teoria y ejemplos de deflexiones

1. DEFLEXIONES
INTEGRANTES:
CARDENAS SERRANO CHRISTOFER
LOPEZNICOLAZROBERT
ROJAS ROSALES DIEGO
VAQUIN MALLADARES BILL
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERA Y METALURGICA
ESCUELA DE MINAS
Docente Asesor:DurandPorras, Juan Carlos

2. INTRODUCCION
Cuando cualquier elemento estructural, por ejemplo una viga está sometida a un conjunto de
cargas, esta tiende a deformarse, esta deflexión comúnmente se llama deflexión. Con
frecuencia se deben establecer límites para la cantidad de deflexión que pueda sufrir una viga
o un eje, cuando se le somete a una carga, el fundamento de este reporte es describir de una
manera breve y concisa, varios métodos para determinar la deflexión y la pendiente que
sufren en puntos específicos las vigas y ejes.
Las cargas de flexión aplicadas a una viga hacen que se flexione en una dirección
perpendicular a su eje. Una viga recta en su origen se deformara y su forma será ligeramente
curva. En la mayor parte de los casos, el factor crítico es la deflexión máxima de la viga, o
su deflexión en determinados lugares.

3.  DEFINICION DE DEFLEXIONES
La deflexión es el grado en el que un elemento estructural se desplaza bajo la aplicación de
una fuerza o carga. La deflexión se determina aplicando las leyes que relacionan las fuerzas
y desplazamientos, para ello se utilizan dos métodos de cálculo los geométricos y los de
energía.
Aunque en vigas y marcos las deformaciones se presentan principalmente por flexión, las
deformaciones por esfuerzos axiales en columnas de marcos y las deformaciones por
cortante, sobre todo en elementos altos o profundos no dejan de ser importantes. En
armaduras y cerchas las deflexiones se presentan por la combinación de las deformaciones
por carga axial en cada uno de los elementos que la componen.
 CAUSAS QUE LAS PROVOCAN
-La edad de los pasos elevados.
-Pérdidas que se acentúan a lo largo del tiempo
-Pérdida de la fuerza Fo de tensión.
-Deformación Plástica del Concreto
-Criterios de Diseño de la época no contemplaron posiblemente
-La Saturación Vehicular, fruto del crecimiento acelerado de la ciudad.
-La rigidez del tablero.
-La inercia del tablero está proporcionada casi en su totalidad por las vigas T invertida.
-La contribución de la losa superior es menor en comparación con la de las vigas.
-La rigidez a la flexión está determinada por el módulo de elasticidad de los materiales y por
la Inercia de la sección transversal de las vigas.
-La Inercia depende mucho más de la altura que de la base de las vigas.

4. -Valores pequeños de inercia resultan en deflexiones considerables.
-La relación altura / base es cercana a 1, cuando lo que se considera normal son valores
próximos a 2 en términos de relaciones de rigidez.
 IMPORTANCIA DEL CONTROL DE LAS DEFLEXIONES
Es importante ya que las deflexiones excesivas de un miembro pueden producir daños en
otros miembros estructurales, o más frecuentemente en elementos no estructurales como
muros divisorios, o acarrear problemas como acumulación de agua en azoteas. Las
deflexiones excesivas no son toleradas por los usuarios de la estructura, ya que producen una
sensación de inseguridad, ya por razones de orden estético. El control de Deflexiones es una
etapa importante en el diseño de una estructura ya que un exceso de Deflexiones estropea la
apariencia de la estructura.
 DEFLEXIONES QUE SE ORIGINAN EN ELEMENTOS DE CONCRETO
ARMADO SOMETIDOS A CARGAS DE CORTA Y LARGA DURACION
Las deflexiones de los elementos de concreto armado son función del tiempo y por lo tanto
pueden ser de dos tipos: Instantáneas y a largo plazo.
1) Deflexión instantánea o de corta duración
Son las que se deben fundamentalmente al comportamiento elástico de la estructura y se
producen inmediatamente después que las cargas son aplicadas, o sea en el momento de
desencofrar un elemento a flexión.

