El documento introduce la ecuación de Schrödinger y su aplicación a diferentes sistemas cuánticos. 1) La ecuación de Schrödinger describe el movimiento de partículas como electrones. 2) Para un pozo cuadrado infinito, solo existen ciertos valores discretos de energía permitidos. 3) Para un oscilador armónico simple, la ecuación de Schrödinger conduce a funciones de onda dadas por polinomios de Hermite multiplicados por un factor exponencial, resultando en un espectro cuántico discreto de energ
El documento resume la biografía y los logros de Arthur Compton, incluyendo su descubrimiento del efecto Compton en 1922. El efecto Compton demostró la naturaleza dual onda-partícula de la luz al observar un cambio en la longitud de onda de los fotones al interactuar con electrones. El documento también presenta las ecuaciones y cálculos teóricos para derivar la ecuación del corrimiento de Compton.
1) Un capacitor está formado por dos conductores separados por un aislante o vacío. La capacitancia de un capacitor depende del área de las placas y la distancia entre ellas.
2) Existen diferentes configuraciones de capacitores como placas paralelas, cilíndrico y esférico. La capacitancia de un capacitor en serie o paralelo depende de las capacitancias individuales.
3) Al insertar un dieléctrico entre las placas, la capacitancia aumenta debido a la polarización del material. La constante
Ejercicios Resueltos de Físics Cuántica II
1. Un electrón está confinado entre dos paredes impenetrables con una separación de ퟎ.ퟐퟎퟎ 풏풎. Determine los niveles de energía para los estados 풏=ퟏ,ퟐ 풚 ퟑ.
a) Encuentre la rapidez del electrón en el estado 풏=ퟏ.
2. Una partícula de masa 풎 está confinada a una caja unidimensional entre 풙=ퟎ y 풙=푳. Encuentre el valor esperado de la posición 풙 de la partícula en el estado caracterizado por el número cuántico 풏.
3. Un electrón está en un pozo cuadrado de potencial con profundidad infinita de ancho 풍=ퟏ.ퟎퟎ×ퟏퟎ−ퟏퟎ 풎. Si el electrón está en el estado fundamental, ¿cuál es la probabilidad de encontrarlo en una región de ancho Δ풙=ퟏ.ퟎퟏ×ퟏퟎ−ퟏퟐ 풎 en el centro del pozo (en 풙=ퟎ.ퟓퟎ×ퟏퟎ−ퟏퟎ풎)?
4. Para el cobre metálico, determine a) la energía de Fermi, b) la energía promedio de los electrones y c) la rapidez de los electrones en el nivel de Fermi (lo que se conoce como rapidez de Fermi).
5. El núcleo 퐙퐧ퟔퟒ tiene una energía de ퟓퟓퟗ,ퟎퟗ 퐌퐞퐕 use la formula semiempirica de energía para generar una estimación teórica de enlace para este núcleo.
6. Unos protones se colocan en un campo magnético con dirección 풛 y ퟐ,ퟑퟎ T de magnitud. a) ¿Cuál es la diferencia de energías entre un estado con la componente 풛 de un protón de cantidad de movimiento angular espín paralela al campo, y uno con la componente anti paralela al campo? b) Un protón puede hacer una transición de uno a otro de esos estados, emitiendo o absorbiendo un fotón de energía igual a la diferencia de energías entre los dos estados. Calcule la frecuencia y la longitud de onda de ese fotón.
7. Calcule el nivel mínimo de energía para una partícula en una caja, si la partícula es un electrón, y la caja mide ퟓ.ퟎ ×ퟏퟎ−ퟏퟎ풎 en su interior, es decir, es un poco mayor que un átomo.
8. Demostrar las equivalencias entre unidades.
1푠=1,519 푥 1021푀푒푉−1. 1푓푚=5,068 푥 10−3푀푒푉.
9. Calcular cuántos fotones pos segundo emite una bombilla de ퟏퟎퟎ풘. La longitud de onda visible es de 흀~ퟔퟎퟎퟎ푨.
10. Un paquete de electrones es acelerado mediante una diferencia de potencial de ퟓퟎ ퟎퟎퟎ푽 y posteriormente lanzado contra una placa de plomo para producir rayos 푿 por bremsstra hlung. Determine la longitud de onda mínima de los rayos 푿 que se pueden obtener con este montaje.
Este documento contiene 11 problemas sobre radiación térmica de cuerpos negros. Los problemas aplican las leyes de Stefan-Boltzmann y Wien para calcular temperaturas y longitudes de onda a partir de datos como potencia de radiación, área y energía absorbida. Algunos problemas también calculan tiempo de enfriamiento al asumir emisión de cuerpo negro.
El documento presenta tres ejercicios sobre la ley de Gauss relacionados con cargas eléctricas puntuales y distribuciones de carga. El primer ejercicio involucra calcular el diámetro de un disco con carga distribuida basado en su flujo eléctrico. El segundo ejercicio pide calcular el flujo eléctrico a través de un plato plano debido a una carga puntual. El tercer ejercicio implica encontrar la densidad de carga donde el campo eléctrico se da en coordenadas cilíndricas
1- Ley de Coulomb
2- Campo eléctrico de distribución discreta de cargas
3- Campo eléctrico de distribución continua de carga
4- Ley de Gauss y flujo eléctrico
5- Campo eléctrico de esfera hueca y maciza
6- Potencial de distribución discreta
7- Potencial de distribución continua
8- Gradiente de potencial y equilibrio
9- Energía eléctrica en distribución de cargas
10- Cargas en un campo uniforme
11- Condensador de placas planas (vacío)
12- Condensador de placas planas (con dieléctrico)
13- Capacitor cilíndrico (vacío)
14- Capacitor esférico (vacío)
15- Capacitor cilíndrico (con dieléctrico)
Este documento presenta una introducción a la física cuántica, incluyendo las biografías de Max Planck, quien propuso la hipótesis de los cuantos para explicar la radiación del cuerpo negro, y otros físicos importantes como Einstein, Bohr y Schrödinger. Explica conceptos clave como el principio de incertidumbre, la naturaleza probabilística de las mediciones cuánticas, y que la energía se emite en paquetes discretos llamados cuantos en lugar de de forma continua.
1) El documento describe conceptos clave de la termodinámica como energía interna, energía térmica, calor, capacidad calorífica y la primera ley de la termodinámica.
2) Explica que la primera ley establece que el cambio en la energía interna de un sistema es igual al trabajo realizado sobre el sistema menos el calor transferido.
3) Presenta ejemplos de cálculos termodinámicos como el trabajo realizado por un gas al expandirse y la energía requerida para cambiar hielo a vapor.
El documento resume la biografía y los logros de Arthur Compton, incluyendo su descubrimiento del efecto Compton en 1922. El efecto Compton demostró la naturaleza dual onda-partícula de la luz al observar un cambio en la longitud de onda de los fotones al interactuar con electrones. El documento también presenta las ecuaciones y cálculos teóricos para derivar la ecuación del corrimiento de Compton.
1) Un capacitor está formado por dos conductores separados por un aislante o vacío. La capacitancia de un capacitor depende del área de las placas y la distancia entre ellas.
