Ecuación de Schrodinger

INTRODUCCIÓN A LA
MECÁNICA CUÁNTICA
(continuación)
Física IV- Astronomía-Geofísica- U.N.S.J.

ECUACIÓN DE
SCHRÖDINGER
Ecuación de Schrödinger en una dimensión
 Es la ecuación de onda que rige el
movimiento de los electrones (y otras
partículas con masa).
 Relaciona las derivadas temporales y
espaciales de la función de onda.
 No puede deducirse (al igual que las leyes de

Newton del movimiento).

Ecuación de onda ∂2 y 1 ∂2 y
clásica = 2 2
∂x 2
v ∂t

Para los fotones: v=c
∂2E 1 ∂2E
Reemplazamos y(x,t) por E(x,t): = 2 2
∂x 2
v ∂t
Solución E ( x, t ) = E0 cos( kx − ωt )
:
∂2E
= −ω 2 E0 cos(kx − ωt ) = −ω 2 E ( x, t )
∂t 2 ω2
−k = − 2
2

c
ω = kc
∂2E
= − k 2 E ( x, t ) ω(k):
∂x 2
relación de
E dispersión
Como: ω= y p = k


E = pc RELACIÓN ENTRE LA CANTIDAD DE
MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA DE UN
FOTÓN

Ecuación de
Schrödinger  2 ∂ 2 Ψ ( x, t ) ∂Ψ ( x, t )
dependiente del − 2m ∂x 2 + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i
∂t
tiempo

La ecuación que buscamos relaciona la primera derivada temporal y la
segunda espacial y la energía potencial

Tenemos un factor k cuando derivamos
respecto de la posición  2k 2
ω = +V
Tenemos un factor ω cuando 2m
derivamos respecto del tiempo

E ω(k):
Utilizando las relaciones de de ω= y p = k relación de
Broglie  dispersión
2
p
E= +V ENERGÍA DE UNA PARTÍCULA DE
MASA m
2m V: energía potencial

Función de onda de la partícula
libre
 En el caso en que no existen fuerzas: la
energía potencial es constante.
V(x)=V0
 2 ∂ 2 Ψ ( x, t ) ∂Ψ ( x, t )
− + V0 Ψ ( x, t ) = i
2m ∂x 2 ∂t

 La forma exponencial de la función de onda
armónica satisface −ωt ) la ecuación de
Ψ ( x, t ) = Ae
Schrödinger:
i ( kx

donde A = cte

Sustituyendo en la ecuación:

O sea:

Este resultado
coincide con la
ecuación vista
anteriormente.

i ( kx −ωt )
Ψ ( x, t ) = Ae
Las funciones de onda que satisfacen la
ecuación de Schrödinger no son
necesariamente reales

La función de onda Ψ(x,t) no es una función
medible ya que las medidas siempre producen
números reales.

Probabilidad de hallar al
electrón
 La probabilidad de que un electrón esté en la
región dx es:
2
P ( x, t )dx = Ψ ( x, t ) dx = Ψ *Ψdx
que toma un valor real.
 Como el electrón debe estar en algún punto,
la suma de las probabilidades en todos los
valores posibles de x debe ser igual a 1.
+∞
∫ Ψ Ψdx = 1
* Condición de normalización
−∞

Si la función de onda describe una partícula en un estado de energía
definida, conviene escribirla como:

Sustituyendo Ψ(x,t) en la ecuación de Schrödinger dependiente del
tiempo:

Ecuación de
Schrödinger
independiente
del tiempo

En este caso:

Entonces:
Condición de
normalización

Condiciones que debe cumplir la
función de onda para ser aceptable
1- ψ(x) debe satisfacer la ecuación de Schrödinger.
2- ψ(x) y ψ´ (x) deben ser monovaluadas.
3- ψ(x) debe ser continua (ya que la probabilidad de hallar
una partícula no puede ser discontinua de un punto a
otro).
4- ψ´(x) debe ser continua ya que en la ecuación de
Schrödinger interviene ψ´´(x).
Esto puede no cumplirse cuando V(x) sea infinita: En este caso
ψ(x)=0 porque ninguna partícula puede tener energía infinita. En el
límite de la región en que esto ocurre ψ´puede ser discontinua.
5- ψ(x) →0 cuando x →±∞, de modo que ψ(x) pueda
normalizarse.

