1. Segundo Año de Secundaria
Solucionario
Segundo año de educación secundaria
-1-

2. Manuel Coveñas Naquiche
-2-

3. Segundo Año de Secundaria
CAPÍTULO N° 1
NÚMEROS REALES
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(51, 52, 53, 54)
NIVEL I
Resolución
1
8
Vemos que: * = 1, 6
5
∴
3
* 11 = 0, 27 (Periódico puro)
Resolución
1
* 2 = 0, 5
)
1
* 3 = 0, 3 (Periódico puro)
)
8
* 15 = 0, 53 (Periódico mixto)
B − A = 3; 8
7
Sea 4 x − 7 = 13
Por propiedad:
Si a = b
à a=b
Rpta.: E
IN ⊂ Q
(V)
¤ ∪ II = ¡
(V)
4x = −6
x=−
3
2
Resolución
Rpta.: B
4
8
3
(verdadero)
Rpta.: B
(verdadero)
C) x = x , si x > 0
7
Hay 2 números irracionales
(verdadero)
D) 6 + −6 = 0
(falso)
Porque: 6 + 6 ≠ 0
5
) 526 − 52
5, 2666.... = 5, 26 =
90
=
4
15
E) x = − x , si x < 0 (verdadero)
Resolución
474 79
=
90
15
=5
Resolución
Rpta.: D
B) −4 2 = 4 2
Son irracionales: π y
Resolución
3
2
3
A) − 3 =
∴
x=−
∨
Luego, tomamos el valor negativo de “x”
Rpta.: C
Denso
Resolución
4x − 7 = −13
4x = −13 + 7
x=5
∴
Resolución
∨
4x = 20
(V)
VVV
a = −b
4x =13 + 7
2
⊂ IR
∴
∨
Tenemos que:
4x − 7 = 13
Resolución
Rpta.: C
9
1
1
1
14 2
:
=
1
14 2 7 2
7 2
Rpta.: A
6
1
Si A = −∞; 3
=
; B = −2; 8
1× 7 2
1× 14 2
=
1
2
2
Graficamos los intervalos.
= 0,50
-3-
Rpta.: B
Rpta.: D

4. Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
a5·a2
I.
=
10
a10
Resolución
1
7 2
ya que: a5·a2 = a5+2 = a7 ≠ a10
3
II.
2 14
=
ya que: a
27
=a
27
3
=
=a ≠a
9
3
b7·b7·b7 = b21 ........ es verdadero
9
=
10
F FV F
=
33
Resolución
3
≠ 0, 3
10
7 1
7
·
×
=
2
7
2 7
7
2
7
7 7
=
7
2· 7
Rpta.: D
1
−5, 7268 < −5, 7271
es falso
3,1416 es irracional
es falso
∴
= −2
es falso
III.
11
3, 15 > 3, 2
II.
Relación correcta: F F F
Resolución
b g b g
2
r< −
12
à
B=6
r: −4; −5; .........
à
∴
Calculamos: (A + B)2 = (4 + 6)2 = 102
(A + B)2 = 100
7
2
r < −3,5
A=4
B = 6 36 = 6 · 6 = 6
Rpta.: E
Por dato: −2r > 7
Rpta.: B
A = 3 16 3 64 = 3 16 · 4 = 4 à
Resolución
7 1
2 7
I.
−125 + 5 −243 = 3 −5 + −3 = 3 −8
Resolución
=
NIVEL II
Rpta.: D
Resolución
∴
14
0, 9 = 0, 3 ........ es falso
ya que: 0, 9 =
∴
2
7
ya que: b7·b7·b7 = b7+7+7 = b21
IV.
7
2
a 27 = a 3 ........ es falso
3
III.
15
........... es falso
Rpta.: C
rmax = −4
Resolución
Rpta.: B
3
Graficamos los intervalos dados:
13
3 12 − 3 80 + 4 45 − 2 27
3 4 · 3 − 3 16 · 5 + 4 9 · 5 − 2 9 · 3
3 4 · 3 − 3 16 · 5 + 4 9 · 5 − 2 9 · 3
Luego: A ∩ B = −2; 3
C = −∞; 3
3· 2 3 − 3· 4 5 + 4· 3 5 − 2· 3 3
6 3 − 12 5 + 12 5 − 6 3 = 0
Rpta.: E
à
b A ∩ Bg − C =
−2; 3 − − ∞; 3
={3}
Resolución
L=
50 + 2
=
18 − 2
L=
Resolución
25 · 2 + 2
9· 2− 2
25 · 2 + 2
9· 2 − 2
eπ +
je
10 :
13 − 10
j
(3,14 + 3,16) : (3,61 − 3,16)
2
6,30 : 0,45 = 14,00
1
L=3
4
Reemplazamos con los valores aproximados al centésimo, obtenemos:
5 2+ 2 6 2
L=
=
=3
3 2− 2 2 2
∴
Rpta.: D
14
Rpta.: C
-4-
Rpta.: C

5. Segundo Año de Secundaria
Resolución
5
Resolución
I.
π ∈IR ....................... (V)
II.
−5 ∈IN ................... (F)
F
GH
2
4
8
1
− 2 −2 − 2 −3
16
I
JK
−1/ 3
=
FG 1 − 1 − 1 IJ
H2 2 2 K
2
−1/ 3
3
2
ya que: −5 = −25 ∉IN
III.
(¥ ∪ ¤) ∩ ¢ = ¢
∩
= . .............. (V)
−49 ∈ IR ................. (F)
IV.
∴
F 1 1 1I
=G − − J
H 2 4 8K
Relación correcta es: V F V F
Resolución
=
Rpta.: D
6
=8
1− 2 +
2 − 3 ........ (I)
como: 1 − 2 < 0
∧
Resolución
2 −3 <0
*
Tenemos que:
e
e
2 −3
*
2 −1 + 3 − 2
A = 12 + 75 − 48
j e
1− 2 +
4 · 3 + 25 · 3 − 16 · 3
4 · 3 + 25 · 3 − 16 · 3
B = 3 16 + 3 128 − 3 54
à
B = 3 54
Luego:
Rpta.: B
A 2 + B3 =
7
∴
2 7 x − 1 = 26
7 x − 1 = 13
7x − 1 = 13
∨
7x − 1 = −13
x=2
∨
x=−
Solución mayor = 2
e
27
2
j +e
3
54
j
3
= 27 + 54 = 81
2 7 x − 1 − −26 = 0
∴
27
B = 3 8 · 2 + 3 64 · 2 − 3 27 · 2
j
2−3 = 2
A=
B = 2 3 2 + 4 3 2 − 33 2 = 33 2
2 − 1+ 3 − 2 = 2
à
Rpta.: B
9
à
j
Reemplazando en (I) tenemos que:
Resolución
=2
A = 2 3 +5 3 −4 3 = 3 3
2 −3 = 3− 2
∴
−1/ 3
A=
j
2 −1
2 −3 = −
e
1
3
1
3
A=
1− 2 = − 1− 2
1− 2 =
FG 1 IJ
H 8K
−
A 2 + B3 = 9
Resolución
Rpta.: B
10
A=
R 81
|
S 32 − 27
|
T
A=
R
|
S
|
T
A=
R 3 |
| U
S2 −3V
| |
T W
3 /4
12
7
Rpta.: E
-5-
2/5
4
5
1/ 3
3
81
2
32 − 3
3
2
U
|
V
|
W
U
|
V
27 |
W
−1/ 3
−1/ 3
−1/ 3

6. Manuel Coveñas Naquiche
A=
R 27 U
S4− 3V
T W
−1/ 3
1
A= 
 27 
A=
Resolución
−1/ 3
e8
1/ 3
∴
= 27
=
6
12
36 · 3 9 729
je
3
1
3
6 16
j=8
3
9
6 · 3 36
3
6· 2 2
3
= 2 3 3 · 32
1
3
3
= 2 3 · 32
Rpta.: C
=2·3 = 6
Resolución
11
Resolución
Rpta.: D
13
Racionalizamos cada sumando:
L = 7n− 4 · 49n+ 2
n
1
×
5+ 3
5− 3
=
5− 3
=
1
3 +1
×
3 −1
3 −1
=
5+ 3
e
5− 3
F
H
2
5 − 3
2
L = 7n− 4 · 49n+ 2
n
5− 3
je
j
L = n 7n− 4 · 72
I
K
L = 7n− 4 · 72n+ 4
n
L = 7n− 4 + 2n+ 4
n
n
L = 73n = 73
3 −1
e
3 +1
∴
3 −1
je
j
L = 343
Resolución
=
1
=
3 +1
n+2
e j
5− 3
2
1
=
5+ 3
=
5− 3
n
3 −1
E=
2
3 − 12
3 −1
2
6
Rpta.: E
14
9·49·39
20
9·59
Hallamos el M.C.M de los índices de las
raíces:
1
4+2 5
4–2 5
+
× –
=
4+ 2 5 4 – 2 5
−
+
4+2 5 4– 2 5
−
+
e
je
j
Luego:
2 2– 5
+
j
4 − e2 5 j
2e 2 – 5 j
+
=
=
m.c.m (6; 4; 3; 20; 5) = 60
e
2
910 · 915 · 920
93 · 912
E = 60
2
2
E=
60 10
=
60
30
9 =3
9
· 920 =
9
1
−4
1
2+ 5
=− –
2
4−2 5
∴
E=3
Rpta.: B
Luego, efectuando tenemos que:
Resolución
1
1
1
+
−
5 24
3
3 + 1 44 2 3
5
+ 3 123 1+24
1
4
5− 3
+
2
15
Reducimos “A”, obteniendo:
A= 3 x ·34x ·54x ·65x
3 −1 F 2 – 5 I
+
−G−
2
H 2 JK
A = 3·2 x · 3·4 x · 5·4 x · 6·5 x
A=
5 − 3 + 3 − 1+ 2 + 5
1
–
=
2
2
6
x · 12 x · 20 x · 30 x
m.c.m (6; 12; 20 y 30) = 60
Rpta.: A
à
-6-
A=
60 10
x
· x5 · x3 · x2

7. Segundo Año de Secundaria
3
A=
60 10 + 5 + 3 + 2
A=
3
=
x
60
20
x
e
e
x
je
je
j e
j
Ahora reducimos “x”, obteniendo:
j
2
e2 − 3 j
=
x = 4 23 2 3 64
4−3
x = 4 23 2 · 4 = 4 2 · 3 8
2− 3
2− 3
=
1
2+ 3
e
x = 4 2· 2 = 4 4
x = 4·2
2
2− 3 2− 3
2− 3
2− 3
=
=
2
2+ 3
2+ 3 2− 3
22 − 3
1
→
x=8
2
j
Reemplazamos en:
Luego:
A=
∴
x =
3
A=2
3
2+ 3
8
2− 3
1 24
4 3
Rpta.: B
e2 + 3 j
Resolución
A=
e
3
16
b
g
2
A = 144
y
j
2
B=
y
2+ 3
1 24
4 3
e 2 − 3 j2
+
1
29
3
e2 + 3 j + e2 − 3 j
2+
B=8
3 +2−
Resolución
3 =4
Rpta.: E
18
Hallamos “A”
FG IJ
H K
A = 2 − 5 = − 2 − 5 ; ya que: 2 − 5 < 0
e
18
2 144
8
=
2 · 18 =
36
à
1
∴
2− 3
y B = 3 4 236
Luego:
2A
=
B
2
1
343 − 3 −125
A = 7+5
+
A=
j
5 −2
Hallamos “B”
B = 3 − 5 = 3 − 5 ; ya que:
2A
=6
B
Rpta.: A
à
3− 5 > 0
B = 3− 5
Luego:
Resolución
7
17
Racionalizamos cada sumando:
2
2+ 3 2+ 3
2+ 3
2+ 3
=
=
2
2− 3
2− 3 2+ 3
22 − 3
e
e
je
je
j e
j
j
e2 + 3 j
=
∴
e
=17
19
3+2 2 +
2
7
7
Resolución
4−3
2+ 3
2+ 3
=
1
2− 3
b A + Bg = e 5 − 2 + 3 − 5 j
b A + B g = 1 Rpta.: A
e1− 2 j
2
1+ 2 + 2 2 + 1− 2
2
j
2
12 + 2 + 2 · 2 · 1 +
e
2 +1
2
j
2 −1
j
+ 2 −1
2 + 1+ 2 − 1 = 2 2
-7-
e
Rpta.: C

8. Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
20
− 5
20
A=
Racionalizando cada sumando:
∴
1· 2 + 3
1
2+ 3
=
=
2
* 2− 3
2− 3 2+ 3
22 − 3
Resolución
e
j
e
je
j
6
= 2+ 3
22 5 − 3
j
j
e
je
j
e
=
22 5 − 3
e
22
22
= 5− 3
5+ 3
Reemplazando en:
1 − 2
j
F
GG
GH
3
3
−1 = −1
Rpta.: E
23
−1
−1 2
e j IJ
JJ
32 + 2
K
27 − 3−1
5
=
0,5
−1
( −1) × ( −1) 2
F 3−3
=G
H 2+
I
JK
2
=0
Rpta.: B
Resolución
1/ 2
Rpta.: E
24
Reducimos “E”
E=
1
5
−
5 +1 4
5
j
A=
5
5− 5
5
−
+
2
5
5 − 12 4
5 +1
je
5 −1
j
−
4 5 +5 5− 5 −5· 5
j
20
1
x2
·
1
x5
E=
3
7
x 10
60
E = x 30 ; para: x = 2 7
F
E = G2
GH
5
4
5 5− 5 5
+
−
A=
5
4
4
e
3
60
7
I
JJ
K
7
30
E = 22
→
Resolución
=
2
60 7
×
7 30
1
2
25
E=4
Rpta.: A
Expresamos las fracciones en decimales
y comparamos con:
7
= 0, 35
20
A) 0, 48 B) 0,37 C) 0,15 D) 0,3 E) 0,2
29
60
4 5 + 25 − 5 5 − 25 − 5
=
20
20
-8-
→
5 −1
e
x· x =
5
→
5
3
x
x x
=
= x
x
x· x
;
→
5
5
−
5 +1 4
5
+
5
x5 x
x
7
à
A=
3
→
1
+
5
E=
→
A=
A=
2
Resolución
1
1
5
−
+
4
5 1+ 1
5
A=
e1+ 2 je1− 2 j
5+ 4
123
4 3
21
e
2 + 1 · 3 1− 2
22
+
5
+
5
· 3 1− 2
1
2
A=
A=
2
F 3 − 3 IJ = FG 0 IJ
=G
H 2+ 2 K H 2+ 2 K
2+ 3 + 5− 3 = 7
Resolución
j
3 2
25 − 3
=
1
2 +1
3
j
e
2− 4
123
4 3
e
3
22 · 5 − 3
22 5 − 3
22
=
=
*
2
5+ 3
5+ 3 5− 3
52 − 3
e
2 2 + 3 · 3 1− 2
à
1
2− 3
22
6
2+ 3
4−3
=
Rpta.: E
11
30
3
20
3
10
1
5

9. Segundo Año de Secundaria
∴
Está más cerca:
11
30
Rpta.: B
5
10
E=
·
9
1
9 10 3 5
=
· =
4
9 2 3
1
3
Resolución
26
∴
f = 1,09 × 0,53 : 0,36
f=
109 − 1 53 36
×
:
99
99 99
f=
108 × 53 159
=
= 1, 60
99 × 36
99
E=
5
3
Resolución
3
A=
4
1
∴
Rpta.: C
Resolución
FG
H
S=
∴
1
2
A=
2
3
e 2j
2
1
3
14
3
e 2j
7
3
=
2
27
IJ FG1− 1 IJ FG 1− 1 IJ FG1− 1 IJ ... FG1− 1 IJ
K H 3 K H 4 K H 5 K H 25 K
∴
1
25
F
H
e
Rpta.: C
Resolución
A=
4
7
e
14
31
I
K
7
3 · 7 × 2 5 · 14 2
j
3 · 7 5 · 14 2
2× 7
28
Rpta.: D
2
Resolución
1 2 3 4
24
· · · · ... ·
2 3 4 3
25
S=
30
2
f = 1,60
S = 1−
Rpta.: A
3 · 14 5 · 14 2
7
7
j
(14 3 · 5 · 2 ) = (14 30 )
Graficamos los intervalos:
7
7
1
7 14
= 30
= 301/ 2 = 30
Del gráfico vemos que:
A ∩ B = 2; 6
Resolución
Por datos: A ∩ B =
a
; 3b
2
à
a=4
6 = 3b
à
b=2
∴
a+b=4+2=6
Resolución
b g
E = 0, 9
Rpta.: D
1
2
4
−1 9
·
FG 2 + 1 IJ
H 4K
)
0,2
−1 4
9
·
2 4 5 9 10
M=
·
·
5
10
2
1
M=
2
F9I
E=G J
H 10 K
FG 2 − 1 IJ FG 5 − 1 IJ FG 10 −
H
2 KH
5 KH
F
2 IF
5 IF
M=G 2−
H 2 JK GH 5 − 5 JK GH 10 −
F 2 2 − 2 I F 5 5 − 5 I F 10
M=G
H 2 JK GH 5 JK GH
29
FG 2 + 1 IJ
H 4K
2
9
5
2 · 5 · 9 10 9 2 × 5 × 10
=
25
25
2
M=
9 100 9 × 10 18
=
=
25
5
25
5
∴
-9-
M = 3,6
Rpta.: D
32
M=
a
2
Por comparación: 2 =
2
Rpta.: C
IJ
K
10 I
10 J
K
1
10
10 − 10
10
I
JK

10. Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
33
Resolución
Hallamos: 2 − 3 x = −5 = 5
2 − 3x = 5
∨
Resolviendo, tenemos que:
2 − 3x = −5
−3 = 3x
x +1
=3
x −1
7 = 3x
x = −1
x=
∨
7
3
x + 1= 3
Luego:
∴
e
x −1
j
x + 1= 3 x − 3
7 4
Σ de soluciones = b −1g + =
3 3
)
Σ de soluciones = 1, 3
34
4=2 x
x =2
Rpta.: D
→
x=4
Luego: M = x + x2
M = 4 + 42 = 4 +16
∴
M = 20
Rpta.: B
CAPÍTULO N° 2
RELACIONES Y FUNCIONES
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(86, 87, 88, 89, 90, 91, 92)
NIVEL I
Resolución
A = {−2 ; 3}
∧
Resolución
1
à
A×B =
l
M = 0; 2; 4
B = {1; 2}
mb −2; 1g; b −2; 2 g; b 3; 1g; b 3; 2 gr
q
M2 = M × M
Luego:
Rpta.: D
à
4
M2 = {(0; 0),(0; 2),(0; 4),(2; 0),(2; 2), (2; 4),(4; 0),(4; 2),(4; 4)}
Rpta.: C
Resolución
2
II.
III.
Resolución
)
( ) (
(17; 161/ 2 ) = (50; 3 64 ) ....... (V)
(3; −2) = (−2; 3) .................. (F)
I.
40; − 3 = 1 3 − 27
;
3 ≠ −2
∴
∧
.......... (V)
Resolución
G = {x∈ /−6 < x < 2}
G = {−5; −4; −3; −2; −1; 0; 1}
n° elementos de G: n(G) = 7
H = {x ∈
/−5 < x < 0}
H = {−4; −3; −2; −1}
−2 ≠ 3
La relación correcta es VVF
5
Rpta.: B
n° de elementos de H: n(H) = 4
n(G × H) = n(G) × n(H) = 7 × 4
∴
3
à
n(G × H) = 28
Rpta.: C
Se debe cumplir:
(a + 3; 7) = (8; b)
à
Resolución
a+3=8 →
A = {3; 4; 5; 6} y B = {6; 7}
a=5
à 7=b
Luego: a + b = 5 + 7
∴
a + b = 12
à
6
A ∩ B = {6}
Luego: (A ∩ B)× B ={6} × {6; 7}
Rpta.: A
∴
(A ∩ B)× B = {(6; 6);(6; 7)}
Rpta.: E
- 10 -

