Este documento trata sobre el álgebra y su factorización. Explica que el álgebra era originalmente parte de la aritmética y luego se separó. Describe varios criterios para factorizar polinomios, incluidos el factor común, las identidades y el aspa simple y doble. Proporciona ejemplos de cómo aplicar estos métodos para factorizar expresiones algebraicas.

1. Secundaria
CAPÍTULO Nº 12

2. ÁLGEBRA:UNACIENCIA GENERAL
En la antigüedad, el algebra fue una
parte inseparable de la aritmética,
mas tarde se separo de ella.
Esta es la razón por la que en gran
parte de la literatura científica a la
hora de estudiar ambas ramas se
hace de una manera conjunta. La
cual a contribuido al desarrollo y
avance de la ciencia y la tecnología.

3. Reconoce y expresa los
factores primos de un
polinomio después de
haberlo factorizado.
Identifica los distintos
procedimientos de
factorización y los aplica de
manera correcta.

4. Criterio del factor común.
Criterio de agrupación de términos
I .-
II .-
CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN
a.- Factor común monomio
b.-Factor común polinomio
III .- Criterio de las Identidades.

5. Factorización.
𝑃(𝑥) = 𝑥2
− 25 = (𝑥 + 5)(𝑥 − 5)
Ejemplo:
Es el proceso transformar un polinomio,
en una multiplicación indicada
de factores primos o irreductibles.
Factores primos:
𝑥 + 5 𝑥 − 5
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛
y

6. I
a) FACTOR COMÚN MONOMIO (FCM)
El FCM, se obtiene extrayendo
factores comunes afectados de sus
menores exponentes.
Ejemplo: factorice.
𝑃(𝑥;𝑦) = 𝑎𝑥4
𝑦2
+ 𝑏𝑥2
𝑦3
𝑷(𝒙;𝒚) = 𝒙𝟐
. 𝒚𝟐
.
Factor común: 𝒙𝟐
. 𝒚𝟐
(𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑦)
Factores primos:
𝒙 ; 𝒚
𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒚

7. b) FACTOR COMÚN POLINOMIO (FCP)
Ejemplo: factorice.
𝑸(𝒂;𝒃) =
Factor común: Factores primos:
 
,
Q a b       
2 3
3 4 5 4 4
a a b b a b ab a b
    
 
4
a b
  
2 3
3 5
a b ab
 

8. II
Se agrupa los términos convenientemente
para encontrar un factor común.
  3 3 2 4
,
P xy xy
x y z y z z
   
 
,
P x y  xy 
2 3
y z
 z

FCP:
2 3
y z

 
xy z

Factores primos

9. III
a) TRINOMIO CUADRADO PERFRCTO
2 2
2
m m n n
A A B B

 
2 
m
A  
n
B
 
2
m n
A B

  2 2
4 12 9
, x
x
P y xy y
 

factorice
 
2x  
3y
 
,
P x y   
2
2 3
x y


10. 𝒙𝟐
− 𝒚𝟐
= 𝒙 + 𝒚 . (𝒙 − 𝒚)
Diferencia de cuadrados:
Suma de cubos:
𝒙𝟑
+ 𝒚𝟑
= 𝒙 + 𝒚 . (𝒙𝟐
− 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐
)
diferencia de cubos:
𝒙𝟑
− 𝒚𝟑
= 𝒙 − 𝒚 . (𝒙𝟐
+ 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐
)

11. 1 Factorice. Resolución
Indique un factor primo.
  3 2 2 3
5 10 2
,
P m m
n n
m mn n
   
 
,
P m n  2
5m  
2
m n
 2
n
  
2
m n

 
2 2
5m n

Factor Primo.
 
2 2
5m n

Y

12. 2 Factorice. Resolución
   
7 3 2 5 2 3 6 4
m x y n y x x y
    
Indique un factor primo.
   
7 3 2 5 2 3 6 4
m x y n y x x y
    
7m  
3 2
x y
  5n 
3 2
x y
 2 
3 2
x y

 
7 5 2
m n
 
Factor Primo:
Y

13. 3 Factorice.
Resolución
 
, ,
P a x y ax bx cx ay by cy
     
Indique un factor primo.
 
