Resistencia de materiales

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RESISTENCIA DE MATERIALES
UNIDAD I
MECÁNICA VECTORIAL Y MECANICA ESTÁTICA.

SEMANA 1
1. INTRODUCCIÓN
Como se indicó en la presentación del curso, lo que aquí se abordará busca que usted
conozca y maneje los conceptos básicos del equilibrio estático, fuerzas, momentos,
resistencia de materiales, de esfuerzo y deformación.
Esta semana iniciaremos el estudio de los contenidos definidos en el programa de
estudios, específicamente con los objetivos de:
 Conocer y comprender los conceptos básicos del equilibrio estático.
 Comprender y valorar la necesidad de entender el comportamiento de los
cuerpos rígidos bajo cargas exteriores
Para ello en este documento se abordarán los contenidos de Fundamentos de
Mecánica Vectorial –Fuerza, Vectores y escalares-, Fundamentos de la mecánica estática:
composición de fuerzas concurrentes y no concurrentes y Fundamentos de Mecánica
Vectorial.
2. FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA VECTORIAL
2.1.Fuerza:(𝐅⃗)
Históricamente, se define por fuerza cualquier acción o influencia que al actuar sobre
un cuerpo es capaz de cambiar el estado de movimiento de éste; por ejemplo, la fuerza que
una persona aplica para mover un escritorio.
2.2.Tipos de fuerzas:
 Fuerza de contacto: resulta del contacto físico entre un cuerpo y sus alrededores. Por
ejemplo golpear un balón de futbol con el pie.
 Fuerza de campo: Resulta de la acción a distancia entre el cuerpo y sus alrededores
Por ejemplo la fuerza magnética.

2.3. Unidad de fuerza:
La unidad de fuerza es newton (N) que se define como la fuerza que, al actuar sobre un
cuerpo de una masa 1kg, produce una aceleración de 1 m/s2
. El newton se puede expresar
en términos de las siguientes unidades fundamentales de masa, longitud y tiempo.
1N = 1 kg m/s2
.
2.4.Características de una fuerza:
 Punto de aplicación. Es el lugar concreto sobre el cual actúa la
fuerza. En él se comienza a dibujar el vector que representa la
fuerza.
 Magnitud o intensidad. Indica el valor numérico de la fuerza en
newton. Se corresponde con la longitud del vector.
 Dirección. Es la recta a lo largo de la cual se aplica la fuerza.
La línea sobre la que se dibuja el vector.
 Sentido. Con la misma dirección, una fuerza puede tener dos
sentidos opuestos. Se indica con la punta de la flecha del
vector.
2.5.Vectores y Escalares
En la física hay dos tipos de magnitudes, las escalares y las vectoriales.
 La magnitud escalar se describe completamente por un valor numérico con una
unidad de medida apropiada. Por ejemplo: el tiempo, la temperatura y la rapidez.
 La magnitud vectorial se describe completamente con un valor numérico con una
unidad de medida apropiada más una dirección y sentido. Por ejemplo: la Fuerza y la
Velocidad.

2.6.Características de un vector
Para representar una magnitud vectorial se utiliza una letra en negrita, por ejemplo a, o una
flecha sobre el símbolo del vector (a⃗⃗). La magnitud del vector (a⃗⃗) se escribe como a o ⌈a⃗⃗⌉.
Los componentes de un vector son:
 Modulo viene dado por la longitud de la flecha. El módulo es proporcional a la
intensidad de la fuerza. Por ejemplo: Al representar las fuerzas usaremos una escala
similar a la utilizada en los mapas, por ejemplo, 1 centímetro en el papel equivaldrá a
1 Newton de fuerza (1 cm:1 N).
Escala Þ 1 cm = 2 N
3 cm ×
2 N
1 cm
= 6 N
 La dirección es la recta sobre la que se aplica la fuerza. Viene expresada por el ángulo
que forma la recta con la horizontal: 0º (horizontal), 30º, 47º, 90º (vertical), 130º, 249º,
etc.

Nota: En el S.I. la unidad de ángulo es el RADIÁN: 2π rad = 360º; π rad = 180º;
π/2 rad = 90º, etc.
 El sentido indica hacia dónde se aplica la fuerza. En una misma dirección existen dos
sentidos posibles.
 El punto de aplicación es el punto del espacio en que se aplica la fuerza. Esto es
importante, pues los efectos que producen las fuerzas dependen en muchos casos del
punto de aplicación.
Ambas fuerzas tienen el mismo módulo, pero difieren en su punto de aplicación.
Nota: Por lo tanto se puede decir que una fuerza es un vector.

2.7. Fuerza neta
Es cuando varias fuerzas están aplicadas al mismo tiempo sobre un objeto, fuerzas
concurrentes, estas se combinan de tal forma que dan origen a una sola fuerza llanada
fuerza neta. La fuerza neta (FN
⃗⃗⃗⃗⃗) corresponde a la suma vectorial de todas las fuerzas que
actúan sobre un cuerpo. También se conoce como fuerza resultante o fuerza total.
FN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = F1
⃗⃗⃗⃗⃗ + F2
⃗⃗⃗⃗⃗ + F3
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⋯+ Fn
⃗⃗⃗⃗⃗
Por ejemplo: dos caballos que tiran de un carro. En este caso, cuando dos o más fuerzas
actúan a la vez, sus efectos se suman. En otras ocasiones, los efectos se restan, por
ejemplo, dos niños disputándose un paquete de chucherías.
2.8. Diagrama de cuerpo libre (DLC).
Técnica que se utiliza representar todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, respetando
el módulo y la dirección de cada una de ellas. Se llama de cuerpo libre, ya que solo se
consideran las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en estudio, y no las que sete aplica a
otros objetos. El cuerpo se representa como una masa puntual, es decir, un punto donde su
masa se encuentra concentrada, de esta forma la masa permanece inalterable.

2.9. Leyes de Newton
2.9.1. Primera Ley de Newton:
Todo cuerpo tiende a mantener su estado, si está en reposo tenderá al reposo, y si está en
movimiento rectilíneo uniforme permanecerá en movimiento con velocidad constante
(rapidez, uniforme en línea recta), si no actúa sobre el alguna fuerza o si la fuerza neta sobre
el objeto es cero.
La fuerza neta 𝐹𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗ es el resultado de fuerzas externas aplicadas sobre el objeto, es decir,
fuerzas que son el producto de la interacción entre el objeto y su entorno. Cuando la fuerza
neta es cero, la aceleración ( 𝑎⃗) del objeto es cero. La sumatoria de las fuerzas iguales a cero
se conoce como condición de equilibrio traslacional.
∑ 𝐹𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎⃗ = 0
Ejemplo: Una joven camina a través de una cuerda tendida horizontalmente entre dos
edificios separados por 8 metros. A deflexión de la soga cuando esta en el punto medio
forma un ángulo de 12°. Si la masa de la joven es de 46 kg..., ¿cuál es la tensión (T) de la
soga en ese punto?
Desarrollo
Diagrama de cuerpo libre (DLC)

De acuerdo al DLC al descompones las fuerzas de tensión es la cuerda, tanto la suma de las
componentes de las fuerzas horizontales como verticales deben ser cero.
En el cero horizontal ambas componentes se anulan por ser iguales y opuestas.
En el caso vertical, se puede escribir ∑ 𝐹𝑦
⃗⃗⃗⃗ = 0
Entonces, utilizando las relaciones trigonométricas, se tiene:
𝑻 × 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟐° + 𝑻 × 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟐° − 𝒎 × 𝒈 = 𝟎
𝟐 𝑻 × 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟐° = 𝒎 × 𝒈
𝑻 =
𝒎 × 𝒈
𝟐 × 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟐°
𝑻 =
𝟒𝟔 × 𝟗, 𝟖
𝟎, 𝟒𝟐
𝑻 = 𝟏. 𝟎𝟕𝟑, 𝟑 𝑵
2.9.2. Segunda Ley de Newton.
La segunda ley de Newton, conocida también como ley de la aceleración, establece que
cuando se observa un objeto desde un marco de referencia inicial, la aceleración ( 𝑎⃗) del
objeto es directamente proporcional a la fuerza neta (𝐹⃗𝑁 ) que actúa sobre él y es
inversamente proporcional a su masa (m).
La segunda ley de Newton se expresa en: 𝑎⃗ =
∑ 𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑚
La dirección de la aceleración será en la dirección de la fuerza neta que actua sobre el
objeto.

Ejemplo: Cuanta tensión debe resistir un cable si se utiliza para acelerar verticalmente hacia
arriba a 0,6 m/s2
, en contenedor de 1.000 kg, en ausencia del roce.
Desarrollo
El DCL muestra todas las fuerzas que actúan sobre el contenedor.
A partir de la segunda ley de Newton
∑ 𝐹⃗ = 𝑚 × 𝑎⃗ 𝑇 − 𝑚 × 𝑔 = 𝑚 𝑥 𝑎⃗
El peso se puede calcular como: masa x aceleración de gravedad.
Entonces despejando T de la expresión anterior y remplazando los
valores se tiene:
T = m x a + m x g
T = m (a + g)
T = 1.000 kg (0,6 m/s2
+ 9,8 m/s2
)
T= 1.000 kg ( 10,4 m/s2
)
T = 10.400 N
∑ 𝐹⃗ = 𝑚 × 𝑎⃗
Recordemos la relación masa, aceleración y fuerza queda:

2.9.3. Tercera ley de Newton:
La tercera ley de Newton o ley de acción y reacción, establece si dos objetos llamados A y B
interactúan, la fuerza 𝐹𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ejercida por el objeto A sobre B es igual en magnitud y opuesta en
dirección a la fuerza 𝐹𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ejercida por el objeto B sobre el objeto A. Asi, se puede expresar:
𝐹𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
La fuerza que el objeto A aplica sobre el objeto B se conoce como acción y la fuerza que
ejerce el objeto B aplica sobre el objeto A se conoce como reacción. La fuerza de acción
tiene la misma magnitud que la fuerza de reacción pero en dirección opuesta
2.10. Fuerza de roce
Si un objeto está en movimiento interactuará con su entorno, tanto si se mueve sobre una
superficie sólida como si lo hace dentro de un fluido. Esta interacción se traduce en una
resistencia al movimiento del objeto conocida como fuerza de roce o fuerza de fricción.
¿Cómo se produce la fuerza de roce?
La fuerza de roce se genera a partir de la naturaleza de las superficies en contacto, debido a
la rugosidad de ambas.
 Para sacar un cuerpo del reposo se le debe aplicar una fuerza..
 La fuerza que su opone al movimiento del cuerpo se conoce como fuerza de roce
estática (fs). Mientras el cuerpo no se mueva, la fuerza de roce estática será igual a la
aplicada, si la fuerza aumenta, la fuerza de roce también aumenta.
 Cuando el cuerpo está a punto de deslizarse, la fuerza de roce tiene su máximo valor.

