I. El documento define las razones aritméticas y geométricas, proporciones aritméticas y geométricas, y medias aritméticas y geométricas. II. Explica seis propiedades de las proporciones geométricas. III. Presenta diez ejercicios resueltos que ilustran el uso de estas nociones.

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RAZONES: Se llama razón o relación de dos cantidades al
número que expresa la medida de la primera si la segunda se
toma como unidad. En otras palabras es el resultado de comparar
dos cantidades.
Razón aritmética: a b r 
Razón geométrica:
a
r
b

Términos: El primero se llama antecedente y el segundo
consecuente.
Proporción: Es el resultado de igualar dos razones.
Clases:
Proporción aritmética: a b c d  
Proporción geométrica:
a c
b d

Media aritmética.
a x x b
a b
x
2
  


Media geométrica.
a x
x b
x ab


Cuarta proporcional.
a c b c
x
b x a

  
Tercera proporcional.
2
a b
b x
b
x
a


Propiedades De Las Proporciones Geométricas
I. Si a los cuatro términos de una proporción
geométrica se les multiplica por un mismo número
o se les extrae la raíz de un mismo índice se
obtiene una nueva proporción.
a c
2 2
b d
  
2 2
a c
b d
      
   
a c
b d

II. La suma o resta de los dos primeros términos es
a la suma o resta de los dos últimos términos,
como los antecedentes son entre si o como los
consecuentes son entre si.
Si:
a c a b a b
b d c d c d

   

III. La suma de los dos primeros términos es a su
resta como la suma de los dos últimos términos
es a su resta.
a c a b c d
b d a b c d
 
  
 
IV. La suma o la diferencia de los antecedentes es a
la suma o diferencia de los consecuentes como
cada antecedente es a su respectivo
consecuente.
a c a c a c
b d b d b d

   

V. En toda proporción geométrica la suma o resta de
los dos términos de la primera razón es a su
consecuente i antecedente como la suma o resta
de los dos términos de la segunda razón es a su
consecuente o antecedente.
I RAZONES Y PROPORCIONES
 Utilizar adecuadamente las generalizaciones o fórmulas para sumatorias.
 Resolver con facilidad ejercicios de series con término final y ley de formación.
 Identificar cada término usado en este tema.
 Justificar procedimientos de aplicación.

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a b c d
a c b d
a b c db d
a c
 

 
  

VI. La suma de antecedentes es a su diferencia como
la suma de consecuentes es a su diferencia.
a c a c b d
b d a c b d
 
  
 
1. Sabiendo que la razón de dos números es 7/3 y su
diferencia 244. Hallar estos números y dar el menor.
a) 182 b) 183 c) 185
d) 186 e) 184
RESOLUCION:
Sean los números a y b luego:
a 7 a b 7 3
b 3 b 3
 
  
a b 4
b 3

 Pero: a b 244 
Reemplazando tenemos.
244 4
b 183
b 3
  
a  427
2. La suma, la diferencia y el producto de dos números
están en la misma relación que los números 5, 3 y 16.
Hallar los números.
a) 16 y 4 b) 18 y 4 c) 15 y 4
d) 17 y 4 e) 19 y 4
RESOLUCION:
Sean a y b los números.
a b a b a b
...........(1)
5 3 16
  
 
Componiendo las dos primeras razones.
a b a b a b
5 3 3
2a a b
...........(2)
8 3
   




O también.
a b a b a b
5 3 3
2b a b
...........(3)
2 3
   




Pero se tiene
a b a b
3 16
 

Comparando (1) con (2)
2a a b
8 16


Comparando (1) y (3)
2b a b
2 16

  a  16
3. La razón entre la suma de dos números y su diferencia
es 5/3. El cociente entre el mayor y el menor es:
a) 4 b) 5 c) 2
d)
1
4
e)
1
2
RESOLUCION:
a b 5
a b 3
3a 3b 5a 5b
8b 2a



  

8 a
2 b
 
a
b
 4
4. Tres números son entre si como 2, 5 y 7 si la suma de
estos números es 420. Hallar el mayor de ellos.
a) 150 b) 180 c) 210
d) 180 e) 240
RESOLUCION:
a b c
k
2 5 7
  
a b c 420  
a b c
k
2 5 7
420
k k 30
14
 

 
  
c
30
7
  c  210
5. Dos números son entre sí como 7 es 12 si al menor se
le aumenta 70, para que el valor de la razón no se
altere el valor del otro número debe triplicarse, Hallar
el mayor número.
a) 150 b) 210 c) 80
d) 240 e) 230
RESOLUCION:
a 7 7b
a ............(1)
b 12 12
  
Del enunciado.
a 70 7
3b 12
12a 840 21b.............(2)


