El documento presenta un examen parcial de cálculo vectorial que consta de 5 preguntas. Cada pregunta contiene un enunciado y una o varias opciones de respuesta de las cuales se debe seleccionar la correcta. El examen evalúa conceptos como derivadas de funciones de varias variables, planos tangentes, máximos condicionados y trayectorias.

1. UNIVERSIDAD SANTO TOMAS
´
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
´
AREA DE MATEMATICAS
´
CALCULO VECTORIAL
PARCIAL III
Nombre: C´digo:
o
Fecha: Grupo:
Lea cuidadosamente toda la prueba antes de comenzar a resolver. La prueba tiene una duraci´n de 1 hora 45 Minutos
o
Para las preguntas de selecci´n unica. Seleccione la respuesta correcta marc´ndola con esfero. Si la respuesta seleccionada
o ´ a
es correcta y es sustentada con un proceso adecuado el valor es de 1. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO es
sustentada completamente con procesos que lleven a ella el valor es de 0,5. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO
es sustentada el valor es de 0. Si la respuesta seleccionada es incorrecta y tiene un proceso adecuado el valor es de 0,5.
Si la respuesta seleccionada es incorrecta el valor es 0.
El valor de cada enunciado aparece en negrilla y encerrado por [ ]. No se permite el intercambio de objetos.
1. [1] El radio de un cilindro circular recto se incrementa a raz´n de 6 pulgadas por minuto, y la altura decrece a
o
raz´n de 4 pulgadas por minuto. La velocidad o ritmo de cambio del ´rea superficial cuando el radio es 12 pulgadas
o a
y la altura es 36 pulgadas, es:[Sugerencia El ´rea superficial del cilindro es S = 2πr(r + h)]
a
a) 1248π pul2 /min b) 312π pul2 /min c) 208π pul2 /min d) 624π pul2 /min
2. [1] Un rastreador t´rmico se encuentra en el punto (4, 3) sobre un placa met´lica cuya temperatura en (x, y)
e a
es T (x, y) = 100 − x 2 − 2y 2 . Si el rastreador se mueve continuamente en direcci´n de m´ximo incremento de
o a
temperatura, la trayectoria del rastreador es:
y2 x2 3x2 3y 2
a) x = 16 b) y = 8 c) y = 16 d) x = 8
3. [1] Las ecuaciones de el plano tangente y la recta normal a la superficie x2 − 2y 2 − 3z 2 + xyz = 4 en el punto
(3, −2, −1) son:
a) 4x + 3y = 7 b) 5x + 8y = 14 c) 8x + 5y = 14 d) 3x + 4y = 7
x−3 y+2 x−3 y+2 x−3 y+2 x−3 y+2
4 = 3 ; z = −1 5 = 8 ; z = −1 8 = 5 ; z = −1 3 = 4 ; z = −1
4. [1] El material para la base de una caja abierta cuesta 1,5 veces m´s por unidad de ´rea que el material para
a a
construir los lados. Dada una cantidad fija de dinero C las dimensiones de la caja de m´ximo volumen que puede
a
ser fabricada, son:
√ √ √
2C 2C 2C
a) × ×
√2 √2 √3
2C 2C 2C
b) × ×
√3 √3 √4
2C 2C 2C
c) × ×
√3 √3 √5
2C 2C 2C
d) 2 × 2 × 4
5. [1] Un semic´
ırculo est´ sobre un rect´ngulo. Si el per´
a a ımetro es fijo y el ´rea es un m´ximo utilice multiplicadores
a a
de Lagrange para verificar que la longitud del rect´ngulo es el doble de su altura.
a
h
l

2. ∂r ∂h ∂S ∂S
1. Tenemos S(r, h) = 2πr(r + h), ∂t = 6, ∂t = −4, ∂r = 4πr + 2πh, ∂h = 2πr
∂S ∂S ∂r ∂S ∂h
= +
∂t ∂r ∂t ∂h ∂t
= 12(2πr + πh) − 8πr, como r = 12 y h = 36
= 12(2π(12) + π(36)) − 8π(12)
= 288π + 432π − 96π
= 624π
2. Repres´ntese la trayectoria por la funci´n de posici´n r(t) = x(t)i + y(t)j. Un vector tangente en cada punto
e o o
(x(t), y(t)) est´ dado por r′ (t) = dx i + dy j como el rastreador busca el m´ximo incremento de temperatura, las
a dt dt a
direcciones de r ′ (t) y ∇T (x, y) = (−2x, −4y) coinciden en todo punto de la trayectoria. As´
ı,
dx dy
−2xk = dt −4yk = dt
De donde
dy dx
=
2y x
dy dx
=
2y x
1
ln y = ln x + c
2
1
ln y 2 = ln x + c
1
eln y 2 = eln x+c
1
y 2 = eln x ec , Si hacemos ec = c1
1
y 2 = c1 x
y = c2 x2 , Si hacemos c2 = C
1 1
y = Cx2
3
Como el rastreador comienza en el punto (4, 3), se puede determinar que C = 16 . Por tanto, la trayectoria del
2
rastreador del calor es y = 3x .
16
3. Sea f (x, y, z) = x2 − 2y 2 − 3z 2 + xyz = 4, entonces ∇f (x, y, z) = (2x + yz, −4y + xz, −6z + xy) en el punto
(3, −2, −1), tenemos ∇f (3, −2, −1) = (8, 5, 0). Encontremos el plano tangente y la recta normal.
∇f (3, −2, −1) · (x − 3, y + 2, z + 1) = 0
8(x − 3) + 5(y + 2) + 0(z + 1) = 0
8x − 24 + 5y + 10 = 0
8x + 5y = 14
Asi
x−3 y+2
= ; z = −1
8 5
3xy
4. Sea V (x, y, z) = xyz , y, C(x, y, z) = 2 + 2xz + 2yz = C
∇∇V (x, y, z) = λC(x, y, z)
3y 3x
(yz, xz, xy) = λ( + 2z, + 2z, 2x + 2y)
2 2

3. Tenemos el sistema
3y
yz = λ + 2z
2
3x
xz = λ + 2z
2
xy = λ(2x + 2y)
Multiplicando por x, y y z obtenemos
3xy
xyz = λ + 2xz
2
3xy
xyz = λ + 2yz
2
xyz = λ(2xz + 2yz)
3x
Por tanto x = y, y, z = 4 , reemplazando en la restricci´n
o
3xy
+ 2xz + 2yz = C
2
3x2 3x2 3x2
+ + =C
2 2 2
9x2
=C
2
2C
x2 =
√9
2C
x=
3
√ √ √
2C 2C 2C
As´ tenemos
ı 3 × 3 × 4 .
πl2 lπ
5. Sea A(h, l) = hl + 8 , y,P (h, l) = 2h + l + 2 =P
∇A(h, l) = λ∇P (h, l)
lπ π
l, h + = 2λ, λ 1 +
4 2
Tenemos el sistema
l = 2λ
lπ π
h+ =λ 1+
4 2
Solucionando l = 2h.