 Cuando el cuerpo está en movimiento, la fuerza de roce se denomina fuerza de roce
cinética (fk). Esta fuerza es menor que la fuerza máxima. Si la fuerza aplicada es igual
en magnitud a la fuerza de roce cinética, entonces el cuerpo se moverá con velocidad
constante, pero si la fuerza es mayor que la fuerza de roce cinética, el cuerpo
acelerará en la misma dirección que la fuerza resultante.
2.11. Composición de una fuerza
A continuación estudiaremos la manera de calcular la fuerza resultante para el caso de varias
fuerzas aplicadas en la misma dirección y para el caso de fuerzas aplicadas en direcciones
diferentes. Es lo que se denomina composición de fuerzas.
1) Misma dirección
 Mismo sentido: se suman los módulos de los vectores a componer.
 Sentidos contrarios: se restan los módulos de los vectores a componer.

2) Distinta dirección
 Perpendiculares: se aplica el método gráfico y usamos el teorema de Pitágoras sobre
el triángulo que determinan los dos vectores y su resultante. Obviamente, el triángulo
es rectángulo (para los despistados).
 . No perpendiculares: Se aplica método grafico exclusivamente.
En el caso que hubiera componer más que un vector, lo haríamos sucesivamente uno a uno.
3) Paralelas
 Igual sentido (paralelas): Numéricamente se debe cumplir la llamada “Ley de la
palanca” según la cual Los productos de cada fuerza por la distancia a la resultante
son iguales:

F1 · (d – x) = F2 · x
Por otro lado, el módulo de la resultante es la suma de los módulos de las dos fuerzas:
R = F1 + F2
 Sentidos contrarios (anti paralelas): Numéricamente se debe cumplir la llamada “Ley
de la palanca” según la cual Los productos de cada fuerza por la distancia a la
resultante son iguales:
F1 · (d + x) = F2 · x
Por otro lado, el módulo de la resultante es la diferencia de los módulos de las dos fuerzas:
R = F2 - F1
Siempre se restará la menor a la mayor.

2.12. Descomposición de fuerzas
Descomponer un vector consiste en encontrar otros vectores (normalmente dos) cuya
composición nos del vector inicial. Esencialmente, es el proceso contrario al de la
composición. Veamos algunos ejemplos;
Hay otra posibilidad
Y otra forma más
Entonces, ¿cuál es la forma correcta de descomponer un vector? Pues todas. En realidad
hay infinitas maneras de descomponer un vector y todas son correctas pues cumplen la
definición de descomposición vectorial. Nosotros vamos a estudiar una llamada
descomposición normal en la que los vectores obtenidos (componentes), son
perpendiculares entre sí.

Vamos a ver ahora una aplicación práctica de la descomposición de vectores: el
desplazamiento sobre un plano inclinado.
Nos centraremos, concretamente, en la descomposición de la fuerza-peso. Esta fuerza tiene
dos efectos sobre el cuerpo que se desplaza: lo mantiene en contacto con la superficie del
plano inclinado y lo empuja hacia abajo.
Cada uno de estos dos efectos es debido a las dos componentes de la fuerza-peso

En Matemáticas podemos también identificar vectores, componerlos y descomponerlos
usando coordenadas cartesianas:
Para componer dos vectores a partir de sus coordenadas cartesianas

SEMANA 2
1. INTRODUCCIÓN
Esta semana abordaremos contenidos que permitan seguir comprendiendo conceptos
básicos del equilibrio estático y comprender el comportamiento de los cuerpos rígidos bajo
cargas exteriores.
2. FUERZA MECÁNICA ESTÁTICA
2.1. Fuerza concurrente:
Fuerzas cuyas líneas de acción tienen un punto en común; con la aplicación de la ley del
paralelogramo se puede calcular su suma vectorial.
2.2. Sistema de fuerzas concurrentes.
Se llama así al proceso o mecanismo para obtener la resultante entre 2 o más fuerzas
aplicadas a un cuerpo.
2.3. Composición de dos fuerzas concurrentes
Dos fuerzas, aplicadas a un cuerpo de modo que tengan un punto en común forman un
sistema de dos fuerzas concurrentes.
En un sistema de dos fuerzas concurrentes pueden ofrecer dos circunstancias;
a) Que las dos fuerzas pertenezcan a la misma recta; es decir, que tengan igual dirección.

b) Que cada una de las dos fuerzas pertenezcan a distintas rectas.
Cuando cada una de las dos fuerzas pertenece a la misma recta pueden darse 3 casos.
1. Que tengan distinto sentido pero igual intensidad. Por ejemplo: cuando dos personas tiran
de una cuerda sin ningún vencedor.
De aquí deducimos que la resultante de dos fuerzas de igual intensidad, que pertenecen a
una misma recta es nula.
En símbolos es:
R = F1 + F2 = 0
2. Que las dos fuerzas tengan igual sentido. Por ejemplo: cuando dos personas tratan de
empujar un automóvil o una carga cualquiera.

Esto nos indica que la resultante de dos fuerzas de igual dirección y sentido es otra fuerza de
igual dirección y sentido que aquéllas, y cuya intensidad equivale a la suma de ambas.
3. Que las dos fuerzas tengan igual dirección, pero sentido e intensidad distintos. Por
ejemplo: el mismo de las personas tirando de la cuerda, pero con un vencedor. El que
vence, lo consigue aplicando una fuerza superior a la del otro, En este caso, el que
pierde se desplaza en dirección del ganador.
De lo expuesto deducimos que la resultante de dos fuerzas de igual dirección, pero con
sentido e intensidad distintos es otra, cuyo sentido está determinado por el de la fuerza
mayor y cuya intensidad es igual a la diferencia de intensidad de ambas fuerzas.
En el caso de que las dos fuerzas no pertenezcan a una misma recta, se aplica la llamada
regla del paralelogramo, que se enuncia así:

Por el extremo de cada una de las fuerzas se traza una paralela a la otra, Así se forma un
paralelogramo. La diagonal que parte del origen de las fuerzas es la resultante del sistema.
Si las fuerzas no tuvieran el punto en común O, se procede a prolongar sus direcciones hasta
que se determine el punto de intersección, y a partir de éste se trasladan las fuerzas.
2.4. Descomposición de fuerzas
2.4.1. Descomponer una fuerza según dos direcciones dadas
Procediendo en forma inversa al caso de la composición de dos fuerzas concurrentes,
podremos calcular las fuerzas F1 y F2, que denominamos componentes de la fuerza
dada R. Para ellos, procedemos así: por el extremo de la fuerza R trazamos las paralelas a

las direcciones m y n hasta cortarlas. Los segmentos determinados sobre cada una de ellas
nos darán las fuerzas buscadas.
2.4.2 Descomposición en el plano inclinado y en el péndulo
1. En el plano inclinado (tobogán, dispositivos para deslizar objetos, etc.) Si consideramos la
descarga de un cuerpo por un plano inclinado, observamos que aquél se desliza por la
acción de una fuerza F, cuyo origen explicaremos.
A primera vista, la única fuerza actuante es la del cuerpo. Veamos que ocurre. En el
punto G está aplicada la fuerza P, pero del cuerpo (con dirección y sentido hacia el centro de
la tierra). Por el punto G trazamos la paralela al plano inclinado y una perpendicular a dicho
plano (rectas a y b). Por el extremo de P trazamos las paralelas a las rectas a y b; de este
modo determinamos los puntos T y V.
¿Qué hemos logrado? Descomponer, según lo explicado, la fuerza P en otras 2: F1 y F2.
Consecuentemente, la acción de la fuerza P que quedado transformada en F1 y F2 o
reemplazarlas por ellas.

2. En el péndulo (columpio, péndulo de reloj, etc.) Procedemos como en el ejemplo del caso
anterior. La fuerza P (peso del cuerpo) se descompone según dos direcciones: una
perpendicular al hilo y otra igual a la del hilo y otra igual a la del hilo. En el
punto A actuaba P; ahora, en su reemplazo, actúan F1 y F2. Pero por el principio de acción y
reacción, F2 queda anulada por la reacción del hilo, que se pone tenso (si no reaccionara, el
péndulo caería por rotura del hilo; la reacción también es del soporte M).
Queda solamente, actuando sobre el punto A, la fuerza F1, que hace desplazar al péndulo
sobre B.

2.5. Resultante de varias fuerzas concurrentes
2.5.1. Método del paralelogramo
Por la regla del paralelogramo, relativa a las fuerzas, sabemos obtener la resultante entre
dos fuerzas concurrentes. En caso de ser más, procede del modo siguiente: se calcula la
resultante entre las dos primeras F1 y F2 y se logra la primera resultante parcial, R1. A esta
resultante se le suma la tercera fuerza y se consigue la resultante R2. A esta nueva
resultante se le suma la cuarta fuerza, y así sucesivamente, hasta haber sumado la última
fuerza.
2.5.2. Método de la poligonal
En este caso también podemos aplicar lo que conocemos como suma de vectores.
Es decir, que a continuación de la primera fuerza F1, construimos un vector F2, equipolente
con F2; a continuación de éste, otro, F3, equipolente con F3, y así sucesivamente, hasta
construir el equipolente al último dado. La resultante R está dada por el vector cuyo origen
es el de las fuerzas y su extremo es el del último transportado.

2.6. Fuerza Equilibrante
Si al sistema dado le aplicamos una fuerza E de igual intensidad que R pero de sentido
contrario, el cuerpo permanece en equilibrio. De ahí que E se denomina equilibrante.
2.7. Ecuaciones de Equilibrio
Si sobre un objeto actúan n fuerzas, es condición necesaria y suficiente para el equilibrio
que la resultante R del sistema de fuerzas sea nula:
R = 0 = ( F1; F2; F3; ….; Fn).
Simbólicamente, la condición anterior puede escribirse como:
𝑅 = ∑ 𝐹 = 0
Pero teniendo presente que las cantidades involucradas en la sumatoria corresponden a
cantidades vectoriales que no pueden sumarse simplemente en forma algebraica, sino
conforme a las reglas establecidas a la composición de fuerzas.
La ecuación vectorial puede expresarse escalarmente en términos de las composiciones de
las fuerzas. En referencia a un sistema de ejes x e y en el espacio bidimensional, si
agregamos el eje z se transforma es un espacio tridimensional, se transforman en tres
ecuaciones escalares:

𝑅 𝑋 = ∑ 𝐹𝑋 = 𝐹𝑋1 + 𝐹𝑋2 + ⋯ + 𝐹𝑋𝑛 = 0
𝑅 𝑌 = ∑ 𝐹𝑌 = 𝐹𝑌1 + 𝐹𝑌2 + ⋯+ 𝐹𝑌𝑛 = 0
𝑅 𝑍 = ∑ 𝐹𝑍 = 𝐹𝑍1 + 𝐹𝑍2 + ⋯+ 𝐹𝑍𝑛 = 0
En la ecuación de equilibrio RX, es la componente X de la resultante, y F1X, F2x hasta Fnx, son
las componentes según x de las fuerzas F1, F2 hasta Fn, respectivamente. Similar significado
tiene las demás ecuaciones, pero en referencia a las proyección de las fuerzas en los ejes X,
Y, Z respectivamente. En forma más simple las condiciones de equilibrio se escriben usando
la siguiente notación:
∑ 𝐹𝑋 = 0
∑ 𝐹𝑌 = 0
∑ 𝐹𝑍 = 0
Adicionalmente las ecuaciones de equilibrio de fuerza, se pueden resolver utilizando formas
alternativas de expresarlas, como también ciertas propiedades que son con frecuencia útiles.
Estas se resumen en los teoremas siguientes:
 Teorema del polígono de fuerzas: Si una partícula está en equilibrio bajo la acción de
varias fuerzas, el polígono de ellas es cerrado. La conclusión es obvia ya que la
condición geométrica de polígono cerrado es equivalente a que la resultante sea nula.
 Teorema de la coplanaridad: Si una partícula está en equilibrio bajo la reacción de 3
fuerzas, las fuerzas son coplanares. Ello se demuestra reconociendo que dos de las
fuerzas definen un plano, por lo tanto la tercera fuerza no podrá estar fuera del plano
que sería imposible equilibrar su componente perpendicular al plano de las otras dos.
 Teorema del triángulo: Si una partícula está en equilibrio bajo la acción de 3 fuerzas,
estas pueden representarse en magnitud y dirección por los lados de un triángulo.

