Este documento explica los diferentes métodos para factorizar polinomios, incluyendo el método del factor común, las identidades, las agrupaciones, y las aspas. También cubre conceptos clave como factores primos, propiedades de la factorización, y divisores binómicos. El objetivo es proporcionar una guía para descomponer polinomios en factores multiplicativos.

1. FACTORIZACION DE
POLINOMIOS
Curso : Álgebra.
Docente: García Saez, Edwin Carlos

2. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Es el proceso mediante el cual un polinomio se puede expresar como la multiplicación de dos o
más polinomios primos dentro de cierto campo numérico.
𝑃(𝑥) ≡ 𝑀(𝑥) ⋅ 𝑁(𝑥)
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
FACTOR ALGEBRAICO
Se llama así a todo polinomio de grado no nulo.
FACTOR PRIMO
Es aquel polinomio que no puede descomponerse en la multiplicación de
otros polinomios.
Ejemplos
 2𝑥 + 3 es primo
 𝑥2
− 5 es primo en ℚ pero no es primo en ℝ
 𝑥2 − 𝑥 + 1 es primo
NOTA: Todo polinomio de primer grado siempre es
primo en cualquier campo numérico.

4. PROPIEDADES:
 PROPIEDAD
El número máximo de factores primos que tiene un polinomio está dado por su grado.
 PROPIEDAD
Sólo se pueden factorizar polinomios no primos.
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
1. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN - AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Consiste en determinar factores comunes que pueden ser monomios o polinomios de
más de un término; en caso de no haber algún factor común, se agrupará
convenientemente con la finalidad de que aparezca algún factor común.
Ejemplo
𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑥4𝑦7 − 3𝑥2𝑦8
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
𝑦7
(𝑥2
− 3𝑦)
De donde 𝑃 𝑥, 𝑦 tiene 3 factores primos

6. 2. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES
En este caso utilizaremos las equivalencias algebraicas en sentido inverso al de los
productos notables
RECORDAR
 𝒙³ ± 𝒚³ ± 𝟑𝒙𝒚(𝒙 ± 𝒚) = (𝒙 ± 𝒚)³
 𝒙𝟐
+ 𝒂 + 𝒃 𝒙 + 𝒂𝒃 = (𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃)
 𝒙𝟐
+ 𝒙𝟐
+ 𝟏 = (𝒙𝟐
+ 𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐
− 𝒙 + 𝟏)
3. MÉTODO DE LAS AGRUPACIONES
En este caso se realiza las agrupaciones convenientes, tratando de conseguir factor común
en cada agrupación.
Ejemplo:
Factorice 𝑃(𝑥) = 𝑥³ + 𝑥² − 𝑥 − 1
𝑃(𝑥) = 𝑥²(𝑥 + 1) − (𝑥 + 1) = (𝑥 + 1) (𝑥² − 1)
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
de donde: 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)²(𝑥 − 1)

7. 4. MÉTODO DE LAS ASPAS
Aquí se deben distinguir tres métodos: El método del
aspa simple, aspa doble y el aspa doble especial
4.1. ASPA SIMPLE
Se utiliza para factorizar polinomios de segundo
grado o grados múltiplos de dos, pero que
además tengan tres términos.
Ejemplo
Factorizar P(x) = x²+9x+20
de donde: P(x)=(x+4)(x+5)

8. 4.2. ASPA DOBLE
Se emplea para factorizar polinomios de segundo grado o grados múltiplos de 2, pero que
además tengan 6 términos y dos variables.
Forma general:
De donde el polinomio factorizado es:
𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑎1𝑥𝑚
+ 𝑐1𝑦𝑛
+ 𝑓1 𝑎2𝑥𝑚
+ 𝑐2𝑦𝑛
+ 𝑓2

9. 4.3. ASPA DOBLE ESPECIAL
Es utilizado cuando el polinomio es de cuarto grado o grados múltiplos de 4,
pero que además tengan 5 términos
Luego:
𝑃(𝑥) = (𝑎₁𝑥² + 𝑚₁𝑥 + 𝑒₁)(𝑎₂𝑥² + 𝑚₂𝑥 + 𝑒₂)

10. 5. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS
Es utilizado generalmente cuando el polinomio es de grado impar; para ello es necesario
calcular los Posibles Ceros (PC) del polinomio a factorizar, luego utilizar la división por el
método de Ruffini.
𝑃𝐶 = ±
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
3. Luego de factorizar
𝐹 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥 − 2
de cómo respuesta la suma de coeficientes de un factor
primo
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 2

11. 1. Al factorizar
𝑃 𝑥; 𝑦; 𝑧; 𝑤 = 𝑥4𝑧4 − 𝑥4𝑤4 − 𝑦4𝑧4 + 𝑦4𝑤4
indique el número de factores primos obtenidos
A) 15 B) 10 C) 9 D) 8 E) 6

12. 2. Factorice el polinomio
𝑃 𝑥 = 𝑥7
+ 𝑥6
+ 𝑥5
+ 𝑥4
+ 𝑥3
+ 𝑥2
+ 𝑥 + 1 e indique el factor de segundo
grado.
A) 5𝑥 + 3 B) 𝑥2
+ 1 C) 4𝑥2
+ 2𝑥 + 1 D) 𝑥2
+ 𝑥 + 2 E) 𝑥2
+ 2𝑥 + 1

13. 3. Luego de factorizar
𝐹 𝑥 = 𝑥3
− 3𝑥 − 2
de cómo respuesta la suma de coeficientes de un factor primo
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 2

15. 5. Factorizar
𝑃 𝑥 = 𝑥6 + 4𝑥5 − 21𝑥4 + 20𝑥2 − 4
luego, indique la suma de los coeficientes de uno de los factores primos del
polinomio.
A) 3 B) 2 C) 6 D) 10 E) 12

16. 6. Factorice el polinomio
𝐺 𝑥 = 𝑥7 + 𝑥5 + 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
señale la mayor suma de coeficientes de un factor primo.
A) 0 B) 4 C) 6 D) 3 E) 4

17. 7. Factoriza
𝑃 𝑎; 𝑏 = 6𝑎2
− 11𝑎𝑏 + 4𝑏2
− 8𝑎 + 14𝑏 − 8
E indique un factor primo.
A) 3𝑎 + 4𝑏 − 2 B) 4𝑏 − 2 C) 3𝑎 − 4𝑏 + 2 D)3𝑎 + 5𝑏 − 1 E) 𝑎 + 𝑏 − 2

18. 8. El coeficiente de un término lineal de uno de los factores primos
de 𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 2𝑥3 + 5𝑥 + 2 es
A) 2. B)−2. C) 1. D)−1. E)−3.

19. 9. Factorice e indique un factor primo
𝑇 𝑥 = 𝑥2
− 9𝑥 + 20 𝑥2
+ 5𝑥 + 6 − 60
A) 𝑥 − 3 B) 5𝑥 − 1 C)9𝑥2
+ 2𝑥 + 5 D)𝑥2
− 5𝑥 + 2 E)x2
+ 5

20. 10. Luego de Factorizar
𝑃 𝑥 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 + 2 𝑥 + 𝑦 + 1 𝑥 + 𝑦 + 3 − 8
Da como respuesta el termino independiente de un factor primo cuadrático.
A) 𝑦3
+ 8𝑦 + 9 B) 𝑦 + 5 C) 𝑦2
+ 3𝑦 + 4 D) 𝑦3
+ 5 E) 𝑦2
+ 4

22. Gracias