5. Cálculo de la deflexión instantánea
La deflexión instantánea se evalúa considerando la teoría de la resistencia de materiales y
estática, debiendo prever en el cálculo una inercia representativa de las secciones fisuradas
del elemento.
Una viga de concreto armado usual tiene una sección generalmente constante en lo relativo
al concreto, pero variable en cuanto al refuerzo de acero colocado a lo largo del tramo; si
además se tiene en cuenta que el momento actuante es variable a lo largo del elemento y que
por consiguiente los niveles de fisuración son variables, y que existen otros factores que
afectan la fisuración como son la contracción de fragua y el flujo plástico, se puede
comprender que el cálculo de la deflexión de un elemento es en realidad una estimación de
un orden de la deflexión esperada, basándose para este análisis en una inercia "representativa"
y aproximada del elemento.
El código americano del ACI platea el uso de una inercia que denomina efectiva y que es
un intermedio entre la inercia de la sección bruta y la inercia de la sección fisurada.

8. Algunos autores recomiendan duplicar el aporte del acero que trabaja en compresión de
manera de tener en cuenta que este refuerzo tiene un esfuerzo mayor debido a los efectos de
contracción de fragua y flujo plástico, por lo que tendríamos:
Resuelto el problema de la determinación de una inercia representativa del tramo en estudio,
se procede a evaluar la deflexión instantánea mediante las ecuaciones de la elástica. Tomando
como ejemplo una viga simplemente apoyada con una carga uniformemente repartida,
tendremos:

9. Si integramos dos veces se obtiene la ecuación de la elástica, siendo la deflexión en el centro
de la luz, la siguiente:
De manera similar o mediante otros métodos conocidos de resistencia de materiales se puede
determinar las deflexiones para otros casos comunes como son:

10. 2) Deflexión a largo plazo o diferida
Estas son consecuencia del creep y contracción del concreto y se presenta como un
incremento de la primera, conforme aumenta el tiempo desde el desencofrado, llegando a
alcanzar una estabilidad casi definitiva al cabo de cinco años aproximadamente. Las
deformaciones a largo plazo pueden llegar a ser el doble de las deformaciones instantáneas
 DEFLEXIONES ADMISIBLES ESTIPULADAS EN LA NORMATIVA
VENEZOLANA VIGENTE
El cálculo de deflexiones tiene dos aspectos. Por un lado, es necesario calcular las deflexiones
de miembros estructurales bajo cargas y condiciones ambientales conocidas. Por otro lado,
deben establecerse criterios sobre límites aceptables de deflexiones. El problema de calcular
las deflexiones de miembros de estructuras reales es aún más difícil que el de estimar las
deflexiones de vigas ensayadas en laboratorios. Los siguientes son algunos de los factores
que lo complican. El comportamiento del concreto es función del tiempo y, por consiguiente
en cualquier enfoque riguroso debe de tenerse en cuenta la historia de carga del miembro
investigado. En la práctica esto no es posible generalmente, ya que las condiciones de carga
son muy variables, tanto en magnitud como en el tiempo de aplicación. También son difíciles
de predecir las variaciones de humedad y temperatura con el tiempo, las cuales tienen
influencia sobre las deflexiones a largo plazo.
El segundo aspecto, o sea, la limitación de deflexiones, es importante desde dos puntos de
vista. En primer lugar, las deflexiones excesivas de un miembro pueden producir daños en
otros miembros estructurales, o más frecuentemente en elementos no estructurales como
muros divisorios, o acarrear problemas como acumulación de agua en azoteas.

11. Los valores de las deflexiones permisibles dependen desde este punto de vista de varios
factores, tales como el tipo de elementos no estructurales, tipo de conexión entre el miembro
estructural y otros elementos estructurales o no, y del método de construcción utilizado. En
segundo lugar, a veces es significativa la respuesta humana ante las deflexiones de los
miembros. Las deflexiones excesivas no son toleradas por los usuarios de la estructura, ya
que producen una sensación de inseguridad, ya por razones de orden estético.
Existen métodos para el cálculo de deflexiones de vigas bajo cargas de servicio de corta y
larga duración. Algunos de estos métodos son: Métodos de YU y WINTER, Método del
Reglamento del A.C.I. 318-04, Método de las NTCDF, además de otros métodos como los
propuestos por el Comité Euro-Internacional del Concreto (CEB).
Deflexiones Permisibles
Se ha mencionado anteriormente que las deflexiones de elementos estructurales deben
limitarse por dos razones: Por la posibilidad de que provoquen daños en otros elementos de
la estructura y por los motivos de orden estético.
El valor de las deflexiones permisibles para evitar daños en otros elementos, depende
principalmente del tipo de elementos y de construcción empleados, también debe de
considerarse el procedimiento de construcción.
Desde el punto de vista estético, el valor de las deflexiones permisibles depende
principalmente del tipo de estructura y de la existencia de líneas de referencia que permitan
apreciar las deflexiones. Es obvio que las deflexiones permisibles en una residencia deben
ser menores que en una bodega.
Cuando existe una línea horizontal de referencia, las deflexiones permisibles deben fijarse
como un valor absoluto, mientras que si no existe dicha referencia, es más conveniente fijar
las deflexiones permisibles como una fracción del claro de la viga.
La posibilidad de dar contra flechas es otro factor que debe tomarse en cuenta al establecer
las deflexiones permisibles. El valor de la contra flecha puede restarse de la deflexión
calculada y la diferencia, compararse con la deflexión permisible. Sin embargo, no deben