2) Existen diferentes configuraciones de capacitores como placas paralelas, cilíndrico y esférico. La capacitancia de un capacitor en serie o paralelo depende de las capacitancias individuales.
3) Al insertar un dieléctrico entre las placas, la capacitancia aumenta debido a la polarización del material. La constante
Ejercicios Resueltos de Físics Cuántica II
1. Un electrón está confinado entre dos paredes impenetrables con una separación de ퟎ.ퟐퟎퟎ 풏풎. Determine los niveles de energía para los estados 풏=ퟏ,ퟐ 풚 ퟑ.
a) Encuentre la rapidez del electrón en el estado 풏=ퟏ.
2. Una partícula de masa 풎 está confinada a una caja unidimensional entre 풙=ퟎ y 풙=푳. Encuentre el valor esperado de la posición 풙 de la partícula en el estado caracterizado por el número cuántico 풏.
3. Un electrón está en un pozo cuadrado de potencial con profundidad infinita de ancho 풍=ퟏ.ퟎퟎ×ퟏퟎ−ퟏퟎ 풎. Si el electrón está en el estado fundamental, ¿cuál es la probabilidad de encontrarlo en una región de ancho Δ풙=ퟏ.ퟎퟏ×ퟏퟎ−ퟏퟐ 풎 en el centro del pozo (en 풙=ퟎ.ퟓퟎ×ퟏퟎ−ퟏퟎ풎)?
4. Para el cobre metálico, determine a) la energía de Fermi, b) la energía promedio de los electrones y c) la rapidez de los electrones en el nivel de Fermi (lo que se conoce como rapidez de Fermi).
5. El núcleo 퐙퐧ퟔퟒ tiene una energía de ퟓퟓퟗ,ퟎퟗ 퐌퐞퐕 use la formula semiempirica de energía para generar una estimación teórica de enlace para este núcleo.
6. Unos protones se colocan en un campo magnético con dirección 풛 y ퟐ,ퟑퟎ T de magnitud. a) ¿Cuál es la diferencia de energías entre un estado con la componente 풛 de un protón de cantidad de movimiento angular espín paralela al campo, y uno con la componente anti paralela al campo? b) Un protón puede hacer una transición de uno a otro de esos estados, emitiendo o absorbiendo un fotón de energía igual a la diferencia de energías entre los dos estados. Calcule la frecuencia y la longitud de onda de ese fotón.
7. Calcule el nivel mínimo de energía para una partícula en una caja, si la partícula es un electrón, y la caja mide ퟓ.ퟎ ×ퟏퟎ−ퟏퟎ풎 en su interior, es decir, es un poco mayor que un átomo.
8. Demostrar las equivalencias entre unidades.
1푠=1,519 푥 1021푀푒푉−1. 1푓푚=5,068 푥 10−3푀푒푉.
9. Calcular cuántos fotones pos segundo emite una bombilla de ퟏퟎퟎ풘. La longitud de onda visible es de 흀~ퟔퟎퟎퟎ푨.
10. Un paquete de electrones es acelerado mediante una diferencia de potencial de ퟓퟎ ퟎퟎퟎ푽 y posteriormente lanzado contra una placa de plomo para producir rayos 푿 por bremsstra hlung. Determine la longitud de onda mínima de los rayos 푿 que se pueden obtener con este montaje.
Este documento contiene 11 problemas sobre radiación térmica de cuerpos negros. Los problemas aplican las leyes de Stefan-Boltzmann y Wien para calcular temperaturas y longitudes de onda a partir de datos como potencia de radiación, área y energía absorbida. Algunos problemas también calculan tiempo de enfriamiento al asumir emisión de cuerpo negro.
El documento presenta tres ejercicios sobre la ley de Gauss relacionados con cargas eléctricas puntuales y distribuciones de carga. El primer ejercicio involucra calcular el diámetro de un disco con carga distribuida basado en su flujo eléctrico. El segundo ejercicio pide calcular el flujo eléctrico a través de un plato plano debido a una carga puntual. El tercer ejercicio implica encontrar la densidad de carga donde el campo eléctrico se da en coordenadas cilíndricas
1- Ley de Coulomb
2- Campo eléctrico de distribución discreta de cargas
3- Campo eléctrico de distribución continua de carga
4- Ley de Gauss y flujo eléctrico
5- Campo eléctrico de esfera hueca y maciza
6- Potencial de distribución discreta
7- Potencial de distribución continua
8- Gradiente de potencial y equilibrio
9- Energía eléctrica en distribución de cargas
10- Cargas en un campo uniforme
11- Condensador de placas planas (vacío)
12- Condensador de placas planas (con dieléctrico)
13- Capacitor cilíndrico (vacío)
14- Capacitor esférico (vacío)
15- Capacitor cilíndrico (con dieléctrico)
Este documento presenta una introducción a la física cuántica, incluyendo las biografías de Max Planck, quien propuso la hipótesis de los cuantos para explicar la radiación del cuerpo negro, y otros físicos importantes como Einstein, Bohr y Schrödinger. Explica conceptos clave como el principio de incertidumbre, la naturaleza probabilística de las mediciones cuánticas, y que la energía se emite en paquetes discretos llamados cuantos en lugar de de forma continua.
1) El documento describe conceptos clave de la termodinámica como energía interna, energía térmica, calor, capacidad calorífica y la primera ley de la termodinámica.
2) Explica que la primera ley establece que el cambio en la energía interna de un sistema es igual al trabajo realizado sobre el sistema menos el calor transferido.
3) Presenta ejemplos de cálculos termodinámicos como el trabajo realizado por un gas al expandirse y la energía requerida para cambiar hielo a vapor.
Este documento presenta los conceptos de campo vectorial, rotacional y criterios para que un campo sea conservativo. Explica cómo calcular el rotacional de un campo vectorial y determinar si es conservativo mediante la igualdad de sus derivadas parciales. También muestra cómo hallar la función potencial para un campo conservativo mediante integración. Por último, proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento resume los conceptos básicos de capacitancia y capacitores. Explica que un capacitor está formado por dos conductores cargados separados por una distancia y puede almacenar carga eléctrica. Describe los tipos de capacitores naturales y artificiales, y cómo se calcula la capacitancia de un conductor esférico. También cubre cómo se calcula la capacitancia de un condensador plano y cómo afectan los dieléctricos a la capacitancia.
El documento explica las diferencias entre una corriente de conducción y una corriente de desplazamiento. Una corriente de desplazamiento ocurre en un dieléctrico o en el vacío cuando hay un cambio en el campo eléctrico con el tiempo, mientras que una corriente de conducción implica el movimiento físico de cargas eléctricas. James Clerk Maxwell postuló la existencia de corrientes de desplazamiento para explicar las diferencias observadas en la aplicación de la ley de Ampère.
El documento define la capacitancia y sus componentes. La capacitancia es la capacidad de un circuito eléctrico para almacenar carga entre dos placas conductoras separadas por un dieléctrico. Un capacitor está compuesto de dos placas paralelas y un dieléctrico aislante entre ellas. La capacitancia de un capacitor depende directamente del área de las placas y de forma inversa a la distancia entre ellas.
