Arit primero-iiit1

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Primer Año
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Primer Año
Aritmética 1
INDICE
 Razones y Proporciones …………… 03
 Reparto Proporcional ………………. 15
 Porcentaje …………………………… 24
 Asuntos Comerciales ………………. 36
 Promedios ……………..…………… 45
 Magnitudes Proporcionales ……….. 57
 Interés Simple ………………………. 70
 Misceláneas …………………………. 80

Aritmética 2
IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO
V.L.E.B.
DPTO. DE PUBLICACIONES

6 - 2 = 4
V a lo r d e la R a z o n
2 ° T é r m in o ( c o n s e c u e n t e )
1 ° T é r m in o ( a n t e c e d e n t e )
Z
+
TEMA: RAZONES Y PROPORCIONES
I) Razón o Relación.-
Es el resultado de la composición que se establece entre las cantidades
dadas. Dicha comparación se puede dar de dos formas:
1) Hallando en cuanto excede una cantidad respecto de otra (por medio
de la resta). Ejem: 6-2 = 4
2) Hallando en cuanto contiene una cantidad a otra (por medio de la
división). Ejem: 6/2 = 3
Por lo tanto decimos que una razón puede ser: Aritmética o por diferencia, o
Geometría o por cociente.
• Razón Aritmética o por Diferencia.-
Es la diferencia que se da entre 2 cantidades. Como su operación básica
es la sustracción o resta, La Razón Aritmética se puede dar de 2 formas:
separando las cantidades por el signo de la sustracción ( - ) o por medio de
un punto ( . ) Ejem.:
* Se lee : “6 excede a 2 en 4” ; “6 es mayor que 2 en 4” ; “2 es menor que 6
en 4”, etc.
Propiedades de la Razón Aritmética.-
Son las mismas propiedades que en la resta o sustracción.
1) Si al antecedente de la R.A. se le suma o resta una cantidad, entonces
el valor de la Razón quedará aumentado o disminuido en dicha
cantidad, respectivamente. Ejem.:
 
3579
14216)(34236426Si −=−−∧+=−+⇒=−
2) Si el consecuente de la R.A. quedase aumentado o disminuido en
cierta cantidad, entonces el valor de la Razón quedara disminuido, en
el primer caso, o aumentado, en el 2do caso, en dicha cantidad. Ejm.:
Aritmética 3


3351
14)12(6)(14)12(6426Si −=−+−∧+=−−−⇒=−
−−
3) Si al antecedente y al consecuente de una R.A. Se le suma o se le
resta una misma cantidad, entonces el valor de la Razón no se verá
afectado (permanecerá constante).
Ejm:
4)12(16)(4)12(16426Si
1537
=−−−∧=+−+⇒=−
−−

• Razón Geométrica o por Cociente.-
Es la Razón que se establece por medio del cociente que se obtiene al dividir
2 cantidades. Se pueden representar de 2 modos: en forma de fracción o por
medio de 2 puntos, signo de la división (a/b ó ÷) Ejem:
6 : 2 = 3
V a lo r d e la R a z o n
2 ° T é r m in o ( c o n s e c u e n t e )
1 ° T é r m in o ( a n t e c e d e n t e )
Z
+
6 / 2 = 3
* Se lee “6 contiene a 2 en 3” ; “ 6 contiene 3 veces a 2” ; “2 esta incluido en
6, 3 veces” etc.
Propiedades de la Razón Geométrica.-
Son las mismas propiedades que en las fracciones.
1) Si el antecedente de la R.G. , queda multiplicada o dividida por una
cantidad, el valor de la Razón quedará también multiplicado o dividido
por la misma cantidad, respectivamente.
Ejem.:
Aritmética 4
A Ambos
Términos o se les
suma o se les resta
la misma cantidad





1
2
15
30
3:3
2
3:6
)(5.3
2
5.6
3
2
6
Si =∧=⇒=
2) Si el consecuente de un R.G. queda multiplicado o dividido, por una
cantidad entonces el valor de la Razón quedará dividido, en el 1er
caso; o multiplicado, en el 2do caso, por esa misma cantidad. Ejm:




6
1
1
6
2:3
2:2
6
)(3.3
3.2
6
3
2
6
Si =∧=⇒=
3) Si el antecedente ya la consecuente de una R.G. se les multiplica o se
les divide por una misma cantidad, entonces el valor de la Razón
permanecerá constante. Ejm.




3
5:2
5:6
)(3
4.2
4.6
3
2
6
Si
5/6
5/2
24
8
=∧=⇒=
I) PROPORCIONES.-
Son igualdades que se establecen entre 2 Razones de la misma clase. Las
proporciones pueden ser:
3) Proporciones Aritméticas o Equidiferencia: Es la igualdad que se
establece entre 2 Razones Aritméticas, Una Equidiferencia se escribe
de 2 formas siguientes :a – b = c – d (v) a . b :: c . d ; ∀ a ; b ; d ∈ Z+
* Términos de una P.A:
; c = a n t e c e d e n te s
b ; d = c o n s e c u e n t e s
a ; d = t. e x tr e m o s
b ; c = t. m e d io s
- b = c - da
1 ° m i e m b r o 2 ° m ie m b r o
a S e le e " a e s a b
c o m o c e s a d "
a
A
* Propiedad Fundamental: “En toda equidiferencia la suma de los
extremos es igual a la suma de los medios”.
Si a – b = c – d es P.A. ⇒ a + d = c + b. Ejm: 8 – 6 = 11 – 9 ⇒ 9 + 8 =
11 + 6 ⇒ 17 = 17
Aritmética 5

* Clases de Equidiferencias:
1) E. Directa: Es aquella cuyos Términos medios no son iguales
• Forma General: a – b = c – d Ejm.. 9 – 7 = 8 – 6
Donde : * d : 4ta diferencial respecto a “a” ; “b” ; “c”
* a ; b ; c : 3era diferencial o Tercia Diferencial, respecto
de “a” ; “b” ; “c” (a≠b≠c ≠d).
2) E. Contínua: Es aquella cuyos Términos medios son iguales.
• Forma General: a – b = b – c Ejm.. 11 – 8 = 8 – 5
Donde : * b : Media diferencial respecto de “a” ; “b” ; “c”
* a ; c : 3era
ó Tercia diferencial, respecto
a “a” ; “b” ; “c” (a≠b≠c).
Obs.: Media Diferencial o Aritmética
2
ca
b
+
=
2) Proporciones Geométricas o Equicocientes: Son las igualdades que se
establecen entre 2 Razones geométricas. Una Proporción geométrica se
puede representar de 2 maneras : a : b :: c : d (v) (a/b)= (c/d).
* Términos de una P.G:
; c = A n t e c e d e n t e s
b ; d = C o n s e c u e n te s
a ; d = T . e x tr e m o s
b ; c = T . M e d io s
: b : : c : da
1 ° m ie m b r o 2 ° m ie m b r o
a
Z
+
• Se lee “a es a b como c es a d”
* Propiedad Fundamental: “En todo equicociente el producto de los
extremos es igual al producto de los medios”.
Aritmética 6

30630651.657.18
17
51
6
18
:Ejm;.G.Punaes
d
c
b
a
bcad
d
c
b
a
Si
=⇒=⇒=
=↔=⇒=
* Clases de Equicocientes:
3) E. Discreta: aquella cuyos Términos medios no son iguales
10 : 2 = 125 : 25
• Forma General: a : b :: c : d
Donde : * d : 4ta proporcional respecto de a “a” ; “b” ; “c”
* a ; b ; c : 3era o tercia proporcional, respecto
de “a” ; “b” y “c” (a≠b≠c≠d).
4) E. Contínua: aquella cuyos Términos medios son iguales .Ejm.:
32 : 16 :: 16 : 8
• Forma General: a : b :: b : c
Donde : * b : Media proporcional respecto de “a” ; “b” ; “c”
* a ; c : 3era o Tercia proporcional, respecto
a “a” ; “b” y “c” (a≠b≠c).
Obs.: Media Proporcional o Geométricas c.ab =
Transformaciones de Proporciones Geométricas.-
Una P.G. puede sufrir hasta 8 transformaciones distintas y legitimas entre sí
(una transformación es legitima cuando su propiedad fundamental
permanece constante en valor numérico).
Sea la proporción Geométrica: ;
d
c
b
a
= sus variaciones legítimas serán.
Aritmética 7

;
b
a
d
c
)4;
a
b
c
d
)3;
a
c
b
d
)2;
d
b
c
a
)1 ====
;
c
d
a
b
)8y;
b
d
a
c
)7;
c
a
d
b
)6;
d
c
b
a
)5 ====
Ejm: la proporción ;
8
16
16
32
= puede escribirse de 8 modos:
;
16
8
32
16
)4;
16
32
8
16
)3;
32
16
16
8
)2;
8
16
16
32
)1 ====
;
16
8
32
16
)8;
16
32
8
16
)7;
32
16
16
8
)6;
8
16
16
32
)5 ====
Obs.: Cuando la Progresión Geométrica es continua, las formas distintas
serán 4 : todas legítimas.
Comparación de Proporciones Geométricas.-
1) Si 2 proporciones geométricas tienen razón común, las otras 2 Razones
formarán proporción geométrica . Ejm.:
10
5
4
2
2
1
10
5
)(
2
1
4
2
=⇒=∧=
2) Si 2 proporciones geométricas tiene antecedentes iguales, los
consecuentes formarán proporción geométrica. Ejm.:
12
4
6
2
3
4
12
)(3
2
6
12
3
4
1
)(
6
3
2
1
=⇒=∧=⇒=∧=
3) Si 2 proporciones geométricas tienen consecuentes iguales, los
antecedentes formarán proporción geométrica. Ejm.:
84
56
108
72
12
84
8
56
)(
12
108
8
72
=⇒=∧=
Aritmética 8

Multiplicando
antecedentes y
consecuentes
4) El producto que se obtiene al multiplicar, término a término, distintas
proporciones geométricas da lugar a una proporción geométrica. Ejm:
96.54864.6:quepor.G.Punaes
864
96
54
6
;
864
96
12
8
x
18
6
x
4
2
)(
54
6
3
2
x
9
3
x
2
1
12
8
3
2
;
18
6
9
3
;
4
2
2
1
==∴
=∧=→===
5) Con los 4 Términos de 2 productos iguales se puede formar una
proporción geométrica. Ejm.: 6 x 3 = 2 x 9 <>
6
2
9
3
=
Propiedades de las Proporciones Geométricas.-
Sea la proporción ;
d
c
b
a
= se cumple:
dc
dc
ba
ba
d
c
b
a
Si)7
db
ca
db
ca
d
c
b
a
Si)6
db
db
ca
ca
d
c
b
a
Si)5
dc
dc
ba
ba
d
c
b
a
Si)4
d
c
b
a
db
ca
d
c
b
a
Si)3
c
dc
a
ba
d
c
b
a
Si)2
d
dc
b
ba
d
c
b
a
Si)1
+
−
=
+
−
⇒=
=
±
±
⇒=
−
+
=
−
+
⇒=
−
+
=
−
+
⇒===
±
±
⇒=
±
=
±
⇒=
±
=
±
⇒=


Operaciones con las Proporciones Geométricas.-
Aritmética 9

kk
kk
d
c
b
a
d
c
b
a
Si)5
d
c
b
a
d
c
b
a
Si)4
)cte(R
k/d
k/c
k/b
k/a
d
c
b
a
Si)3
)cte(R
dk
ck
bk
ak
d
c
b
a
Si)2
kR
kd
kc
kb
ka
d
c
b
a
Si)1
=⇒=





=





⇒=
⇒=⇒=
⇒=⇒=
±⇒
±
±
=
±
±
⇒=
Serie de Razones Equivalentes (S.R.E.).-
Son las igualdades que se establecen entre los grupos de proporciones que
poseen la misma constante de Razón. Puede ser de 2 formas:
1) S.R.E. Aritméticas: Si la igualdad se establece entre 2 o más
proporciones aritméticas.
Ejm: 8 – 5 = 7 – 4 = 11 – 8 = 6 – 3 =........
18 – 15 = 15 – 12 = 12 – 9 = 9 – 6 =........
2) S.R.E. Geométricas: Si la igualdad se establece entre 2 ó más
proporciones geométricas.
Ejm: ).cte(k.......
e
d
d
c
c
b
b
a
====
Propiedades de las S.R.E.G:
(*)
n
RAZONES"N"
)K(
......bcde
Z.....abcd
)cte(K
Z
.....
e
d
d
c
c
b
b
a
Si =
α
⇒=
α
=====
  
Se Cumple : kZ;.....;kc;kb;ka )2n()1n(n
α=α=α=α= −−
Donde:
• K = Cte. De proporcionalidad (k∈Z+
)
• a = 1° antecedente
Aritmética 10
Siendo:
• R = el valor de la Razón
• K = constante (k ∈ Z +
)

• N = # Total de Razones geométricas
• ∝= Ultimo consecuente.
(*) k
.......fdb
Z......eca
k
Z
.....
f
e
d
c
b
a
Si =
α±±±±
±±±±
⇒=
α
====
(*) p
pppp
pppp
k
.......edb
Z......eca
k
Z
.....
f
e
d
c
b
a
Si =
α±±±±
±±±±
⇒=
α
====
Donde: k = cte. De proporcionalidad (∈ Q +
) . ; P∈ Z+
Aritmética 11

PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Dos números son entre sí como 7
es a 13, si el menor se le suma
140, para que el valor de la
razón no se altere, el valor del
otro número debe quintuplicarse.
Hallar el valor de los 2 números.
Rpta.-
2) Dos números son entre sí como 5
a 8 ; si la suma de sus cuadrados
es 712 y su diferencia es 26
¿Cuál es el número menor?
Rpta.-
3) La suma, la diferencia y el
producto de dos números están
en la misma relación con los
números 11; 3 y 560. Hallar el
mayor de los números.
Rpta.-
4) En una proporción continua
geométrica los términos extremos
son entre sí como 4 es a 9. si los
términos de la primera razón
suman 40. Hallar la suma de los
consecuentes de dicha
proporción.
Rpta.-
5) En una proporción geométrica
discreta la diferencia entre los
medios es 14. Hallar uno de los
términos medios si se sabe que
el producto de los 4 términos de
la proporción es 2601.
Rpta.-
6) En una reunión social por cada 5
hombres adultos que ingresan,
ingresan 6 niños y por cada 3
mujeres adultas que entran,
ingresan 8 niñas. Si en total
ingresaron unos 572 niños y el
número de hombres es al número
de mujeres como 7 es a
4¿Cuántos hombres asistieron a
dicha reunión?
Rpta.-
7) Tenemos dos terrenos: 1 terreno
rectangular y el otro en forma
cuadrada. Si uno de los lados del
primero es al lado del menor del
segundo es como 3 es a 2 ¿En que
relación están sus perímetros, si sus
áreas son iguales?
Rpta.-
8) Si a cada uno de los 4 términos de
una proporción se le quita una
cantidad misma, se obtiene 20; 28;
32; 44. Hallar la suma de los
términos de dicha proporción.
Rpta.-
9) Se tiene 3 números enteros que
son entre sí como 4; 7; 9. Si el
cuadrado de la suma de los 2
menores números menos el
cuadrado del mayor da 360. Hallar
la suma de los 3 números.
Rpta.-
10) ¿Cuál es el número entre el tercio
proporcional y el tercio diferencial
de 9 y 5?
Rpta.-
11) Hallar la Razón de una
proporción geométrica continua,
sabiendo que la suma de sus
términos extremos es a su
diferencia como 25 es a 24
Rpta.-
12) En una serie de tres Razones
geométricas contiguas e iguales
la suma de los antecedentes es
147 y la suma de las tres
Razones es 9/5.Hallar la suma
de los consecuentes.
Rpta.-
Aritmética 12

13) En una competencia de
obstáculos de 800 metros,
Andrés y Belisario vencen a
Carlos y Danilo por 50 metros. En
la misma distancia Andrés gana a
Belisario por 100 metros y Carlos
a Danilo por 160 metros. ¿Por
cuánto ganara Carlos a Belisario
en una carrera de 1125 metros?
Rpta.-
14) Tenemos 3 números enteros A; B
y C Tales que A es a B como 4
es a 5 y B es a C como 10 es a
11 Si la diferencia entre A y C es
36 ¿Cuál es el mayor de esos 2
números?
Rpta.-
15) Si el valor de la Razón aritmética
y geométrica de 2 números es 5
¿Cuál es la suma de dichos
números?
Rpta.-
16) Se tiene la siguiente serie de
Razones geométricas equivalentes:
10
c
7
b
5
a
==
Hallar la suma de los antecedentes.
Rpta.-
17) La ciudad de Belfast esta dividida
en 2 bandos a raíz de la invasión
anglo estadounidense a Irak, los
que están a favor y los que están
en contra de la reyerta,
respectivamente; de manera tal
que la población de los primeros
y la población de los segundos
están en la relación de 7 a 3. Si
de uno de los bandos se pasan al
otro unas 60 personas, la razón
de las poblaciones que están a
favor y en contra de la guerra,
respectivamente se invierte ¿Cuál
es la población total de la ciudad?
Rpta.-
18) Tres números naturales A; B y C,
Son tales que A es a B como 4 es
a 5 y B y C están en razón de 10 a
11 .Si se cumple que A – C = 36
¿Cuál es le mayor de los
números entre A y C?
Rpta.-
19) En un club social se lleva a cabo
una reunión donde asisten unas
400 personas entre Hombres y
Mujeres, asistiendo por cada 3
de los primeros; 2 de los
segundos. Si a cabo de 2 horas
la relación entre hombres y
mujeres es de 2 a 1 ¿Cuántas
parejas se retiraron?
Rpta.-
20) La media Aritmética de 2
números A y B es 12. Si se
establece una proporción
continua con estos números, la
cual tiene razón igual a 3/5; la
diferencia que se dará entre los
términos extremos será:
Rpta.-
PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Si (a+b)/(a-b)=2,6 y si a y b
son los menores enteros, la
Razón entre las razones
Aritmética 13

aritméticas y geométricas de
dichos números será:
a) 1,2

b) 2,2

c) 3,2

d) 4,2

e) N.A
2) La suma de los términos de
una proporción geométrica
discreta es 320 y la relación
entre la suma de
antecedentes y la suma de
consecuentes es como 7 es a
1 ¿Cuál es la suma de los
consecuentes y la Razón de la
proporción?
a) 92 b) 47 c) 41
d) 74 e) 54
3) Si A es la cuarta proporcional
de 5/6 ; ¼ y 2/3 y B es tercera
proporcional de 1/8 y 1/6
¿Cuál es la tercera
proporcional de B y A?
a) 5/23 b) 2/49 c) 1/48
d) 8/49 e) 9/50
4) En una proporción de Razón
igual a ¾ el producto de los
consecuentes es 880. Si los
antecedentes están en la
misma Razón de 5 a 11 Hallar
la suma de los términos de
dicha proporción.
a) 112 b) 84 c) 336
d) 224 e) 504
5) En una proporción de Razón
menor a la unidad, la tercera
proporcional es 24. Si la
Razón aritmética de los
términos extremos es igual a
18 ¿Cuánto vale la media
proporcional?
a) 3 b) 6 c) 9
d) 12 e) 15
6) La razón de 2 números es la
misma que ¼ y 1/3 ; y los 2/3
del producto de esos dos
números es 1152 luego, la
diferencia que existe entre los
2 números es:
a) 12 b) 24 c) 36
a) 48 a) N.A
7) La diferencia que se efectúa a
2 números enteros y el
cociente de esos números
están en la misma razón como
el número menor (de los
nombrados) es a 10. La menor
semisuma de dichos números
será:
a) 10 b) 9,8 c) 9,5
d) 9,2 e) 8
8) Con los datos a continuación:
i) (a/b)=(c/d)=(e/f)
ii) a + c + e = 72
iii) b + d + f = 32
Hallar: efcdab ++
a) 36 b) 15 c) 48
d) 24 e) 30
9) Si se cumple:
mps:Hallar
K
R
nqr;k
s
r
q
p
n
m
2
2
2
====
a) k b) k/R c) R/k
Aritmética 14

d) 1 e) R
10) En una proporción donde cada
uno de los 3 términos es el
cuádruple al término inmediato
(los términos que cumplen son
el 1° ; 2° y 3°) la suma de los
4 términos es 340. ¿Cuál es el
término menor?
a) 10 b) 8 c) 6
d) 4 e) 2
11) Si
64
FHK
EGJ
y
K
J
H
G
F
E
===
Hallar el cociente de la suma
de los cuadrados de los
antecedentes y la suma de los
cuadrados de los
consecuentes de la serie
mostrada.
a) 4 b)16 c) 8
d) 64 e) 4096
12) En un concurso de baile el
número de hombres y el
números de mujeres están en
la misma relación que 5 y 4 ,
pero en un instante
determinado del concurso el
número de hombres que
bailan es al número de
hombres que bailan es al
número de número de
hombres que no bailan como
5 es 3, por tanto, el número de
mujeres que no bailan es al
número de hombres que no
bailan como:
a) 25/7 b) 5/8 c) 25/12
d) 7/25 e) 7/15
13) Tres números a ; b y c son
proporcionales a 9 ; 12 y 65.
Si la cuarta proporcional de a ;
b y c es 520. ¿Cuál es la
tercera proporcional de a y b?
a) 24 b) 45 c) 96
d) 27 e) 32
14) Si (p/q) = (r/t) = k , Hallar el
valor de:
tq
tqrq2tp 222
++
;
en función de k.
a) k b) 2k c) k2
d) (Kl.) 2
e) Kl.
15) Calcular:
250inu
16INU
J
333
333
+++
+++
=
Si ( U/u ) = ( N/n ) = ( I/i ) = 2/5
a) 8/125 b) 16/625 c) 2/25
d) 72/625 e) 9/71
TEMA: REPARTO PROPORCIONAL
Concepto.-
Es una regla en la cual a ciertas cantidades se les puede repartir en forma
directa o inversamente proporcional a otras cantidades, las cuales reciben el
Aritmética 15

nombre de “factores de proporcionalidad ”, de tal manera que todas estas
formas una serie de Razones iguales.
Notación.-
Repartir un número entero “N” en partes proporcionales a “q”; “r”; “s”; ....; “z”
Sean “a” “b” “c” ;.....; “∝” las partes del número “N” proporcionales a “q” ; “r” ;
“s” ;.....; “z” tal que : a + b + c +.....+ ∝ = N.
⇒ a (dp) q; b (dp) r ; c (dp) s ;.....; ∝ (dp) k
z
....
s
c
r
b
q
a
z =
α
====⇒
• Donde: k = constante de proporcionalidad (k∈ Q+
)
Obs.: la operación del Reparto es análoga para el Reparto inverso.
Regla Práctica.-
Al número “N” se le dividen en números proporcionales a los índices “a” “b”
“c”. Denominaremos “x” a la parte de “N” que es proporcional a “a” ; “y” a la
parte proporcional “b” y “z” a la parte proporcional “c”, respectivamente, de
manera tal que: 1) x + y + z = N ; 2) x > y > z ; y 3) a > b > c. Los puntos 2) y
3) permiten formar con las cantidades y con los índices de proporcionalidad
una serie de Razones geométricas equivalentes.
Si x > y > z (∧) a > b > c ⇒
c
z
b
y
a
x
==
Aplicando una de las propiedades de las Razones geométricas :
c
z
cba
zyx
;
b
y
cba
zyx
;
a
x
cba
zyx
c
z
b
y
a
x
=
++
++
=
++
++
=
++
++
⇒==
Pero : x + y + z = N
cba
cN
Z;
cba
bN
y;
cba
aN
x
++
=
++
=
++
=∴
Clases de Reparto.-
Aritmética 16

I) Reparto Proporcional Simple (RPS).-
1) Reparto Proporcional Directo Simple o Directamente Proporcional:
Se establece cuando parte que pertenece a una cantidad es directamente
proporcional con cada índice de proporcionalidad. Presenta 3 casos:
(*) De un Número entero a otro Número entero.- Se usa la Regla
práctica para cada caso.
Ejm.: Reparto de 18 en 2 Números proporcionales a 2 y 4.
Si 18 = x + y , aplicando la Regla General : (x/2) = (y/3)
X = 2 (18) ⇒ x = 6 ; y = 4 (18) ⇒ y =12
6 6
∴ Los Números del Reparto son : 6 y 12.
(*) De un Número entero a un Número Racional: Se homogenizan los
índices fraccionarios y se aplica la forma general para cada parte
considerando únicamente a los numeradores de cada fracción.
Ejm.: Repartir 154 en partes directamente proporcionales a 2/3; ¼ ; 1/5; 1/6.
Reduciendo esas fracciones al Mínimo Común Denominador:
2/3 ; ¼ ; 1/5 ; 1/6 ; <> 40/60 ; 15/60 ; 12/60 ; 10/60 .
Prescindimos el Denominador Común (60), se aplica la Regla
práctica para cada caso:
1540
10
u;
10121540
)154(12
z;
10121540
)154(15
y;
10121540
)154(40
x
+
=
+++
=
+++
=
+++
=
∴ x = 80 ; y = 30 ; z =24 ; u = 20
Aritmética 17
R e p a r to P r o p o r c io n a l
R . P . S im p le
R . P . C o m p u e s to
R e g la d e C o m p a ñ í a
D ir e c t o
I n v e r s o
S im p le
C o m p u e s t a
*
*
*

(*) De un Número entero a un Número Real: Se consideran los casos
entre los números enteros y el caso entre el número entero y el
número racional.
→ Regla General: Se multiplica el número que se quiere repartir por
cada uno de los índices de Proporcionalidad y se divide por la suma
de estos últimos.
Ejem.: Repartir 150 en partes directamente proporcionales a 5 ; 6 y 9.
5,67
965
)150(9
z;45
965
)150(6
y;5,37
965
)150(5
x =
++
==
++
==
++
=∴
∴x = 37,5 ; y= 45 ; z = 67,5
2) Reparto Proporcional Simple Inverso o Inversamente Proporcional:
Se establece cuando cada parte es inversamente proporcional con cada
índice de inversión (índice de las magnitudes inversamente
proporcionales). Presenta 3 casos:
(*) De un número entero a otro número entero.
(*) De un número entero a otro número Racional.
(*) De un número entero a otro número Real.
En los casos se invierten los números dados y se reparte el número que
se quiere dividir en partes que son directamente proporcionales a los
índices de inversión de los números ya inversos.
Ejem.: Repartir 240 en partes inversamente proporcionales a a ≤ ; 6 ; 8.
• Invirtiendo los índices de inversión : 1/5 ; 1/6 ; 1/8 <> homogenizando:
24/120 ; 20/120 ; 15/20. (120 = mínimo Común Denominador).
• Aplicando uno de los casos del Reparto Simple Directo (Reparto entre
Números enteros):
Si x + y + z = 240
Aritmética 18

59
1
59
21
59
37 61z;81y;97x
59
1
61z;
59
21
81y;
59
37
97x
152024
)240(15
z;
152024
)240(20
y;
152024
)240(24
x
===∴
===⇒
++
=
++
=
++
=
II) Reparto Proporcional Compuesto (RPC).-
Es aquel donde una cantidad es dividida en partes que son directamente
proporcionales a otras cantidades (índices de proporcionalidad) y, a su vez
pueden ser directas o inversamente proporcionales a otras cantidades
(índices de inversión).
Ejem.:
Repartir 170 en partes d.p. con 4; 5 y 6 e i.p a 2 ; 4 ; 6.
170 = x + y + z = ; multiplicamos los índices directamente proporcionales a
170 por las inversas de los índices inversamente proporcionales a 170.
170 = x + y + z (∧) x = (dp) 4 . ½ ⇒ x (dp) 2
y = (dp) 5 . ¼ ⇒ y (dp) 5/4
z = (dp) 6 . 1/6 ⇒ z (dp) 1
Reduciendo los nuevos índices a su mínimo común Denominador:
X (dp) 2 <> x (dp) 8/4 ; y (dp) 5/4 <> y (dp) 5/4; z (dp) 1 <> z (dp) 4/4
Repartiendo 170 en partes directamente proporcionales a 8 ; 5; 4:
40z;50y;80x
40
17
)4(170
z;50
17
)5(170
y;80
17
)8(170
x
===∴
======
Aritmética 19