12. darse contra flechas excesivamente grandes.
El reglamento A.C.I. 318-04 permite prescindir del cálculo de deflexiones de vigas y de
losas que trabajan en una dirección siempre que se satisfagan los peraltes no perjudique a
elementos no estructurales.
Tabla 2.1
Peraltes totales mínimos de vigas y losas que trabajan en una dirección cuando no se calculan
las deflexiones y cuando las deformaciones de dichos elementos no perjudican a elementos
no estructurales.
 METODOS DE CALCULO DE LAS DEFLEXIONES
-Método de la doble integración: Este método consiste en encontrar la ecuación de la
curva elástica integrando dos veces la ecuación de flexión.
En cada integración se requiere introducir una constante. Estas constantes se resuelven por
las condiciones de frontera.

13. Ejemplo:
Encontrar la ecuación de la curva elástica de la siguiente viga:

14. El método exige encontrar la ecuación de momentos internos. En el caso de encontrar
discontinuidades en la ecuación de momentos, ya sea, por la presencia de cargas puntuales o
reacciones entonces se puede trabajar con origen en cada punto de quiebre del diagrama de
momentos.
PROBLEMAS RESUELTOS:
PROBLEMA 1:
Determine la ecuación de la curva elástica. EI es una constante.
Hallamos las reacciones mediante la sumatoria de momentos respecto al punto A, y la
sumatoria de momentos en el eje Y (vertical):
∑ 𝑀𝐴 = 0 ( ↺ +)
𝑅 𝐵(24) − 6 − 6 − 4(24) = 0
𝑅 𝐵 = 4,5 𝑘𝑙𝑏
∑ 𝐹𝑌 = 0 ( ↓ +)
𝑅 𝐴 + 4 − 𝑅 𝐵 = 0
𝑅 𝐴 = 0,5 𝑘𝑙𝑏
Luego usando las funciones de singularidad, hallamos la distribución de carga sobre la
viga:
𝑤 = 𝑅 𝐴 〈 𝑥 − 0〉−1
− 6〈 𝑥 − 8〉−2
− 6〈 𝑥 − 16〉−2
𝑤 = 0,5〈 𝑥 − 0〉−1
− 6〈 𝑥 − 8〉−2
− 6〈 𝑥 − 16〉−2
Y la fuerza cortante será:

15. 𝑉 = −∫ 𝑤𝑑𝑥
𝑉 = −0,5〈 𝑥 − 0〉0
+ 6〈 𝑥 − 8〉−1
+ 6〈 𝑥 − 16〉−1
Por lo tanto, el momento flector nos resulta:
𝑀 = ∫ 𝑉𝑑𝑥
𝑀 = −0,5〈 𝑥 − 0〉 + 6〈 𝑥 − 8〉0
+ 6〈 𝑥 − 16〉0
A continuación calculamos la ecuación de la curva elástica mediante la definición:
𝐸𝐼
𝑑2
𝑣
𝑑𝑥
= 𝑀
𝐸𝐼
𝑑2
𝑣
𝑑𝑥
= −0,5〈 𝑥 − 0〉 + 6〈 𝑥 − 8〉0
+ 6〈 𝑥 − 16〉0
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= ∫(−0,5〈 𝑥 − 0〉 + 6〈 𝑥 − 8〉0
+ 6〈 𝑥 − 16〉0) 𝑑𝑥
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −
0,5
2
〈 𝑥 − 0〉2
+ 6〈 𝑥 − 8〉 + 6〈 𝑥 − 16〉 + 𝐶1
𝐸𝐼𝑣 = ∫(−0,25〈 𝑥 − 0〉2
+ 6〈 𝑥 − 8〉 + 6〈 𝑥 − 16〉 + 𝐶1) 𝑑𝑥
𝐸𝐼𝑣 = −
0,25
3
〈 𝑥 − 0〉3
+
6
2
〈 𝑥 − 8〉2
+
6
2
〈 𝑥 − 16〉2
+ 𝐶1 𝑥 + 𝐶2
𝑣( 𝑥) =
1
𝐸𝐼
[−
1
12
𝑥3
+ 3〈 𝑥 − 8〉2
+ 3〈 𝑥 − 16〉2
+ 𝐶1 𝑥 + 𝐶2]
Hallamos las constantes por medio de las condiciones de frontera:
𝑥 = 0 ⟶ 𝑣 = 0 (𝑃𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝐴)
𝑣( 𝑥) =
1
𝐸𝐼
[−
1
12
3𝑥3
+ 3〈 𝑥 − 8〉2
+ 3〈 𝑥 − 16〉2
+ 𝐶1 𝑥 + 𝐶2]
𝑣(0) =
1
𝐸𝐼
[−
1
12
(0)3
+ 3(0)+ 3(0)+ 𝐶1(0)+ 𝐶2] = 0
𝐶2 = 0

16. 𝑥 = 24 ⟶ 𝑣 = 0 (𝑅𝑜𝑑𝑖𝑙𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝐵)
𝑣( 𝑥) =
1
𝐸𝐼
[−
1
12
𝑥3
+ 3〈 𝑥 − 8〉2
+ 3〈 𝑥 − 16〉2
+ 𝐶1 𝑥 + 𝐶2]
𝑣(24) =
1
𝐸𝐼
[−
1
12
(24)3
+ 3(24 − 8)2
+ 3(24 − 16)2
+ 𝐶1(24)+ 0] = 0
𝐶1 = 8 𝑘𝑙𝑏
Por lo tanto, reemplazando los valores de las constantes en la ecuación de la curva elástica,
se obtiene:
𝑣( 𝑥) =
1
𝐸𝐼
[−
1
12
𝑥3
+ 3〈 𝑥 − 8〉2
+ 3〈 𝑥 − 16〉2
+ 8𝑥]
PROBLEMA 2:
La viga está sujeta a la carga distribuida como se muestra la figura. Deduzca la ecuación de
la curva elástica. EI es constante.
SOLUCIÓN:
Hallamos las reacciones en los apoyos y distribuimos las cargas convenientemente para
aplicar el metodo de funciones singulares.

17. 𝑤 =
6
9
〈 𝑥 − 0〉1
− 77.4〈 𝑥 − 9〉−1
−
10
15
〈 𝑥 − 9〉1
𝑉 = −
6
18
〈 𝑥 − 0〉2
+ 77.4〈 𝑥 − 9〉0
+
10
30
〈 𝑥 − 9〉2
𝑀 = −
6
54
〈 𝑥 − 0〉3
+ 77.4〈 𝑥 − 9〉1
+
10
90
〈 𝑥 − 9〉3
𝑀 = −0.1111𝑥3
+ 77.4〈 𝑥 − 9〉1
+ 0.1111〈 𝑥 − 9〉3
Resolviendo la ecuación: 𝐸𝐼
𝑑2
𝑣
𝑑𝑥2 = 𝑀
𝐸𝐼
𝑑2
𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑀 = −0.1111𝑥3
+ 77.4〈 𝑥 − 9〉1
+ 0.1111〈 𝑥 − 9〉3
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −0.02778𝑥4
+ 38.7〈 𝑥 − 9〉2
+ 0.02778〈 𝑥 − 9〉4
+ 𝐶1
𝐸𝐼𝑣 = −0.005556𝑥5
+ 12.9〈 𝑥 − 9〉3
+ 0.005556〈 𝑥 − 9〉5
+ 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 … …… … . . (1)
Condiciones en la frontera:
 𝑣 = 0 → 𝑥 = 9 𝑝𝑖𝑒𝑠
En (1): 0 = −328.05 + 0 + 0 + 9𝐶1 + 𝐶2
9𝐶1 + 𝐶2 = 328.05… … …… (2)
 𝑣 = 0 → 𝑥 = 24 𝑝𝑖𝑒𝑠
En (1): 0 = −44236.8 + 43537.5 + 4218.75 + 24𝐶1 + 𝐶2
24𝐶1 + 𝐶2 = −3519.45… … …… (3)
Resolviendo (2) y (3):