1) La transformada de Fourier permite representar funciones en el dominio de la frecuencia obteniendo una expresión matemática conocida como la transformada de Fourier de la función original. 2) Extendiendo las series de Fourier, la transformada de Fourier puede aplicarse también a funciones no periódicas mediante el uso de una integral en lugar de una suma. 3) La transformada de Fourier y su inversa son herramientas matemáticas útiles para resolver problemas al transformarlos a un dominio donde pueden ser más sencillos de resolver.
Este documento resume los conceptos de componentes radiales y transversales del movimiento en coordenadas polares. Explica que la velocidad y aceleración de una partícula se pueden descomponer en componentes paralelas y perpendiculares a la línea entre la partícula y el origen, conocidas como componentes radiales y transversales. Luego presenta fórmulas para calcular la velocidad radial, aceleración radial, velocidad transversal y aceleración transversal de una partícula. Por último, analiza el caso de una partícula que se mue
El documento presenta un resumen de cinco capítulos sobre conceptos de electromagnetismo. El Capítulo 1 trata sobre carga eléctrica y campo eléctrico. El Capítulo 2 sobre la ley de Gauss. El Capítulo 3 sobre potencial eléctrico. El Capítulo 4 sobre capacitancia y dieléctricos. Y el Capítulo 5 sobre corriente eléctrica, resistencia y fuerza electromotriz en circuitos. Además, incluye información sobre energía potencial eléctrica, potencial eléctrico, cálculo de pot
Este documento presenta conceptos clave sobre flujo eléctrico. Explica que el flujo eléctrico representa el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie y puede ser positivo, negativo o cero. También define la relación matemática entre flujo eléctrico, campo eléctrico y área superficial. Además, discute cómo la presencia de carga eléctrica dentro de una superficie cerrada afecta el flujo a través de dicha superficie de acuerdo a la ley
Este documento presenta cuatro ejemplos numéricos relacionados con campos eléctricos. El primer ejemplo calcula las fuerzas eléctrica y gravitacional entre un electrón y un protón en un átomo de hidrógeno. El segundo ejemplo encuentra la fuerza resultante sobre una carga puntual dada tres cargas en un triángulo rectángulo. El tercer ejemplo determina la ubicación de una carga donde la fuerza resultante es cero. El cuarto ejemplo calcula la magnitud de la carga en dos esferas idénticas colg
Este documento trata sobre problemas de electroestática relacionados con cargas puntuales, lineales y superficiales. Incluye 7 problemas resueltos sobre cargas puntuales, como determinar la carga de dos esferas separadas por hilos o el campo eléctrico creado por dos cargas. También cubre 4 problemas sobre cargas lineales como calcular el campo creado por una distribución de carga rectilínea o mantener en equilibrio un cable con carga. Finalmente, presenta un problema sobre una distribución de carga con densidad variable.
La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica total encerrada dividida por la permitividad del vacío. El documento explica esta ley y presenta varios ejemplos de su aplicación al calcular el flujo eléctrico a través de diferentes superficies debido a cargas puntuales y distribuidas.
DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO
LEY DE GAUSS
APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
DIVERGENCIA
PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL [ELECTROSTÁTICA]
OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
Este documento presenta un capítulo sobre el flujo de campo eléctrico y la ley de Gauss. Explica el cálculo del flujo eléctrico debido a cargas puntuales y distribuciones continuas de carga, así como a través de superficies regulares planas y curvas. También introduce la relación entre el campo eléctrico, la carga interna y el área, y cómo aplicar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico generado por distribuciones esféricamente simétricas de carga. Contiene numeros
Este resumen contiene 3 oraciones:
El documento presenta 10 ejercicios y problemas relacionados con el campo eléctrico. Los ejercicios incluyen cálculos de carga eléctrica, constante dieléctrica, intensidad de campo eléctrico y fuerza eléctrica. Los problemas tratan temas como trayectorias de partículas cargadas en campos eléctricos uniformes y cálculo de potencial eléctrico y flujo eléctrico.
Este documento presenta conceptos clave sobre capacitancia, incluyendo: 1) la definición de capacitancia como la relación entre la carga y el voltaje en un conductor; 2) cómo la capacitancia depende de parámetros como el área, separación y constante dieléctrica; y 3) fórmulas para calcular la capacitancia, carga, voltaje y energía almacenada en capacitores.
Este documento presenta conceptos clave sobre trabajo, momentos y centros de masa en el cálculo integral. Explica cómo calcular el trabajo realizado cuando la fuerza es constante o variable, y cómo determinar el centro de masa y centroide de sistemas de objetos y regiones planas. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estos temas.
Ley de enfriamiento o Calentamiento /Cambio de TemperaturaRonald Sisalima
La transferencia de calor está relacionada con los cuerpos calientes y fríos, llevando a cabo procesos como: vaporización, cristalización, reacciones químicas, entre otras. En donde la transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos y cada uno de ellos cuenta con sus propias peculiaridades.
Este documento presenta ejercicios resueltos y propuestos sobre series de Fourier. Los ejercicios tratan sobre temas como hallar el período de funciones, probar la ortogonalidad de la base de funciones seno y coseno, y determinar los coeficientes de Fourier y las representaciones en serie de Fourier para diferentes funciones.
Este documento contiene 14 problemas sobre conceptos magnéticos como la fuerza magnética, el flujo magnético, el momento de torsión y la interacción entre campos eléctricos y magnéticos. Los problemas involucran cálculos para determinar velocidades, tiempos, fuerzas, campos magnéticos y otros valores físicos dados ciertos parámetros como cargas eléctricas, corrientes eléctricas, masas y dimensiones de objetos en campos magnéticos y eléctricos.
La energía nuclear se libera en reacciones nucleares y fue descubierta accidentalmente por Henri Becquerel en 1896. Se obtiene energía aprovechable de la fisión y fusión nuclear de isótopos en los núcleos de elementos como el uranio, y se utiliza para generar electricidad, calor y movimiento, así como en tecnología nuclear y armas nucleares explosivas.
El documento describe las funciones de onda en mecánica cuántica. Explica que las partículas subatómicas se comportan como ondas y que la función de onda contiene información probabilística sobre la posición y momento de una partícula. También introduce la ecuación de Schrödinger, que describe el comportamiento de las funciones de onda y su relación con la probabilidad de encontrar una partícula en un lugar determinado.
Este documento presenta los conceptos de campo vectorial, rotacional y criterios para que un campo sea conservativo. Explica cómo calcular el rotacional de un campo vectorial y determinar si es conservativo mediante la igualdad de sus derivadas parciales. También muestra cómo hallar la función potencial para un campo conservativo mediante integración. Por último, proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento resume los conceptos básicos de capacitancia y capacitores. Explica que un capacitor está formado por dos conductores cargados separados por una distancia y puede almacenar carga eléctrica. Describe los tipos de capacitores naturales y artificiales, y cómo se calcula la capacitancia de un conductor esférico. También cubre cómo se calcula la capacitancia de un condensador plano y cómo afectan los dieléctricos a la capacitancia.
El documento explica las diferencias entre una corriente de conducción y una corriente de desplazamiento. Una corriente de desplazamiento ocurre en un dieléctrico o en el vacío cuando hay un cambio en el campo eléctrico con el tiempo, mientras que una corriente de conducción implica el movimiento físico de cargas eléctricas. James Clerk Maxwell postuló la existencia de corrientes de desplazamiento para explicar las diferencias observadas en la aplicación de la ley de Ampère.
