Este documento describe diferentes métodos para factorizar polinomios racionales enteros. Explica que la factorización consiste en expresar un polinomio como el producto de dos o más polinomios de grado mayor o igual a uno, llamados factores. Luego describe los métodos de factor común monomio, factor común polinomio, factorización por agrupación de términos, identidades y aspa simple. Finalmente incluye ejemplos de problemas de factorización.

1. FACTORIZACIÓN
Es el proceso que consiste en transportar
un
polinomio
racional
entero
en
una
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
A. FACTOR COMÚN MONOMIO
Factor común monomio es el monomio
cuyo coeficiente es el máximo común
divisor de los coeficientes del polinomio
dado y cuya parte variable esta formada
por las variables comunes con su menor
exponente.
multiplicación de dos o más polinomios de
grados mayores o iguales a uno, llamado
factores:
multiplicación
(x + 1) (x + 3) = x
2
+ 4x + 3
factorización
Y
si
estos
factores
FACTORIZACIÓN
POLINOMIO
no
se
pueden
MONOMIO COMÚN
P(x, y) = 15x + 25y
descomponer en más factores se les denomina
factores primos (Es aquel factor de grado
2
P(x) = abx – acx
diferente de cero que es divisible por la unidad
2
y el mismo).
P(x) = 2x – 4x + 6x
# DE
POLINOMIO FACTORIZADO
FACTORES
PRIMOS
2 3
3
4
3 3
P(x, y) = x y – x y + x y
3 4
4 5
5 5
P(x, y) = 5x y – 15x y + 2ax y
2 3
P(x, y, z) = (x + y)(x - y)z x
2
3
P(x) = abx – ax + bx
2 3 5
P(x, y, z) = x y w
2
4
2
P(x, y) = (x + y)(x – xy + y )x
4
n
3 4
P(x, y) = x y (x - 2)(x - y)
n-2
n
– 12x
a b
n+2
n-1
a-1 b-2
P(x, y) = 12nx y + 4nx
y
–
a+1 b+2
8nx
2
4
+x
P(x) = 3x + 6x
P(x, y, z) = (xyz)
P(x) = x (x + 1)
n+1
P(x) = 2x + x
P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 4)x
3
3
P(x, y) = x – x + x
y
B. FACTOR COMÚN POLINOMIO
Factor común polinomio es un polinomio
que se repite como factor en cada uno de
los términos de un polinomio.
P(x, y, z) = (x + y)(x + y)(y + z)xyz
P(x, y) = (x + a)(y + b)(x + b)(y + a)
POLINOMIO
2
(a - 2)x – (a – 2)
2
2
y (x + y - z) + m (x + y - z)
4
x (2ª – 5b) + x(2a – 5b) – 5(2a - 5b)
FACTORIZACIÓN
POLINOMIO COMÚN

2. 2
36x + 84xy + 49y
a(p + q) + b(p + q) + c(p + q)
a(a + b - c) + c(a + b - c) + b(a + b - c)
2
E. ASPA SIMPLE
Es un método
C. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN
DE TÉRMINOS
Cuando TODOS los términos de un
polinomio no tienen la misma parte variable,
se agrupa los términos que si lo tienen y se
hallan los respectivos factores comunes.
2 2
2
POR AGRUPACIÓN
2 2
m y – 7xy + m z – 7xz
5
5a – 3b – 3bc + 5ac
3
trinomios de la forma:
2
ax + bxy + cy
2
5
2
ax
2
2
2
2 2
2 2
7mnx – 5y – 5x + 7mny
2
2
Los
factores se
escriben en
forma
horizontal
D. IDENTIDADES
Aquí
utilizamos
dos
diferentes
productos notables ya estudiados.
2
a – b = (a + b)(a - b)
FACTORIZACIÓN
TRINOMIO
ASPA SIMPLE
2
x + 7x + 12
2
3
3
2
3
3
2
x – 2x - 15
2
2
a + b = (a + b)(a – ab + b )
2
X + 8xy + 7y
a – b = (a - b)(a + ab + b )
2
2
2
2
2
2
x + 2xy – 35y
2
2
2
4x – 12xy + 5y
a + 2ab + b = (a + b)
2
a – 2ab + b = (a - b)
2
2
12x - 8xy – 15y
FACTORIZACIÓN
POLINOMIO
2
c –b
IDENTIDADES
2
2
x + 10x + 25
3
64 – x
2
64x – 25
2
49x – 14x + 1
2
2
25m – 36n
2
36n + 48xy + 16y
2
Se realiza un producto en
aspa y los resultados se
adicionan, dicho resultado
debe ser idéntico al término
central del trinomio dado.
2
d m – 13c n – d n + 13c m
2
+ bxy + cy
Se descomponen en los
factores
extremos
6x – 1 – x + 6x
2
2
Su método es:
FACTORIZACIÓN
POLINOMIO
que permite factorizar
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
2

3. PARTE I
1.
10. Indicar la suma de factores primos:
F(a, b) = a3 – b3 + a2b – ab2
Indique el número de factores primos:
F(a, b) = 5a9b3 + 15a6b7
PARTE II
11. Factorizar:
2.
3.
4.
Señale los factores primos de segundo
grado:
G(a, b) = a(1 – b2) + b(1 – a2)
Indique el factor primo que más se repite
en:
E(x) =(x - 3)(x - 2)(x - 1) - (x + 2)(x - 1) - 1 + x
¿Cuántos factores primos presenta la
siguiente expresión?
P(x, y, z, w) = wy + wz – wyz – xy – xz + xyz
F(x; y) = x3y2 + x2y + x2y3 + xy2
El factor primo de 2do grado es:
12. Factorizar:
F(x; y) = x4y – x2y3 – x3y2 + xy4
El número de factores primos binomios es:
13. Factorizar:
F(x) = (x + 1)4 – 5(x + 1)2 + 4
E
5.
indicar
la
suma
de
los
términos
independientes de los factores primos.
Factorizar:
R(x) = 8x3 + 27;
indique el factor primo de mayor suma en
sus coeficientes.
14. Factorizar:
F(x; y) = 12x2 + 6y2 + 17xy
e indicar la suma de los valores numéricos
6.
Calcular la suma de los factores primos de:
T(x, y) = (xy + 1)2 – (x + y)2
7.
Factorizar:
de sus factores primos para x = 3; y = 2.
15. Indique el número de factores primos en:
P(x) = 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
P(x) = 9x2 – 18x + 8
Q(x) = 12x2 + x - 6
16. ¿Cuántos factores primos resultan en?
e indicar la suma de sus factores primos no
P(x; y) = x9y – x3y7
comunes.
8.
Factorizar:
P(x) = x7 + c3x4 – c4x3 – c7;
indicar cuántos factores primos
obtienen:
17. Si un factor primo de:
H(x) = x4 – 13x2 + 36
se
Toma la forma (ax + b), donde: a + b = -2
Hallar el valor de a – b
18. Factorizar: F(x)=
9.
¿Cuántos factores primos tiene
siguiente polinomio?
P(x) = x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1
el
(x - 3)(x - 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 2) – (x - 1)
e indicar la suma de sus factores primos.
Tarea Domiciliaria

4. 1.
Factorizar:
Rpta: x
2 2
2
2
F(x; y) = x y + x y + xy + xy
El número de factores primos es:
10. Indicar la cantidad de factores primos de:
Rpta: 4
P(a; x)
abx2 + aby2 + xya2 + xyb2
Rpta: 2
2.
Factorizar:
P(a; b; c) = a2 – abc – ac – ab + b2c + bc
Indicar el número de factores primos.
Rpta: 2
3.
P x
x6
x4
2x2
1
indicar la suma de coeficientes de un
factor primo.
Rpta: 1
Factorizar:
F(x,y) = x4 y + 3x3 y + 3x2 y + xy
12. Factorizar:
El factor que más se repite es:
P(x) = x2 + 2(a + b)x + a2 + 2ab + b2
Rpta: x + 1
4.
11. Factorizar:
Indicando la suma de coeficientes de un
factor primo.
Factorizar:
Rpta: a + b + 1
F(x) = (x + 1)4 – (x - 1)4
La suma de coeficientes del factor primo
cuadrático es:
13. Factorizar:
P(x) = x2 – (ac - b)x + abc
Rpta: 2
e indicar un factor primo.
5.
Factorizar:
Rpta: (x – ac) y (x – b)
(4x + 3y)2 – (x – y)2
e indicar la suma de los factores primos.
Rpta: 5x + 6y
6.
Al factorizar:
Factorizar:
señalar un factor primo lineal.
Rpta: x - y
e indicar
el
factor
primo
cuadrático:
Q(x, y) = x3 + 2x2y + 4xy2 + 8y3
Rpta: x2 + 4y2
9.
Factorizar:
P(x; y)
b2 x
x5y4 + x5y2 + x3y4 + x3y2
e indicar un factor primo de mayor grado.
ab ,
e indicar la suma de los T.I. de los
15. Indicar los factores primos de:
G(x) = x3 + 4x2 – 19x + 14
Rpta: x – 1 , x – 2 , x + 7
x3y2 + y3z2 – x3z2 – y5
Factorizar
a2
Rpta: a+b
¿Cuántos factores primos se obtienen?
Rpta: 6
8.
abx2
factores primos.
P(x,y,a,b,c)= ac4x4y – ab4c4y
7.
14. Factorizar: F x