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- 1. ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA SUB – ÁREA: ÁLGEBRA REPASO - 6: “RACIONALIZACIÓN” PROFESOR: ANGELMAR PACHECO GRADO: 4to/ 5to DE SECUNDARIA
- 2. RACIONALIZACIÓN RADICACIÓN 1 PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO Operación que consiste en hallar una expresión llamada raíz, tal que elevada a un número llamado índice nos de la cantidad sub-radical. Es decir: DONDE: 𝒏 𝒂 = 𝒓 ⇔ 𝒓𝒏 = 𝒂; 𝒏 ∈ ℕ n: índice a: cantidad sub-radical o radicando √: signo radical r: raíz
- 3. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO RESUMEN - I: COMPLETAR EL SIGUIENTE CUADRO: RAÍZ: ENTONCES: POTENCIA: 3 8 = ⟹ 2 3 = 4 81 = ⟹ 3 4 = 3 −64 = ⟹ −4 3 = 5 1 32 = ⟹ 1 2 5 = 3 343 = ⟹ 7 3 = 5 3125 = ⟹ 5 5 = 5 −243 = ⟹ −3 5 = 10 1024 = ⟹ 2 10 = 2 3 -4 1/2 7 5 -3 2 8 81 -64 1/32 343 3125 -243 1024
- 4. LEYES DE LOS RADICALES 2 PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO A) RAÍZ DE UN PRODUCTO: 𝒏 𝒂. 𝒃 = 𝒏 𝒂. 𝒏 𝒃 B) RAÍZ DE UN COCIENTE: C) POTENCIA DE UNA RAÍZ: D) RAÍZ DE RAÍZ: 𝒏 𝒂 𝒃 = 𝒏 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏 𝒂 𝒎 = 𝒏 𝒂𝒎 𝒏 𝒎 𝒂 = 𝒏.𝒎 𝒂
- 5. CLASIFICACIÓN DE RADICALES 3 PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO A) RADICALES HOMOGÉNEOS: Aquellos que tienen igual índice. EJEMPLO: 𝟕 𝟐𝒙; 𝟐𝟕 𝟓𝒚; 𝟑𝒂𝟕 𝒛 B) RADICALES SEMEJANTES: Aquellos que tienen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical. EJEMPLO: 𝟑 𝒙𝒚; −𝟐𝟑 𝒙𝒚; 𝟐. 𝟑 𝒙𝒚
- 6. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO RESUMEN - II: OPERACIONES CON RADICALES: Introducir bajo el signo radical: OPERACIÓN: RESULTADO: 2𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑥2 . 5 𝑥3 𝑎5. 𝑏2. 𝑥7. 3 𝑎4. 𝑐2 𝑎4. 𝑥5. 7 𝑎4. 𝑏 𝑎. 𝑏2. 𝑐3. 4 𝑎. 𝑏2. 𝑐3 3𝑥. 𝑦2. 𝑧. 3 2. 𝑥2. 𝑧 𝟐𝒂 𝟐𝒃. 𝒄 𝟒𝒂𝟐. 𝒃. 𝒄 𝟓 𝒙𝟐 𝟓. 𝒙𝟑 𝟓 𝒙𝟏𝟑 𝟑 𝒂𝟓. 𝒃𝟐. 𝒙𝟕 𝟑. 𝒂𝟒. 𝒄𝟐 𝟑 𝒂𝟏𝟗. 𝒃𝟔. 𝒄𝟐. 𝒙𝟐𝟏 𝟕 𝒂𝟐𝟖. 𝒙𝟑𝟓. 𝒂𝟒. 𝒃 𝟕 𝒂𝟑𝟐. 𝒃. 𝒙𝟑𝟓 𝟒 𝒂𝟒. 𝒃𝟖. 𝒄𝟏𝟐. 𝒂. 𝒃𝟐. 𝒄𝟑 𝟒 𝒂𝟓. 𝒃𝟏𝟎. 𝒄𝟏𝟓 𝟑 𝟑𝟑. 𝒙𝟑. 𝒚𝟔. 𝒛𝟑. 𝟐. 𝒙𝟐. 𝒛 𝟑 𝟓𝟒𝒙𝟓. 𝒚𝟔. 𝒛𝟒
