Este documento presenta 15 problemas de lógica proposicional y conjuntos. Los problemas involucran simplificar expresiones lógicas usando tablas de verdad y leyes de la lógica proposicional, determinar valores de verdad, calcular conjuntos y subconjuntos, y resolver problemas matemáticos relacionados a conjuntos.

1. SEMANA 1
MATEM ´ATICA I
Cuadernillo de trabajo
L´ogica proposicional
1 Empleando las leyes de la l´ogica proposicional, sim-
plifique:
r ∧ [p → (q ∨ r)]
A) r B) p C) q
D) r → p E) p ∨ q
2 Sabiendo que p → (∼ r ∨ s) es falsa. Indique cuales
son verdaderas:
I. t → (p ∨ s)
II. p ↔ r
III. ∼ s ↔ t
IV. r → p
A) I y II D) I, II, III y IV
B) II y III E) I, II y IV
C) I, II y III
3 Si:
p ⊗ q ≡ {p ∨ [(r → p) ∧ p]} ∧ {q ∧ (p ↔∼ p)}
Simplificar
[(p ⊗ q) ⊗ (q ⊗ p)] ⊗ [p ⊗ (p ⊗ q)]
A) p D) Tautolog´ıa
B) q E) Contradicci´on
C) p ∨ q
4 Se define el operador l´ogico (#)
p q p#q
V V V
V F V
F V F
F F V
Simplificar (p#q)#p
A) ∼ p B) ∼ q C) p ∨ q
D) p ∧ q E) Tautolog´ıa
5 Indique verdadero (V) o falso (F) seg´un corresponda;
para que p y q sean proposiciones l´ogicas
I. p →∼ q ≡∼ (p ∧ q)
II. p → (p∨ ∼ q) es una tautolog´ıa
III. ∼ p → (p∧ ∼ q) ≡ p
A) VVV B) VFV C) FVV
D) VFF E) FVF
6 Si la proposici´on
M = [(p∧ ∼ q) ↔ (r → s)] → [∼ s → r]
es falso, simplifique:
E = [t ∨ (p ∧ q)] ↔ [(r → s) ∧ p]
A) V B) F C) r
D) t E) p
7 Definimos el operador # mediante la tabla, determine
el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
p q p#q
V V V
V F F
F V F
F F V
I. p#p es una tautolog´ıa
II. ∼ p#p es una tautolog´ıa
III. p#q ≡∼ (q#p)
A) VVV B) VVF C) VFF
D) FFF E) VFV
8 Si # es un operador l´ogico definido por
p#q ≡ [∼ (p ∨ q)] → (∼ q ∧ p),
entonces al simplificar la f´ormula l´ogica
[(∼ (∼ p#q) → p)#((p#q)# ∼ p)] → p se obtiene
A) q → p B) q ∨ p C) ∼ q ∨ p
D) p E) p → q
9 Simplifique la siguiente form´ula l´ogica
[(p∆q)∆(q∆p)] ∆ [p∆(q∆p)]
A) p B) q C) ∼ q
D) p∆q E) ∼ p
1

2. Cuadernillo de trabajo–Semana 1
10 Simbolizar correctamente la siguiente proposici´on:
“Alonso es abogado o diplom´atico y si es diplom´atico,
viaja casi siempre al extranjero”.
A) (p ∨ q) ∧ (r ∨ s)
B) (p ∧ q) ∨ (r → s)
C) (p ∨ q) → (q ∧ r)
D) (p ∧ q) ∧ (r ∧ s)
E) (p ∨ q) ∧ (q → s)
11 Si m y n son n´umeros reales positivos, adem´as se de-
fine:
f(x) =



