El del semestre pasado

1. ∫
Universidad Distrital F. J. C. 2π
5 √ 2 10π
b) √ sen t + cos2 t dt, √
Facultad Tecnologica, Tecnolog´ Mecanica
´ ıa ´ 0 2 2
C´lculo Multivariado, Examen Final, Mayo 31 de 2011
a ∫ π √
5 5π
c) √ sen2 2t + cos2 2t dt, √
Nombre: 0 2 2
C´digo:
o ∫ π
5 √ 2 10π
De los ejercicios (1) al (12) escoja 10 de ellos y d) √ sen 2t + cos2 2t dt, √
0 2 2
marque con X en la siguiente tabla la respuesta
correcta. Dispone de 1 hora y 45 minutos. 7. Seg´n el teorema de Green, el ´rea de la regi´n inter-
u a o
x2 y 2
Tema B secci´n de la superficie z =
o + − 1 con el plano
4 9
a) xy , est´ dada por la integral
a
b) ∫ 2π
c) a) 1
2 (3 sen t, −2 cos t) · (−2 sen t, 3 cos t) dt
0
d)
∫ 2π
1. El ´rea de la regi´n del plano xy acotada por las gr´fi-
a o a b) −1
2 (−3 sen t, 2 cos t) · (2 sen t, −3 cos t) dt
cas de y = 1 − (x − 1)2 y y = x2 est´ dada por la
a 0
∫
integral y vale: 2π
∫ 1∫ 1−(x−1)2 ∫ 1∫ x2 c) 1
2 (3 sen t, 2 cos t) · (2 sen t, −3 cos t) dt
0
a) dydx, 1/3 c) dydx, 2/3
0 x2 0 (x+1)2 ∫ 2π
∫ 1∫ ∫ d) −1 (3 sen t, 2 cos t) · (2 sen t, −3 cos t) dt
x2 1 ∫ 1−x2 2
0
b) dydx, 1/3 d) dydx, 1/3
0 1−(x−1)2 0 x2 8. Seg´n el teorema de Green, para calcular el ´rea de la
u a
2. El volumen del s´lido acotado arriba por el paraboloide
o regi´n acotada por la gr´fica de y = 4 − x2 y el eje
o a
1
1 x, se usa el campo F = 2 (−y, x) y las curvas, para
z = − (x2 + y 2 ) + 10, a los lados por el cilindro −2 ≤ t ≤ 2 y 2 ≤ t ≤ 4, respectivamente: est´ dada
a
5
1 por la integral:
x2 + y 2 = 9 y abajo por el paraboloide z = (x2 + y 2 )
5 a) r1 (t) = (−t, 4 + t2 ) y r2 (t) = (2t − 6, 0)
est´ dado por la integral
a
∫ 2π ∫ 3 ∫ −r 2 +10 ∫ 2π ∫ 3 ∫ −(r 2 /5)+10
b) r1 (t) = (t, 4 − t2 ) y r2 (t) = (−2t + 6, 0)
a) r dzdrdθ c) r dzdrdθ
0 0 r2 0 0 r 2 /5
c) r1 (t) = (t, 4 − t2 ) y r2 (t) = (t, 0)
∫ π ∫ 3 ∫ −(r 2 /5)+10 ∫ 2π ∫ 3 ∫ −(r 2 /5)+10
b) r dzdrdθ d) 2r dzdrdθ d) r1 (t) = (−t, 4 − t2 ) y r2 (t) = (2t − 6, 0)
0 0 r 2 /5 0 0 r 2 /5
3. El volumen del s´lido del numeral (2) es
o 9. La integral de l´
ınea que representa el ´rea de la regi´n
a o
369π b) 9π 738π 369π comprendida entre la gr´fica de f (x, y) = x2 + y 2 y la
a
a) c) d) curva r(t) = (t2 , t2 ), 0 ≤ t ≤ 1 es
5 5 10 ∫√ ∫√ ∫ √ ∫√
1 1 1 1
4. El ´rea superficial lateral del s´lido del numeral (2), con
a o a) 2t dt b)3 5
32t dt c) 5
8t dt d) 32t6 dt
C : r(t) = (3 cos t, 3 sen t), 0 ≤ t ≤ 2π , est´ dada
a 0 0 −1 0
por la integral de l´
ınea:
∫ ∫ 10. El valor del ´rea de la regi´n del numeral anterior es
a o
1 2 −2 2 √ √ √
a) (x + y 2 ) ds c) (x + y 2 ) + 10 ds a) 4 2
b) 2 2 c) 0 d) 2
C 5 C 5 7 3 4
∫ ∫
2 2 −1 2 11. De las siguientes integrales, la que representa el volu-
b) (x + y 2 ) ds d) (x + y 2 ) + 10 ds
C 5 C 5 men de un cono circular recto de radio 3 y altura 7 es
∫ ∫
5. Si el √
cilindro del s´lido del numeral (2) tiene radio
o
3 r2 3 r
a) 2π 7 drdθ c) 2π (1 − )r drdθ
(1/2) 11, entonces el ´rea superficial de la parte su-
a 0 3 0 3
perior m´s la parte inferior del s´lido es:
a o ∫ ∫ 3
√ √ 3 r r
91π 11π 11π 91π b)2π 7(1 − )r drdθ d) 2π 7(1 − ) drdθ
a) b) c) d) 0 3 0 3
60 30 60 30
6. La longitud de la curva intersecci´n de los s´lidos ρ = 5
o o 12. De los siguientes, el campo que no es conservativo es
y z = r , con z ≥ 0 en R3 est´ dada por la integral de
a a) F = (y/x, ln x) c) F = (−y + x, x + y)
l´
ınea y vale, respectivamente,
∫ √ 2
2π b) F = (ex+y , ex ey ) d) F = (x sen y, x cos y)
2
a) sen2 t + cos2 t dt, 2π
0