Esta es conclusión directa de los teoremas anteriores, ya que el polígono cerrado es
un triángulo plano.
 Teorema de Lamy: Si una partícula está en equilibrio bajo la acción de 3 fuerzas, la
magnitud de cada una de ellas es proporcional al seno del ángulo formado por las
otras dos. De la trigonometría se tiene el conocimiento del teorema del seno en un
triángulo plano:
𝑎
𝑠𝑒𝑛 ∝
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝛾
 Teorema del cuerpo sometido: Si un cuerpo está en equilibrio bajo la acción de tres
fuerzas, las fuerzas son coplanares y sus líneas de acción son o bien concurrentes o
paralelas.

2.8. Fuerzas no concurrentes
Es un grupo de fuerzas actuando sobre un mismo cuerpo cuyas líneas de acción no se
cruzan, es decir, no concurren a un mismo punto. La utilidad de saber esto es porque la
forma de calcular el efecto final del grupo de fuerzas actuando a la vez (conocido como
fuerza resultante) depende entre otras cosas de saber si el sistema es concurrente o no.
Por supuesto, si lo piensas un momento, si las líneas de acción de las fuerzas no se cruzan
nunca, solo puede tratarse de fuerzas paralelas, como también se conoce este tipo de
sistema de fuerzas.
2.8.1. Fuerzas Coplanares, No Concurrentes y Paralelas
a) Hay dos condiciones algebraicas independientes de equilibrio.
 ∑F = ∑M = 0
 ∑Ma = ∑Mb = 0
Ambas condiciones son suficientes para hacer la resultante igual a cero. En efecto, si hay
resultante será una fuerza o un par.
 Si ∑F = 0, la resultante no es una fuerza, y si ∑Ma = 0, no es un par; por lo tanto, no
hay resultante.
 Si ∑Ma = 0, la resultante no es un par sino una fuerza que pasa por a; y si también
∑Mb = 0, el momento de la resultante respecto a b debe ser cero, lo que implica que la
fuerza es cero.
Gráficamente, hay dos condiciones de equilibrio; el polígono de fuerzas y el funicular deben
cerrar porque en el primer caso si hay resultante será un par, pero con la condición segunda
no existirá el par.

B) Hay tres condiciones independientes algebraicas de equilibrio:
 ∑Fx = ∑Fy = ∑Ma = 0
 ∑Fx = ∑Ma = ∑Mb= 0
 ∑Ma = ∑Mb = ∑Mc= 0
Hay que advertir que los ejes x, y, de las componentes y los orígenes de momentos deben
estar en el plano de las fuerzas, y los tres puntos a, b, c, no deben ser colineales.
Estas tres condiciones bastan para dar resultante igual a cero. En efecto, si existe resultante
será una fuerza o un par.
 Cuando ∑Fx = ∑Fy = 0, la resultante no es fuerza, pero si ∑M = 0, no es un par y no
habrá resultante.
 Cuando ∑Fx = 0, la resultante es perpendicular al eje o un par; si ∑Ma = 0, no es un
par sino una fuerza que pasa por a y perpendicular al eje; si además, ∑Mb = 0, el
momento de esa fuerza respecto a b es cero, y por tanto, la fuerza es cero.
 Cuando ∑Ma = 0, la resultante no es un par sino una fuerza que pasa por a; si
además, ∑Mb = 0, la resultante pasa por b, pero si ∑Mc = 0, esta resultante será cero.

UNIDAD II
FUNDAMENTO DE RESISTENCIA DE LOS MATERIALES

SEMANA 3
1. INTRODUCCIÓN
Como se indicó en la presentación del curso, lo que aquí se abordará busca que usted
conozca y maneje los conceptos básicos del equilibrio estático, fuerzas, momentos,
resistencia de materiales, de esfuerzo y deformación.
Esta semana iniciaremos el estudio de los contenidos definidos en el programa de
estudios, específicamente con los objetivos de:
 Conocer, valorar y manejar el lengua en el área de las estructuras resistentes como
una herramienta para el desarrollo profesional.
Para ello en este documento se abordarán los contenidos de Fundamentos de materiales
(Principio de superposición de efectos: caso general). Introducción al diagrama de tensión:
(Deformaciones transversales, Tensiones efectivas y Deformaciones Cubicas)
2. Fundamentos de resistencia de materiales.
El calculista debe dimensionar las estructuras de forma que no fallen ni se deformen
excesivamente bajo cualquier condición posible de carga. Los miembros siempre se diseñan
con una capacidad significativamente más grande que la requerida para soportar las cargas
de servicio previstas (ya sean cargar reales o las especificas por el reglamento de diseño).
Esta capacidad adicional provee también un factor de seguridad contra sobrecarga adicional.
Es más, limitado el nivel de esfuerzo, el diseñador ofrece indirectamente cierto control sobre
las deformaciones de la estructura. El esfuerzo máximo permisible de un miembro se
determina por la resistencia a la tensión o a la compresión del material o, en el caso de
miembros esbeltos sujetos a compresión, por el esfuerzo al cuál un miembro (o un
componente del miembro) se pandea.
Aunque las estructuras deben diseñarse con un factor de seguridad adecuado para reducir la
probabilidad de falla a un nivel aceptable, el ingeniero debe asegurarse de que la estructura
tenga suficiente rigidez para operar funcionalmente bajo todas las condiciones de cargar. Por
ejemplo, las vigas de piso no deben tener flechas excesivas o vibrar bajo carga viva. Las
deflexiones excesivamente grandes de las vigas pueden causar agrietamiento en los muros

de mampostería (albañilería) y techos de yeso, o pueden dañar equipo al desalinearlo. Los
rascacielos no deben balancearse excesivamente bajo cargas eólicas (pues el edificio
causaría mareos a quienes se hallen en los pisos superiores); los movimientos excesivos de
un edificio no solo son molestos para los ocupantes, quienes se mostrarían preocupados por
la seguridad de la estructura, sino que también pueden provocar grietas en los muros
exteriores y ventanas. La estructura del edificio se debe rigidizar para corregir las deficiencias
de diseño.
2.1. Reacciones
Se dice que un cuerpo en reposo está en equilibrio estático: la resultante de las fuerzas
externas que actúan sobre el cuero (incluyendo las fuerzas de apoyo, que se llaman
reacciones) es igual a cero. No solo deben ser cero la suma de todas las fuerzas (o de sus
componentes) que actúan en cualquier dirección posible, sino también la suma de los
momentos de todas las fuerzas respecto a cualquier eje.
Para que una estructura, o una parte de ella, estén en equilibrio bajo la acción de un sistema
de cargas, deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio de la estática. Con los ejes x, y y z,
las ecuaciones de equilibrio pueden escribirse de la siguiente manera:
∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝐹𝑧 = 0
∑ 𝑀 = 0 ∑ 𝑀 𝑦 = 0 ∑ 𝑀𝑧 = 0
Para fines de análisis y diseño, la mayoría de las estructuras pueden considerarse planas,
sin que ello implique perdida de exactitud. Para estas estructuras, que generalmente se
pupone están en le plano xy, la suma de las fuerzas en las direcciones x, y y, así como la
suma de los momentos respecto a un eje perpendicular al plano, debe ser cero. Las
ecuaciones de equilibrio se reduce a :
∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝑀𝑖 = 0

Comúnmente estás ecuaciones se escriben como:
∑ 𝐹𝐻 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝑀 = 0
Estas ecuaciones no se pueden demostrar de manera algebraica, solo expresan la
afirmación de Isaac Newton de que para cada acción sobre un cuerpo hay una reacción igual
y opuesta. Si la estructura en construcción es una viga, una armadura, un margo rígido, o
algún otro tipo de ensamblado soportado por diferentes reacciones, las ecuaciones de
equilibrio de la estática deben satisfacerse para que esa estructura permanezca en equilibrio.
2.2. Diagrama de cuerpo libre
Para que una estructura este en equilibrio, todas y cada una de sus partes también deberían
estarlo. Las ecuaciones de equilibrio estático son igualmente aplicables a cada pieza de la
estructura como lo son toda la estructura. Es posible, entonces, dibujar un diagrama de
cualquier parte de una estructura, incluyendo todas las fuerzas que están actuando en esa
parte de la estructura, y aplicar las ecuaciones de equilibrio estático a sea parte. A un
diagrama como esté se denomina diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas que actúan sobre el
cuerpo libre son las fuerzas externas que actúa sobre esa pieza dela estructura, así como
las fuerzas internas aplicadas desde las partes adyacentes de la estructura.
La figura (a), muestra una viga simple que tiene dos soportes y sobre ellas actúan dos
cargas. Un diagrama de cuerpo libre de toda la viga como muestra la figura (b), establece
todas las fuerzas de reacción. También podemos cortar la viga en el centro y dibujar un
diagrama de cuerpo libre para cada una de sus dos partes. El resultado se muestra la figura
(c). Observe que ahora hemos incluido fuerzas internas en la posición del corte sobre los
diagramas: las fuerzas internas son las mismas sobre las dos partes, pero las direcciones en
que ellas actúan son opuestas entre sí. En esencia, los efectos del lado derecho de la viga
sobre el lado izquierdo se muestra sobre cuerpo libre izquierdo y viceversa. Por ejemplo, la

parte derecha de la viga tiende a empujar al cuerpo libre izquierdo hacia abajo mientras que
la parte izquierda está tratando de empujar el cuerpo libre hacia arriba.
Recordatorio
Momento de una fuerza: Las fuerzas aplicadas en una
dirección que no pasa por el centro de gravedad de un objeto
producen un giro en éste.
Para medir la magnitud de este giro se define Momento de
una fuerza con respecto a un punto O como un vector cuya
dirección es perpendicular al plano que forman O con la recta
dirección de y el sentido lo marca la regla del tornillo.
| 𝑀|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝐹| × | 𝑟| × 𝑠𝑒𝑛 ∝
Su módulo vale | 𝑀|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝐹| × | 𝑟| × 𝑠𝑒𝑛 ∝ = 𝐹 × 𝑑 d α = × × = × sen siendo “ α ” el ángulo
que forman los dos vectores y “d” la distancia (más corta) de O a la recta dirección de 𝐹 .