- 7. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO RESUMEN - III: OPERACIONES CON RADICALES: Extraer un factor de un radical: OPERACIÓN: RESULTADO: 5 𝑎10. 𝑏15. 𝑐2 4 𝑎12. 𝑏3. 𝑐28 243𝑎3. 𝑏3 5 𝑥20. 𝑦35. 𝑧10 5 120𝑚7. 𝑛11 3 3 8𝑚6. 𝑛9. 𝑝12 𝟓 𝒂𝟏𝟎. 𝟓 𝒃𝟏𝟓. 𝟓 𝒄𝟐 𝒂𝟐 . 𝒃𝟑 . 𝟓 𝒄𝟐 𝟒 𝒂𝟏𝟐. 𝟒 𝒃𝟑. 𝟒 𝒄𝟐𝟖 𝒂𝟑. 𝒄𝟕. 𝟒 𝒃𝟑 𝟑𝟓. 𝒂𝟑. 𝒃𝟑 𝟗 𝟑. 𝒂𝒃 𝒂𝒃 𝟓 𝒙𝟐𝟎. 𝟓 𝒚𝟑𝟓. 𝟓 𝒛𝟏𝟎 𝒙𝟒. 𝒚𝟕. 𝒛𝟐 𝟓 𝟒 × 𝟑𝟎. 𝒎𝟕. 𝒏𝟏𝟏 10 𝟑𝟎. 𝒎𝟑𝒏𝟓 𝒎𝒏 𝟑 𝟑 𝟖. 𝟑 𝒎𝟔. 𝟑 𝒏𝟗. 𝟑 𝒑𝟏𝟐 𝟔𝒎𝟐. 𝒏𝟑. 𝒑𝟒
- 8. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO RESUMEN - IV: OPERACIONES CON RADICALES: Reducir los radicales semejantes: OPERANDO: RESULTADO: 14 2 − 8 2 + 6 2 5 3 7 − 2 3 7 − 2 3 7 3 3 + 10 2 + 8 3 − 10 2 3 2 + 2 3 2 + 3 3 2 + 3 3 + 2 3 3 + 3 3 3 5 + 2 7 − 3 5 + 7 7 + 2 5 − 9 7 5 18 + 8 8 − 3 50 + 2 98 6 28 − 5 63 − 2 112 7 3 54 + 2 3 16 − 5 3 128 𝟏𝟒 − 𝟖 + 𝟔 . 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟓 − 𝟐 − 𝟐 . 𝟑 𝟕 𝟑 𝟕 𝟑 + 𝟖 𝟑 11 𝟑 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 𝟑 𝟐 + 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 𝟑 𝟑 6 𝟑 𝟐 + 𝟔 𝟑 𝟑 0 𝟏 − 𝟑 + 𝟐 𝟓 + 𝟐 + 𝟕 − 𝟗 𝟕 5.3 𝟐 + 𝟖. 𝟐 𝟐 − 𝟑. 𝟓 𝟐 + 𝟐. 𝟕 𝟐 𝟑𝟎 𝟐 6.2 𝟕 − 𝟓. 𝟑 𝟕 − 𝟐. 𝟒 𝟕 −𝟏𝟏 𝟕 7.3 𝟑 𝟐 + 𝟐. 𝟐 𝟑 𝟐 − 𝟓. 𝟒 𝟑 𝟐 5 𝟑 𝟐
- 9. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO RESUMEN – V: OPERACIONES CON RADICALES: Multiplicar y/o dividir: OPERANDO: RESULTADO: 4 𝑎3. 𝑏. 𝑐 × 4 𝑎5. 𝑏4. 𝑐2 3 3 54 × 7 3 24 15 3 2 2 6 3 6 12 144 8 3 2 3 3 8 2 3 4 3 2 6 5 12 2 2 × 3 3 × 5 2 3 15 2 𝟒 𝒂𝟖. 𝒃𝟓. 𝒄𝟑 𝒂𝟐 . 𝒃. 𝟒 𝒃. 𝒄𝟑 𝟑. 𝟓 𝟑 𝟓 𝟕. 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝟏𝟓. 𝟒×𝟑 𝟐𝟒 × 𝟐. 𝟐×𝟔 𝟑𝟐 𝟔 𝟏𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟓 𝟐𝟒 𝟐 × 𝟑 𝟏𝟔 𝟒 𝟏𝟐 𝟑 𝟒 𝟒×𝟑 𝟐𝟒 𝟐×𝟔 𝟓𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟖𝟎𝟎 𝟏𝟓×𝟐 𝟐𝟏𝟓 × 𝟏𝟎×𝟑 𝟑𝟏𝟎 × 𝟔×𝟓 𝟐𝟔 𝟑 𝟐×𝟏𝟓 𝟐𝟐 𝟑𝟎 𝟐𝟏𝟗. 𝟑𝟏𝟎 𝟑