1) ¿Cuál será la medida de cada
uno de los ángulos de un
romboide, si estos son
proporcionales a 1 ; 4 ; 5 ; 8 ;
respectivamente?
Rpta.-
2) Alexa ha repartido cierta
cantidad de dinero entre sus
tres sobrinos, en partes que
son directamente
proporcionales a los números
4 ; 5 y 7. Si el tercero ha
recibido 42 soles más que el
primero ¿Qué cantidad de
dinero repartió?
Rpta.-
3) Repartir a 1560 en 3 partes
tales que la primera de ellas
sea a la tercera como 7 es a 3
y que la primera y la segunda
están en la misma relación
que los números 5 y 4 .
Rpta.-
4) Un comerciante repartió una
suma de dinero entre sus tres
hermanos ; de 10 , 12 y 14
años respectivamente. Si el
Reparto fue inversamente
proporcional a las edades,
siendo el de mayor edad el
que recibe 420 soles. ¿Cuál
es la suma que repartió?
Rpta.-
5) Si se divide 23520 en partes
D.P. a las raíces cuadradas
de 75, 12 y 25 e I.P. a las
raíces cuadradas de 27;12 y
75 respectivamente. La mayor
parte es:
Rpta.-
6) Las edades que tienen 5
primos en 2° grado por vía
carnal son números enteros
consecutivos, si se reparte
una cantidad cierta de dinero
entre ellos en forma
directamente proporcional a
sus edades; si al menor le
corresponde la mitad de lo
que le toca al mayor y el
tercero le toca treinta y un
soles con veinte céntimos
¿Cuánto le corresponderá al
quinto?
Rpta.-
7) Antonio reparte una cantidad
de manera tal que cada una
de las partes recibe el doble
que la anterior, siendo hecho
el reparto entre 4 personas, la
diferencia que se establece
entre la cuarta y la primera
parte es s/. 120 mayor que la
diferencia entre la tercera y la
segunda. Hallar la menor de
las partes en que se repartió
dicha cantidad.
Rpta.-
Aritmética 20

8) Se reparte el número 2480 en
3 parte que sean directamente
proporcionales a los números
m3
; m2
y m, si la menor de
dichas partes es 80 ¿Cuál
será la parte mayor?
Rpta.-
9) Cuando un hombre va a
almorzar a un restaurante y le
atienden una mujer y un
hombre, le da doble propina a
la mujer que al hombre, y si le
atienden el hombre y un
muchacho, le da doble propina
al hombre que al muchacho.
Si un día le atienden el
hombre, la mujer y el
muchacho y da 70 centavos
de propina ¿Cuánto debe
recibir cada uno?
Rpta.-
10) Juan Carlos ha repartido cierta
cantidad de dinero entre sus
amigos: Abelardo, Benjamín y
Claudio, de modo tal que las
partes que estos reciben son
respectivamente
proporcionales a 4 ; 5 ; y 6. Si
la parte que le corresponde a
Abelardo es 20 soles, ¿Cuáles
son las partes que le
corresponden a Benjamín y a
Claudio, respectivamente?
Rpta.-
11) Un padre dispone en su
testamento que está su
fortuna constituida por una
casa que esta valuada en s/.
48 mil dos y dos automóviles
valuados en s/. 1500 cada uno
que sea repartida entre sus
hijos (3) de tal manera que el
hijo mayor tenga 8 partes de
la herencia, el mediano 6 y el
menor de ellos; 3 ¿Cuánto le
corresponderá al segundo?
Rpta.-
12) Tres hermanos adquieren una
propiedad en 85 mil soles y,
algunos meses después, la
venden en 100 mil soles. Si las
partes que impusieron son
proporcionales a los números 3 ;
4 y 8. ¿Cuánto ganó cada uno?
Rpta.-
13) Se reparte 24 en 3 partes
directamente proporcionales a
2 ; 4 y 6 ¿Cuáles son dichas
partes? Dar como respuesta la
mayor.
Rpta.-
14) En el Planeamiento de
Presupuesto General de la
República para el año 2004,
en concordancia con la
política descentralizadora por
parte del gobierno, se ha
dispuesto hacer el reparto de
modo directamente
proporcional con las
necesidades básicas de cada
Región. Si se consideran solo
tres Regiones, por la política
gubernamental mencionada,
notaremos que el reparto del
Presupuesto es directamente
proporcional a los números: n,
n2
y n3
. Si la región con menor
presupuesto recibe 500 soles
¿Cuánto recibirá el segundo?
Rpta.-
Aritmética 21

15) Dividir 95 en 3 partes de modo
tal que la primera parte es a la
segunda parte como 4 es a 3 y
que la segunda parte es a la
tercera como 6 es a 5. Dar como
respuesta la diferencia entre la
parte mayor y la parte menor.
Rpta.-
16) Un amigo de mi hermano reparte
238 bolas entre cuatro muchachos
en partes inversamente
proporcionales a sus edades que
son 2 ; 5 y 8 años
respectivamente, como
recompensa por sus buenas
conductas ¿Cuántas bolas recibirá
cada uno? Dar como respuesta la
suma de las cantidades del
primero y del tercero.
Rpta.-
17) Un campesino cajamarquino
tiene unas 275 aves entre
gallos, gallinas y palomas. El
número de gallinas es al de
gallos como 7 es a 3 y el
número de palomas es al de
gallinas como 5 es a 2
¿Cuántas aves de cada
especie tiene?
Rpta.-
18) Se establece un reparto de
dinero entre 3 personas, en
forma directamente proporcional
a sus edades, las cuales son 3
números enteros. Luego se
reparte la misma cantidad de
dinero, pero de modo
inversamente proporcional a la
misma 3 cantidades. Luego la
segunda persona recibe en el
segundo reparto:
Rpta.-
19) Tres vecinos de la urbanización
Mayorazgo deciden pintar las
fachadas de sus casas siendo el
costo total de 1369 soles. La
extensión de la fachada del
primero es los 3/5 del tercero, y
la del segundo es los 7/2 de la
del primero. Si el gasto se
reparte en forma directamente
proporcional a la extensión de
las fachadas ¿Cuánto le ha
correspondido abonar al tercero?
Rpta.-
20) La Señora Carmen Rosa
Ugarteche al fallecer legó una
herencia de s/. 14 400 para
repartirla proporcionalmente a
las edades de sus hijos:
Mauricio, Charles y Jaime
Estuardo. La edad de Jaime
Estuardo es el doble de la de
Mauricio y a Charles le
correspondió s/. 4200. Si la
suma de las edades de estas 3
personas es 72 años. ¿Cuál es
la edad de Jaime Estuardo?
Rpta.-
Aritmética 22

Aritmética 23

1) Kelvin, Manolo y William
disponían de un terreno, siendo
las partes que les
correspondían a cada a cada
uno respectivamente
proporcionales a 2,5 ; 1,5 y 2. Si
Kelvin vende unos 200m2
de un
terreno a Manolo ambos
tendrían terrenos iguales ¿Cuál
es el área del sector del terreno
que le correspondía a William?
a) 1000 b)800 c)600
d) 400 e)200
2) Si se reparten s/. 270 entre 3
personas de modo que la parte
correspondiente a la segunda
persona sea los 2/3 de la parte
correspondiente a la primera
persona y además la parte
correspondiente a la tercera
persona es igual a la semisuma
de las otras dos partes ¿Qué
parte le corresponde a la
segunda persona?
a) s/.90 b) s/. 18 c) s/.108
d) s/. 84 e) s./ 72
3) Al repartir s/. 720 en forma
directamente proporcional a m ;
n ; 3n ; 9n ; 27n ;..... 3z
n; el
menor valor fue 18 ¿Cuál será
el valor de “z”?
a) 2 b)3 c)4
d) 5 e) 6
4) Alberto reparte cierta cantidad
de dinero entre sus 3 hijos en
forma directamente proporcional
a los números mn; nm; nn; de
tal manera que los dos primeros
recibirán 228 y 339 dólares
respectivamente ¿Cuál es la
cantidad que se repartió ?
a) $/.1450 b) S/.995
c) $/. 1045 d) S/.1304,5
e) $/. 1215
5) Dividimos una cantidad en 3
partes que son directamente
proporcionales a tres números,
de modo tal que éstos llegan a
ser: 13200 ; 33000 y 52800 Si el
reparto se efectúa en forma
inversamente proporcional a los
mismo tres números ¿Cuál
sería la segunda parte?
a) 35000 b) 3300 c)15000
d) 24000 e) 60000
6) Se divide 2210 en cuatro
números tales que el segundo y
el tercero estén en la misma
relación que 7 y 11, el tercero y
el cuarto están en la misma
relación que los números 4 y
“m” y la primera es a la segunda
como 3 es a 5. Si el cuarto
número es 1100 ¿Cuál es el
valor de “m”?
a) 11 b) 12 c) 8
d) 44 e) 33
7) Se reparte una cantidad en 3
partes de tal manera que éstas
sean proporcionales a los
números 3 ; 5 y 8. Si la tercera
parte es mayor que la segunda
parte en 78 unidades ¿Cuál fue la
cantidad total que se repartió?
a) 426 b) 328 c) 416
d) 461 e) 248
8) Se reparte un cierto número en
dos cantidades, las cuales son
directamente proporcionales a
los números 3 y 5. Si la
segunda parte es mayor en 42
unidades mas que la primera
Aritmética 24

parte.¿Cuál es el número que
se repartió?
a) 168 b) 172 c) 194
d) 186 e) N.A
9) Abelardo reparte s/205 entre
sus 3 mejores amigos, de tal
manera que la primera recibe
tanta cantidad de la segunda
como 2 es 5; y el segundo
recibe las ¾ partes del tercero.
¿Cuánto recibió la primera de
esas 3 personas?
a) 30 b) 45 c) 60
d) 75 e) 90
10) Tres muchachos tienen s/. 80 el
primero; s/. 40, el segundo y s/. 30
el tercero. Convienen entregar
entre todos 30 soles a los pobres,
contribuyendo cada uno en
función a lo que tienen ¿Cuánto
pondrá cada uno? Dar como
respuesta lo que pone el segundo.
a) 18 soles b) 16 soles
c) 10 soles d) 6 soles
d) 8 soles
11) En un colegio hay 130 alumnos,
de los cuales hay cuádruple
número de estadounidenses
que de españoles y doble
número de cubanos que de
estadounidenses ¿Cuántos
españoles hay en el colegio?
a) 50 b) 10 c) 90
d) 40 e) 80
12) Se ha comprado 2 automóviles
de $ 3400 y se han pagado en
razón directa a la velocidad que
puedan desarrollar, que es
proporcional a los números 60 y
70, y en razón inversa a su
tiempo de servicio que es de 3 y
5 años, respectivamente
¿Cuánto se ha pagado por cada
uno? Dar como respuesta la
diferencia entre estos.
a) 900 b) 800 c) 700
d) 600 e) 500
13) Tres cuadrillas de Obreros han
realizado un trabajo por el que
se ha pagado s/. 516 .La
primera cuadrilla constaba de
10 Hombres y se trabajó
durante 12 días; la segunda, de
6 hombres, trabajó 8 días y la
tercera, de 5 hombres, trabajó
por 18 días.¿Cuánto debe
recibir la tercera cuadrilla?
a) 96 soles b) 240 c) 276
d) 180 e) 336
14) Se reparte 26 en dos partes
proporcionales a 3 y 4 e
inversamente proporcional a 6 y
5. ¿Cuál es la parte mayor?
a) 12 b) 10 c) 16
d) 13 e) 11
15) Repartir 95 en 2 partes D.P. a
0,4 y 0,6 e I.P. a 1,4 y 2 ½. Dar
como respuesta la diferencia
entre ellos.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
Aritmética 25

TEMA: PORCENTAJE
Introducción.-
La expresión “..... por ciento” es derivada de la expresión latina “......per
centum”, apareciendo en las principales obras de aritmética en la Italia del
siglo XV y su signo (%) fue fruto de una sucesiva mutilación a través de los
tiempos, de la abreviatura de 100 (cto); apareciendo éste en un libro de
comercio y ciencias mercantiles en el año 1685.
Definición.-
El tanto por ciento viene a ser o una, o varias, de las cien partes en las cuales
se divide una cierta cantidad. Por ejemplo, si decimos que el 10% de 100 es
igual a 10; es por que éste se sustenta en el hecho de que al número 100 se
le dividen en 100 partes regulares (perfectamente iguales), de manera tal que
se consideran de dichas partes a unas diez. Las partes que se pueden
considerar respecto de una determinada cantidad pueden ser tanto como
fraccionarias.
Notación: Si a% de b es igual a c : c)b(
100
a
cb%a =⇔=
Ejemplo: Hallar el 7 por ciento de 81 : 67,581.
100
7
81%7 =〉〈
Propiedades del Tanto Por Ciento.-
1) Toda cantidad representa el 100% de sí misma. N= 100% N .
2) Los porcentajes de diferentes cantidades se pueden sumar o restar de
modo algebraico, es decir, solamente se pueden operar porcentajes que
operen a una misma cantidad α%N + β%N - γ%N =(α+β+γ)N; .
Donde: α;β;γ ∈ Q+
43% M + 27%M – 15%M = 55%M
Aritmética 26

Relación Entre La Teoría del Porcentaje y Las Fracciones.-
• Las variaciones porcentuales (cambios que experimenta una determinada
cantidad, con respecto de su valor original) se pueden expresar como
una fracción en la cual el numerador es aquélla cantidad a operar y el
denominador es el número respecto al cual se de ha ser la repartición (en
el tanto por ciento, el indicador equivale a 100, por ejemplo).
• Para convertir una determinada fracción a porcentaje, basta con
multiplicar dicha fracción con el número al cual se ha de repartir dicha
fracción. Ejemplo :
(*) Convertir 1/5 a tanto por ciento : 1/5 (100) = 20% → se lee : “veinte
por ciento”.
(*) Convertir 4/9 a tanto por 27 : 4/9 (27) = 12 → “doce por veintisiete”.
(*) Convertir 95% a fracción : (95/100) = 19/20
(*) Convertir 3 por 10 a fracción : 3 por 10 <> 3/10
Obs.
* Tanto por Cuanto: Si en un inicio decimos que el tanto por ciento de cierta
cantidad era una ó mas de las partes (las cien) en que se pueden dividir
dicha cantidad; al tanto por cuanto se le define como una o varias partes
que se toman en cuenta de un número determinado de partes en las cuales
se puede dividir una determinada cantidad.
Notación: Si el a por b de c es igual a d: d)c(
b
a
= ; donde b ≠ 100.
Hallar el 3 por 5 de 75: 45)75(
5
3
=
Aritmética 27