Ejemplo: En los extremos de una barra de 2 m de longitud se ejercen dos fuerzas paralelas y
de sentido contrario de 10 N y 20 N y perpendiculares a la barra. a) Determina el módulo del
momento resultante de dichas fuerzas sobre el punto medio de la barra.
Desarrollo
Los Momentos de ambas fuerzas tienen la misma dirección y sentido con lo que:
M total = M1 + M2 = F1 x d1 + F2 x d2 =
10 N x 1,0 m + 20 N x 1,0 m =
10 N x m + 20 N x m = 30N x m.
Respuesta: El momento resultante es de 30Nxm.
2.3. Reacciones calculadas con ecuaciones de equilibrio estático.
El cálculo de reacciones por medio de las ecuaciones de equilibrio estático se ilustrará en un
ejemplo: Al aplicar la ecuación ∑ 𝑀 = 0, puede seleccionarse un punto como centro de
momentos, tal que las líneas de acción de todas, menos una de las incógnitas, pase por este
punto. La incógnita se denomina con la ecuación de momentos, y las otras componentes de
reacción se encuentran aplicado las ecuaciones ∑ 𝐹𝐻 = 0 y ∑ 𝐹𝑦 = 0.
En el siguiente ejemplo que veremos la viga tiene tres componentes de reacción
desconocidas; una vertical y una horizontal en A, y una vertical en B. Se toman momentos
respecto a A para encontrar el valor de la componente vertical en B. Se iguala a cero la suma
de todas las fuerzas verticales y así es como se encuentran la componente de reacción
vertical en A. Se describe una ecuación similar para las fuerzas horizontales aplicadas a la
estructura, y se encuentra que la componente de reacción horizontal en A es igual a cero.
El cálculo de las reacciones puede verificarse tomando momentos respecto a otro punto
sobre la estructura, generalmente otro soporte como se ilustra en el ejemplo.

Ejemplo: Calcular las componentes de reacción para la viga que se ilustra en la siguiente
figura:
Desarrollo: Las fuerzas de reacciones y sus sentidos supuestos se muestran en la figura.
Comenzamos la solución sumando fuerzas horizontales para determinar HA.
∑ 𝐹𝐻 = 𝐻𝐴 = 0 , ∴ 𝐻𝐴 = 0
 A continuación sumaremos momentos en el sentido de las manecillas del reloj
respecto al soporte izquierdo. Después de hacerlo se obtiene la ecuación
∑ 𝑀𝐴 = 20 × 10 + 15 × 20 + 16 × 32 − 𝑉𝐵 × 40 = 0
200 + 300 + 512 = 𝑉𝐵 × 40
1012
40
= 𝑉𝐵
𝑉𝐵 = 25,3 𝐾𝑙𝑏

 El resultado VB es positivo, por lo que el sentido supuesto para ella es correcto, la
reacción en B actúa hacia arriba. Finalmente, las fuerzas verticales se suman para
calcular la reacción restante.
∑ 𝐹𝑌 = 𝑉𝐴 − 20 − 15 − 16 + 𝑉𝐵 = 0
𝑉𝐴 − 51 + 25,3 = 0
𝑉𝐴 − 25,7 = 0
𝑉𝐴 = 25,7 𝐾𝑙𝑏
 De nuevo, la reacción calculada es A es positiva. Por lo que el sentido supuesto es
correcto. Podemos sumar momentos respecto a B para verificar nuestros cálculos.
∑ 𝑀 𝐵 = 25,7 × 40 − 20 × 30 − 15 × 20 − 16 × 8 = 0
∑ 𝑀 𝐵 = 1100 − 600 − 300 − 128 = 0
∑ 𝑀 𝐵 = 0
Por lo tanto, ya que la suma de los momentos es igual a cero, las reacciones calculadas son
las correctas.

2.4. Principio de superposición
Si una estructura en forma clásica lineal, la fuerza o desplazamiento en un punto específico
generado por un conjunto de cargas que actúan simultáneamente se evalúa sumando
(superponiendo) las fuerzas o los desplazamientos en el punto particular generados por
cada una de las cargas del conjunto que actúa individualmente. En otras palabras, la
respuesta de una estructura clásica lineal es la misma si todas las cargas se aplican
simultáneamente o si los efectos de las cargas individuales se combinan.
El principio de superposición puede ilustrarse considerando las fuerzas y deflexiones
generadas en voladizo mostrado en la siguiente figura, muestra las reacciones y la
configuración deformada provocada por las fuerzas P1 y P2.
Las siguientes figuras muestran las reacciones y las configuraciones deformadas generadas
por las cargas que actúan en forma separada sobre la viga.

El principio de superposición establece que la suma algebraica de las reacciones – fuerzas
internas o deslazamientos – en cualquier punto específico de las figuras anteriores. Dicho de
otro modo las siguientes expresiones son válidas:
𝑅 𝐴 = 𝑅 𝐴1 + 𝑅 𝐴2
𝑀𝐴 = 𝑀𝐴1 + 𝑀𝐴2
∆ 𝑐 = ∆ 𝐶1 + ∆ 𝐶2
El principio de superposición no se aplica a vigas - columnas o a
estructuras que experimentan cambios sustantivos en su geometría al
ser cargadas. Por ejemplo la siguiente figura en voladizo cargada por una
fuerza axial P.
El esfuerzo axial P es generar únicamente

esfuerzos directos en la columna; P no produce momento
La siguiente figura muestra una fuerza horizontal H aplicada en la parte superior de la misma
columna, esta carga genera tanto un momento como un corte.
La siguiente figura muestra las cargas de las figuras
anteriores que se aplican simultáneamente a la columna. Si
sr suman los momentos alrededor del punto A para obtener el
momento en la base de la columna en su posición deformada
(la parte superior tiene una deformación horizontal igual a
una distancia ∆), el momento en la base se expresa como:
𝑀′
= 𝐻𝐿 + 𝑃∆
El primer término representa el momento primario generado
por la carga transversal H. El segundo término, llamado el momento P∆, representa el
momento provocado por la excentricidad de la carga axial P. El momento total en la base
excede, evidentemente, al momento producido por la suma de los casos establecidos
anteriormente. Como el desplazamiento lateral en el extremo superior de la columna
producido por la carga lateral genera momento adicional en todas las secciones a lo largo de
la longitud de la columna, las deformaciones por flexión de la columna de la figura son mayor
que las deformaciones de la figura anterior. Debido a que la presencia de carga axial
incrementa la deflexión de la columna, se aprecia que la carga axial tiene un efecto reductor
en la rigidez flexionante de la columna. Si rigidez flexionante de la columna es grade y ∆ es
pequeña o si P es pequeña, entonces el momento P∆ será pequeño y puede ignorarse en la
mayoría de los casos.
Ejemplo: Encontrar todas las componentes de reacción para la viga en voladizo que se
muestra en la figura

Desarrollo:
Aquí se ilustra el diagrama de cuerpo libre que se usa para el análisis
Diagrama de cuerpo libre
𝑐 = √( 𝑎)2 + ( 𝑏)2
10 = √(2 × 3)2 + (2 × 4)2
10 = √(6)2 + (8)2
 De la suma de las fuerzas verticales se obtiene la reacción vertical en A
∑ 𝐹𝑌 = −20 − 8 + 𝑉𝐴 = 0
𝑉𝐴 = 28 𝑘𝑙𝑏
 De la suma de las fuerzas horizontales se obtiene la reacción horizontal en A

∑ 𝐹𝐻 = −6 − 𝐻𝐴 = 0
𝐻𝐴 = 6 𝑘𝑙𝑏
 Finalmente, de la suma de momentos en el sentido de las manecillas del reloj
alrededor de A se obtiene la componente rotacional de la reacción.
∑ 𝑀𝐴 = −20 × 20 − 8 × 10 + 𝑀𝐴 = 0
− 400− 80 + 𝑀𝐴 = 0
𝑀𝐴 = 480 𝐾𝑏𝑙/𝑝𝑖𝑒
2.5. Introducción al diagrama de tensión
Deformación: Es el cambio del tamaño o forma de un cuerpo debido a los esfuerzos
producidos por una o más fuerzas aplicadas (o también por la ocurrencia de la dilatación
térmica). Independientemente de la forma en que se aplica la fuerza, el comportamiento
mecánico del material se describe mediante tres tipos de deformaciones: tracción,
compresión y corte.

Las deformaciones de las estructuras son causadas por momentos flexionantes, por fuerzas
axiales y por fuerzas cortantes. En vigas y en marcos, los valores máximos son causados por
momentos flexionantes, mientras que en las armaduras los valores máximos son causados
por fuerzas axiales. Las deflexiones por fuerzas cortantes no se consideran en este estudio,
ya que son muy pequeñas en casi todas las estructuras tipo viga. Las deflexiones por fuerzas
cortantes, como un porcentaje de las deflexiones de una viga, crecen conforme aumenta la
razón del peralte (desnivel) al claro de la viga.
2.6. Energía de Deformación
Si una barra se carga axialmente, se deforma y almacena energía de deformación U. Por
ejemplo en la barra mostrada en la figura (a), la carga P aplicada externamente induce a una
fuerza interna axial F de igual magnitud ( es decir, F = P ). Si la barra se comporta
elásticamente (y es válida la ley de Hooke), la magnitud de la energía de deformación U
almacenada en una barra, debida a una fuerza que se incrementa linealmente desde cero
vasta un valor final F al experimentar la barra un cambio de longitud ∆L, es igual:
𝑈 =
𝐹
2
𝑥 ∆𝐿
Donde
∆𝐿 =
𝐹 × 𝐿
𝐴 𝑋 𝐸
Dónde:
L = longitud de la barra.
A = área transversal de la barra
E = módulo de elasticidad
F = valor final de la fuerza interna axial.

Sustituyendo las ecuaciones anteriores U, se expresa en términos de la fuerza en la barra F
y de las propiedades del miembro como:
𝑈𝛿 =
𝐹
2
×
𝐹𝐿
𝐴𝐸
=
𝐹2
𝐿
2𝐴𝐸
Si la magnitud de la fuerza axial permanece constante al experimentarse en la barra un
cambio de longitud ∆L atribuible a algún efecto externo (por ejemplo, un cambio de
temperatura), la energía de deformación almacenada en el miembro es igual a:
𝑈 = 𝐹 × ∆𝐿
2.7. Deformación Transversal
Deformación Uniforme: Cambio de longitud entre la longitud inicial (Lo) y la final (Lt).
Si a una barra recta de sección transversal constante le aplicamos una carga de tracción o
compresión, experimenta (a medida que la carga aumenta), un alargamiento (tracción) o
acortamiento (compresión), cuya magnitud depende de la naturaleza y dimensiones del
material, esta deformación se la denomina (∆l), que resulta de la diferencia entre la longitud
inicial y la longitud al momento cualquiera que posee la pieza.

Cuando la sección transversal varia o el material presenta características diferentes en la
misma, a deformación unitaria representa un valor medio y se deberá determinar el
alargamiento o acortamiento producido en una longitud elemental.
Si el esfuerzo es tangencial o de corte, la deformación que se produce varia corrientemente
de un lado a otro, puede expresarse como una deformación angular. Si tenemos un cuerpo
elemental en l que actúan las fuerzas cortantes únicamente sobre la cara BC. Por la cara AD
se generan esfuerzos cortantes opuestos además supondremos que la altura l está
constituida por placas superpuestas de pequeño espesor, estas se deslizaran entre sí lo que
nos indica que el deslizamiento total o deformación total estará dada por el segmento BB’, el
que por unidad de longitud será igual a la tg del ángulo de deslizamiento.
Deformación unitaria por deslizamiento = BB’ = tg γ
De acuerdo a la magnitud del esfuerzo y a la naturaleza del material, las deformaciones
especificas o angulares pueden ser transitorias o elásticas cuando desaparecen al cesar la
carga que las originan, y permanentes o plásticas en caso contrario.

