REPASO - 5 (fact. polin.) 2021 - copia.pptx

ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA
SUB – ÁREA : ÁLGEBRA
REPASO - 5: “FACTORIZACIÓN
DE POLINOMIOS”
PROFESOR: ANGELMAR PACHECO
GRADO: 4TO / 5TO DE SECUNDARIA

FACTORIZACIÓN
ES LA TRANSFORMACIÓN DE UN POLINOMIO EN UNA
MULTIPLICACIÓN INDICADA DE SUS FACTORES PRIMOS, O
SUS POTENCIAS. Es decir:
DEFINICIÓN
1
PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO
  
2
x 9x – 22 x – 2 x 11
  
factorización
producto

POLINOMIO PRIMO Y FACTOR PRIMO:
2
Es un polinomio de grado diferente de cero, divisible sólo por sí
mismo y por cualquier constante.
EJEMPLO: 𝟖𝒙𝟐 + 𝟒; es un polinomio de 2º grado divisible sólo por sí
mismo y por la constante 4; luego es un polinomio primo.
NOTA: Si en una multiplicación indicada, uno de los factores tiene las características
de un POLINOMIO PRIMO, tal factor se llama “FACTOR PRIMO”.
EJEMPLO: en 3(x+5); 3 no es factor primo por ser polinomio de grado cero,
pero (x+5) sí es un “factor primo” porque es polinomio de primer grado,
divisible sólo por sí mismo y por la unidad.

NÚMERO DE FACTORES DE UN POLINOMIO
3
Dado: 𝒙. 𝒚. 𝒛 ∶
Factores primos son 3: x , y , z
Factores algebraicos= (+1)(+1)(+1) – 1
Factores o divisores = (+1)(+1)(+1)
EJEMPLO: Indicar el número de factores de: 𝑷 𝒙, 𝒚 = 𝒙 + 𝟓 𝒚 − 𝟐 𝟐
Las expresiones que dividen exactamente a “P” son:
𝟏; 𝒙 + 𝟓 ; 𝒚 − 𝟐 ; 𝒚 − 𝟐 𝟐; 𝒙 + 𝟓 𝒚 − 𝟐 ; (𝒙 + 𝟓) 𝒚 − 𝟐 𝟐;
de los cuales: 1 no es factor primo, (x + 5) y (y - 2) son factores primos y
los restantes 3 no son factores primos.

RESUMEN:
INDICAR LA VERDAD (V) O FALSEDAD (F) DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES:
a) El número de factores algebraicos del polinomio:
𝒙 + 𝟑 𝟐 𝒙 − 𝟓 𝟑 es igual a 11
b) El número de factores primos del polinomio:
𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝟑𝒙 − 𝟐 , 𝐞𝐬 𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥 𝐚 𝟒
c) La suma del número de factores algebraicos, con el
número de factores primos de: 𝟑𝒙 𝒙 + 𝟏 𝟓 𝒙 + 𝟐 𝟑, 𝒆𝒔 𝟓𝟎
d) El número de factores primos de P(x) = x, es 2
( V )
( F )
( V )
( F )

AHORA COMPLETA EL CUADRO:
POLINOMIO
FACTORIZADO
N° DE FACTORES
ALGEBRAICOS
N° DE FACTORES
PRIMOS
N° DE FACTORES
NO PRIMOS
a) 𝑥2
b) 𝑥2𝑦(𝑥 + 1)
c) 𝑥2 𝑦 − 3
d) 𝑚4
(𝑚 − 5)
e) 𝑥𝑦4 𝑥 + 3 2
f) 𝑚3𝑛2 𝑚 + 𝑛
g) (x + y)(x – y)
2 1 1
11 8
3
5 2 3
9 2 7
29 3 26
23 3 20
3 2 1

a) CRITERIO DE
FACTOR COMÚN
CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN
4
El factor común, es el que figura en cada
uno de los términos, o se puede obtener
agrupando convenientemente.
EJEMPLO - 1: Factorizar: ax + bx – ay – by,
agrupando convenientemente tenemos:
ax + bx – ay – by = x(a + b) – y( a + b) = (a + b)(x - y)
EJEMPLO - 2: Factorizar: 𝟐𝒚 𝒎𝟐 + 𝒏 − 𝒎 𝒚𝟐 + 𝟒𝒏 ,
multiplicando: 𝟐𝒚𝒎𝟐 + 𝟐𝒚𝒏 − 𝒎𝒚𝟐 − 𝟒𝒎𝒏,
agrupando el 1° con el 3°, y el 2° con el 4° tenemos:
my(2m - y) - 2n(2m – y) = (2m - y)(my – 2n)