- 10. RADICALES DOBLES: 4 PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO Se caracterizan porque dentro de un radical se encuentran otros radicales ligados con las operaciones de suma o resta. CASOS Y CONVERSIÓN A RADICALES SIMPLES “FORMAS PRÁCTICAS”:
- 11. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO RADICALES DE LA FORMA: 𝑨 ± 𝑩= 𝑨+𝑪 𝟐 ± 𝑨−𝑪 𝟐 ; se cumple si: 𝑪 = 𝑨𝟐 − 𝑩 = raíz exacta CASO I FORMA PRÁCTICA: 𝑨 ± 𝑩= 𝒙 + 𝒚 + 𝟐 𝒙. 𝒚 = 𝒙 ± 𝒚; d𝐨𝐧𝐝𝐞: 𝑨 = 𝒙 + 𝒚; B = x.y; x > y
- 12. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO RESUMEN - VI: TRANSFORMAR A RADICALES SIMPLES: RADICAL DOBLE: FORMA PRÁCTICA: RESULTADO: 8 + 60 36 − 140 16 + 220 7 + 13 10 − 19 11 + 6 2 𝟖 + 𝟐 𝟏𝟓 𝟓 + 𝟑 𝟑𝟔 − 𝟐 𝟑𝟓 𝟑𝟓 − 𝟏 𝟏𝟔 + 𝟐 𝟓𝟓 𝟏𝟏 + 𝟓 𝟏𝟏 + 𝟐 𝟏𝟖 𝟑 + 𝟐 𝟏𝟒 + 𝟐 𝟏𝟑 𝟐 𝟏𝟑 + 𝟏 𝟐 𝟐𝟎 − 𝟐 𝟏𝟗 𝟐 𝟏𝟗 − 𝟏 𝟐
- 13. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO RADICALES DE LA FORMA: 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 + 𝑫 𝐛𝐚𝐣𝐨 𝐜𝐢𝐞𝐫𝐭𝐚𝐬 𝐜𝐨𝐧𝐝𝐢𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐚𝐝𝐨𝐩𝐭𝐚𝐧 𝐥𝐚 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 = 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 CASO II FORMA PRÁCTICA: 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 + 𝑫 = 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 + 𝟐 𝒙. 𝒚 + 𝟐 𝒙. 𝒛 + 𝟐 𝒚. 𝒛 = 𝒙 + 𝒚 + 𝒛; donde: A= x + y + z; B = x . y; C = x . z; D = y . z
- 14. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO FORMA PRÁCTICA: 𝑨 + 𝑩 − 𝑪 − 𝑫 = 𝒙 + 𝒚 − 𝒛; si 𝒙 + 𝒚 − 𝒛 es mayor que cero Ó 𝑨 + 𝑩 − 𝑪 − 𝑫 = 𝒛 − 𝒙 − 𝒚; si 𝒙 + 𝒚 − 𝒛 es menor que cero CASO III donde: x ; y ; z; son expresiones racionales positivas