Cuando un material se rompe en su periodo elástico con muy poca deformación plástica,
resulta frágil y su fractura se produce en forma brusca, tal como ocurre en la fundición,
aceros resistentes, hormigones.
Cuando presenta deformación plástica resulta Dúctil, Maleable o Tenaz (aceros blandos).
 Dúctil: cuando la deformación plástica se origina por esfuerzos de tracción (el material
es alargado o estirado).
 Maleable: cuando los esfuerzos son de compresión (aplastamiento).
Desde el punto de vista tecnológico la ductilidad es la propiedad de los materiales de permitir
ser transformados en alambres o hilos (trefilado) y la maleabilidad la de dejarse extender
hasta adoptar la forma de planchuelas o chapas (martillado y laminado).
Si tenemos en cuenta el trabajo absorbido por el material en su proceso de deformación
hasta la rotura, el mismo será tanto mayor cuanto mayor sea su resistencia y capacidad de
deformación plástica, obteniéndose lo que se conoce como:
 Tenacidad: o propiedad de absorber energía que impide en muchos caso la fractura
de los elementos expuestos a cargas de choque o impactos.
 Resilencia, Rechazo o Elasticidad: característica de comportarse como un resorte,
cuando la carga aplicada no excede del periodo elástico del material, la carga
acumulada es devuelta por el mismo al cesar aquella.

2.8. Tensione
Para introducir la definición de tensión se considera un cuerpo sólido sometido a la acción de
un sistema de fuerzas exteriores (cargas aplicadas y reacciones) en equilibrio, y se realiza un
corte por una sección cualquiera S. Para que exista equilibrio en las dos partes resultantes,
(A) y (B), deben existir unas ciertas fuerzas de interacción en la superficie S, a las que
llamaremos F. Las fuerzas de interacción son iguales en magnitud y dirección, pero de
sentidos opuestos, sobre las secciones S de las partes (A) y (B), según exige el principio de
acción y reacción. Así la parte derecha ejerce sobre la izquierda una fuerza ∆F, y la fuerza
por unidad de área resulta:
𝑡 𝑚 =
∆ 𝐹
∆ 𝑆
A esta fuerza por unidad de área se le llama tensión media sobre la superficie S. Si el área
se expresa en forma diferencial de área dS, se obtiene lo que se define como tensión en un
punto según la superficie S:
𝑡 = lim
∆𝑆→0
∆ 𝐹
∆𝑆
=
𝑑𝐹
𝑑𝑆
Invirtiendo la definición de la tensión se desprende que la fuerza F es igual a la integral de las
tensiones en toda el área.

La definición de tensión presentada requiere las siguientes observaciones:
 La tensión depende del punto y de la orientación de la sección elegida. Así en un
punto dado se tendrán diferentes tensiones según la orientación considerada, y para
una sección S dada se tendrán tensiones diferentes para distintos puntos.
 En general la tensión no es normal al plano considerado sino que puede
descomponerse según dos componentes: la tensión normal al plano de la sección, α
(sigma), y la tensión tangencial a dicho plano, ṛ (tau).
 Las dimensiones de la tensión son [FL-2
], fuerza por unidad de superficie.
2.9. Principio de Tensión efectiva
En cualquier punto y dirección de un suelo saturado existe una tensión total (σ) y una presión
intersticial (u), esta última corresponde a la de la fase líquida. Con estas variables y en el
marco de los suelos saturados, se define tensión efectiva ( σ ’) como la diferencia entre el
valor de la tensión total y la presión intersticial:

𝜎′
= 𝜎 − 𝑢
Esta variable, obtenida por Terzaghi, es quizá la más importante de la Mecánica de Suelos,
ya que controla en gran medida la compresión del esqueleto y la resistencia al esfuerzo
cortante de un suelo. Así el principio de Terzaghi o de principio de tensiones efectivas,
ampliamente demostrado experimentalmente, enuncia que un terreno sólo se deforma si
varían sus tensiones efectivas.
La publicación de este principio en 1925 en la obra Erdbaumechanik de Karl Terzaghi, se
considera la fecha del nacimiento de la Mecánica de Suelos como una ciencia moderna.
El principio de tensiones efectivas no tiene una demostración analítica, simplemente se ha
demostrado experimentalmente, pero a continuación se presenta una interpretación física del
valor de la tensión efectiva, con la que se podrá justificar.
En primer lugar se expresa el equilibrio de fuerzas normales sobre un plano que pasa entre
el contacto de dos partículas de un suelo saturado:
A continuación se divide entre la superficie S para convertir las fuerzas en tensiones:

Finalmente se introduce la definición de tensión total ( σ = N/S), teniendo en cuenta que en
suelos y con el nivel de tensiones normalmente empleados en ingeniería Sc/S es muy
pequeño y se puede despreciar frente al valor de 1. Resulta:
Esta pequeña justificación teórica permite mostrar que la tensión efectiva se puede
interpretar como el valor aproximado de la fuerza transmitida por el esqueleto mineral
dividida entre el área total de la superficie.
Gracias a esta interpretación el principio de tensiones efectivas se puede justificar en base a
que las tensiones efectivas, proporcionales a las fuerzas en los contactos, son las
responsables de los procesos deformacionales de un suelo. Al cambiar éstas, cambian los
esfuerzos entre partículas que se reordenan y giran produciendo deformaciones.
No se debe olvidar que el principio de tensiones efectivas no se ha demostrado teóricamente,
aunque está ampliamente probado de forma experimental. Sin embargo, no es válido en el
estudio de rocas y de suelos no saturados.
3. Deformaciones Cubicas
Cuando una barra o cualquier trozo de metal es calentado a alta temperatura, se dilata en
sus tres dimensiones: largo, ancho y alto. Por ejemplo, en los pisos, es necesario dejar un
espacio entre las losetas para que cuando la temperatura ambiental aumente, el piso no
sufra deformaciones o cuarteaduras.
El coeficiente de dilatación cúbica se calcula con base en la dilatación lineal, ya que es tres
veces mayor, es decir:
β= 3[Lf-Lo/Lo(Tf-To)]
Se puede calcular el aumento de volumen al variar la temperatura con la siguiente fórmula:

Vf=Vo[1+ β(Tf-To)]
Ejemplo: ¿Cuál será el volumen final de una sustancia cuyo coeficiente de dilatación cubica
es de 1,89 x 10-4
/ °C, si originalmente tiene una temperatura de 12° C y un volumen de 130
cm#
, cuando su temperatura se incrementa hasta 50° C?
Datos:
Vf =?
β= 1.89 x 10-4
/°C
To =12°C
Tf =50°C
Vo =130 cm3
Reemplazamos:
Vf=Vo[1+ β(Tf-To)]
Vf = 130cm3
[ 1 + 1,89 x 10-4
/ °C ( 50°C – 12°C)
Vf = 130,93 cm3
Respuesta: El volumen final de la sustancia es de 130,93 cm3
, donde su volumen
inicial era de 130 cm3
, esto significa que su volumen varia en 0,93 cm3
.

1Instituto Profesional Iplacex
UNIDAD II
FUNDAMENTO DE RESISTENCIA DE LOS MATERIALES

SEMANA 4
INTRODUCCIÓN
Esta semana continuamos revisando los contenidos de la segunda unidad de
aprendizaje, los cuales tienes por objetivo de aprendizaje conocer, valorar y manejar el
lenguaje en el área de las estructuras resistentes como una herramienta para el
desarrollo profesional. Para alcanzarlos, en esta ocasión revisaremos la Teoría de la
Elasticidad y los límites de proporcionalidad, plasticidad, material dúctil y frágil.
1. Teoría de la elasticidad
La elasticidad es aquella propiedad en virtud de la cual un cuerpo se deforma de
manera proporcional a la carga aplicada y recupera su forma original una vez ha cesado la
acción de la carga. Un cuerpo se denomina perfectamente elástico si no experimenta
deformaciones permanentes, es decir, siempre recupera su figura inicial; por el contrario, un
cuerpo se dice que es perfectamente plástico si sufre deformaciones permanentes, de modo
que mantiene a lo largo del tiempo la nueva configuración adquirida.
En la técnica se aprovechan tanto los materiales elásticos como los plásticos. Por
ejemplo, las chapas de la carrocería han de mantener la forma deseada después de la
estampación, por lo que deberán ser plásticas. En cambio, los muelles de las
suspensiones deben volver a su posición inicial, por lo que tienen que ser perfectamente
elásticos. En realidad, la elasticidad y la plasticidad coexisten, ya que todos los materiales
se caracterizan por un comportamiento elástico, hasta cierto punto, denominado límite
elástico (esfuerzo máximo, generalmente expresado en kg/mm2
, al que puede someterse un
material sin que se produzcan deformaciones permanentes), y luego se comportan de forma
plástica durante un intervalo determinado hasta la rotura.
El comportamiento de un material se determina por la Ley de Hooke, que expresa la
proporcionalidad directa entre los esfuerzos y las deformaciones (alargamientos) de una
varilla de muestra (probeta) sometida a tracción. Para un mismo límite elástico, dos
materiales sometidos al mismo esfuerzo pueden alargarse de forma distinta. La relación
entre el esfuerzo y la deformación se denomina módulo de elasticidad. Para el acero vale
21.000 kg/mm2
; para las aleaciones de aluminio 7.000 kg/mm2
, y para las de magnesio 4.000
kg/mm2
. Esto significa que un acero que está sometido a un esfuerzo de tracción de 21
kg/mm2
se alarga (pero luego vuelve a cero) 1 mm por cada metro de longitud. Cuanto mayor
es el módulo de elasticidad, menor es la deformación que se produce al aplicar una carga
determinada. Contrariamente a lo que pueda parecer, los materiales empleados para los
muelles poseen un módulo de elasticidad elevado, es decir, soportan esfuerzos bastante
considerables antes de deformarse.

Sin embargo, para obtener las elevadas deformaciones que se requieren para los
muelles, se recurre a formas especiales (en hélice, de ballesta, de lámina) que, por medio de
una solicitación a torsión o flexión (en lugar de por tracción), permiten reducir el peso del
material empleado y las dimensiones del muelle. Evidentemente, cuanto mayor es el límite
elástico, más elevada es la carga que puede soportar el muelle antes de deformarse
plásticamente. Por todo lo dicho, parece evidente que, según la forma que se da a una pieza
mecánica, es posible obtener efecto opuesto, es decir, el de reducir las deformaciones
elásticas para una misma cantidad de material.
1.1.Límite de elasticidad
El límite elástico, también denominado límite de elasticidad, es la tensión máxima que
un material elastoplástico puede soportar sin sufrir deformaciones permanentes. Si se aplican
tensiones superiores a este límite, el material experimenta un comportamiento
plástico deformaciones permanentes y no recupera espontáneamente su forma original al
retirar las cargas. En general, un material sometido a tensiones inferiores a su límite de
elasticidad es deformado temporalmente de acuerdo con la ley de Hooke.
Los materiales sometidos a tensiones superiores a su límite de elasticidad tienen
un comportamiento plástico. Si las tensiones ejercidas continúan aumentando el material
alcanza su punto de fractura. El límite elástico marca, por tanto, el paso del campo elástico a
la zona de fluencia. Más formalmente, esto comporta que en una situación de tensión
uniaxial, el límite elástico es la tensión admisible a partir de la cual se entra en la superficie
de fluencia del material.
1.2.Determinación del límite de elasticidad
La prueba de tracción puede revelar varias propiedades de ingeniería importantes de los
materiales. Estas propiedades son la resistencia (límite de elasticidad, límite elástico
convencional, y resistencia a la tracción) y ductilidad (elongación y reducción de área). La
resistencia y ductilidad de los metales se obtienen generalmente a partir de una prueba de
tracción uniaxial simple en la que una muestra mecanizada se somete a una carga cada vez
mayor. La tensión (carga dividida por el área de la sección transversal original, N/mm2
o
MPa) puede ser trazada contra la deformación (alargamiento dividido por la longitud de
referencia original, %), como se muestra en la figura.

