D) 124 E) 123
8. Dado el conjunto:








 
821/z
3
12x
A x
Calcule la suma de elementos de A.
A) 10 B) 3 C) 7
D) 5 E) 6
9. Dados los conjuntos H y S unitarios
H= {q2+1; 3q –1}
S= {3x+y; x – y+8}
Halle el menor valor que toma (q+x+y).
A)8 B) 6 C) 7
D) 4 E) 5
10. Si el conjunto “C” tiene (P + 1) elementos y (2P + 3)
subconjuntos propios; además:
n(A) = 4P + 2; n(B) = 3P + 6 Calcule n(A) + n(B)
A) 14 B) 16 C) 18
D) 17 E) 22
11. Dado 3 conjuntos A; B y C:
Si n(A) = m; n(B) = m + r n(C) = m + 2r; además:
n [P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896

14. Se sabe además que A, B y C son disjuntos. Calcule
n(A) + n (B) + n(C)
A) 16 B) 22 C) 24
D) 32 E) 48
12. Un conjunto tiene 1024 Subconjunto en total. ¿Cuántos
subconjuntos de 6 elementos tendrá?
A) 110 B) 120 C) 180
D) 190 E) 210
13. Calcular 𝑚 𝑛
si los conjuntos A y B son iguales:
A = {3𝑚 - 11; 88};
B = {10; 𝑛 𝑚
- 40}
A) 36 B) 16 C) 64 D) 49 E)
18
14. Un conjunto A tiene 31 subconjuntos propios y n(A).n (B)=35.
¿Cuántos subconjuntos propios tiene B?
A) 124 B) 120 C) 127
D) 128 E) 130
15. Halle la suma de los elementos del conjunto
A={(
2x+1
5
)  Z  4  2x + 5  29}
A) 12 B) 20 C) 14
D) 10 E) 16
16. Si n(A) ≤ 1 y B = C; donde:
A= {2p; m},
B= {n+1; 2m – 3},
C= {n+5; 2P – 1}. Calcule el valor de m + n + p
A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14
TAREA DOMICILIARIA
1. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son
incorrectas?
Si A = {4 ; 5 ; { ; 2}; 8}
I. 4  A
II.   A
III. 5  A
IV. {2}  A
V. {5 ; 8}  A
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2.Dados los conjuntos:
 yZ x600;xx / xA
  Zx;1202A / xxB ,
Calcule n(A)+n (B).
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9E) 10
3. Dado el conjunto unitario:
A={(4m+1);(2n+9);(3m+4)}
Hallar: (m+n+5)
A)7 B)6 C)9 D)10 E)8
4. Dados los conjuntos:
A = {x2 + 19 ; y + 1} ; B = {-10 ; 20}
Si A = B
Calcular el valor de x + y (xN).
A)10 B)11 C)12 D)-12 E)-10
5. Se sabe que R y S son dos conjuntos disjuntos
cuyos cardinales son números pares consecutivos y
que
n[P(R)] + n[P(S)]=320. Halle n(R) + n(S).
A) 8 B) 14 C) 18 D) 24 E) 11
6. Sea el conjunto: A= {2;4;{{2}}; {2,3}}
Determinar cuántas proposiciones son verdaderas.
I. 2A
II. {2}A
III. 4A
IV. 8A
V. A
VI. {2} A
VII. {{2}} A
VIII. {{{2}}} A
IX. {2;4} A
X. A
A)5 B)6 C)7 D)8 E)9
7. Dado el conjunto unitario:
A={(4m+1);(2n+9);(3m+4)} Hallar: (m+n+5)
A)7 B)6 C)9 D)10 E)8
8. Sean los conjuntos iguales:
Hallar: a2 + b2
A) 10 B) 12 C) 13
D) 18 E) 20
9.Si los conjuntos A y B son iguales y unitarios. Calcular
(a + b + c).
A = {a + 3 ; 3b+1} B = {6c + 1 ; 8c – 1}
A)6 B)7 C)9
D) 11 E) 13
}a4b;29{B 5
 }20;2a{A 3


15. 10. Dados los conjuntos: A={b2 – 7a} y B={a2 + 1 ; 3a –
1},
si A  B es unitario, entonces el valor entero
positivo de b es:
A)4 B)3 C)5
D)2 E)1
11. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A, sabiendo que
tiene 64 subconjuntos más que el conjunto B, el cual posee
6 elementos?
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11