El documento define la capacitancia y sus componentes. La capacitancia es la capacidad de un circuito eléctrico para almacenar carga entre dos placas conductoras separadas por un dieléctrico. Un capacitor está compuesto de dos placas paralelas y un dieléctrico aislante entre ellas. La capacitancia de un capacitor depende directamente del área de las placas y de forma inversa a la distancia entre ellas.
1) La transformada de Fourier permite representar funciones en el dominio de la frecuencia obteniendo una expresión matemática conocida como la transformada de Fourier de la función original. 2) Extendiendo las series de Fourier, la transformada de Fourier puede aplicarse también a funciones no periódicas mediante el uso de una integral en lugar de una suma. 3) La transformada de Fourier y su inversa son herramientas matemáticas útiles para resolver problemas al transformarlos a un dominio donde pueden ser más sencillos de resolver.
Este documento resume los conceptos de componentes radiales y transversales del movimiento en coordenadas polares. Explica que la velocidad y aceleración de una partícula se pueden descomponer en componentes paralelas y perpendiculares a la línea entre la partícula y el origen, conocidas como componentes radiales y transversales. Luego presenta fórmulas para calcular la velocidad radial, aceleración radial, velocidad transversal y aceleración transversal de una partícula. Por último, analiza el caso de una partícula que se mue
El documento presenta un resumen de cinco capítulos sobre conceptos de electromagnetismo. El Capítulo 1 trata sobre carga eléctrica y campo eléctrico. El Capítulo 2 sobre la ley de Gauss. El Capítulo 3 sobre potencial eléctrico. El Capítulo 4 sobre capacitancia y dieléctricos. Y el Capítulo 5 sobre corriente eléctrica, resistencia y fuerza electromotriz en circuitos. Además, incluye información sobre energía potencial eléctrica, potencial eléctrico, cálculo de pot
Este documento presenta conceptos clave sobre flujo eléctrico. Explica que el flujo eléctrico representa el número de líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie y puede ser positivo, negativo o cero. También define la relación matemática entre flujo eléctrico, campo eléctrico y área superficial. Además, discute cómo la presencia de carga eléctrica dentro de una superficie cerrada afecta el flujo a través de dicha superficie de acuerdo a la ley
Este documento presenta cuatro ejemplos numéricos relacionados con campos eléctricos. El primer ejemplo calcula las fuerzas eléctrica y gravitacional entre un electrón y un protón en un átomo de hidrógeno. El segundo ejemplo encuentra la fuerza resultante sobre una carga puntual dada tres cargas en un triángulo rectángulo. El tercer ejemplo determina la ubicación de una carga donde la fuerza resultante es cero. El cuarto ejemplo calcula la magnitud de la carga en dos esferas idénticas colg
Este documento trata sobre problemas de electroestática relacionados con cargas puntuales, lineales y superficiales. Incluye 7 problemas resueltos sobre cargas puntuales, como determinar la carga de dos esferas separadas por hilos o el campo eléctrico creado por dos cargas. También cubre 4 problemas sobre cargas lineales como calcular el campo creado por una distribución de carga rectilínea o mantener en equilibrio un cable con carga. Finalmente, presenta un problema sobre una distribución de carga con densidad variable.
La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica total encerrada dividida por la permitividad del vacío. El documento explica esta ley y presenta varios ejemplos de su aplicación al calcular el flujo eléctrico a través de diferentes superficies debido a cargas puntuales y distribuidas.
DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO
LEY DE GAUSS
APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
DIVERGENCIA
PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL [ELECTROSTÁTICA]
OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
Este documento presenta un capítulo sobre el flujo de campo eléctrico y la ley de Gauss. Explica el cálculo del flujo eléctrico debido a cargas puntuales y distribuciones continuas de carga, así como a través de superficies regulares planas y curvas. También introduce la relación entre el campo eléctrico, la carga interna y el área, y cómo aplicar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico generado por distribuciones esféricamente simétricas de carga. Contiene numeros
Este resumen contiene 3 oraciones:
El documento presenta 10 ejercicios y problemas relacionados con el campo eléctrico. Los ejercicios incluyen cálculos de carga eléctrica, constante dieléctrica, intensidad de campo eléctrico y fuerza eléctrica. Los problemas tratan temas como trayectorias de partículas cargadas en campos eléctricos uniformes y cálculo de potencial eléctrico y flujo eléctrico.
Este documento presenta conceptos clave sobre capacitancia, incluyendo: 1) la definición de capacitancia como la relación entre la carga y el voltaje en un conductor; 2) cómo la capacitancia depende de parámetros como el área, separación y constante dieléctrica; y 3) fórmulas para calcular la capacitancia, carga, voltaje y energía almacenada en capacitores.
Este documento presenta conceptos clave sobre trabajo, momentos y centros de masa en el cálculo integral. Explica cómo calcular el trabajo realizado cuando la fuerza es constante o variable, y cómo determinar el centro de masa y centroide de sistemas de objetos y regiones planas. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estos temas.
Ley de enfriamiento o Calentamiento /Cambio de TemperaturaRonald Sisalima
La transferencia de calor está relacionada con los cuerpos calientes y fríos, llevando a cabo procesos como: vaporización, cristalización, reacciones químicas, entre otras. En donde la transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos y cada uno de ellos cuenta con sus propias peculiaridades.
Este documento presenta ejercicios resueltos y propuestos sobre series de Fourier. Los ejercicios tratan sobre temas como hallar el período de funciones, probar la ortogonalidad de la base de funciones seno y coseno, y determinar los coeficientes de Fourier y las representaciones en serie de Fourier para diferentes funciones.
Este documento contiene 14 problemas sobre conceptos magnéticos como la fuerza magnética, el flujo magnético, el momento de torsión y la interacción entre campos eléctricos y magnéticos. Los problemas involucran cálculos para determinar velocidades, tiempos, fuerzas, campos magnéticos y otros valores físicos dados ciertos parámetros como cargas eléctricas, corrientes eléctricas, masas y dimensiones de objetos en campos magnéticos y eléctricos.
La energía nuclear se libera en reacciones nucleares y fue descubierta accidentalmente por Henri Becquerel en 1896. Se obtiene energía aprovechable de la fisión y fusión nuclear de isótopos en los núcleos de elementos como el uranio, y se utiliza para generar electricidad, calor y movimiento, así como en tecnología nuclear y armas nucleares explosivas.
El documento describe las funciones de onda en mecánica cuántica. Explica que las partículas subatómicas se comportan como ondas y que la función de onda contiene información probabilística sobre la posición y momento de una partícula. También introduce la ecuación de Schrödinger, que describe el comportamiento de las funciones de onda y su relación con la probabilidad de encontrar una partícula en un lugar determinado.