La curva de tensión-deformación puede variar en configuración con las propiedades del
metal a prueba y la temperatura de prueba. La curva de tensión-deformación del acero suave
a temperatura ambiente, como se puede observar en la figura (a), muestra el punto en el cual
se produce una elongación y deformación plástica, sin aumento de carga. Este punto
específico se denomina "límite de elasticidad (o límite de elasticidad superior)." Por el
contrario, la curva de tensión-deformación de aceros de baja aleación (por ejemplo, aceros
de alta resistencia y aceros resistentes al calor) y aceros de alta aleación (aceros
inoxidables, por ejemplo) no exhiben un límite de elasticidad, pero sí producen una curva
suave como se muestra en la figura (b). En este caso, la tensión necesaria para producir una
cantidad offset (deformación plástica) de desplazamiento de 0.2% se utiliza generalmente
para la resistencia estándar equivalente al límite de elasticidad, el cual se llama "límite
elástico convencional de 0.2%" o "prueba de resistencia de 0.2%." Normalmente se refiere a
ambos “límite elástico” y “límite elástico convencional de 0.2%”, simplemente como “límite de
elasticidad.”
En la figura (b), la porción sólida y recta (la línea de módulo recto) de la Línea A-A’ traza
la elongación de la muestra sobre la longitud de referencia original con un incremento de
tensión. Esta proporcionalidad lineal entre la tensión y la deformación representa el módulo
de Young (módulo de elasticidad) para el metal a prueba. Si la carga en esta muestra de
tensión es retirada en cualquier punto a lo largo de la línea recta del módulo, la longitud de la
muestra volverá a su dimensión original; por lo cual la elasticidad absoluta es demostrada por
el metal. Note el punto B en el eje de deformación, y trace una línea desde allí hasta el Punto
B’, paralela a la línea A-A’. El punto C, donde la línea de offset de 0.2% (BB’) intercepta la
curva de tensión-deformación, se encuentra el límite elástico convencional de 0.2%. Para el
metal de soldadura, la característica de elasticidad es similar a la de los materiales de acero
mencionados anteriormente. Es decir, los metales de relleno para aceros suaves (E6019 y
E6013) muestran el límite de elasticidad en la curva de tensión-deformación del metal de
soldadura, mientras que los metales de relleno de alta resistencia, resistentes al calor, y de
acero inoxidable, no presentan un límite de elasticidad en las curvas tensión-deformación.
Por lo tanto, en este último caso, el límite elástico convencional de 0.2% es utilizado.

En el diseño de edificios y puentes de acero, el límite de elasticidad es utilizado para la
resistencia estándar con el fin de desarrollar la tensión permitida de acuerdo con el factor de
seguridad especificado. En el caso de los recipientes a presión, la tensión permitida se
desarrolla con base en el límite de elasticidad así como en la resistencia a la tracción de
acuerdo con las condiciones de servicio.
1.3.Propiedades de los materiales.
Los materiales tienen diferentes propiedades mecánicas, las cuales están relacionadas
con las fuerzas exteriores que se ejercen sobre ellos. Las propiedades mecánicas de los
materiales son: Elasticidad, plasticidad, maleabilidad, ductilidad, dureza, tenacidad y
fragilidad.
 Elasticidad: Cualidad que presenta un material para recuperar su forma original al
cesar el esfuerzo que lo deformó. Por ejemplo, un globo.
 Plasticidad: Cualidad opuesta a la elasticidad. Indica la capacidad que tiene un
material de mantener la forma que adquiere al estar sometido a un esfuerzo que lo
deformó. Por ejemplo, un envase de platico.
 Maleabilidad: se refiere a la capacidad de un material para ser conformado en
láminas delgadas sin romperse. Ejemplo, aluminio
 Ductilidad: los materiales dúctiles son aquellos que pueden ser estirados y
conformados en hilos finos o alambre. Por ejemplo, el cobre.
 Dureza: Resistencia que opone un cuerpo a ser penetrado por otro. Esta propiedad
nos informa sobre la resistencia al desgaste contra los agentes abrasivos. Ejemplo,
diamantes
 Tenacidad: Resistencia a la rotura de un material cuando está sometido a esfuerzos
lentos de deformación. Ejemplo, acero.
 Fragilidad: Es el opuesto de la tenacidad, es la facilidad con la que se rompe un
material sin que se produzca deformación elástica. Por ejemplo el vidrio.
1.3.1. Material dúctil
La ductilidad es una propiedad que presentan algunos materiales, como las aleaciones
metálicas o materiales asfálticos, los cuales bajo la acción de una fuerza, pueden deformarse
sosteniblemente sin romperse permitiendo obtener alambres o hilos de dicho material. A los
materiales que presentan esta propiedad se les denomina dúctiles. Los materiales no dúctiles
se clasifican de frágiles. Aunque los materiales dúctiles también pueden llegar a romperse
bajo el esfuerzo adecuado, esta rotura sólo se produce tras producirse grandes
deformaciones.
En otros términos, un material es dúctil cuando la relación entre el alargamiento
longitudinal producido por una tracción y la disminución de la sección transversal es muy
elevada. En el ámbito de la metalurgia se entiende por metal dúctil aquel que sufre grandes
deformaciones antes de romperse, siendo el opuesto al metal frágil, que se rompe sin
apenas deformación.

No debe confundirse dúctil con blando, ya que la ductilidad es una propiedad que
como tal se manifiesta una vez que el material está soportando una fuerza considerable; esto
es, mientras la carga sea pequeña, la deformación también lo será, pero alcanzado cierto
punto el material cede, deformándose en mucha mayor medida de lo que lo había hecho
hasta entonces pero sin llegar a romperse. En un ensayo de tracción, los materiales dúctiles
presentan una fase de fluencia caracterizada por una gran deformación sin apenas
incremento de la carga.
Desde un punto de vista tecnológico, al margen de consideraciones económicas, el
empleo de materiales dúctiles presenta ventajas:
 En la fabricación: ya que son aptos para los métodos de fabricación por deformación
plástica.
 En el uso: presentan deformaciones notorias antes de romperse. Por el contrario, el
mayor problema que presentan los materiales frágiles es que se rompen sin previo aviso,
mientras que los materiales dúctiles sufren primero una acusada deformación,
conservando aún una cierta reserva de resistencia, por lo que después será necesario
que la fuerza aplicada siga aumentando para que se provoque la rotura.
La ductilidad de un metal se valora de forma indirecta a través de la resiliencia. La
ductilidad es la propiedad de los metales para formar alambres o hilos de diferentes
grosores. Los metales se caracterizan por su elevada ductilidad, la que se explica porque
los átomos de los metales se disponen de manera tal que es posible que se deslicen unos
sobre otros y por eso se pueden estirar sin romperse.
En el esquema de la respuesta de una barra cilíndrica de metal sometida a una fuerza de
tracción de direcciones opuestas a sus extremos. Donde la figura (a) muestra la fractura frágil
del material, en la figura (b) muestra la fractura dúctil y en la figura (c) muestra la fractura
totalmente dúctil del material.

1.3.2. Material frágil.
La fragilidad es la cualidad de los objetos y materiales de perder su estado original con
facilidad. Aunque técnicamente lafragilidad se define más propiamente como la capacidad de
un material de fracturarse con escasa deformación. Por el contrario, los materiales dúctiles o
tenaces se rompen tras sufrir acusadas deformaciones, generalmente de tipodeformaciones
plásticas. La fragilidad es lo contrario de la tenacidad y tiene la peculiaridad de absorber
relativamente poca energía, a diferencia de la rotura dúctil.
Las curvas del grafico representan la Tensión-Deformación de un material frágil (rojo) y
un material dúctil t tenaz (azul).
La energía absorbida por unidad de volumen viene dada por:
Si un material se rompe prácticamente sin deformación las componentes del tensor
deformación resultan pequeñas y la suma anterior resulta en una cantidad relativamente
pequeña. La fragilidad de un material además se relaciona con la velocidad de
propagación o crecimiento de grietas a través de su seno. Esto significa un alto riesgo de
fractura súbita de los materiales con estas características una vez sometidos a esfuerzos.
Por el contrario los materiales tenaces son aquellos que son capaces de frenar el avance de
grietas.

Ejemplos típicos de materiales frágiles son los vidrios comunes (como los de las
ventanas, por ejemplo), algunos minerales cristalinos, los materiales cerámicos y algunos
polímeros como el polimetilmetacrilato (PMMA), el poliestireno (PS), o
elpoliácidolactico (PLA), entre otros. Es importante mencionar que el tipo de rotura que
ofrece un material (frágil o dúctil) depende de la temperatura. Así mientras algunos
materiales como los plásticos (polietileno, polipropileno u otros termoplásticos) que suelen
dar lugar a roturas dúctiles a temperatura ambiente, por debajo de su temperatura de
transición vítrea dan lugar a roturas frágiles.

UNIDAD III

SEMANA 5
INTRODUCCIÓN
Esta semana se inicia la tercera unidad de aprendizaje, denominada Resistencia de
Materiales., cuyo objetivo de aprendizaje es comprender el comportamiento de un sólido
deformable ante la acción de cargas exteriores, según sea el material que lo constituye. Para
ello en este documento se trabajará el tema de la tracción y compresión.
1. Resistencia de materiales
Al construir una estructura se necesita tanto un diseño adecuado como unos elementos
que sean capaces de soportar las fuerzas, cargas y acciones a las que va a estar sometida.
Los tipos de esfuerzos que deben soportar los diferentes elementos de las estructuras son:
1.1.Tracción y compresión.
Las fuerzas que pueden hacer que una barra se estire se llaman fuerzas de
tracción. Hace que se separen entre sí las distintas partículas que componen
una pieza. Por ejemplo, cuando se cuelga del cable de acero de una grúa un
determinado peso, el cable queda sometido a un esfuerzo de tracción,
tendiendo a aumentar su longitud.
Las fuerzas que pueden hacer que una barra se aplaste o comprima se
llaman fuerzas de compresión. Hace que se aproximen las distintas
partículas de un material, tendiendo a producir acortamientos o
aplastamientos. Cuando colocamos una estatua sobre su pedestal,
sometemos ese pedestal a un esfuerzo de compresión, con lo que tiende
a disminuir su altura.