 
(1) En (2)
7b
12 840 21b
12
840 14b
    
 

b  60

3. Pág. 3
NIVEL I
1. La suma del antecedente y el consecuente de la
razón geométrica es 26 ¿Cuál es su diferencia si
la razón vale 0,04?
a) 24 b) 26 c) 28
d) 25 e) 28
2. Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada
si se agrega a sus dos términos su denominador.
a)
1
2
b)
1
5
c)
1
3
d)
1
6
e) N.A
3. La relación geométrica entre dos números cuya
suma es 65, se invierte si se añade 17 al menor y
se quita 17 al mayor ¿Cuál es el menor de dichos
números?
a) 30 b) 25 c) 35
d) 40 e) N.A
4. El producto de los cuatro términos de una
proporción es 50625 uno de los extremos es 1/9
del otro y los medios son iguales ¿Cuáles son los
términos de esta proporción?
a) 15 y5 b) 15 y 3 c) 15 y6
d) 15 y7 e) 15 y8
5. La suma, la diferencia y el producto de dos
números enteros están en la misma relación que
los números 7, 1 y 48. Hallar el cociente de los
números.
a) 1,3 b) 1,5 c) 1,8
d) 1,7 e) 1,3
6. Siendo a b 450  ,
a 8
b 1
 ,
Hallar: a b .
a) 360 b) 180 c)185
d) 350 e) 420
7. Si a b c 210   ,
a b c
3 5 7
 
Hallar:    b 30 c 2 a 36  
a)
4
10 b)
3
10 c) 200
d)
6
10 e) 2000
8. Si:
a c
b d
 ; 2 2 2 2
a b c d 325    .
Calcular: a b c d  
a) 27 b) 29 c) 24
d) 30 e) 25

4. Pág. 4
9. Sabiendo que:
a c
b d
 ;
a b c d 15   
Hallar: a b c d  
a) 20736 b) 21861
c) 21737 d) 21963
e) 20736
10. Hallar:
a
b
si.
a b b
a b 7 4


 
a)
8
3
b)
5
3
c)
7
3
d)
7
8
e)
5
2
Nivel II
1. Cuantas proporciones continuas tienen como
término medio 100.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
2. La relación de los ángulos agudos de un triángulo
de un triángulo rectángulo es 2/3 ¿Cuál es el
mayor de los ángulos?
a) 36 b) 48 c) 62
d) 54 e) 52
3. Se tiene la razón:
a c
b d
 si: a+b=40 y c+d=50
¿Cuánto vale c d ?
a) 37.5 b) 38.2 c) 37.4
d) 38.9 e) N.A
4. El radio de la luna es los ¾ del radio terrestre y el
radio del sol es igual a 108 radios terrestres ¿Cuál
es la relación de los radios de la luna y el sol?
a)
1
376
b)
1
398
c)
1
395
d)
1
392
e)
1
394
5. La suma de los cuadrados de los cuatro términos
de una proporción geométrica es 325. Hallar la
suma de los 4 términos.
a) 18 b) 29 c) 36
d) 35 e) 27

5. Pág. 5
6. La razón de dos números es 3/8 y su suma es
2497. Hallar el menor.
a) 527 b) 531 c) 691
d) 731 e) 681
7. La razón de dos números es 0,125 si la suma de
los términos es 279. Hallar el consecuente.
a) 249 b) 248 c) 250
d) 260 e) N.A
8. Si: a+b+c=25
a 6 c
k
8 b 20
   ; Hallar: “c”
a) 5 b) 6 c) 10
d) 20 e) 20
9. 15 es la media proporcional de a y 25; 2a es la
tercera proporcional de 8 y b, cual es la cuarta
proporcional de a, b y 15.
a) 15 b) 20 c) 16
d) 18 e) 24
10. Si:
a c
b d
 ,   a b c d 729  
Hallar: ac bd.
a) 318 b) 38.24 c) 23
d) 8 e) 27
Nivel III
1. Dos números están en la relación de 2 a 5, pero
agregando 175 al primero y 115 al segundo, los dos
son iguales. Hallar su suma.
a) 70 b) 120 c) 3140
d) 80 e) 100
2. ¿Dentro de cuantos años la relación entre las edades
de 2 personas será 7/6, si sus edades actuales son 40
y 30 años?
a) 45 b) 40 c) 30
d) 25 e) 35
3. La razón de 2 números es ¾ y los 2/3 de su producto
es 1152 el mayor es:
a) 84 b) 36 c) 49
d) 48 e) 45
4. La suma, la diferencia y el producto de dos números,
están en la misma relación que los números 4, 2 y 15.
¿Cuál es el mayor?
a) 15 b) 16 c) 14
d) 12 e) 18
5. En 1995 la razón entre las edades de A y B era de 3/7.
Si A nació cuando B tenia 20 años. Hallar la razón de
sus edades en 1984?
a)
3
2
b)
3
5
c)
1
2
d)
2
3
e)
5
3

6. Pág. 6
6. La suma de los 4 términos de una proporción es 65,
cada uno de los 3 últimos términos es los 2/3 del
anterior. ¿Cuál es el último?
a) 8 b) 7 c) 9
d) 10 e) 12
7. La suma de 3 números es 1425, la razón del primero
y el segundo es 11/3 y su diferencia es 600. ¿Cuál es
el tercero?
a) 825 b) 620 c) 425
d) 375 e) 345
8. En una proporción continua el producto de los 4
términos es igual a 20736, y el cuarto termino es el
doble de la suma de los términos medios, ¿Cuál es el
termino medio?
a) 10 b) 18 c) 24
d) 14 e) 12
9. La suma de 3 números es 24, la razón de dos de ellos
es 3 y la suma de estos dividido entre el tercero es igual
a 5. Uno de los números es:
a) 6 b) 8 c) 5
d) 9 e) 10
10. Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números
enteros positivos es 5/3. ¿Cuál es el número mayor, si
su producto es 64?
a) 16 b) 4 c) 8
d) 23 e) 64