La ecuación de Schrödinger se postuló para describir los estados cuánticos discretos de los átomos. Se dedujo intuitivamente buscando paralelismos con la mecánica clásica, ya que no se pudo derivar exactamente de principios físicos antiguos. Describe la energía total como un operador que es igual al hamiltoniano. Resuelve ecuaciones diferenciales para funciones de onda que oscilan en el tiempo y son estacionarias en el espacio, dando estados cuánticos con energía bien definida e infinitamente estables
El experimento mental del gato de Schrödinger ilustra una paradoja de la mecánica cuántica donde un gato encerrado en una caja puede estar simultáneamente vivo y muerto. Dentro de la caja hay un dispositivo que tiene una probabilidad del 50% de matar al gato, poniendo al gato en un estado de superposición cuántica de vivo y muerto hasta que se abra la caja y se mida su estado. Esto plantea interrogantes sobre la naturaleza de la realidad física a nivel cuántico.
1) En 1924, Louis de Broglie propuso que la luz y la materia exhiben una dualidad onda-corpúsculo, es decir, que pueden comportarse como ondas o como partículas.
2) Según Broglie, las partículas subatómicas como electrones deben tener una longitud de onda asociada a su movimiento, similar a como los fotones tienen una longitud de onda.
3) Broglie desarrolló una ecuación para calcular la longitud de onda de una partícula en función de su masa y velocidad, an
Modelo mecano-cuántico de Schrödinger y Nº cuanticomaktiger
El documento describe el modelo mecanocuántico de Schrödinger, el cual establece que los electrones en un átomo no orbitan en trayectorias definidas sino que existen en regiones de espacio llamadas orbitales donde hay una mayor probabilidad de encontrarlos. Schrödinger propuso una ecuación matemática cuya solución predice la función de onda de un electrón y los números cuánticos describen las propiedades de los orbitales atómicos.
El documento describe el modelo atómico de Sommerfeld, que modificó el modelo de Bohr introduciendo el concepto de subniveles para explicar la ubicación de los electrones en diferentes niveles de energía. También describe los principios de dualidad onda-partícula, la naturaleza ondulatoria del electrón propuesta por Louis de Broglie, e introduce los números cuánticos y su significado en la ecuación de Schrödinger para describir el comportamiento de los electrones.
La ecuación de Schrödinger para un átomo de hidrógeno puede resolverse mediante la técnica de separación de variables en coordenadas polares esféricas. Esto permite dividir la ecuación en tres ecuaciones diferenciales ordinarias, cada una en función de una coordenada. La solución toma la forma de un producto de tres funciones donde los números cuánticos n, l y m caracterizan los posibles estados cuánticos y los valores permitidos de la energía.
El documento trata sobre las ondas y sus características. Explica que una onda es una perturbación que se propaga transportando energía pero no materia, y que en cualquier punto de su trayectoria hay una oscilación periódica alrededor de una posición de equilibrio. También clasifica las ondas según su medio de propagación, su dirección, su periodicidad y más.
Este documento resume la antimateria, incluyendo su origen, propiedades, producción y usos. Brevemente describe que la antimateria está compuesta de antipartículas como el positrón y el antiprotón, y que aunque se cree que originalmente existía en igual proporción que la materia en el Big Bang, ahora existe muy poca en el universo.
El documento resume la evolución histórica de la teoría atómica desde el siglo XIX hasta principios del siglo XX. Inicialmente, los químicos como Dalton usaron la hipótesis atómica para explicar las reacciones químicas, pero los átomos no se consideraban reales. Más tarde, la teoría cinética de gases y el movimiento browniano proporcionaron evidencia experimental de la existencia de los átomos. Sin embargo, la mecánica cuántica planteó nuevos desafíos sobre el significado de la real
Este documento presenta conceptos fundamentales de física y química como ciencias experimentales. Explica que la física estudia la naturaleza y sus fenómenos mientras que la química se enfoca en la estructura interna de la materia. También describe el método científico y sus fases de observación, formulación de hipótesis, pruebas experimentales, análisis de resultados y conclusiones. Finalmente, introduce conceptos como magnitudes, unidades, sistema internacional de unidades, notación científica y representación de gráficas.
Este documento presenta una breve introducción a varios conceptos fundamentales de la mecánica cuántica como el espectro del cuerpo negro, la dualidad onda-partícula, el efecto fotoeléctrico, el gato de Schrodinger, el principio de incertidumbre y el átomo de Bohr, así como los nombres de algunos de los científicos clave asociados con estos conceptos como Planck, Einstein, Schrodinger, Heisenberg y Bohr.
Este documento describe los principales conceptos y desarrollos de la mecánica cuántica, incluyendo la radiación del cuerpo negro, la teoría cuántica de Planck, el efecto fotoeléctrico y su explicación por Einstein, el concepto de fotón, la dualidad onda-corpúsculo y el principio de incertidumbre.
El documento resume conceptos clave de la termodinámica y la teoría del caos. Explica que la entropía mide el desorden en un sistema y aumenta para procesos naturales según la segunda ley de la termodinámica. También clasifica sistemas dinámicos como estables, inestables o caóticos, y señala que el tiempo atmosférico es un sistema caótico debido a su alta sensibilidad a condiciones iniciales.
Este documento presenta un resumen de la teoría especial y general de la relatividad. Explica conceptos clave como el movimiento relativo, los postulados de la relatividad especial, la dilatación del tiempo, la contracción de longitudes, la equivalencia masa-energía y cómo la gravedad curva el espacio-tiempo de acuerdo a la relatividad general. Finalmente, discute cómo la teoría de Einstein se reduce a la gravitación newtoniana a velocidades lentas.
Este documento describe las soluciones de la ecuación de Schrödinger para varios potenciales en una dimensión. Comienza con la partícula libre, donde las soluciones son ondas planas con un espectro continuo de energía. Luego analiza el potencial escalón, distinguiendo entre casos donde la energía es mayor o menor que la altura del escalón. Finalmente, introduce el oscilador armónico simple y calcula la densidad de estados para una partícula libre en tres dimensiones.
Este documento describe las soluciones de la ecuación de Schrödinger para varios potenciales en una dimensión. Comienza con la partícula libre, donde las soluciones son ondas planas con un espectro continuo de energía. Luego analiza el potencial escalón, donde las soluciones dependen de si la energía es mayor o menor que la altura del escalón. Finalmente, introduce el oscilador armónico simple y calcula la densidad de estados para una partícula libre en tres dimensiones.
Este documento resume los principales conceptos y desarrollos de la mecánica cuántica. Introduce la mecánica cuántica como indeterminista en contraste con la mecánica clásica determinista. Describe experimentos como la doble rendija que muestran la naturaleza ondulatoria de partículas como electrones. Explica los principios de incertidumbre de Heisenberg y cómo la función de onda Ψ describe el estado cuántico de un sistema. Finalmente, presenta la ecuación de Schrödinger como la herram
1. Las ecuaciones de Maxwell predicen la existencia de ondas electromagnéticas que son soluciones transversales de dichas ecuaciones y que se propagan a la velocidad de la luz.
2. Las ondas electromagnéticas consisten en campos eléctrico y magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación, transportando energía a través del espacio descrita por el vector de Poynting.