- 15. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO RESUMEN - VII: TRANSFORMAR A RADICALES SIMPLES: RADICAL DOBLE: FORMA PRÁCTICA: RESULTADO: 𝟏𝟎 + 𝟐𝟒 + 𝟒𝟎 + 𝟔𝟎 𝟐𝟒 + 𝟐 𝟔𝟎 + 𝟐 𝟖𝟒 + 𝟐 𝟑𝟓 𝟏𝟔 + 𝟐 𝟐𝟎 + 𝟐 𝟐𝟖 + 𝟐 𝟑𝟓 𝟐𝟏 − 𝟒 𝟓 + 𝟖 𝟑 − 𝟒 𝟏𝟓 𝟏𝟐 − 𝟐 𝟐𝟏 + 𝟐 𝟏𝟒 − 𝟐 𝟔 𝟐𝟒 + 𝟒 𝟏𝟓 − 𝟒 𝟐𝟏 − 𝟐 𝟑𝟓 𝟏𝟎 + 𝟐 𝟔 + 𝟐 𝟏𝟎 + 𝟐 𝟏𝟓 𝟐 + 𝟑 + 𝟓 𝟐𝟒 + 𝟐 𝟔𝟎 + 𝟐 𝟖𝟒 + 𝟐 𝟑𝟓 𝟏𝟐 + 𝟕 + 𝟓 𝟏𝟔 + 𝟐 𝟐𝟎 + 𝟐 𝟐𝟖 + 𝟐 𝟑𝟓 𝟒 + 𝟓 + 𝟕 𝟐𝟏 − 𝟐 𝟐𝟎 + 𝟐 𝟒𝟖 − 𝟐 𝟔𝟎 𝟏𝟐 − 𝟓 + 𝟐 𝟏𝟐 − 𝟐 𝟐𝟏 + 𝟐 𝟏𝟒 − 𝟐 𝟔 𝟕 − 𝟑 + 𝟐 𝟐𝟒 + 𝟐 𝟔𝟎 − 𝟐 𝟖𝟒 − 𝟐 𝟑𝟓 𝟏𝟐 − 𝟕 + 𝟓
- 16. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO RADICALES DE LA FORMA: 𝟑 𝑨 ± 𝑩 = 𝐱 ± 𝒚 𝐃𝐎𝐍𝐃𝐄: 𝑨 = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝑪. Y 𝐂 = 𝟑 𝑨𝟐 − 𝑩 CASO IV C necesariamente es una expresión racional, para esto: 𝑨𝟐 − 𝑩; es cubo perfecto x, y son expresiones racionales, con y > 0, y = 𝒙𝟐 − 𝑪
- 17. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO RESUMEN - VIII: TRANSFORMAR A RADICALES SIMPLES: RADICAL DOBLE: ADECUANDO: OPERANDO: RESULTADO: 𝟑 𝟏𝟎 + 𝟔 𝟑 𝟑 𝟕 + 𝟓 𝟐 𝟑 𝟑𝟖 − 𝟏𝟕 𝟓 𝟑 𝟕𝟐 − 𝟑𝟐 𝟓 𝟑 𝑨 ± 𝑩 = 𝐱 ± 𝒚 𝐂 = 𝟑 𝑨𝟐 − 𝑩 𝑨 = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝑪 y = 𝒙𝟐 − 𝑪 𝟑 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎𝟖 𝟑 𝟕 + 𝟓𝟎 𝟑 𝟑𝟖 − 𝟏𝟒𝟒𝟓 𝟑 𝟕𝟐 − 𝟓𝟏𝟐𝟎 𝑪 = −𝟐 𝒙 = 𝟏 𝒚 = 𝟑 𝟏 + 𝟑 𝑪 = −𝟏 𝑪 = −𝟏 𝑪 = 𝟒 𝒙 = 𝟏 𝒙 = 𝟐 𝒙 = 𝟑 𝒚 = 𝟐 𝒚 = 𝟓 𝒚 = 𝟓 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟓 𝟑 − 𝟓
- 18. RACIONALIZACIÓN 5 PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO Es el procedimiento para transformar una expresión con denominador irracional en otra equivalente cuyo denominador sea racional. FACTOR RACIONALIZANTE (F.R) Expresión irracional que multiplicada por el denominador y numerador de una fracción permite que uno de éstos se transforme en una expresión racional.
- 19. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO i) CUANDO EL DENOMINADOR IRRACIONAL ES UN “MONOMIO” DE CUALQUIER ORDEN: 𝒎 𝒃𝒏 ; 𝒎 > 𝒏 CASOS: F.R.= 𝒎 𝒃𝒎−𝒏 RESULTADO = "𝒃" ii) CUANDO EL DENOMINADOR IRRACIONAL ES UN BINOMIO, CUYOS RADICALES SON DE SEGUNDO ORDEN: 𝟐𝒏 𝒂 ± 𝟐𝒏 𝒃 F.R.=: 𝟐𝒏 𝒂 ∓ 𝟐𝒏 𝒃 (Es su conjugada) RESULTADO = Es una diferencia de cuadrados