POLINOMIO FACTORIZADO POR FACTOR
COMÚN
N° DE FACTORES
PRIMOS
a) 𝟑𝒂𝟐
𝒃 + 𝟔𝒂𝒃𝟑
b) 3ab + 4bc + 5abc
c) 𝒙 𝒂 + 𝒃 + 𝟐𝒚 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃
d) 𝒂 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝒃 𝒄𝟐 + 𝒂𝟐
e) 𝒎𝒑𝒏𝟐 + 𝒏𝒎𝒑𝟐 + 𝒏𝒑𝒎𝟐 + 𝒎𝟐𝒏𝟐
f) 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄
g) 𝒂 𝒃𝟐 + 𝒃𝒄 + 𝒃 𝒄𝟐 + 𝒃𝒄 + 𝒃 + 𝒄 𝟐
𝟑𝒂𝒃 𝒂 + 𝟐𝒃𝟐
𝒃(𝟑𝒂 + 𝟒𝒄 + 𝟓𝒂𝒄)
(𝒂 + 𝒃)(𝒙 + 𝟐𝒂𝒚)
(𝒂 + 𝒃)(𝒂𝒃 + 𝒄𝟐)
𝒑 + 𝒏 𝒎𝒏(𝒑 + 𝒎)
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒃 + 𝒄)
(𝒃 + 𝒄)(𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒃 + 𝒄)
3
2
2
2
4
2
2

b) CRITERIO DE LAS
IDENTIDADES
(Es necesario recordar)
  
  
  
 
 
 
 

2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
2 2 2
3 3 2 2 3
a b = a + b a b
a b = a b a + ab + b
a + b = a + b a ab + b
a ± b = a ± 2ab + b
a ± b = a ± 3a b + 3ab ± b

EJEMPLOS:
1. Factorizar: 𝒙𝟔
− 𝒚𝟖
= 𝒙𝟑
+ 𝒚𝟒
𝒙𝟑
− 𝒚𝟒
2. Factorizar: 𝒙𝟔
− 𝟔𝟒 = 𝒙 + 𝟐 𝒙 − 𝟐 𝒙𝟒
+ 𝟒𝒙𝟐
+ 𝟏𝟔
3. Factorizar: 𝒚𝟗 + 𝟖 = 𝒚𝟑 + 𝟐 𝒚𝟔 − 𝟐𝒚𝟑 + 𝟒
4. Factorizar: 𝒙𝟖
+ 𝟔 𝒙𝟒
𝒚𝟐
+ 𝟗𝒚𝟒
= 𝒙𝟒
+ 𝟑𝒚𝟐 𝟐
5. Factorizar: 𝒙𝟔 − 𝟖 𝒙𝟑𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝒚𝟒 = 𝒙𝟑 − 𝟒𝒚𝟐 𝟐

POLINOMIO FACTORIZADO POR IDENTIDADES N° DE FACTORES
PRIMOS
a) 𝟐𝒂𝒃𝟐
− 𝟐𝒂𝒄𝟐
b) 𝒙𝟐
𝒚 + 𝟐𝒙𝒚𝟐
+ 𝒚𝟑
c) 𝒂𝟒𝒃𝟒 − 𝒂𝟒
d) 𝒙𝟒𝒚𝟒𝒎𝟑 + 𝒙𝒚 𝟒
e) 𝟑𝒙𝟒 − 𝟐𝟒𝒙
f) 𝟔𝒙𝟔
− 𝟔
g) 𝒙𝟐
𝒚𝟐
+ 𝟏𝟎𝒙𝒚𝟐
+ 𝟐𝟓𝒚𝟐
𝟐𝒂(𝒃 + 𝒄)(𝒃 − 𝒄)
𝒚 𝒙 + 𝒚 𝟐
𝒂𝟒 𝒃𝟐 + 𝟏 (𝒃 + 𝟏)(𝒃 − 𝟏)
𝒙𝟒𝒚𝟒 𝒎 + 𝟏 𝒎𝟐 − 𝒎 + 𝟏
𝟑𝒙(𝒙 − 𝟐) 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟒
𝟔(𝒙 + 𝟏) 𝒙𝟐
− 𝒙 + 𝟏 (𝒙 − 𝟏) 𝒙𝟐
+ 𝒙 + 𝟏
𝒚𝟐
𝒙 + 𝟓 𝟐
3
2
4
4
3
4
2