3. El espectro electromagnético clasifica las ondas según su longitud de onda, abarcando desde on
1) La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo describe el comportamiento ondulatorio de partículas que se mueven en el tiempo. 2) Para encontrar soluciones especiales con energía bien definida, se propone que la función de onda puede separarse en funciones del espacio y del tiempo. 3) Esto conduce a ecuaciones separadas cuya solución da lugar a estados estacionarios con la función de onda factorizándose en una función espacial y un exponencial dependiente del tiempo.
El documento introduce el principio de complementariedad de Bohr, que establece que los aspectos ondulatorios y corpusculares de la radiación electromagnética y las partículas son complementarios. Explica que la función de onda asociada a una partícula material representa un paquete de ondas que permite localizar la partícula y guiar su movimiento. Finalmente, introduce el principio de incertidumbre de Heisenberg, que establece que no es posible medir simultáneamente con precisión la posición y cantidad de movimiento de una partícula
Este documento resume conceptos clave de la mecánica cuántica. Explica que la mecánica cuántica es indeterminista a diferencia de la mecánica clásica que es determinista. Describe experimentos como la doble rendija que muestran la naturaleza ondulatoria de partículas como electrones. También introduce los principios de incertidumbre de Heisenberg y explica que la función de onda describe el estado cuántico de un sistema. Finalmente, presenta la ecuación de Schrödinger como la herramienta fundamental
El documento introduce las ecuaciones en derivadas parciales y el método de separación de variables para resolverlas. Explica el problema clásico de la cuerda vibrante modelado por la ecuación de ondas unidimensional. Presenta la solución general de D'Alembert como la superposición de dos ondas que viajan en sentidos opuestos. Finalmente, aplica el método de separación de variables para resolver analíticamente el problema de la cuerda vibrante con condiciones iniciales y de contorno dadas.
1) La mecánica cuántica surgió en el siglo XX para explicar fenómenos indeterministas como la doble rendija de electrones. 2) Según la mecánica cuántica, las partículas se describen mediante funciones de onda que representan la probabilidad de encontrar la partícula en una posición dada. 3) La ecuación de Schrödinger es fundamental en la mecánica cuántica para describir los estados cuánticos de las partículas.
1) La mecánica cuántica surgió en el siglo XX para explicar fenómenos indeterministas como la doble rendija de electrones. 2) Según la mecánica cuántica, las partículas se describen mediante funciones de onda que representan la probabilidad de encontrar la partícula en un punto dado. 3) La ecuación de Schrödinger es fundamental en la mecánica cuántica para describir los estados cuánticos de las partículas.
1) La mecánica cuántica surgió en el siglo XX para explicar fenómenos indeterministas como la doble rendija de electrones. 2) Según la mecánica cuántica, las partículas se describen mediante funciones de onda que representan la probabilidad de encontrar la partícula en un punto dado. 3) La ecuación de Schrödinger es fundamental en la mecánica cuántica para describir los estados cuánticos de las partículas.
1) La mecánica cuántica surgió en el siglo XX para explicar fenómenos indeterministas como la doble rendija de electrones. 2) Según la mecánica cuántica, las partículas se describen mediante funciones de onda que representan la probabilidad de encontrar la partícula en una posición dada. 3) La ecuación de Schrödinger es fundamental en la mecánica cuántica para describir los estados cuánticos de las partículas.
Mecanica Cuantica http://fisicamoderna9.blogspot.com/Carlos Luna
1) La mecánica cuántica surgió en el siglo XX para explicar fenómenos indeterministas como la doble rendija de electrones. 2) Según la mecánica cuántica, las partículas se describen mediante funciones de onda que representan la probabilidad de encontrar la partícula en una posición dada. 3) La ecuación de Schrödinger es fundamental en la mecánica cuántica para describir los estados cuánticos de las partículas.
1) El documento describe las ondas electromagnéticas y su relación con las ecuaciones de Maxwell. 2) Al resolver las ecuaciones de Maxwell en el vacío sin fuentes de campo, se obtienen ondas electromagnéticas que se propagan a la velocidad de la luz. 3) Las ondas electromagnéticas son transversales, con los campos eléctrico y magnético perpendiculares a la dirección de propagación y relacionados entre sí.
Este documento discute cómo los problemas físicos pueden modelarse como ecuaciones diferenciales de segundo orden. Explica que el modelado matemático involucra tres pasos: 1) formular un modelo a partir de la situación física, 2) resolver el modelo, y 3) interpretar la solución matemática en términos físicos. Luego presenta varios ejemplos de problemas que conducen a ecuaciones diferenciales de segundo orden, como el movimiento armónico simple y circuitos eléctricos RLC.
Este documento explica la transformada discreta de Fourier (DFT), que permite representar señales de tiempo discreto como combinaciones lineales de exponenciales complejas. Describe cómo calcular los coeficientes de la serie de Fourier para señales periódicas y aperiódicas. También analiza ejemplos como ondas cuadradas y senos, y cómo reconstruir parcialmente las señales originales a partir de un número limitado de términos de la serie.
Este documento describe el método de Crank-Nicholson para resolver la ecuación de difusión. El método discretiza el espacio en elementos finitos y el tiempo en pasos discretos. Se aproxima la solución mediante funciones lineales por elementos. Esto conduce a un sistema de ecuaciones matriciales que relaciona los valores de la solución en los nodos en cada paso de tiempo. El método proporciona una aproximación numérica estable y precisa de la solución de la ecuación de difusión.
1) El documento discute las ondas en sólidos elásticos y fluidos, incluyendo ondas longitudinales en sólidos y gases, y ondas superficiales en agua. 2) Describe cómo las ondas se propagan a través de diferentes materiales a velocidades que dependen de propiedades como el módulo de Young y la compresibilidad. 3) También cubre conceptos como la relación de dispersión, el frente de onda, y las características de ondas planas, esféricas y de superficie.
El documento resume los pasos matemáticos para derivar la ecuación de energía total de Einstein, E=mc2. Explica que Einstein partió de la definición de energía cinética clásica y la modificó para incluir fuerzas y velocidades relativistas. Tras simplificar términos y resolver una integral, se obtiene la famosa ecuación que relaciona la masa, la velocidad de la luz y la energía total de un objeto.
Este documento describe ecuaciones diferenciales en derivadas parciales separables. Explica que estas ecuaciones pueden convertirse en dos ecuaciones diferenciales ordinarias mediante el método de separación de variables. También cubre conceptos como soluciones de ecuaciones diferenciales parciales, principio de superposición, y ejemplos como la ecuación del calor unidimensional y la ecuación de onda unidimensional, incluyendo problemas de valores en la frontera.
2. ECUACIÓN DE
SCHRÖDINGER
Ecuación de Schrödinger en una dimensión
Es la ecuación de onda que rige el
movimiento de los electrones (y otras
partículas con masa).
Relaciona las derivadas temporales y
espaciales de la función de onda.
No puede deducirse (al igual que las leyes de
Newton del movimiento).