18. 𝐶1 = −256 𝐶2 = 2637
𝑣 =
1
𝐸𝐼
(−0.005556𝑥5
+ 12.9〈 𝑥 − 9〉3
+ 0.005556〈 𝑥 − 9〉5
− 256𝑥 + 2637) 𝑘𝑖𝑝. 𝑝𝑖𝑒3

19. CONCLUSION
Un paso esencial en las estructuras de acero en ingeniería es determinar la tensión que puede
soportar una viga sin sufrir fallos catastróficos. Los puentes y construcciones son tensionados
cuando reciben cargas, o fuerzas presionando contra la estructura de acero. Un camión de
remolque que cruza un puente crea una carga sobre la estructura de acero de éste. Los vientos
fuertes ejercen una fuerza contra los cimientos y el esqueleto de acero de una construcción
alta. Los ingenieros deben diseñar estructuras que soporten las fuerzas ejercidas por el
hombre y la naturaleza.
Las cargas de flexión aplicadas a una viga hacen que se flexione en una dirección
perpendicular a su eje. Una viga recta en su origen se deformara y su forma será ligeramente
curva. En la mayor parte de los casos, el factor crítico es la deflexión máxima de la viga, o
su deflexión en determinados lugares. Considere el reductor de velocidad, con doble
reducción. Los cuatro engranes (A, B, C y D) se montan en tres ejes, cada uno de los cuales
esta soportado por dos cojinetes. La acción de los engranes al transmitir potencia crea un
conjunto de fuerzas, que a su vez actúan sobre los ejes y causan flexión en ellos. Un
componente da la fuerza total sobre los dientes del engrane actúa en una dirección que tiende
a separar los dos engranes. Así, la rueda A es impulsada hacia arriba, mientras que la rueda
B es implusada hacia abajo. Para que los engranes funcionen bien, la deflexión neta de uno
en relación con el otro no debe ser mayor que 0.0015 pulg. (0.013 mm), si el engrane es
industrial de tamaño mediano.
Para evaluar el diseño, existen muchos métodos para calcular las deflexiones de los ejes. Es
útil contar con un conjunto de fórmulas para calcular la deflexión de vigas, en cualquier punto
o en puntos determinados, en muchos problemas prácticos. Para muchos casos adicionales,
la superposición es útil si la carga realce divide en partes que se puedan calcular con las
formulas ya disponibles. La deflexión para cada carga se calcula por separado y a
continuación se suman las deflexiones individuales en los puntos de interés. Muchos
programas comerciales para computadora permiten modelar las vigas que tengan puntas de
carga muy complicadas y geometría variable. Entre los resultados, están las fuerzas de
reacción, los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante, y las deflexiones en
cualquier punto. Es importante que comprenda las bases de la deflexión de las vigas.

20. BIBLIOGRAFIA
 http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/teoria%20deflexion/deflexione
s.htm
 http://www.monografias.com/trabajos-pdf/elementos-concreto-reforzado/elementos-
concreto-reforzado.pdf
 file:///D:/ANA%20RIVAS/211964158-Deflexiones-y-Agritamiento.pdf
 http://html.rincondelvago.com/diseno-de-elementos-de-concreto-reforzado.html
 Introduction to operation research
 Hibbeler, R. C. Mecánica de Materiales, 3a. Ed., Prentice-Hall Hispanoamericana,
1998.
 Gere, J. M. y Timoshenko, S. P. Mecánica de Materiales, 4a. Ed., International
Thomson Editores, 1998.
 Goncalves, R. Introducción al Análisis de Esfuerzos, Universidad Simón Bolívar,
Caracas, 1999.
 Popov, E. Mecánica de Sólidos, 2a. Edición, Pearson Educación, 2000.
 Martínez, A. Criterios Fundamentales para Resolver Problemas de Resistencia de
Materiales, Vol. I, Ed. Equinoccio, Universidad Simón Bolívar, Caracas, 1995.
 Feodosiev, V.I.. Resistencia de Materiales, Ed. Mir, 1980.
 Miroliúbov, I. y otros. Problemas de Resistencia de Materiales, Ed. Mir, 1980.

21. ANEXO
Deflexiones y pendientes en vigas

22. Deflexión de sistemas estructurales
Deflexiones admisibles en vigas