11. Segundo Año de Secundaria
Resolución
b = 16
A = {8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}
B = {3; 4; 5; 6}
R=
à
à
Luego, hallamos:
a+b =
Rb x; y g ∈ A × B / Y = x U
S
V
2W
T
∴
R = {(8; 4);(10; 5);(12;6)}
Rb g
S
T
U
V
W
Si
g(x) = 5 − 2x2
à
Rpta.: A
g(−3) = 5 − 2(−3)2
g(−3) = −13
9
Luego: f(2) + g(−3) = 9 +(−13)
∴
Luego: Dom R = {−3; −1; 1}
Ran R = {−3; 1; 5}
Límite superior
Límite inferior
Luego:
f(1) = 3(1)+7 → f(1) = 10
f(8) = 3(8) + 7 → f(8)= 31
11
Analizamos cada alternativa:
f2 = {(−2; 3);(5; 7)}
C)
f3 = {(0; −1);(5; 3);(−2; 3)} sí es función
D)
f4 = {(3; −2);(4; 0);(4; 5)} no es función
de B en A
E)
f(x)∈ [f(1); f(8)]
Rango = [10; 31]
Resolución
f1 = {(−2; −1);(0; 3);(5; 4)} sí es función
B)
à
∴
Rpta.: A
f5 = {(−2; 7);(0; 7);(5; 7)} sí es función
Rpta.: D
15
Analizamos las altenativas y podemos observar que (2; 9) no pertenece a la gráfica:
sí es función
2 2
x
3
Reemplazamos las coordenadas en la gráfica:
y=
Y=
12
2
2 2
x à 9=
2
3
3
9=
Rpta.: D
Resolución
14
x ∈ [ 1; 8 ]
10
A)
Rpta.: D
Sea f(x) = 3x + 7
Cumple: R1 = {(1; –7);(2; –7);(3; 5)}
Resolución
f(2) + g(−3)= −4
Resolución
Rpta.: C
Recuerde que para que sea una función, la primera componente de cada par ordenado, debe tener una sola imagen.
∴
f(x) =
f(2) = 3(2)2 − 4(2) + 5
f(2) = 9
R = {(−3; −3),(−1; 1),(1; 5)}
Resolución
− 4x + 5
Si
R = {(x; y)∈ L × N / y = 2x + 3}
à
13
3x2
à
R = {(10; 5),(14; 7),(18;9)}
Resolución
Rpta.: A
Rpta.: C
8
x
x; y ∈ S × T / y =
2
9 + 16 = 25 = 5
a+b = 5
Resolución
Resolución
R=
b−7=9
à
7
8
es falso
3
bg
2
Rpta.: E
Nos dicen que:
{(−5; a + 1) ; (−2;b − 7);(−2; 9);(−5; 10)}
Resolución
Es una función, entonces se debe cumplir que:
R = {(x; y)/ x + y es par }
16
* (−5; a + 1) = (−5; 10)
à
a + 1 = 10
à
R = {(4; 6);(6; 4);(5; 5),(5; 7);(7; 5);
(7; 7);(4; 4);(6; 6)}
a=9
∴
n° de elementos de R = 8
* (−2; b − 7) = (−2; 9)
- 11 -
Rpta.: B

12. Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
17
Resolución
R = {(x; y) / x > y + 1}
à
R = {(6; 4);(7; 4);(8; 4);(7; 5); (8; 5);(8; 6)}
Se tiene: A = {2; 3; 4}
Analizaremos cada alternativa:
A) {(2; 3);(3; 2);(4; 3)(3; 4);(4; 4)}
Luego: Dom R = {6; 7; 8}
Ran R = {4; 5; 6}
22
Rpta.: D
No es reflexiva ya que le falta: (2; 2) y (3; 3)
B) {(2; 3);(2; 2);(3; 3);(4; 4);(4; 3)}
Resolución
Como: (2; 2)∈ R ∧ 2 ∈ A
18
(3; 3)∈ R ∧ 3 ∈ A
Analizando las altenativas, vemos que no
cumple: {(2; 6);(1; 5)}
ya que: 1∉ A
Resolución
(4; 4)∈ R ∧ 4 ∈ A
∴Sí es refelexiva
Además: C; D y E no son reflexivas
Rpta.: C
Rpta.: B
19
Resolución
Tenemos que:
23
Tenemos que:
R= {(Lima; Perú);(Perú; x);(Caracas; Z);
(Santiago; Y);(Chile; Santiago)}
Recuerde que una relación R será simétrica cuando:
(a; b)∈ R ⇒ (b; a)∈R
Luego:
•
(Lima; Perú) ∈R
à
(Perú; Lima) ∈R
•
Resolución
Rpta.: D
(Chile; Santiago)∈R
à
Son refelexivas: R1 y R3
(Z; Caracas)∈R
•
∴
(Caracas; Z) ∈R
à
(Santiago; Chile) ∈R
Se tiene que:
∴
∴ Y = Chile
A = {Lima; Chile; Caracas}
Resolución
24
Recuerde: R1 será simétrica
R1 = {(3; 3);(4; 5);(5; 4);(5; 6);(6; 6)}
Rpta.: E
Resolución
21
Recuerde: (a; b) = (m; n)
Si ∀ (a; b) ∈ R ⇒ (b; a) ∈R
Analizando cada alternativa:
A) {(1; 1);(1; 2);(1; 3);(3; 1)
(1; 2)∈ R ∧ (2; 1)∉ R
∴ No es simétrica.
B) {(3, 2);(2; 3);(3; 1)}
⇔a=m∧b=n
Luego:
à
2x + 1 = 7 ∧ 5 =
x=3
∴
(3; 1) ∈ R ∧ (1; 3) ∉ R
b2 x + 1; 5g = FGH 7; 3 y2− 2 IJK
∧
x + y = 3 +4 = 7
3y − 2
2
y=4
∴
No es simétrica.
C) {(1; 3);(1; 2);(1; 1)}
(1; 2) ∈ R ∧ (2; 1) ∉ R
∴
No es simétrica.
D) {(1; 2);(2; 1);(3; 3)}
Rpta.: C
Z = Caracas
Luego: A= {x; y; Z}
à
20
∴ x = Lima
(1; 2)∈ R ∧ (2; 1) ∈ R
∴
Sí es simétrica
E) {(3; 2);(2; 3);(1; 3)}
(1; 3) ∈R ∧ (3; 1) ∉ R
∴
- 12 -
No es simétrica
Rpta.: D
Rpta.: A

13. Segundo Año de Secundaria
Resolución
NIVEL II
25
Resolución
Se tiene:
R = {(2; 5);(3; 7);(3; 3);(5; 2)}
1
Del conjunto: A={2; 3; 4; 5; 6; 7}
Definida en: A = {2; 3; 5; 7}
*
à
Cumple:
R1 ={(a; b)/a + 2 = b}
R1 = {(2; 4);(3; 5);(4; 6);(5; 7)}
Dom R1= {2; 3; 4; 5} → n(DomR1) = 4
*
à
Rpta.: C
Resolución
26
R2 = {(a; b)/a+3=b}
R2={(2; 5);(3; 6);(4; 7)}
Ran R2 = {5; 6; 7} → n(Ran R2)=3
Luego: n(Dom R1) + n(Ran R2)= 4 + 3 = 7
A = {2; 3; 4}
En “A” se define la siguiente relación:
R= {(2; a);(2; 3); (b; 4);(3; c);(3; 2)}
Resolución
2
Hallamos los elementos de “A”
A={5; 7; 9; 11}
y es reflexica
à
(2; a) = (2; 2) → a = 2
à
(b; 4) = (4; 4) → b = 4
Se tiene además que:
R={(a; a);(b; b);(c; a);(9; c);(d; d);(c + b − 1; 11)}
à
(3; c) = (3; 3) → c = 3
Es reflexiva y simétrica.
(5; 5);(7; 7);(9; 9);(11; 11) ∈ R
Luego: a + b + c = 2 + 4 + 3
à
∴
Luego, se debe cumplir que:
a+b+c=9
Resolución
Rpta.: D
à
27
Hallamos los elementos del conjunto A
A={2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Se sabe que: R={(a; b) / a = 2b} definida en A
à R = {(4; 2);(6; 3);(8; 4)
Dom R = {4; 6; 8}
Ran R = {2; 3; 4}
Resolución
Rpta.: D
c + b − 1= 11
c + b = 12
7 5
Además como:
(a; a); (b; b) ; (d; d) ;(c + b − 1; 11) ∈ R
1 24
4 3
(9; 9); (5; 5) ; (7; 7) ;
à
∴
Resolución
28
Rpta.: A
3
Se tiene: A = {2; 3; 4; 7}
Analizamos cada relación:
R1 ={(x; y) / x es hermano de y}
*
Luego: (x; y) ∈ R1 ∧ (x; z) ∈ R1
à (x; z)∈ R1 (sí cumple)
como:
R= {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(a; 3);(b; a − 1);(c; c)}
Es reflexiva
à
∴R1 es transitiva.
R2 = {(x; y)/x es de la misma raza que y}
*
Luego: (x; y)∈ R2 ∧ (y; z) ∈ R2
(2; 2);(3; 3);(4; 4);(7; 7) ∈ R
à c=7
Como: (a; 3) ∧ (b; a − 1) ∈ R
∧
à (x; y)∈ R2 (sí cumple)
à
b=2
∴R2 es transitiva.
∴
a + b + c = 12
R3 = {(x; y)/ x es padre de y}
*
Luego: (x; y)∈ R3 ∧ (y; z)∈ R3
pero: (x; z)∉ R3 (No cumple)
∴R3 no es transitiva.
∴
(11; 11) ∈ R
a=9;b=5 ; c=7
a + b + c = 9 + 5 + 7 = 21
Son transitivas: R1 y R2
Rpta.: D
a=3
Luego, la relación quedaría así:
R = {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(3; 3);(2; 2);(7; 7)}
como: (2; 3) ∈ R ∧ (3; 3) ∈ R
à
(2; 3) ∈ R
como: (2; 4) ∈R ∧
à
- 13 -
(4; 4) ∈R
(2; 4) ∈ R
Rpta.: C

14. Manuel Coveñas Naquiche
∴
Es transitiva
Resolución
Tenemos que:
Rpta.: A
(2; 2);(3; 3);(4; 4);(5; 5) ∈ R
4
y {2; 3; 4; 5} ∈A
Se tiene: A ={4; 5; 8; 9}
∴
R = {(x; y)/x + y, es número par}
Además: (a; b)∧(b; c)∧(a; c) ∈R
à
R = {(4; 4);(4; 8);(8; 8);(8;4);(5; 5);
(3; 2)∧(2; 4)∧(3; 4)∈R
(5; 9);(9; 5);(9; 9)}
∴
n(R) = 8
Resolución
I.
∴
Rpta.: B
Una relación R definida en el conjunto A es simétrica
si(x; y) ∈ R, entonces (y; x) ∈ R ....................... (Verdadero)
Toda relación de equivalencia es una relación simétrica ........... (Verdadero)
III.
n(A × B) = n(A)× n(B) ..... (Verdadero)
IV.
Toda función es una relación ...........
Resolución
Rpta.: E
9
Se tiene: M = {8; 9; 10}
Además:
R = {(c + 5; 2c);(a; 8);(b + 5 ; 9);(c + 3 ; b + 6)}
es reflexiva.
Como: (c + 5; 2c)∧(10; 10) ∈R
à c + 5 = 10
à c=5
à 2c = 10
U
V
W
....................................... (Verdadero)
Relación correcta: VVVV
R es transitiva
Resolución
5
II.
∴
R es reflexiva.
Como: (a; 8)∧(8; 8) ∈R
Rpta.: B
à
6
a=8
Como: (b + 5; 9)∧(9; 9)∈R
à
b+5=9 → b=4
∴
n° de relaciones = 2 2 × 2 = 24 = 16
a+b– c=8+4−5=7
Rpta.: C
Rpta.: E
Resolución
Resolución
7
I.
Si R es una relación de equivalencia, entonces R es
simétrica ... (Verdadero)
II.
Dado A={2; 3; 4} en él se pueden definir 512 relaciones
diferentes ... (Verdadero)
10
Como:
R = {(2; 3);(4; 9);(3; b);(a + b; 9);(9; c + 1)}
es simétrica.
III.
à
(2; 3) ∧ (3; b) ∈R
ya que: # de relaciones = 23×3 = 29 = 512
∴
b=2
Dado B = {a; b; c; d} se define R⊂B ×B tal que R = {(a;
c);(b; d);(c; a);(a; a)}
Entonces R es transitiva ........ (Falso)
à
(4; 9) ∧ (9; c + 1)∈R
Como: (a; c) ∧ (c; a) ∈R à (a; a) ∈ R
cumple.
Luego:
Pero
∴
(c; a) ∧ (a; c)∈R
R = {(2; 3);(4; 9);(3; 2);(a + 2; 9);(9; 4)}
à
(9; 9) ∧ (a + 2; 9)∈R
à
(c; c) ∉ R
∴
No es transitiva
Relación correcta: VVF
à
c+1=4 → c=3
Luego, la relación quedaría así:
Del gráfico:
8
a=7
a + b + c = 7 + 2 + 3 = 12
Rpta.: C
Rpta.: C
Resolución
Resolución
a+2=9 →
11
Como:
R = {(4; 4);(a; a);(b; b);(4; 5);(5; c);(5; 6);
(e; e + 2);(6; 4);(d; 5)}
es de equivalencia.
Como: (6; 4) ∧ (4; 5)∈R
à
- 14 -
(6; 5)∈R

15. Segundo Año de Secundaria
Por deducción: (d; 5) = (6; 5)
à
Resolución
d=6
S = {6 − 3x / 5 ≤ x < 7 ; x ∈
Como: (4; 5) ∧ (5; 6)∈R
à
}
S = {6 − 3(5) ; 6 − 3(6)}
(4; 6)∈R
S = {−9 ; –12}
Por deducción: (e; e + 2) = (4; 6)
à
15
S2 = {(−9; −9);(−9; −12);(−12; −9);(−12; −12)}
e=4
Como: (5; 6) ∧ (6;5)∈R
à
Rpta.: B
(5; 5)∈R
Resolución
Pero hay: (a; a)=(5; 5) → a = 5
(b; b) = (6; 6)
Hallamos los elementos de cada conjunto:
b=6
Luego, la relación quedaría así:
R = {(4; 4);(5; 5);(6; 6);(4; 5);(5; c);(5; 6);(4; 6);(6; 4);(6; 5)}
c=4
a + b + c + d + e = 25
Resolución
à
à
a + b + c + d + e = 5 + 6 +4 + 6 + 4
∴
A = {3x + 4 / −6 < x ≤ 1 ; x ∈
B=
Notamos que falta: (5; c) = (5; 4)
à
Rpta.: E
}
A = {−11; −8; −5; −2 ; 1; 4; 7}
R x − 2 / −6 ≤ x < 3; x ∈ U
S 2
V
T
W
−7
−5
−3
−1 

B = −4;
; − 3;
; − 2;
; − 1; ; 0 
2
2
2
2 

Hallamos los elememtos de R:
Rb x; y g ∈ A × B / y = x + 5 U
S
V
2 W
T
R
F −3 IJ ; b −5; 0 gU
R = Sb −11; − 3 g; G −8;
V
H 2K
W
T
R=
12
Se tiene: R = {(1; 3);(2; 6);(3; 9)}
Analizamos las alternativas, vemos que cumple la “B”
R=
16
ob a; b g / ab = a + 4bt
Rpta.: D
13 = 1 + 4(3) = 13
Resolución
26 = 2 + 4(6) = 26
39 = 3 + 4(9) = 39
Resolución
M = {x∈
à
Hallamos los elementos de “T” :
Rpta.: B
T = {2x2 −10 / −3 ≤ x < 4 ; x ∈
13
Ahora se sabe que:
M = {−2; −1; 0; 1}
R = {(x; y)∈ T × IN / y = 4 − 2x}
Hallamos los elementos de la relación R:
N = {13; 16}
R = {(−2; 8);(−8; 20);(−10; 24)}
Luego: M×N = {(−2; 13);(−2; 16);(−1; 13);
∴
(−1; 16);(0; 13);(0; 16);
(1; 13);(1; 16)}
∴
(−2; 5) ∉ M × N
}
T = {−10; −8; −2; 8}
/ −2 ≤ x < 2}
N = {3x − 2/ 4 < x < 7 ; x ∈ IN }
à
17
Dom R = {−2; −8; −10}
Resolución
Rpta.: B
Rpta.: E
18
Hallamos los elementos de “J” :
J = {10 − x2 / −6 < x ≤ 2 ; x ∈
Resolución
14
}
J = {−15; −6; 1; 6; 9; 10}
Analizamos cada alternativa:
Ahora, se sabe que:
A) {1; 3} × {2; 3; 7} → tiene 6 elementos
B) {2; 4} × {2; 3; 7} → tiene 6 elementos
R = {(x; y)∈ J ×
Hallamos los elementos de la relación R.
C) {1; 2; 3; 4} × {4; 6; 8} → tiene 12 elementos
R = {(−15; 75);(−6; 48);(1; 27);(6; 12);
D) {1; 2; 3; 4} × {2; 3; 4; 6; 7; 8}
/ y = 30 − 3x}
(9; 3);(10; 0)}
→ tiene 24 elementos
∴
E) {1; 2; 3; 4} ×{2} → tiene 4 elementos
Ran R = {0; 3; 12; 27; 48; 75}
Rpta.: A
Rpta.: D
- 15 -

16. Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
19
Por dato:
{(a; 3b);(a; a + b);(2b; 12)} , es una función
à
(a; 3b) = (a; a + b)
→
3b = a + b
2b = a
Luego: (a; 3b) = (2b; 3b)
à
Rpta.: B
(2b; 3b) = (2b; 12)
Resolución
→
b=4
à
3b = 12
a=8
Finalmente: a − b = 8 − 4 = 4
∴
a−b=4
Resolución
Los valores del rango están expresados
por los valores que toma “y”
Tenemos que: h( x ) =
Rpta.: C
y=
20
Hallamos los elementos de los conjuntos:
1
x − 4 ; x ∈ −3; 6
3
1
x−4
3
∧ −3 < x ≤ 6
Damos forma conveniente a:
−3 < x ≤ 6
A = {1; 3; 5; 7}
−3 x 6
< ≤
3
3 3
B = {0; 1; 2}
Notamos que:
−1 <
{(1; 1);(5; 2);(9; 0)} no es función de A en B.
Ya que: 9 ∉ A
Resolución
23
Rpta.: C
x
≤ 2 (Restamos: 4)
3
−1 − 4 <
21
x
−4 ≤ 2−4
32
13
−5 < y ≤ −2
Sabemos que: f(x) = 4x − 1
g(x)= 2x + 13
∴
Rango = −5; −2
Rpta.: E
Hallamos: g(−7) = 2(−7) + 13
à
f(g(−7)) = f(−1) = 4(−1)−1 = −5
Luego:
∴
Resolución
g(−7) = −1
f(g(−7)) = −5
Rpta.: E
24
La ecuación de la parábola es de la forma:
(x − h)2 = 4p(y − k) ... (α)
Donde: vértice = (h; k)
Sea la parábola: y = 2x2 + 4x − 1
Resolución
Para hallar el vértice damos la forma de (α), completando
cuadrados:
y = 2x2 + 4x − 1
22
Para graficar: y = 2x + 1
Hacemos: x = 0
à
y = 2(x2 + 2x) −1
y = 2(0) + 1
y = 2[(x + 1)2 − 1] −1
y=1
y + 1= 2(x + 1)2 − 2
Obteniendo la coordenada: (0; 1)
y + 3 = 2(x + 1)2
Hacemos: y = 0 à 0 = 2x + 1
(x + 1)2 =
−1
x=
2
Obteniendo la coordenada:
FG −1; 0IJ
H2 K
Ubicamos dichas coordenadas en el plano cartesiano:
à
1
(y + 3)
2
(x − (−1))2 =
1
(y − (−3))
2
(x − h)2 = 4p(y − k)
Donde: h = −1 ∧ k = −3
∴
- 16 -
Vértice = (−1; −3)
Rpta.: A

17. Segundo Año de Secundaria
Resolución
25
Sea: y = 3x2 − 12x + 20 (Parábola)
Como: 3 > 0 ; la gráfica se abrirá hacia arriba
à
Las alternativas descartadas.
Completamos cuadrados para hallar el vértice.
y = 3x2 − 12x + 20
y = 3(x2 − 4x) + 20
y − 20 = 3[(x − 2)2 − 4]
y − 20 = 3(x − 2)2 − 12
y − 8 = 3(x − 2)2
(x − 2)2 =
1
(y − 8)
3
De la gráfica, vemos que: f(0) = −9
f(–1)= −5
(x − h)2 = 4p(y − k)
f(−2) = −9
Donde: h = 2 ∧ k = 8
à
Luego:
Vértice = (2; 8)
k = f(0)+f(−1)+f(−2) = (−9)+(−5)+(−9)
Luego, la gráfica es:
∴
k = −23
Resolución
Sea: f(x) =
Rpta.: C
28
4x2
− 2x + 3
à
f(−2) = 4(−2)2 − 2(−2) + 3 = 4·4 + 4 + 3
à
f(−2) = 23
Sea: g(x) =
Rpta.: C
Resolución
26
f(2) =
à
f(5) = 74
− 1 = 3(4) -1
f(2) = 11
2
e 6 j = 3e 6 j − 1 = 3(6 ) − 1
f e 6 j = 17
à
f
42 − 3 = 16 − 3
∴
e 13 j
f(−2) + (g(4))2 = 36
Resolución
2
Rpta.: B
29
El rango viene a ser los valores que toma “y”
Así, tenemos que:
bg
f x =
y=
b g b g = 74 + 11 = 85
17
17
fe 6 j
fb 5g + fb 2g
=5
Rpta.: A
fe 6 j
f 5 +f 2
Resolución
13
f(−2) + (g(4))2 = 23 +
Reemplazamos estos valores hallados en:
∴
bg
gb 4 g =
g4 =
Reemplazamos los valores hallados en:
Hallamos: f(5) = 3(5)2 − 1 = 3(25) −1
3(2)2
à
à
Como: f(x) = 3x2 − 1
à
x2 − 3
1
x − 3 ∧ x ∈ −2; 4
2
1
x−3 ∧
2
−2 < x < 4
−2
FG 1 IJ < 1 x < 4 FG 1 IJ
H 2K 2 H 2K
−1 <
1
x<2
2
−1 − 3 <
27
Se tiene:
1
x−3 < 2−3
2
123
−4 < y < −1
∴
- 17 -
Rango = −4; − 1
Rpta.: D

18. Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
30
Resolución
Para graficar es suficiente conocer 2 puntos, ya que la
función es una recta.
33
Del gráfico:
Hallamos dichos puntos:
*
0
− 1 → y = –1
2
Para: x = 0 à y =
Dando el punto : (0; 1)
*
Para: y = 0 à 0 =
x
−1 →
2
x=2
Dando el punto: (2; 0)
Vemos que: f(0) = 3
Ubicamos los puntos y graficamos:
f(1) = 2
f(2) = 3
Luego:
M = f(0) + f(1) − f(2)
M=3+2−3
∴
M=2
Resolución
Rpta.: C
Resolución
Rpta.: D
34
Sabemos que:
R = {(1; 2);(2; 1);(a; a);(c; c);(2; 3);(1; b)}
31
Sea la parábola: y = −x2 + 2x − 1
A esta ecuación le damos la forma:
es transitiva.
Como: (1; 2) ∧ (2; 1) ∈R à (1; 1) ∈ R
à
(x − h)2 = 4p(y − k)
(a; a) = (1; 1)
a=1
Donde: vértice = (h; k)
Como: (2; 1) ∧ (1; 2) ∈R à (2; 2) ∈R
Multiplicamos por (−1)a ambos lados:
à
y = −x2 + 2x −1
−y = (x − 1)2 , le damos forma
k=0
Vértice = (1; 0)
Resolución
Rpta.: C
Si f(x) = x2 + 3
à
f(10) =
à
f
e
40 =
40
j
à
f
e
20 =
20
j
j e
j e
b g e
(2; 3) = (2; b) à b = 3
a+b+c=1+3+2=6
Resolución
Rpta.: C
35
R = {(4; 4);(4; 8);(4; 7);(8; 8);(8;4);(7; 7);
(7; 4);(9; 9)}
+ 3 = 103
2
2
Como ∀ a ∈ A ∃ (a; a)∈R
+ 3 = 43
+ 3 = 23
Reemplazamos los valores hallados en:
f 10 + f
à
Dado el conjunto: A = {4; 8; 7; 9}
y la relación
32
102
Como: (2; 3) ∈R ∧ (2; b) ∈R
∴
(x − 1)2 = −1 (y − 0)
∴
c=2
Como: (2; 1) ∧ (1; b) ∈R à (2; b) ∈ R
−y = x2 − 2x + 1
h=1
(c; c) = (2; 2)
à
Como: ∀ (a; b)∈R
à
à
(b; a) ∈R
R es simétrica.
Como: (7; 4) ∧ (4; 8)∈R ∧ (7; 8) ∈R
j b g
à
40 + f 20
R no es transitiva.
Luego: R es reflexiva y simétrica.
103 + 43 + 23 = 169
= 13
R es reflexiva.
Rpta.: B
∴
- 18 -
Cumple: sólo I y II
Rpta.: C

19. Segundo Año de Secundaria
CAPÍTULO N° 3
LEYES DE EXPONENTES
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(110, 111, 112)
NIVEL I
Resolución
1
Aplicando:
Am + n
M=
=
Am
·
An
x
6
FG IJ
K
·Hx
−2
− 23
x( −4)·( 2)·( −3)
F −23 IK · b−2g
x6 · xH
M=
x24
Obtenemos:
5m+1 − 5m 5m · 51 − 5m
=
4 · 5m
4 · 5m
M=
5 −1 4
= =1
4
4
=
Resolución
2
Aplicando:
M=
Rpta.: A
x6 · x( −8)·( −2)
x24
x6 · x16
= x6 +16 − 24
x24
M = x−2
(−b)par = bpar
∴
Rpta.: D
Resolución
(−b)impar = −bimpar
5
Si 12x = 4 · 3x = 3x · 4
Obtenemos:
(22)3 − (−2)4 − (−2)5 = 43 − 24 − (−25)
= 64 − 16 + 25
e j
∴
Am + n = Am · An
4
El exponente de x3x es 4
Rpta.: B
3
Aplicando:
Am×n = (Am)n
12 X
= x 3 x· 4 = x 3 x
Obtenemos: x
Rpta.: C
Resolución
x12 = x4·3x = x3x·4
Aplicando:
= 64 − 16 + 32
= 80
à
Resolución
Aplicando:
Obtenemos:
LM 2
MN 3
a+3
+ 2a
a+2
1/ a
OP
PQ
a
1/ a
3
3
a
L 2 e 2 + 1j OP
=M
MM 3 · 9 PP
N
Q
LF 2 I O
= MG J P
MNH 3 K PQ
a
L2 · 2 +2
=M
MN 3 · 3
=
a
a 1/ a
=
2
3
a
OP
PQ
1/ a
a
=
4
Aplicando:
(−b)impar = −bimpar
b1 = b ∧ b° = 1
Obtenemos:
a7 · a3
e j
a 1/ a
LM 2 OP
NM 3 PQ
Rpta.: B
Resolución
(Am)n = Am×n
a 1/ a
2
LM 2 · 9 OP
NM 3 · 9 PQ
6
LMe A j OP
N Q
= Am × n × p
O
x · Lx
NM QP
M=
LMex j OP
N Q
( −2 )3
6
e j
· a2
70
=
= a7·a12·a1·a-24·a2
Aplicando:
Am·An·Ap=Am+n+p
Obtenemos: a7+12+1+(−24)+2 = a−2
7
Tenemos que: x6 = x3·x3
à
∧
x4 = x3·x
(x6 + x4)x-3 = (x3·x3+x3·x)x-3
= (x3·(x3+x))x-3
Obtenemos:
6
5
· a1 · a −4
1
= a7· a3×4· a1· a−4×6· a2
a
Resolución
P
m n
4
= x3·(x3 + x)·
−2
1
x3
= x3 + x ... (α)
−3
−4 2
- 19 -
Rpta.: D

20. Manuel Coveñas Naquiche
Pero: x3 = 8 → x3 = 23
Resolución
Aplicando:
x=2
Luego: x3 + x = 8 + 2 = 10
Resolución
Rpta.: C
10
A −n =
1
An
∧
b° = 1
Obtenemos:
8
Por dato:
3a
x · 2a x = x 5 /12
A =
n
Aplicando:
Am
An
·
− 27
1
An
=
−
1
1
3
1
= 64
Am + n
x
x
x
·
1
x 2a
1 1
+
3a 2a
2a + 3a
6a2
5a
6a2
=
=x
=x
=x
5
x 12
= 64
=
5
12
x
à
3 27
=x
1
3
−
1
=
641/ 3
3
1
1
=
64 4
Rpta.: C
5
12
Resolución
5
12
11
Sabemos que: x −n = 9 ............. (α)
Iguales
5
6a
1
−
= 64
Obtenemos:
1
x 3a
1
27
=3
27 3
à
5
12
1
=9
xn
xn =
à
1
.... (β)
9
Am·n = (Am)n
Aplicando:
Tenemos que:
81x2n + x−2n = 81xn·2 + x−n·2
5
5
=
6a 12
= 81(xn)2 + (x−n)2
12 · 5 = 5 · 6a
Reemplazamos: (α) y (β)
12 = 6a → a = 2
Rpta.: B
2
FG 1 IJ + b9 g
H 9K
2
= 81
Resolución
Aplicando:
9
A
= 81·
1
= n
A
−n
1
+ 81
81
= 82
Rpta.: C
Obtenemos:
5n + 2n
5n + 2n
=
−n
−n
1
1
5 +2
+ n
n
5
2
Resolución
n
e5
=
A =nA
(−b)impar = −bimpar
Obtenemos:
+ 2n 5n · 2n
j
b −2g
2n + 5n
251/ 2
bg
+ 4
271/ 3
b g
= −2
25
bg
+ 4
3 27
= (−2)5 + (4)3
= −25 + 43
= 5n · 2n = (5 · 2)n
= 10n
1
n
Aplicando:
5n + 2n
= n
2 + 5n
5n · 2n
12
= −32 + 64
Rpta.: B
= 32
- 20 -
Rpta.: C

21. Segundo Año de Secundaria
Resolución
13
Resolución
Aplicando:
an b =
n mp
n
an · b
A =
Sea: K =
n× m× p
2
3 3 3...... + 6
Hacemos: n = 3 3 3......
14 4 44
4 243
12 3
A
nn
Obtenemos:
F
GH
16
I
2J
K
F
=G
GH
8
=
=
2
F
H
2
I
·2 J
JK
2× 2× 2
8
e 8j
3· n
→
n2 = 3n
n=3
Reemplazamos el valor de “n” en:
22 · 2
I
K
8
K=
8
3 3 3...... + 6
K = n+6 =
∴
=8
k=3
3+6 =
9
Rpta.: A
Rpta.: C
Resolución
Resolución
Aplicando:
a n b = n an · b
Am = A
17
Sea: M =
14
n
n=
à
8
8
8
8
M
m/n
Obtenemos:
U
|M
V
|
W
Entonces:
5 2
35 3− 2 =
e3 j
=
· 3− 2
2 × 2 10
· 3 −2
3
8
M
M=
à
=3
M=2
Luego: 4 + M = 4 + 2 = 6
=3
El exponente de 3 es 2
Resolución
Aplicando:
Rpta.: B
15
60 veces
xy · xy · xy · ...... · xy
144444 44444
2
3
20 veces
b° = 1
30 veces
30 veces
6444 74444 6444 74444
4
8
4
8
3 y · 3 y · 3 y · .... · 3 y
x · x · x · ... · x ·
Obtenemos:
3
(7−1)
−1
·3







18
6444444 444444
7
8
x · 3 y · x · 3 y · ...... · x · 3 y
(Am)n = Am×n
 6
 10
5 5




5
(2 + 4 + 6 + 8 + 10)0
Rpta.: B
2
Resolución
∴
8
M
M3 = 8
= 4 310 − 2 = 4 38
8
4
M2 =
e xy j

3 5





−1 × −1
7( ) ( )· 3  5 5 
=
30
e xj ·e yj
1
3
3
= 7 · 55
= 7·
3
x
×5
20
3
· y
30
20
m
Aplicando:
53
n
Am = A n
Am
= A m −n
An
=7×5
= 35
20
Rpta.: B
- 21 -

22. Manuel Coveñas Naquiche
Obtenemos:
30
x2
x
20
2
·
Obtenemos:
30
y3
·y
4−7 · 46 · 410
4−7 +6 +10
49
=
=
−2
−2
20
2 · 16
220 · 24 ×( −2)
220 · 24
x15 · y10 x15
= 10 10 = 10
x ·y
x
20
2
e j
= x15-10
x5
=
Resolución
Tenemos:
Aplicando:
2 9
=
Rpta.: C
19
−n
FG B IJ
H AK
=
20
218
212
18 −12
=2
n
3−4
1
= An
A −n
Resolución
e3
Sea:
4
2
− 52 · 8x · 2
j
2
3x+4
3 x
b81− 25g · e 2 j
=
2
n
= Am × n
·2
3x + 4
Am + n = Am · A n
−2
Obtenemos:
· 34
3 x
LM 12 OP
N4Q
· 81 =
b81− 25g · e2 j
−2
2
· 81
3x
·2
=
3x + 4
=
=
Rpta.: B
Resolución
9
· 81 = 9
Rpta.: B
LMe x j OP
N Q
LMex j OP
N Q
−3 4
x12 ·
R=
−6 3
20
1
An
3
9
1
Aplicando: A −n =
56 · 2
=7
16
1
· 81
32
1
56 · 2 · 2
23 x · 24
=
= 3−2·81
Resolución
= 26 = 64
Rpta.: B
e j
−2
22 × 9
220 +( −8)
1
⋅
Aplicando: Am
  3 2  3  
  +  
 2   4 


·2
=
−8
−2
Obtenemos:
LM 9 + 3 OP
N4 4Q
2
=
  2  − 2  4  − 1
  +   
 3 
3 


FG A IJ
H BK
e2 j
−3
−2
1
An = n A
∧
( )
p
 m n
m×n×p
 A
 =A


Aplicando:
Obtenemos:
Am × n = Am
n
e j
Obtenemos:
=4
=2
1
4
=4
1
2
=
R=
4
Rpta.: A
R=
NIVEL II
Resolución
Am·An·AP = Am+n+p
m n
eA j
= Am × n
x12 · x 36
x 36
R = x2
e j
1
Aplicando:
( −3)· 4·( −3)
x12 · x
x( −6 )· 3·( −2)
∴
m− n
Am
=A
n
A
- 22 -
= x12 = x 2 × 6
6
EL exponente de “x2” es 6
Rpta.: B

23. Segundo Año de Secundaria
Resolución
2+n
=2
4
4
a
Reducimos:
x·
n
Aplicando:
2a
x·
Am = A
1
3a
x
∴
m
n
1
1
Sea:
Obtenemos:
x
x
à
214 + 45
210 + 8 2
m n
214 + 22
210
1
Es de grado =
12
←
11
1
=
6 a 12
e j
+ e2 j
5
3 2
→
11
xa =
n
Aplicando:
214 + 210
210 + 26
=
=
26 28 + 24
e
4
4
4
24 + 1
x 22
Am = A
= 24 = 16
m
n
Resolución
Aplicando:
n
11
∴
x 22 = x
Grado
=x2
Resolución
A
m
Rpta.: B
5a
x·
2a
x3 = x
Reducimos: x2 · x xn
=x
Aplicando: a n b = n an · b
17
A =
m× n
Obtenemos: x2 x xn = x2 ·
Aplicando: Am·An = Am+n
4
x 2 · xn
x2 · xn
n
Am = A
2
= x · x2+n = x · x
2 4
=x
Por dato:
2+
2+
2 +n
4
2+n
=4
4
= Am+n
1
5a
·x
1 3
+
5a 2 a
3
2a
=x
17
10 a
17
20
Por dato: x 10a = x
Si las bases son iguales, los exponentes son iguales.
A
= x2
m
n
Reducimos:
5
mn
=A
Am·An
El grado es 2
Rpta.: E
7
Obtenemos:
22
11
j
2 2 +1
6
e j
2 e 2 + 1j
=
a = 22
Reemplazamos el valor de a = 22 en:
11
= Am × n
eA j
Obtenemos:
1 1 1
+ +
a 2a 3a
11
6a
6
Aplicando:
Am·An·Ap = Am+n+p
2+n=8
Rpta.: C
Resolución
Obtenemos: x a · x 2a · x 3a
Aplicando:
n=6
à
17
17
=
10a 20
∴
m
n
a=2
Resolución
2 +n
4
Rpta.: B
8
= 216
Aplicando:
= 22 × 8
Am×n = (Am)n
Obtenemos:
∴
- 23 -
Es la octava potencia Rpta.: D

24. Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
Resolución
9
Aplicando:
FG A IJ
H BK
m
An
−n
=
=
n
FG B IJ
H AK
n
FG 4 IJ
H 9K
Am
−1
−2
−2
F 3I
H 5K
F 25 I
+
H 81 K
+
FG 4 IJ
H 9K
2
F 2I + F 5I
H 9K H 3K
=
F 2 I + F 25 I
H 3 K H 81K
0,5
2
2
+
= 9
4
+
9
−1/ 2
−32 − 25
1
251/ 2
−32
1/ 2
FG 4 IJ
H 9K
Resolución
−32
−
1
An = n A
1
25
=
FG 4 IJ
H 9K
F 4I
=G J
H 9K
1
−
− 32 5
−
1
321/ 5
F 4I
=G J
H 9K
Rpta.: C
−
1
5 32
F 4I
=G J
H 9K
10
Aplicando:
1
An
A −n =
25
27
9 = 9 = 3
4 5
9
25
+
9 9
9
81
=3
Sabemos que:
−
Tenemos que:
F 9I
H 2K
F 3I
H 2K
12
−
1
2
1
F 4I
=G J
H 9K
Am+n = Am·An
e
5 3
n+ 4
3
n+ 3
−3
Resolución
j
e
n+ 2
−3
Factorizando:
n
5
j
5· 3 · 3
= n 4
3 · 3 − 3n · 33 − 3n · 32
Aplicando:
a n b = n an · b
mnp
5 · 3n · 32 · 33
3n · 32 32 − 3 − 1
LM
MM
N
j
3
3
2 2
OP
PP
Q
72
Rpta.: D
LM
=M
MN
=
A
−n
=
1
= n
A
Resolución
n
3n + 5n
3 −n + 5 −n
3n + 5n
3n + 5n
=
1
1
n 5n + 3n
+
3n 5n
3n · 5n
n
b g
E = n 3· 5
E = 15
2
3
2
OP
·2 P
PQ
3× 2× 3× 2× 2
72
8
72
72
72
8
= 8
Rpta.: D
Am = A
m
n
Am
= Am − n
An
n(n+ 3)
Tenemos que:
n
5n(n+ 3 ) 5 n
=
53
53
=
5n + 3
53
= 5n + 3 − 3 = 5n
n
E = 3n · 5n
∴
3
A
14
Aplicando:
Tenemos que:
E=n
m× n× p
11
An·Bn = (A·B)n
E=n
A =
Tenemos que:
e
= 27
Aplicando:
9 3
=
4 2
13
5 · 33
135
=
2
5
3 − 3−1
Resolución
=
Rpta.: B
Tenemos que:
n+ 5
2
∴
El exponente de 5 es n
Rpta.: A
Rpta.: C
- 24 -

25. Segundo Año de Secundaria
Resolución
15
Resolución
Aplicamos la siguiente regla práctica:
p
n
xm · xq · r xs = x
n
xm · x q = x
3
4· 2· 4
4
4 · 3 64
Tenemos que:
(mp + q)r + s
npr
5 · 5 · 5 · ...· 5 · 5 · 25
mp + q
np
3
=
5 · 5 · 5 · ...· 5 · 5 · 5
2
2 3
4
=
2
6
22 · 21 · 22
2 · 2
5 · 5 · 5 · ...· 5 · 25
5 · 5 · 5 · ...· 5 · 5
(2·2 +1)2 + 2
2 3·2·2
2
2·3 + 6
4·3
5 · 5 · 5 · ...· 25
.....
p
2 12
12
=1
Rpta.: A
2 12
Resolución
LM
N
LM
N
Rpta.: B
Resolución
16
x
52 · 4 5− 3 5
3
10
=
OP
Q
x
16
OP
Q
n m p q r
x · x · xs = x
3
10
= x 4 · x −1 · x −n
5
52 · 4 5− 3 · 5
(mp +q)r + s
npr
∴
2
16
OP
Q
LM
MN
L
= M5
MN
= 5
11 16
16
OP
PQ
x 10 = x
OP
PQ
3
x 10 = x
OP
PQ
à
11
× 16
16
( 4· 2 −1)2 −n
5· 2· 2
14 −n
20
Luego, a bases iguales, exponentes iguales.
11 16
16
El exponente de 5 es 11
(mp + q)r +s
npr
Obteniendo:
( 2· 4 − 3)2 +1 16
2· 4· 2
=5
s
x · x · x =x
Aplicando: (Am)n = Am×n
L
Tenemos que: = M5
MN
2
n m p q r
3
2
x 4 · x −1 · x −n
5
Aplicamos la regla práctica:
Aplicamos la siguiente regla práctica:
LM
N
18
16
25 · 4 5 −3 · 5
2
5 · 5 = 25 = 5
5 · 25 =
12
=
17
3 14 − n
=
10
20
n=8
=5
11
Finalmente:
n +1 =
Rpta.: C
8 +1 =
19
Resolución
Pero:
6
8=
9 =3
Si:
2× 3
Rpta.: A
6
8 = n 2n
23 = 2
Vemos que:
2=
2× 3
23 =
Como: 6 8 =
à
- 25 -
n
2× 4
2× 3
2n =
2a
24 =
2× 5
25 =.... =
23 = n 2n
2a
2a
2a

26. Manuel Coveñas Naquiche
n = 2a ∧ 2n = 2a
Luego:
Obtenemos:
→ 2(2a)= 2a
4a = 2a
Analizando:
Si a = 1 → 4(1) = 21
x
E=
60
2
·y
ex · y j
4 = 2 → no cumple
Si a = 2 → 4(2) = 22
60
5
Si a = 3 → 4(3) = 23
x30 · y12
x10 · y
Si a = 4 → 4(4) = 24
16 = 16 → cumple
à
E=
a=4
n+1 =
8+1 =
30
2
·y
x10 ·
Entonces: n = 2a = 2(4) → n = 8
Hallamos:
x
10
A·B = n A ·n B
Tenemos que: E =
12 = 8 → no cumple
x 30 · y12
E=
ex · y j
n
Aplicando:
8 = 4 → no cumple
à
30
3
12
2
à
10
y2
E=
10
x15 · y 6
x10 · y 5
m− n
Am
=A
An
9 =3
Aplicando:
Rpta.. D
Tenemos que:
E = x15−10 · y6−5
Resolución
20
∴
E = x5 · y
Rpta.: B
Tenemos que:
E=
120 veces
644444 7444444
4
8
x · 5 y · x · 5 y · ....· x · 5 y
x y · 3 x y · .... · 3 x y
14444 244444
4
3
60 veces
60 veces
6444 7444 8 644474448
4
4
4
4
x · x · x · ... · x · 5 y · 5 y · 5 y · ... · 5 y
F
H
60
E=
21
Aplicando: A −n =
30 veces
E=
Resolución
3
3x
yI
K
3
= 16
30
à
60
30
x y
m
Aplicando:
n
A
m
∧
An =
n
Am
Calculamos:
e xj · e yj
5
m
1
An
= An
(A·B)n = An·Bn
- 26 -
A=
1
2
−
1
4
=
1
=
161/ 4
4
1
16

27. Segundo Año de Secundaria
B = 64
−
1
2
Reemplazamos el valor de “M” en:
1
= 1/ 2 =
64
B=
à
Luego: A · B
∴
−1
1
1
=
64 8
K = 19 + 6 · 6 · 6 · ...
1
8
K = 19 + M
FG IJ
H K
1 1
= ·
2 8
A · B−1 = 4
−1
K = 19 + 6 =
1
= ·8 =4
2
∴
K=5
25 = 5
Rpta.: C
Rpta.: B
Resolución
24
Aplicando la siguiente fórmula:
Resolución
22
Aplicando:
(Am)n = Am·n
n
A
=A
m
x = a · a · a · a · ...
à
m
n
x=a
Tenemos que:
Am·An = Am+n
A = 13 · 13 · 13 · ...
Tenemos que:
5
5
e3 j
5
2x
à
3
2 x
3
2x
5
A = 13
B=
3 · 3 · 3 · ...
à
9 x = 3 x · 5 27
B=3
5
= 3x · 33
x
5
=3 · 3
x
=3 ·3
3
3
5
Luego:
3
2
x
5
=3
3
x+
5
∴
Si las bases son iguales, los exponentes serán iguales.
à
2x
3
= x+
5
5
∴
x = −1
Rpta.. B
Resolución
23
Hacemos:
M=
6 · 6 · 6 · 6 · ...
14 244
4
3
Esta expresión es
igual a "M"
M=
6·M
M2 = 6M
→
M=6
- 27 -
A + B = 13 + 3 16 = 4
A +B = 4
Rpta.: D

28. Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
25
x=
a
a
a
a
M
à
125
125
125
M
B=
Aplicando la siguiente fórmula:
x=3a
à
B = 3 125
B=5
Luego:
∴
A +B =
4+5 =
A +B = 3
9=3
Rpta.: B
Tenemos que:
A=
64
64
64
M
à
A=
3
64
A=4
CAPÍTULO N° 4
POLINOMIOS EN IR
EJERCICOS DE REFORZAMIENTO (POLINOMIOS). Pág.(135, 136, 137, 138)
NIVEL I
Sea: Q(x; y) = 5xy11
Resolución
1
à
Sea: Q(x; y; z) = 8x4yz6
G(Q) = 1 + 11 = 12
à
G(Q) = 12
•
El exponente de la variable “y” es 1
Como: P(x; y) = 9xy3b−1 y Q(x; y) = 5xy11
à
Grado relativo a “y” : G·R·(y) = 1
•
El exponente de la variable “z” es 6
Son términos semejantes, entonces sus grados son iguales:
à
Grado relativo a “z” :
G·R(z) = 6
à
G·R·(y) + G·R·(z) = 7
Resolución
→
3b = 12
Luego: G·R(y) + G·R·(z) = 1+ 6
∴
G(P) = G(Q)
Rpta.: C
Resolución
b=4
Rpta.: B
4
Sea el monomio: P(x; y) = 12x3n+2 y6
2
Sea: 5x2a-b+3 y3b+1
Grado del monomio: G(P) = (3n + 2) + 6 ...(I)
Luego: G·R·(x) = 2a − b + 3 = 6 ... (I)
Por dato: G(P) = 14 ............................... (II)
G·R·(y) = 3b + 1 = 16 ....... (II)
De (II) tenemos que:
De (I) y (II) tenemos que:
(3n + 2) + 6 =14
3b + 1 = 16
3b = 15
Resolución
→
b=5
3n + 8 = 14
Rpta.: C
3n = 6
G(P) = 1+ (3b − 1) = 3b
à
n=2
Rpta.: A
3
Sea: P(x; y) = 9xy3b − 1
à
→
G(P) = 3b
- 28 -

29. Segundo Año de Secundaria
Resolución
5
Resolución
Efectuando: (x5· ya)(x4·y3)=x5+4 ·ya+3
= x9 ya+3
Hallamos el grado del monomio x9ya+3 :
10
Sea: R(x) = x4m−3 + x4m−5 + 6
Como el grado absoluto de R(x), es igual al mayor grado
absoluto de uno de sus téminos, analizamos y vemos que:
4m − 3 > 4m − 5
Grado = 9 + (a + 3)
G·A·(R) = 4m − 3
Por dato: Grado = 17
à
à
9 +(a + 3) = 17
Por dato: G·A·(R) = 25
∴
a=5
à
4m − 3 = 25
∴
m=7
Resolución
Rpta.: C
6
R ( x; y ) =
Sea:
x 6 −m y 9 +n
Resolución
x2 −m
R(x; y) = x(6−m)−(2−m) y9+n
R(x; y) = x6−m−2+m y9+n
Rpta.: C
11
Sea: Q(x) = 3mxm + 6mxm−1 + 11mxm−2
Analizando los exponentes de cada término, vemos que:
m>m−1>m−2
R(x; y) = x4 y9+n
Por dato: G·A·(R) = 21
à
à
G.A.(R) = 4 +(9 + n)
Por dato: G.A(Q) = 6
à m=6
4+(9+n) = 21
El coeficiente de mayor valor será:
11m = 11(6) = 66
13 + n = 21
∴
n=8
Resolución
G·A·(Q) = 6
Rpta.: D
Rpta.: C
Resolución
7
Si:
Reducimos:
M=
12
a3xa+8
yb-4
N = b2 xb+5 y-a+5
P(a) = −5a(a + 2)− 6a(a − 3)+ 3a(a − 2)+ 8a2
P(a) = −5a2 − 10a − 6a2 + 18a + 3a2 − 6a + 8a2
Donde: “M” y ”N” son términos semejantes
P(a) = −5a2 − 6a2 + 3a2 + 8a2 − 10a + 18a − 6a
à
a+8=b+5
P(a) = −11a2 + 11a2 + 2a
∴
P(a) = 2a
a − b = –3 ........... (I)
Rpta.: A
à
Resolución
b + a = 9 ........... (II)
E = −x−(−x−y) − (−y + x)− y
Sumando (II) + (I):
E=−x+x+y+y−x−y
E=y−x
Resolución
y b−4 = y −a+5
b − 4= −a + 5
8
Reducimos:
∴
x a+8 = x b+5
b + a = 9 (+)
a − b = −3
Rpta.: B
9
Sea: P(x; y; z) = 6x3y2z5 − 9x2y6z4 + 13xy7z5
à
3 + 2 + 5 = 10
b=6
Luego:
1 + 7 + 5 = 13
P(x; y) =
13
Rpta.: B
Sea:
3xa−8y6
+ 4xa−11y5 + 7xa−13y20
Analizando los exponentes de“x” tenemos que:
Luego: grado absoluto del polinomio es:
G·A· (P) = 13
a×b = 3×6 = 18
Resolución
Grado del monomio: 13xy7z5
à
a=3
Reemplazando el valor de “a=3” en (I) tenemos que:
3 − b = −3
Grado del monomio: 6x3y 2 z 5
Grado del monomio: 9x2y6z4
à
2 + 6 + 4 = 12
→
2a = 6
a−8 > a − 11 > a − 13
Rpta.: C
- 29 -

30. Manuel Coveñas Naquiche
à
G·R·(x) = a − 8
E=
Por dato: G·R·(x) = 5
à
a − 8= 5
→
2
x19
· x3
13 3
=
x
a = 13
= x38 + 3 − 39
= x2
Luego:
P(x; y) = 3x13−8y6 + 4x13−11y5 + 7x13−13y20
∴
P(x; y) = 3x5y6 + 4x2y5+7y20
x19· 2 · x3
x13· 3
Grado del monomio =2
Rpta.: B
Donde:
•
Grado del monomio: 3x5y6 es:
Resolución
5 + 6= 11
•
P(x; y) =
Grado del monomio: 4x2y5 es:
G·A·(P) = 20
Resolución
m+1 y2n − 1 es:
* Grado del monomio 4x
(m + 1) + (2n − 1) = m + 2n
Rpta.: B
14
yn+3 + 4xm+1 y2n−1
m+2 y n+3 es:
* Grado del monomio 6x
(m + 2) + (n + 3) = m + n + 5
Grado del monomio: 7y20 es:
20
∴
Sea:
6xm+2
Donde:
2+5= 7
•
16
Como: P(x; y) es homogéneo
Sea:
à
∴
Q x; y = a − 2 x 3a · y 6
b g
Qb x; y g =
a−2
b g
Q x; y = x
x3a · a − 2 y6
3a
a −2
n=5
Rpta.: C
Resolución
17
Reemplazamos los valores de x = 3 e y = −1 en:
6
a−2
·y
m + n + 5 = m + 2n
x−y·(−2y)x
Obteniendo: (3)-(-1)·(−2(−1))3 =
Por dato: G·A·(Q) = 9
à
=31·23 = 3·8 = 24 Rpta.: B
3a
6
+
=9
a−2 a−2
Resolución
3a + 6
=9
a−2
Como: a = 2 ; b = −3 ; c = 4
à
3a + 6 = 9(a − 2)
3a + 6 = 9a − 18
a=4
2
4
x5 × 3 · x4
x15 · x4
Rpta.: C
2
2
x8 · x5
3
Sea:
à
à
à E=
x15 + 4
2
x8 + 5
· x3
P(2) = 4(2) + 1 → P(2) = 9
P(3) = 4(3) + 1 → P(3) = 13
à
3
P(1) = 4(1) + 1 → P(1) = 5
à
· x3
· x3
19
P(x) = 4x + 1
5
x2 × 4 · x5
E=
Resolución
3
3
2 4
E=
E = 121
Reduciendo:
LMe x j · x OP · x
Q
E= N
LMe x j · x OP
N
Q
5 3
E= (4 + 16 − 9)2 = 112
Rpta.: B
∴
15
E = (aa + ca − ba)a
E = (22 + 42 − (−3)2 )2
→
24 = 6a
Resolución
18
P(0) = 4(0) + 1 → P(0) = 1
Luego: E =
3
∴
- 30 -
E=1
bg b g
bg bg
P 1 +P 2
5 + 9 14
=
=
P 3 +P 0
13 + 1 14
Rpta.: B

31. Segundo Año de Secundaria
Resolución
20
Sea:
P(x−5) = 5x + 5
c b gh = P Pb1g = Pb0g
Luego: P P P 2
Hallamos “x”
*
Si P(−1) = P(x−5)
à
−1 = x − 5 →
∴
P(−1) = 5(4) + 5
Si
P(−1) = 25
*
0=x−5
∴
à
x+1=0 →
P(0) = (1−)2
x = −1
à
P(0) = 1
Finalmente:
Si P(0) = P(x − 5)
à
P(x+1) = P(0)
∴
x=4
P(0) = 5(5) + 5
→
c b gh = P Pb1g = P 0
PPP 2
x=5
=1
NIVEL II
P(0) = 30
*
à
1=x−5
∴
Resolución
Si P(1) = P(x − 5)
P(1) = 5(6) + 5
→
P(x; y) =
x=6
P(x; y) = 55 · x5(n+4) · y10
P(x; y) = 55 · x5n + 20 · y10
Si P(−2) = P(x − 5)
*
à
−2 = x − 5 →
∴
P(−2) = 5(3) + 5
x=3
à
∴
b g bg
bg b g
P −1 + P 0
25 + 30 55
=
=
P 1 + P −2
35 + 20 55
R=1
Como el grado del monomio es 40
(5n + 20) + 10 = 40
5n + 30 = 40
P(−2) = 20
∴
Sea:
(5xn+4·y2)5
P(x; y) = 55 ·(xn+4)5 ·(y2)5
P(1) = 35
Luego: R =
1
n=2
Resolución
A=
Rpta.: B
Rpta.: B
2
2mxm+2
· y3m+n
B = 3nx3n−2 y4m−8
Resolución
à
21
Sea: P(x) = 2x + 3
P(2) = 2(2)+3
→
bg
=P 7
PP 2
Luego:
P(2) = 7
Como A y B son términos semejantes, entonces la parte variable tienen los mismos
exponentes.
Así: m + 2 = 3n − 2 ........... (I)
3m + n = 4m − 8 ......... (II)
Donde: P(7) = 2(7)+ 3
bg
P P b 2 g = 17
bg
P 7 = 17 = P P 2
∴
Sumando: (I) + (II)
m + 2 + 3m + n = 3n − 2 + 4m − 8
Rpta.: D
4m + n + 2 = 3n + 4m − 10
Sea: P(x+1) = x2
12 = 2n
10 + 2 = 3n − n
Resolución
22
m + 2 = 3(6) −2
Si P(x+1) = P(2)
x + 1= 2
∴
→
P(2) = (1)2
m = 14
x=1
à
P(2) = 1
Luego: P(P(2)) = P(1)
Reemplazando “n=6” y “m = 14” en A y B:
A = 2(14)x14+2 y3(14)+6
à
Hallamos “x” :
∴
x + 1= 1
P(1) =
02
A = 28x16 y48
B = 3(6)x3(6)−2 y4(14)−8
Si P(x+1) = P(1)
à
n=6
Reemplazando: “n = 6” en (I):
Hallamos “x” :
à
→
à
→
à
x=0
P(1) = 0
B = 18x16 y48
Luego: A − B = 28x16 y48 −18x16 y48
∴
- 31 -
A − B = 10x16 y48
Rpta.: B
Rpta.: B

32. Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
3
Resolución
Sea:
7
M(x; y) = 10x3a+b ya+3b
Por dato: G·A·(R) = 3 ........ (I)
•
Como: G·R·(x) = 11
à
Luego:
3a + b = 11 ........................ (I)
•
Como G·A·(M) = 20
à
R = 2a − 3 x3a · y6
R= x
e
(3a + b) + (a + 3b) = 20 ...... (II)
Reemplazando (I) en (II), tenemos:
(11) + (a + 3b) = 20
à
R=x
·y
3a
2a − 3
1
6 2a − 3
j
·y
6
2a − 3
a + 3b = 9 ........................... (III)
G·A·(R)=
Sumando (I) + (III):
3a + b = 11
a + 3b = 9
4a + 4b = 20
U (+)
V
W
G·A·(R) =
a+b=5
Resolución
Si 9xb + 4ax5 = 17x5
4
3a + 6 = 3(2a − 3)
3a +6 = 6a − 9
15 = 3a
b=5
a=5
También, los coeficientes deben ser iguales
en ambos lados de la igualdad, por lo que:
Luego:
→
P = 3x2a·y3a−1
P = 3x2(5)· y3(5)−1
9 + 4a = 17
4a = 8
3a + 6
........ (II)
2a − 3
3a + 6
=3
2a − 3
Rpta.: B
Analizando, vemos que para que cumpla
la igualdad, el exponente de “x” debe ser 5
à
3a
6
+
2a − 3 2a − 3
De (I) y (II), tenemos que:
4(a + b) = 20
∴
3a
P = 3x10· y14
a=2
Donde: G·A·(P) = 10 + 14
Luego:
bg
2a + b = 2 2 + 5 = 9 = 3
Rpta.: B
Resolución
5
∴
G·A·(P) = 24
Resolución
Efectuando:
P(x; y) =
8
Rpta.: C
Sea:
(5a−1·xa+2
·ya)2
A = [(2p − 3) − (3p + 4q)] − [2q−(3p + q)−p]
P(x; y) = (5a−1)2 · (xa+2)2 ·(ya)2
A = [2p − 3 − 3p − 4q] − [2q − 3p − q − p]
P(x; y) = 52(a−1)· x2(a+2)·y2a
A = [−p − 4q − 3] − [q − 4p]
Donde: G·A·(P) = 2(a+2) + 2a
A = −p − 4q − 3 − q + 4p
∴
A = 3p − 5q − 3
Resolución
= 2a + 4 + 2a
Rpta.: B
G·A·(P) = 4a + 4
Por dato: G·A(P) = 16
6
b
g b
R = 3x − y + 2 x − x − 3y + 2 x − x + y
R = 3x − y − 2 x − x − 3y − 2x − x − y
g
à
4a = 12
a=3
− El coeficiente del monomio será:
52(a−1) = 52(3−1) = 52(2) = 54 = 625
R = 3x − y − 2x − x + 3y + 2x + x + y
R = 3x + 3y
→
Reemplazando el valor de: a = 3
R = 3x − y − 2 x − x − 3y − 2x − x − y
∴
4a + 4 = 16
Rpta.: C
Rpta.: C
- 32 -

33. Segundo Año de Secundaria
Resolución
bg
P x =
bg
P x =
bg
P x =
bg
P x =
9
Sea:
4
2m
x 3m · x 3
3
4
x
3m+
M( x; y ) =
M(x; y) = xm+n · ym−n+1
11m
x 3
Sabemos que: G·R·(x) = 5
à
bg
P x =
F
Pb x g = G x
GH
11m
3
x 3 −n · y 6 −m
M(x; y) =x3+m−3+n · y7−n−6+m
9m+ 2m
x 3
4
x 3+ m· y 7− n
M(x; y) = x(3+m)−(3-n) · y(7−n)-(6−m)
2m
3
4
11
Reduciendo la expresión:
x 3m · x 2m
4
Resolución
m + n = 5 ............................... (I)
Sabemos que: G·A·(M) = 7
à
I
JJ
K
(m + n) + (m − n + 1) = 7 ........ (II)
Reemplazando (I) en (II), tenemos que:
1
4
5 + (m − n + 1) = 7
m − n = 1 ................................. (III)
Sumando (I) + (III), tenemos que:
bg
P x =
11m
x 12
U
V
W
m + n = 5 (+)
m−n =1
à
Luego: 2m + n = 2(3) + 2
2
∴
11m = 22· 12
∴
m = 24 Rpta.: D
Resolución
n−4
Q(x; y) =
3
4n
e x j · ex j
Pb x g =
ex j · x
n− 2
bg
4
2
6n
x 3(n− 4) · x8n
x 4(n− 2) · x6n
x3n−12 · x8n
P x = 4n−8 6n
·x
x
bg
x 3n−12 + 8n
P x = 4n−8 + 6n
x
P x =
x11n−12
= x(11n−12)− (10n− 8)
x10n−8
P(x) =
− x4ny6 + 8(x3y2)6n
Como: G·R·(y) = 24
Como:12n > 3n ; ∀ n > 0
G·R·(y) = 12n = 24
à
→ n=2
Hallamos el grado relativo de “x” :
Los exponentes de “x” en la expresión dada son:
4; 4n; 18n
Reemplazando “n = 2”, obtenemos:
x11n−12−10n + 8
4; 8; 36
∴
Como: P(x)es de cuarto grado, tenemos que:
n−4=4
n=8
Sea:
15x4y3n
Sabemos que el grado relativo de “y” es el mayor exponente
de “y” en la expresión.
P(x) = xn−4
∴
12
Rpta.: D
Q(x; y) = 15x4y3n − x4ny6 + 8x18n y12n
bg
bg
2m + n = 8
Resolución
10
Reduciendo la expresión:
P x =
m=3
Reemplazando “m = 3” en: (I), tenemos que:
3+n=5 → n=2
11m
= 22
12
1
→
2m = 6
Como el grado de P(x) es 22
Rpta.: C
- 33 -
G·R·(x) = 36
Rpta.: C

34. Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
Donde: el grado de Q(x) = 6
13
bg
Luego: el grado de Q x
Reduciendo la expresión:
bg b g
∴
8
6
x 2n · x 2
bg b g
A b x g = 3bn − 1g · x
A b x g = 3bn − 1g · x
A b x g = 3bn − 1g · x
6
2n
6
17
à
2n + 4
P3(x)
grado de
= 30
Rpta.: C
Si grado de P(x) = 7
= 7 × 3 = 21
Si grado de Q(x) = 9
à
grado de Q2(x) =9 × 2 = 18
Luego: grado de H(x) = P3(x) + Q2(x) ;
Como: A(x) es de tercer grado, tenemos que:
2n + 4
=3
6
2n + 4 = 18
2n = 14 →
es el mayor grado de ambos monomios:
∴
Grado de H(x) = 21
Resolución
n=7
Luego: el coeficiente será:
Rpta.: B
18
Como: F(x) = es un polinomio lineal, será
de la forma:
3(n − 1) = 3(7 − 1) = 3·(6)
3(n − 1) = 18
5
bg
Grado de Q x
Resolución
· x4
2n + 4
6
∴
= 6× 5
6
A x = 3 n − 1 · x 2n · x8
A x = 3 n−1 ·
5
F(x) = ax + b ; a y b constantes
à
Rpta.: C
F(2) = a(2) + b = 5
2a + b = 5 ......... (I)
Resolución
P(x) =
14
à
Sea:
3axa+5
+
5axa+6
+
2axa+8
Analizando los exponentes, vemos que:
a + b = 4 ......... (II)
Restamos (I) − (II); obteniendo:
a+8>a+6>a+5
à
a + 8 = 17
a=9
Reemplazamos el valor de “a = 1” en (II);
obteniendo:
Los coeficientes de P(x) son:
3a; 5a; 2a
à
à
Si:
10a = 10(9) = 90
Resolución
15
Rpta.: E
b=3
F(x) = ax + b = 1·x + 3
F(x) = x + 3
à
F(7) = 7 + 3
∴
F(7) = 10
Rpta.: B
Sea:
P(x) = 3x90 − 27x88 + 3x2 − 4x
P(x) = 3x88(x2 − 9) + 3x2 − 4x
à
→
1+b=4
La suma de coeficientes será:
3a + 5a +2a = 10a ; pero: a = 9
U (−)
V
W
2a + b = 5
a+b=4
a=1
G·A(P) = a + 8
Por dato: G·A·(P) = 17
F(1) = a(1)+ b = 4
Resolución
N(x) = 2x − 5
à
N(3) = 2(3) − 5 = 6 − 5
P(3) = 3(3)88(32 − 9) + 3(3)2 − 4(3)
P(3) = 3(3)88(9 − 9) + 27 − 12
0
P(3) = 3(3)88(0) + 15
19
Si:
N(3) = 1
bg
Luego: R N 3 = R 1
P(3) = 15
Resolución
Q(x) =
5x6
+
Rpta.: C
16
x4
+
Si:
R(x) = 4x + 3
à
∴
R(1) = 4(1) + 3 = 4 + 3
Sea:
x2
R(1) = 7
+ 3x + 6
∴
- 34 -
bg
RN 3 =7
Rpta.: C

35. Segundo Año de Secundaria
Resolución
Analizamos los grados de cada monomio y vemos que:
20
10 + 2n > n + 5 > n + 4
Como: R(x) es un polinomio lineal, será de
la forma:
à
Por dato del problema: G·A·(P) = 16
R(x) = ax + b ; a y b constantes
à
Entonces, tenemos que:
R(−3) = a(−3) + b = 8
10 + 2n = 16
−3a + b = 8 ......... (I)
à
U
V
W
∴
(−2a)−(−3a) = −2
−2a + 3a = −2
∴
Si
b=2
F(3x − 1) = F(2)
3x − 1 = 2
Luego:
Rpta.: C
21
x=1
F(2) = 2(1)+ 3
F(2) = 5
c b g h = Pb 5 g
Luego: P F 2
3xm+1 yn−3
+
7xm+3 yn−4
−
xm+4 y2n
Si
G·R·(x) = m + 4
Por dato del problema: G·R·(x) = 10
P(x) = 4x − 1
à
P(5) = 4(5) − 1 → P(5) = 19
∴
m+4>m+3>m+1
PF 2
→
c b gh = 19
Resolución
Entonces, tenemos que:
m + 4 = 10
→
3x = 3
R(−4) = −2(−4)+2
Analizamos los exponentes de la variable “x” y vemos que:
à
Sea:
à
y
à
P(x; y) =
22
Hallamos “x” para hallar F(2):
R(x) = −2x + 2
Resolución
Rpta.: A
P(x) =4x − 1
b=2
R(−4) = 10
n = 3 en:
F(3x − 1) = 2x + 3
Reemplazando “a = -2” en (I):
−3(−2)+b = 8
Luego:
m
=2
n
Resolución
a = –2
à
∧
m 6
= =2
n 3
Restamos (II) − (I), obteniendo:
−2a + b = 6
(−)
−3a + b = 8
Las constantes serán: a = −2
n=3
Reemplazamos: m = 6
−2a + b = 6 ........ (II)
→
→
2n = 6
R(2) = a(−2)+ b 6
6+b=8
G·A·(P)= 10 + 2n
Q(x) =
m=6
23
2mxm
Rpta.: B
Sea:
+ 4mxm−1 + 6mxm−2
Analizando los exponentes de “x”, vemos que:
•
Hallamos el grado de cada monomio y el mayor grado será el grado absoluto del polinomio P(x; y)
−
Hallamos el grado del 1° monomio:
à
(m + 1) + (n − 3) = (6 + 1) + n − 3
=7+n−3
à
Grado del 1° monomio: n + 4
Q(x) = 2(5)x5 + 4(5)x5−1 + 6(5)x5−2
−
Hallamos el grado del 2° monomio
Q(x) = 10x5 + 20x4 + 30x3
à
(m + 3)+(n − 4) = (6 + 3)+(n − 4)
=9+n−4
à
m>m−1>m−2
Entonces: G·A·(Q) = m (Dato)
Pero: G.A(Q) = 5
à m=5
Reemplazando el valor de “m” en Q(x), tenemos que:
Término cúbico
∴
Grado del 2° monomio: n + 5
Rpta.: D
− Hallamos el grado de 3° monomio:
à
(m + 4) + 2n = (6 + 4) +2n
à
El coeficiente del término cúbico es 30
Grado del 3° monomio: 10 + 2n
- 35 -

36. Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
2(2) + 1= 7 − m
24
5=7−m
P(x; y) = x5m+2n+3 y2m+1 + x4m+2n+1y3m+2 +
Luego:
7x3m+2n y4m+5
*
∴
Los exponentes de “y” son:
2m + 1 ; 3m +2 ; 4m + 5
=
=4
=4
Rpta.: B
27
• Factorizando:
P(x; y) = (6 − n + 5)x3y + (m − 4)x2y3
2m + 1 = 7
→
2m = 6
Como: P(x; y) es idénticamente nulo:
m=3
Reemplazando el valor de “m” en los exponentes de “x”,
tenemos que:
5m + 2n + 3 =5(3) + 2n + 3 = 18 + 2n
à
∴
G:R (x)
Luego:
G·R·(x) + G·R·(y) = 43
(18 + 2n) + (4m + 5) = 43
18 + 2n + 4(3) + 5 = 43
18 + 2n + 12 + 5 = 43
e
e
m
m
2
n−2
m=4
2
j = e 11− 2 j
n − 2 j = 3 Rpta.: B
4
2
Resolución
28
P(x) = xa+b + 4xa − 7xb + 5
Si P(x) es ordenado y completo de grado 3
n=4
Reemplazando “m” y “n” en P(x; y); tenemos que:
à
a+b=3 à
P(x; y) = x26 y7 + x21 y11 + 7x17 y17
∴
a2
G·A·(P) = 17 + 17 = 34
Resolución
Resolución
m−4=0
∧
Reemplazando estos valores en:
3m + 2n = 3(3) + 2n = 9 + 2n
Donde: 18 + 2n > 13 + 2n > 9 + 2n
→
6−n +5=0 ∧
n = 11
4m + 2n + 1 = 4(3) + 2n + 1 = 13 + 2n
∴
→ m=2
P(x; y) = (6 − n)x3 y + mx2 y3 + 5x3y − 4x2y3
G:R (y)
menor exponente
de “y”
2n = 8
mn
22
Resolución
Donde: 2m + 1 < 3m + 2 < 4m + 5
Por dato:
mn
Rpta.: D
+
b2
=
22
+
a=2
12
=5
à
Rpta.: C
29
2Ax2 + Bx2 − Cx + B ≡ 8x2 + 5x − 4
25
(2A + B)x2 + (−C)x + B ≡ 8 x2 + 5x + (−4)
P(x; y) = 8x2n+6 − 3x2n+3 yn+2 + 5y9−n
Polinomio homogéneo es aquel en el que todos sus términos tienen el mismo grado.
à
B = –4
Como: P(x; y) es homogéneo
à
−C = 5
à
2A + B = 8
à
2n + 6 = (2n + 3)+(n + 2) = 9 − n
2n + 6 = 3n + 5 = 9 − n
•
2n +6 = 3n + 5 → n = 1
•
3n + 5 = 9 − n → n = 1
*
*
à
G·R·(y) = 8
Rpta.: B
Resolución
à
30
Rpta.: B
Si:
B(2) = (2)2 + (2) −1
B(2) = 5
bg
Luego: A B 2 = A 5
n2 + 1 = 2n +1 = 7 − m
•
A + B + C = −3
B(x)=x2 + x − 1
n2 + 1= (n + 2) + (n − 1) = 7 − m
n2 + 1 = 2n + 1
A=6
A + B + C = 6 +(−4) + (−5)
Como: Q(x; y) es homogéneo:
•
C = −5
Luego:
26
2
Q(x; y) = xn +1 + 6xn+2 yn−1 − 13y7−m
à
→
2A = 12
∴
n+2=1+2=3
9−n=9−1=8
→
2A + (−4) = 8
Los exponentes de “y” son:
Resolución
b=1
→ n=2
2n + 1 = 7 − m
- 36 -

37. Segundo Año de Secundaria
Si:
A x =
bg
x +1
2
à
A (5) =
5 +1
2
A(5) = 3
bg
AB 2 =3
∴
Rpta.: B
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
(ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS). Pág.(143, 144, 145, 146)
NIVEL I
Resolución
5
Resolución 1
Sea:
P(x; y) = 3x + y + 6
A − B = (5x2 + 6x − 2) − (−2x2 + 6x + 1)
à
2
A − B = 7x 4
12 3
4 −3
A − B = 5x2 + 6x − 2 + 2x2 − 6x − 1
3P(x; y) = 3(3x + y + 6)
2 términos
3P(x; y) = 9x + 3y + 18
∴
También: Q(x; y) = −3y + x − 9
El polinomio resultante tiene 2 términos.
Rpta.: C
Luego:
3P(x; y) + Q(x; y) = 9x + 3y + 18+ (−3y + x − 9)
∴
3P(x; y) + Q(x; y) = 10x + 9
Resolución
2
Hallamos: (B + C − A)
Resolución
6
64 744
4B
8
= 9x + 3y + 18 − 3y + x − 9
64 744
4C
8
e
Rpta.: C
64 744
4A 8
2
2 x − 4 x + 1 + −2 x − x − 3 − x + 3 x − 4 =
2
2
j e
j
= 2x2 − 4x + 1 − 2x − x2 − 3 − x2 − 3x + 4 =
Si:
= −9x + 2
2P(x; y) = 10x + 6y − 6
64 744
4B
8
2P(x; y) = 2(5x + 3y − 3)
à
7
64 744
4A 8
à
Rpta: D
Resolución
P(x; y) = 5x + 3y − 3
(
Si Q(x; y) = 2y − 2x + 5
à
5Q(x; y) = 5(2y − 2x + 5)
à
5Q(x; y) = 10y − 10x + 25
Hallamos: “A − B + C”
64 744
4C
8
2
4x − 2x + 1 − x − 3x + 6 + x − 3x 3 + 4 =
3
) (
3
2
) (
)
= 4x3 − 2x + 1 − x3 + 3x2 − 6 + x2 − 3x3 + 4=
= 4x2 − 2x − 1
Luego:
2P(x; y) + 5Q(x; y) = (10x + 6y − 6)+(10y −10x + 25)
Resolución
= 10x + 6y − 6 + 10y − 10x + 25
∴
j e
*
à
2P(x; y) + 5Q(x; y) = 16y + 19 Rpta.: C
Rpta.: C
8
Sea “L” el lado del cuadrado
Perímetro del cuadrado = 4L
Como: L = 3x + 2
Resolución
3
P(x) − Q(x) =
(5x2
à
− 3x +1) −
(x2
− 3)
Perímetro del cuadrado = 12x + 8
= 5x2 − 3x + 1 − x2 + 3
= 4x2 − 3x + 4
Resolución
Perímetro del cuadrado = 4(3x + 2)
*
à
Rpta.: E
Sean “a” y “b” los lados del rectángulo
Perímetro del rectágulo = 2(a + b)
Como: a = 4x − 1 ∧ b = 5x + 2
4
à
P + Q = (4x3 + 2x2 − x + 5) + (–3x2 + 2x +3)
Perímetro del rectángulo:
= 2[(4x − 1) + (5x + 2)]
P + Q = 4x3 + 2x2 − x + 5 − 3x2 + 2x + 3
=2[4x − 1 + 5x + 2]
3
2
P + Q = 4 x442443
1 −x +x+8
= 2[9x + 1]
4 términ os
Perímetro del rectángulo = 18x + 2
∴
El polinomio resultante tiene 4 términos
Rpta.: B
- 37 -