Pozo cuadrado infinito
(Problema de la partícula en una caja)

V(x)=0 si 0<x<L
V(x)=∞ si x<0 ó x>L

 Como la energía potencial es infinita fuera del
pozo, ψ=0 allí y la partícula debe estar dentro
del pozo.
 Como ψ(x) debe ser continua, ψ(x)debe ser
nula en x=0 y x=L.

De la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

O sea:
donde
:
k: número de onda

Esta ecuación tiene soluciones de la forma:

y A y B son constantes

Condición límite: ψ(x)=0 para x=0 → se elimina la solución coseno ya que cos 0=1

Condición límite: ψ(x)=0 para x=L → ψ(L)=A senkL=0 → kL= nπ

n=1,2,3,…

Sustituyendo en la ecuación del número de
onda:
Diagrama de niveles energéticos

 Clásicamente: una partícula
puede tener cualquier valor de
energía.
 Mecánica Cuántica: Sólo algunos
valores de En conducen a
soluciones con buen
comportamiento de la ecuación
de Schrödinger.

Para encontrar A usamos la condición de normalización:

Integrando obtenemos que:

Por lo tanto:

n=1,2,3,…
número
cuántico

Funciones de onda para un pozo
infinito

Funciones de onda y funciones de distribución de
probabilidades para el estado fundamental (n=1) y los dos
primeros estados excitados.

Solución clásica de este problema:
Dentro del pozo: V=0.
La partícula se mueve con velocidad constante dentro del pozo.
En los bordes, una fuerza muy grande hace rebotar la partícula
con la misma velocidad (en módulo).
Clásicamente está permitida cualquier velocidad y cualquier
energía.
La probabilidad de hallar la partícula en una cierta región dx es
proporcional al tiempo empleado en dx. Este tiempo es dx/v.
Como v es constante, la función de distribución es constante
dentro del pozo. 1
P=
L
Si n es grande, los picos de ψn2(x) están
muy próximos y sólo se observa el valor
medio:

Coincide con la
distribución clásica

Pozo cuadrado finito
 E>V0 Estudiaremos luego la solución.
 Consideraremos ahora E<V0

E<V0
 Dentro del pozo: V(x) =0

 Fuera del pozo: V(x) =V0

Condición: ψ(x) y ψ´(x) deben ser continuas en los
límites del pozo.

Resolviendo las ecuaciones diferenciales y exigiendo esta
condición podemos obtener las funciones de onda y las
energías permitidas.

 Las longitudes de onda dentro del pozo son
ligeramente mayores que las
correspondientes longitudes de onda del pozo
infinito, de modo que las energías son
ligeramente menores.
 Existe sólo un número finito de energías
permitidas (dependiendo del valor de V0). Si V0
es pequeño existe sólo un nivel de energía
permitido, es decir, sólo puede existir un
estado ligado.

 Física Clásica: la partícula no puede hallarse
fuera de la caja.
 Física Cuántica: Existe cierta probabilidad de
hallar la partícula fuera de la caja (x<0; x>L)
En estas regiones E<V0

¿Podríamos medir en este caso
una energía cinética negativa?

NO

Consideremos x>L entonces ψ disminuye como e-αx

resulta muy pequeña en una
ψ 2 = e −2αx
distancia del orden ∆x≈α-1
Consideramos ψ(x) despreciable más allá de x=L+α-1, entonces
encontrar la partícula en la región x>L es aproximadamente equivalente
a localizarla en una región ∆x≈α-1

Usando el principio de incertidumbre:

y la energía cinética mínima será del orden de:

Esto impide que se mida una energía cinética
negativa

Valores esperados
 Cuando nos interesa conocer la probabilidad
de medir un cierto valor de la posición x,
usamos:
Valor esperado de x

El valor esperado coincide con el valor medio
de x que deberíamos obtener a partir de una
medida de las posiciones de un gran número
de partículas con la misma función de onda
Ψ(x,t).

