Este documento introduce los conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos considerados como un todo, y explica que los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa como números, letras u otros conjuntos. Además, describe formas de expresar conjuntos, operaciones entre conjuntos como la unión y la intersección, y relaciones entre elementos de conjuntos.

1. 1
Introducción a la Teoría de Conjuntos
Demetrio Ccesa Rayme

2. 2
¿Qué es un conjunto?
 Un conjunto es una colección de objetos considerada
como un todo.
 Los objetos de un conjunto son llamados elementos
o miembros del conjunto.
 Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier
cosa: números, personas, letras, otros conjuntos,
etc.
 Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A,
B, C, etc.
 Un conjunto no posee elementos repetidos.

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 Ejemplo
 a  A (a pertenece a A)
 b  A (b no pertenece a A)
a
Relación de pertenencia
e
i
b
c
o
u
V

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Formas de expresión de un conjunto
 Para indicar un conjunto de utilizan llaves.
 Hay distintas formas de expresarlo
 Enumerando sus elementos
A = {a, e, i, o, u}
 Indicando alguna caracterización de sus
elementos
A = { x / x es una vocal }
Tal que

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Conjunto vacío
 Es aquel que no contiene elementos
 Representación:  o {}
 Ejemplo:
B = { x / x  N ^ 2x = 1}
B es un conjunto que no contiene elementos dado
que ningún número natural multiplicado por 2
puede dar como resultado 1
 B = {}

6. 6
Cardinalidad de un conjunto
 Se refiere a la cantidad de elementos que
contiene un conjunto
 Ejemplo:
La cardinalidad de A = { x / x es una vocal } es 5
La cardinalidad de B = { x / x  N ^ 2x = 1} es 0
 Un conjunto puede contener infinitos
elementos.

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Igualdad de conjuntos
 Dos conjuntos son iguales si ambos tienen
los mismos elementos o si ambos son vacíos
 Dados los conjuntos
 A = { 0 , 3 }
 B = { x / x (x – 3) = 0 }
 C = { x / x (x – 3) (x – 1) = 0 }
A = B ?
A = C ?

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Subconjuntos de un conjunto
 Si A y B son conjuntos tales que todo
elemento de B es también elemento de A,
diremos que
 B es un subconjunto de A
 B es una parte de A
 B está incluido A.
 Esto se simboliza como B  A
B
A

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Subconjuntos de conjuntos
 Dados los conjuntos
 A = { 0 , 3 }
 B = { x / x (x – 3) = 0 }
 C = { x / x (x – 3) (x – 1) = 0 }
 A  C
 C  A pues 1  C y 1  A.

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Conjunto de partes de un conjunto
 Si A es un conjunto, llamaremos el conjunto
de partes de A, al conjunto formado por
todos los subconjuntos de A, y lo
denotaremos P(A).
 En otras palabras:
P(A) = { B / B  A }

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Conjunto de partes de un conjunto
 Ejemplos
 A = {1} A tiene 1 elemento
P(A) = { {}, {1} } P(A) tiene 2 elementos
 A = {1, 2} A tiene 2 elementos
P(A) = { { }, {1}, {2}, {1,2} } P(A) tiene 4 elementos

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Operaciones de conjuntos
 Existen varias formas de obtener nuevos
conjuntos a partir de otros existentes:
 Unión
 Intersección
 Diferencia
 Complemento

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Operaciones de Conjuntos
A  B = {x / x  A  x  B }
UNION

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Operaciones de Conjuntos
A  B = { x / x  A  x  B }
INTERSECCION

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Operaciones de Conjuntos
B – A = {x / x  B  x  A }
DIFERENCIA

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Operaciones de Conjuntos
Si A  B CBA= {x / x  B  x  A }
CBA = B – A
COMPLEMENTO
B
A

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Ejercicios
 Dados los conjuntos
A = { 1, 2, 3} , B = {1, 2, 4, 5} y C = { 2, 3, 4}
Calcular
 A  B =
 A  B =
 A – B =
 B – A =
 A  B  C =
 A – ( B – C) =
{ 1,2 }
{ 1, 2, 3, 4, 5 }
{ 3 }
{ 4, 5 }
{ 2 }
{ 2, 3 }

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Ejercicio
Colorear la parte que representa el conjunto
(A  B) – ( A  C)

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Ejercicio
Colorear la parte que representa el conjunto
(A  B) – ( A  C)

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Autoevaluación
 En esta dirección
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/evaluteo.htm
hay una autoevaluación de conjuntos.

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Producto Cartesiano
 El producto cartesiano de dos conjuntos A y
B, denotado A × B, es el conjunto de todos
los posibles pares ordenados cuyo primer
componente es un elemento de A y el
segundo componente es un elemento de B.
A × B = { (x,y) / x  A ^ y  B }

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Producto Cartesiano
 Ejemplo:
Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 }
AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }
Note que
A tiene 3 elementos
B tiene 2 elementos
A x B tiene 6 elementos.

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Producto Cartesiano
 Ejemplo:
A = { oro, copa, basto, espada }
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
A x B = { (oro, 1), (oro,2),…,(oro,12), (copa,1),
(copa,2), …,(copa,12), …,(espada,12) }
Note que
A tiene 4 elementos
B tiene 12 elementos
A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)

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Producto Cartesiano
Representación en forma de Tabla
 Ejemplo:
A = { , } B = { , , }

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Producto Cartesiano
Representación en forma de Diagrama
 Ejemplo:
A = { , } B = { , , }

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Producto Cartesiano
 Ejemplo:
A = { , } B = { , , }

27. 27
Gráfico cartesiano
 Dados los conjuntos
A = { 1 , 2 } y B = { 1 , 2 , 3 }
el gráfico cartesiano de A x B es:
La primera
componente de cada
elemento del producto
cartesiano es la
abscisa
La segunda
componente de cada
elemento del producto
cartesiano es la
ordenada

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Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de
A x B donde
A = { x / x  R  –1 x  1 }
B = R

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Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de
A x B donde
A = { x / x  R  2  x < 5 }
B = { x / x  R  1 < x  3}

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Relación entre elementos de conjuntos
 Hay casos en que no todos los pares ordenados
de un producto cartesiano de dos conjuntos
responden a una condición dada.

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Relación entre elementos de conjuntos
 Se llama relación entre los conjuntos A y B a un
subconjunto del producto cartesiano A x B.
 Este puede estar formado por un solo par
ordenado, varios o todos los que forman parte
de A x B.

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Relaciones
 Dado el siguiente diagrama que relaciona los
elementos de A con los de B
b está
relacionado
con 1
3 es el
correspondiente
de d

33. 33
Conjuntos de salida y de llegada de un
relación
 A es el conjunto de salida y B es el conjunto
de llegada

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Dominio de una relación
 Dom(R) =  x / xA  (x,y)  R 
Dom(R) = {b, c, d}

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Imagen de una relación
 Im(R) =  y / yB  (x,y) R 
Im(R) = {1, 3, 4}

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Notación
 Si R es una relación entre A y B , la expresión x R y
significa que (x,y)  R , o sea, que x está
relacionado con y por la relación R.
 Ej: b R 1 porque (b,1)  R

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Relación definida en un conjunto
 Cuando los conjuntos de partida y de llegada
de una relación R son el mismo conjunto A,
decimos que R es una relación definida en
A, o, simplemente, una relación en A.
 Una relación R en A es entonces un
subconjunto de A2 = A x A

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Relación definida en un conjunto
 Ejemplo:
Sea H = { x / x es un ser humano} y R la
relación “es madre de”
 R es una relación en H. Por qué?
 Como Ana es la madre de Luis, decimos que el
par (Ana,Luis)  R.
 Note que los pares que verifiquen R son un
subconjunto de H x H.

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Representación de una relación
 Sea A = { a , b , c , d} y
R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }
Para poder construir el grafo dirigido A debe contener
un número finito de elementos
Los vértices del
grafo son los
elementos A y las
aristas dirigidas
representan los
elementos de R

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Representación de una relación
 Sea A = { a , b , c , d} y
R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }
R puede representarse como matriz donde 1 indica
que hay relación y 0 que no hay relación

41. 41
Propiedades de las relaciones definidas en
un conjunto
 Si establecemos una relación entre los elementos
de un mismo conjunto, existen cinco propiedades
fundamentales que pueden cumplirse en esa
relación
 Propiedad reflexiva
 Propiedad simétrica
 Propiedad asimétrica
 Propiedad antisimétrica
 Propiedad transitiva

42. 42
Propiedad reflexiva
 La propiedad reflexiva dice que todos los elementos
de un conjunto están relacionados con si mismo
R es reflexiva si para todo x  A, el par (x,x)  R

43. 43
Propiedad simétrica
 La propiedad simétrica dice que si un elemento está
relacionado con otro, éste segundo también está
relacionado con el primero
R es simétrica si siempre que un par (x,y)  R, el par
(y,x) también pertenece a R

44. 44
Propiedad Simétrica
 Ejemplo
 Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes
relaciones en A2 son simétricas
R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)}
S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}

45. 45
Propiedad asimétrica
 Una relación es asimétrica si ningún par
ordenado de la relación cumple la propiedad
simétrica.

46. 46
Propiedad antisimétrica
 Una relación es
antisimétrica cuando
sólo cumplen la
propiedad simétrica
los pares de
elementos iguales y
no la cumplen los
pares formados por
distintos elementos.