3m
n
+ 1; Si x es proposici´on verdadera
3n
m
− 1; Si x es proposici´on falsa
Hallar:
M =
m
n
+
n
m
Sabiendo que f(q) + f(r) = 21
Siendo:
q : 4 < 3 ↔ 1 = 0
r : −1 < 0 → (−1)2
< 0
A)1/3 B) 3 C) −3
D) 1/7 E) 1
12 Si
a♠b ≡ (a → b) ∨ [b∨ ∼ (a → b)]
a♥b ≡ {a ∨ [b → (a ∨ b)]} →∼ a
Simplificar
{[(p♠q)♥r] ♠(∼ p♠q)} ♥ {q♠(p∧ ∼ q)}
A) ∼ p B) V C) F
D) p E) q
13 Si p es una proposici´on l´ogica, adem´as definimos la
relaci´on f por:
f(p) =
1; si p es verdadera
0; si p es falsa
Entonces, indica el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.
I) f((−1)0
= 1) = f(−10
= 1)
II) f(q) = f(∼ q)
III) f(3 = 3) = f(5 > 1)
A)VFF B)FFV C)VVV
D)FFF E)VFV
14 Si tenemos las siguientes proposiciones M y N:
M: Si Einstein dice la verdad, entonces la teor´ıa de
la relatividad es exacta.
N: No es el caso que la teor´ıa de la relatividad no
sea exacta y Einstein diga la verdad.
Luego se afirma.
I) M y N son equivalentes
II) M implica N
III) N implica M
A)S´olo I B)S´olo II C)S´olo III
D)I y II E)I, II y III
15 Sean las proposiciones
I. p(x) : ∀x ∈ R, x0
= 1
II. q(y) : ∃y ∈ Z+
/y2
≤ 0
III. r(z) : ∀z ∈ R, z2
− 92
= (z + 3)(z − 3)
Indique el valor de verdad de:
p ↔ q, p → r y r ∧ q
A) FFV B) FVV C) VVF
D) VVV E) FFF
Conjuntos
16 A partir del conjunto M = {1; 2; 3}, indique la alter-
nativa correcta
A) 2 ∈ M D) {2} ∈ M
B) {1; 2} ∈ M E) 1 ∈ M
C) {1} ∈ M
2

3. Cuadernillo de trabajo–Semana 1
17 Calcule la suma de los elementos de L.
L = {2x/x ∈ Z ∧ 3 < x < 7}
A) 30 B) 28 C) 32
D) 26 E) 34
18 Los siguientes conjuntos son iguales.
A = 5; 2a + 3; c2
B = {b; 16; 2a + 1}
Calcule el valor de a + b + c. Considere que a; b y c
son enteros positivos.
A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14
19 Dados los conjuntos
J = {x/x ∈ Z ∧ −3 < x < 3}
K = x2
/x ∈ Z ∧ −2 < x < 2
L = {(x + 1) ∈ Z/ − 1 ≤ x ≤ 0}
M = {x ∈ Z/(x + 1)(x + 2) = 0}
indique la alternativa incorrecta.
A) K y M son disjuntos D) J ⊂ L
B) K = L E) K ⊂ L
C) M ⊂ J
20 Si A = {3; 5; {3} ; 7; 7; 3; 9; 9} ¿cu´antas de las si-
guientes proposiciones son correctas?
I. n(A) = 8
II. 3 ∈ A
III. {3} ∈ A
IV. {3; 5} ∈ A
V. 7 ∈ A
VI. {3; 3; 3} ∈ A
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
21 Si
A = x2
+ 1/x ∈ Z ∧ −4 < x < 3
B = (x2
+ 1) ∈ Z/ − 4 < x < 3
calcule n(A) + n(B).
A) 9 B) 16 C) 20
D) 24 E) 12
22 ¿Cu´al de las siguientes alternativas presenta un con-
junto no vacio?
A) M = {x ∈ Z/3 < x < 4}
B) L = {x/x = x}
C) J = {}
D) K = {∅}
E) S = x ∈ R/x2
+ 1 = 0
23 Dado el conjunto B = {2; 4; {6}}, indique la secuen-
cia correcta de verdad (V) o falsedad (F).
I. {2; 4} ∈ P(B)
II. {{6}} ∈ P(B)
III. B ∈ P(B)
IV. ∅ ∈ P(B)
A) VVVF B) FFFF C) VVVV
D) VFVF E) FVFV
24 Dados los conjuntos
U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
A = {1; 2; 3; 4; 5}
B = {4; 5; 6; 7; 8}
C = {6; 7}
halle [(A ∩ C) ∪ (C ∩ B)] ∪ Ac
.
A) {6; 7}
B) {8; 9; 0}
C) {6; 7; 8; 9; 0}
D) {1; 2; 3; 9; 0}
E) {4; 5; 9; 0}
25 Se tiene los siguientes conjuntos.
J = {a + b; 0; m − n}
K = {2m + n; 20}
L = {5a + b; 24}
Si J es unitario y K = L, calcule el valor de m × n +
a × b. considere que {m; n; a; b} ⊂ Z
A) 39 B) 48 C) 9
D) 13 E) 15
3