- 20. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO RESUMEN - IX: RACIONALIZAR: EXPRESIÓN: FACTOR RACIONALIZANTE: RESULTADO: 𝟏 𝟓 𝟑 𝟐𝟎 𝟕 𝟑𝟔 𝒎𝒏𝟑 𝟒 𝒎𝒏𝒑 𝟏𝟎 𝟕 𝟏𝟒𝟒 𝟏 𝟒 𝟑𝟏𝟕 𝟓 𝟑𝟒 𝟓 𝟑𝟒 𝟑 𝟕 𝟐𝟓. 𝟑𝟓 𝟒 𝒎𝟑. 𝒏𝟑. 𝒑𝟑 𝟕 𝟐𝟑. 𝟑𝟓 𝟒 𝟑𝟑 𝟏𝟎 𝟕 𝟐𝟓. 𝟑𝟓 𝟑 𝟓 𝟕 𝟐𝟑. 𝟑𝟓 𝟑 𝒏𝟐 . 𝟒 𝒎𝟑. 𝒏𝟑. 𝒑𝟑 𝒑 𝟒 𝟑𝟑 𝟑𝟓
- 21. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO RESUMEN – X: RACIONALIZAR: EXPRESIÓN: FACTOR RACIONALIZANTE: RESULTADO: 𝟏 𝟕 + 𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟏 − 𝟏𝟐𝟎 𝟏 𝟐 + 𝟑 + 𝟓 𝟏 𝟐 𝟑 + 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏𝟎 + 𝟏𝟒 + 𝟏𝟓 + 𝟐𝟏 𝟕 − 𝟐 𝟕 − 𝟐 𝟓 𝟔 + 𝟓 𝟏𝟎 𝟔 + 𝟓 𝟑 + 𝟐 − 𝟓 y 𝟔 𝟑 𝟐 + 𝟐 𝟑 − 𝟑𝟎 𝟏𝟐 𝟑 𝟐 − 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 − 𝟐 𝟑 𝟔 𝟕 − 𝟓 𝟑 − 𝟐 𝟕 − 𝟓 𝟑 − 𝟐 𝟐
- 22. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO iii) CUANDO EL DENOMINADOR IRRACIONAL SON RADICALES DE TERCER ORDEN: 𝟑 𝒂 ± 𝟑 𝒃 ó 𝟑 𝒂𝟐 ± 𝟑 𝒂. 𝒃 + 𝟑 𝒃𝟐 Para estos casos se debe recordar: (𝟑 𝒂 + 𝟑 𝒃)( 𝟑 𝒂𝟐 − 𝟑 𝒂. 𝒃 + 𝟑 𝒃𝟐) = a + b (𝟑 𝒂 − 𝟑 𝒃)( 𝟑 𝒂𝟐 + 𝟑 𝒂. 𝒃 + 𝟑 𝒃𝟐) = a - b NOTA: Uno de los factores es el F.R. del otro
- 23. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO RESUMEN – XI : RACIONALIZAR: EXPRESIÓN: FACTOR RACIONALIZANTE: RESULTADO: 10 3 10 + 3 2 14 3 17 − 3 6 1 3 36 + 3 12 + 3 4 1 3 25 − 3 10 + 3 4 15 3 16 + 3 4 + 1 𝟑 𝟏𝟎𝟐 − 𝟑 𝟏𝟎. 𝟐 + 𝟑 𝟐𝟐 𝟓. 𝑭𝑹 𝟔 𝟑 𝟏𝟕𝟐 + 𝟑 𝟏𝟕. 𝟔 + 𝟑 𝟔𝟐 𝟏𝟒. 𝑭𝑹 𝟏𝟏 𝟑 𝟔 − 𝟑 𝟐 𝑭𝑹 𝟒 𝟑 𝟓 + 𝟑 𝟐 𝑭𝑹 𝟕 𝟑 𝟒 − 𝟑 𝟏 𝟏𝟓𝑭𝑹 𝟑 = 𝟓𝑭𝑹
- 24. PROBLEMITAS: PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO 1. Efectuar: 𝑨 = 𝟖 + 𝟗𝟖 + 𝟐𝟎𝟎 + 𝟐𝟖𝟖 𝟖𝟎𝟎 − 𝟓𝟎 SOLUCIÓN: Desdoblando para extraer factores: 𝐀 = 𝟒. 𝟐 + 𝟒𝟗. 𝟐 + 𝟏𝟎𝟎. 𝟐 + 𝟏𝟒𝟒. 𝟐 𝟒𝟎𝟎. 𝟐 − 𝟐𝟓. 𝟐 Extrayendo factores: 𝐀 = 𝟐 𝟐 + 𝟕 𝟐 + 𝟏𝟎 𝟐 + 𝟏𝟐 𝟐 𝟐𝟎 𝟐 − 𝟓 𝟐 Reduciendo : 𝐀 = 𝟑𝟏 𝟐 𝟏𝟓 𝟐 𝐀 = 𝟑𝟏 𝟏𝟓 Respuesta :