, ,
P a x y ax bx cx ay by cy
     
 
x a b c
    
y a b c
 
 
a b c
   
x y

Factor Primo:
 
x y

Y

14. 4 Indique un factor primo de. Resolución
2
4 25
x 
2x 5
 
2 5
x   
2 5
x 
Factor Primo:
 
2 5
x   
2 5
x 

15. 5 Dé un factor primo de.
Residuo
3
8 27
x 

16. 7 Luego de factorizar.
Residuo
   
2 2
3 3
ax b bx a
  
Determine la suma de
sus factores primos.

17. Secundaria
CAPÍTULO Nº 13

18. Criterio del Aspa Simple.
Criterio del Aspa Doble
I .-
II .-
CRITERIOS DEL ASPA
III .- Criterio del Aspa Doble Especial.

19. Factorización.
𝑃(𝑥) = 𝑥2
− 25 = (𝑥 + 5)(𝑥 − 5)
Ejemplo:
Es el proceso transformar un polinomio,
en una multiplicación indicada
de factores primos o irreductibles.
Factores primos:
𝑥 + 5 𝑥 − 5
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛
y

20. I
𝑷 𝒙; 𝒚 = 𝐀𝐱𝟐𝒎
+ 𝐁𝐱𝒎
𝒚𝒏
+ 𝑪𝒚𝟐𝒎 𝐴; 𝐵; 𝐶 ⊂ ℤ
𝒂𝟏𝒙𝒎
𝒂𝟐𝒙𝒎
𝒄𝟏𝒚𝒏
𝒄𝟐𝒚𝒏
P(x;y) = (𝒂𝟏𝒙𝒎
+ 𝒄𝟏𝒚𝒏
) (𝒂𝟐𝒙𝒎
+ 𝒄𝟐𝒚𝒏
)

21. 𝑷 𝒙; 𝒚 = 𝟏𝟐𝐱𝟐
+ 𝟐𝟑𝒙𝒚 + 𝟏𝟎𝒚𝟐
4𝑥 5y
2y
P(x;y) = (4x +𝟓𝒚) (𝟑𝒙 + 𝟐𝒚)
Ejm. Factorizar
3𝑥

22. II
𝑷 𝒙; 𝒚 = 𝐀𝐱𝟐𝒎
+ 𝐁𝐱𝒎
𝒚𝒏
+ 𝑪𝒚𝟐𝒎
+𝑫𝒙𝒏
+𝑬𝒚𝒎
+ 𝑭.
𝒂𝟏𝒙𝒎
𝒂𝟐𝒙𝒎
𝒄𝟏𝒚𝒏
𝒄𝟐𝒚𝒏
𝒇𝟏
𝒇𝟐
𝑷(𝒙;𝒚) = 𝑎1𝑥𝑚
+ 𝑐1𝑦𝑛
+ 𝑓1 𝑎2𝑥𝑚
+ 𝑐2𝑦𝑛
+ 𝑓2

23. 𝑷 𝒙; 𝒚 = 𝟔𝐱𝟐
+ 𝟓𝒙𝒚 − 𝟒𝒚𝟐
+ 𝟏𝟑𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟔.
𝟑𝒙
𝟐𝒙
+𝟒𝒚
−𝒚
+2
+3
𝑷(𝒙;𝒚) = 3𝑥 + 4𝑦 + 2 2𝑥 − 𝑦 + 3
Factorice
Ejm.