* Tanto por mil: De manera análoga a las definiciones del tanto por cuanto y
del tanto por ciento, podremos concluir que el tanto por mil es cada una de
las mil partes en que se divide una cantidad.
Notación: Si el a por 1000 de b es igual a c: c)b(
1000
a
= ; donde b ≠
100.
Hallar el tanto por mil (el 25 por mil) de 2300: 5,57)2300(
1000
25
=
* Tanto por ciento del tanto por ciento: Se denomina así al cálculo del
porcentaje sobre otro porcentaje - y así, sucesivamente – de cierta
cantidad. Ejemplo :
Hallar el 30% del 40% del 60% de 3100 :
(30/100)(40/100)(60/100)(3100) = 223,2
Operaciones Sucesivas del Tanto Por Ciento .-
En asuntos relacionados con el porcentaje pueden presentarse casos que
involucren un aumento o disminución de cierta cantidad que se manifiesta
por medio de un porcentaje sobre la cantidad indicada.
Por ejemplo:
Si un individuo contaba con una cuenta de ahorros de 80 000 nuevos soles
en el Banco Santander – Central Hispano (BSCH) y cuando llega a dicho
banco decide extraer todos sus ahorros – los ochenta mil nuevos soles, y
recibe cien mil soles en vez de los ochenta mil nuevos soles iniciales,
entonces estaría recibiendo un incremento de veinte mil soles, es decir,
Recibe un incremento del 25% (veinticinco por ciento) de total de su
cuenta de ahorros.
Casos Particulares:
1) Si realizo dos aumentos sucesivos del M% y del N% , el incremento único
será:
100
NxM
NMAU ++=
Aritmética 28

donde: Au =Aumento ó incremento Único
2) Si realizo dos descuentos sucesivos del M% y del N% , el descuento
único será:
100
NxM
NMDU .+=
Du =Descuento Único
Ejemplo:
* Juan Carlos compro 10 Kg. de Azúcar y lo vende haciendo dos incrementos
sucesivos del 30% y del 40% sobre el precio de venta. Hallar el incremento
Único que se estableció en la venta del Azúcar.
Sean los incrementos del 30% y del 40% : AU=30+40+30.40/100= 82 (AU)
∴El incremento único será del 82%
* Alexander, jefe del personal de la Fabrica D’onofrio, tiene encomendado
reducir el sueldo básico de sus empleados. Si llega a establecer dos
descuentos del 40% y del 25%, el descuento único será:
Sean M=40 ; N= 25 : DU=40+25-40 . 25/100 = 55 (DU)
∴El Descuento único será el 55%
Obs.
Las relaciones para incrementos y descuentos indicadas anteriormente, solo
cumplen para dos incrementos y dos descuentos sucesivos, respectivamente.
Para conocer el incremento o descuento sucesivo que se establece cuando
se da una serie de incrementos o descuentos sucesivos, respectivamente, se
produce la relación a continuación mencionada:
%100
100
)C100)(B100)(A100(
A 1nU 





−
+++
= −
Aritmética 29
• A ; B ; C = Aumento
Sucesivos.
• n = Cantidad Total de
Incrementos
• Au = Incremento Único

Ejemplo:
1) Se producen dos incrementos sucesivos de 30 y 40%.Hallar el
incremento Único:
100182100
100
)140)(130(
A100
100
)40100)(30100(
A U12U −=





−=⇒





−
++
=
−
∴El Incremento Único : 82%
%100
100
)C100)(B100)(A100(
D
1nU 





−
−−−
=
−
Ejemplo:
1) Se producen dos descuentos sucesivos del 40% y del 25%.Hallar el
descuento Único:
10045100
100
)75)(60(
D100
100
)25100)(40100(
D U12U −=





−=⇒





−
−−
=
−
∴El Descuento Único : -55% (la cantidad se redujo en 55%)
El Signo ( - ) es indicador del descuento (dcto).
Aritmética 30
• A ; B ; C = Descuento
Sucesivos
• n = Cantidad Total de
descuentos
• Du = Descuento único

1) Un agricultor del Valle del Colca
compro una cierta cantidad de
trigo. Vendió las dos terceras
partes de este con un beneficio
del 10% y la mitad del resto del
trigo a precio de costo. Si
cuando la venta llego a su fin, el
agricultor obtuvo el equivalente
a la inversión ¿Cuál fue el
porcentaje total de pérdida
ocurrido en la venta?
Rpta.-
2) Para hacer unos mil lápices se
requieren unos 50 kilogramos
de madera, del cual se pierde
un 8% en la fabricación; de un
lápiz se pierde por el uso
aproximadamente un 20 por
ciento. Si se reuniesen las
cantidades perdidas por el uso
de unos mil lápices y se
destinaran como materia de
reciclaje ¿Cuántos lápices se
llegarían a hacer?
Rpta.-
3) En un tonel de la Taberna
Queirolo que contiene una
cantidad indeterminada de vino
tinto, se adicionan
aproximadamente unos 480
litros de agua. Después de
cierto período de tiempo se
extrae el 20 por ciento de dicha
mezcla entre el vino y el agua y
se reemplaza éste por agua;
resultando luego que la
cantidad de vino que se obtiene
de la nueva mezcla constituye
el 16 por ciento del total de la
mezcla. Calcular la cantidad
total de vino – inicial – que tenía
el tonel.
Rpta.-
4) Un comerciante del Campo
Ferial de Mesa Redonda decide
vender un objeto aumentando
su precio en un 20 por ciento. Al
cabo de unos días rebaja ese
precio en un 10 por ciento, pero
siete días después aumenta
nuevamente, el nuevo precio es
un 25 por ciento; mas el día
siguiente decide rebajar este
último precio a un 80 por ciento.
Indicar si el comerciante gana o
pierde e indicar cuanto es ese
porcentaje.
Rpta.-
5) Se ha estimado que una
mezcladora de concreto de la
Empresa Constructora Graña y
Montero S.A. sufre una
depreciación de diez por ciento
por cada año de uso respecto al
precio que tenía al comenzar cada
año. Si cuatro años después el
precio de la mezcladora estuvo
especificado en trece mil ciento
veintidós nuevos soles, indicar el
costo original de la mezcladora en
cuestión.
Rpta.-
6) En la competencia preliminar
del Vigésimo Octavo
Campeonato Mundial de Tiro,
uno de los participantes logra
convertir unos diez y siete
Aritmética 31

blancos consecutivos ¿Cuántos
debe fallar para que su
rendimiento sea del ochenta y
cinco por ciento?
Rpta.-
7) José Ignacio vende un equipo
de cocina ganando por dicha
venta el veinte por ciento del
precio con el cual se dio aquella
venta; de ésta, entrega el veinte
por ciento a Carmelo por sus
Servicios prestados y, de lo
restante, utilizó posteriormente
el diez por ciento para pagar el
transporte del equipo de cocina
hacia el domicilio del nuevo
propietario, obteniendo así una
ganancia neta de ciento
cuarenta y cuatro soles ¿Cuál
fue el precio de costo del equipo
de cocina?
Rpta.-
8) Un Ingeniero Industrial
egresado de la Universidad
Nacional del Callao compra
sillas a s/.32 cada una para el
centro de Producción de su
Facultad. Una vez allí, anuncia
la venta de dichas sillas a S
soles, de modo tal que cuando
realice un descuento del 20% a
sus cliente potenciales, pueda
ganar el 20% sobre venta
Calcular el valor de “S”
Rpta.-
9) Doce obreros de construcción Civil
– quienes poseen el mismo
rendimiento se comprometen a
realizar una obra para el Fondo Mi
Vivienda en, aproximadamente,
quince días. Cuando dichos
obreros avanzaron la mitad de la
obra, por disposición de la
Empresa Constructora, ocho de
esos obreros son bruscamente
despedidos. Si la Empresa
Constructora es conciente de que
la segunda etapa de la obra – lo
que falta por construir – requiere el
doble del esfuerzo realizado para
construir lo ya avanzado; Calcular
el rendimiento que deben tener los
cinco nuevos obreros –
coincidentemente también de
Construcción Civil – respecto al
rendimiento de los primeros, que
se han de contratar, de tal manera
que la obra en ejecución se
termine en el plazo establecido.
Rpta.-
10) A Elizabeth; al comprar una
blusa, deberían hacerle un
descuento del 20% mientras
que a Esmeralda, al comprar un
pantalón deberían haberle
descontado el 10% del costo del
pantalón. Él por la premura
llega a equivocarse, de tal
manera que Elizabeth debe
pagar s/.2 más y Esmeralda, s/.
5 menos – el vendedor hace el
descuento al revés – Hallar la
diferencia de las cantidades que
pagaron Esmeralda y Elizabeth.
Rpta.-
11) Se le encomendó a una Empresa,
por encargo del Gobierno Central,
realizar el mantenimiento de una
carretera en la Selva Alta del
departamento de la Libertad, la
cual quedo dañada por las lluvias
incesantes que se producían en
dicha región.
Para llevar a cabo el
mantenimiento de dicha carretera,
se tuvo que extraer tierra cavando
una zanja; luego la tierra sufrió un
Aritmética 32

esponjamiento del 30% y ;
después; un asentamiento del
20%. Si el cavado duró unos 28
días ¿ Cuánto tiempo hubiera
durado el cavado si el
esponjamiento fuera del 40%?
Rpta.-
12) En la Librería Lau Chun se tiene
una oferta en la venta de los libros.
Cada Libro cuesta s/.3; pero si las
ventas superan los s/.24, habría un
descuento del 24%. Además, para
ventas por encima de los 60 soles,
el descuento sería del 38% y para
ventas mayores a los 138 soles, el
descuento sería del 85%.
En la Librería Época, para venta
de libros en el mismo intervalo los
descuentos son , respectivamente;
de 3% ; 5% y del 8%. Una
persona, en su primera compra
obtuvo un descuento del 24% ; en
la segunda 38% y en la tercera
85% y observó que si su compra la
hubiera realizado en la otra tienda
hubiera gastado s/.143,1 más. Si
el número de libros que compró es
el menor posible, hallar el número
total de dichos libros.
Rpta.-
13) Se han mezclado tres
sustancias químicas cuyos
precios son proporcionales a
1;5 y 12 ; de tal manera que se
usa un 20% más de la segunda
sustancia respecto de la
primera y de la tercera un 40%,
más que la segunda; si se sabe
que el precio por kilogramo de
la mezcla es mayor en s/.27 que
la diferencia de los precios de
las dos primeras sustancias.
Calcular si gana o pierde; si al
vender un precio fijo,
aumentando su costo en 60% y
en la venta hace dos
descuentos sucesivos del 25%
(Indicar, además, las
cantidades)
Rpta.-
14) Roberto desea adquirir cierto
producto, cuando solicita un
descuento, la vendedora le
hace uno del 20% más el 30%
de su precio. Entonces, el
descuento que se hace ¿es del
50%?
Rpta.-
15) Si el precio de un par de
guantes luego de habérsele
hecho dos descuentos
sucesivos del 10% y del 30% es
de unos sesenta y tres soles
¿Cuál es el precio que tenían
los guantes antes de producirse
dicho descuento?
Rpta.-
16) En cierta Empresa el sueldo
mínimo es de s/. 250 y el
máximo es de s/.300. Se sabe,
además, que veinte empleados
ganan, por lo menos, s/. 290
soles pero menos de s/. 300.
Sesenta y ocho empleados
ganan, por lo menos, s/. 270 ;
135 empleados ganan por lo
menos s/.260 y el resto de
empleados ganan menos de
unos 260 soles, siendo éstos
últimos el 10% del total
Aritmética 33

¿Cuántos empleados ganan
menos de s/.270?
Rpta.-
17) Gerard compra una pieza de
tela, al por menor, que vende de
la siguiente manera: S/.8 con un
beneficio de 60 soles el metro y
lo restante con 40 soles de
beneficio por metro. La
ganancia total por la venta es
de s/.6300, el cual representa el
15% del precio de compra.
¿Cuál es la longitud de la pieza
y el precio de compra? Dar
como respuesta el cuadrado de
las sumas de las cifras de los
resultados
Rpta.-
18) Cuando el lado de un cuadrado
se incrementa en 20%. Resulta
que el área aumenta en 176m2
.
Calcular la longitud inicial del
cuadrado.
Rpta.-
19) Un estudiante de la Facultad de
Letras y Ciencias Humanas de
la Cuatricentenaria Universidad
Nacional Mayor de San Marcos
lee durante una semana el 60%
de un libro más 20 páginas. En
la segunda semana lee el 10%
de lo que falta y en la tercera
semana lee las noventa páginas
restantes.¿cuántas páginas
tiene dicho libro?
Rpta.-
20) En la Fiesta de Cachimbos de la
Universidad Real, Pontificia y
Mayor de San Francisco Javier
de Chuquisaca, en Bolivia, el
total de chicas que salen a
bailar lo hacen con el 6% del
total de chicos. Además, Iván
Ferrer – uno de los cachimbos –
observo que si hubieran 20
chicas más, el número de
personas que bailan respecto
de las que no bailan estarían en
la relación de 2 a 1 ¿Cuantos
cachimbos varones que
asistieron a dicha fiesta no
están bailando?
Rpta.-
Aritmética 34