Es apropiado para polinomios de la forma:
𝑷 𝒙;𝒚 = 𝑨𝒙𝟐𝒏
± 𝑩𝒙𝒏
𝒚𝒎
± 𝑪𝒚𝟐𝒎
c) CRITERIO DE
ASPA SIMPLE
EJEMPLO - 1 Factorizar: 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟐
2x
1x
+ 1
+ 2
=
=
+ 1 x
+ 4 x
+ 5 x
Los factores son: (2x + 1) (x + 2)

EJEMPLO - 2
Factorizar:
8 𝒙𝟐 − 𝟐 𝒙 − 𝟑
4x
2x
- 3
+ 1
=
=
- 6 x
+ 4 x
- 2 x
Los factores son: (4x - 3) (2x + 1)

POLINOMIO FACTORIZADO POR ASPA
SIMPLE:
SUMA DE FACTORES
PRIMOS
a) 𝒙𝟐
+ 𝒙 − 𝟐𝟎
b) 𝟏𝟐𝒙𝟐
− 𝟏𝟔𝒙 − 𝟑
c) 𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝒚 − 𝟐𝒚𝟐
d) 𝟏𝟒𝒚𝟐 + 𝟏𝟑𝒚 − 𝟏𝟐
e) 𝟐𝒛𝟐 − 𝟓𝒛𝒎 − 𝟏𝟐𝒎𝟐
f) 𝟑𝟔𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙𝒚 − 𝟏𝟖𝒚𝟐
g) 𝟐𝟎𝒙𝟐
+ 𝟔𝒙𝒎 − 𝟓𝟒𝒎𝟐
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟓)
(𝟔𝒙 + 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑)
𝟐(𝟑𝒙 + 𝒚)(𝒙 − 𝒚)
(𝟕𝒚 − 𝟒)(𝟐𝒚 + 𝟑)
(𝟐𝒛 + 𝟑𝒎)(𝒛 − 𝟒𝒎)
𝟑(𝟒𝒙 + 𝟑𝒚)(𝟑𝒙 − 𝟐𝒚)
𝟐(𝟓𝒙 + 𝟗𝒎)(𝟐𝒙 − 𝟑𝒎)
2x + 1
8x - 2
4x
9y - 1
3z - m
7x + y
7x + 6m

Para polinomios de la forma:
𝑷 𝒙;𝒚 = 𝑨𝒙𝟐𝒎 ± 𝑩𝒙𝒎𝒚𝒏 ± 𝑪𝒚𝟐𝒏 ± 𝑫𝒙𝒎 ± 𝑬𝒚𝒏 ± 𝑭
d) CRITERIO DE ASPA
DOBLE
PROCEDIMIENTO:
    
2n n m 2m n m
AX BX Y CY DX EY F
n
1
a x
n
1
c y 1
f
n
2
a x
n
2
c y 2
f

EJEMPLO - 1
Factorizar:
6 𝒙𝟐 + 𝟕 𝒙 𝒚 − 𝟑 𝒚𝟐 + 𝟏𝟏 𝒙 − 𝟏𝟏 𝒚 − 𝟏𝟎
3x
2x
- y
+ 3y
Los factores son: (3x - y - 2) (2x + 3y + 5)
+ 5
- 2

EJEMPLO - 2
Factorizar:
2 𝒙𝟐 − 𝟑 𝒙 𝒚 − 𝟐 𝒚𝟐 − 𝒙 𝒛 + 𝟕 𝒚𝒛 − 𝟑 𝒛𝟐
2x
1x
+ y
- 2y
Los factores son: (2x + y – 3z) (x - 2y + z)
+ 1z
- 3 z

En general para Polinomios de cuarto grado:
𝑷 𝒙 = 𝑨𝒙𝒎 + 𝑩𝒙𝒎 + 𝑪𝒙𝒎 + 𝑫𝒙 + 𝑬
e) CRITERIO DE
ASPA DOBLE
ESPECIAL
PROCEDIMIENTO:

EJEMPLO - 1
Factorizar: 5 𝒙𝟒 + 𝟐𝟐 𝒙𝟑 + 𝟐𝟏 𝒙𝟐 + 𝟏𝟔 𝒙 + 𝟔
5𝒙𝟐
𝒙𝟐
+ 2x
+ 4x
Los factores son: (5𝒙𝟐
+ 2x + 3) (𝒙𝟐
+ 4x + 2)
+ 2
+ 3
Multiplicando en aspa se tiene: 13 𝒙𝟐 , 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟐𝟏 𝒙𝟐 𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂 𝟖 𝒙𝟐:
5 𝒙𝟒 + 𝟐𝟐 𝒙𝟑 + 𝟖 𝒙𝟐 + 𝟏𝟔 𝒙 + 𝟔
5𝒙𝟐
𝒙𝟐 + 2
+ 3
ENTONCES:

EJEMPLO - 2
Factorizar: 𝒙𝟒 + 𝟓 𝒙𝟑 + 4 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟓
𝒙𝟐
𝒙𝟐
+ 3x
+ 2x
Los factores son: (𝒙𝟐
+ 3x - 5) (𝒙𝟐
+ 2x + 3)
+ 3
- 5
Multiplicando en aspa se tiene: -2 𝒙𝟐 , 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟒 𝒙𝟐 𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂 𝟔 𝒙𝟐:
𝒙𝟒 + 𝟓 𝒙𝟑 + 6 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟓
𝒙𝟐
𝒙𝟐
+ 3
- 5
ENTONCES:

 SE USA PARA FACTORIZAR
POLINOMIOS DE UNA SOLA
VARIABLE Y DE CUALQUIER GRADO.
f) CRITERIO DE
LA EVALUACIÓN
BINÓMICA
CEROS DE UN POLINOMIO
 USA EL CRITERIO DEL TEOREMA DEL
RESTO EN FORMA INVERSA.
 SI: 𝑷(𝒙) ÷ 𝒙 − 𝒂 ⟹ 𝑹 = 𝑷 𝒂 = 𝟎;
𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 (𝒙 − 𝒂)es un divisor o factor de 𝑷(𝒙).
Es el conjunto de valores que puede
tomar una variable, y hacer que el
valor numérico sea igual a cero.

¿CÓMO
DEBES
DETERMINAR
LOS POSIBLES
CEROS DE UN
POLINOMIO?
⟹ los posibles ceros están determinados por
Div. 6 ±𝟏; ±𝟐; ±𝟑; ±𝟔
Posibles ceros:

EJEMPLO - 1 Factorizar: 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 7 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟔
Por consiguiente:
Los posibles ceros son:
Div. 6: ±𝟏; ±𝟐; ±𝟑; ±𝟔 1
Donde:
P(1) = 0; P(-1) = 0; P(2) = 0; P(-3) = 0:
Entonces : 1 -7 -1 6
x = 1 1 2 -5 -6
1 2 -5 -6 0
-1 -1 6
x = -1
x = 2
0
-6
1
1
6
2
3
1 0
Donde : Q(x) = x + 3
𝑷 𝒙 = 𝒙𝟒
+ 𝒙𝟑
− 7𝒙𝟐
− 𝒙 + 𝟔 (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 3)
=

EJEMPLO - 2 Factorizar:
𝑷 𝒙 = 𝒎𝟓 + 𝟓𝒎𝟒 + 7𝒎𝟑 − 𝒎𝟐 − 𝟖𝒎 − 𝟒
Por consiguiente:
Los posibles ceros son:
Div. 4: ±𝟏; ±𝟐; ±𝟒
1
Donde:
P(1) = 0; P(-1) = 0; P(-2) = 0
Entonces : 5 +7 -1 -8
x = 1 1 6 13 12
1 6 13 12 4
-2 -8 -10
x = -2
x = -1
2
5
4
1
-3
-1
3
1 2
Donde : Q(x) = x + 2
(𝒙 − 𝟏)
=
-4
4
0
-4
0
-2
0
x = -1
1
-1
2
-2
0
𝑷 𝒙 = 𝒎𝟓
+ 𝟓𝒎𝟒
+ 7𝒎𝟑
− 𝒎𝟐
− 𝟖𝒎 − 𝟒 𝒙 + 𝟏 𝟐 𝒙 + 𝟐 𝟐

1. Al factorizar el polinomio: P(x) = x5 + x4 + 2 x2 – 1
, el factor primo de mayor grado es:
PROBLEMAS DE FICHA:
SOLUCIÓN:
𝒙𝟓 + 𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙𝟑
𝒙𝟐
𝒙 + 𝟏
𝒙 − 𝟏
=
=
𝒙𝟑 + 𝒙𝟐
𝒙𝟒 − 𝒙𝟑
𝒙𝟒 + 𝒙𝟐
Descomponiendo el tercer término: x5 + x4 + x2 + (x2 – 1)
Factorizando por “Aspa Simple”:
Los factores son: 𝒙𝟑 + 𝒙 + 𝟏 𝒚 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏
Por consiguiente: El factor primo de mayor grado es: 𝒙𝟑
+ 𝒙 + 𝟏