Valores esperados

 Para una partícula en un estado de energía
definida la distribución de probabilidad es
independiente del tiempo.
 En este caso:

 El valor esperado de cualquier función f(x) es:

El oscilador armónico simple
 El sistema vibra alrededor de una configuración
de equilibrio.
 Ejemplo: un objeto soportado por un resorte, un
átomo en una red cristalina, una molécula
diatómica, etc.
 Fuerza recuperadora: viene dada por la ley de
Hooke (para desplazamientos pequeños)
F=-kx
 La energía potencial es: 1
F = − kx = −
dV ( x) dV ( x) = kxdx V ( x) = kx 2

dx 2

 Reemplazando en la ecuación de Schrödinger:
 2 d 2ψ  1 2
2
+  E − kx ψ = 0
2m dx  2 
 Para simplificar la ecuación conviene introducir
magnitudes adimensionales:
1
1  2 2πmν ν: frecuencia clásica
y = km  x = x
  
1 k
ν=
2E m 2E 2π m
α= =
 k hν
 Reemplazando queda:
d 2ψ
2
+ (α − y 2 )ψ = 0
dy

 Para que ψ sea una función de onda bien
comportada ψ→0 cuando y→±∞

d 2ψ d 2ψ
− ( y 2 − α )ψ = 0 = ( y 2 − α )ψ
dy 2 dy 2

d 2ψ
dy 2
=1
( )
y −α ψ
2

 Cuando y→±∞, y²>>a y queda:
d 2ψ d 2ψ
dy 2 dy 2
lím 2 =1 lím 2 = 1
( )
y →∞ y − α ψ y →∞ y ψ

 Una función que satisface esta condición es:

Forma asintótica para ψ
− y2
ψ∞ = e 2

 La función que buscamos es:
donde f(y) es la
2
−y función que
ψ = f ( y )ψ ∞ = f ( y )e 2 debemos
determinar ahora

 Entonces:

d2 f df
2
− 2y + (α − 1) f = 0
dy dy

 Para resolver esta ecuación diferencial
debemos desarrollar f(y) como una serie de
potencias de y.
 Para que la solución satisfaga las diversas
exigencias que debe cumplir ψ, la condición
necesaria y suficiente es:
α=2n+1 donde n=0,1,2,…..
 Entonces: α n = 2 E = 2n + 1
hν
Para cada n hay una
 1 energía diferente y
En =  n + hν
 2 una función de onda
diferente

La función de onda para cada valor de n se
obtiene como el producto de:

 Un polinomio de Hermite
 Un factor exponencial e-y²/2
 Un coeficiente numérico (para que la función
cumpla la condición de normalización)
La fórmula general para la n-ésima función de
onda es:
1
 2mν 
( 2 n!)
4 1 − y2
ψn =  
n 2
H n ( y )e 2

  

Conclusiones
1- No habrá un espectro continuo de energías
permitidas, sino un espectro discreto. Los niveles de
energía están igualmente espaciados (a diferencia
del pozo infinito).

2- La energía más baja permitida no es E=0
sino un valor mínimo permitido:

1
E 0 = hν
2
Energía del punto cero

3- Hay una cierta probabilidad de que la
partícula pueda atravesar la barrera de
potencial (es decir, salir de los límites clásicos
permitidos x=-A y x=+A).

4- Si comparamos las densidades de
probabilidad clásica y cuántica; tenemos:
Probabilidad clásica: máxima en los extremos
(donde se mueve más lentamente) y mínima
cerca de la posición de equilibrio (donde se
mueve con mayor rapidez).

Discrepancia con el
resultado clásico

Al promediar sobre x
tenemos
aproximadamente el
comportamiento
general de la
probabilidad clásica

Reflexión y transmisión de
ondas
 Consideremos ahora ejemplos de estados no
ligados para los que E es mayor que V(x).
 En estos casos:
 ψ´´(x) tiene signo opuesto a la función de onda.
 ψ(x) en todas partes se curva hacia el eje
 Está permitido cualquier valor de energía.

Potencial escalón
 V(x)=0 para x<0
 V(x)=V0 para x>0

Consideremos una partícula de energía E que se
mueve desde la izquierda hacia la derecha.

Potencial escalón: resultado
clásico
 x<0: la partícula se mueve con velocidad
 x=0: actúa una fuerza impulsiva sobre la
partícula
 E<V0: retrocede con su velocidad original, es
decir que es reflejada por el escalón.
 E>V0: continúa moviéndose hacia la derecha tal
que
 x>0: la velocidad disminuye a

Potencial escalón: mecánica
cuántica
 E<V0: la función de onda no se anula en x=0 sino que
disminuye exponencialmente. La onda penetra en la
región prohibida clásicamente, pero luego se ve
completamente reflejada.

 E>V0: el resultado difiere de la predicción clásica:
 x<0
 x=0: la longitud de onda varía abruptamente entonces parte de
la onda se verá reflejada y parte transmitida.
 x>0

Para calcular las probabilidades de reflexión y de transmisión, se resuelve la
ecuación de Schrödinger y se obtiene que:

R: coeficiente de reflexión
k1 y k2: números de onda
original y final
T: coeficiente de
transmisión

Se puede demostrar que:

T + R =1

Efecto túnel

 Una partícula de energía E incide sobre una barrera
rectangular de altura V0 y ancho a, siendo E<V0.

Existe cierta probabilidad
de que la partícula
(representada por la
función de onda) se
encuentre del otro lado
de la barrera, aunque
clásicamente nunca
podrá atravesarla.

 Una variación del problema: considerar dos de
dichas barreras separadas una distancia L, es
decir, un pozo cuadrado con paredes de altura
finita V0 y espesor finito a.
 Una partícula dentro del pozo, cada vez que
choca contra una barrera tiene una posibilidad
pequeña pero finita de atravesarla por efecto
túnel y escapar.
 Ejemplo: diodo túnel; desintegración α.

Ecuación de Schrödinger
en tres dimensiones
 En coordenadas rectangulares, la ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo es:

donde la función de onda y la energía
potencial son generalmente función de tres
coordenadas x, y y z.

Pozo de potencial infinito
cúbico
 V=0 0<x<L
0<y<L
0<z<L

 V=∞ fuera de esa región

 En este caso:

donde ψn es una función sinusoidal como en el
caso de una dimensión.

Y la energía será:

 Utilizando las restricciones sobre los números
de onda que se obtiene usando la condición
ψ=0 en las paredes: niπ
ki =
L

 Tenemos:

La función de onda y la energía están caracterizadas por
tres números cuánticos, cada uno de los cuales surge a
partir de la condición límite de cada una de las
coordenadas.

Estados de energía:
 n1=n2=n3=1 Estado fundamental

 n1=2; n2=n3=1
 n2=2; n1=n3=1 Primer estado excitado
 n3=2; n1=n2=1

Cada uno conduce a una función de onda diferente.
Ejemplo:

Un nivel energético que tenga
asociada más de una función de onda
se dice que es degenerado.

La degeneración está relacionada con
la simetría del problema:
E211=E121=E112 degeneración triple

Pozo de potencial infinito no-
cúbico
 V=0 0>x>L1
0>y>L2
0>z>L3

 V=∞ fuera de esa región

 Las condiciones límites en las paredes
conducen a:

 Entonces:

Diagrama de niveles energéticos

Pozo infinito cúbico Pozo infinito no-cúbico
L1=L2=L3 L1<L2<L3

Ecuación de Schrodinger

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Destacado

Similar a Ecuación de Schrodinger

Ecuación de Schrodinger