24. III
𝑷(𝒙) = 𝑨𝒙𝟒
+ 𝑩𝒙𝟑
+ 𝑪𝒙𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬
𝒂𝟏𝒙𝟐
𝒂𝟐𝒙𝟐
𝒆𝟏
𝒆𝟐
ST
DT
𝑭𝒙𝟐
𝑭𝒙𝟐
𝑭𝟏𝒙
𝑭𝟐𝒙
DT = 𝑪𝒙𝟐
ST = 𝒆𝟏
𝒂𝟏𝒙𝟐
𝒆𝟐 𝒂𝟐𝒙𝟐
𝑷(𝒙) = 𝑎1𝑥2
+ 𝑭𝟏𝒙 + 𝑒1 𝑎2𝑥2
+ 𝑭𝟐𝒙 + 𝑒2

25. 𝑷(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟒
+ 𝟒𝟒𝒙𝟑
+ 𝟏𝟏𝒙𝟐
− 𝟑𝟔𝒙 + 𝟗
6𝒙𝟐
2𝒙𝟐
-3
-3 𝟑𝟓𝒙𝟐
7𝒙
5𝒙
DT = 11𝒙𝟐
ST = −𝟏𝟖𝒙𝟐
−𝟔𝒙𝟐
𝑷(𝒙) = 6𝑥2
+ 𝟕𝒙 − 3 2𝑥2
+ 𝟓𝒙 − 3
−𝟐𝟒𝒙𝟐
11𝒙𝟐
−𝟐𝟒𝒙𝟐
𝟑𝟓𝒙𝟐
Ejm. Factorice

26. 𝑷 𝒙; 𝒚 = 𝟏𝟓𝐱𝟐
+ 𝟕𝒙𝒚 − 𝟐𝒚𝟐
3𝑥 +2y
-y
𝑷 𝒙; 𝒚 = (3𝒙 +𝟐𝒚) (𝟓𝒙 − 𝒚)
Indique un factor primo, luego de factorizar
5𝑥
1
factor primo
(3𝒙 +𝟐𝒚)
(𝟓𝒙 − 𝒚)

𝑷 𝒙; 𝒚 = 𝟏𝟓𝐱𝟐 + 𝟕𝒙𝒚 − 𝟐𝒚𝟐
Resolución

27. 2 Determine el número de
factores primos en.
Resolución
Luego factorizarlo.
𝑀 𝑥 = 20𝑥4 + 31𝑥2 − 9
𝑀 𝑥 = 20𝑥4
+ 31𝑥2
− 9
4𝑥2
5𝑥2 9
−1
𝑀 𝑥 = 4𝑥2
− 1 5𝑥2
+ 9
2𝑥 − 1 2𝑥 + 1 5𝑥2 + 9
𝑀 𝑥 =
Tiene 3 factores primos.

28. 3
Calcule la suma de los
términos independientes de
los factores primos de.
Resolución
𝑃 𝑥 = 25𝑥4
− 109𝑥2
+ 36
𝑃 𝑥 = 25𝑥4
− 109𝑥2
+ 36
25𝑥2
𝑥2
−9
𝑀 𝑥 = 25𝑥2
− 9 𝑥2
− 4
5𝑥 − 3 5𝑥 + 3
𝑀 𝑥 =
Suma de TI =
−4
𝑥 − 2 𝑥 + 2
−3 +3 −2 +2 = 0

29. 𝑸 𝒙; 𝒚 = 𝟐𝐱𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟏𝟓.
𝒙
𝟐𝒙
+𝒚
+5
+3
𝑷(𝒙;𝒚) = 𝑥 + 𝑦 + 3 2𝑥 + 𝑦 + 5
Indique un factor primo luego de factorizar
4
𝑸 𝒙; 𝒚 = 𝟐𝐱𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟏𝟓.
Resolución
+𝒚
factor primo
𝑥 + 𝑦 + 3
2𝑥 + 𝑦 + 5

30. 5
Factorice.
Residuo
12𝑥2
− 7𝑥𝑦 − 10𝑦2
− 15𝑥 + 59𝑦 − 63
6
Indique un factor primo de
𝑃 𝑥 = 𝑥4
+ 7𝑥3
+ 14𝑥2
+ 7𝑥 + 1

31. 7 Factorice e indique el término independiente
de un factor primo.
Residuo
𝑃 𝑥 = 𝑥4
− 8𝑥3
+ 15𝑥2
− 38𝑥 + 15
8 Indique el numero de factores primos,
luego de factorizar.
𝑥4
+ 8𝑥3
− 7𝑥2
+ 8𝑥 + 1