- 25. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO 2. Simplificar: 𝐄 = 𝟑 𝟓𝟒 + 𝟑 𝟒𝟑𝟐 𝟑 𝟏𝟐𝟖 − 𝟑 𝟏𝟔 SOLUCIÓN: Desdoblando para extraer factores: Extrayendo factores: Reduciendo : 𝐄 = 𝟗 𝟐 Respuesta : 𝐄 = 𝟑 𝟐𝟕. 𝟐 + 𝟑 𝟐𝟏𝟔. 𝟐 𝟑 𝟔𝟒. 𝟐 − 𝟑 𝟖. 𝟐 𝐄 = 𝟑 𝟑 𝟐 + 𝟔 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 𝟐 − 𝟐 𝟑 𝟐 𝐄 = 𝟗 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐
- 26. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO 3. Reducir: 𝐌 = 𝟏𝟓−𝟏𝟎 𝟐 − 𝟏𝟏−𝟐 𝟏𝟎 + 𝟏𝟑+𝟒 𝟏𝟎 𝟐 𝟑+𝟐 𝟐 + 𝟗−𝟒 𝟐 + 𝟏𝟐+𝟖 𝟐 SOLUCIÓN: Transformando a radicales dobles: Resolviendo : Desapareciendo los paréntesis : 𝐌 = 𝟏 𝟑 Respuesta : 𝐌 = 𝟏𝟓−𝟐 𝟓𝟎 − 𝟏𝟏−𝟐 𝟏𝟎 + 𝟏𝟑+𝟐 𝟒𝟎 𝟐 𝟑+𝟐 𝟐 + 𝟗−𝟐 𝟖 + 𝟏𝟐+𝟐 𝟑𝟐 𝐌 = 𝟏𝟎− 𝟓 − 𝟏𝟎− 𝟏 + 𝟖+ 𝟓 𝟐 𝟐+ 𝟏 + 𝟖− 𝟏 + 𝟖+ 𝟒 𝐌 = 𝟏𝟎− 𝟓− 𝟏𝟎+𝟏+ 𝟖+ 𝟓 𝟐 𝟐 +𝟐 + 𝟖−𝟏+ 𝟖+𝟐 Reduciendo : 𝐌 = 𝟖+𝟏 𝟑 𝟖+𝟑 = 𝟖+𝟏 𝟑 𝟖+𝟏
- 27. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO 4. Evaluar: 𝑬 = 𝟏𝟐 𝟑+ 𝟐 × 𝟑− 𝟐 × 𝟒 𝟑+ 𝟐 𝟔 𝟑− 𝟐 SOLUCIÓN: Elevando “E” a la 12 ava: Reduciendo : Llevando a un sólo exponente : 𝐄 = 𝟏 Respuesta : Por diferencia de cuadrados : 𝑬𝟏𝟐 = 𝟑 + 𝟐 . 𝟑 − 𝟐 𝟔 . 𝟑 + 𝟐 𝟑 𝟑 − 𝟐 𝟐 𝑬𝟏𝟐 = 𝟑 + 𝟐 𝟒 . 𝟑 − 𝟐 𝟒 𝑬𝟏𝟐 = 𝟑 + 𝟐 𝟑 − 𝟐 𝟒 𝑬𝟏𝟐 = 𝟑 − 𝟐 𝟒
- 28. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO 5. Al racionalizar: 𝑬 = 𝑵 𝒙 − 𝟐 𝟒 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑 el denominador queda: SOLUCIÓN: Podemos escribir de la forma: Aplicando cuadrado de un binomio : Resolviendo y multiplicando por su F.R. : 𝐄 = 𝒙𝟐 − 𝟑 Respuesta : Nuevamente multiplicando por su 𝑭𝑹𝟐 : 𝑬 = 𝑵 𝒙 𝟐 − 𝟐 𝒙. 𝟒 𝟑 + 𝟒 𝟑 𝟐 𝑬 = 𝑵 𝒙− 𝟒 𝟑 𝟐 𝑬 = 𝑵 𝒙− 𝟒 𝟑 × 𝒙+ 𝟒 𝟑 𝒙+ 𝟒 𝟑 = 𝑵. 𝑭𝑹𝟏 𝒙− 𝟑 𝑬 = 𝑵. 𝑭𝑹𝟏 𝒙− 𝟑 × 𝒙+ 𝟑 𝒙+ 𝟑 = 𝑵.𝑭𝑹𝟏.𝑭𝑹𝟐 𝒙𝟐−𝟑
- 29. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO 1. Indicar el denominador de la expresión racionalizada y simplificada de: 𝑬 = 𝟔𝒂 𝟑 𝟐𝟕 𝒙𝒚𝟐 . 𝟓 𝒙𝟒𝒚𝟐 SOLUCIÓN: Simplificando: Multiplicando por su F.R. : El denominador racionalizado es: 𝐄 = 𝒙𝒚 𝟐 Respuesta : 𝑬 = 𝟔𝒂 𝟑 𝟑𝟑𝒙𝒚𝟐. 𝟓 𝒙𝟒𝒚𝟐 = 𝟔𝒂 𝟑 𝟑 𝒙𝒚𝟐. 𝟓 𝒙𝟒𝒚𝟐 = 𝟐𝒂 𝟑 𝒙𝒚𝟐. 𝟓 𝒙𝟒𝒚𝟐 𝑬 = 𝟐𝒂 𝟑 𝒙𝒚𝟐. 𝟓 𝒙𝟒𝒚𝟐 × 𝟑 𝒙𝟐𝒚. 𝟓 𝒙𝒚𝟑 𝟑 𝒙𝟐𝒚. 𝟓 𝒙𝒚𝟑 = 𝟐𝒂. 𝟑 𝒙𝟐𝒚. 𝟓 𝒙𝒚𝟑 𝒙𝒚.𝒙𝒚 𝒙𝟐𝒚𝟐 PROBLEMAS DE FICHA:
- 30. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO 2. Racionalizar: 𝑬 = 𝟖 𝒙𝒚𝟐 𝟕 𝟏𝟐𝟖 𝒙𝟏𝟐𝒚𝟏𝟓 SOLUCIÓN: Descomponiendo: Multiplicando por su F.R. : 𝐄 = 𝟒 𝟕 𝒙𝟐 𝒚𝟔 𝒙 𝒚 Respuesta : 𝑬 = 𝟖 𝒙𝒚𝟐 𝟕 𝟏𝟐𝟖 𝒙𝟏𝟐𝒚𝟏𝟓 = 𝟖 𝒙𝒚𝟐 𝟕 𝟐𝟕 𝒙𝟕 𝒙𝟓 𝒚𝟏𝟒𝒚 = 𝟖 𝒙 𝒚𝟐 𝟐 𝒙 𝒚𝟐 𝟕 𝒙𝟓 𝒚 = 𝟒 𝟕 𝒙𝟓 𝒚 𝑬 = 𝟒 𝟕 𝒙𝟓 𝒚 × 𝟕 𝒙𝟐 𝒚𝟔 𝟕 𝒙𝟐 𝒚𝟔 = 𝟒 𝟕 𝒙𝟐 𝒚𝟔 𝒙 𝒚
- 31. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO 3. Dar como resultado el denominador racionalizado y simplificado de: 𝑬 = 𝟔 𝟓 𝟑𝟑 . 𝟏𝟐 𝟓𝟕 . 𝟏𝟓 𝟒𝟗 SOLUCIÓN: Simplificando: Multiplicando por su F.R. : El denominador racionalizado es: 𝟏𝟎 Respuesta : 𝑬 = 𝟔 𝟓 𝟑𝟑 . 𝟏𝟐 𝟓𝟕 . 𝟏𝟓 𝟐𝟏𝟖 = 𝟑 𝟓 𝟑𝟑 . 𝟏𝟐 𝟓𝟕 . 𝟏𝟓 𝟐𝟑 𝑬 = 𝟑 𝟓 𝟑𝟑 . 𝟏𝟐 𝟓𝟕 . 𝟏𝟓 𝟐𝟑 × 𝟓 𝟑𝟐. 𝟏𝟐 𝟓𝟓. 𝟏𝟓 𝟐𝟏𝟐 𝟓 𝟑𝟐. 𝟏𝟐 𝟓𝟓. 𝟏𝟓 𝟐𝟏𝟐 = 𝟑. 𝟓 𝟑𝟐. 𝟏𝟐 𝟓𝟓. 𝟏𝟓 𝟐𝟏𝟐 𝟑.𝟓.𝟐 5 . 2
- 32. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO 4. Racionalizar: 𝑬 = 𝟒𝒂+𝟔𝒃 𝟐 𝟒 𝟒𝒂𝟐+𝟏𝟐 𝒂𝒃+𝟗𝒃𝟐 SOLUCIÓN: Simplificando: Multiplicando por su F.R. : 𝟐𝒂 + 𝟑𝒃 Respuesta : 𝑬 == 𝟐(𝟐𝒂+𝟑𝒃) 𝟐 𝟒 𝟐𝒂+𝟑𝒃 𝟐 = 𝟐𝒂+𝟑𝒃 𝟐𝒂+𝟑𝒃 𝑬 = 𝟐𝒂+𝟑𝒃 𝟐𝒂+𝟑𝒃 × 𝟐𝒂+𝟑𝒃 𝟐𝒂+𝟑𝒃 = 𝟐𝒂+𝟑𝒃 𝟐𝒂+𝟑𝒃 𝟐𝒂+𝟑𝒃 = 𝟐𝒂 + 𝟑𝒃
- 33. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO 5. Racionalizar e indicar el denominador de: 𝐸 = 2𝑎+2𝑏 2𝑎+2𝑏− 2𝑎−2𝑏 ; a > b. SOLUCIÓN: Simplificando: Multiplicando por su F.R. : El denominador racionalizado es: 𝟐𝒃 Respuesta : 𝑬 = 2𝑎+2𝑏 2𝑎+2𝑏− 2𝑎−2𝑏 = 2(𝑎+𝑏) 2(𝑎+𝑏)− 2(𝑎−𝑏) = 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏− 𝑎−𝑏 𝑬 = 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏− 𝑎−𝑏 × 𝑎+𝑏+ 𝑎−𝑏 𝑎+𝑏+ 𝑎−𝑏 = 𝑎+𝑏 + 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑎+𝑏 2 − 𝑎−𝑏 2 𝒂 + 𝒃 − 𝒂 − 𝒃 = 𝒂 + 𝒃 − 𝒂 + 𝒃 = 𝟐𝒃