Los conceptos fundamentales en resistencia de materiales son la tensión y la
deformación. Esos conceptos pueden ilustrarse en su forma más elemental considerando
una barra prismática sometida a fuerzas axiales. Una prismática es un miembro estructural
recto con sección transversal constante en toda su longitud. La fuerza axial es una carga
dirigida a lo largo del eje del miembro que se somete a tracción o compresión. Si
consideramos una barra y aislamos un segmento de ella como cuerpo libre se puede
observar los siguientes aspectos:
Al dibujar un diagrama de cuerpo libre, despreciamos el peso propio de la barra y
suponemos que las únicas fuerzas activas son las fuerzas axiales P en los extremos. A
continuación consideraremos dos vista de una barra; la primera muestra la barra antes de la
aplicación de las cargar (figura b) y la segunda la muestra después de aplicadas las cargas
(figura c). Nótese que la longitud inicial se denota con la letra L, y el incremento en longitud
se denota con la letra griega  (delta).

Las tensiones expuestas de la barra quedan expuestas si hacemos un corte
imaginario a través de la barra en la sección mn (figura c). Como esta sección se toma
perpendicularmente al eje longitudinal de la barra, se llama sección transversal. Aislamos
ahora la parte de la barra a la izquierda de la sección transversal mn como cuerpo libre
(figura d). En el extremo derecho de este cuerpo libre (sección mn), se muestra la acción de
la parte retirada de la barra (es decir, la parte a la derecha de la sección mn) sobre la parte
restante. Esta acción consiste en una fuerza distribuida en forma continua que actua sobre
toda la sección transversal. La intensidad de la fuerza (o, sea, la fuerza por unidad de área)
se llama tensión y se denota con la letra griega  (sigma). Por tanto, la fuerza axial P que
actua en la sección transversal es la resultante de las tensiones distribuidas en forma
continua. (La fuerza resultante aparece como la línea punteada en la figura D).
Suponiendo que las tensiones están distribuidas uniformemente sobre la sección
transversal mn (figura d), vemos que la resultante debe ser igual a la intensidad 
multiplicada por el área A de la sección transversal de la barra, por tanto, la expresión para la
magnitud de las tensiones es:
𝜎 =
𝑃
𝐴
En esta ecuación la intensidad de la tensión uniforme de la barra prismática cargada
axialmente de sección transversal arbitraria. Cuando la barra es estirada por las fuerzas P,
las tensiones son tensiones de tracción, si se invierte el sentido de las fuerzas, ocasionando
que la barra este comprimida, obtendremos tensión de compresión. Debido a que las
tensiones actúan en una dirección perpendicular a la superficie cortada, se llaman tensiones
normales. Así pues, la tensiones normales pueden ser de tracción o de compresión.
Cuando se repite una convención de signos para las tensiones normales, es
costumbre definir las tensiones de tracción como positivas y las de compresión como
negativas.

Puesto que la tensión normal  se obtiene al dividir la fuerza axial por al área
transversal, se obtienen unidades de fuerzas por unidad de área. Cuando se usan unidades
inglesas , la tensión suele expresarse en libras por pulgadas cuadradas (psi) o Kips por
pulgada cuadrada (ksi).
Ejemplo: Suponga que una barra tiene un diámetro (d) de 2,0 in y que la carga P tiene una
magnitud de 6 Kps. Entonces la tensión de la barra es:
𝜎 =
𝑃
𝐴
=
𝑃
𝜋𝑑2/4
=
6𝑘
𝜋 (2,0 𝑖𝑛)2/4
= 1,91 𝑘𝑠𝑖 (𝑜 1910 𝑝𝑠𝑖)
En el ejemplo la tensión es tracción o positiva.
Cuando se utilizan unidades del sistema inglés, la fuerza se expresa en newton (N) y el
área en metros cuadrados (m2
). En consecuencia, la tensión tiene unidades de newtons por
metro cuadrado (N/m2
), es decir, pascales (Pa). Sin embargo, el pascal es una unidad de
tensión tan pequeña que es necesario trabajar con múltiplos grandes, usualmente con el
megapascal (MPa). Para demostrar que el pascal es pequeño, solo tenemos que anotar que
se requieren casi 7000 pascales para hacer 1 psi. Como en el ejemplo anterior, la tensión en
la barra es de 1,91 ksi, se convierte en 13,2 MPa, que es igual a 13,2 X 106
pascales.
Aunque no se recomienda en el sistema inglés, a veces La tensión se da en newtons por
milímetro cuadrado (N/mm2
), que es una unidad igual al megapascal (MPa).

2. Análisis estructural
Los casos relacionados con cuerpos rígidos y fuerzas en equilibrio han sido el
antecedente para conocer ahora acerca de las armaduras, que no son otra cosa
que estructuras formadas por elementos rígidos unidos entre sí. En estos casos se
determinarán las fuerzas externas que actúan sobre la estructura y se analizarán las fuerzas
internas que mantienen unidas sus partes.
Al realizar el análisis de estructuras por el método de los nodos siempre
comprendiendo el objetivo final del cálculo de las fuerzas, comencemos con las definiciones
de los elementos que se utilizarán:
 Armadura: Es un tipo de estructura de mayor importancia en ingeniería.
Proporciona soluciones tanto prácticas comoeconómicas a muchos problemas,
principalmente en el diseño de puentes y edificios. Las armaduras que a
continuación vamos a analizar se tratan de estructuras planas en dos
dimensiones, pero que, varios planos unidos entre sí pueden formar elementos
tridimensionales. Una armadura consta de:

 Miembros: Son los elementos rectos conectados entre sí por medio de nodos o
nudos. Por lo general, los miembros de una armadura son delgados y pueden
soportar poca carga lateral, por lo tanto, las cargas deben aplicarse sobre los
nudos y no directamente sobre los miembros. De esta teoría suponemos que
todos los miembros sólo son sometidos a cargas de compresión o tensión a lo
largo de su eje, y de eso se trata el análisis, de encontrar las magnitudes de la
tensión o compresión de cada miembro.
 Nodos: Son las conexiones entre cada miembro. Las fuerzas que actúan sobre
ellos se reducen a un solo punto, porque son las mismas fuerzas transmitidas
desde los ejes de los miembros. A través de los nodos nunca se puede
atravesar un miembro. Las conexiones en los nudos están formadas
usualmente por pernos o soldadura en los extremos de los miembros unidos a
una placa común llamada placa de unión.

 Apoyos: Toda estructura necesariamente debe estar apoyada en uno o más
puntos, los cuales se llaman puntos de apoyo, y como transmiten su carga a
través de esos puntos, en el diagrama de fuerzas debemos considerar los
vectores que indiquen las reacciones en esos apoyos. Cada diferente tipo de
apoyo generará a su vez un tipo de
 Reacción: Son las fuerzas generadas en los apoyos, son opuestas en dirección
de las fuerzas de la estructura que actúan en ese punto, existen tres tipos de
reacciones:
a) Reacciones equivalentes a una fuerza con línea de acción conocida.
Generadas por apoyos tipo: patines o rodamientos, balancines, superficies
sin fricción, eslabones y cables cortos, collarines sobre barras sin fricción y
pernos en ranuras lisas. En las reacciones de éste tipo hay una sola
incógnita
b) Reacciones equivalentes a una fuerza de dirección desconocida. Generadas
por pernos lisos en orificios ajustados, articulaciones y superficies rugosas.
En las reacciones de este grupo intervienen dos incógnitas.
c) Reacciones equivalentes a una fuerza y a un par. Producidas por soportes
fijos que impiden cualquier movimiento del cuerpo inmovilizándolo por
completo y obligándolo a reaccionar con tres fuerzas incógnitas (dos
componentes de traslación y un momento).
 Equilibrio: Cuando las fuerzas y el par son ambos iguales a cero forman un sistema
equivalente nulo se dice que el cuerpo rígido está en equilibrio. Por consiguiente,
las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido
pueden obtenerse haciendo R y MRO iguales a cero.

Descomponiendo cada fuerza y cada momento en sus componentes
rectangulares, podemos expresar las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio
de un cuerpo rígido por medio de las seis ecuaciones escalares siguientes:
∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝐹𝑧 = 0
∑ 𝑀 = 0 ∑ 𝑀 𝑦 = 0 ∑ 𝑀𝑧 = 0
Las ecuaciones obtenidas pueden usarse para determinar las fuerzas desconocidas
aplicadas a cuerpos rígidos o las reacciones desconocidas que ejercen sobre éste sus
apoyos. Notamos que las primeras tres ecuaciones expresan el hecho de que las fuerzas en
X, Y y Z están equilibradas; las otras tres ecuaciones indican que los momentos con respecto
a los tres ejes X, Y y Z también están equilibrados, o sea, ni se va a mover hacia ninguna
parte y tampoco va a girar en ningún sentido, el cuerpo está en equilibrio.
Cada caso presenta diferencias, pero la tarea principal es despejar de las seis
ecuaciones anteriores la mayor cantidad de variables posibles, a partir del diagrama de
fuerzas.
Por lo tanto el diagrama de fuerzas es la clave para el planteamiento correcto de las
ecuaciones y el cálculo exacto de cada fuerza en cada nudo.

Ejemplo: La armadura mostrada soporta una carga de 10 kN en C. a) Dibuje el
diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y determine las reacciones en sus
soportes b) Determine las fuerzas axiales en las barras. Indique si se encuentran
a tensión (T) o a compresión (C).
a) Diagrama de cuerpo libre

b) Determinación de fuerzas axiales:
∑ 𝑀 𝐵 = 0
Ax (3) – 10 (4) = 0
Ax (3) = 40
Ax = 40/3
Ax = 13,33 KN.
∑ 𝑀𝐴 = 0
Bx (3) – 10 (4) = 0
Bx (3) = 40
Bx = 40/3
Bx = 13,33 KN.
∑ 𝐹𝑌 = 0
By - 10 = 0
By = 10 KN.

NUDO C
𝐹𝐶𝐵
5
=
𝐹𝐶𝐴
4
=
10
3
Hallar FCB
𝐹𝐶𝐵
5
=
10
3
𝐹𝐶𝐵 = 16,66 𝐾𝑁 (𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛)
Hallar FCA
𝐹𝐶𝐴
4
=
10
3
𝐹𝐶𝐴 = 13,33 𝐾𝑁 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)
NUDO A
∑ 𝑭 𝒀 = 𝟎 𝑭 𝑨𝑩 = 𝟎
∑ 𝑭 𝑿 = 𝟎
𝐴 𝑋 − 𝐹𝐶𝐴 = 0
𝐴 𝑋 = 𝐹𝐶𝐴
𝑃𝑒𝑟𝑜 𝐹𝐶𝐴 = 13,33 𝐾𝑁
𝐴 𝑋 = 𝐹𝐶𝐴 = 13,33 𝐾𝑁
Por lo tanto:
 Ax = 13,33 KN.
 By = 10 KN.
 Bx = 13,33 KN
 FCB = 16,66 KN (tensión)
 FCA = 13,33 KN (compresión).
 FAB = 0

SEMANA 6
INTRODUCCIÓN
En esta última semana de estudio terminaremos de revisar los temas asociados a la
tercera unidad de aprendizaje, con la finalidad de comprender el comportamiento de un
sólido deformable ante la acción de cargas exteriores, según sea el material que lo
constituye. A continuación se desarrollan los contenidos de Cizalle y Corte, es decir, flexión
simple compuesta y torsión.
1. Cizalle y corte
Las fuerzas de cizalla o cortadura actúan de forma que una parte de la
estructura tiende a deslizarse sobre la otra. Se produce cuando se aplican
fuerzas perpendiculares a una pieza, haciendo que las partículas del
material tiendan a resbalar o desplazarse las unas sobre las otras. Al cortar
con unas tijeras una lámina de cartón estamos provocando que unas
partículas tiendan a deslizarse sobre otras. Los puntos sobre los que
apoyan las vigas están sometidos a cizalladura.
1.1.Torsión
Las fuerzas de torsión son las que hacen que una pieza tienda a retorcerse sobre su eje
central. Están sometidos a esfuerzos de torsión los ejes que giran, las manivelas, los
cigüeñales, etc. Podemos decir que un cuerpo está sujeto en una sección a torsión simple,
cuando la reducción de las fuerzas actuantes sobre éste, a un lado de la sección, da como
resultado una cupla que queda contenida en el plano de la misma. El problema de torsión
simple se presenta muy pocas veces, ya que en general aparece la torsión combinada con
flexión y corte.