38. Manuel Coveñas Naquiche
à
Perímetro del + perímetro del
cuadrado
rectángulo
= (12x + 8)+(18x + 2)
Perímetro del hexágono = 6a
como: a = 2x + 1
à
Luego:
Perímetro del rectángulo = 6(2x + 1)
Perímetro del
rectángulo
= 30x + 10
*
à
Sea “L” el lado del cuadrado
Perímetro del cuadrado = 4(3x − 1)
9
Sea “L” el lado de cuadrado:
Perímetro del cuadrado = 4L
Como: L = 3x − 1
Perímetro del
cuadrado
Perímetro del cuadrado = 4L
= 12x − 4
Luego:
Como: L = 7x + 1
à
*
à
à
Rpta.. D
Resolución
= 12x + 6
Perímetro del cuadrado = 4 (7x + 1)
Perímetro del
hexágono
− Perímetro del = (12x + 6)− (12x − 4)
cuadrado
= 12x + 6 − 12x + 4
= 10
Perímetro del cuadrado = 28x + 4
*
Sea el triángulo isósceles:
∴
Excede: en 10 Rpta.: E
Resolución
13
*
à
à
Perímetro del
triángulo
= (10x − 3)+(10x−3)+(7x + 1)
Perímetro del
triángulo
Si el pentágono es regular, entonces sus cinco lados
son iguales.
Si el lado del pentágono es “L”
Perímetro del pentágono = 5L
como: L = 4x + 3
à
Perímetro del pentágono = 5(4x + 3)
Perímetro del
pentágono = 20x + 15
= 27x − 5
*
à
Luego:
Perímetro del
cuadrado
+
perímetro del
triángulo
Sean “a” y “b” los lados del rectángulo
à
Perímetro del = 2((7x + 4)+(3x + 1)
rectángulo
= 2(10x + 5)
= (28x + 4)+(27x − 5)
= 55x −1
Rpta.: D
Resolución
Perímetro del rectángulo = 2(a + b)
como: a = 7x + 4 ∧ b = 3x + 1
Perímetro del
rectángulo = 20x + 10
10
Sea “M” la expresión buscada:
(5x2 − 3x +6) + M = 8x2 + 5x − 3
Luego:
+ 5x − 3 −
− 3x + 6)
M=
2 + 5x − 3 − 5x2 + 3x − 6
M = 8x
à
Perímetro del Perímetro del
pentágono − cuadrado
8x2
∴
(5x2
M = 3x2 + 8x − 9
Resolución
(16x3 − 4x2 − 9) − N = 12x3 + 6x − 8
(16x3 − 4x2 − 9) − (12x3 + 6x − 8) = N
16x3 − 4x2 − 9 − 12x3 − 6x + 8 = N
∴
N = 4x3 − 4x2 − 6x − 1
Resolución
*
=5
∴
Sea “N” la expresión buscada:
à
= 20x + 15 − 20x − 10
Rpta.: C
11
Rpta.: E
12
Si el hexágono es regular, entonces
sus 6 lados son iguales.
= (20x + 15)−(20x + 10)
Excede en 5
Resolución
Rpta.: D
14
R = −3x2−{5y +[−3x2 + {y − (6 + x2)} − (−x2 + y)]}
R = −3x2 −{5y +[−3x2+{y − 6 − x2} +x2 − y]}
R = −3x2 −{5y +[−3x2 + y − 6 − x2 + x2 − y]}
R = −3x2 −{5y − 3x2 − 6}
R = −3x2 − 5y + 3x2 + 6
∴
Si el lado del hexágono es “a”
- 38 -
R = 6 − 5y
Rpta.: B

39. Segundo Año de Secundaria
Resolución
15
NIVEL II
b
g
E = x − 3x + 2 − x + 1 + 2
Resolución
E = x − 3x − 2x + 2 + 2
E = x − 3x + 2x − 2 − 2
∴
E = −4
P(x; y) =
à
Rpta.: E
Resolución
1
16
2 P(x; y) = 2 (2x2 − 2x + 3y2 − 3)
Además: Q(x; y) = 4x − 4x2 − 3y2 + 6
{
}
l
q
P = x + −2 x + y + x − y + z + x − z
Luego:
2 P(x; y) + Q(x; y) = (4x2 − 4x + 6y2 − 6) +
(4x − 4x2 − 3y2 + 6)
P=x+z−z
P=x
(Ax2
2 P(x; y) + Q(x; y) = 4x2 − 4x + 6y2 − 6 + 4x −
Rpta.: C
Resolución
+ 5x +
4x2 − 3y2 + 6
17
8)+(3x2 +
Bx −
6)=5x2
∴
(A +
+ (5 + B)x + 2 = 5
Luego:
A+3=5
5+B=7 →
x2
→
Resolución
+7x+2
B=2
Sea:
Si:
B(x; y) = 4xy2 + 2x2y +xy + 5
2B(x; y) = 2(4xy2 + 2x2y + xy + 5)
2B(x; y) = 8xy2 + 4x2y + 2xy + 10
Luego:
18
(Mx3 + 5x2 +2x + 4) − (6x3 +Nx2 + 5x + 3)
2x3
Mx3
+
+3x2
5x2
− 3x + 1
+2x + 4 −
6x3
−
Nx2
− 5x − 3
= 2x3 + 3x2 − 3x + 1
(M – 6)x3 + (5 − N)x2 − 3x + 1 = 2 x3 + 3 x2 − 3x + 1
Luego:
M−6=2 → M=8
Entonces: M − N = 8 − 2
M−N=6
Resolución
A(x; y) − 2B(x; y) = (8xy2 + 6x2y − 3xy + 8)
−(8xy2 + 4x2y + 2xy + 10)
A(x; y) − 2B(x; y) = 8xy2 + 6x2y − 3xy + 8 −8xy2
−4x2y − 2xy − 10
∴
A(x; y)− 2B(x; y) = 2x2y − 5xy − 2
Resolución
Rpta.: B
3
P(x) − Q(x) = (4x3 + 2x2 + x + 3) − (5x2 − 4x − 4)
5−N=3 → N=2
∴
2
à
A=2
A + B = 4Rpta.: D
Resolución
=
Rpta.: C
A(x; y) = 8xy2 + 6x2y − 3xy + 8
Entonces: A + B = 2 + 2
∴
2 P(x; y) + Q(x; y) = 3y2
+ 7x + 2
Ax2 + 5x + 8 + 3x2 + Bx − 6 = 5x2 + 7x + 2
3)x2
− 2x + 3y2 − 3
2 P(x; y) = 4x2 − 4x + 6y2 − 6
P = x + ( −2x + y ) − −x + y − z + x − z
∴
Si:
2x2
P(x) − Q(x) = 4x3 + 2x2 + x + 3 − 5x2 + 4x + 4
Rpta.: B
∴
P(x) − Q(x) = 4x3 − 3x2 + 5x + 7
19
Rpta.: B
P + Q − R = (x2 + x − 3)+(2x2 − 2x + 1)−(3x2 − 4x + 5)
P + Q − R = x2 + x − 3 + 2x2 − 2x + 1 − 3x2 + 4x − 5
Resolución
∴
P + Q = (3x3 + 4x2 + 2) + (21x2 + 4x + 1)
P + Q − R = 3x − 7
Resolución
Rpta.: B
P + Q = 3x3 + 25x2 + 4x + 3
20
(A − C)−B = ((5x2 − x + 4) − (2x2 + 5x + 3))
−(3x2 − 4x + 1)
(A − C) −B = (5x2 − x + 4 − 2x2 − 5x − 3)
−3x2 + 4x − 1
Término de
mayor grado
(A − C) − B = − 2x
Término de
menor grado
Luego:
F Coeficiente delI F Coeficiente delI
términ de
términ de
GH mayorogrado JK − GH menorogrado JK = 3 − 3
=0
(A − C)− B = 3x2 − 6x + 1 − 3x2 + 4x − 1
∴
4
Rpta.: C
Rpta.: B
- 39 -

40. Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
5
A − B = (5x4 − 3x3 + 5x + 1) − (7x4 + 2x2 − 6)
A − B = 5x4 − 3x3 + 5x + 1 − 7x4 − 2x2 + 6
A − B = −2x4 − 3x3 − 2x2 + 5x + 7
Término de
mayor grado
Término de
menor grado
Vemos que:
Luego:
DC = AB = 4x + 1
F Coeficiente delI F Coeficiente delI
términ de
términ de
GH mayorogrado JK + GH menorogrado JK = (−2) + 7
QN = PM = 3x + 2
BC = AP + MN + QD = 6x + 4
=5
Luego:
Rpta.: C
Resolución
P+Q=
6
(5x3
+
2x2
AB + AP + PM + MN + QN + QD + DC + BC
− x + 6) +
(–2x2
= AB + DC + AP + MN + QD + PM + QN + BC
14 244
4
3
+ x + 3)
P + Q = 5x3 + 2x2 − x + 6 – 2x2 + x + 3
P+Q=
∴
5x3
+9
= AB + AB +
= 2AB
Polinomio de 2 términos
Rpta.: C
7
− (5x3 + x + 2x2 + 8)
+ PM + PM + BC
+ 2PM
= 2 (13x + 7) = 26x + 14
Perímetro = 26x + 14 Rpta.: C
Resolución
10
Sea la figura:
A − B = 6x4 + 5x3 + 2x2 + x − 8 − 5x3 − x − 2x2 − 8
∴
BC
2BC
= 2((4x + 1)+ (6x + 4) + (3x + 2))
∴
A − B = (6x4 + 5x3 + 2x2 + x − 8)
A − B = 6x4 − 16
+
=2(AB + BC + PM)
El polinomio resultante tiene 2 términos
Resolución
El perímetro de la figura será:
Polinomio de 2 términos
El polinomio resultante tiene 2 términos
Rpta.: C
Resolución
8
Diferencia = (4x3 + 3x − 6) − (5x3 − 2x2 + 4x − 4)
Diferencia = 4x3 + 3x − 6 − 5x3 + 2x2 − 4x + 4
Diferencia = − x3 + 2x2 − x − 2
BC = BF + m → BF = BC − m
Sea “M” la expresión pedida:
à
Vemos que:
CD = ED + n → ED = CD − n
M + diferencia = 2x2 + x - 2
También: AB = CD
M=
(2x2
+ x − 2) − diferencia
M=
(2x2
+ x − 2) −
M=
2x2
M=
x3
+x−2+
(−x3
x3
−
+
2x2 +
BC = AD
− x − 2)
FG = n
GE = m
x+2
Luego, perímetro del rectángulo ABCD es:
+ 2x
M = x(x2 + 2)
2x2
AB + BC + CD + AD = 32 x
Rpta.: B
CD + BC + CD + BC = 32x
Resolución
9
2BC + 2CD = 32x
2(BC + CD) = 32x
De la figura:
BC + CD = 16x
à
- 40 -
AD + AB = 16x

41. Segundo Año de Secundaria
Luego:
Resolución
El perímetro de la región coloreada es:
Tenemos que:
14
AD4 43 BF + FG + GE + ED =
1 + AB +
42 4
[(6x2 + 11x − 35) + (3x2 − 6x)]
=
16x + (BC − m) + n + m + (CD − n) =
−(9x2 + 3x − 29) = mx + n
=
16x + BC − m + n + m + CD − n =
[6x2 + 11x − 35 + 3x2 − 6x] − 9x2 − 3x + 29 = mx + n
=
16x + BC 24
1 + CD
4 3
=
16x + 16x
9x2 + 5x − 35 − 9x2 − 3x + 29 = mx + n
2x−6=mx+n
=
32x
Rpta.: B
Entonces: m = 2
11
Luego: m + n = 2+ (−6)
Resolución
R = −[−(−x)]−[+(−x)] + {−(−y+z) − [+(−z)]}
R = −[x] − [−x] + {y − z − [−z]}
R = −x + x + {y − z + z }
∴
R=y
Resolución
∴
∧
m+n=−4
Resolución
n = −6
Rpta.: B
15
Sea la figura:
Rpta.: D
12
Q = −[−3x + (−x − {2y−3})]
+{−(2x + y) + (−x −3)+2−(x + y)}
Q = −[−3x + (− x − 2y + 3)]
+{−2x − y − x − 3 + 2 −x − y}
Q = −[−3x − x − 2y + 3] + {−4x − 2y − 1}
Q = 3x + x + 2y − 3 − 4x − 2y − 1
Vemos que:
Q = 4x + 2y − 3 − 4x − 2y − 1
El perímetro del cuadrado ABCD es:
∴
4(4a) = 16x
Q = − 4 Rpta.. D
Resolución
(Ax2
−xy +
13
y2)
Tenemos que:
a=x
El perímetro de la región coloreada es:
Perímetro de
=2(a + 4a)
región coloreada
+ (2x2 + Bxy − 3y2)
− (3x2 − xy − Cy2)
=2(5a) = 10a
= 3x2 + 2xy + y2
como: a = x
Ax2 −xy + y2 + 2x2 + Bxy − 3y2 − 3x2 + xy + Cy2
= 3x2 + 2xy + y2
∴
Perímetro de
= 10x
región coloreada
Rpta.: C
Ax2 − x2 + Bxy − 2y2 + Cy2 = 3x2 + 2xy + y2
(A − 1)x2 + Bxy + (C − 2)y2 = 3x2 + 2xy + y2
Resolución
16
De la figura, podemos observar que:
Luego:
A−1=3 →
A=4
B=2
C−2
→
CD = HG + GF + FN
Como: HG = GF = FN
à
C=3
3x = 3HG
Entonces:
A+B+C=4+2+3=9
CD = 3HG
→
HG = x
FN = x
Rpta.: C
Luego:
AD = BC = 4x + 3
Si: BC = BH + HC
Como: BH = HC = FE
- 41 -

42. Manuel Coveñas Naquiche
à
BC = 2BH
b
g
E = −5 x − 5 y − 2 x − y + 2 2 y − 2 x − 2 + 2 x
4x + 3 = 2BH
BH =
à
FE =
E = −5 x − 5 y − 2 x − y + 4 y − 4 x − 4 + 2 x
4x + 3
2
4x + 3
2
E = −5x − 5y − 2x + y − 4y + 4x + 4 + 2x
∴
Perímetro de la
= Perímetro del + Perímetro del
región coloreada rectángulo MBHG rectángulo NFED
Si:
F F 4 x + 3 IJ IJ
= 2G x + G
H H 2 KK
F 2x + b 4 x + 3g I
= 2G
H 2 JK
Perímetro del
rectángulo MBHG
à
Perímetro del
rectángulo MBHG
à
= 6x + 3
Luego:
Perímetro de la
región coloreada
Perímetro de la
región coloreada
à
Si: A + B = C
a+6=9
→
b−3=2
c+5=7
Entonces:
→ b=5
→ c=2
a + b + c = 10
Resolución
= (6x + 3)+(6x + 3)
A=
x3 y 3
a=3
−
−2x3y3
Rpta.: C
21
x2 y 2
+
Hallamos: A + B + C
3x3
+ y3
B=
+
+ x 3 − y3
C = x3y3 − x2y2 + 4x3
= 6(2x + 1) Rpta.: D
∴
17
2x2y2
A + B + C = 8x3
Resolución
Resolución
20
(ax2 + bx + c) + (6x2 − 3x + 5) = 9x2 + 2x + 7
(a + 6)x2 + (b − 3)x + (c + 5)= 9x2 + 2x + 7
∴
Perímetro de la
región coloreada = 12x + 6
∴
Resolución
Rpta.: A
Luego: a + b + c = 3 + 5 + 2
= 6x + 3
Perímetro del
rectángulo NFED
E = −x − 8y + 4
U
|
V
|
W
(+)
Rpta.: D
22
Sea la diferencia igual a “D”
à D = (4x3 − 11x + 2) − (2x3 − x − 9)
(A + B)−2C = ((3x2 + 6x3 +2x − 5) +
(x2 − 4x3 + 5x − 7)) −2(x3 − x2 + 3x − 6)
D = 4x3 − 11x + 2 − 2x3 + x + 9
(A + B)−2C= (3x2 + 6x3 +2x − 5 + x2 − 4x3 + 5x − 7)
D = 2x3 − 10x + 11
Sea “S” la cantidad que se debe sumar:
−2x3 + 2x2 − 6x + 12
(A + B)−2C = 2x3 + 4x2 + 7x − 12 − 2x3 + 2x2
− 6x + 12
∴
(A + B)−2C = 6x2 + x
Resolución
∴
(2P − R)+ Q = (2x 4 + 6x2 + 10x − 2x4 − x2
− x3 + 3x − 2) + x3 − 13x + 2
(2P − R)+Q = −x3 + 5x2 + 13x − 2 + x3 − 13x + 2
b
Rpta.: C
= −4x3y2 − 7x2y3 + 2x2y2 + 2x2y3 − 5y2x3 − 6x2y2
+5x2y2 + 5x2y3 + 9x3y2 =
A + B − C = x2y2
Luego:
e
j
b
Hallamos “A + B − C” :
−(−5x2y2 − 5x2y3 − 9x3y2) =
à
19
23
Rpta.: B
(−4x3y2 − 7x2y3 + 2x2y2) + (2x2y3 − 5y2x3 − 6x2y2)
E = −5 x + y − 2 x − y + 2 − x + y − 3 − x − y − 1 + 2 x
g
S = 11x − 16
Resolución
−(2x4 + x2 + x3 − 3x + 2)) + (x3 − 13x + 2)
Resolución
S = 2x3 + x − 5 − (2x3 − 10x + 11)
S = 2x3 + x − 5 − 2x3 + 10x − 11
18
(2P − R)+ Q = 5x2
D + S = 2x3 + x − 5
(2x3 − 10x + 11) + S = 2x3 + x − 5
Rpta.: D
(2P − R)+Q = (2(x4 + 3x2 +5x)
∴
à
g
E = −5 x − 5 y − 2 x − y + 2 − x + y − 3 − x + y + 1 + 2 x
- 42 -
A + B − C = x2y2 = xy Rpta.: D