1) En una reunión del Club
Regatas Lima se observa que
el número de mujeres esta en
relación de 1 a 2 con el
número de hombres, luego se
retiran el 35% de los hombres
y llegan unas 90 mujeres
resultando que los hombres y
mujeres están en relación de 1
a 1. Calcular el número de
personas que habría al
principio de la reunión.
a) 800 b) 850 c) 900
d) 950 e) 1000
2) Se tiene un recipiente de
vidrio lleno de Ron, del cual se
extrae el 20% y se reemplaza
con agua; luego de lo obtenido
se extraer el 25% y se
reemplaza con agua, de modo
tal que la diferencia entre los
volúmenes de Ron y de agua
es de 32 litros ¿Cuál es el
volumen inicial del recipiente?
a) 120 b) 140 c) 160
d) 180 e) 200
3) Un litro de mezcla esta
formado por 75% de alcohol y
25% de agua, por lo cual pesa
unos 960 gramos, sabiendo
que un litro de agua pesa
1000 gramos. Determinar el
peso, en gramos, de un litro
de la mezcla que tiene 15% de
Alcohol y 85% de Agua (no
considerar la contracción de la
mezcla).
a) 995 b) 992 c) 987
d) 974 e) 968
4) Un vendedor de manzanas
compra unos 152kg de ellas a
s/. 1,50 cada Kg. Después de
lograr vender 82kga s/. 1,80
cada Kg.; guarda el resto por
varios años, de modo tal que
se llega a malograr
aproximadamente el 30%.
Calcular el precio al cual se
debe vender el Kg. de lo que
queda para que se pueda
obtener un total de s/. 42,1
soles de ganancia.
a) 3 soles b) 2,9 c) 2,6
d) 2,5 e) 2
5) En una tienda a los clientes
les hacen dos descuentos del
10% y del 20%, de modo tal
que llegan a ganar el 40%. Si
un artículo se compra en s/
36¿Cuál es el precio que debe
fijarse para concretar su
venta?
a) s/.40 b) s/.60 c) s/.56
d) s/.70 e) s/.58
6) Una Fabrica de Útiles para
escritorio produce lápices,
cuyo costo se distribuye de la
siguiente manera: 60% en
materia prima 30% en mano
de obra y el resto en gastos
generales ; de modo tal que
en la venta obtiene como
ganancia el equivalente al
20% del precio costo. Debido
a una variación de precios,
sus costos aumentaron de la
siguiente manera: 50% en
materia prima, 40% en mano
de obra y sus gastos
Aritmética 35

generales en un 20%. Si
ahora su ganancia neta sería
del 30% del costo; calcular el
tanto por ciento de los lápices,
respecto al precio original de
estos (Calcular el nuevo
porcentaje en que se aumenta
el precio de venta de los
lápices)
a) 56% b) 45% c) 53%
d) 80% e) 70%
7) El departamento de Servicio
Social del Servicio Nacional
para el Adiestramiento para el
Trabaja Industrial (SENATI)
rebaja las pensiones a
aquellos estudiantes que
cuentan con bajos recursos
económicos en un 30 por
ciento y aumenta en un 40 por
ciento al resto de alumnado.
Si el monto total de las
pensiones de la totalidad de
alumnos del SENATI queda
disminuido en un 10 por
ciento.¿Qué porcentaje de las
pensiones – el total –
representa lo pagado por los
estudiantes de bajos recursos
económicos?
a) 38% b) 22% c) 60%
d) 70% e) 55,5%
8) Carlos razona de la siguiente
manera:”para poder cancelar
mi deuda con Jusep me
prestaré dinero de Lucy con
la cual mi deuda con ella
aumenta en un 40%; pero si le
llegase a pagar 420 mil soles,
mi deuda con Jusep llegaría al
70% por pagarle. ”¿Cuánto es
la deuda que tiene Carlos con
Jusep?
a) 100 mil b) 200 c) 300
d) 400 e) 500
9) Dos recipientes “k” y “M”
contienen ayahuasca, el
recipiente “k” está lleno la
mitad; el recipiente “M” , en un
tercio de su volumen, así que
se completan con agua el
contenido de ambos
recipientes (sus capacidades);
la mezcla que se origina se
vierte en el recipiente “N”. Si
se sabe que las relaciones
entre las capacidades de K y
M es como 1 es a 2 ;
determinar el porcentaje de
ayahuasca que contiene la
mezcla en el recipiente “N”.
a) 54% b) 61% c) 39%
d) 71% e) 36%
10) Andrei acude a una tienda de
electrodomésticos y compra
cierto artículo por el precio de
s/. 697 ; luego de unos 5 años
regresa a la misma tienda y
compra el mismo artículo
pagando ahora 900% del
precio anterior. Si el letrero del
artículo decía descuento del
23,5% más el 18% indicando
dos descuentos sucesivos
¿Cuál fue el precio de lista
del segundo artículo
comprado?
a) 10 mil b) 50 mil c) 40 mil
d) 38 mil e) 5 mil
11) En una Industria se
confeccionaran mil artículos
de ropa: el 60% de ellos
fueron fabricados por la
maquina “A” y lo restante por
la maquina “B” .Si conocemos
Aritmética 36

que el 5% de lo fabricado por
“A” es material defectuoso y el
4% de lo fabricado por “B”
cumple dicha condición.
Hallar la cantidad total de
artículos de ropa defectuosos.
a) 50 b) 91 c) 45
d) 46 e) 39
12) Si a un número se le
incrementa el 20% y a la
nueva cantidad se le reduce el
20%¿Qué se puede afirmar
con respecto a la cantidad
inicial?
a) Aumenta 10%
b) Disminuye 10%
c) Disminuye 42
d) Disminuye 8
e) No varía
13) Giovanni le dice a
Anderson :“entre tu dinero y el
mío hacemos 1125 soles; si
hubiera recibido 30% menos
de lo que te corresponde,
nuestras cantidades serían
iguales si es que yo recibiera
20% menos.” ¿Cuánto tiene
cada uno?.
a) G : s/. 425 ; A : s/. 700
b) G : s/. 400 ; A : s/. 725
c) G : s/. 525 ; A : s/. 600
d) G : s/. 440 ; A : s/. 685
e) G : s/. 340 ; A : s/. 785
14) Al sueldo de un empleador de
la Empresa Backus y
Johnston S.A se le hace un
incremento del 20% al
comenzar el año y; en el mes
de Julio recibe un incremento
del 10% sobre el total.
Calcular el porcentaje de su
sueldo – que percibirá en
Agosto con respecto a su
sueldo percibido el año
anterior.
a) 128% b) 130% c) 103%
d) 125% e) 132%
15) ¿En que tanto por ciento
aumentará el volumen de un
cilindro cuando la altura se
reduce en 20% y la longitud
del radio de la base aumenta
en 25%?
a) 10% b) 25% c) 15%
Aritmética 37

d) 30% e) 20%
Aritmética 38

TEMA: ASUNTOS COMERCIALES
Introducción.-
Una Transacción comercial es el intercambio de bienes y servicios a cambio
de dinero que se establece entre dos ó mas personas, de manera que la
persona que vende dicho bien o dicho servicio puede obtener – como
consecuencia de la transacción – un beneficio o una pérdida de su
patrimonio.
Para poder enfrentar distintas situaciones relacionadas con los asuntos
comerciales, es fundamental y suficiente el correcto conocimiento de la
definición de porcentaje; aunque también es necesario conocer las
definiciones de las relaciones financieras dadas a continuación:
1) Precio de Venta (Pv): es aquel con el cual se cotiza un determinado
artículo. Ejem: si en el mercado observamos que el kilo de Azúcar cuesta
s/.1,50 entonces decimos que s/.1,50 es el precio de venta del azúcar.
2) Precio de Costo ó de Compra(Pc) : es aquel con el cual se adquiere un
determinado artículo para su posterior uso. Así por ejemplo, si
compramos un costal de 10 kilos de arroz a 12 soles, es decir, s/. 1,20
por cada kilo de arroz, decimos que 12 es el precio de costo por que ese
fue el precio establecido para poder adquirir dicho producto.
3) Precio Fijado, de Catálogo ó Precio de Lista (Pl) : es el precio
determinado en una lista o catálogo de diversas compañías o
establecimientos comerciales. Ejemplo: Los precios de una determinada
marca de zapatillas de vestir en una tienda de ropa.
4) Ganancia, Beneficio, Renta o Utilidad (G) es la cantidad que se
obtiene cuando se vende cierto elemento a un precio mayor de lo que
costo originalmente. Ejemplo: Si un televisor se compra a 200 dólares y
luego se vende a 300 dólares, hablamos de una utilidad de 100 dólares.
5) Pérdida (P) : es la cantidad que se obtiene cuando se vende cierto
elemento a un precio menor que lo que costo originalmente. Ejemplo: Si
se compra un televisor a 300 dólares y se vende en 250 dólares,
hablamos de una pérdida de 50 dólares.
Aritmética 39

6) Descuento (dcto;D) : Pago de un documento no vencido, al cual se le
redujo el costo – en una cantidad acordada por ambas partes – como
interés del dinero.
Obs.:
1) Se determina al precio de venta como la suma del precio de costo y la
ganancia.
Pv = Pc + G ; donde Pv > Pc
2) Se determina al precio de costo como la suma del precio de venta y la
pérdida.
Pc = Pv + P ; donde Pv < Pc
3) Se define al precio de lista como la suma del precio de venta y el
descuento.
PL = Pv + D ; donde Pv < PL
• Además :   
SiempreteGeneralmen
)PL(fD;)Pc(fP;)Pc(fG ===
• Si el precio de lista no se altera, el precio de venta y el precio de lista
tienen los mismos valores
Aritmética 40

1) Un trabajador de una cadena de
electrodomésticos realiza una
venta de un sistema “Home
Tealther” obteniendo,
aproximadamente, el 24% de la
utilidad cuando concreta la venta
de los 3/5 del total de la
mercadería; pero al vender el 40%
restante llegó a perder el 25% de
su costo. Si al culminar la jornada
la venta total de la mercadería fue
de seiscientos veintiséis mil
cuatrocientos nuevos soles (s/.
626400). Hallar el importe de la
compra de la mercadería.
Rpta.-
2) Un comerciante del Mercado
Mayorista de Ceres compra harina
a 15 soles el saco; ganándose al
vender 33 1/3% del costo. Calcular
el precio con el cual se vendió la
harina si cada saco tiene
capacidad para unos 100 kilos (por
cada kilo).
Rpta.-
3) Claudia Ángela decide incursionar
en el negocio de la compra y venta
de dólares americanos, de tal
modo que tenía previsto obtener
de beneficio aproximadamente el
20% de la cantidad que invirtió;
pero cuando llega al Jirón Ocoña ,
en pleno Centro Histórico de Lima
– La Catedral de los Cambistas –
se da con la sorpresa que debe
vender sus dólares americanos al
75% del precio de venta original,
que era, precisamente, el precio
que estimo para obtener ese
anhelado 20 por ciento. Hallar el
tanto por ciento de la ganancia de
la venta que llega a obtener.
Rpta.-
4) Un comerciante del Emporio
Comercial “Los Informales” de
Pachacutec decide vender un
determinado artículo de modo tal
que obtiene aproximadamente el
veinte por ciento del precio de costo
como utilidad y, con dicha ganancia
decidió comprar otro artículo para
tiempo después, venderlo para
ganar así el 25% del precio de
venta. Hallar la relación en la que se
han de encontrar los precios de
venta de ambos artículos.
Rpta.-
5) Un vendedor de la tienda de
Electrodomésticos “CARSA”
decide aplicar a la línea de
electrodomésticos tres descuentos
sucesivos el 20%; 25% y 20% de
manera tal que el nuevo precio de
venta llega a sufrir, luego, tres
incrementos sucesivos del 20%;
25% y del 20% de manera tal que
el nuevo precio de venta es
diferente del precio de venta
original en 204 nuevos soles ¿Cuál
fue el precio de venta original?.
Rpta.-
Aritmética 41

6) Para la construcción de la nueva
sede de la Biblioteca Central
“Pedro Zuler” en la ciudad
Universitaria de la
Cuatricentenaria Universidad
Nacional Mayor de San Marcos se
compraron ladrillos a 160 nuevos
el millar. Si en cierta parte del
edificio fueron necesarios unos
trescientos sesenta ladrillos, los
cuales representaron el 0,3% del
total de ladrillos que compraron.
Hallar la cantidad que se invirtió en
la compra de los ladrillos.
Rpta.-
7) En la Pontificia Universidad
Javeriana de Colombia, en el
departamento general de Servicio
Social decide rebajar las
pensiones de enseñanza a
aquellos estudiantes de escasos
recursos económicos a un 80% e
incrementa en un 30% al los
alumnos. Si por esta política el
monto total de las pensiones
queda disminuido en un 10 por
ciento ¿Qué porcentaje de la
pensión total representa la pensión
universitaria pagada por aquellos
estudiantes que no se vieron
afectados por dicha reducción ?.
Rpta.-
8) Un objeto encontrado en el
Transatlántico “Titanic” está
valuado, según una famosísima
casa de antigüedades de
Liverpool, en Inglaterra, en 17 mil
280 libras esterlinas. Si dicha casa
de antigüedades decidiera realizar
un concurso en la cual, entre los
valiosísimos objetos, se pusiera en
subasta pública al objeto
encontrado en el Titanic ¿Cuál
sería su precio base sabiendo que
si al venderlo se hacen dos
descuentos sucesivos del 10% y
del 20%, de modo tal que la casa
de antigüedades logre ganar el 10
por ciento del 20 por ciento del
precio original?
Rpta.-
9) Waldir Sáenz tiene cierta cantidad
de dinero, si el primer día decide
gastar el 43% de su sueldo como
jugador estelar de ese equipazo de
PlayStation llamado Alianza
Lima; Calcular el porcentaje de lo
que le queda a “Wally” que
debería gastar el segundo día – en
juergas y trampas – para que le
quede aproximadamente el 28,5%
del dinero que cobro
originalmente.
Rpta.-
10) Un comerciante de la tienda de
electrodomésticos “LA
CURACAO” tiene unas tres
computadoras PENTIUM IV marca
Compaq, logrando vender dos de
ellas en 360 dólares americanos
cada una de ellas, logrando así
obtener un beneficio económico –
en una de ellas – del 20 por 70 de
su costo y perdiendo en la venta
de la segunda computadora el 20
por 100 del precio de venta. Si la
Aritmética 42