2. Al factorizar el polinomio: P(x) = x4 – 16 x2 + 24 x – 9 , la suma de los
coeficientes de los términos lineales de los factores primos lineales es:
Factorizando por
Aspa doble especial:
𝒙𝟒 + 𝟎 𝒙𝟑 − 𝟏𝟔 𝒙𝟐 + 𝟐𝟒 𝒙 − 𝟗
𝒙𝟐
𝒙𝟐
−𝟒𝒙
+𝟒𝒙
Los factores son: 𝒙 − 𝟑 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑
−𝟑
+𝟑
Multiplicando en aspa se tiene: 0 𝒙𝟐 , 𝒑𝒂𝒓𝒂 − 𝟏𝟔 𝒙𝟐 𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂 − 𝟏𝟔 𝒙𝟐:
𝒙𝟒 + 𝟎 𝒙𝟑 − 𝟏𝟔 𝒙𝟐 + 𝟐𝟒 𝒙 − 𝟗
𝒙𝟐
𝒙𝟐
−𝟑
+𝟑
Entonces:
Pero: 𝐱𝟐 − 𝟒𝐱 + 𝟑 = 𝐱 − 𝟑 𝐱 − 𝟏
𝒙 − 𝟏
Respuesta: 𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒄𝒐𝒆𝒇. 𝒕é𝒓𝒎. 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒆𝒔: 𝟏 + 𝟏 = 𝟐
SOLUCIÓN:

3. El número de factores primos de: P(x,y,z) = x2 + 2 xy + y2 – z6 es:
SOLUCIÓN:
Factorizando los primeros 3 términos: 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 2 − 𝑧6
Factorizando por Diferencia de Cuadrados:
Los factores son: 𝒙 + 𝒚 + 𝒛𝟑 𝒚 𝒙 + 𝒚 − 𝒛𝟑
Por consiguiente: El número de factores primos es: 2
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧3 𝑥 + 𝑦 − 𝑧3

4. Al factorizar: P(x) = (x + 2)2 x2 – 4x(x – 5) – 25 . La suma de
coeficientes de factores primos lineales es:
Efectuando operaciones:
+𝟒𝒙
+𝟎𝒙
Los factores son: 𝒙 − 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟓
Reduciendo se tiene: 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 − 𝟐𝟓
𝒙𝟒 + 𝟒 𝒙𝟑 + 𝟎 𝒙𝟐 + 𝟐𝟎 𝒙 − 𝟐𝟓
𝒙𝟐
𝒙𝟐
+𝟓
−𝟓
Factorizando por
Pero: 𝐱𝟐 + 𝟒𝐱 − 𝟓 = 𝐱 + 𝟓 𝐱 − 𝟏
𝒙 + 𝟓
Respuesta: 𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒄𝒐𝒆𝒇. 𝒇𝒂𝒄𝒕. 𝒑𝒓𝒊𝒎. 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 + 𝟓 = 𝟔
𝑷 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 − 𝟐𝟓
𝑷 𝒙 = 𝒙𝟒
+ 𝟒𝒙𝟑
+ 𝟒𝒙𝟐
− 𝟒𝒙𝟐
+ 𝟐𝟎𝒙 − 𝟐𝟓
SOLUCIÓN:

5. La suma de factores primos del polinomio:
P(x) = 48 x4 + 20 x3 – 20 x2 – 5x + 2 es:
Factorizando por
𝟒𝟖𝒙𝟒 + 𝟐𝟎 𝒙𝟑 − 𝟐𝟎 𝒙𝟐 − 𝟓 𝒙 + 𝟐
𝟏𝟐𝒙𝟐
𝟒𝒙𝟐
+𝟓𝒙
+𝟎𝒙
Los factores son: 𝟑𝒙 + 𝟐 𝟐𝒙 + 𝟏
−𝟏
−𝟐
Multiplicando en aspa se tiene: −𝟐𝟎𝒙𝟐 , 𝒑𝒂𝒓𝒂 − 𝟐𝟎 𝒙𝟐 𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂 + 𝟎 𝒙𝟐:
𝟒𝟖𝒙𝟒 + 𝟐𝟎 𝒙𝟑 + 𝟎 𝒙𝟐 − 𝟓 𝒙 + 𝟐
𝟏𝟐𝒙𝟐
4𝒙𝟐
−𝟏
−𝟐
Entonces:
Pero: 𝟏𝟐𝐱𝟐 + 𝟓𝐱 − 𝟐 = 𝟑𝐱 + 𝟐 𝟒𝐱 − 𝟏
𝟒𝒙 − 𝟏
Respuesta: 𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒇𝒂𝒄𝒕. 𝒑𝒓𝒊𝒎. 𝒆𝒔: 𝟏𝟏𝒙 + 𝟏
𝟒𝐱𝟐
− 𝟏 = (𝟐𝐱 + 𝟏)(𝟐𝐱 − 𝟏)
𝒚
𝟐𝒙 − 𝟏
SOLUCIÓN:

6. Hallar la suma de los factores primos del polinomio:
P(x) = 30 x3 – 97 x2 + 92 x – 21
SOLUCIÓN:
Factorizando por Evaluación binómica:
Al dividir entre 3 tenemos:
Factorizando por aspa simple:
Los factores son:
𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒇𝒂𝒄𝒕. 𝒑𝒓𝒊𝒎. = 𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟏
30 -97 +92 -21
𝒙 =
𝟏
𝟑
30
+10
-87
-29
+63
+21
0
𝟏𝟎 𝒙𝟐 − 𝟐𝟗 𝒙 + 𝟐𝟏
5x
2x -3
-7
𝒙 −
𝟏
𝟑
𝟓𝒙 − 𝟕 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟐𝒙 − 𝟑
𝟑𝒙 − 𝟏 𝟓𝒙 − 𝟕
Respuesta :

7. Indicar la suma de los factores primos de: x4 – 11 x2 + 1
Factorizando por
𝒙𝟒 + 𝟎 𝒙𝟑 − 𝟏𝟏 𝒙𝟐 + 𝟎 𝒙 + 𝟏
𝒙𝟐
𝒙𝟐
+𝟑𝒙
−𝟑𝒙
Los factores son: 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏
−𝟏
−𝟏
Multiplicando en aspa se tiene: −𝟐 𝒙𝟐 , 𝒑𝒂𝒓𝒂 − 𝟏𝟏 𝒙𝟐 𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂 − 𝟗 𝒙𝟐:
𝒙𝟒 + 𝟎 𝒙𝟑 − 𝟗 𝒙𝟐 + 𝟎 𝒙 + 𝟏
𝒙𝟐
𝒙𝟐 −𝟏
−𝟏
Entonces:
𝒙𝟐
− 𝟑𝒙 − 𝟏
Respuesta: 𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒇𝒂𝒄𝒕. 𝒑𝒓𝒊𝒎. 𝒆𝒔: 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐
SOLUCIÓN:

8. La diferencia de los factores primos del polinomio
P(x,y) = x2 – 2 xy – 9 a2 + y2 es:
SOLUCIÓN:
Ordenando: 𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 2 𝑥𝑦 + 𝑦2 − 9𝑎2
Factorizando por T.C.P.:
Factorizando por D.C.: 𝑷 𝒙, 𝒚 = 𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒂 𝒙 − 𝒚 − 𝟑𝒂
La diferencia de los factores primos es: 𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒂 − 𝒙 + 𝒚 + 𝟑𝒂 = 𝟔𝒂
𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 2 − 9𝑎2
Los factores primos son: 𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒂 𝒙 − 𝒚 − 𝟑𝒂
ó 𝒙 − 𝒚 − 𝟑𝒂 − 𝒙 + 𝒚 − 𝟑𝒂 = −𝟔𝒂

9. La suma de los términos independientes de los factores primos
del polinomio: P(x,y) = 21 xy – 39 y2 + 56 x – 92 y + 32 es:
Factorizando por
Aspa doble: +𝟑𝒚
−𝟏𝟑𝒚
Los factores son: 𝟑𝒚 + 𝟖
𝟎𝒙𝟐
+ 𝟐𝟏𝒙𝒚 − 𝟑𝟗𝒚𝟐
+ 𝟓𝟔𝒙 − 𝟗𝟐𝒚 + 𝟑𝟐
𝟎𝒙
𝟕𝒙 +𝟒
+𝟖
Entonces:
𝟕𝒙 − 𝟏𝟑𝒚 + 𝟒
Respuesta:
𝑺𝒖𝒎𝒂 𝑻. 𝑰. 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕. 𝒑𝒓𝒊𝒎. 𝒆𝒔: 𝟖 + 𝟒 = 𝟏𝟐
SOLUCIÓN:

10. La suma de los factores primos del polinomio:
P(x) = 12 x5 – 8 x4 – 13 x3 + 9 x2 + x – 1 es:
SOLUCIÓN:
Factorizando por
Evaluación binómica:
Los factores primos son:
𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕. 𝒑𝒓𝒊𝒎. 𝒆𝒔: 𝟕𝒙
𝟏𝟐 −𝟖 −𝟏𝟑 +𝟗 +𝟏 −𝟏
𝒙 = 𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟐
+𝟒
+𝟒
−𝟗
−𝟗
𝟎
𝟎
+𝟏
+𝟏
𝟎
𝒙 = −𝟏
𝟏𝟐
−𝟏𝟐
−𝟖
+𝟖
−𝟏
+𝟏
+𝟏
−𝟏
𝟎
𝒙 = 𝟏/𝟐
𝟏𝟐
+𝟔
−𝟐
−𝟏
−𝟐
−𝟏
𝟎
𝒙 = 𝟏/𝟐
𝟏𝟐
+𝟔
+𝟒
+𝟐
𝟎
𝒙 = −𝟏/𝟑
𝟏𝟐
−𝟒
𝟎
𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏/𝟐 𝟐 𝒙 + 𝟏/𝟑 = 𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐
𝟑𝒙 + 𝟏
Respuesta:

1. Simplificar:
𝐱𝟐+𝐱+𝟏 𝐱𝟐−𝐱+𝟏
𝐱𝟒+𝐱𝟐+𝟏
x2 + x + 1 x2 − x + 1
x4 + x2 + 1
=
x4 + x2 + 1
x4 + x2 + 1
= 1
x2
− 2 +
1
x2
= 11 − 2 → x −
1
x
2
= 9
x −
1
x
2
= 9 → 𝑥 −
1
x
= 3
Utilizando “Argand”:
SOLUCIÓN:
2. Si: 𝐱𝟐 + 𝐱−𝟐 = 𝟏𝟏 , entonces el valor de: 𝐱 − 𝐱−𝟏 es:
Restando “2” a la ecuación:
Respuesta :
Extrayendo raíz cuadrada:
DESARROLLO DE EXAMEN - 2
1
SOLUCIÓN:
Respuesta : 3

3. Sabiendo que: a + b + c = 7 y a2 + b2 + c2 = 31, el valor de:
𝐄 =
𝟏𝟖−𝟐𝐚𝐛
𝐚𝐜+𝐛𝐜
es:
a + b + c 2 = 7 2 → a2 + b2 + c2 + 2 ab + ac + bc
= 49
2 ab + ac + bc = 49 − 31 = 18 → ab + ac + bc = 9
y ac + bc = 9 − ab
Elevando al cuadrado la 1ra igualdad:
SOLUCIÓN:
Nos piden: E =
18 − 2ab
ac + bc
Despejando :ab + ac + bc:
Respuesta : 2
E =
2 9 − ab
9 − ab
= 2
Llevando a la forma:

4. El valor de “m” para que el polinomio: x3 – max2 + ma2x – a3 sea
divisible por: x2 – ax + a2 es:
D = x3 – max2 + ma2x – a3 y d = x2 – ax + a2
𝒎𝒂𝟑 − 𝟐𝒂𝟑 = 𝟎
Dividimos por Horner:
SOLUCIÓN:
Para que sea divisible: r = 0
Por consiguiente: m = 2
1 −𝒎𝒂 𝒎𝒂𝟐 −𝒂𝟑
1
+𝒂
−𝒂𝟐
1
+𝒂 −𝒂𝟐
+𝒎𝒂𝟑 − 𝒂𝟑
−𝒎𝒂 + 𝒂
−𝒎 𝒂𝟐 + 𝒂𝟐
𝒎𝒂𝟑 − 𝟐𝒂𝟑
0

5. Hallar el valor de: “a + b + c”, si al dividir el polinomio
P(x) = 4x5 – 3x4 – 2x3 + ax2 – bx – c + 1 entre Q(x) = x3 – x2 + 4 ,
deja un resto de R(x) = 3x2 + 2x + 1
D = 4x5 – 3x4 – 2x3 + ax2 – bx – c + 1 y d = x3 – x2 + 0x + 4
𝒂 − 𝟏𝟕 = 𝟑 → 𝒂 = 𝟐𝟎; −𝒃 − 𝟒 = 𝟐
→ 𝒃 = −𝟔; −𝒄 + 𝟓 = 𝟏 → 𝒄 = 𝟒
SOLUCIÓN:
Por dato: R(x) = 3x2 + 2x + 1
Por Horner :
Por consiguiente: a + b + c = 20 - 6 + 4 = 18
4 -3 -2 +a -b
1
+1
0
+4
+4 0
+1
+1
0
-1
-1 0
a - 17 -b - 4
-c + 1
-4
-16
-4
+4
-c + 5