43. Segundo Año de Secundaria
Resolución
24
Resolución
+
P+Q+R= 9
x2
+ 6
y2
−
y2 +
B = −4x2y + 2xy2 + 16xy
xy)
C = x2y − 5xy2 + 4xy
+ 10 xy
Luego:
∴
U
| (+)
V
|
W
A + B + C = 3 x2y + 8 xy
Coeficientes
Suma de
coeficientes
Hallamos: A + B + C
A = 6x2y + 3xy2 − 12xy
P + Q + R = (3x2 + 5y2 + 8xy) + (2y2 + 5x2 + xy)
(x2
25
Coeficientes
Luego: Suma de
=3+8
coeficientes
= 9 + 6 + 10
Suma de coeficientes = 25 Rpta.. B
∴
Suma de coeficientes = 11 Rpta.: B
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
(MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Y PRODUCTOS NOTABLES). Pág.(168, 169, 170, 171)
NIVEL I
Resolución
1
Resolución
4
Sea:
=2(6x2 + 4x + 9x + 6)−(12x2 + 9x + 16x + 12)
M = (x + y + xy)(x − y)−x2y + y2(x + 1)
M = ((x + y)+ xy)(x−y)−x2y + xy2 + y2
= 12x2 + 8x + 18x + 12 − 12x2 − 9x − 16x − 12
= 26x − 25x
M = (x + y)(x − y)+ xy(x − y)−x2y + xy2 + y2
2(3x + 2)(2x + 3)−(3x + 4)(4x + 3)=
=x
Rpta.: D
Resolución
Aplicamos:
2
A =(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)
A = ((x2 + 1)+ x)((x2 + 1)− x)
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Aplicamos:
Obteniendo: A = (x2 + 1)2 - x2
A = ((x2)2 + 2(x2)(1)+ 12)− x2
A = (x4 + 2x2 + 1) − x2
∴
A = x4 + x2 + 1
Resolución
3
B = x2 − (3x + 1)(3x + 2)+2(2x + 1)2
Aplicamos:
b)2
=
a2
+ 2a·b +
b2
B = x2− ((3x)2 + (1 + 2)3x + 1·2)
Resolución
((2x)2
5
* Hallamos “A” :
A = (2x)(3x) + (2x)(2) + (−1)(3x) + (−1)(2)
A = 6x2 + x − 2
* Hallamos “B” :
B = (4x + 3)(x − 2)
B = (4x)(x) + (4x)(−2) + (3)(x) + (3)(−2)
Luego:
(A + B)· A = ((6x2 + x − 2)+(4x2 − 5x − 6))(6x2 + x − 2)
+ 2(2x)(1) +
(A + B)·A = (10x2)(6x2) + (10x2)(x) + (10x2)(−2)
+(–4x)(6x2) + (−4x)(x) + (−4x)(−2)
+(−8)(6x2) + (−8)(x) + (−8)(−2)
12)
B = x2 − 9x2 − 9x − 2 + 8x2 + 8x + 2
B = −x
Rpta.: C
A = (2x − 1)(3x + 2)
B = x2 − (9x2 + 9x + 2) + 2(4x2 + 4x + 1)
∴
M = x2
(A + B)·A = (10x2 − 4x − 8)(6x2 + x − 2)
Obteniendo:
+2
∴
B = 4x2 − 5x − 6
(x + a)(x + b)=x2+(a + b)x + a·b
(a +
Obteniendo:
M = x2 − y2 + x2y − xy2 − x2y + xy2 + y2
Rpta.: C
Sea:
(a + b)(a − b)= a2 − b2
(A + B)·A = 60x4 + 10x3 − 20x2 − 24x3
−4x2 + 8x − 48x2 − 8x + 16
Rpta.: B
∴
- 43 -
(A + B)·A = 60x4 − 14x3 − 72x2 + 16
Rpta.: C

44. Manuel Coveñas Naquiche
Resolución
6
Luego:
* Hallamos: “P” :
FH Mayor IK − FH Menor IK
coeficiente
coeficiente
P = ( x + 6)(2x − 3)
P = (x)(2x) + (x)(−3) + (6)(2x) + (6)(−3)
= 15 − (−13)
= 15 + 13 = 28
P = 2x2 + 9x − 18
Rpta.: D
Hallamos “Q” :
*
Q = (3x − 1)(x + 4)
Resolución
Q = (3x)(x) + (3x)(4) + (−1)(x) + (−1)(4)
((2x + 7)(3x − 5)+ 3x(x − 2)) − (9x2 + 3x − 29) = mx + n
Q = 3x2 + 11x − 4
− 9x2 − 3x + 29 = mx + n
(6x2 + 11x − 35 + 3x2 − 6x)−9x2 − 3x + 29
R = x2 + (−2 + 8)x + (−2)(8)
= mx + n
R = x2 + 6x − 16
9x2 + 5x − 35 − 9x2 − 3x + 29 = mx + n
Luego:
2x + (−6) = mx + n
P + (Q − R) = (2x2 + 9x − 18) + ((3x2 + 11x − 4)
Comparando términos, tenemos que:
− (x2 + 6x − 16))
•
•
P + (Q − R) = 2x2 + 9x − 18 + (3x2 + 11x − 4
− x2 − 6x + 16)
∴
P+(Q − R) = 4x2 + 14x − 6
Rpta.: B
N=5
x4
+
+ 14
4x3
+
+ 11
x2
+
x3
8x2
3x2
+
+ 6x
−
P=
P=
(6x4)(x2)
8
3x3
+
+
+(8x2 + 25x − 16) = ax2 + bx
[(3x2 − 10x − 8) − (2x2 + 8x − 24)] + 8x2 + 25x − 16 = ax2 +
bx
x2 − 18x + 16 + 8x2 + 25x − 16 = ax2 + bx
9x2 + 7x = ax2 + bx
Sea:
2x2
− 12x + 2x − 8) − (2x2 + 12x − 4x − 24)]
[x2 − 18x + 16] + 8x2 + 25x − 16 = ax2 + bx
Suma de coeficientes = 36 Rpta.: C
(6x4
10
[3x2 − 10x − 8 − 2x2 − 8x + 24] + 8x2 + 25x − 16
=ax2 + bx
+6x
Coeficientes
Resolución
Rpta.: B
= ax2 +bx
Suma de coeficientes = 5 + 14 + 11 + 6
∴
Resolución
[(3x2
N = (5x3)(x) + (5x3)(2) + (4x2)(x) + (4x2)(2)+ (3x)(x) + (3x)(2)
N=
m + n = 2 + (−6)
m + n =−4
[(3x + 2)(x − 4) − (2x − 4)(x + 6)]+(8x2 + 25x − 16)
N = 5x3·(x + 2) + 4x2·(x + 2) + 3x·(x + 2)
10x3
m=2
Del enunciado, tenemos que:
7
N = (5x3 + 4x2 + 3x)(x + 2)
5x4
2x = mx →
n = −6
Luego:
P +(Q − R) = 2x2 + 9x − 18 + 2x2 + 5x + 12
Resolución
Del enunciado:
((2x)(3x) + (2x)(−5) + (7)(3x) + (7)(−5) + 3x2 − 6x)
* Hallamos “R” :
R = (x − 2)(x + 8)
∴
9
Por comparación de términos, tenemos que:
5x)(x2
+ 3x − 1)
•
9x2 = ax2
→
a=9
+(−3x3)(x2) + (−3x3)(3x)+(−3x3)(−1)
•
7x = bx
→ b=7
Luego: a + b = 9 + 7
+(2x2)(x2) + (2x2)(3x) + (2x2)(−1) + (5x)(x2)
∴
+
(6x4)(3x)
+
(6x4)(−1)
a + b = 16
Rpta.: C
+ (5x)(3x) + (5x)(−1)
P = 6x6 + 18x5 − 6x4 − 3x5 − 9x4 + 3x3 + 2x4 + 6x3 − 2x2 +
5x3 + 15x2 − 5x
Resolución
Menor coeficiente
Mayor coeficiente
Sabemos que:
Área del cuadrado = (Lado)2
P = 6x6 + 15x5 − 13x4 + 14x3 + 13x2 − 5x
P = 6x6 + 15 x5 + (−13) x4 + 14x3 + 13x2 − 5x
11
Área del rectángulo = (Lado mayor) × (Lado menor)
De la figura:
•
Área del cuadrado = (3x + 2)2
Área del cuadrado = ((3x)2 + 2(3x)(2) + (2)2)
- 44 -

45. Segundo Año de Secundaria
Área del cuadrado = 9x2 + 12x + 4
•
Área del rectángulo = (3x + 6)(3x − 2)
Resolución
P = (x +
1)2
13
− (x + 2)2 − (x + 3)2 + (x + 4)2
Área del rectángulo = ((3x)2 + (6 − 2)(3x)
+ (6)(−2))
P = (x2 + 2x + 1) − (x2 + 4x + 4) − (x2 + 6x + 9)
+ (x2 + 8x + 16)
Área del rectángulo = 9x2 + 12x − 12
P = x2 + 2x + 1 − x2 − 4x − 4 − x2 − 6x − 9
+ x2 + 8x + 16
Luego:
P = 10x − 10x + 4
FG Área del IJ − FG Área del IJ = (9x2 + 12x + 4)
H cuadradoK H rectánguloK
−(9x2 + 12x − 12)
= 9x2 + 12x + 4
−9x2 − 12x + 12
= 16
Resolución
12
Rpta.: E
∴
P=4
Resolución
FH Lado IK FH Lado IK
Área del rectángulo = mayor × menor
b
g b
Áreadel triángulo = cateto × cateto
rectángulo
2
14
Q = 2b 2 + 2 ab +
Aplicamos:
Sabemos que:
Rpta.: B
+ b2
2
j − b2abg
2
(m − n)2 = m2 + n2 − 2mn
Q = 2b2 + 2 ab +
ea + b + 2ab je a
ba + b g2 ba − b g2
ba + b gba − b g
2
Q = 2b 2 + 2 ab +
Área del
rectángulo (x + 2)(8x + 10)
Q = 2b 2 + 2 ab +
Q = 2b 2 + 2 ab +
2
2
+ b2 − 2 ab
j
2
a2 − b2
2
Q = 2b2 + 2ab + (a2 − b2)
Área del
2
rectángulo = 8x + 26x + 20
b
2
Obteniendo:
g
Área del
2
rectángulo = 8x + 10x + 16x + 20
•
ea
m2 – n2 = (m + n)(m − n)
(m + n)2 = m2 + n2 + 2mn
De las figuras, tenemos que:
•
Sea:
Q = 2b2 + 2ab + a2 − b2
Q = a2 + 2ab + b2
gb
Área del triángulo = 4 x + 3 2 x + 5
rectángulo
2
g
∴
Resolución
2
Área del triángulo = 8 x + 26 x + 15
rectángulo
2
Rpta.: B
15
E = (x + 1)(x − 1)(x2 + 1) + 1
2
Área del triángulo = 8x + 20x + 6x + 15
rectángulo
2
Q = (a + b)2
Aplicamos:
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Obteniendo:
E = (x2 − 12)(x2 + 1) + 1
E = (x2 − 1)(x2 + 1) + 1
Luego:
FG Áreadel IJ −2FG Áreadel IJ =(8x2 + 26x + 20)
triángulo
H rectánguloK GH rectánguloJK
−2
F 8x
GH
2
+ 26 x + 15
2
I
JK
= 8x2 + 26x + 20
−8x2
= 5
E = ((x2)2 − (1)2) + 1
E = (x4 − 1) + 1= x4 − 1 + 1
∴
E = x4
Resolución
Rpta.: D
16
Aplicamos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3b2a + b3
à
A = (z + 1)3
A = z3 + 3·z2·(1) + 3·z·(1)2 + (1)3
A = z3 + 3z2 + 3z + 1
− 26x − 15
Rpta.: C
Aplicamos: (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
à B = (z − 1)3
- 45 -

46. Manuel Coveñas Naquiche
B = z3 − 3(z)2·(1) + 3(z)·(1)2 − (1)3
B=
−
z3
3z2
→
E=4 6
+ 3z − 1
Luego:
B − A =(z3 − 3z2 + 3z − 1)− (z3 + 3z2 + 3z + 1)
∴
B − A = z3 − 3z2 + 3z − 1− z3 − 3z2 − 3z − 1
Resolución
∴
B−A=
−6z2
−2
e
E2 = 96
(a +
Rpta.: D
E2 = 4 6
b)2
17
21
=
a2
Sabemos que:
+ 2a·b + b2
(a − b)3 = a3 − b3 − 3a·b(a − b)
Obteniendo:
a·b = 4
∧
à
Aplicamos:
2
Rpta.: E
Si
Resolución
j
(3)2
+ 2(4) + b2
=
a2
a+b=3
9 = a2 + 8 + b2
(x − 1)3 − x3 + 1 =(x3 − 13 − 3(x)(1)(x − 1) − x3 + 1)
=x3 − 1 − 3x(x − 1) − x3 + 1
∴
a 2 + b2 = 1
Resolución
= −3x(x − 1)
Rpta.: B
22
Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
=−3x[−(1−x)]
= 3x(1 − x)
Resolución
a2
−
18
b2
2
Rpta.: D
à
Aplicamos:
2
∴
a2
+ ab
Resolución
à
19
E=
2
2
Pero: x−1 + y−1 = a
2
b g b g
b gb g
a a+b · a−b
a +b a −b
2
2
= (a + b)(a − b)
Simplificando, obtenemos:
E=
FG 1 + 1 IJ = FG 1 IJ + 2FG 1 IJ FG 1 IJ + FG 1 IJ
H x yK H xK H xKH yK H yK
FG 1 + 1 IJ = 1 + 2 + 1 ......... (I)
H x y K x xy y
E = a(a + b)
à
Rpta.: E
1 1
+ =a
x y
También: x·y = b
Sea:
Reemplazando estos valores en (I), tenemos:
3
3
A = 3− x + 3
je 3 − x j
3 − x je x + 3 j
A = 3 − −ex − 3 j ex + 3 j
A = 3 + e x − 3 je x + 3 j
e
A = 3−e
3
2
e a j = x1 + b + y1
2
2
3
3
a2 −
3
3
a 2b − 2 y 2 + x 2
=
2
b
x· y
F
I
A = 3 + G ex j − e 3 j J
H
K
3 2
à
2
b g
Rpta.: E
a 2b − 2 y 2 + x 2
=
2
b
b
20
a 2b − 2 =
A = 3 + (x6 − 3)
∴
A = x6
Resolución
bg
Aplicamos:
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
E=
à
E=
E=
e
e
2
1
1
=
+
b x2 y 2
a 2b − 2 y 2 + x 2
= 2 2
b
x ·y
3
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Aplicamos:
2
3+ 2
3+ 2 +
je
2
j −e
3− 2
3+ 2+ 3− 2
je
x2 + y2
b
x2 + y2 = b(a2b − 2)
3− 2
2
∴
j
3+ 2 −
je
3− 2
j
x2 + y2 = a2b2 − 2b
Resolución
3+ 2− 3+ 2
M=
E= 2 3 2 2
- 46 -
23
F 3 − 13 I
GH 2 JK
Rpta.: B
Sea:
2
−3
LM 3 − 13 OP − 1
NM 2 QP

47. Segundo Año de Secundaria
(3 −
M=
e3 −
M=
M=
)
2
−
4
2
j
13
(
3 3 − 13
2
Resolución
) −1
e3 −
j
2
j
2
13
2
j
F a + b · a − b IF a −bI +b
H
KH
K
F
I
Q = G e a + b je a − b j J F a − b I + b
K
H
KH
I
F
Q = G a −e bj JF a −bI +b
K
KH
H
Q = F a −bIF a −bI +b
H
KH
K
Q = F a −bI +b
H
K
Q=
− 18 + 6 13 − 4
2
13 − 22
4
Resolución
13 + 13 + 6 13 − 22
j
∴
Rpta.: B
27
Sabemos que:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
Si a + b = 3
∧
à
(3)(a2
a3
+
b3
=
ab = 3
− 3 + b2 )
a3 + b3 = 3(a2 + b2 − 3) ..... (I)
Aplicamos:
a2 + b2
Hallamos:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
à
Q = a2
Resolución
Rpta.: A
24
2
Q = a2 − b + b
4
M=0
2
2
22 − 6 13 + 6 13 − 22
M=
4
∴
2
2
(a − b)2 = a2 − 2a·b + b2
b ge 13 j + e 13 j IJK + 6
2
2
+ 6 13 − 22
−2 3
2
2
4
e9 − 6
A·B
Sea:
4
Aplicamos:
FG 3
H
àM=
13
Sabemos que:
Luego, aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2
− 6 3 − 13 − 4
e
26
A· B=
4
e3 −
M=
M=
13
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Sabemos que:
P = (m − 3n)2 − 4n(2n − m) + 8
Si
P = m2 − 6mn + 9n2 − 8n2 + 4mn + 8
(3)2
∧
a + b= 3
à
P = (m2 − 2(m)(3n)+(3n)2)−8n2 +4mn + 8
=
a2
a·b = 3
+ 2(3) + b2
P = 1442443 + 8
m2 + n2 − 2mn
9 = a2 + b2 + 6
P = (m − n)2 + 8
a2 + b2 = 3 ..... (II)
Pero: m − n = 8
à
∴
P = 72
Reemplazamos (II) en (I), obteniendo:
P = (8)2 + 8 = 64 + 8
Resolución
a3 + b3 = 3(3 − 3) = 3(0)
∴
Rpta.. C
a 3 + b3 = 0
Resolución
25
28
Rpta.: A
Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
A) (a + b)2 = (a + b)(a + b) ........ (Verdadero)
B) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) ...(Verdadero)
à
C) a2 + b2 = (a + b)(a + b)
FG n + 1 IJ
H nK
2
=3
1
1
b gFGH n IJK + FGH n IJK
= (a + b)2 ................. (Falso)
n2 + 2 n
D) a2 − b2 = (a + b)(a − b) ......... (Verdadero)
n2 + 2 +
E) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) ...(Verdadero)
Rpta.: C
- 47 -
n2 +
1
=3
n2
1
= 1 ..... (I)
n2
2
=3

48. Manuel Coveñas Naquiche
FG
H
1
n
Además: n +
à
n+
2
n3 +
a3
+
b3
= (a +
3
1
n3
2
FG
H
= n+
1
n
IJ FG n
KH
2
b)(a2
−n·
1
+
n2
− ab +
FG
H
1
1
+
n
n
b2 )
∴
1
=
n3
à
IJ IJ
KK
2
IJ
K
e 3 jb1− 1g = 3 b 0g
2
M=
M=
M=
−1
Reemplazamos (I) y (II):
n3 +
∴
E=
Resolución
29
x
Aplicamos:
−2
2
2 x2 + 12 − 2
e
j
x
2
2 x + 2 − 2 2 x2
= 2
x2
x
2
Rpta.: E
Resolución
Rpta.: B
2
b x + 1g + b x − 1g
M=2
E=
1
n + 3 =0
n
3
Aplicamos:
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
Identidad de Legendre
FG 1IJ = FG n + 1 IJ FG n
H nK H n K H
n3 +
32
Resolución
=3
1
= 3 ...... (II)
n
Aplicamos:
à
IJ
K
33
bx + 1g − b x − 1g = x + 1− x + 1
b x − 1gb x + 1g b x − 1gb x + 1g
2
b x − 1gb x + 1g
(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3
(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3
à
Aplicamos: (a + b)(a − b)= a2 − b2
à
E=
à
E=
∴
E=
P = (x + 1)(x2 − x + 1)−(x − 1)(x2 + x + 1)
P = (x + 1)(x2 − x·1 + 12) − (x − 1)(x2 + x·1 + 12)
1444 444
2
3 1444 444
2
3
−
P = (x3 + 13 )
∴
P=2
Rpta.: B
Resolución
30
Aplicamos:
(a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
Identidad de Legendre
2
R=
bn + 3 g − bn − 3 g
2
1
2
−1
=
2
2
=
5−1 4
Rpta.: D
Resolución
34
Aplicamos:
(a + b)2 − (a − b)2 = 4a·b
à
A = ((x + y)+1)2 − ((x + y)− 1)2
A = 4(x + y)(1)
2
6n
2
e 5j
(x3 − 13)
P = x3 + 1 − x3 + 1
2
; pero: x = 5
x2 − 12
∴
A = 4(x + y)
Rpta.: A
b gb g
4n 3
12n
R=
=
6n
6n
Resolución
∴
R = (x2
R=2
Rpta.: B
35
− 7x + 11)2 − (x − 2)(x − 5)(x − 3)(x − 4)
R = (x2 − 7x + 11)2 − (x2 − 7x + 10)(x2 − 7x + 12)
Resolución
31
Aplicamos:
(a + b)(a − b) = a2 − b2
à
b x + 2gb X − 2g + 9
P=
X2 + 5
P=
P=
∴
e
Hacemos: a = x2 − 7x + 11
à
a − 1 = x2 − 7x + 10
à
a + 1= x2 − 7x + 12
Reemplazamos estos valores en “R”
j
Diferencia de
cuadrados
x +5
2
x2 − 4 + 9
P=1
x2 + 5
=
R = a2 − (a2 − 12)
R = a2 − a2 + 1
x2 + 5
x2 + 5
Rpta.: C
2
a − gb
1
b g − b1412a +3g
4 44
R= a
x 2 − 22 + 9
∴
- 48 -
R=1
Rpta.: C