tercera computadora le costo el 10
por ciento de la primera más el 80
por ciento de la segunda ¿Qué
porcentaje de ganancia o pérdida
debe obtener el comerciante de
“LA CURACAO” para que en la
venta total el beneficio y la pérdida
sea nula?
Rpta.-
11) El mismo comerciante que vendió
las computadoras en el problema
anterior de está guía efectúa la
venta del 40 por ciento de los
artículos que compró de la tienda
de electrodomésticos “RIPLEY
MAX” de tal modo que obtiene
una utilidad del 40 por ciento del
precio de costo; vende además el
20 por ciento de lo restante
perdiendo el 20 por ciento; luego la
cuarta parte de lo que llega a tener
la regalará a uno de sus hermanos
y lo restante lo vendió al mismo
precio de costo (sin ganar ni
perder). Si en toda la venta obtiene
un beneficio de s/. 480 ¿Cuántos
artículos compra si cada uno de
estos costaba 10 nuevos soles?
Rpta.-
12) Dos automóviles cuestan juntos
unos trescientos mil dólares
americanos (US$) el primero se
devalúa en 10 por ciento de su
costo inicial cada año, mientras
que el segundo automóvil se
devalúa – económicamente
hablando – en 12 por ciento al
año. Si un año después el primer
automóvil se devalúo
económicamente unos 9 mil 600
dólares americanos menos que el
segundo. Hallar el precio del
automóvil más barato.
Rpta.-
13) En una fábrica de confección textil
de la ciudad de Puerto Ordaz, en la
República Bolivariana de
Venezuela, los costos de
producción se reparten del
siguiente modo: el treinta por ciento
del total se invierte en mano de
obra y el diez por ciento restante se
reparte en gastos generales, de
modo tal que el 60% de la
producción total se distribuye en la
adquisición de materia prima; así
los productos que confeccionan la
fabrica los vende obteniendo el 20
por ciento del costo.
Como consecuencia de la crisis
que asola a Venezuela en el
ámbito económico se da una
variación de precios tal que sus
costos se incrementaron de la
siguiente manera: 50% del total se
deriva a la materia prima (hilos,
tejidos, entre otras), 40% del costo
total se deriva a la mano de obra y
los gastos generales sufren, en
consecuencia, un incremento del
diez por ciento respecto. Si las
ganancias reportadas llegan a ser
el 30% del costo. Hallar el tanto
por ciento en que se incrementa el
precio de venta de los artículos de
confección que produce la fabrica
antes mencionada.
Aritmética 43

Rpta.-
14) Al vender un determinado artículo
se hacen descuentos sucesivos del
10% y 20% pero aún se gana el
20%. Hallar el costo de dicho
artículo si sabemos que al fijar en
un inicio su precio el costo se da un
incremento de 500 nuevos soles.
Rpta.-
15) Sobre el precio de venta de un
artículo se rebajo el 20% del 30 %
y aún quedará un margen de
ganancia del 40% del costo.
Hallar el precio de venta que se
dijo si el precio de costo fue s/. 94
000
Rpta.-
16) En una oferta un comerciante
disminuye el precio de un artículo
en 25%, por tal motivo la demanda
aumenta en un 60%¿En que
porcentaje varía la recaudación?
Rpta.-
17) Si compro un libro para, después
de leerlo, lo vendo obteniendo
20% de utilidad – haciendo previo
descuento de 20% - ; Hallar el
porcentaje que se debe rebajar el
precio inicialmente fijado para que
pueda obtenerse el 14% del precio
de costo.
Rpta.-
18) Mi hermano vende a su amigo el
usurero un artefacto al que
descuenta el 10%; pero antes
de concretarse la venta cambia
de idea y le recarga el 10%;
pero finalmente vuelve a
efectuar el descuento del 10%
de manera tal que se llega a
pagar 8910 nuevos pesos.
Hallar el precio original.
Rpta.-
19) Mi hermano desea promocionar
las ventas de “Cartago
Representaciones S.A.C.”
ofreciendo para la ocasión un
descuento del 20%; pero como
en realidad no quiere rebajar el
precio, debe entonces hacerles
un incremento previo a estos
¿En que porcentaje lo hará?
Rpta.-
20) Xiomara ha vendido su
camioneta Mitsubishi Montero
obteniendo el 60% de la venta
como utilidad. SI lo hubiera
vendido ganando 60% del costo
habría perdido 11340 soles.
Hallar el costo inicial de la
camioneta.
Rpta.-
Aritmética 44

Aritmética 45

1) Quise vender una Radio con
un recargo del 15%.
Inicialmente se pensaba ganar
el 20 por ciento del costo más
el 25% de la venta. Si
finalmente logré una utilidad
neta de 25 200 euros. Hallar el
importe por el recargo
impuesto a la Radio.
a) 6000 b) 6600 c) 7200
d) 6300 e) 13200
2) Alessandro decide adquirir 15
piezas de tela de 30 metros
cada una a s/. 257,6 el metro,
de manera tal que pretende
obtener un beneficio final del
25% del precio de compra. Si
ha vendido ya unos 270
metros de tela a s/. 230 el
metro. ¿A cómo ha de vender
el metro de lo restante para
obtener el beneficio que se ha
propuesto?.
a) s/.350 b) s/.380 c) s/.400
d) s/.420 e) s/.460
3) Cuando se concreta el
traspaso de un objeto
ganándose el 30% del costo
se gana unos s/. 6000 más
que si se vende ganando el
20% del precio de venta, ¿A
como se debe vender dicho
objeto para ganar el 30% del
precio de costo más el 20%
del precio de venta?.
a) 185000 b) 195000
c) 190000 d) 175000
e) 180000
4) De un grupo de personas, el
75% de éstas son aficionadas
al cine de Ciencia ficción, 50
personas lo son de películas
dramáticas y el 10% restante
son aficionadas a ambas
películas a la vez. Calcular el
número total de personas y el
número de estas que son
aficionados, a la vez, del
drama y la ciencia ficción.
a) 100;10 b) 200;20
c) 200;10 d) 400;20
e) N.A.
5) Un empleado del Ministerio
Público llega a multiplicar el
costo de un artículo por un
factor “K” de modo que llega a
fijar un precio de lista; así,
haciendo incluso un
Aritmética 46

descuento del 25%. se logra
ganar aún el 40% del precio
del cual se llega a vender .
Hallar “K”.
a) 20/9 b) 20/13 c) 20/11
d) 21/20 e) 32/20
6) De las minas “Antamina” y
“Yanacocha”se extrae cobre;
el de la primera se da un 65%
de cobre , mientras que el de
la segunda, un 54%. Si se
mezclan ambos minerales que
se extraen, en el día, de cada
mina, se obtiene un mineral
que posee un 60% de Cobre.
Si la extracción de la tonelada
métrica se cobre del primer
mineral cuesta unos $ 17,50 y
del segundo, $ 14,75 y en la
venta se logra un beneficio
total a los 2/11 de los gastos
de extracción. Calcular la
cantidad extraída de cada
mina durante el mes de
Noviembre, si sabemos que
en dicho mes se ha logrado
ganar aproximadamente
$ 3900.
a) 18 y 15 tn. b) 35 y 25
c) 24 y 25 d) 12 y 10
e) 24 y 20
7) No quise vender una casa, a
pesar de que me ofrecían por
ella $ 3840; con lo cual
ganaría el 28% del costo, pero
tiempo después llegué a
venderla por $ 3750 ¿Qué
tanto por ciento del costo gané
al hacer la venta?.
a) 40% b) 35% c) 30%
d) 25% e) 20%
8) Un hombre vendió dos
caballos cobrando s/. 5400 por
cada uno. En uno de ellos
ganó el 20% de lo que le costo
y en el otro perdió el 20% de
lo que le costo ¿Cuánto
perdió?.
a) 200 soles b) 726 c) 450
d) 915 e) 139
9) Vendí dos casas a s/ 7200
cada una; si en una perdí el
25% de la venta y en la otra
gané el 25% del costo
¿Cuánto perdí?.
a) s/.166,96 b) s/.167
c) s/.166 d) s/.166,76
e) s/.166,56
Aritmética 47

10) Una persona dispuso de s/.
600 de la siguiente manera: el
30% los invirtió en libros, el
12% en paseos, el 18% en
ropa, el 15% en limosnas y el
resto lo repartió en partes
iguales a tres parientes
¿Cuánto recibió cada uno de
ellos?
a) s/.50 b) s/.40 c) s/.30
d) s/.70 e) s/.80
11) Un hombre, al morir, dispone
que su fortuna se disponga
de la siguiente forma : de los
20 000 dólares que tenía en
vida, el 35% es destinado a su
hermano mayor ; el 40% , a su
hermano menor y el resto a un
asilo ¿cuánto le corresponde
al asilo?.
a) $/.8700 b) $/.7800
c) $/.7080 d) $/.8070
e) $/.7008
12) El precio de un objeto es de
s/.897 ; si la ganancia bruta es
del 15% del costo y la
ganancia neta fuese s/.97.
¿Cuál es el gasto que llega a
ocasionar la venta del objeto?.
a) 15 soles b) 18 c) 20
d) 33 e) 45
13) Hallar el costo que posee un
objeto si se sabe que al
venderlo en 16 dólares se
pierde un porcentaje igual al
costo.
a) 15 soles b) 18 soles
c) 33 soles d) 20 soles
e) 67 soles
14) Al venderse un artículo se
observa que el precio de costo
más la venta representan el
120% de la utilidad. Si el
artículo se vendió a 11 mil
soles; Hallar el precio de
costo.
a) 200 soles b) 600
c) 400 d) 800
e) 1000
15) Se fija un precio a un reloj de
modo que se gana el 25% del
costo. Si se descuenta el 25%
del 16% de la venta. Hallar el
equivalente de la ganancia.
a) 16% Pc. b) 17% c) 18%
d) 19% e) 20%
Aritmética 48

TEMA: PROMEDIOS
Introducción.-
El promedio y el cálculo de probabilidades son las bases de la ciencia
mercantil moderna. Es un hecho histórico comprobado que la Estadística – la
ciencia que agrupa al promedio y el calculo probabilístico – debe su origen al
juego de azar; tanto así que Blaise Pascal llegó a dar solución – a mitad del
siglo XVII – a un problema vinculado con el juego de dados, fundando así la
teoría de las probabilidades.
Definición.-
El promedio (o media) es un valor que equilibra el valor de cada uno de los
términos de una sucesión de números y además, no siempre pertenece a
dicha sucesión.
Notación.-
Sea
{ }
n21
n1
n1n321
nn321
a....aa
:quecumplesey;MáximoValorayMínimoValora
:quemaneraaltde;aFa:donde;F)a;....a;a;a(P
:espromediosuquetalsucesionunaaa;....a;a;a
≠≠≠
==
≤≤=
=
• Ejemplo: El promedio de 4 números es 10, si a 2 de ellos se les
incrementan 3 unidades a su valor inicial y a un tercero se le disminuye su
valor en dos unidades ¿Cuál será el nuevo promedio?
Sean los 4 números: A + B + C + d = 40 ; el nuevo promedio de los
números (después de sufrir la variación) (A + 3) + (B + 3) + (C - 2) + d =
P Se cumple que: [El Promedio de un grupo] = [El Promedio original] +
[La Variación]
→ El Promedio del Grupo = ? ; El Promedio Original =
4
DCBA +++
;
Variación =
4
233 −+
∴ El Nuevo Promedio : P = 11
Aritmética 49

Clases de Promedios .-
El promedio puede determinarse de 4 maneras diferentes:
1) Promedio Aritmético ( A.P )
2) Promedio Geométrico ( G.P )
3) Promedio Armónico ( H.P )
4) Promedio Ponderado ( P.P )
Obs. A su vez, el promedio ponderado puede ser ; a su vez, de forma
aritmética, geométrica y armónica ; respectivamente.
I) Promedio Aritmético( A.P ).-
Se define como la cantidad numérica que resulta de la división de la
suma de las cantidades que determinan la sucesión con la cantidad de
elementos que la forman.
n
a....aaa
PA n321
)a;....;a( n1
++++
=
Ejemplo : Hallar el promedio de la siguiente sucesión: 10 ; 12 , 15 ; 19
14A.P;
4
19151210
A.P =∴
+++
=
II) Promedio Geométrico( G.P ).-
Se define como el valor numérico que resulta de hallar raíz, cuyo índice
es igual en valor a la cantidad de números que forman parte de una
sucesión, del producto de los términos de la mencionada sucesión.
n
n321)a;....;a( a......a.a.aPG n1
=
Aritmética 50
• a1 ;....an : Términos de la
sucesión.
• N : Número de Términos de la
sucesión
• Donde : a≠ a2 ≠ a3 ≠.... ≠ an
Términos de la sucesión.
n ∈ N

Ejemplo: Hallar el promedio Geométrico que resulta de la sucesión: 10;
12 ; 15 ; 19
60,13G.P19.15.12.1019.15.12.10G.P 2 24 ≈∴→≅=
III) Promedio Armónico( H.P ).-
Es el valor numérico que resulta de la inversa de la suma de los
Recíprocos de cada término de la sucesión que origina un promedio
aritmético.
n4321n321 a
1
.....
a
1
a
1
a
1
a
1
n
PH
n
a
1
.....
a
1
a
1
a
1
1
PH
++++
⇒
++++
=
n321
n321
a...aaa
a......a.a.a.n
PH
+++
=
Ejemplo : Hallar el promedio Armónico de los términos de la sucesión:
10 ; 12 ; 15 ; 19
94,9H.P;
19151210
19.15.12.10.4
H.P )19;15;12;10( =∴
+++
=
IV) Promedio Ponderado ( P.P )
Se presenta cuando una de las cantidades, o varias de las cantidades, se
repiten en un número mayor o igual a 2 veces. Los Parámetros de
ponderación indican un valor adicional a ciertas cantidades respecto de
otras; ejemplo: pesos, medidas, calificaciones, etc. Como ya lo
indicamos, el promedio Ponderado puede ser:
Aritmética 51
(“El número de términos de la sucesión
multiplicado por el producto de esos
términos y el producto es dividido en la
suma de los términos de la sucesión”)