- 34. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO 6. El denominador racionalizado y simplificado de: 𝑬 = 𝟐𝒙−𝟔𝒚 𝟖 𝟓 𝒙𝟐−𝟔𝒙𝒚+𝟗𝒚𝟐 SOLUCIÓN: Simplificando: Multiplicando por su F.R. : El denominador racionalizado es: 𝟒 Respuesta : 𝑬 = 𝟐(𝒙−𝟑𝒚) 𝟖 𝟓 𝒙−𝟑𝒚 𝟐 = 𝒙−𝟑𝒚 𝟒 𝟓 𝒙−𝟑𝒚 𝟐 𝑬 = 𝒙−𝟑𝒚 𝟒 𝟓 𝒙−𝟑𝒚 𝟐 × 𝟓 𝒙−𝟑𝒚 𝟑 𝟓 𝒙−𝟑𝒚 𝟑 = 𝒙−𝟑𝒚 𝟓 𝒙−𝟑𝒚 𝟑 𝟒 𝒙−𝟑𝒚 = 𝟓 𝒙−𝟑𝒚 𝟑 𝟒 𝟒
- 35. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO 7. Reducir y racionalizar: 𝑬 = 𝟏𝟐 𝟐 + 𝟑 + 𝟓 SOLUCIÓN: Agrupando 𝟐 𝒚 𝟑: Multiplicando por su F.R. : Desarrollando: 𝟏𝟖 + 𝟏𝟐 − 𝟑𝟎 = 𝟑 𝟐 + 𝟐 𝟑 − 𝟑𝟎 Respuesta : 𝑬 = 𝟏𝟐 ( 𝟑 + 𝟐) + 𝟓 𝑬 = 𝟏𝟐 ( 𝟑 + 𝟐) + 𝟓 × 𝟑+ 𝟐 − 𝟓 𝟑+ 𝟐 − 𝟓 = 𝟏𝟐 𝟑+ 𝟐 − 𝟓 𝟑+ 𝟐 𝟐 − 𝟓 𝟐 𝑬 = 𝟏𝟐 𝟑+ 𝟐 − 𝟓 𝟑+𝟐 𝟔+𝟐−𝟓 = 𝟏𝟐 𝟑+ 𝟐 − 𝟓 𝟐 𝟔 Multiplicando por su F.R. : 𝑬 = 𝟏𝟐 𝟑+ 𝟐 − 𝟓 𝟐 𝟔 × 𝟔 𝟔 = 𝟑 + 𝟐 − 𝟓 𝟔
- 36. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO 8. Racionalizar: 𝑬 = 𝟓𝒙−𝟐𝟓 𝟏𝟎 𝟕 𝒙𝟑−𝟏𝟓𝒙𝟐+𝟕𝟓𝒙−𝟏𝟐𝟓 SOLUCIÓN: Simplificando: Multiplicando por su F.R. : 𝟕 𝒙 − 𝟓 𝟒 𝟐 Respuesta : 𝑬 == 𝟓(𝒙−𝟓) 𝟏𝟎 𝟕 𝒙−𝟓 𝟑 = 𝒙−𝟓 𝟐 𝟕 𝒙−𝟓 𝟑 𝑬 == 𝒙−𝟓 𝟐 𝟕 𝒙−𝟓 𝟑 × 𝟕 𝒙−𝟓 𝟒 𝟕 𝒙−𝟓 𝟒 = 𝒙−𝟓 𝟕 𝒙−𝟓 𝟒 𝟐 𝒙−𝟓 = 𝟕 𝒙−𝟓 𝟒 𝟐
- 37. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO 9. Reducir y racionalizar: 𝑬 = 𝟏 𝟐+ 𝟐 + 𝟐 𝟐+ 𝟔 + 𝟏 𝟐 𝟐+ 𝟔 SOLUCIÓN: Multiplicando por su F.R.: Desarrollando: 1 Respuesta : 𝑬 = 𝟏 𝟐+ 𝟐 × 𝟐− 𝟐 𝟐− 𝟐 + 𝟐 𝟔+ 𝟐 × 𝟔− 𝟐 𝟔− 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝟐+ 𝟔 × 𝟐 𝟐− 𝟔 𝟐 𝟐− 𝟔 𝑬 = 𝟐− 𝟐 𝟒−𝟐 + 𝟐 𝟔− 𝟐 𝟔−𝟐 + 𝟐 𝟐− 𝟔 𝟒 𝟐 −𝟔 = 𝟐− 𝟐 𝟐 + 𝟔− 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐− 𝟔 𝟐 𝑬 = 𝟐− 𝟐+ 𝟔− 𝟐+𝟐 𝟐− 𝟔 𝟐 = 𝟐 𝟐 = 𝟏 Reduciendo:
- 38. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO 10. Encontrar el valor de: 𝑵 = 𝟏 𝟓 𝒂𝟑 . 𝟑 𝒃𝟐 . 𝟕 𝒄𝟒 . 𝒂𝒃𝒄 𝟑 𝒃 SOLUCIÓN: Simplificando: Multiplicando por su F.R.: 𝟓 𝒂𝟐. 𝟕 𝒄𝟑 Respuesta : 𝑵 = 𝒂𝒃𝒄 𝟓 𝒂𝟑 .𝒃. 𝟕 𝒄𝟒 = 𝒂𝒄 𝟓 𝒂𝟑. 𝟕 𝒄𝟒 𝑵 = 𝒂𝒄 𝟓 𝒂𝟑. 𝟕 𝒄𝟒 × 𝟓 𝒂𝟐. 𝟕 𝒄𝟑 𝟓 𝒂𝟐. 𝟕 𝒄𝟑 = 𝒂𝒄 𝟓 𝒂𝟐. 𝟕 𝒄𝟑 𝒂𝒄 = 𝟓 𝒂𝟐. 𝟕 𝒄𝟑
- 39. CONTINUAMOS CON LA PARTE PRÁCTICA “AFAC” TE RECUERDA: “TODO ÉXITO SE LOGRA CON RESPONSABILIDAD” PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO