1. 2.3. Cerradura

2. Representación matricial de una relación Considere la relación ≤aplicada al conjunto A = { 1, 2, 3, 4 } Representación con tuplas {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4), (3,3),(3,4),(4,4) } Representación matricial:

3. Cerradura Reflexiva Llamamos cerradura reflexiva de una relación R, la menor extensión de R, es decir, RUΔ, tal que RUΔes reflexiva, aunque inicialmente R no lo haya sido. En otras palabras, a R se le agregan los pares ordenados que sean necesarios hasta que se vuelva reflexiva. Por ejemplo, la cerradura reflexiva de R1 = {(2, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3)} es {(2, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 3)}. Decimos que la cerradura reflexiva es la menor extensión de la relación original porque no deben añadirse más pares ordenados que los estrictamente necesarios para volverla reflexiva. Por ejemplo, la relación {(2, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 3), (3,1)}, aunque cumple con ser una extensión de R1 y también con ser reflexiva, no es la cerradura reflexiva de R1, porque tiene el par (3, 1) que no era indispensable agregar.

4. Cerradura Simétrica. Similarmente definimos la cerradura simétrica de una relación, añadiendo los pares estrictamente necesarios para que se vuelva simétrica. Por ejemplo, la cerradura simétrica de {(2, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3)} es {(2, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3), (3, 2), (2, 1), (3, 1)}.

5. Cerradura Transitiva. La cerradura transitiva también se define de una manera enteramente similar. Por ejemplo, la cerradura transitiva de la relación {(1, 2), (3, 1), (2, 1)} es: {(1, 2), (3, 1), (2, 1), (1, 1),(2, 2), (3, 2)}.

6. Combinaciones de varias cerraduras. Se pueden tener también combinaciones de varias cerraduras, como la cerradura reflexiva y transitiva, que en el caso de {(2, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3)} sería {(2, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 3)}.