Sin embargo, lo que estudiaremos es totalmente general, dado que aplicando el principio
de superposición de efectos, a partir del problema de torsión simple puede llegarse a otros
casos de torsión compuesta. El momento torsor MT es una solicitación generada por un par
de fuerzas que hacen girar la pieza en torno a su eje axial.
Cuando se somete a una barra a un momento torsor MT se dice que este genera un
estado de “corte puro” , ya que en cualquier punto del elemento, se generan solo tensiones
de corte, en el sentido opuesto al momento aplicado

Similar a lo que ocurre en Flexión, las tensiones de corte, que son perpendiculares al
radio, son mayores en las caras extremas y nulas en el centro donde gira la sección
Análogamente que para las tensiones de corte en flexión, se generan tensiones
“complementarias” en el sentido longitudinal de la barra, que tienen la misma magnitud que
las en la sección, por lo tanto son máximas en los extremos y nula en el centro. Esto se
aprecia al enrollar una hoja de papel. Por ser una sección abierta no presta ninguna
resistencia al movimiento axial, solo el roce. Cuando se aplica MT las puntas se desplazan
en los extremos
En una sección cerrada y sólida, como este movimiento está restringido, se generan las
tensiones de corte complementarias en el sentido axial.
1.2.Flexión.
Las fuerzas que actúan sobre una barra y tienden a hacer que se combe, se denominan
fuerzas de flexión. Es una combinación de compresión y tracción. Mientras que las fibras
superiores de la pieza sometida a flexión se acortan, las inferiores se alargan. Al saltar en la
tabla del trampolín de una piscina, la tabla se flexiona. También se flexiona un panel de una
estantería cuando se carga de libros.

1.3.Flexión pura.
Una viga se encuentra sometida a Flexión Pura cuando el momento Flector es la única
fuerza al interior de la sección.
Ejemplo: Una viga simplemente apoyada de luz “L” y solicitada por dos cargas “P”, ubicadas
a una distancia “a” de cada uno de los apoyos.
Calculemos las reacciones en los apoyos y a continuación los diagramas de esfuerzos
internos (N,Q y Mf).
Ecuaciones de equilibrio
∑ 𝐹𝑥 = 0 → 𝐴 𝐻 = 0
∑ 𝑀∝ = 0 → 𝐷𝛾 𝑙 = 𝑃𝑎 + 𝑃( 𝑙 − 𝑎) → 𝐷𝛾 = 𝑃
∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝐴 𝑦 + 𝐷 𝑦 = 2𝑃 → 𝐴 𝑦 = 𝑝

Por lo tanto los esfuerzos internos son:
Analizando los esfuerzos en el tramo BC, obtenemos:
En equilibrio se obtiene lo siguiente:
∑ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑄 𝑦(𝑥) = 𝑃 − 𝑃 → 𝑄 𝑌 (𝑥) = 0 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙 − 𝛼
∑ 𝑀𝑜 = 0 → 𝑀𝑓 = 𝑃𝑥 − 𝑃(𝑥 − 𝛼) → 𝑀𝑓 (𝑥) = 𝑃𝑎 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙 − 𝑎
Por lo tanto el tramo BC se encuentra en Flexión Pura.
Una viga se encuentra en Flexión Compuesta, cuando el Momento Flector está
acompañado por un esfuerzo Normal, para producir una fuerza al interior de la sección.

1.4.Flexión simple.
Se dice que la Flexión es Simple cuando la deformada del eje de la barra es una curva
contenida en el plano de las solicitaciones. Si el plano de las solicitaciones pasa por uno
de los ejes principales de inercia de la sección transversal, entonces la Flexión se
denomina Simple o Plana, como muestra las siguientes figuras:
1.4.1. Hipótesis fundamentales de la teoría de la flexión.
 Durante la Flexión de las barras las secciones permanecen planas (Bernoulli).
 En la Flexión Pura se identifica un Eje Neutro, es decir, una fibra longitudinal
que permanece sin deformarse.
 Las Tensiones de Corte en dirección “x” e “y” son despreciables.
 No hay Tensiones Normales en la dirección “y”.
En la superficie de la viga del ejemplo anterior se ha trazado una cuadrícula sobre su
zona para apreciar las deformaciones que producen las solicitaciones. Se resaltan dos
secciones (“a” y “b”), para destacar las deformaciones que se producen por las cargas
aplicadas.

Al analizar una pequeña parte del tramo central de la viga sometida a flexión pura se
obtiene:
Existe una sección “c” dentro de la viga que no se acorta ni se alarga, es decir, e x = 0,
tal como lo muestra la figura adjunta.

Las ecuaciones básicas se determinan de la siguiente forma:
La ecuación N°, representa el giro relativo entre dos secciones y está se definie de la
siguiente forma:
𝑝𝑥 = 𝜌𝑑𝜃 →
1
𝜌
=
𝑑𝜃
𝑑𝑥
Para determinar la deformación unitaria de una fibra a una distancia “y” con respecto
al eje neutro.
𝑙 𝑎𝑏 = 𝑑𝑥 𝜀 𝑥 =
𝑙 𝑎𝑏𝑓− 𝑙 𝑎𝑏
𝑙 𝑎𝑏
𝑙 𝑎𝑏𝑓 = (𝜌 + 𝛾)𝑑𝜃

𝜀 𝑥 =
(𝜌 + 𝛾)𝑑𝜃 − 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑛 𝑑𝑥 = 𝜌𝑑𝜃
Ecuación n°2, corresponde a la compatibilidad y está definida de la siguiente forma:
𝜖 𝑥 =
𝛾
𝜌
Ecuación n°3, corresponde a la ecuación de tensión, considerando un material en el
rango lineal elástico (ley de Hooke)
𝜎𝑥 = 𝐸𝜀 𝑥 → 𝜎𝑥 =
𝐸 𝑦
𝜌
Como el Módulo de Elasticidad del material es constante y su radio de curvatura, también
lo es, se puede señalar que:
𝜀 𝑦 = 𝑘𝑦 → 𝜎𝑥 = 𝑘∗
𝑦 = 𝑐𝑡𝑒∗
𝑦
Dónde:
𝑘 =
1
𝜌
∶ 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 (𝐸. 𝑁. )

Por lo tanto, se puede señalar que las deformaciones unitarias normales y las
tensiones normales varían linealmente con la distancia “y”, siendo máximas en las fibras
extremas.
Veamos como varía el radio de curvatura con las diferentes tipos de momentos
Flectores.
Las ecuaciones de equilibrio son las siguientes:
Sea Sz, el momento estático de la sección con respecto al eje “z”:
𝑆 𝑍 = ∫ 𝑦𝑑𝐴 = 0
𝐴
(∗)

La ecuación (*) indica que la Línea Neutra en la Flexión pasará por el Centro de
Gravedad de la Sección.
Sea IZ, el momento de inercia de la sección con respecto al eje “z”
En la figura se aprecia que las tensiones varían
linealmente con la distancia “y”, teniendo
tracciones para las distancia “y” positivas y
compresiones para las distancias “y” negativas.
Sea Iyz, el Producto de Inercia de la sección:

Debido a que Iyz = 0, los ejes “z” e “y” deberán ser Ejes Principales de Inercia de la
sección y el Momento Flector deberá encontrarse en el plano que pasa por uno de éstos
ejes.
Se define WZ, como el Momento Resistente de la sección con respecto al eje “z”
Ejemplo: Una viga simplemente apoyada de luz 5,0 m. se encuentra solicitada por una
carga uniformemente repartida de 2,0 ton/m. Si la sección de la viga es triangular de base
20 cm. y altura 30 cm. Se pide determinar las Máximas tensiones Normales que se
desarrollan en la viga y el lugar donde ocurren. Indicación: El plano de carga coincide con
el eje de Simetría de la sección.

Solución:
 El Plano de carga pasa por el Centroide y coincide con el Eje de Simetría de la
Sección.
 El Eje “y” por ser de Simetría es un Eje Principal de Inercia.
 De i) y ii) se deduce que la Flexión es Simple.
1.- Cálculo del Momento Máximo:

2.- Calculo de Inercia
3.- Cálculo de las Tensiones Normales Máximas:
Determinaremos las tensiones normales al centro de la luz de la viga, que es la sección
donde ocurre el Momento Flector Máximo.
1.5.FLEXION COMPUESTA
La Flexión Compuesta ocurre, como ya se señaló, cuando adicionalmente al Momento
Flector existe un Esfuerzo Normal actuante en la Sección.

Para calcular la distribución de Tensiones Normales debido a la Flexión Compuesta,
utilizaremos el Principio de Superposición.
Para flexión pura:
Para carga axial pura:
Por lo tanto obtenemos:

Importante:
 El Eje Neutro no coincide con el Centroide y las distancias se toman desde el
Centro de Gravedad.
 La distancia “d” se puede obtener haciendo σx = 0
Las ecuaciones de equilibrio son las siguientes:
Nota:
El Eje Neutro no coincide con el Centro de Gravedad de la sección, puesto que

Veamos qué ocurre si la fuerza “N” es de Tracción y el Momento Flector “Mz” es Negativo
(como vector en la dirección positiva del eje “z”).
Ejemplo: Una viga con un extremo empotrado y el otro en voladizo de luz 5,0 m. se
encuentra solicitada por una carga puntal excéntrica 50 ton. Si la sección de la viga es un
perfil “I” de alas iguales de 30x60x15 cms., tal como lo muestra la figura adjunta. Se pide
determinar las Máximas Tensiones Normales que se desarrollan en la viga y el lugar donde
ocurren. Indicación: El plano de carga coincide con el eje de Simetría de la sección.

Solución:
La carga “P” al estar excéntrica me genera un Momento Flector c/r al eje “z”, al desplazar la
carga al centroide (Resultante de un Sistema de Fuerzas Coplanares)
La sección es Simétrica, entonces el eje “y” es Principal y el Plano de carga coincide con el
eje Principal, por lo que la Componente de la Flexión es Simple.
La Distribución de Tensiones Normales viene dada por:
Las propiedades de la secciones son las siguientes:
Si remplazamos (*) tenemos:

Las tensiones máximas en las fibras externas son las siguientes:
Lo que se despeja en el eje neutro, se obtiene de la siguiente forma:

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