3. Ecuación de onda ∂2 y 1 ∂2 y
clásica = 2 2
∂x 2
v ∂t
Para los fotones: v=c
∂2E 1 ∂2E
Reemplazamos y(x,t) por E(x,t): = 2 2
∂x 2
v ∂t
Solución E ( x, t ) = E0 cos( kx − ωt )
:
∂2E
= −ω 2 E0 cos(kx − ωt ) = −ω 2 E ( x, t )
∂t 2 ω2
−k = − 2
2
c
ω = kc
∂2E
= − k 2 E ( x, t ) ω(k):
∂x 2
relación de
E dispersión
Como: ω= y p = k
E = pc RELACIÓN ENTRE LA CANTIDAD DE
MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA DE UN
FOTÓN
4. Ecuación de
Schrödinger 2 ∂ 2 Ψ ( x, t ) ∂Ψ ( x, t )
dependiente del − 2m ∂x 2 + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i
∂t
tiempo
La ecuación que buscamos relaciona la primera derivada temporal y la
segunda espacial y la energía potencial
Tenemos un factor k cuando derivamos
respecto de la posición 2k 2
ω = +V
Tenemos un factor ω cuando 2m
derivamos respecto del tiempo
E ω(k):
Utilizando las relaciones de de ω= y p = k relación de
Broglie dispersión
2
p
E= +V ENERGÍA DE UNA PARTÍCULA DE
MASA m
2m V: energía potencial
5. Función de onda de la partícula
libre
En el caso en que no existen fuerzas: la
energía potencial es constante.
V(x)=V0
2 ∂ 2 Ψ ( x, t ) ∂Ψ ( x, t )
− + V0 Ψ ( x, t ) = i
2m ∂x 2 ∂t
La forma exponencial de la función de onda
armónica satisface −ωt ) la ecuación de
Ψ ( x, t ) = Ae
Schrödinger:
i ( kx
donde A = cte
6. Sustituyendo en la ecuación:
O sea:
Este resultado
coincide con la
ecuación vista
anteriormente.
7. i ( kx −ωt )
Ψ ( x, t ) = Ae
Las funciones de onda que satisfacen la
ecuación de Schrödinger no son
necesariamente reales
La función de onda Ψ(x,t) no es una función
medible ya que las medidas siempre producen
números reales.
8. Probabilidad de hallar al
electrón
La probabilidad de que un electrón esté en la
región dx es:
2
P ( x, t )dx = Ψ ( x, t ) dx = Ψ *Ψdx
que toma un valor real.
Como el electrón debe estar en algún punto,
la suma de las probabilidades en todos los
valores posibles de x debe ser igual a 1.
+∞
∫ Ψ Ψdx = 1
* Condición de normalización
−∞
9. Si la función de onda describe una partícula en un estado de energía
definida, conviene escribirla como:
Sustituyendo Ψ(x,t) en la ecuación de Schrödinger dependiente del
tiempo:
Ecuación de
Schrödinger
independiente
del tiempo
En este caso:
Entonces:
Condición de
normalización
10. Condiciones que debe cumplir la
función de onda para ser aceptable
1- ψ(x) debe satisfacer la ecuación de Schrödinger.
2- ψ(x) y ψ´ (x) deben ser monovaluadas.
3- ψ(x) debe ser continua (ya que la probabilidad de hallar
una partícula no puede ser discontinua de un punto a
otro).
4- ψ´(x) debe ser continua ya que en la ecuación de
Schrödinger interviene ψ´´(x).
Esto puede no cumplirse cuando V(x) sea infinita: En este caso
ψ(x)=0 porque ninguna partícula puede tener energía infinita. En el
límite de la región en que esto ocurre ψ´puede ser discontinua.
5- ψ(x) →0 cuando x →±∞, de modo que ψ(x) pueda
normalizarse.
12. Como la energía potencial es infinita fuera del
pozo, ψ=0 allí y la partícula debe estar dentro
del pozo.
Como ψ(x) debe ser continua, ψ(x)debe ser
nula en x=0 y x=L.
13. De la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
O sea:
donde
:
k: número de onda
Esta ecuación tiene soluciones de la forma:
y A y B son constantes
Condición límite: ψ(x)=0 para x=0 → se elimina la solución coseno ya que cos 0=1
Condición límite: ψ(x)=0 para x=L → ψ(L)=A senkL=0 → kL= nπ
n=1,2,3,…
14. Sustituyendo en la ecuación del número de
onda:
Diagrama de niveles energéticos
Clásicamente: una partícula
puede tener cualquier valor de
energía.
Mecánica Cuántica: Sólo algunos
valores de En conducen a
soluciones con buen
comportamiento de la ecuación
de Schrödinger.
15. Para encontrar A usamos la condición de normalización:
Integrando obtenemos que:
Por lo tanto:
n=1,2,3,…
número
cuántico
Funciones de onda para un pozo
infinito
16. Funciones de onda y funciones de distribución de
probabilidades para el estado fundamental (n=1) y los dos
primeros estados excitados.
17. Solución clásica de este problema:
Dentro del pozo: V=0.
La partícula se mueve con velocidad constante dentro del pozo.
En los bordes, una fuerza muy grande hace rebotar la partícula
con la misma velocidad (en módulo).
Clásicamente está permitida cualquier velocidad y cualquier
energía.
La probabilidad de hallar la partícula en una cierta región dx es
proporcional al tiempo empleado en dx. Este tiempo es dx/v.
Como v es constante, la función de distribución es constante
dentro del pozo. 1
P=
L
Si n es grande, los picos de ψn2(x) están
muy próximos y sólo se observa el valor
medio:
Coincide con la
distribución clásica
19. E<V0
Dentro del pozo: V(x) =0
Fuera del pozo: V(x) =V0
Condición: ψ(x) y ψ´(x) deben ser continuas en los
límites del pozo.
20. Resolviendo las ecuaciones diferenciales y exigiendo esta
condición podemos obtener las funciones de onda y las
energías permitidas.
21. Las longitudes de onda dentro del pozo son
ligeramente mayores que las
correspondientes longitudes de onda del pozo
infinito, de modo que las energías son
ligeramente menores.
Existe sólo un número finito de energías
permitidas (dependiendo del valor de V0). Si V0
es pequeño existe sólo un nivel de energía
permitido, es decir, sólo puede existir un
estado ligado.
22. Física Clásica: la partícula no puede hallarse
fuera de la caja.
Física Cuántica: Existe cierta probabilidad de
hallar la partícula fuera de la caja (x<0; x>L)
En estas regiones E<V0
¿Podríamos medir en este caso
una energía cinética negativa?
NO
23. Consideremos x>L entonces ψ disminuye como e-αx
resulta muy pequeña en una
ψ 2 = e −2αx
distancia del orden ∆x≈α-1
Consideramos ψ(x) despreciable más allá de x=L+α-1, entonces
encontrar la partícula en la región x>L es aproximadamente equivalente
a localizarla en una región ∆x≈α-1
Usando el principio de incertidumbre:
y la energía cinética mínima será del orden de:
Esto impide que se mida una energía cinética
negativa
24. Valores esperados
Cuando nos interesa conocer la probabilidad
de medir un cierto valor de la posición x,
usamos:
Valor esperado de x
El valor esperado coincide con el valor medio
de x que deberíamos obtener a partir de una
medida de las posiciones de un gran número
de partículas con la misma función de onda
Ψ(x,t).
25. Valores esperados
Para una partícula en un estado de energía
definida la distribución de probabilidad es
independiente del tiempo.
En este caso:
El valor esperado de cualquier función f(x) es:
26. El oscilador armónico simple
El sistema vibra alrededor de una configuración
de equilibrio.