47. 47
Propiedad antisimétrica
 Ejemplo
 Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes
relaciones en A2 son antisimétricas
R = {(2, 2), (4, 4)}
S = {(2, 4)}
T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}

48. 48
Propiedad transitiva
 La propiedad transitiva dice que si un elemento está
relacionado con otro y éste está a su vez
relacionado con un tercero, el primer elemento está
relacionado con el tercero.
R es transitiva si
x , y ,z , (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R

49. 49
Propiedad transitiva
 Ejemplo
 Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes
relaciones en A2 son transitivas
R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)}
S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}

50. 50
Ejercicio
 Dado A = {1, 2, 3} decir a que tipo
pertenecen las siguientes relaciones
 R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}.
 R2 = {(1, 1)}.
 R3 = {(1, 2)}.
 R4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.

51. 51
Ejercicio
 Sea A = {2, 3, 4, 5, 6}
R = {(x, y) / xA, yA, | x – y | es divisible por 3}
 Escribir por extensión a R.

52. 52
Casos especiales
 Como casos especiales de las relaciones en
un conjunto se define:
 Relaciones de orden: Permite ordenar los
elementos a través de la relación.
 Relación de equivalencia: Permite marcar
características similares entre los
elementos de un conjunto

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Relación de orden
 La relación de orden es aquella en que los elementos
pueden ordenarse a través de la relación.
 Ejemplo

54. 54
Relación de Orden
 Pueden definirse dos tipos de relación:
 Relación de orden amplio.
 Relación de orden estricto.

55. 55
Relación de orden amplio
 Una relación de orden amplio es aquella
que cumple las propiedades reflexiva,
antisimétrica y transitiva.

56. 56
Relación de orden amplio
Ejemplo: R = “… es menor o igual que…”

57. 57
Ejemplo: Indicar si las siguientes
relaciones son de orden amplio
 Sea A es el conjunto de los naturales y
R = {(x,y) / x,y  A ^ “x divide a y”}
 Sea A es el conjunto de los subconjuntos de
un conjunto dado y
R = {(x,y) / x,y  A ^ “x está incluído en y”}

58. 58
Relación de orden estricto
 Una relación de orden estricto es aquella que
cumple con las propiedades asimétrica y
transitiva, y no cumple con la propiedad reflexiva.

59. 59
Relación de orden estricto
Ejemplo: R = “… es menor que…”

60. 60
Relación de equivalencia
 Permite marcar características similares entre los
elementos de un conjunto

61. 61
Relación de equivalencia
 Permite marcar características similares entre los
elementos de un conjunto mediante su clasificación,
determinando una partición del mismo en clases de
equivalencia.
Se llama partición de
un conjunto A, a todo
conjunto de
subconjuntos no vacíos,
disjuntos dos a dos, de
modo que la unión de
dichos conjuntos
formen el conjunto A.

62. 62
Clase de Equivalencia
 Sea R una relación de equivalencia y K el conjunto
sobre el que está definida, llamaremos clase de
equivalencia del elemento a  K, al subconjunto a
de K formado por todos los elementos de K que
están relacionados con a por R. Esto es:
a = {x / x  K ^ a R x }
Así, llamamos
representante de la clase al
elemento a y diremos que, si
x  a, a es equivalente a x
por R

63. 63
Conjunto Cociente
 Sea R una relación de equivalencia y K el conjunto
sobre el que está definida, llamaremos conjunto
cociente K por R y lo notaremos K/R a la partición
de K formada por todas las clases de equivalencia
determinadas en K dada R.
Es decir, el conjunto cociente
es el conjunto de todas las
clases de equivalencia que se
puedan formar con los
elementos de K, dada R.

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Ejemplo de Relación de Equivalencia
 Sea H el conjunto formado por todos los seres
humanos.
R= {(x, y) / x,y  H ^ "x es compatriota de y"}
 R es reflexiva puesto que toda persona es
compatriota de si mismo.
 R es simétrica, puesto que "si x es compatriota
de y, y es compatriota de x".
 R es transitiva, por que "si x es compatriota de
y e y es compatriota de z, entonces x es
compatriota de z".

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Ejemplo de Relación de Equivalencia
 Sea H el conjunto formado por todos los seres
humanos.
R= {(x, y) / x,y  H ^ "x es compatriota de y"}
 Dado un elemento a de H, su clase de
equivalencia estará formada por sus
compatriotas.
 El conjunto cociente de H por R, H/R, es el
conjunto formado por todas las clases de
equivalencias.
 H/R es una partición de H.

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Ejercicio
 ¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son de
equivalencia?
 R = {(a, b)/ a y b tienen la misma madre},
donde S = {a / a es cualquier persona}
 S es el conjunto de números enteros y R es la
relación “x es congruente con y módulo 2”, es
decir, que x e y tienen el mismo resto al ser
divididos por 2.