4. Cuadernillo de trabajo–Semana 1
26 Se sabe que el conjunto A presenta 31 subconjuntos
propios y el conjunto potencia de B tiene 8 elementos;
adem´as, A ∩ B = ∅. Calcule n [P(A ∪ B)].
A) 64 B) 128 C) 256
D) 512 E) 1024
27 Se sabe que el conjunto A tiene 3 elementos m´as que
B y este tiene 112 subconjuntos menos que A. Si A y
B son disjuntos, ¿cu´antos elementos tiene A ∪ B?
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
28 Seg´un el conjunto
A = {a; {b; c} ; d}
¿Cu´antas afirmaciones son incorrectas?
I. {b; c} ⊂ A
II. {b; c} ∈ A
III. {{b; c}} ⊂ A
IV. c ∈ A
V. {c} ⊂ A
VI. {c} ∈ A
A) 4 B) 2 C) 1
D) 3 E) 5
29 Si
A =
3 |x| − 1
5
∈ Z+
/16 ≤ x2
≤ 144
B = x ∈ Z+
/x > 4 → x = 6
Calcular n [(A − B) × A]
A) 15 B) 5 C) 24
D) 10 E) 12
30 ¿Cu´ales de las siguientes afirmaciones son correctas?
I) Sean A y B conjuntos de un universo U. Si A ⊂
B y B ⊂ A, entonces A = B.
II) Sean A, B ⊂ U, si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces
A ⊂ C.
III) Sean A, B ⊂ U, si B ∈ P(A) y A ∈ P(B),
entonces A = B.
A)S´olo III B)S´olo I C)I y III
D)I y II E)Todas
31 En una reuni´on a la cual asistieron 50 personas, 20
bailan, 32 cantan y 4 no cantan ni bailan. ¿Cu´antas
personas cantan y bailan?
A) 10 B) 9 C) 8
D) 7 E) 6
32 De 42 personas, 15 tienen reloj y 20 son mujeres. Si
10 varones tienen reloj, ¿cu´antas mujeres no tienen re-
loj?
A) 15 B) 14 C) 13
D) 12 E) 11
33 A cierta conferencia, asistieron 600 personas, de las
cuales, 250 eran mujeres; 150, profesores y 170, doc-
tores. Adem´as, cada asistente ten´ıa solo una profesi´on:
profesor, ingeniero o doctor, y hab´ıa 80 mujeres inge-
nieras. ¿Cu´antos varones son profesores o doctores?
A) 140 B) 120 C) 100
D) 190 E) 150
34 En una reuni´on, hay 2n personas, de las cuales algu-
nos hablan ingl´es, italiano o franc´es; todos hablan por
lo menos uno de estos idiomas; todos los que hablan
ingl´es hablan franc´es; ninguno que habla ingl´es habla
italiano; hay n personas que hablan italiano, pero no
franc´es, y hay 2m personas que hablan solo franc´es.
Calcule la cantidad de personas que hablan exacta-
mente 2 idiomas.
A) n − m B) 2n − m C) n − 2m
D) 2n − 3m E) n − 3m
35 Esteban vende ensalada de frutas, para lo cual utiliza
n frutas diferentes, ¿cu´antos platos diferentes puede
obtener? Si en cada plato utiliza al menos dos frutas
diferentes.
A) 2n
+ 1 B) 2n
− n C) 21
0
D) 2n
− n − 1 E) 2n
− 1
4