Ejemplo: un objeto soportado por un resorte, un
átomo en una red cristalina, una molécula
diatómica, etc.
Fuerza recuperadora: viene dada por la ley de
Hooke (para desplazamientos pequeños)
F=-kx
La energía potencial es: 1
F = − kx = −
dV ( x) dV ( x) = kxdx V ( x) = kx 2
dx 2
27. Reemplazando en la ecuación de Schrödinger:
2 d 2ψ 1 2
2
+ E − kx ψ = 0
2m dx 2
Para simplificar la ecuación conviene introducir
magnitudes adimensionales:
1
1 2 2πmν ν: frecuencia clásica
y = km x = x
1 k
ν=
2E m 2E 2π m
α= =
k hν
Reemplazando queda:
d 2ψ
2
+ (α − y 2 )ψ = 0
dy
28. Para que ψ sea una función de onda bien
comportada ψ→0 cuando y→±∞
d 2ψ d 2ψ
− ( y 2 − α )ψ = 0 = ( y 2 − α )ψ
dy 2 dy 2
d 2ψ
dy 2
=1
( )
y −α ψ
2
29. Cuando y→±∞, y²>>a y queda:
d 2ψ d 2ψ
dy 2 dy 2
lím 2 =1 lím 2 = 1
( )
y →∞ y − α ψ y →∞ y ψ
Una función que satisface esta condición es:
Forma asintótica para ψ
− y2
ψ∞ = e 2
30. La función que buscamos es:
donde f(y) es la
2
−y función que
ψ = f ( y )ψ ∞ = f ( y )e 2 debemos
determinar ahora
Entonces:
d2 f df
2
− 2y + (α − 1) f = 0
dy dy
31. Para resolver esta ecuación diferencial
debemos desarrollar f(y) como una serie de
potencias de y.
Para que la solución satisfaga las diversas
exigencias que debe cumplir ψ, la condición
necesaria y suficiente es:
α=2n+1 donde n=0,1,2,…..
Entonces: α n = 2 E = 2n + 1
hν
Para cada n hay una
1 energía diferente y
En = n + hν
2 una función de onda
diferente
32. La función de onda para cada valor de n se
obtiene como el producto de:
Un polinomio de Hermite
Un factor exponencial e-y²/2
Un coeficiente numérico (para que la función
cumpla la condición de normalización)
La fórmula general para la n-ésima función de
onda es:
1
2mν
( 2 n!)
4 1 − y2
ψn =
n 2
H n ( y )e 2
34. Conclusiones
1- No habrá un espectro continuo de energías
permitidas, sino un espectro discreto. Los niveles de
energía están igualmente espaciados (a diferencia
del pozo infinito).
35. 2- La energía más baja permitida no es E=0
sino un valor mínimo permitido:
1
E 0 = hν
2
Energía del punto cero
36. 3- Hay una cierta probabilidad de que la
partícula pueda atravesar la barrera de
potencial (es decir, salir de los límites clásicos
permitidos x=-A y x=+A).
37.
38. 4- Si comparamos las densidades de
probabilidad clásica y cuántica; tenemos:
Probabilidad clásica: máxima en los extremos
(donde se mueve más lentamente) y mínima
cerca de la posición de equilibrio (donde se
mueve con mayor rapidez).
39. Discrepancia con el
resultado clásico
Al promediar sobre x
tenemos
aproximadamente el
comportamiento
general de la
probabilidad clásica
40. Reflexión y transmisión de
ondas
Consideremos ahora ejemplos de estados no
ligados para los que E es mayor que V(x).
En estos casos:
ψ´´(x) tiene signo opuesto a la función de onda.
ψ(x) en todas partes se curva hacia el eje
Está permitido cualquier valor de energía.
41. Potencial escalón
V(x)=0 para x<0
V(x)=V0 para x>0
Consideremos una partícula de energía E que se
mueve desde la izquierda hacia la derecha.
42. Potencial escalón: resultado
clásico
x<0: la partícula se mueve con velocidad
x=0: actúa una fuerza impulsiva sobre la
partícula
E<V0: retrocede con su velocidad original, es
decir que es reflejada por el escalón.
E>V0: continúa moviéndose hacia la derecha tal
que
x>0: la velocidad disminuye a
43. Potencial escalón: mecánica
cuántica
E<V0: la función de onda no se anula en x=0 sino que
disminuye exponencialmente. La onda penetra en la
región prohibida clásicamente, pero luego se ve
completamente reflejada.
E>V0: el resultado difiere de la predicción clásica:
x<0
x=0: la longitud de onda varía abruptamente entonces parte de
la onda se verá reflejada y parte transmitida.
x>0
44. Para calcular las probabilidades de reflexión y de transmisión, se resuelve la
ecuación de Schrödinger y se obtiene que:
R: coeficiente de reflexión
k1 y k2: números de onda
original y final
T: coeficiente de
transmisión
Se puede demostrar que:
T + R =1
45. Efecto túnel
Una partícula de energía E incide sobre una barrera
rectangular de altura V0 y ancho a, siendo E<V0.
Existe cierta probabilidad
de que la partícula
(representada por la
función de onda) se
encuentre del otro lado
de la barrera, aunque
clásicamente nunca
podrá atravesarla.
46. Una variación del problema: considerar dos de
dichas barreras separadas una distancia L, es
decir, un pozo cuadrado con paredes de altura
finita V0 y espesor finito a.
Una partícula dentro del pozo, cada vez que
choca contra una barrera tiene una posibilidad
pequeña pero finita de atravesarla por efecto
túnel y escapar.
Ejemplo: diodo túnel; desintegración α.
47. Ecuación de Schrödinger
en tres dimensiones
En coordenadas rectangulares, la ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo es:
donde la función de onda y la energía
potencial son generalmente función de tres
coordenadas x, y y z.
48. Pozo de potencial infinito
cúbico
V=0 0<x<L
0<y<L
0<z<L
V=∞ fuera de esa región
49. En este caso:
donde ψn es una función sinusoidal como en el
caso de una dimensión.
Y la energía será:
50. Utilizando las restricciones sobre los números
de onda que se obtiene usando la condición
ψ=0 en las paredes: niπ
ki =
L
Tenemos:
La función de onda y la energía están caracterizadas por
tres números cuánticos, cada uno de los cuales surge a
partir de la condición límite de cada una de las
coordenadas.
51. Estados de energía:
n1=n2=n3=1 Estado fundamental
n1=2; n2=n3=1
n2=2; n1=n3=1 Primer estado excitado
n3=2; n1=n2=1
Cada uno conduce a una función de onda diferente.
Ejemplo:
52. Un nivel energético que tenga
asociada más de una función de onda
se dice que es degenerado.
La degeneración está relacionada con
la simetría del problema:
E211=E121=E112 degeneración triple
53. Pozo de potencial infinito no-
cúbico
V=0 0>x>L1
0>y>L2
0>z>L3
V=∞ fuera de esa región
54. Las condiciones límites en las paredes
conducen a:
Entonces:
55. Diagrama de niveles energéticos
Pozo infinito cúbico Pozo infinito no-cúbico
L1=L2=L3 L1<L2<L3