6. Hallar el resto de la división:
𝐱+𝟏 𝐱+𝟐 𝐱+𝟑 𝐱+𝟒 𝐱+𝟓 𝐱+𝟔
𝒙𝟐+𝟕𝐱+𝟐
x2 + 7x + 2 = 0, entonces: x2 + 7x = −2
SOLUCIÓN:
Por Descartes d = 0 :
Respuesta: 320
Llevando a la forma el D : 𝑫 = 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟔 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐
Reemplazando:x2 + 7x = −2 𝑹 = −𝟐 + 𝟔 −𝟐 + 𝟏𝟎 −𝟐 + 𝟏𝟐
𝑹 = +𝟒 +𝟖 +𝟏𝟎

Factorizando por
Aspa doble: +𝟑𝒚
+𝟐𝒚
Los factores son: 𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟕
𝟐𝟎𝒙𝟐
+ 𝟐𝟐𝒙𝒚 + 𝟔𝒚𝟐
− 𝟑𝟑𝒙 − 𝟏𝟕𝒚 + 𝟕
5𝒙
4𝒙 −𝟏
−𝟕
Entonces:
𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏
Respuesta:
𝑺𝒖𝒎𝒂 𝑻. 𝑰. 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕. 𝒑𝒓𝒊𝒎. 𝒆𝒔: −𝟕 − 𝟏 = −𝟖
SOLUCIÓN:
7. La suma de los términos independientes de los factores primos de:
P(x,y) = 20 x2 – 33 x – 17 y + 7 + 6 y2 + 22 xy es:

8. La suma de los términos cuadráticos de los factores primos
del polinomio: P(x) = 5 x4 + 16 x + 6 + 22 x3 + 21 x2 es:
Factorizando por
𝟓𝒙𝟒 + 𝟐𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝟏 𝒙𝟐 + 𝟏𝟔 𝒙 + 𝟔
𝟓𝒙𝟐
𝒙𝟐
+𝟐𝒙
+𝟒𝒙
Los factores son: 𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑
+𝟐
+𝟑
Multiplicando en aspa se tiene: 𝟏𝟑 𝒙𝟐 , 𝒑𝒂𝒓𝒂 + 𝟐𝟏 𝒙𝟐 𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂 + 𝟖 𝒙𝟐:
𝟓𝒙𝟒 + 𝟐𝟐𝒙𝟑 + 8𝒙𝟐 + 𝟏𝟔 𝒙 + 𝟔
𝟓𝒙𝟐
𝒙𝟐 +𝟐
+𝟑
Entonces:
𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐
Respuesta: 𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒕é𝒓𝒎. 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓. 𝒇𝒂𝒄𝒕. 𝒑𝒓𝒊𝒎. 𝒆𝒔: 𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝟔𝒙𝟐
SOLUCIÓN:

9. El número de factores de: P(x) = x5 + 5 x4 + 7 x3 – x2 – 8x – 4 es:
SOLUCIÓN:
Factorizando por
Número 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕. : 𝟐 + 𝟏 𝟏 + 𝟏 𝟐 + 𝟏 = 𝟏𝟖
𝟏 +𝟓 +𝟕 −𝟏 −𝟖 −𝟒
𝒙 = −𝟏
𝟏
−𝟏
+𝟒
−𝟒
+𝟑
−𝟑
−𝟒
+𝟒
−𝟒
+𝟒
𝟎
𝒙 = −𝟏
𝟏
−𝟏
+𝟑
−𝟑
𝟎
𝟎
−𝟒
+𝟒
𝟎
𝒙 = 𝟏
𝟏
+𝟏
+𝟒
+𝟒
+𝟒
+𝟒
𝟎
𝒙 = −𝟐
𝟏
−𝟐
+𝟐
−𝟒
𝟎
𝒙 = −𝟐
𝟏
−𝟐
𝟎
𝒙 − 𝟏
𝒙 + 𝟏 𝟐 𝒙 + 𝟐 𝟐
Respuesta:

10. Indicar la suma de factores primos del polinomio:
P(a) = 3 a3 – 7 a2 – 22 a + 8
SOLUCIÓN:
Factorizando por
𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕. 𝒑𝒓𝒊𝒎: 𝟓𝒂 − 𝟑
𝟑 −𝟕 −𝟐𝟐 +𝟖
𝒂 = −𝟐
𝟑
−𝟔
−𝟏𝟑
+𝟐𝟔
+𝟒
−𝟖
𝟎
𝒂 = 𝟒
𝟑
+𝟏𝟐
−𝟏
−𝟒
𝟎
𝒂 = 𝟏/𝟑
𝟑
+𝟏
𝟎
𝒂 − 𝟒
𝒂 + 𝟐 𝟑𝒂 − 𝟏
Respuesta:

CONTINUAMOS CON LA PARTE
PRÁCTICA
“AFAC” TE RECUERDA:
“TODO ÉXITO SE
LOGRA CON
RESPONSABILIDAD”

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