49. Segundo Año de Secundaria
(9x2 + 12x + 4) + M = 9x2 + 36x + 35
NIVEL II
Resolución
M = 9x2 + 36x + 35 − (9x2 + 12x + 4)
1
M = 9x2 + 36x + 35 − 9x2 − 12x − 4
Reemplazando los valores en:
∴
M = 24x + 31
Rpta.: A
S = P(Q + R)
S = (x2 − x + 2)((3x2 − x − 1)+(2x2 + 2x − 3))
Resolucíon 5
Sea “N” la expresión que se debe restar, según el enunciado tenemos que:
S = (x2 − x + 2)(5x2 + x − 4)
(6x + 5)2 − N = (9x + 5)(4x − 3)
S = (x2)(5x2)+(x2)(x)+(x2)(−4)+(−x)(5x2)
Aplicamos:
+(−x)(x) + (−x)(−4) + (2)(5x2) + (2)(x)
+(2)(−4)
((6x)2 + 2(6x)(5) + (5)2)− N = 36x2 − 7x − 15
(36x2 + 60x + 25) − N = 36x2 − 7x − 15
S = 5x4 + x3 − 4x2 − 5x3 − x2 + 4x
(36x2 + 60x + 25) − (36x2 − 7x − 15) = N
+ 10x2 + 2x − 8
∴
S=
5x4
−
4x3
+
5x2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
36x2 + 60x + 25 − 36x2 + 7x + 15 = N
+ 6x − 8
∴
N = 67x + 40
Rpta.: B
Rpta.: B
Resolución
Resolución
2
*
A = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1)
A = ((x2 + 1) + x)((x2 + 1)−x)
à
à
A=
+
2(x2)(1)
+
12)
(x + 2)(3x − 3) = (2 + x)(3x − 3)
(x + 2)(3x − 3) = (2 + x)[−(3 − 3x)]
= −(2 + x)(3 − 3x)
*
−x2
(x + 2)(3x − 3) ≠ (2 + x)(3 − 3x)
*
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
((x2)2
= 3(x + 2)(x − 1)
*
A = (x2 + 1)2 − x2
Aplicamos:
(x + 2)(3x − 3) = (x + 2)[3(x − 1)]
*
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Aplicamos:
6
(x + 2)(3x − 3) = 3x2 + 3x − 6
A = x4 + 2x2 + 1 − x2
∴
A=
x4
+
x2
Rpta.: D
+ 1 Rpta.: C
Resolución
7
Efectuando:
(a + b)x + (b + c)y−[(a − b)x-(b − c)y]−2b(x + y)
Resolución
3
=(a + b)x + (b + c)y −(a − b)x+(b − c)y −2b(x + y)
Reemplazando los valores en:
=x((a + b)−(a − b)) +y ((b + c) + (b − c))−2b(x + y)
[2A − 3B]2 = [2(8x3y2 + 6x2y2 + 3x2y3)
−3(4y2x2 + 5x3y2 +
[2A −
3B]2
=
[16x3y2
+
2x2y3)]
12x2y2
+
=x(a + b − a + b) + y(b + c + b − c)−2b(x + y)
=2bx + 2by − 2bx − 2by = 0
6x2y3
Rpta.: C
−12x2y2 − 15x3y2 − 6x2y3]
Resolución
[2A − 3B]2 = 16x3y2 − 15x3y2
∴
[2A − 3B]2 = x3y2
Resolución
8
De la figura, podemos ver que:
Rpta.: A
4
Sea “M” la expresión a agregar. Luego, según el enunciado:
(3x + 2)2 + M = (3x + 5)(3x + 7)
Aplicamos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + a·b
((3x)2 + 2(3x)(2) + (2)2) + M
= (3x)2 + (5 +7)(3x) + 5·7
Sabemos que:
*
Área del =(Lado)2
cuadrado
*
Área del
rectángulo =(Lado mayor)×(Lado menor)
Luego:
F Áreadel
GG
H
I
JJ
K
 Área del 


Área
= rectángulo −  cuadrado 
 QRCP 
coloreada ABCD
- 49 -



50. Manuel Coveñas Naquiche
•
{x(x + y − x − y)}·[5y2 − x2]+M = 2x3y + 3xy3
Áreadel cuadrado = ((4x + 3) − (3x + 1))2
QRCP
{2xy}[5y2 − x2]+M = 2x3y +3xy3
=(x + 2)2
=x2 + 4x + 4
•
(10xy3 − 2x3y)+M = 2x3y + 3xy3
M = (2x3y + 3xy3) − (10xy3 − 2x3y)
Áreadel rectángulo = (7x + 2)(4x + 3)
ABCD
M = 2x3y + 3xy3 − 10xy3 + 2x3y
= 28x2 + 29x + 6
Área
coloreada
∴
=(28x2+29x+6)−(x2+4x+4)
= 28x2 + 29x + 6 − x2 − 4x − 4
∴
Resolución
Área
= 27x2 + 25x + 2
coloreada
A=
Rpta.: A
Resolución
M = 4x3y − 7xy3 Rpta.: A
(2x2
11
− 3)(3x2 − 2x + 5)
A = (2x2)(3x2) + (2x2)(−2x)+ (2x2)(5)
+ (−3)(3x2) + (−3)(−2x) + (−3)(5)
A = 6x4 − 4x3 + 10x2 − 9x2 + 6x − 15
9
A = 6x4 − 4x3 + x2 + 6x − 15
De la figura podemos ver que:
à
El triángulo BAM es rectángulo e isósceles, es decir: AB =
AM = 2x + 4
B = (3x2 − 2)(2x2 + 3x − 5)
•
b gb g
+ (−2)(2x2) + (−2)(3x) + (−2)(−5)
=
4 x + 4x + 4
4 x 2 + 16 x + 16
=
2
2
B = 6x4 + 9x3 − 15x2 − 4x2 − 6x + 10
b2 x + 4 gb2 x + 4g = b2 x + 4g
=
à
B = (3x2)(2x2) + (3x2)(3x) + (3x2)(−5)
Área del = AB · AM
triángulo
2
2
2
à
2
e
2
j
B = 6x4 + 9x3 − 19x2 − 6x + 10
C = 13x3 − 20x2 − 11x + 25
S=A−B+C
Luego:
à
Áreadel
2
triángulo = 2(x + 4x + 4)
S = (6x4 − 4x3 + x2 + 6x − 15)
− (6x4 + 9x3 − 19x2 − 6x +10)
+(13x3 – 20x2 – 11x + 25)
•
Áreadel
rectángulo =(AD)(CD)
=(3x + 5)(2x + 4)
S=
IJ FG
K H
− 11x + 25
∴
IJ
K
Rpta.: A
12
E = A(B + 1)+B(1 − A) −C
E = AB + A + B − BA − C
à
=6x2 + 22x + 20 − 2x2 − 8x − 8
Área
= 4x2 + 14x + 12
coloreada
S=x
Resolución
= 6x2 + 22x + 20−(2(x2 + 4x + 4))
=6x2 + 22x + 20 − (2x2 + 8x + 8)
∴
+ 6x − 10 + 13x3 − 20x2 − 11x + 25
S = −13x3 + 20x2 + 12x − 25 + 13x3 − 20x2
Áreadel
2
rectángulo =6x + 22x + 20
Luego:
FG
H
− 4x3 + x2 + 6x − 15 − 6x4 − 9x3 +
19x2
à
Área del
Área del
Área
= rectángulo − triángulo
coloreada
6x4
E=A+B−C
Reemplazando los valores dados:
Rpta.: C
E = (3x2 + 5xy − 2y2) + (3y2 − 4xy + 5x2)
− (xy + 5y2 + 8x2)
Resolución
10
E =3x2 + 5xy − 2y2 + 3y2 − 4xy + 5x2 − xy
Sea “M” la expresión que hay que sumar, según el enunciado tenemos que:
{x(x + y) − x(x − y)}·[2(x2 + y2)−3(x2 − y2)]+M
= 2x3y + 3xy3
− 5y2 − 8x2
E = 8x2 + xy + y2 − xy − 5y2 − 8x2
∴
{x((x + y)−(x − y))}·[2x2 + 2y2 − 3x2 +3y2]+M
=2x3y+ 3xy3
- 50 -
E = −4y2
Rpta.: D

51. Segundo Año de Secundaria
Resolución
13
Resolución
E = (mx + n)(x2 + x + 1)
E = (mx)(x2) + (mx)(x) + (mx)(1) + (n)(x2)
+ (n)(x) + (n)(1)
16
Aplicamos:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
à
(x − y)2 = x2 − 2xy + y2
(x − y)2 = (x2 + y2) − 2(xy)
E = mx3 + mx2 + mx + nx2 + nx + n
E = mx3 + (m + n)x2 + (m + n)x + n
Pero: x2 + y2 = 26
Según el enunciado:
à
(x −
y)2
;
x·y = 5
= (26) − 2(5)
mx3 + (m + n)x2 + (m + n)x + n = 4x3 + Ax2 + Bx + 5
(x − y)2 = 26 − 10 = 16
Por comparación de términos, tenemos que:
x−y=4
m=4
n=5
m+n=A
;
m+n=B
A=4+5
à
;
;
à B=4+5
A=9
;
Luego:
Resolución
B=9
A + B + m + n = 27
Rpta.: B
17
Rpta.: E
Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Luego: A + B + m + n = 9 + 9 + 4 + 5
∴
x−y 4
= =2
2
2
à
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)2 = (x2 + y2)+ 2xy
Resolución
14
Si:
à
R = (ax + b)(x2 − x + 1)
25 − 11 = 2xy
R = (ax)(x2) + (ax)(−x) + (ax)(1) + (b)(x2)
14 = 2xy
+ (b)(−x) + (b)(1)
R=
ax3
−
ax2
+ ax +
x + y = 5 ∧ x2 + y2 = 11
(5)2 = (11) + 2xy
bx2
xy = 7
− bx + b
R = ax3 − (a − b)x2 + (a − b)x + b
Aplicamos: a3 + b3 =(a + b)(a2 − ab + b2)
Según el enunciado:
à
x3 + y3 = (x + y)((x2 + y2) − xy)
ax3 −(a − b)x2+ (a − b)x + b =7x3 − mx2 + nx + 4
Si:
∧
à
∧
m=3
à
x·y = 7
x3 + y3 = (5)((11) − 7)
∴
x3 + y3 = 20
b=4
m=a−b →
n=a−b
→
También:
m=7−4
n=7−4
n=3
x+y=5
x2 + y2 =11
Por comparación de términos, tenemos que:
a=7
x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)
Luego: a + b + m + n = 7 + 4 + 3 + 3
∴ a + b + m + n = 17
Rpta.. C
Resolución
Resolución
à
T=
e
3 +1
je
Aplicamos:
à
15
4
3 +1
je
j
jFGH e 3 j − 1 IJK
T = e 3 + 1je 3 − 1j
T = e 3j −1 = 3 − 1
e
T=
3 +1
T=2
4
2
2
Rpta.: C
18
Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3 −1
(a + b)(a − b) = a2 − b2
2
∴
4
Rpta.: D
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)2 = x2 + y2 + 2(x·y)
Pero: x + y = 2
à
∧
x·y = 3
(2)2 = x2 + y2 + 2(3)
4 = x2 + y2 + 6
2
x2 + y2 = −2
Aplicamos: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
à
x3 + y3 = (x + y)(x2 − x·y + y2)
x3 + y3 =(x + y)((x2 + y2)− xy)
Si:
x+y=2
x·y = 3
x2 + y2 = −2
- 51 -

52. Manuel Coveñas Naquiche
à
x3 + y3 = (2)((−2)−3)
x3 + y3 = −10
(x − y)2 = x2 − 2xy + y2
(x − y)2 = (x2 + y2) − 2(xy)
x 3 + y 3 −10
=
−2
x2 + y2
Luego:
R=
∴
Rpta.: D
R=5
Resolución
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Aplicamos:
Reemplazando las ecuaciones (1) ; (2) y (3); tenemos que:
(x − y)2 = 16 − 2(4)
(x − y)2 = 8
∴
19
(x + a)(x − 2) = + bx + 6
x2 + (a + (−2))x + (a)(−2) = x2 + bx + 6
x−y =
8
Rpta.: E
22
Aplicamos:
x2
x2
+ (a − 2)x + (−2a) =
x2
+ bx + 6
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − 2)x + (−2a) = b x + 6
Por comparación de términos, tenemos que:
−2a = 5
a−2=b
→
Resolución
à
a = −3
à
(−3) − 2 = b
→
a−b=2
Resolución
Rpta.: C
20
Área del cuadrado = (Lado)2
•
Área del cuadrado 1 = (x + y)2
•
Lado de cuadrado 2: x − y
à
Área del cuadrado 2 = (x − y)2
IJ FG
K H
Áreadel
Áreadel
Suma de
= cuadrado 1 + cuadrado 2
áreas
à
IJ
K
Suma de áreas = (x + y)2 + (x − y)2
Aplicamos: (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
Identidad de Legendre
Resolución
21
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
à
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x +
y)2
=
x2
+
y2
+ 2(x·y)
Reemplazando las ecuaciones (1) y (2), tenemos que:
e2 6 j
24 =
2
x2
+8
2
2
1
1
b gFGH x IJK + FGH x IJK
= x2 − 2 x
= x2 +
2
1
−2
x2
1
=7
x2
2
= 7−2 = 5
FG IJ
H K
1
1
= x2 −
x
x2
2
Luego:
x2 −
Aplicamos:
a2 − b2 =(a + b)(a − b)
à
x2 −
2
FG 1 IJ = FG x + 1 IJ FG x − 1 IJ
H xK H xKH xK
Pero: x +
bg
+
= x2 +
1
= 5
x
= x2 + y2 + 2 4
y2
2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
FG x − 1 IJ
H xK
Rpta.: E
b 3g
1
=7
x2
FG x − 1 IJ
H xK
FG x − 1 IJ
H xK
x−
Aplicamos:
1
+2
x2
1
x2
2
Pero: x +
à
2
1
+2
x2
= x2 +
Aplicamos:
Lado del cuadrado 1: x + y
à
à
2
à
Sabemos que:
Suma de = 2(x2 + y2)
áreas
1
1
b gFGH x IJK + FGH x IJK
= x2 + 2 x
1
=3
x
x+
x2 +
FG
H
2
9 − 2 = x2 +
Si:
b = −5
Luego: a − b =(−3)−(−5)
∴
FG x + 1 IJ
H xK
FG x + 1 IJ
H xK
à
x2 −
∴
x2 −
1
=3
x
x−
∧
1
= 5
x
2
FG 1 IJ = b3g · e 5 j
H xK
x2 + y2 = 16 ........ (3)
- 52 -
1
x2
=3 5
Rpta.: A

53. Segundo Año de Secundaria
Resolución
23
Aplicamos:
Resolución
26
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
La expresión se puede escribir de la manera siguiente:
(a + b)2 − (a − b)2 = 4a·b
Identidades de Legendre
P=
2
2
b x + yg − b x − yg
b x + yg + bx − y g
à
R=
Si
4x · y
P=
x2 + y2 = 3xy
2
2
=
2 x2 + y2
e
j
P=
2
à
R=
4 xy
4 xy
=
2 3 xy
6 xy
b g
R = 2/3
24
P = 2 · 17 − 12 2
(a +
− (a −
= 4ab
Identidades de Legendre
T=
e
ex
1
T=
2
+x
2
+ x2 + y3
j e
j − ex
2 x4 + y6
e
2
4· x ·
2
b)2
−2
−x
2
j=x
4
1
x2
2
j
j
−2 2
P=
FG e j + e y j IJ
H
K
2 x2
=
2
3 2
4 x2 · x−2
T=
)

2 − 1 + 41

) (
) (


)

2 − 1 + 41

j
OP
Q
2
2 − 17 − 12 2 + 12 2 + 41
P = 2 · 29 2 − 17 − 24 + 41
P=
2 · 29 2
2
+ y6
2
2
2 − 1 + 41
je
P = 29 2 = 29 · 2 = 58
Resolución
27
Rpta.: C
Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Pero: x4 + y6 = 4
à
) (
e
2 · L17
MN
2
2
(
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
x2 − y3
2

P = 2  32 − 2 (3) 2 2 + 2 2

Aplicamos:
b)2
2 2
(
Rpta.: D
Resolución
4
2

P = 2· 3 − 2 2 ·

3
∴
LMe 2 − 1j · e 2 − 1j + 41OP
Q
N
LF
O
I
2 · M G e 2 − 1j J · e 2 − 1j + 41P
H
K
NM
QP
L
O
2 · M F 2 − 2 · 2 · 1+ 1 I · e 2 − 1j + 41P
H
K
NM
QP
2
à
x4 + y6 4
= =2
2
2
Rpta.: B
e x + x j = FH
−1 2
2+2 2
I
K
2
x2 + 2x ·x−1 + (x−1)2 = 2 + 2 2
x2 + 2 + x−2 = 2 + 2 2
Resolución
à
25
x2 + x−2 = 2 2
+ x −2
2
2
R = (x − 3)(x + 2)(x − 4)(x + 3)
ex
R = (x2 +(−3 + 2)x + (−3)(2))(x2 + (−4 + 3)x +(−4)(3))
(x2)2 + 2(x2)(x−2) + (x−2)2 = 8
R = (x2 − x − 6)(x2 − x − 12)
R = ((x2 − x)-6)((x2 − x)− 12)
2
De la condición: x + = 1
x
x2 + 2 = x → x2 − x = −2
Reemplazamos el valor hallado en “R”, obteniendo:
R = ((−2)−6)((−2)−12)
R = (−8)(−14)
∴
R = 112
Rpta.: C
j = e2 2 j
x4 + 2 + x−4 = 8
∴
x4 + x−4 = 6
Resolución
2
x +2
=1
x
2
28
Rpta.: C
Aplicamos:
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
M = (x + 5)(x + 4)(x2 − 32)(x − 2)(x − 1)
M = (x + 5)(x + 4)(x + 3)(x − 3)(x − 2)(x − 1)
M = (x + 5)(x − 3)(x + 4)(x − 2)(x + 3)(x − 1)
14 244 14 244 14 244
4
3
4
3
4
3
M = (x2 + 2x − 15)(x2 + 2x − 8)(x2 + 2x − 3)
Pero: x2 + 2x = 9
M = (9 − 15)(9 − 8)(9 − 3)
M = (−6)(1)(6)
∴
- 53 -
M = −36
Rpta.: C