Aritmética 52

• a1 ; a2....ak : Términos de la
sucesión.
• m ;n;....z : Parámetros de
Ponderación (m;n;...;z∈ N)
1) Promedio Ponderado Aritmético ( PA.P ):
z...nm
za....nama
PPA k21
+++
+++
=
2) Promedio Ponderado Geométrico( PG.P )
z...nm z
k
n
2
n
1 a.......a.aPPG +++=
3) Promedio Ponderado Armónico( PH.P )
• Ejemplo: Se compran las siguientes cantidades de azúcar a los
correspondientes precios que se indican a continuación, 30 Kg. a s/. 1,5
cada kilo ; 20 Kg. a s/. 1,2 cada kilo ; 10 Kg. a s/. 1,6 cada kilo. Calcular el
precio promedio de la mezcla:
641,1./sP.P;
102030
)6,1(10)2,1(20)5,1(30
P.P

=∴
++
++
=
Propiedades Generales del Promedio.-
I)Para el promedio Aritmético ( A.P ):
1)Si el promedio de una serie de valores sufre un aumento o disminución de
su valor es por que cada uno de los términos de una sucesión ha sufrido el
aumento o la disminución, respectivamente, de su valor en una cierta
cantidad.
tetanconsKPPA )ka.....;;ka;ka( n21
=•=±±±
Aritmética 53
• Donde : a≠ a2 ≠ a3 ≠.... ≠ ak
)z(
a
1
....)n(
a
1
)m(
a
1
z...nm
PPH
k21
+++
+++
=
• Donde : P.P =
{ } 
vecesm
11n a;......aa =

vecesz
nn
vecesn
22 a;....a;a;....a

• Ejemplo:
El promedio de 3 números es 30; si cada uno de ellos sufre un
incremento de 3 unidades ¿Cuál será el nuevo promedio?
Sean los números A ; B y C ; donde: 90CBA30
3
CBA
=++⇒=
++
Si se da variación:
∴ El nuevo promedio es = 33
2)Si cada uno de los términos de una sucesión es multiplicado o dividido su
valor por una misma cantidad, entonces el valor del promedio se verá
multiplicado o dividido por esa misma cantidad.
kPPA;k/PPA )kna;......k3a;k2a;k1a()
k
na
;......
k
3a
;
k
2a
;
k
1a
( ==
• Ejemplo: Del ejemplo anterior:
(*) Sean los números A ; B y C donde :
90CBA30
3
CBA
=++⇒=
++
Si se da la variación:
Aritmética 54
A + 3 ; B + 3 ; + C + 3 A + B + C + 9
3
A + B + C
3
+ 3 = 3 0 + 3
3 0


3/9090unocadaa3entreDividiendo
30)CBA(3/1pero,903C3/B3/A3/C;3/B;3/A =++=++⇒
  
∴ El nuevo promedio sería: 30P =
(*) Análogamente para la multiplicación : 3A ; 3B ; 3C <> 3 (A+B+C)=90
entonces el promedio inicial

90
30
270
P:seríapromedionuevoel
90.3
3
CBA
3
330 x
〉〈=∴
=




 ++
II) En toda sucesión de números se cumple siempre que el Promedio
Aritmético es mayor, en valor, que el promedio geométrico y, a su vez, el
Promedio Armónico es menor que el Promedio Geométrico z, siempre y
cuando todos los elementos de la sucesión sean distintos. Si los
elementos de dicha sucesión son los mismos, entonces el promedio
Aritmético; Geométrico y Armónico, respectivamente, serán iguales
(considerando que los números son positivos). Ejemplo:
• Hallar el promedio Aritmético, Geométrico y Armónico de la siguiente
sucesión de números: 10 ; 12 ; 15 ; 19
Operando para obtener los promedios, se obtiene:
PHPGPA91,960,1314Si:vistoloPor
91,9PHPG;14PA )19;15;12;10()19;15;12;10()19;15;12;10(
〉〉⇒〉〉
=≈=
III) Para las cantidades A y B ; se cumple :
)MGMA(4)ba( 2
)b,a(
2
)b,a(
2
−=−
Ejemplo:
Aritmética 55

• Sean las cantidades : 4 y 8 ; donde: 24MG;6MA )8;4()8;4( ==
Reemplazando en la relación: 1616))24(6(4)84( 222
=⇒−=−
(Demostración)
IV) Para dos cantidades se cumple siempre que su media geométrica es el
equivalente a la media geométrica de la media aritmética y de la media
armónica de dichas cantidades, respectivamente. Ejem..
• Sean dos números 4 y 8 . donde : 24MGy6MA == , Hallar la
medida armónica.
De la propiedad (IV) :
)8;4()8;4()8;4()8;4( MH.624MH.MAMG =⇒=
Elevando al cuadrado: 3/16MHMH632 )8;4()8;4( =⇒=
Comprobando: 3/16MH;84/)8)(4(2MH )8;4()8;4( =∴+=
(Demostración).
Aritmética 56

1) “E” alumnos rindieron un examen.
Después de la calificación se vio
que la nota promedio de los
alumnos de dicha sección fue “P”
para los alumnos aprobados y “D”
para los alumnos desaprobados
(entre ellos). Si la nota promedio
de los alumnos que rindieron un
examen (los “E” alumnos) fue “W”
¿Cuántos alumnos habrán
aprobado el examen?
Rpta.-
2) Un individuo ha ganado en 4 días :
7 soles el primer día ; 4,40 soles el
segundo día ; el tercer día, 9 soles
y 10 soles al 4to día. ¿Cuál es su
ganancia media?
Rpta.-
3) Un hombre camina durante
unos 5 días de la siguiente
manera: 12 kilómetros al primer
día, 14 kilómetros durante el 2do
día, 16 Km. el tercer día; en el
cuarto día recorrió 20 kilómetros
y el quinto día logro caminar 23
kilómetros ¿Cuál será la
distancia recorrida por día?
Rpta.-
4) El promedio armónico de 10
números es 5 ; el promedio
armónico de otros 20 números es
10 y el promedio armónico de 30
números es 6. Hallar el promedio
armónico de los 60 números.
Rpta.-
5) La media aritmética y la media
geométrica de 2 números estánen la
relación de 25 a 24 ¿Cuál es la
relación geométrica de los números?
Rpta.-
6) La media aritmética de 25
números es 27; si a cada uno
de los números se les multiplica
por 6 y luego se les adiciona
unas quince unidades, el nuevo
promedio aritmético será:
Rpta.-
7) Se ha establecido una prueba
de personal a los empleados de
Avícola San Fernando, cuyos
resultados indican que los 26
hombres que laboran allí tienen
unos 27 años como edad
promedio ¿Cuál será el número
de mujeres que laboran en la
Avícola , si la edad promedio
del total del personal que labora
en dicho centro de trabajo es de
unos 26 años?(edad promedio
de mujeres : 25 años)
Rpta.-
8) El promedio de notas de la
promoción 2002 – II de la
Facultad de Ingeniería Minera,
Geológica y Metalurgia de la
Universidad Nacional de
Ingeniería es de 13,8. Si el
promedio de los alumnos es de
14,2 y el de las alumnas es de
13,5 ¿En que relación estará
determinado el número de
alumnos y el número de
alumnas (número total) que
estudian en dicha facultad?
Rpta.-
9) Si P es el promedio
geométrico de 40 números
entero positivos de 2 cifras y es
Q el promedio geométrico de
los 60 números – de 2 cifras –
siguientes ¿Cuál será el
promedio de los 100 números
considerados?
Aritmética 57

Rpta.-
10) El promedio Aritmético de 51
números naturales consecutivos
es igual a 75 ; si para que el
promedio aritmético de los
números que quedan, luego de
haberse eliminado dos de ellos,
sea 74 ¿Cuáles son esos
números (considerar esos
números como consecutivos)?
Rpta.-
11) La diferencia que se establece
entre las inversas de los
promedios aritméticos y
armónicos de dos números
consecutivos están en la
relación de 6 a 1 respecto a la
diferencia de la media armónica
y la media aritmética de dichos
números ¿cuál será la media
geométrica de esos números?
Rpta.-
12) Dadas la media aritmética,
geométrica y armónica de 2
valores M y N se afirma lo
siguiente:
• La media geométrica forma una
proporción geométrica con la media
armónica y la media aritmética.
• La media armónica es mayor o
igual que la media geométrica y
esta es a su vez mayor o igual que
la media aritmética (cuando M y N
adoptan valores negativos).
• Si la media aritmética, la media
geométrica y la media armónica
adoptan un mismo valor,
entonces M y N toman además
el mismo valor
¿Cuál de estas afirmaciones es
la correcta?
Rpta.-
13) Si
20MGlay12MG )9n;7m()n;m( == ++
siendo n mayor que m ; y Si m y
n adoptan valores enteros
positivos. Hallar n – m
Rpta.-
14) El costo de 2 artículos de
primera necesidad es tal que el
producto de establecer los 3
promedios (aritmético ,
geométrico , armónico) de estos
artículos – Respecto a sus
costos – es 512. Si uno de los
tres promedios de los costos de
éstos dos artículos es 6,4 ¿Cuál
es el mayor de dichos
promedios y Cual es su valor?
Rpta.-
15) En un barrio popular ubicado en
el distrito limeño de Villa Maria
del Triunfo se ha establecido
una encuesta a unas veinte
familias, concerniente al ingreso
económico de cada una de
ellas, si ocho familias perciben
unos 180 nuevos soles; 6
familias subsisten con 190
soles; 3 familias – del mismo
barrio – tienen un ingreso
equivalente a la suma de lo
percibido por las catorce
familias anteriormente
evaluadas menos 170 nuevos
soles ; y las tres familias
restantes reciben unos 500
nuevos soles en la relación de
Aritmética 58

12 a 13 a favor de una de esas
tres ultimas familias ¿Cuál es el
ingreso promedio por familia?
Rpta.-
16) La edad promedio de “P”
alumnos estudiantes de quinto
año de secundaria del colegio
Mariano Ignacio Prado es de “K”
años, siendo todos ellos menor
de “M” años. ¿Cuál será la
mínima edad que debería tener,
por lo menos, uno de esos
alumnos?
Rpta.-
17) Se reúnen después de mucho
tiempo cinco hermanos, donde
las edades de tres de ellos son
7 ; 13 y 15. El promedio de las
edades sufre un incremento de
4,1 años si se prescinde en el
cálculo, de las edades de las
tres edades nombradas Hallar
el promedio armónico de las
edades de las otras dos
personas si se toma en cuenta
que el producto de esas dos
edades es 252.
Rpta.-
18) La media de las edades de dos
personas, las cuales se diferencian
en 20 años está en relación de
m
sm +
con la media armónica de
esas 2 edades Calcular la mayor
de las edades.
Rpta.-
19) La diferencia de los ingresos de
dos personas jubiladas por la
ley 19990 y 20530 del Sistema
Nacional de Pensiones es de
s/.36. Si la suma de la media
aritmética y la media geométrica
de ambos ingresos es 162
¿Cuál es el mayor ingreso?
Rpta.-
20) En una fabrica Reproductora de
Discos Compactos (CD) y de
Discos de video Digital (DVD)
se elaboró la tabla mostrada a
continuación:
Tipo de
Obreros
Pago
por día
(s/.)
Días
trabajados por
Unidad de
Producto
No
Calificado
15 2 5
Semi
Calificado
20 3 3
Calificado 30 5 6
CD DVD
Se pide determinar el costo
promedio de la mano de obra –
por día – para que la producción
de CD y DVD sea posible.
Rpta.-
1) Para una competencia de
canotaje se toma en cuenta que
la velocidad promedio de las
aguas del Río Santa, en los
tramos Caraz – Yungay,
Aritmética 59

Yungay – Carhuaz y Carhuaz –
Recuay es de 20; 40 y 30 km/h.
Además, se considera que el
tramo Caraz – Yungay y el tramo
Yungay – Carhuaz están en la
relación de 1 a 2 y el tramo
Carhuaz – Recuay es, en longitud,
dos veces mayor que la longitud
del tramo Caraz – Yungay.
Calcular la velocidad promedio de
las aguas del Río Santa en el
tramo Caraz – Recuay.
a) 30,0 km/h b) 28,0 c) 25,8
d) 32,5 e) 38,4
2) El promedio obtenido al analizar
ocho cantidades es 17/8.
Calcular el máximo valor que
podría tomar, por lo menos, una
de esas cantidades, si sabemos
que ninguna de ellas es menor
que la semisuma de la menor y
de la mayor entre estas
fracciones: 2/3 ; 6/7 ; ½ ; 4/7.
a) 48/17 b) 13/8 c) 51/8
d) 49/4 e) 50/11
3) En el aula Fc- 102 de la
Facultad de Tecnología de la
Universidad Nacional de
Educación “Enrique Guzmán y
Valle” – La Cantuta, la edad
promedio de los estudiantes es
“e” años. Si , a su vez, la edad
promedio de los estudiantes
varones y las estudiantes
mujeres es “v” y “m” años.
Calcular el porcentaje de las
estudiantes mujeres respecto
de los estudiantes varones en la
mencionada sección.
a) %100.
em
ve






−
−
b) %100.
ve
vm






−
−
c) %100.
me
mv






−
−
d) %100.
mv
me






−
−
e) %100.
em
ev






−
−
4) El promedio de un conjunto de
valores numéricos es “P” . Si se
eliminan unos 31 valores cuya
suma es 527, el promedio de
los valores que quedan no se
altera. Para que este promedio
no se altere se deben agregar
unos 7 nuevos valores
numéricos, de tal modo que la
suma de estos sea:
a) 123 b) 119 c) 118
d) 111 e) 106
5) En la siguiente serie numérica :
1 ; 3 ; 2 ; 6 ; 3 ; 9 ; 4 , 12 ; 5 ;
15;........; 3n ¿Cuál debe ser el
valor de “n”, de tal modo que el
promedio aritmético de la serie
sea mayor que 119,2 y menor
que 120,1?
a) 131 b) 625 c) 128
d) 119 e) 419
6) Hallar la cantidad de pares de
números enteros donde se
cumple siempre que el producto
de sus tres promedios es 250047.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
7) Uno de los guardias de seguridad
de la estación del Transmilenio
observo, mientras caminaba a lo
largo de la vía del Tren que cada
quince minutos llegaba hasta su
posición uno de los trenes, y cada
cinco minutos, el otro tren pasaba
por su posición en la dirección
Aritmética 60

contraria si el guardia de seguridad
y cada uno de los trenes se
desplazan con velocidad constante
. Hallar el intervalo de tiempo en
que dichos trenes salían de las
estaciones terminales del
Transmilenio.
a) 6 min. b) 7,5 c) 9
d) 12 e) 14
8) Indicar el valor de verdad o de
falsedad en cada proposición:
i) El promedio de – 5; -8; -10;
12 y 11 es igual a cero.
ii) Para 2 cantidades,
únicamente, se cumple que la
MHyMG
yMASiendo;MGMHxMA =
sus promedios: aritmético;
geométrico y armónico.
iii) Si la media aritmética y la
media armónica de dos
cantidades son,
respectivamente ; 2,5 y 6,4;
entonces la media
geométrica de dichas
cantidades es igual a 4.
a) VVV b) FVV c) VFV
d) VVF e) FFF
9) Alexander se ésta preparando
para calificar, en atletismo, para
las olimpiadas de Atenas 2004.
José Antonio, su vecino y
amigo, desde la infancia, le
observo durante tres días,
obteniendo así los siguientes
datos:
Durante el primer día: Recorrió
tres tramos con velocidades que
son proporcionales a 11 ; 12 ; y
13 empleando cada uno de los
tramos el mismo tiempo.
Durante el segundo día:
Recorrió – también - tres
tramos de la misma longitud
entre sí, con velocidades que
son proporcionales a 2 ; 3 y 6.
Durante el tercer día : Recorrió
los primeros 500 metros
empleando unos cuatro
minutos, luego otros 500 metros
empleando tres minutos y
empleo 5 minutos para los
últimos 200 metros.
Además, José Antonio pudo
darse cuneta que con las
velocidades promedio de
Alexander, de los tres días, se
puede formar una proporción
geométrica continua.
Calcular la suma de las
velocidades promedio si éstas
son las menores posibles.
a) 154 b) 163 c) 170
d) 188 e) 196
10) Un trailer de 6 ruedas debe recorrer
el Trayecto Lima – Tumbes (1040
Km.); si es que llevase un
compartimiento posterior y utilizase,
además las ruedas del repuesto
que lleva dicho compartimiento;
cada rueda recorrería unos 9140
Km. – promediando - ; pero si lleva
un compartimiento adicional al
anterior, el Recorrido promedio de
cada rueda sería de 880 Km.
empleando las ruedas de repuesto
de dicho compartimiento también.
Calcular el número total de ruedas
que lleva a cada compartimiento
del trailer en mención.
a) 24 b) 3 c) 17
d) 8 e) 10
11) Al calcular el promedio
geométrico de tres números
pares y consecutivos se obtiene
13,8 ;.....; y al calcular el
promedio armónico de tres
Aritmética 61

números impares consecutivos
es 14,8.¿Cuál será el p.
Aritmético de los seis números
antes mencionados?
a) 13 b) 13,5 c) 14
d) 14,5 e) 15
12) Si la diferencia entre la media
aritmética y la media geométrica
está comprendida entre 5 y 7 –
siendo un número entero ; y,
además, el cociente de la división
entre los números involucrados en
las operaciones anteriormente
mencionadas tiene alguna
relación con la diferencia de esos
dos números (2), que están
comprendida entre 20 y 30 ¿Cuál
será dicho cociente?
a) 11 b) 10 c) 9
d) 8 e) 7
13) Sean x ; y ; z ; A cuatro
magnitudes que guardan relación
de proporcionalidad, de tal modo
que en el siguiente recuadro:
X 8 10 12 6 12 m 7
Y 12 15 18 18 18 15 P
Z 5 5 5 10 10 12 10
A 9 9 n n 4n 36 729
Calcular: m – n + P
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19
14) Tenemos dos magnitudes I y D ,
de tal modo que
• Si D ≤ 9 ⇒ I (DP) D.
• Si 9 ≤ D ≤ 36 ⇒ I (IP)D.
• Si D ≥ 36 ⇒ I2
(IP) D.
Además , cuando I = 8 ; D =
3 ; y cuando I = x D = 81
Si “f” es una función de
proporcionalidad tal que
cumple: f(5) + f (x) = 72;
Calcular f (3) x f (3/4) x f (5/16)
a) 360 b) 420 c) 480
d) 540 e) 600
15) Calcular “k” si es que se
cumple que el promedio de los
“k” términos de la serie :
∑
=
++
k
1i
)2k)(1k(k es igual a
2310.
a) 20 b) 19 c) 18
d) 17 e) 16
Aritmética 62

TEMA: MAGNITUDES PROPORCIONALES
Introducción.-
Las definiciones de las magnitudes proporcionales, como acápite de la teoría
del Reparto Proporcional, tienen carácter estrictamente matemático porque
los conceptos de las magnitudes – sean directa o inversamente
proporcionales – no se cumplen siempre en el análisis matemático.
Conceptos Previos.-
1) Magnitud: Es todo aquello que tiende a sufrir algún tipo de variación
proporcional y es usado como patrón de medida de cierta unidad. Ejem.:
Masa )M( ; Longitud (L) y Tiempo (t)
2) Cantidad: Es toda aquella unidad con el cual se limita cuantitativamente
el valor de una magnitud Ejem.:60 Kg. ; 200m ; 38s. Una cantidad, por su
naturaleza, puede ser:
a) Cantidad Constante: Aquella cantidad que tiene un valor fijo o
determinado. Ejem.:El costo de la edición diaria de un periódico.
b) Cantidad Variable: Aquella cantidad cuyos valores se alteran. Ejem:
El costo de una cierta cantidad de Kilogramos de Azúcar.
3) Función(f): Se dice que una cantidad es función de otra cuando dicha
cantidad (la primera) depende de la otra cantidad (la segunda)
Notación : y = f (x) la primera cantidad, por tanto, es variable respecto
a la segunda.
Concepto de Magnitudes Proporcionales.-
Son las comparaciones que se establecen entre los valores que adoptan un
grupo de magnitudes mayor o igual a 2 ; teniendo una relación que por
naturaleza puede ser directa o inversa entre sí. Por tanto las Magnitudes
Proporcionales pueden ser:
1) Magnitudes Proporcionales Directamente.
2) Magnitudes Proporcionales Inversamente.
Aritmética 63

• Función de proporcionalidad
Directa:
Si y = f(x) ∧ y = k(x) ⇒ f(x)= k(x)
y = Variable Dependiente
k = Constante
x = Variable Independiente
“Si A aumenta; B aumenta Si A
disminuye; B disminuye”
• Donde: a1 ≠ a2 ≠ a3 ≠....an ≠
b1 ≠ b2 ≠ b3 ≠....bn ≠
(*) +
∈σ=σ R;tetancons
I) Magnitudes Proporcionales Directamente o Magnitudes Directamente
Proporcionales
Se establece cuando 2 ó mas cantidades sufren la misma variación
proporcional, 1; 2; 3;......; “n” veces respecto a su valor original, es decir,
si una de ellas se multiplica o suma y/o resta o divide la misma constante;
la otra sufriría, respectivamente la misma variación.
Propiedad fundamental: “Dos cantidades serán directamente
proporcionales si y solo si el cociente de esos dos números sea una
cantidad constante (constante de proporcionalidad)”
Ejem.: Si (10/5)=2 y (80/40)= 2 entonces 10 (dp)5 y 80 (dp)40
(Directamente Proporcional)
Gráfico: Puntos Colineales
Discontinuos
(no incluyen al origen)
Aritmética 64
M a g n itu d e s V a lo r e s P o s ib le s
1 2 3* a a a a
b b b b
; .. .. ..; ;
; ; ; .. .. ..1 2 3 n
A
B
n
*
O p e r a c ió n M a te m a t ic a

• Donde: a1 ≠ a2 ≠ a3 ≠....an ≠
b1 ≠ b2 ≠ b3 ≠....bn ≠
(*) +
∈σ=σ R;tetancons
Ejemplo: El número de obreros con la dificultad de la obra; la velocidad
con la distancia; la obra con el rendimiento ; etc.
II) Magnitudes de Proporción Inversa o Magnitudes Inversamente Proporcionales
Se establecen cuando 2 ó mas cantidades sufren variación opuesta
proporcional : 1 ; 2 ;.... ; “n” veces respecto a su valor original; es decir, si
una de ellas se multiplica o suma con una constante, o si se resta o
divide con una misma constante ; la otra sufriría la variación opuesta, es
decir, se divide o resta y/o suma o multiplica respectivamente.
Aritmética 65
-
-
-
-
-
1
2
a
a
a
b
b
b
;
1
2
n
n
( )
( )
b 2
2a
b 1 ; 1a
A
B
K = T g
;( )b n a n
°
M a g n it u d e s V a lo r e s P o s ib le s
1 2 3* a a a a
b b b b
; .. .. ..; ;
; ; ; .. .. ..1 2 3 n
A
B
n
*
I n v e r s a d e O p e r a c ió n M a te m a t ic a
1 /

• Función de proporcionalidad
Inversa:
Si y = k’
/x ∧ y = f(x) ⇒ f(x)= k’
(1/x)
y = Variable Dependiente
k’
= Constante
x = Variable Dependiente
Obs. Las áreas bajo la gráfica de la
magnitud inversamente proporcional
son siempre iguales.
• K’
= PotenciadeInversión(constante)
Propiedad fundamental: “Dos cantidades serán inversamente
proporcionales si y solo si el producto de esas 2 cantidades sea igual a
una cantidad constante (potencia de inversión)”
Ejem.: Si 18 . 4 =72 y 6 . 12 =72 entonces 18 (ip) 5 y 6 (ip)12
(Inversamente Proporcional)
Gráfico: Hipérbola Equilátera
Asíntota A las Bases (Ejes)
1
2
a
a
a
b n
n
A
B
-
-
-
-
-
-
-
-
-
a 3
4a
b 1 b 2 b 3 b 4
s 1
;( )b a n
;( )b a
;( )b a
;( )b a
;( )b n a
1
2 4
3 3
4 2
1
K = S’
”Si A aumenta; B disminuye. Si B disminuye A aumenta”
Aritmética 66

Ejemplo: Número de obreros vs Rendimientos, números de obreros vs.
Tiempo; velocidad vs. Tiempo; número de objetos vs. Costo; etc.
Obs.
Las magnitudes proporcionales pueden formar proporciones a partir de su
propiedad fundamental y, por lo tanto, cumplen con todas las propiedades de
las Proporciones Geométricas; de este modo:
• Se forman proporciones de acuerdo a la naturaleza de la magnitud (Si es
directamente proporcional) sin invertir alguna de ellas.
• Si la magnitud es inversamente proporcional, se forman proporciones
invirtiendo una de ellas.
Propiedades de las Magnitudes Proporcionales.-
1) “Si dos cantidades son inversamente proporcionales entre sí entonces
una de esas cantidades es directamente proporcional a la inversa de la
otra cantidad”.
Si A (ip) B ⇒ A (dp) (1/B)
2) “Si dos cantidades son directamente proporciones entre sí entonces una
de esas cantidades es inversamente proporcional a la inversa de la otra
cantidad”
Si A (dp) B ⇒ A (ip) (1/B)
3) “El orden donde se ubican las cantidades no altera la magnitud
proporcional”.
Si A (dp) B ≈ B (dp) A y A(ip) ≈ B (ip)A
4) “Si dos cantidades son directa o inversamente proporcionales entonces
todas las potencias de dichas cantidades también serán directa o
inversamente proporcionales”.
Aritmética 67

Si A (dp) B ⇒ An
(dp) Bn
; donde : n ∈ Z
A (ip) B ⇒ An
(ip) Bn
5) “Si dos cantidades son directa o inversamente proporcionales entre sí,
entonces todas las raíces enteras de dichas cantidades serán,
respectivamente, directa o inversamente. proporcionales”.
nn
nn
B)ip(AB)ip(A
Zn;dondeB)dp(AB)dp(ASi
⇒
∈⇒
6) Sean 3 magnitudes: A; B ; C
Si A (dp) B (c = cte) y Si A (dp) c (B= cte) , entonces A (dp) B – C
Si A (dp) B (c = cte) y Si A (ip) c (B= cte) , entonces A (dp) B – C-1
Transmisiones.-
1) Transmisión por fajas o correas:
D 1 D 2
W
C a d e n a
C a ta lin a
P in
( d ie n te )
P iñ o n
R
R e l a c i o n d e T r a n s m ic ió n
n
R a d io
n ú m e r o d e d ie n te s
D iá m e t r o ( D = 2 R )
# d e v u e lt a s
1
R 1 W 2
2
W
D
R
=
=
=
=
D 1
D 2
W 2
W 1
=
Aritmética 68

2) Transmisión por engranajes:
R
S i R 2
n
L u e g o :
R 1
2
1
2 W
R 2 R 1 2 R 2
1 n 2
n 1 , ( )ip 21 ,
W( )21 , ( )2n 1 , = c te
3) Ruedas unidas por una faja:
4) Transmisión por engranajes:
2
1
3 4 ..........
S i " n " = IM P A R .
G ir o e s ig u a l
S i " n " = P A R
G ir o e s c o n tr a rio
( R e s p e c t o a l
p r im e r o )
Aritmética 69
F a ja
R 1
R 2
S i R n1 R 2 1 n 2=

5) Transmisión por correa:
* Transmisión Abierta
L o s e je s p r e s e n t a n e l m is m o s e n t id o d e
R o t a c ió n y la m is m a v e lo c id a d T a n g e n c ia l
* Transmisión Cruzada
L o s e je s t ie n e n e l
s e n t id o in v e r s o d e
R o t a c ió n , la m is m a
v e l o c i d a d a n g u l a r
y e l v a lo r a b s o lu t o d e
l a s v e l o c i d a d e s
t a n g e n c ia le s d e lo s
e je s e s e l m is m o .
Aritmética 70

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